I) O documento apresenta conceitos fundamentais de matemática, incluindo: funções, relações binárias, produto cartesiano, função polinomial do 1o e 2o grau. II) São descritos os elementos de uma função como domínio, contra-domínio e imagem, além de propriedades como concavidade e raízes de funções polinomiais do 2o grau. III) Também são apresentados exemplos de representação gráfica de diferentes tipos de funções.

1. MATEMÁTICA
FUNÇÕES
1. PAR ORDENADO I) Listagem dos pares ordenados envolvidos na
relação.
É uma seqüência de dois elementos em uma II) Diagrama de flechas entre os conjuntos A e
dada ordem. B.
1.1 Igualdade III) Representação gráfica no plano cartesiano.
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d Exemplo:
Exemplos: Considere a relação R = {(x, y ) ∈ AxB / y = x + 1} em
E.1) (2,3) = (a + 1, b) ⇒ a + 1 = 2 e b = 3 , logo que A = {2,3,5,6} e B = {3,4,7,10,11} . Represente a rela-
a =1 e b = 3. ção R.
a + 2b = 3 Resolução:
E.2) (a + 2b, a − b ) = (3,6) ⇒  , logo
a − b = 6 I) Representação dos pares ordenados.
a=5 e b = −1.
R = {(2,3), (3,4), (6,7 )} .
2. PRODUTO CARTESIANO
2.1 Representação II) Representação com diagrama de flechas.
O produto cartesiano será simbolizado por A B
AxB. y=x+1
3
2.2 Definição 5
Dados os conjuntos A e B, não vazios, define- 4
se como produto cartesiano (AxB) o conjunto de todos 2
7
os pares ordenados (x, y ) , tais que x ∈ A e y ∈ B . Em
3
símbolos, temos: 10
6
AxB = {(x, y ) / x ∈ A e y ∈ B} 11
Se A ou B forem vazios, afirmamos que III) Representação no gráfico cartesiano.
AxB = φ .
Exemplos:
E.1) Dados A = { ,2} e B = {3,4} , determine AxB
1 7
e BxA.
Resolução:
AxB = {(1,3 ) , (1, 4 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 )}
4
BxA = {(3,1), (4,1), (3,2), (4,2)}
E.2) Determine A 2 = AxA , em que A = { ,2,3} .
1
3
Resolução:
A 2 = AxA = {(11), (1 2), (1 3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
, , ,
2.3 Propriedade
2 3 6
n(AxB) = n(A ) ⋅ n(B ) ,
em que n(AxB) , n(A ) e n(B) re-
presentam, respectivamente, o número de elementos
em AxB , A e B. 3.3 Domínio, Imagem e Contra-domínio
Dada uma relação R de A em B (R : A → B) .
3. RELAÇÃO BINÁRIA
Define-se como:
3.1 Definição Contra-domínio da relação R o conjunto de
Define-se como relação binária de A em B a chegada da relação R, ou seja, o conjunto
qualquer subconjunto de AxB. B.
Domínio da relação R o conjunto formado
3.2 Representação
pelos elementos relacionados pela relação
A relação binária de A em B pode ser repre-
R no conjunto de partida (conjunto A).
sentada como:
Imagem da relação R ao conjunto formado
pelos elementos relacionados pela relação
Editora Exato 20

2. R no conjunto de chegada (conjunto B), ou A B
seja, os segundos elementos de todos os pa-
res ordenados de R.
Exemplo:
A B
1 10
3 2 satisfaz à
5 propriedade I
3
7
5 II) Cada elemento do domínio possui um único
8
correspondente no contra-domínio.
9 7 Exemplo:
E.1)
I) Domínio da relação R: D(R ) = { ,3,5,8} .
1
II) Contra-domínio da relação R (conjunto de
chegada): CD(R ) = B .
III) Imagem da relação R : Im(R ) = {2,3,5,10} .
4. FUNÇÃO
4.1 Definição
Define-se como função de A em B a toda rela- não satisfaz à
propriedade II
ção binária de A em B que satisfaz as propriedades
abaixo.
I) Todo elemento do domínio possui um cor- E.2)
respondente no contra-domínio, ou seja, no conjunto
de partida não existe elemento sem correspondente.
Exemplo:
E.1)
A B
satisfaz à
propriedade II
E.3)
não satisfaz
à propriedade I
E.2)
A satisfaz à
B propriedade II
4.2 Função Inversa
Dada uma função f de A em B, bijetora, defi-
ne-se como função inversa de f a toda função g em B
em A, tal que:
satisfaz à fog ( x ) = go f ( x ) = x .
propriedade I
Símbolo: A função inversa de f é indicada por
E.3) f −1 .
Editora Exato 21

3. Exemplo: 7. CONCAVIDADE E RAÍZES
Dada f ( x ) = 3x + 5 , determine sua função inver- A função polinomial do 2º grau possui como
sa. representação gráfica a curva denominada de parábo-
Resolução: la.
Na prática, para determinarmos a função inver- concavidade 
a > 0 ⇒ voltada para cima
sa de f, devemos trocar o x por y, o y por x e depois a < 0 ⇒ voltada para baixo
isolar o y. ∆ > 0 ⇒ 2 raízes reais e distintas
x−5 y 
f (x ) = 3x + 5 ⇒ x = 3y + 5 ⇒ −1 =
{ , logo raízes ∆ = 0 ⇒ 2 raízes reais e iguais
{ f (x ) 3 ∆ < 0 ⇒ não existem raízes reais
y
x

x −5
f −1(x ) = .
3 8. GRÁFICOS
5. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Devemos observar que o número de possibili-
dades para a construção do gráfico da função quadrá-
5.1 Definição tica é 6, levando em consideração as possibilidades
Define-se como função polinomial do 1º grau da concavidade e raízes.
ou função afim a toda função f de R em R que asso- 8.1 a>0 e ∆>0
cia a cada número x ∈ D ( f ) um número f ( x ) ∈ CD ( f ) , Concavidade voltada para cima e duas raí-
tal que f ( x )=ax+b (com a ∈ R* e b ∈ R). zes reais distintas.
5.2 Gráficos
Dada a função f: R → R, tal que f (x ) = ax + b
(com a ≠ 0 ). x1 x2
Gráficos
8.2 a>0 e ∆=0
a>0 a<0 Concavidade voltada para cima e duas raí-
y y
zes reais iguais.
O x O x
x1 = x2
8.3 a>0 e ∆<0
função crescente função decrescente Concavidade voltada para cima e não pos-
sui raízes reais.
Propriedades
O coeficiente a é denominado de coeficiente
angular e representa a tangente do ângulo de inclina-
ção.
O coeficiente b é denominado de coeficiente
linear e representa o ponto de encontro da função
com o eixo y, ou seja, o ponto (0, b ) pertence ao grá-
fico da função f.
6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 8.4 a<0 e ∆>0
Define-se como função polinomial do 2º grau a Concavidade voltada para baixo e duas raí-
função quadrática a toda função f de R em R que as- zes reais distintas.
socia a cada número x ∈ D ( f ) um número
f ( x ) ∈ CD ( f ) , tal que f (x ) = ax 2 + bx + c (com a∈R* e b,
x1 x2
c ∈R).
Editora Exato 22

4. 8.5 a<0 e ∆=0 9.1 Valor máximo e mínimo
Concavidade voltada para baixo e duas raí- Para uma função polinomial do 2º grau pode-
zes reais iguais. mos determinar o valor máximo ou mínimo da ima-
gem determinando o valor da imagem da função no
vértice da parábola  y v =
−∆
x1= x2  .
 4a 
Se a > 0, então o valor encontrado no yv se-
rá mínimo.
Se a < 0, então o valor encontrado no yv se-
rá máximo.
8.6 a<0 e ∆<0 10. FUNÇÃO MODULAR
Concavidade voltada para baixo e não pos- 10.1. Definição
sui raízes reais. Define-se como função modular a toda função
f de R em R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número
f ( x ) ∈ CD ( f ) , tal que, f ( x ) = x . Em símbolos, temos:
 x, se x ≥ 0
f:R →R f(x) =  .
-x, se x<0
10.2. Elementos
9. VÉRTICE DA PARÁBOLA
Dada a função módulo f(x) = x .
Dada a função f ( x )=ax 2+bx+c (com a ≠ 0 ) a Domínio de f : D(f) = R .
coordenada do vértice da parábola v(x v , y v ) pode ser Contra domínio de f: CD(f) = R .
determinada pelas relações abaixo. Imagem de f: Im(f) = R + .
10.3. Equações Modulares
−b −∆
xv= e yv =
2a 4a
x = k

x = k ⇔  ou
Exemplo: 
Dada a função f(x) = 2x 2 − 5x − 10 , determine a  x = −k
coordenada do vértice da parábola e faça a represen-
tação gráfica da função f no plano cartesiano. Exemplo:
E.1) Determine o valor de x na equação
Resolução:
x −3 = 5.
xv = −
(−5) = 5 e yv =
((− 5) 2
)
− 4 ⋅ 2(− 10 )
=−
105
2.2 4 4⋅2 8 Resolução
Devemos observar que ∆ > 0 e a > 0 ; logo,
a x − 3 = 5 → x = 8

parábola possui concavidade voltada para cima e du- x −3 = 5 ⇒  ou
as raízes reais distintas.  x − 3 = −5 ⇒ x = −2

Propriedades
y x ≥ 0.
x⋅y = x ⋅ y .
x x
= , para y ≠ 0.
y y
n
nn = x .
5
n
4 x = x n , para n par.
x
105 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8  5 105 
V  ,−
v 
4 8  1 Qual dos gráficos abaixo representa uma função?
a)
Editora Exato 23

5. y a) substituir na função o valor atribuído a x
y 2
f ( 0 ) = 03 − 2 ( 0 ) + 0 + 1 = 1
1
y
2
b)
3 2
( −1) − 2 ( −1) + ( −1) + 1 =
−1− 2 − 1 + 1 = −3
/ /
x1 x
EXERCÍCIOS
b) 1 (FMU-SP) Seja a função f definida por
Então f ( 0 ) + f ( −1) + f   é:
1
y f ( x ) = 2x 3 − 1 . 
y 2
1 3 19
a) − d) −
4 4
15 13
y
b) − e) −
2 4 4
17
x1 x c) −
4
c)
2 (MACK-SP) Se f ( x − 1) = x , então o valor de
2
y
f ( 2 ) é:
a) 9
b) 6
c) 4
y
1 d) 1
x1 e) 0
x
d) 3 (FGV-SP) A população de uma cidade daqui a t
4
y anos é estimada em P ( t ) = 30 − milhares de pes-
t
soas. Durante o 5º ano, o crescimento da popula-
ção será de:
y a) 300 pessoas.
1 b) 200 pessoas.
c) 133 pessoas.
x1 x d) 30 pessoas.
e) 2 pessoas.
4 (UFMG) Suponha que o número f(x) de funcio-
nários necessários para distribuir, em um dia,
contas de luz entre x por cento de moradores,
Resolução: numa determinada cidade, seja dado pela função
c) e d) 300x
Observe que a definição de função compreen- f (x) = . Se o número de funcionários ne-
150 − x
de dar um valor x e encontrar um, e somente um, va- cessários para distribuir, em um dia, as contas de
lor para y. luz foi 75, a porcentagem de moradores que as
Dica: fazer uma reta vertical em qualquer pon- receberam é:
to do gráfico e não corresponder dois ou mais valores a) 30.
em y. b) 40.
c) 45.
2 Seja a função f ( x ) = x 3 − 2x 2 + x + 1, calcular: d) 50.
e) 55.
a) f(0)
b) f ( −1)
Resolução:
Editora Exato 24

6. 5 (UEL-PR) Para que os pontos (1;3 ) e ( 3; −1) per- d)
tençam ao gráfico da função dada f(x) = ax + b , o
valor de b − a deve ser: y
a) 7.
b) 5.
c) 3.
d) –3.
e) –7.
x
6 (CESCEM) Se f(x) = 2x , então, os valores de:
3
e)
f(0); f ( −1) ; f ( 2 ) ; f ( −2 ) ; e −f  −  são:

1
 2
  y
a) 2, 2, 4, -4, -1/4.
b) 0, -2, 16, -16, 1/4.
c) 0, -6, 16, -16, 1/3.
d) 2, -2, 2, -2,-1/3.
e) 0, 2, 16, 16, 1/4.
x
7 (PUC) Qual dos gráficos não representa uma
função?
a) 8 (ESC. AERON) Determinar o campo de existên-
cia da função y = 4 − x : 2
y a) ( −4,4 )
b) [ −2,4]
c) ( 2, −2 )
d) [ −2,2]
e) Nenhuma.
x
b) 9 (PUC-RS) O domínio da função real dada por
1
f (x) = é o conjunto:
y 2x 2 + 5x − 3
 1
a) R − −3, 
 2
b) R − − ,3
1
x  
 2 
 1
c) R− 
2
d) −3, 
1
c)  
 2
 1 
y e) − ,2
 2 
x 10 (FMU-SP) O domínio real da função
2
x −4
f (x) = é o conjunto:
x−2
a) {x ∈ R / x ≤ −2 ou x ≥ 2}
b) {x ∈ R / − 2 ≤ x<2}
c) {x ∈ R / − 2 ≤ x ≤ 2}
d) {x ∈ R / x ≤ −2 ou x>2}
e) {x ∈ R / x > 2}
Editora Exato 25

7. 11 (PELOTAS) Se f e g são funções definidas em R 17 A função y = 2x − x + 1 é uma parábola que:
2
por f ( x ) = x + 2 e g ( x ) = 3x + 5 , então g  f ( x ) é:
  a) corta o eixo x em dois pontos.
a) 3x+11 b) passa pela origem.
b) 3x2 + 10 c) não corta o eixo x.
c) 3x2 + 11x + 10 d) tem concavidade voltada para baixo.
d) 4x+7 e) nenhuma.
e) f g ( x )
 
18 Dada a função f ( x ) = mx + n , conhecendo-se
12 (USP) Se f ( x ) = 5x e g ( x ) = 3x , então f g ( x )
2 f ( 0 ) = 2 e f (1) = 3 , então o valor de m e n é:
 
será igual a: a) 1 e 2.
a) 15x + 3x2 b) 2 e 1.
b) 15x2 c) 3 e 1.
c) 8x3 d) 2 e 3.
d) 15x e) 0 e 1.
e) 15x3
19 (PUC) Sendo m ∈ R , então as raízes da equação
13 (PUC-SP) Sendo f ( x ) = x + 1 e g ( x ) = x − 2 , então
3 x − ( m − 1) x − m = 0 serão reais e iguais se, e so-
2
gof ( 0 ) é igual a: mente se,
a) m ≠ 1 .
a) 1 b) m=1.
b) 3 c) m ≠ −1 .
c) 0 d) m=-1.
d) 2 e) m=0.
e) –1
20 (PUC) Para que as raízes ou zeros da função
y = x − mx + 4 sejam reais, é necessário que:
2
a) m ∈ R e [m ≤ -4 ou m>4] .
14 (UFPR) Para cada valor real de x, sejam b) m ∈ R e m>4 .
f ( x ) = x e g ( x ) = f  f ( x )  . Calcular o valor de
2
  c) m ∈ R e [m ≤ -4 ou m ≤ 4] .
f g ( 3 ) 
  d) m ∈ R e [-4 ≤ m ≤ 4] .
.
g ( 3)
e) m ∈ R e [-4 < m <4] .
a) 20.
b) 21.
c) 31. 21 (UFPR) O vértice da parábola y = −2x + 8x − 82
d) 81. tem coordenadas:
e) 80. a) ( 0, −8 ) .
b) (1, −2 ) .
15 Uma função do 2º grau, nos dá sempre c) ( 2,0 ) .
a) uma reta.
d) ( 3,0 ) .
b) uma hipérbole.
c) uma parábola. e) ( 3. − 2 ) .
d) uma elipse.
e) nenhuma.
GABARITO
16 O vértice da parábola y = − x + 4x + 5 é:
2
a) V ( 2,9 ) . 1 D
b) V ( 5, −1) . 2 A
c) V ( −1, −5 ) . 3 B
d) V ( 0,0 ) .
4 A
e) Nenhuma.
5 B
Editora Exato 26

8. 6 B
7 B
8 D
9 A
10 D
11 A
12 B
13 E
14 D
15 C
16 A
17 C
18 A
19 D
20 C
21 C
Editora Exato 27