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Análise Combinatória
  Fatorial de um número:
  n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1

    Definições especiais:
            0!=1
            1!=1
Exemplo:

                       ( x + 1)!
2) Resolva a equação             = 56.
                       ( x − 1)!
( x + 1)!        ( x + 1)( x)( x − 1)!
          = 56 ⇒                       = 56 ⇒ ( x + 1)( x) = 56 ⇒ x 2 + x = 56 ⇒
( x − 1)!              ( x − 1)!
                                − 1 ± 225           − 1 ± 15    x = 7
 ⇒ x 2 + x − 56 = 0 ⇒ x =                     ⇒ x=           ⇒
                                     2                 2        x = -8
Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo.
Agora é com você!



Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos
campeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?
R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2
possibilidades para o 3º lugar →




4.3.2 = 24 possibilidades.
Arranjo simples:


                n!
 An , p    =
             (n − p)!
Exemplo

              A6, 2 + A4,3 − A5, 2
4) Calcule                           .
                   A9, 2 + A8,1
                            6!         4!        5!
                                  +        −
A6, 2 + A4,3 − A5, 2     (6 − 2)! (4 − 3)! (5 − 2)! 30 + 24 − 20 34 17
                       =                            =           =   =
    A9, 2 + A8,1                  9!       8!          72 + 8     80 40
                                       +
                               (9 − 2)! (8 − 1)!
Permutação Simples
   É um caso particular de arranjo simples. É
    o tipo de agrupamento ordenado onde
    entram todos os elementos.





              Pn = n!
Exemplo



Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?
P5 = 5!= 5.4.3.2.1 = 120 números.
Combinação Simples

   Cn,p   =        n!
               p!( n − p )!
Exemplo:

    Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3
rapazes e 4 moças?
RAPAZES - C7 ,3
MOÇAS - C6, 4
O resultado é o produto C7 ,3 .C6, 4 .
    7!         6!       7.6.5.4! 6.5.4! 210 30
          .           =         .      =   . = 35.15 = 525 comissões.
3!(7 − 3)! 4!(6 − 4)!     3!.4! 4!.2!    3! 2
Distinguindo Permutações, arranjos e combinações simples


    Critério de Formação    Tipo de Agrupamento    Nome do AGRUPAMENTO




    Só ordenar os           Ordenado               Permutação
    elementos(todos)



    Só escolher os          Não-ordenado           Combinação
    elementos



    Escolher e ordenar os   Ordenado               Arranjo
    elementos escolhidos
Ou seja:
 Arranjos são os agrupamentos que
  diferem pela ordem e pela natureza de
  seus elementos.
 Combinações são os agrupamentos que
  diferem pela natureza de seus elementos.
 Permutações são os agrupamentos que
  diferem apenas pela ordem de seus
  elementos.
Ex1. Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números naturais de 4 algarismos distintos
podemos formar?

 Observe que os agrupamentos 1234 e
  4231 diferem apenas pela ordem de seus
  elementos enquanto que 1234 e 2456
  diferem tanto pela ordem como pela
  natureza de dois de seus elementos.
 Portanto esse tipo de problema é
  classificado como Arranjo Simples.
 Pelo PFC temos, 6.5.4.3=360 números de
  4 algarismos distintos.
Ex2. Entre os professores André,Douglas, Zuza, Sandro e Gilberto deseja-se formar uma comissão
com 3 professores para representar os colegas numa reunião com a diretoria da escola. De quantas
maneiras diferentes esta escolha pode ser feita?
   Conjunto dos professores: A,D,Z,S,G
   Algumas combinações possíveis:
   (A,D,S), (D,G,S), (Z,S,G)....
   Observe que (A,D,S) e (D,S,A) representam a mesma comissão: a ordem
    dos elementos não altera a comissão.
   As comissões só diferem se mudarmos a natureza de seus elementos.
   (D,G,S) e (Z,S,G) diferem pela natureza de dois de seus elementos,
    portanto esse tipo de problema é como combinação simples.
   É importante observar que um agrupamento qualquer, com três
    elementos,pode ser representado, nesse caso por 6 modos diferentes:
   (A,D,S) = (A,S,D) = (D,A,S) = (D,S,A) = (S,A,D) = (S,D,A).
   Portanto, ao aplicar o PFC, devemos dividir o resultado por 6.
   Pelo PFC, 5.4.3=60 e dividindo este resultado por 6, temos 10 comissões
    diferentes.
Ex3. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 5,6 e
7?

 Pelo PFC, temos 3.2.1 = 6números de três
  algarismos.
 Os resultados possíveis são :
  567,576,657,675,756 e 765.
 Observe que 567 e 756 se diferem apenas
  pela ordem de seus elementos.
 Como não podemos repetir elementos,
  esse tipo de agrupamentos é classificado
  como Permutação Simples.
Permutação com Repetição




 P α , β ,=
           δ ,.....
                         n!
                    α ! β !δ !....
 Onde n é o número de elementos e
   n
                                                    o
                                   α , β , δ ,.....
  número de repetições.
 Ex.:
 A palavra BANANA possui quantos
  anagramas?

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Análise combinatória

  • 1. Análise Combinatória Fatorial de um número: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 Definições especiais: 0!=1 1!=1
  • 2. Exemplo: ( x + 1)! 2) Resolva a equação = 56. ( x − 1)! ( x + 1)! ( x + 1)( x)( x − 1)! = 56 ⇒ = 56 ⇒ ( x + 1)( x) = 56 ⇒ x 2 + x = 56 ⇒ ( x − 1)! ( x − 1)! − 1 ± 225 − 1 ± 15 x = 7 ⇒ x 2 + x − 56 = 0 ⇒ x = ⇒ x= ⇒ 2 2 x = -8 Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo.
  • 3. Agora é com você! Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos campeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?
  • 4. R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2 possibilidades para o 3º lugar → 4.3.2 = 24 possibilidades.
  • 5. Arranjo simples: n! An , p = (n − p)!
  • 6. Exemplo A6, 2 + A4,3 − A5, 2 4) Calcule . A9, 2 + A8,1 6! 4! 5! + − A6, 2 + A4,3 − A5, 2 (6 − 2)! (4 − 3)! (5 − 2)! 30 + 24 − 20 34 17 = = = = A9, 2 + A8,1 9! 8! 72 + 8 80 40 + (9 − 2)! (8 − 1)!
  • 7. Permutação Simples  É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.  Pn = n!
  • 8. Exemplo Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8? P5 = 5!= 5.4.3.2.1 = 120 números.
  • 9. Combinação Simples  Cn,p = n! p!( n − p )!
  • 10. Exemplo: Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3 rapazes e 4 moças? RAPAZES - C7 ,3 MOÇAS - C6, 4 O resultado é o produto C7 ,3 .C6, 4 . 7! 6! 7.6.5.4! 6.5.4! 210 30 . = . = . = 35.15 = 525 comissões. 3!(7 − 3)! 4!(6 − 4)! 3!.4! 4!.2! 3! 2
  • 11. Distinguindo Permutações, arranjos e combinações simples Critério de Formação Tipo de Agrupamento Nome do AGRUPAMENTO Só ordenar os Ordenado Permutação elementos(todos) Só escolher os Não-ordenado Combinação elementos Escolher e ordenar os Ordenado Arranjo elementos escolhidos
  • 12. Ou seja:  Arranjos são os agrupamentos que diferem pela ordem e pela natureza de seus elementos.  Combinações são os agrupamentos que diferem pela natureza de seus elementos.  Permutações são os agrupamentos que diferem apenas pela ordem de seus elementos.
  • 13. Ex1. Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números naturais de 4 algarismos distintos podemos formar?  Observe que os agrupamentos 1234 e 4231 diferem apenas pela ordem de seus elementos enquanto que 1234 e 2456 diferem tanto pela ordem como pela natureza de dois de seus elementos.  Portanto esse tipo de problema é classificado como Arranjo Simples.  Pelo PFC temos, 6.5.4.3=360 números de 4 algarismos distintos.
  • 14. Ex2. Entre os professores André,Douglas, Zuza, Sandro e Gilberto deseja-se formar uma comissão com 3 professores para representar os colegas numa reunião com a diretoria da escola. De quantas maneiras diferentes esta escolha pode ser feita?  Conjunto dos professores: A,D,Z,S,G  Algumas combinações possíveis:  (A,D,S), (D,G,S), (Z,S,G)....  Observe que (A,D,S) e (D,S,A) representam a mesma comissão: a ordem dos elementos não altera a comissão.  As comissões só diferem se mudarmos a natureza de seus elementos.  (D,G,S) e (Z,S,G) diferem pela natureza de dois de seus elementos, portanto esse tipo de problema é como combinação simples.  É importante observar que um agrupamento qualquer, com três elementos,pode ser representado, nesse caso por 6 modos diferentes:  (A,D,S) = (A,S,D) = (D,A,S) = (D,S,A) = (S,A,D) = (S,D,A).  Portanto, ao aplicar o PFC, devemos dividir o resultado por 6.  Pelo PFC, 5.4.3=60 e dividindo este resultado por 6, temos 10 comissões diferentes.
  • 15. Ex3. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 5,6 e 7?  Pelo PFC, temos 3.2.1 = 6números de três algarismos.  Os resultados possíveis são : 567,576,657,675,756 e 765.  Observe que 567 e 756 se diferem apenas pela ordem de seus elementos.  Como não podemos repetir elementos, esse tipo de agrupamentos é classificado como Permutação Simples.
  • 16. Permutação com Repetição  P α , β ,= δ ,..... n! α ! β !δ !....  Onde n é o número de elementos e n o α , β , δ ,..... número de repetições.  Ex.:  A palavra BANANA possui quantos anagramas?