Aula de Matemática - 9° ano

2. ÍNDICE
Unidade 1 3
Unidade 2 11
Unidade 3 19
Unidade 4 26
Unidade 5 33
Unidade 6 41
Unidade 7 47
Unidade 8 57

3. Matemática
VOLUME 9
Unidade 1
Conjuntos numéricos, potências e raízes
3

4. Conjuntos numéricos
ℕ
ℚ
ℤ
𝐼
ℝ
ℤ = … , −5, −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, …
ℚ =
𝑎
𝑏
|𝑎 ∈ ℤ, 𝑏 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ≠ 0
ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
𝐼 = … , − 5, … , 2, … , 3, … , 5, . . .
4

5. Potências
Sendo a um número real e n um número natural, com a ≠ 0, temos que:
a
n
= a. a. a. a. .... .a
A base indica o fator que se repete na
multiplicação.
O expoente indica a quantidade de
vezes em que o fator se repete na
multiplicação.
A potência indica o
produto dos fatores iguais.
Uma potência com expoente 1 e a base um número real qualquer tem como resultado esse próprio número.
Uma potência com expoente 0 e a base um número real diferente de zero tem 1 como resultado.
Uma potência com expoente inteiro negativo e base diferente de zero tem como resultado o inverso da base
elevado ao oposto desse expoente. 5

6. Propriedades de potências
a
m
=
a
n
a
m - n
2
a
m
=
n
a
m . n
3
4
Sendo a um número real, com a ≠ 0, e m e n
números inteiros, temos:
a =
a
. a
m + n
1
Sendo a e b números reais, com a ≠ 0 e b ≠ 0 e
m um número inteiro, temos:
5
m n
a =
b
.
m
a
m
b
m
.
a m
b
=
a
m
b
m
6

7. Notação científica
Na notação científica, os números são representados da seguinte maneira: 10
n
.
a
em que a é um número racional, com 1 ≤ a < 10, e n é um número inteiro.
300 milhões de anos 300.000.000 de anos 10
8
3 . anos
0,00000097 m 10
-7
9,7 . m
7

8. Radiciação
Sendo a e b números reais não negativos e n
um número natural maior do que 1, dizemos que
Raiz de um número negativo
Podemos calcular a raiz de um número real negativo
quando o índice dessa raiz for um número natural ímpar
maior que 1.
Exemplo:
8

9. Potências com expoente fracionário
Sendo a um número real positivo, m e n números naturais tais que m > 0 e n > 1, tem-se que:
Exemplos:
9

10. Propriedades de raízes
Sendo a um número real positivo e n um número natural maior do que 1, temos que:
1
Sendo a um número real positivo e m, n e p números naturais com m ≠ 0, n > 1 e p ≠ 0, temos que:
2
Sendo a e b números reais positivos e n um número natural maior do que 1, temos que:
3
Sendo a um número real positivo e n e p números naturais maiores do que 1, temos que:
4
10

11. Matemática
VOLUME 9
Unidade 2
Circunferência, plano cartesiano e vistas
11

12. Comprimento da circunferência
12

13. Ângulo inscrito em uma circunferência
Chamamos de ângulo inscrito todo ângulo cujo vértice
está sobre a circunferência e os lados passam por
outros pontos distintos dessa circunferência.
13

14. Plano cartesiano
A localização de cada ponto do plano cartesiano
é indicada por coordenadas cartesianas, que são
representadas por um par ordenado na forma (x,
y), em que x é abscissa e y é a ordenada do
ponto. Observe, abaixo, por exemplo, como
indicar o ponto A(-3, 2).
14

15. Perspectiva com ponto de fuga
15

16. Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P em um plano em que ele não está corresponde ao ponto desse plano, de
maneira que seja uma reta perpendicular a tal plano, ou seja, forme ângulos retos com ele.
16

17. Projeção ortogonal
Projeção ortogonal de um
cilindro em um plano.
Projeção ortogonal de
um cubo em um plano.
Projeção ortogonal de uma pirâmide
de base quadrada em um plano.
17

18. Projeção ortogonal
Representação de um bloco retangular com projeção ortogonal em três
planos distintos: I, II e III.
A figura obtida em cada um desses
planos de projeção corresponde a
uma vista ortogonal, estabelecida de
acordo com uma referência.
18

19. Matemática
VOLUME 9
Unidade 3
Expressões algébricas e equações do 2º grau
19

20. Expressões algébricas, monômios e polinômios
Denomina-se monômio ou termo algébrico toda
expressão algébrica representada apenas por um
número, ou apenas por uma variável, ou por uma
multiplicação de números e variáveis em que a variável
não esteja nem no denominador nem no radical.
Um polinômio é qualquer adição
algébrica de monômios.
20

21. Produtos notáveis
Quadrado da soma de dois termos
quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro
pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Quadrado da diferença de dois termos
quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do
primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.
Produto da soma pela diferença de dois termos
quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.
21

22. Fatoração de polinômios
Fator comum em evidência
Agrupamento
Trinômio Quadrado Perfeito
Diferença de dois quadrados
22

23. Equação do 2º grau com uma incógnita
Denomina-se equação do 2° grau na incógnita x toda equação da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c
são números reais e a ≠ 0.
2x2 – 2x – 40 = 0 é uma equação do 2° grau na incógnita x, em
que a = 2, b = – 2 e c = – 40.
Nas equações do 2° grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados
coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x:
a será sempre o coeficiente do termo em x2;
b será sempre o coeficiente do termo em x;
c será o coeficiente sem incógnita ou o termo independente de x.
23

24. Equação do 2º grau com uma incógnita
Quando b ≠ 0 e c ≠ 0 , a equação do 2° grau se diz completa.
Quando b = 0 ou c = 0 , a equação do 2° grau se diz incompleta.
24

25. Resolução da equação do 2º grau com uma incógnita
A fórmula é chamada fórmula resolutiva da equação completa do 2° grau ax2 + bx + c = 0.
A expressão 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (que é um número real) é usualmente representada pela letra grega
∆ (delta) e é chamada discriminante da equação.
A fórmula resolutiva recebeu, também, o nome de fórmula de Bhaskara em
homenagem ao grande matemático hindu.
25

26. Matemática
VOLUME 9
Unidade 4
Proporcionalidade e funções
26

27. Proporcionalidade
Considere dois números a e b, com b ≠ 0. A razão entre esses dois números, nessa
ordem, corresponde ao quociente a : b, que também pode ser indicada por
𝐚
𝐛
.
Sejam a, b, c e d, com b ≠ 0 e d ≠ 0, dizemos que se a razão entre a e b e a razão entre c
e d são iguais, então elas formam uma proporção.
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
Os números a, b c e d são os termos da proporção, sendo a e d os extremos e b e c os
meios da proporção.
27

28. Grandezas diretamente proporcionais
Para confeccionar um mapa, um dos elementos fundamentais é a escala adotada, que indica a razão entre
as dimensões reais da região e as dimensões de sua representação nesse mapa. Na aula de Geografia,
Helena mediu com a régua a distância em linha reta entre os municípios de Fortaleza (CE) e Natal (RN) no
mapa representado a seguir. Qual é a distância real aproximada, em linha reta, entre esses dois municípios?
28

29. Grandezas inversamente proporcionais
Um trecho considerado perigoso de uma estrada tem a velocidade máxima permitida de 80 km/h,
possibilitando que os veículos o percorram em 9 minutos no mínimo. Para reduzir a quantidade de acidentes
que frequentemente ocorrem, a administração dessa rodovia vai reduzir a velocidade máxima para 60 km/h
nesse trecho. Com essa mudança, em quanto tempo no mínimo será possível percorrer esse trecho da
estrada?
29

30. Noção de função
Uma peteca custa 30 reais. Se representarmos por x a quantidade de petecas iguais a essa que Rui, o
professor de Educação Física, quer comprar e por y o preço, em reais, que ele vai pagar, podemos organizar
o quadro abaixo.
O preço y a pagar é dado em
função da quantidade x de petecas
adquiridas, e a sentença y = 30x é
chamada lei de formação dessa
função.
A variável x é chamada variável
independente, e a variável y é
dependente da variável x.
30

31. Conjunto domínio e conjunto imagem da função
Uma peteca custa 30 reais. Se representarmos por x a quantidade de petecas iguais a essa que Rui, o
professor de Educação Física, quer comprar e por y o preço, em reais, que ele vai pagar, podemos organizar
o quadro abaixo.
O conjunto de valores que a variável x pode assumir
chama-se domínio da função e é indicado por D.
O valor da variável y correspondente a um
determinado valor de x é chamado imagem do
número x dado pela função.
O conjunto formado por todos os valores de y que
correspondem a algum x do domínio é chamado
conjunto imagem da função e é indicado por Im.
31

32. Gráfico da função
32

33. Matemática
VOLUME 9
Unidade 5
Semelhança de figuras
33

34. Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal
34

35. Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos opostos pelo vértice formados por
duas retas concorrentes têm medidas iguais.
Ângulos colaterais
Dois ângulos colaterais formados por duas retas
paralelas e uma reta transversal são suplementares.
35

36. Ângulos formados por retas paralelas e uma transversal
Ângulos correspondentes
Dois ângulos correspondentes formados por duas retas
paralelas e uma reta transversal têm medidas iguais.
Ângulos alternos
Dois ângulos alternos formados por duas retas
paralelas e uma reta transversal têm medidas iguais.
36

37. Proporcionalidade entre segmentos de reta
Chamamos de razão entre dois segmentos de reta a
razão entre os números que expressam as medidas
desses segmentos, sempre tomados na mesma
unidade.
AB, CD, EF e GH são, nessa ordem, proporcionais, quando
Exemplo:
37

38. Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas
transversais, segmentos de reta ordenadamente
proporcionais entre si.
Com base nesse teorema, considerando um feixe de
retas paralelas r, s e t e duas retas u e v transversais a
esse feixe, podemos escrever as seguintes proporções:
38

39. Semelhança de polígonos
Dois polígonos são semelhantes se os ângulos internos correspondentes são congruentes e os lados
correspondentes são proporcionais entre si.
A razão entre lados correspondentes desses polígonos é chamada razão de semelhança.
39

40. Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se possuem
dois ângulos correspondentes congruentes.
AA
Dois triângulos são semelhantes se possuem
dois lados correspondentes proporcionais e o
ângulo interno formado por eles congruente.
LAL
Dois triângulos são semelhantes se possuem
os três lados correspondentes proporcionais.
LLL
40

41. Matemática
VOLUME 9
Unidade 6
Relações métricas no triângulo retângulo e circunferência
41

42. Relações métricas no triângulo retângulo
É aquele que tem um ângulo
reto.
O lado oposto ao ângulo reto
chama-se hipotenusa.
Os lados que formam o ângulo
reto chamam-se catetos.
42

43. Relações métricas no triângulo retângulo
Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois
outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si.
43

44. Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo qualquer, o
quadrado da medida da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados das medidas dos catetos.
A área do quadrado construído sobre a
hipotenusa é igual à soma das áreas dos
quadrados construídos sobre os catetos.
44

45. Arco de circunferência e ângulo central
Esses pontos dividem a circunferência em duas
partes e cada uma dessas partes é chamada
arco de circunferência.
Qualquer ângulo que tenha o vértice no centro de uma
circunferência é denominado ângulo central.
45

46. Ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência
Chamamos de ângulo inscrito todo ângulo cujo
vértice está sobre a circunferência e os lados
passam por outros pontos distintos dessa
circunferência.
Em uma circunferência, quando um ângulo central e um
ângulo inscrito correspondem a um mesmo arco, a medida do
ângulo central é o dobro da medida do ângulo inscrito.
46

47. Matemática
VOLUME 9
Unidade 7
Estatística e probabilidade
47

48. Acréscimos e descontos sucessivos
Ao aplicar R$ 100,00 a juro composto à taxa de 10% ao mês durante 3 meses,
qual o montante obtido ao final desse período?
 juro ao final do
1° mês
 montante ao
final do 1° mês
 juro ao final do
2° mês
 montante ao
final do 2° mês
 juro ao final do
3° mês
 montante ao
final do 3° mês
48

49. Acréscimos e descontos sucessivos
Marcelinho costuma ser um consumidor consciente: pesquisa preços e economiza dinheiro para comprar
à vista. A bola que ele comprou para o time, por exemplo, custava R$ 80,00 e teve um desconto de 20%
por estar em promoção na loja. Por pagar à vista, Marcelinho conseguiu mais 10% de desconto sobre o
preço da bola na promoção. Quantos reais Marcelinho pagou nessa bola?
R$ 80,00 • Preço da bola
R$ 64,00 • preço da bola após o desconto
da promoção
R$ 57,60
• preço da bola após o desconto
pelo pagamento à vista
49

50. Gráficos de composição
Gráfico de setores: circular, formado por fatias que somadas compõem 100% do círculo.
Existe uma relação de proporcionalidade de cada fatia (setor) com o todo (o círculo).
50

51. Gráficos de comparação
Gráfico de barras ou de colunas: compara dados entre várias categorias e entre itens
individuais.
51

52. Gráficos de comparação
Gráfico de linhas: compara dados (lineares) ao longo do tempo, ou seja, mostra a
evolução de uma ou mais variáveis ao longo do tempo.
52

53. Medidas de tendência central
Para calcular a média de dois ou mais números,
adicionamos esses números e dividimos a soma
obtida por essa quantidade de números.
A moda corresponde ao dado de maior
frequência entre os dados de uma pesquisa.
Para determinar a mediana, é necessário organizar os dados
em ordem crescente ou decrescente. Quando a quantidade
de dados é ímpar, a mediana corresponde ao dado central. Já
quando a quantidade de dados é par, a mediana corresponde
à média dos dois dados centrais.
53

54. Medidas de tendência central
João é técnico de um time de basquete feminino e, para seu controle, registrou a idade
das atletas no quadro a seguir.
54

55. Pesquisa estatística
levantamento dos
objetivos e determinação
da população
coleta e organização dos
dados
construção de tabelas e
gráficos
leitura e interpretação
dos gráficos
registro das conclusões
Etapas de uma pesquisa
55

56. Probabilidade
Dois ou mais eventos são denominados eventos independentes quando a probabilidade
de ocorrer um deles não depende do fato de os outros eventos terem ocorrido ou não.
Dados dois eventos independentes (A e B) de um espaço amostral, a
probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dada por
P(A e B) = P(A) · P(B)
No caso de dois eventos dependentes (A e B) de um espaço amostral, a
probabilidade de eles ocorrerem sucessivamente é dada por:
P(A e B) = P(B e A) = P(A dado que B ocorreu) · P(B)
56

57. Matemática
VOLUME 9
Unidade 8
Medidas de volume
57

58. Volume de um bloco retangular
Para calcular o volume de um bloco retangular, podemos multiplicar as
medidas das três dimensões: comprimento, largura e altura.
Como em um bloco retangular a base é um retângulo, também
podemos calcular o volume multiplicando a área da base do bloco
retangular pela sua altura.
58

59. Volume de um bloco retangular
Como o cubo é um caso particular de bloco retangular, em que as
arestas têm medidas iguais, podemos calcular seu volume da
mesma maneira.
59

60. Volume de prismas
Os prismas são sólidos do grupo dos poliedros, aqueles que têm
apenas superfícies planas.
Um prisma reto é caracterizado por ter duas faces paralelas formadas por
polígonos idênticos, que são suas bases, e as demais faces formadas por
retângulos, que são suas faces laterais.
60

61. Volume de cilindros
Os cilindros são sólidos do grupo dos corpos redondos, aqueles
que têm superfície arredondada.
Um cilindro circular reto (ou simplesmente cilindro reto) é caracterizado por ter
duas superfícies planas e paralelas formadas por círculos idênticos, que são suas
bases.
61