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Matemática
Matemática 9.º Ano
9
Oo
A cópia ilegal viola os direitos dos autores.
Os prejudicados somos todos nós.
Guia do Professor
Maria Augusta Ferreira Neves
António Pinto Silva

Recursos por capítulo
1. Inequações. Valores aproximados de números reais............................................................. 3
2. Funções ............................................................................................................................................ 16
3. Equações........................................................................................................................................... 30
4. Geometria Euclidiana. Paralelismo e perpendicularidade.................................................... 42
5. Área e volume de sólidos.............................................................................................................. 52
6.Trigonometria no triângulo retângulo......................................................................................... 62
7. Lugares geométricos. Circunferência......................................................................................... 73
8. Organização e tratamento de dados........................................................................................... 89
Soluções................................................................................................................................................. 103
Caro professor,
Com a implementação do novo Pograma e Metas Curriculares do Ensino Básico, cada
um de nós, enquanto professores, enfrenta novos desafios e preocupações.
Como tal, o nosso objetivo é ajudar a implementar as melhores estratégias pedagógicas
e agilizar a elaboração de diferentes materiais em vários momentos do ano letivo. Para o
atingir, apresentamos, para cada capítulo, uma ficha de treino, minitestes, uma ficha de
preparação para o teste de avaliação e um teste de avaliação.
Acreditamos que assim potenciará as capacidades dos alunos com melhores desempenhos
e recuperará os alunos com maiores dificuldades, respeitando o ritmo de aprendizagem da
turma.
Votos de sucessos pessoais e profissionais.
Os autores
Índice
Apresentação
I S B N 9 7 8 - 9 7 2 - 0 - 8 4 2 0 2 - 2
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2

INEQUAÇÕES.
VALORES
APROXIMADOS
DE NÚMEROS REAIS
1
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3

Nome da Escola Ano letivo 20 /20 Matemática | 9.º ano
Nome do Aluno Turma N.º Data
Professor / /20
Ficha de treino 1
1. Calcula o valor de cada uma das seguintes expressões.
1.1. ( ) ( )
2
3 0
1 1
1 1
2 3
−  
 
 
− × + × − 1.2.
1 2
1 1
1 2
2 2
−
   
   
   
− − × − −
2. Calcula e apresenta o resultado em notação científica.
2.1. – 4 × 10– 3
× (– 5) × 10– 8
2.2. (2,5 × 105
):(0,2 × 107
)
3. Determina a aresta de um cubo que tem de volume:
3.1. 27 cm3
3.2. 343 cm3
4. Na figura ao lado, [ABCD] é um retângulo e o arco EC
tem centro em A.
4.1. Determina o valor exato de AC .
4.2. Qual é o valor exato da abcissa do ponto E?
5. Completa com o sinal > ou < de modo a obteres afirmações verdadeiras.
5.1. – 6 … – 7 5.2. π … 10
5.3. – 100 … – 10 5.4. 3,14 ….. π
6. Resolve as seguintes equações e apresenta o conjunto-solução.
6.1. 3x + 1 = 4x – 3 6.2. 6x – 4 + x = 3x + 2 – 2x
6.3. 2(x – 1) = 4 + (– 2x + 3) 6.4.
1 3
1
3 2
x x
−
= −
6.5. ( )
1 1 2
1 2
3 2
x
x
+
− =
− − 6.6. 2(1 )
3
1
2
x
x
=
− −
+
−
7. Atualmente a idade da mãe é seis vezes a idade do filho.
Daqui a 24 anos a mãe terá o dobro da idade do filho. Qual é a idade de cada um?
8. Sabendo que as duas figuras geométricas são equivalentes (têm a mesma área), determina
o valor de x.
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4

Ficha de treino 1
9. Números cruzados
1 2 3 4 5 6
A
B
C
D
E
F
Horizontais:
A. O m.d.c. de dois números primos entre si; m.m.c. (2, 3)
B. 6– 10
: 3– 10
× 211
; 0,0012 × 104
+ 240 × 10– 1
;
número designado por
2 2
2 2
10
2
x y
x y
(para x ≠ 0, y ≠ 0)
C. (– 3)5
× (– 3)– 5
; m.m.c. (22
× 3; 23
× 3); ( )
3
2
1
: 5
5
−
 
−
 
 
D. (– 3)0
– 1; o valor da expressão
2 3
2 2
x y
y x
para x ≠ 0 e y = 3
E. Solução da equação 5 3
4 2a+
= ; ( )
4
4 1
2
3
−
 
− × −
 
 
F. Número que colocado no lugar de a transforma a «igualdade» numa afirmação
verdadeira 5 7
2 2 2
a
× =;
8
1
2
−
 
 
 
−
Verticais:
1. 0,7567 × 104
× 16000 × 10– 3
3. Solução da equação 2x
= (2– 16
)– 2
; 0,00012 × 105
4. [(– 2)3
]2
; m.d.c. (50, 75)
5. 3,2 × 10– 7
× 3 × 108
6. 0,065 × 106
+ 0,536 × 103
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5

Professor / /20
Miniteste 1.1. 20 minutos
1. Sendo x ∈ℝ , escreve uma expressão equivalente a cada uma das expressões seguintes onde
a expressão do 1.º membro é x.
1.1. 1 x
− <
1.2. 2 0
x
− + ≤
1.3. 10
x
− < −
1.4. 1 0
x − <
1.5.
1
2
2
x < −
1.6. 3 1 0
x
− − <
2. Sejam a e b dois números reais não nulos.
Classifica as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas.
(A) Se a b
< , então a b
− > −
(B) Se 1 0
a − > , então 1
a
− > −
(C) Se 2 2
a b
< , então a b
<
(D) Se a b
< , então 2 2
a b
<
(E) Se
1
3
b
< , então
1
3
b
− < −
(F) Se a b
< e b c
< , então ab bc
<
(G) Se
1 1
a b
> , então a b
> , com ,
a b +
∈ℝ
3. Sendo
1
2
a = − , escreve por ordem crescente os números:
2 3 1
, , , 2 , 2 , ,
a a a a a a
a
− −
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6

Professor / /20
1. Representa os seguintes conjuntos em extensão:
1.1.
3
:
2
A x x
 
= ∈ <
 
 
ℕ
1.2. ] ] { }
, 1 3 , 0 , 3
B = −∞ ∩ −
1.3.
5
3 ,
3
C
 
=
− ∩
 
 
ℤ
2. Considera os seguintes conjuntos de números reais:
{ } ] [
: 2 ; 1 , 1
A x x B
=
∈ ≥ =
−
ℝ e [ [
0 ,
C
= + ∞
2.1. Escreve o conjunto A sob a forma de intervalo de números reais.
2.2. Representa sob a forma de condição os conjuntos B e C.
2.3. Qual é o maior número inteiro pertencente ao intervalo B? E o menor?
2.4. Qual é o número real que pertence simultaneamente a B e a C ?
3. Representa sob a forma de intervalo os seguintes conjuntos:
{ }
: 2
A x x
= ∈ < −
ℝ
{ }
: 0 4
B x x
= ∈ < ≤
ℝ
{ }
: 1
C x x
= ∈ − ≥ −
ℝ
{ }
: 0 3
D x x x
= ∈ ≥ ∧ <
ℝ
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7

Professor / /20
1. Na reta real está representado o conjunto A.
Qual é o menor número inteiro que pertence ao conjunto A ?
2. Representa os seguintes conjuntos usando intervalos de números reais.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3. Para cada par de conjuntos A e B, determina sob a forma de intervalo ou reunião de intervalos
de números reais A B
∩ e A B
∪ .
3.1. { }
: 1
A x x
= ∈ ≥ −
ℝ e { }
: 2
B x x
=∈ <
ℝ
3.2. { }
: 1
A x x
= ∈ > −
ℝ e { }
: 2 5
B x x
= ∈ − < ≤
ℝ
3.3.
1
:
2
A x x
 
= ∈ − π ≤ <
 
 
ℝ e { }
: 3 4
B x x
= ∈ − ≤ <
ℝ
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8

Professor / /20
1. Coloca os símbolos > , ≥ , < ou ≤ de modo a obteres uma afirmação verdadeira.
1.1. 3 2 .....6
x x
> ⇔
1.2. 1 2 1..... 4
x x
+ ≤ − ⇔ − −
1.3.
1
2 1 .....
2
x x
− < ⇔ −
2. Resolve, em ℝ , as seguintes inequações:
2.1.
1
3
2
x x
> −
2.2.
1
0
2
x −
− >
2.3. ( )
2 1
x x
− − ≤
3. Considera a seguinte inequação:
( )
1 1
2 3
2 2
x x x
 
 
 
− − − − > −
3.1. Resolve, em ℝ , a inequação dada.
3.2. Qual é o maior número inteiro que pertence ao conjunto-solução da inequação?
4. Quais são os números em que a diferença entre o seu dobro e o seu triplo nos dá um número
não superior a 30?
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9

Professor / /20
1. Qual dos seguintes conjuntos corresponde à representação na reta numérica?
(A) { }
: 1 2
x x x
∈ ≤ − ∧ >
ℝ
(B) { }
: 1 2
x x x
∈ ≤ − ∨ >
ℝ
(C) { }
: 1 2
x x x
∈ ≥ − ∨ <
ℝ
(D) { }
: 1 2
x x x
∈ ≥ − ∧ <
ℝ
2. Determina o conjunto-solução das seguintes condições:
2.1. 1 3
x x
> − ∧ <
2.2. 1 3
x x
> − ∨ <
2.3. 1 3 2
x x
− ≤ < ∧ >
2.4. 1 3 2
x x
− ≤ < ∨ >
2.5. 1 0
x x
< − ∧ >
2.6. 1 0
x x
< − ∨ >
3. Resolve, em ℝ , as seguintes condições:
3.1. ( )
1 1
3 2 1
2 2
x
x
−
≤ ∧ − − > −
3.2. 0 1 3 1
x
< − ≤
3.3.
1 2
2 3 0
x
x



− >
− − <
4. O perímetro do triângulo da figura seguinte está compreendido entre 30 cm e 40 cm, sendo x
um número real superior a 1.
Determina o valor de x.
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10

Professor / /20
1. Recorrendo às propriedades das operações em ℝ , simplifica as seguintes expressões com
radicais:
1.1. ( )
2
2 3
−
1.2. ( )
2 2 3
−
1.3.
3 7
7
2
−
1.4.
1
5
 
 
 
π π −
1.5. 2 3 27 12
− −
2. Recorrendo à calculadora, escreve com duas casas decimais um valor aproximado de:
2.1.
1
3
2.2. 5
−
2.3. 2 3
×
2.4.
1 5
2
+
2.5.
3
5
π +
3. Sabe-se que 1,3 e 2,1 são aproximações dos números reais x e y, respetivamente.
Qual é o erro máximo que se comete ao calcular x + y e que valores pode tomar esta soma,
sabendo que 1,3 e 2,1 são aproximações de x e y com erros inferiores a:
3.1.
1
10
?
3.2.
1
10
e
1
5
?
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
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Professor / /20
Ficha de preparação para o teste de avaliação 1
1. Qual dos seguintes valores corresponde a uma dízima infinita não periódica?
(A) 36
(B) 3,6
(C) 0,36
(D) 0,0036
2. Considera os intervalos A = , 2
 
 
−∞ e B = 1, 5
 
 
− .
2.1. Escreve o conjunto B na forma de uma condição.
2.2. Qual dos seguintes intervalos é igual a A B
∩ ?
(A) , 5
 
−∞
 
(B) , 5
 
−∞
 
(C) ] [
1, 2
−
(D) ] ]
1, 2
−
2.3. Determina A C
∪ , sendo C = [– 1, 2[.
2.4. Qual é o maior número inteiro que pertence ao conjunto B ?
2.5. Escreve um número irracional que pertença ao conjunto A.
3. Observa a seguinte figura:
Determina as abcissas dos pontos A e B.
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12

4. Resolve, em ℝ , a seguinte inequação:
1 7 1
3
2 2 3
x
x
−
− < −
Apresenta o conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais.
5. A qual dos seguintes conjuntos pertence o número 3 ?
(A) [1,6; 1,7]
(B) [1,72; 1,73]
(C) [1,7321; 1,733]
(D) {1,72; 1,73}
6. Considera o seguinte conjunto:
{ }
: 1 2 3
A x x x
= ∈ ≥ − ∧ <
ℝ
6.1. Representa o conjunto A na forma de intervalo.
6.2. Mostra que A B A
∩ =, sendo B o conjunto-solução da inequação 2 – 3 (x + 2) ≤ x.
7. Considera os seguintes retângulos:
Retângulo A Retângulo B
Determina um valor inteiro de x de modo que o perímetro do retângulo A seja maior do que
o perímetro do retângulo B.
8. O pai do João é vendedor num stand de automóveis.
Mensalmente recebe 800 euros e 1% do valor de cada automóvel
vendido.
No mês de agosto vendeu automóveis de um modelo que custava
25 000 euros.
Qual é o número mínimo de automóveis que vendeu nesse mês,
sabendo que recebeu mais de 1600 euros?
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Professor / /20
Teste de avaliação 1 90 minutos
1. Considera o seguinte conjunto:
1 1
1 ; ; 3,5; 2; ; ; 1 5
5 3
A
 
= − − π −
 
 
1.1. Deste conjunto, indica os números que são:
a) naturais; b) inteiros;
b) racionais; d) irracionais.
1.2. Com material de desenho adequado, assinala com rigor 2 e 1 5
− na reta real.
1.3. Representa, em extensão:
a) { }
: 0
B x A x
= ∈ < b) 1,2; 1,42
C A  
 
= ∩ −
2. Indica um número irracional maior que – 2 e menor que – 1.
3. Efetua as operações e indica qual das seguintes expressões numéricas representa um
número irracional.
3.1. ( )( )
3 1 1 3
− + 3.2. ( )
2
3 2 2
− 3.3. ( ) 5
5 20
2
− ×
4. Na tabela seguinte estão representados conjuntos de números reais na forma de condição,
na forma geométrica e na forma de intervalo.
Conjunto Condição Representação geométrica Intervalo
A
B { }
: 0
x x
∈ ≥
ℝ
C , 1
 
 
−∞ −
4.1. Completa-a.
4.2. Determina:
a) A B
∩ b) A C
∩ c) B C
∩
d) A B
∪ e) A C
∪ f) B C
∪
g) A B C
∪ ∪
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14

Teste de avaliação 1 · 90 minutos
5. Resolve, em ℝ , as seguintes inequações:
5.1. ( ) ( )
2 5 1 3 2
x x
− − < −
5.2.
2 4 5
1
2 3 6
x x
− −
− + ≤
5.3. ( )
1
2 1
3
x x
− − ≥
5.4.
( )
( )
2 1 3 2
3 1 1
3 2
x x
x
− −
− + − > +
6. Considera a equação
3 1 1
2 3 6
x x −
− < .
6.1. Resolve a inequação e apresenta o conjunto-solução.
6.2. Qual é o maior número inteiro que não verifica a inequação?
7. Determina os valores que x pode tomar de modo que a expressão
( )
3 2
1
4
x −
− representa
um número pertencente ao intervalo [– 2, 1[.
8. Determina o conjunto-solução de cada uma das seguintes condições.
8.1.
( )
3 0
1
3 1
2
x
x
x





− <
−
− − >
8.2. ( )
1
3 7 2 1
2 3
x x
x
−
≤ ∨ − − − <
9. Determina x de modo que o perímetro do quadrado A seja maior do que o perímetro do
retângulo B.
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FUNÇÕES
2
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16

Professor / /20
Ficha de treino 2
1. Admitindo que a regularidade numérica se mantém, determina o 6.º termo e a expressão do
termo geral das seguintes sequências:
1.1. 3, 7, 11, 15, 19, …
1.2.
1 1 1 1
1, , , , , ...
4 9 16 25
2. A lei de formação de uma sequência é a seguinte:
“O primeiro termo é 3 e qualquer termo, a partir do segundo,
é igual à soma do quíntuplo do anterior com 1.”
Determina o quarto termo da sequência.
3. Observa a seguinte sequência de construções, formadas por retângulos.
Admite que a regularidade se mantém para as construções seguintes.
Construção 1 Construção 2 Construção 3 Construção 4
3.1. Quantos retângulos tem a construção 7?
3.2. Há alguma construção com 1200 retângulos?
Explica como obtiveste a tua resposta.
3.3. Escreve a expressão do termo geral da sequência.
4. Calcula o 5.º termo da sequência cujo termo geral é:
4.1.
+
−
1
1
n
n
4.2. 2n – n2
4.3.
( )
−1
n n
n
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Ficha de treino 2
5. Considera a reta que representa graficamente a equação y = 3x + 1.
5.1. Completa a seguintes tabela:
x – 3 – 2 0 2
y – 2
11
2
13
5.2. Representa a reta de equação = +
3 1
y x .
5.3. Desenha no mesmo referencial o gráfico da reta de equação y = 7 e determina as
coordenadas do ponto de interseção dos dois gráficos.
6. Resolve, em ℝ , as seguintes equações:
6.1. 2x – 4 – 4x = – (3x + 3)
6.2. ( )
− − + − =
3 3
2
x
x
6.3.
 
 
 
− −
− − =
2 1
2 0
3 5
x x
6.4. ( )
( )
+
− − =
2 2
3 2 1
5
x
x
6.5. – 6 – 3(x – 3) + 2(x – 2) = 0
6.6.
− −
− − − =
1 3 2
3 0
3 2
x x
x
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Professor / /20
1. A avó da Maria demora 60 dias a fazer uma colcha em croché, se trabalhar 3 horas por dia.
Considera que, em cada dia, a avó da Maria faz o mesmo número de tiras de croché.
Quantas horas teria de trabalhar por dia se quisesse fazer uma colcha em 45 dias?
Apresenta todos os cálculos que efetuares.
2. O Sr. Joaquim tem 120 vacas e ração para as alimentar durante 30 dias.
Pediu ao Pedro para este calcular o número de dias para que daria a ração que tem em
armazém para diferentes números de vacas.
Admite que cada vaca come a mesma quantidade de ração por dia.
O Pedro elaborou a seguinte tabela:
x 120 60 80
y 30 60 45
Sendo:
x : número de vacas
y : número de dias de ração
2.1. Mostra que x e y são inversamente proporcionais.
2.2. Determina a constante de proporcionalidade e diz qual o seu significado.
2.3. Se o Sr. Joaquim tivesse 90 vacas, para quantos, dias daria a ração?
2.4. Escreve uma expressão algébrica que relacione x com y.
3. Nas frases seguintes estão implícitas duas variáveis. Diz se a relação entre elas poderá ser
de proporcionalidade direta, proporcionalidade inversa ou nenhuma destas relações.
3.1. Número de peças iguais cortadas de um rolo de arame / comprimento de cada peça
3.2. Peso das maçãs / custo total das maçãs
3.3. Tempo gasto ao telefone / conta mensal de telefone
3.4. Volume de leite num copo / distância da superfície do leite ao bordo do copo
4. Considera a tabela ao lado.
Completa-a sabendo que:
4.1. x e y são grandezas diretamente proporcionais;
4.2. x e y são inversamente proporcionais.
x 1 2 3 4 5
y 12
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Professor / /20
1. Observa os seguintes gráficos:
(A) (B) (C) (D)
(E) (F) (G) (H)
Diz, justificando, quais destes gráficos pode representar uma relação de proporcionalidade:
1.1. direta; 1.2. inversa;
2. Existem vários triângulos, de dimensões diferentes, com 12 cm2
de área.
2.1. Completa a tabela que se segue, indicando, em centímetros, as medidas das bases e
das alturas de três triângulos diferentes com 12 cm2
de área.
Triângulo 1 Triângulo 2 Triângulo 3
Base 6
Altura 8
2.2. Qual dos gráficos pode representar a relação entre a medida da base (b) e a medida da
altura (a) de triângulos com 12 cm2
de área?
(A) (B) (C) (D)
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Professor / /20
Distância de travagem
A distância percorrida por um automóvel entre o momento
em que o seu condutor inicia a travagem e o momento em
que o automóvel para denomina-se distância de
travagem (Dt).
A distância de travagem pode ser calculada, em metros,
utilizando a fórmula:
 
= ×
 
 
2
1
10 2
t
v
D
em que v é a velocidade do veículo (km/h).
1. Resolve a equação dada em ordem a v.
2. Completa a tabela seguinte.
Velocidade (v)
(km/h)
30 70 90 110
Distância de travagem (Dt)
(m)
4,5 12,5 24,5 60,5 78
3. Desenha o gráfico que relaciona a distância de travagem com a velocidade, graduando
cada um dos eixos com uma escala adequada.
4. O gráfico que relaciona a distância de travagem com a velocidade está contido:
(A) numa linha reta;
(B) numa curva designada por hipérbole;
(C) num quarto de circunferência;
(D) numa curva designada por parábola.
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21

Professor / /20
1. Qual dos seguintes gráficos corresponde a uma proporcionalidade direta ou a uma
proporcionalidade inversa?
Em caso afirmativo, identifica a constante de proporcionalidade e a expressão algébrica
correspondentes.
Mostra todos os cálculos que efetuares.
1.1. 1.2.
1.3. 1.4.
1.5. 1.6.
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2. Verifica, em cada caso, se existe alguma relação de proporcionalidade, direta ou inversa,
entre as variáveis x e y.
Em caso afirmativo indica a constante de proporcionalidade.
Mostra como obtiveste a tua resposta.
2.1. 2.2.
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
y 30 15 5 7,5 y 15 7,5 5 3,5
2.3. 2.4.
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
y 3 6 9 12 y 0,6 1,2
9
5
12
5
2.5. 2.6.
x –3,7
1
2
− 0,3
5
3
x 0 1 2 3
y 10 74
370
3
−
111
5
− y 1 3 6 9
3. Na tabela seguinte estão representados alguns valores das variáveis x e y.
3.1. Completa-a de modo que x e y sejam:
a) diretamente proporcionais;
b) inversamente proporcionais.
3.2. A partir de cada uma das tabelas que completaste em 3.1., onde está definida uma
relação de proporcionalidade entre x e y, representa essa relação através de uma
representação:
a) algébrica; b) gráfica.
4. Considera as seguintes funções, definidas algebricamente:
(I) y = 3 (II) y = 3x (III)
3
x
y =
(IV)
3
y
x
= (V)
3
3
y
x
=
+
(VI) 3
y x
= +
Identifica as funções:
4.1. cujo gráfico é uma reta;
4.2. que são de proporcionalidade direta e indica a constante de proporcionalidade;
4.3. que são de proporcionalidade inversa e indica a constante de proporcionalidade.
x 1 3 12
y 6 4
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5. Acerca de um triângulo sabemos que a sua área é 12 cm2
.
5.1. Usando as letras da figura, escreve uma relação entre elas, do tipo
k
y
x
= , com
k constante.
5.2. Completa a seguinte tabela:
x 1 3
y 8 24
6. O Luís foi a casa de um amigo e demorou 15 minutos a efetuar o percurso a uma velocidade
média de 100 km/h.
Quanto tempo levaria a efetuar o percurso se tivesse ido a uma velocidade de 60 km/h?
7. Os três cães do Diogo levam oito dias a consumir um saco
de ração para cães.
Se o Diogo oferecesse dois dos seus cães, quanto tempo
duraria o saco da ração?
Admite que os cães comem a mesma quantidade de ração
diariamente.
8. A Inês foi comprar fruta ao mercado.
Deslocou-se de bicicleta, a uma velocidade média de
15 km/h e demorou 5 minutos.
8.1. Qual a distância de casa da Inês ao mercado?
8.2. Qual foi, em metros por minuto, a velocidade
média a que a Inês se deslocou?
8.3. Quanto tempo demoraria a chegar ao mercado se se deslocasse a uma velocidade
média de:
a) 10 km/h b) 20 km/h c) 50 km/h
9. Uma torneira, com um caudal de 30 litros por minuto, enche um tanque em 20 horas.
Quanto tempo demorará a encher o tanque com um caudal de 50 litros por minuto?
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10. Nos gráficos seguintes estão representadas funções quadráticas do tipo y = ax2
.
Para cada caso, identifica a respetiva expressão algébrica.
10.1. 10.2.
10.3. 10.4.
11. Resolve as seguintes equações:
11.1. x2
= 9 11.2. x2
– 16 = 0 11.3. x2
+ 16 = 0
11.4. x2
– 2 = 0 11.5. 3x2
– 9 = 0 11.6. (x – 2)2
– 36 = 0
12. Um retângulo tem de área 242 m2
. Se o comprimento é o
dobro da largura, quais são as dimensões do retângulo?
13. O quadrado da soma de um número negativo com 2 é 49. Qual é esse número?
14. A operadora de telemóveis W tem um plano que permite aos clientes falar 100 minutos
para números da mesma rede por uma mensalidade de 10 €. Caso este limite de tempo
seja ultrapassado cada minuto excedente custará 0,30 €. Por sua vez, a operadora M, tem
um plano cuja mensalidade é 5 € e cada minuto em chamadas para a mesma rede custa
0,10 €.
O gráfico ao lado representa essas duas situações.
14.1. Determina T1 e T2.
14.2. A partir de quantos minutos um dos planos será
sempre mais económico que o outro? Justifica a tua
resposta.
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Professor / /20
1. Observa as seguintes representações gráficas e expressões algébricas.
(I) (II) (III)
(IV) (V) (VI)
(A) 2
y x
= − (B) 2
y = (C)
1
y
x
= (D) x
y =
(E) y = x + 1 (F) y = – x (G) 1
y x
= − (H) y = x2
1.1. Associa cada representação gráfica a uma das expressões algébricas.
1.2. Identifica cada uma das funções representadas pelas expressões algébricas.
1.3. Como se designam os gráficos das funções representadas.
2. O gráfico de uma função contém o ponto A (2, 6).
Escreve a expressão algébrica da função, sabendo que se trata de uma função de:
2.1. proporcionalidade direta; 2.2. proporcionalidade inversa.
3. De acordo com o Decreto n.º 150 de junho de 1911, «o comprimento da Bandeira Nacional
é de vez e meia a sua altura».
3.1. Constrói, num referencial, o gráfico que traduz a relação entre a altura da Bandeira
Nacional e o seu comprimento, para valores da altura compreendidos entre 10 e 60 cm
(inclusive).
3.2. Qual das quatro equações que se seguem permite calcular o perímetro (P) de uma
Bandeira Nacional, dada a sua altura a?
(A)
5
2
x
P = (B) 5
P x
= (C)
5
2
P
x
= (D)
5
x
P =
3.3. Se uma Bandeira Nacional tem 2,10 metros de comprimento, qual é a sua altura?
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4. Para pavimentar um passeio de uma rua em calçada à portuguesa, cinco trabalhadores
demoram 12 dias.
Admitindo que se mantém a proporção, quantos trabalhadores seriam necessários para
pavimentar a mesma rua em 10 dias?
5. Na noite de S. João, o Pedro lançou um balão.
A altitude, em metros, a que o balão se encontrava em cada instante, em horas, é dada pela
expressão algébrica A(t) = –100 (t –1)2
+ 100, sendo A a altitude a que o balão se encontra
em metros, num determinado instante t, em horas.
Nota: t = 0 significa 00:00.
5.1. A que horas o Pedro lançou o balão?
5.2. A que altitude se encontrava o balão às 01:45?
5.3. A que horas o balão se encontrava a 75 metros do solo?
5.4. Durante quanto tempo o balão se manteve no ar?
6. 18 bananas custam tanto como 12 peras.
6.1. Quantas bananas custam tanto como 8 peras?
6.2. Escreve uma expressão algébrica na forma B = K × P, em que B representa o número
de bananas e P representa o número de peras.
O que representa k no contexto da situação descrita?
7. Os automobilistas necessitam de conhecer qual é a
distância mínima que devem guardar entre dois carros
em movimento.
Estas distâncias dependem das condições atmos-
féricas (ver gráfico ao lado).
7.1. Qual é a distância mínima que deve guardar-se entre
dois carros em movimento quando circulavam:
a) com mau tempo a 40 km/h?
b) com bom tempo a 30 km/h?
7.2. Um condutor desloca-se a 60 km/h com bom tempo no limite da distância de segurança.
De repente começa a chover.
Qual a distância que deverá aumentar relativamente ao carro que vai à sua frente?
com chuva
sem chuva
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8. Na fotografia abaixo (figura 1), podes ver o teleférico do Parque das Nações.
Na figura 2, está representado um esquema do circuito (visto de cima) efetuado por uma
cabina do teleférico.
Figura 1 Figura 2
8.1. Uma cabina parte do ponto A, passa por B e regressa ao ponto A sem efetuar
paragens durante este percurso.
Sejam:
• t o tempo que decorre desde o instante em que a cabina parte do ponto A;
• d a distância dessa cabina ao ponto A.
Qual dos gráficos seguintes poderá representar a relação entre t e d?
Gráfico A Gráfico B Gráfico C Gráfico D
8.2. No teleférico do Parque das Nações, o número de cabinas em utilização não é
sempre o mesmo, mas duas cabinas consecutivas estão sempre igualmente
espaçadas.
O ajuste da distância entre as cabinas é feito automaticamente, de acordo com a
fórmula n × c = 3, em que:
• c representa a distância, em quilómetros, entre duas cabinas consecutivas;
• n é o número total de cabinas em utilização.
Quando o teleférico está em funcionamento, a sua velocidade média pode variar entre
11 e 17 quilómetros por hora.
Qual é o maior número possível de voltas completas que uma cabina pode dar durante
uma hora?
Justifica a tua resposta, começando por referir o significado da constante 3 na fórmula
n × c = 3.
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9. No referencial cartesiano da figura seguinte está representada a reta que contém os pontos
A e B de coordenadas (0, 1) e (4, – 1), respetivamente.
9.1. Mostra que a equação da reta AB é
1
1
2
y x
=
− + .
9.2. Determina o comprimento do segmento de reta [AC], sendo C o ponto de interseção da
reta AB como eixo Ox e A o ponto de interceção da reta AB com o eixo Oy.
9.3. Sabendo que D pertence à reta AB e que a ordenada de D é 2, determina a abcissa do
ponto D.
9.4. Determina a ordenada do ponto da reta AB que tem abcissa 3.
10. Considera a função f definida por:
f(x) = 3x , – 3 ≤ x ≤ 3
10.1. Calcula f(– 1) – 2f(0).
10.2. Mostra que f(a + b) = f(a) + f(b).
10.3. Mostra que f(ax) = a f(x).
10.4. Observa o gráfico seguinte onde está representada a função, g, de proporcionalidade
inversa.
Resolve a equação f(x) = g(x) e interpreta geometricamente as soluções que
determinaste.
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EQUAÇÕES
3
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30

Professor / /20
Ficha de treino 3
1. Considera o polinómio na variável x : 2 1
3
2
A x x
= − +
Determina o valor de A para:
1.1. 1
x = − 1.2.
1
2
x = − 1.3. x = – 0,2
2.1.
1
0
2
x
− = 2.2.
1 1
2 3
x
− = 2.3.
1
1
2
t
− =
2.4. 2( 1) 0
x − = 2.5.
1 1
2 2
x − =
− 2.6.
1 1
2 2
x
− + =
2.7.
1
3
2
x −
− = 2.8.
1
1 0
2
x −
− = 2.9.
1
1 2 0
2
x
 
− + =
 
 
2.10.
3
1
3
x
x
−
= − 2.11. ( )
1
2 1
2
x
x x
−
− =
− + 2.12.
( )
2 1
1
1
2 3
x
x −
−
= −
3. Resolve em ordem a y cada uma das seguintes equações.
3.1. 2 3
x y
+ = 3.2. ( )
1
2
x y x y
− = +
4. Um vaso de manjerico custa 3 euros e um vaso de gerbérias custa 2 euros.
O que representam as expressões?
4.1. 3x
4.2. 2y
4.3. 3 2
x y
+
5. Escreve o termo geral de cada uma das sequências numéricas, admitindo que a
regularidade se mantém.
5.1. 2, 4, 6, 8, … 5.2. 3, 6, 9, 12, 15, …
5.3. 3, 5, 7, 9, … 5.4. 5, 8, 11, 15, 17, …
5.5.
1 1 1 1
, , , ,...
2 4 8 10
5.6.
5 10 15 20
, , , ,...
7 14 21 28
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Ficha de treino 3
6. Observa cada uma das figuras e determina x.
As medidas são expressas em centímetros.
6.1. 6.2. 6.3.
6.4. 6.5. 6.6.
7. Observa cada uma das figuras e determina x.
As medidas são expressas em centímetros.
7.1. 7.2. 7.3.
7.4. 7.5. 7.6.
8. Na figura, [ABCV] é uma pirâmide triangular.
A base da pirâmide é o triângulo [ABC], retângulo em C.
Sabe-se que AC BC
= = 4 cm e VC = 3 cm.
8.1. Determina o volume da pirâmide.
8.2. Determina VA , VB e AB.
8.3. Classifica, quanto ao comprimento dos lados, o triângulo [ABV].
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Professor / /20
1. Observa o seguinte retângulo:
1.1. Escreve, de uma forma simplificada e sem usar parênteses, a área do retângulo.
1.2. Calcula o valor numérico do perímetro do retângulo para x = 2 .
2. Qual das seguintes expressões é igual a 2(x – 3)2
+ (x – 1) (x + 1) ?
(A) – 12x + 19
(B) 3x2
– 12x + 17
(C) 2x2
– 5
(D) – 17
3. Fatoriza as seguintes expressões:
3.1. 2x – x2
3.2. 36 – 4x2
3.3. x2
+ 2x + 1
3.4. (x – 1)2
– 2 (x – 1)(x + 1)
4. A diagonal de um quadrado mede 2 .
Qual é a medida do perímetro do quadrado?
(A) 4 2
(B) 4
(C) 1
(D)
2
2
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Nome do Aluno Turma N.º Data / /20
Professor
1. Qual das seguintes equações tem duas soluções?
(A) ( )( )
3 1 0
x x x
+ − =
(B) ( )( )
2
1
4 16 0
2
x x
− + − =
(C) ( )
2
3 0
x − =
(D) ( )( )
1
1 3 0
2
x x x
− − =
2. Escreve uma equação que tenha como soluções:
2.1. – 3 e 0
2.2. 2
− e π
3.1. 3x2
– 9 = 0
3.2. (2 – 3x)2
= 4
3.3. – 3x2
+ 4x = 0
3.4. (x – 2)2
– x2
+ 4 = 0
3.5. x2
+ 4 = 0
4. Na figura seguinte está desenhado um retângulo com 3 cm2
de área.
As medidas estão expressas em centímetros sendo x um número positivo inferior a 1.
Determina as dimensões do retângulo.
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Professor / /20
1. Qual das equações seguintes é uma equação completa do 2.º grau?
(A) 2
1
x = (B) ( )
2
3 6 0
x x
− − =
(C) ( )( )
2
3 3
x x x x
= − + + (D) ( )
2
1 1
x + =
2. Escreve na forma ( )
2
a x d e
− + , com a, d e e números reais e 0
a ≠ , os seguintes
polinómios do 2.º grau.
2.1. 2
5 4
x x
+ +
2.2. 2
2
x x
− − +
2.3. ( )
2
2 2 3
x x
− +
2.4. ( )( )
( )
2
1
1 1
2
x
x x
+
− + −
3. Resolve, em ℝ , as seguintes equações utilizando o método de completar o quadrado, o caso
notável, a diferença de quadrados e a lei do anulamento do produto.
3.1. 2
2 1 0
x x
− + =
3.2. 2
4 4 3
x x
− =
3.3. 2 1 1
2
2 4
x x
− = −
3.4. 2
2 2
x x
+ =
−
3.5. 2
1
3 4
2
x x
− =
−
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Professor / /20
1. Sabe-se que o binómio discriminante de uma equação do segundo grau é igual a – 4.
Podemos concluir que a equação:
(A) tem uma solução;
(B) não tem qualquer solução;
(C) tem como soluções – 2 e 2;
(D) tem como soluções – 4 e 0.
2. Considera a equação 2
1 0
x kx
− + − = .
2.1. Determina k de modo que a equação tenha uma única solução.
2.2. Resolve a equação para k = 2.
3. O binómio discriminante da equação 2
2 3 0
x x
− + − = é:
(A) –23
(B) 25
(C) 4
(E) 20
4. Resolve, em ℝ , as seguintes equações aplicando a fórmula resolvente.
4.1. 2
2 5 4 0
x x
− + + =
4.2. 2
1 1
9 0
3 2
x x
− − − =
4.3. 2 2
2( 2) 3 2
x x x
− + = +
4.4.
2
( 1)
( 1)( 1) 0
2
x
x x
+
− + − =
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Professor / /20
1. Relativamente às raízes de uma equação do 2.º grau, sabe-se que a soma é 2 e o produto
é – 3.
Identifica a equação.
(A) x2
+ 2x – 3 = 0
(B) x2
– 2x + 3 = 0
(C) 2x2
– 4x – 6 = 0
(D) x2
– 1 = 0
2. Num jardim retangular, uma parte é relvada e a outra, com a forma de um quadrado, é
destinada a flores. As dimensões dos quadriláteros estão expressas em função de x, para
2
7
x > .
A área da parte relvada é 136 m2
.
2.1. De acordo com os dados, determina x.
Apresenta o resultado arredondado à centésima do metro.
2.2. Qual é o perímetro do jardim?
3. A soma das idades do João e do Tiago é 20 anos.
No ano passado, o quadrado da idade do Tiago era igual à quarta parte do quadrado da idade
do João.
Que idades têm os dois irmãos?
4. Observa o triângulo na figura seguinte. As medidas dos lados do triângulo estão expressas
em função de x, para 10
x > .
Determina o valor de x de modo que o triângulo seja retângulo.
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Professor / /20
1. Simplifica as seguintes expressões:
1.1. ( ) 1
3
2
x x
 
 
 
− + 1.2. 2 (2 – x) (x –3)
1.3. ( )( )
1
1 1
2
x x
− + 1.4.
2
1
1
2
x
 
 
 
− −
1.5. ( )
2
1 1
2 3
2 2
x x x
  
  
  
− − + + + 1.6. ( )
2
2
1
2 1
2
x x
 
 
 
− + +
2. Fatoriza as seguintes expressões:
2.1. x 2
– 3x 2.2. x 2
– 9
2.3. 2
1
3
4
x − 2.4. x 2
– 2x + 1
2.5. (x – 3)2
– 16 2.6. 25 – (x + 1)2
2.7. (x 2
– 1) – (x – 1) (x + 3) 2.8. 2(x + 3)2
– (x + 3) (x + 2)
3. Resolve as seguintes equações:
3.1. 2
1
0
3
x
− = 3.2. 2 1
2
x x
= 3.3. 25 x2
= 9
3.4. 2
3
1
0
2
x −
− = 3.5. 2
7 12 0
x x
− + = 3.6. p2
– 4p + 3 = 0
3.7. 2
7 1
5
a
a
+
= − 3.8. 2
3 1
2 2
x x
= − 3.9. 0,03x2
– 0,04x – 0,01 = 0
4. Adicionando a um número o seu quadrado obtemos 72.
De que número se trata?
5. O quadrado da diferença entre um número e 1 é igual a 9.
De que número se trata?
6. Na figura ao lado estão representados dois retângulos.
6.1. O que representam as expressões:
a) 7 + 2x ? b) 2 + 2x ?
c) (7 + 2x) (2 + 2x)? d) (7 + 2x) (2 + 2x) – 14 ?
6.2. Determina x sabendo que a parte colorida a cor de laranja tem de área 52 m2
.
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7. A distância da casa do Alexandre à biblioteca excede em 105 metros a distância da
biblioteca à escola. Se o Alexandre seguir o caminho que liga a casa à escola
anda 195 metros. Na ida para a escola o Alexandre seguiu diretamente para a escola. Na
vinda para casa seguiu o caminho escola – biblioteca – casa.
Quantos metros percorreu a mais na volta do que na ida?
8. Uma caixa sem tampa foi construída partindo de uma cartolina quadrada, cortando em
cada canto um quadrado de 5 cm de lado.
O volume da caixa é de 1125 cm3
.
Qual era o comprimento do lado da cartolina?
9. A Adriana vende bonecas de trapos. Vende um certo número de bonecas
por 1000 euros.
Se vendesse cada boneca mais cara 5 euros, teria ganho mais 200 euros.
Quantas bonecas vendeu?
10. A Alice comprou um certo número de bolas de Natal por 60 euros.
Se cada bola custasse menos 1 euro teria comprado mais 5 bolas.
Quantas bolas de Natal comprou a Alice?
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39

Professor / /20
1. Considera a equação x2
– 4x + 3 = 0.
Qual das seguintes equações é equivalente à equação dada?
(A) 2(x – 1) (x – 3) = 0
(B) x(x – 4) – 3 = 0
(C) (x + 1) (x + 3) = 0
(D) (x – 2)2
= 3
2.1. ( )
1
3 2 3 0
2
x x
 
 
 
− + =
2.2.
2
2
3 0
7
a
 
 
 
− =
2.3. 2
1
3
4
t t
= −
2.4. 2
63 7x
=
2.5. 2
6 5
x x
− =
2.6. ( )
2 1
2 1
2
x − =
3. A figura seguinte é formada por três quadrados.
3.1. Mostra que a área da figura é dada pela expressão:
A = 3x2
+ 6x + 5
3.2. Determina o perímetro da figura sabendo que a área é igual a 365 cm2
.
Apresenta os cálculos que efetuares.
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40

4. Considera a equação:
(x – 3)2
– (x – 3) (x + 2) = 0
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
(A) É uma equação do segundo grau completa.
(B) – 1 é uma solução da equação.
(C) É uma equação do 1.º grau.
(D) É uma equação impossível.
5. Para cada valor de k a equação ( )
2
1 0
2
k
x k x
− − − =é uma equação do 2.º grau.
5.1. Resolve, em ℝ , a equação para k = 1.
5.2. Para que valor de k a equação tem duas soluções distintas, sendo uma delas a solução
nula?
5.3. Mostra que não existe nenhum valor de k de modo que a equação tenha uma única
solução.
6. Se ao lado de um quadrado retirarmos 5 cm a sua área diminui 75%.
Qual é a área do quadrado inicial?
7. Na quinta da Joana há um terreno retangular onde fica presa uma ovelha para não comer as
culturas envolventes.
O retângulo tem 120 m2
de área e de perímetro 44.
Qual é a largura do retângulo?
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41

GEOMETRIA
EUCLIDIANA.
PARALELISMO E
PERPENDICULARIDADE
4
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42

Professor / /20
Ficha de treino 4
1. Observa a figura seguinte:
As retas r e t são paralelas e ˆ ˆ ˆ 50
BAD EDI GFJ
= = = °.
1.1. Utilizando as letras da figura, indica:
a) dois pares de retas concorrentes;
b) duas retas paralelas distintas de r e s;
c) duas semirretas com retas-suporte distintas;
d) duas semirretas com a mesma reta-suporte;
e) duas semirretas com retas-suporte distintas e com sentidos opostos;
f) dois segmentos de reta com o mesmo comprimento;
g) dois segmentos de reta cujo extremo é o ponto F.
1.2. Determina o valor de:
a) ˆ
HID
b) ˆ
CBJ
c) ˆ
EFB
1.3. Justifica que as retas r, s e t são paralelas entre si.
1.4. Justifica que os triângulos [DEI] e [FGJ] são iguais.
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43

Ficha de treino 4
2. Na figura seguinte estão representados, num mesmo plano, uma reta r e um ponto P
exterior à reta r.
2.1. Utilizando régua e esquadro determina um ponto Q, pé da perpendicular à reta r
traçada de P para r.
2.2. Quantas retas existem que passam por P e são paralelas à reta r ?
3. Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas.
Os pontos A, B, C e D pertencem à reta s e o ponto E pertence à reta r.
3.1. Qual dos segmentos de reta da figura tem o mesmo comprimento que a distância
entre as retas r e s ?
3.2. Escreve por ordem decrescente os segmentos de reta de acordo com a medida do
seu comprimento.
3.3. Admite que 4
ED = e 8
BD = .
Determina o valor de BE .
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44

Professor / /20
1. Enuncia o teorema recíproco do Teorema de Pitágoras e identifica a sua hipótese e tese.
2. Em cada uma das implicações enuncia a condição suficiente e a condição necessária e diz se
a implicação recíproca é verdadeira.
2.1. Se um quadrilátero é um paralelogramo, então é um trapézio.
2.2. Se um quadrilátero é um quadrado, então é um retângulo.
2.3. 2
4 2
x x
= ⇒ =
−
2.4. Se um triângulo tem os dois lados iguais, então tem dois ângulos internos iguais.
2.5. 3
8 2
x x
=
− ⇒ =
−
2.6. 2
2 0 0
x x
= ⇒ =
3. Considera o seguinte teorema:
“Dois ângulos correspondentes determinados por uma secante em
duas retas paralelas são iguais.”
Identifica a hipótese e a tese do teorema.
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45

Professor / /20
1. Na figura está representado o sólido composto por um paralelepípedo retângulo e por um
prisma triangular reto.
Uma das faces laterais do prisma triangular coincide com uma das bases do prisma
quadrangular.
a) uma reta paralela ao plano ABC;
b) um plano paralelo ao plano AIJ;
c) um plano perpendicular ao plano BCG;
d) a interseção dos planos ABF, BCG e HEF;
e) três retas paralelas não simultaneamente complanares.
1.2. Justifica que:
a) a reta IB é secante ao plano EFG;
b) o plano JIB é concorrente com o plano EFG;
c) a reta EH é paralela à reta BC;
d) um plano paralelo ao plano BCG é paralelo ao plano DAI.
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Professor / /20
1. Na figura seguinte estão representados dois cubos com duas faces adjacentes.
O ponto O é o ponto médio da aresta [BC].
a) dois planos perpendiculares;
b) duas retas perpendiculares no ponto B;
c) dois semiplanos perpendiculares;
d) o plano mediador do segmento de reta [BF].
1.2. Justifica que:
a) a reta EF é perpendicular ao plano IJK;
b) a reta MN é perpendicular ao plano ADH.
1.3. Sabendo que o volume do cubo [ABCDEFGH] é 64 cm3
, determina:
a) o comprimento da aresta do cubo [ABCDEFGH];
b) a distância entre os planos EFG e MNK;
c) a distância entre a reta EB e o ponto A;
d) a distância entre a reta AB e o plano MNK.
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Professor / /20
1. Considera a seguinte implicação:
Para quaisquer ,
x y +
∈ℝ ,
1 1
x y
x y
< ⇒ > .
Indica a condição necessária e a condição suficiente.
2. Considera o seguinte teorema:
“Um número múltiplo de 2 e 5 é múltiplo de 10.”
Enuncia a hipótese e a tese do teorema.
3. Na figura seguinte, [ABCD] é um paralelogramo.
Os lados [AB] e [CD] estão contidos no plano α e β , respetivamente.
3.1. Qual é a posição do plano α relativamente à reta CD ?
3.2. Podemos afirmar que os planos α e β são paralelos?
Justifica a tua resposta.
3.3. Admite que as semirretas CP
ɺ e AQ
ɺ são paralelas, onde P e Q são os planos β e α ,
respetivamente.
Podemos afirmar que os planos α e β são paralelos?
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48

4. Na figura seguinte está representado um prisma triangular cujas bases são triângulos
retângulos isósceles.
Considera os semiplanos determinados pela reta AE e pelos pontos B e C.
Qual é o ângulo formado entre esses semiplanos?
5. Na figura seguinte está representado um cone de vértice V.
O ponto O representa o centro da base do cone que está contido no plano β e [OAVB] é
um retângulo.
5.1. Qual é a projeção ortogonal do ponto V no plano β ?
5.2. Admite que o raio da base do cone é 6
OA = cm e 10
OV = cm.
Qual é a altura do cone?
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Professor / /20
1. Para cada uma das implicações seguintes indica a condição necessária e suficiente e diz
se a implicação recíproca é verdadeira ou falsa.
1.1. A soma de dois números naturais pares é um número par.
1.2. Se x = 4 então 2
16
x = .
1.3. Um divisor de 4 é divisor de 16.
1.4. 0 0 0
x y x y
× = ⇒ = ∨ =
2. Na figura seguinte está representado um sólido que pode ser decomposto no prisma
quadrangular [ABEFGHIJ] reto e no prisma triangular [BCHEDI].
2.1. Usando as letras da figura, indica:
a) dois planos perpendiculares;
b) dois planos paralelos;
c) três retas paralelas não complanares.
2.2. Justifica que:
a) a reta GJ é paralela ao plano HCD;
b) a reta HC é secante ao plano GAF;
c) o plano mediador do segmento [AB] é o plano HCD são secantes.
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50

3. Na figura ao lado estão representados um prisma e uma pirâmide quadrangular regular.
3.1. Indica pares de retas:
a) complanares;
b) não complanares;
c) paralelas;
d) concorrentes;
e) perpendiculares;
f) oblíquas.
3.2. Tendo por base a figura indica uma reta e um plano de tal modo que:
a) a reta seja paralelas ao plano;
b) a reta pertença ao plano;
c) a reta seja perpendicular ao plano;
d) a reta seja concorrente com o plano.
3.3. Indica um par de planos que sejam:
a) paralelos;
b) coincidentes;
c) concorrentes;
d) perpendiculares;
e) oblíquos.
4. O Sr. Francisco quer colocar um corrimão numa rampa.
Como é que deve proceder para garantir que o corrimão é paralelo à rampa?
Justifica a tua resposta com palavras ou desenhos.
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ÁREA E VOLUME
DE SÓLIDOS
5
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52

Professor / /20
Ficha de treino 5
1.1. O sólido, tal como está representado na figura em baixo, diz-se desenhado em
perspetiva.
Supondo que o observamos na direção da seta obtemos uma vista desse sólido.
Desenha o modelo que representa essa vista no quadriculado que se segue.
A esta vista do sólido chamamos vista de frente.
1.2. Tendo por base o mesmo sólido da figura anterior, este pode ser viso de uma outra
direção.
A esta vista do sólido chamamos vista de frente.
No quadriculado seguinte desenha o modelo que representa esta vista.
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53

Ficha de treino 5
2. Desenha as vistas de cada um dos seguintes sólidos.
3. Constrói, com dez cubinhos, um modelo de sólido cujas vistas de frente e de lado sejam as
mesmas.
4. Supõe um modelo de sólido (constituído por cubinhos) com as seguintes vistas de frente e
de lado:
4.1. Haverá mais do que uma solução para este problema?
4.2. Tenta descobrir dois sólidos que utilizem, respetivamente, o maior e o menor número de
cubos.
4.3. Indica o volume e a área total e cada um deles, tomando para unidades os elementos de
um cubinho.
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54

Professor / /20
1. Calcula o volume da pirâmide, sabendo que [ABC] é um triângulo retângulo isósceles,
AD AB
= e 4
AC = cm.
2. Considera a pirâmide quadrangular regular [ABCDV] representada na figura seguinte.
Sabe-se que [VO] é a altura da pirâmide e 5
AB = cm e 6
VO = cm.
2.1. Determina o volume da pirâmide.
2.2 Determina o comprimento do apótema da pirâmide.
2.3. Determina:
a) a área lateral da superfície da pirâmide;
b) a área total da pirâmide.
2.4. Qual é o volume de um prisma quadrangular regular cuja base coincide com a base
[ABCD] e tem altura [VO]?
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Professor / /20
1. Na figura seguinte está representado um cone reto.
Sabe-se que o raio da base mede 4 cm e a geratriz tem 10 cm de comprimento.
1.1. Determina a área total do cone.
1.2. Determina o volume do cone.
Apresenta o resultado com uma casa decimal.
1.3. Considera um cone com a mesma base do anterior e cuja altura é metade da altura do
cone dado.
Qual é o seu volume?
2. Na figura seguinte está representada a planificação de um cone.
Determina:
2.1. a área da base do cone;
2.2. a área total do cone;
2.3. a altura do cone;
2.4. o volume do cone.
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Professor / /20
1. Determina o volume dos seguintes sólidos geométricos.
1.1. Semiesfera 1.2. Cone e semiesfera 1.3. Cilindro em que se
removeu um cone
2. Indica duas pirâmides retangulares com dimensões cujo volume é 384 cm3
.
3. Indica dois cilindros com dimensões diferentes cujo volume é 6912π cm3
.
4. O sólido da figura é composto por um cilindro e por duas semiesferas com o mesmo raio.
Determina:
4.1. a área, em centímetros quadrados, da superfície do sólido.
4.2. o volume, em centímetros cúbicos, do sólido.
5. Na figura ao lado está representado uma esfera no interior de um cubo
cujas faces são tangentes às faces da esfera.
Sabendo que a área de superfície do cubo é 150 cm2
, determina a
área da superfície esférica.
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57

Professor / /20
1. Considera um cubo cuja aresta mede a unidades.
1.1. Para que valor de a é que a soma da medida do comprimento de todas as arestas é
igual à metade da medida da área total do cubo?
1.2. Para que valor de a é que a medida da área total do cubo é igual à medida do seu
volume?
Justifica as tuas respostas e apresenta todos os cálculos que efetuares.
2. Na figura seguinte está representado um cone em que o raio da base mede 5 m e a geratriz
13 m. Determina a altura do cone com aproximação ao decímetro.
3. Na figura seguinte está representado um paralelepípedo. As suas dimensões estão
indicadas na figura.
3.1. Se aumentarmos uma unidade a todas as arestas, quanto aumenta o volume do
paralelepípedo?
3.2. Se duplicarmos todas as arestas, quantas vezes aumenta o seu volume?
3.3. Quais as dimensões que deverá ter uma pirâmide quadrangular regular para ter o
mesmo volume que o paralelepípedo?
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4. As duas pirâmides da figura seguinte são regulares. As medidas estão em centímetros.
4.1. Qual das pirâmides tem maior volume? Justifica a tua resposta.
4.2. Em qual das pirâmides é maior a área da superfície total? Justifica a tua resposta.
5. Determina o volume de cada um dos seguintes sólidos.
5.1. Pirâmide trapezoidal 5.2. Cone reto 5.3. Pirâmide triangular
6. Determina a área total e o volume dos seguintes sólidos geométricos:
6.1. Pirâmide quadrangular 6.2. Semicone 6.3. Esfera
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59

Professor / /20
1. Na figura seguinte estão representados uma semiesfera de raio r e um cilindro cujo raio da
base é r e altura 2r.
Mostra que o volume da semiesfera é
1
3
do volume do cilindro.
2. A figura seguinte representa um modelo de uma rampa.
O triângulo [ABC], retângulo em B, é uma vista lateral da rampa.
Sabe-se que 85
AB = cm e 16
BC = cm.
2.1. Determina o valor de AC .
Apresenta o resultado com aproximação à centésima do centímetro.
2.2. Sabendo que 1,05
AD = m, determina o volume da rampa.
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3. Num reservatório de forma cúbica utilizaram-se 600 dm2
de chapa de ferro. Qual é a
capacidade do reservatório?
4. Na figura seguinte está representado o modelo geométrico de um monumento. Este é
constituído por dois prismas retos e por uma esfera.
Calcula o volume do sólido representado no modelo.
5. Na figura seguinte está representado o paralelepípedo retângulo [ABCDEFGH]. Sabe-se que
a área do quadrado [ADHE] é 81 cm2
e 12
AB = cm.
Calcula a razão entre o volume da pirâmide [DBCG] e o volume do paralelepípedo
[ABCDFGH].
6. Calcula o raio de uma esfera gerada por um semicírculo de perímetro igual a 5,1 m.
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61

TRIGONOMETRIA
NO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
6
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62

Professor / /20
Ficha de treino 6
1. Quais dos seguintes pares de triângulos são semelhantes? Justifica a tua resposta.
1.1. 1.2.
1.3. 1.4.
1.5. 1.6.
2. Observa a figura.
2.1. Mostra que os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes.
2.2. Aplicando o Teorema de Pitágoras, determina AC .
2.3. Determina AE .
3. Determina x aplicando o Teorema de Pitágoras.
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
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63

Ficha de treino 6
4. Admite que a unidade de comprimento é o centímetro.
Sabe-se que:
 AB = 7
 AE = 9
 BE = 5
 AF = 5,04
 ED = 3,6
 AB // CD
4.1. Determina o valor de EC .
4.2. Mostra que as retas AC e DF são paralelas.
4.3. Determina o valor de DF .
5. Na figura seguinte, [SAB] e [SCD] são dois triângulos retângulos.
Sabe-se que:
 AB = 4 cm
 CD = 7 cm
 BD = 12 cm
 SB = x cm
5.1. Determina o valor de x.
5.2. A figura seguinte representa um tronco de cone, modelo geométrico de um balde.
O cone foi gerado pela rotação do triângulo [SCD] em torno de [SD].
Calcula o volume do tronco de cone.
Apresenta a resposta com aproximação à decima do centímetro cúbico.
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Professor / /20
1. Na figura pode observar-se o triângulo retângulo [ABC].
1.1. relativamente ao ângulo agudo CBA, identifica:
a) o cateto oposto; b) o cateto adjacente; c) hipotenusa.
1.2. Determina:
a) sinα b) cosα c) tanα
2. Observa os triângulos retângulos de cada uma das figuras e determina x e y.
Apresenta estes valores arredondados à décima do centímetro.
2.1. 2.2.
3. Qual dos seguintes valores não pode representar o cosseno de um ângulo agudo?
(A)
2
3
(B)
5
3
(C)
1
2
−
−
(D)
5
4
4. Os triângulos retângulos [ABC] e [DEF] são semelhantes.
Escreve o valor de sin(DF
̂ E).
M9FNGP-5
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65

Professor / /20
1. Sabe-se que sin 60º =
3
2
e que tan 30º =
3
3
.
Sem usar a calculadora, completa:
1.1. cos 30º = …
1.2. sin 30º = …
1.3. cos 60º = …
1.4. tan 60º = …
2. Relativamente a um ângulo agudo sabe-se que sin x = 0,2.
Determina o valor de
1
cos x
.
3. Sabe-se que sin α =
2
5
.
Calcula o valor exato de:
3.1. cos α 3.2.
1
tan α
4. Mostra que ( )
2 2
1 cos sin 2 2cos
x x x
− + =
− .
5. Determina o valor exato de sin θ e de cos θ, sabendo que x = 1 + 2 sin θ e x = 3 – cos θ,
sendo θ um ângulo agudo.
6. Para um dado ângulo agudo α , sabe-se que sin α =
3
3
.
6.1. Determina o valor de α.
Apresenta o resultado em graus e minutos arredondado à unidade.
6.2. Calcula o valor de tan α – cos α.
Apresenta o resultado com duas casas decimais.
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66

Professor / /20
1. Determina as medidas dos elementos que faltam nos seguintes triângulos.
Caso seja necessário, apresenta o resultado com uma casa decimal.
1.1. 1.2.
2. Na figura seguinte pode observar-se um triângulo inscrito numa semicircunferência de centro
em O.
De acordo com os dados da figura calcula a área de um círculo de diâmetro [AB].
3. Recorrendo a uma calculadora, calcula, apresentando o resultado com quatro
casas decimais.
3.1. sin 20º 3.2. cos 49,6º
3.3. tan (88º 15’)
4. Observa a figura ao lado.
Sabe-se que:
▪ PT = 72 cm ▪ TS PS
⊥
▪ RQ PQ
⊥ ▪ SP
̂ T = 15º
▪ RP
̂ S = 35º ▪ QP
̂ R = 20º
Determina RQ .
Nos cálculos intermédios utiliza quatro casas decimais.
Apresenta a resposta com aproximação à décima do centímetro.
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67

Professor / /20
De acordo com os dados da figura, determina a
distância do avião ao solo.
Apresenta o resultado arredondado às unidades do
metro.
2. O cabo está preso no topo de uma torre.
A torre tem 16 m de altura e o cabo tem 22 m de
comprimento.
Determina a amplitude que o ângulo faz com a linha do
solo.
Apresenta o resultado arredondado à décima do grau.
3. Na figura abaixo está representada uma circunferência na qual está inscrito o quadrado [ABCD].
Sabe-se que 2
AC = .
3.1. Qual é a amplitude do arco BC?
3.2. Determina a área da região sombreada.
De acordo com os dados, determina a altura da árvore.
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68

Professor / /20
1. Em qual das seguintes opções sin α =
2
3
?
(A) (B) (C) (D)
2. Na figura pode observar-se o triângulo retângulo [ABC].
Sabe-se que sin(AĈB) =
3
2
.
2.1. Determina a amplitude do ângulo CBA.
2.2. Calcula a área do triângulo [ABC].
3. Observa a seguinte figura.
Determina a altura da árvore.
4. Observa a seguinte imagem da calculadora do Tiago.
Calcula o valor exato e o valor aproximado (4 c.d.) de tan 75º.
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5. Um avião levanta voo com um ângulo de elevação de 30º.
A que altitude se encontra o avião após percorrer 800 m?
(A) 200 m
(B) 300 m
(C) 400 m
(D) 500 m
6. Na figura seguinte pode observar-se um terreno com a forma de um paralelogramo.
Calcula a área do terreno.
Apresenta o resultado, em metros quadrados, com zero casas decimais.
7. Um barco navega na direção AB, próximo de um farol (C).
No momento em que se encontra no ponto B, a que distância o barco se encontra do farol?
8. Calcula a área de um pentágono regular com 10 cm de lado.
Apresenta o resultado arredondado à decima do centímetro quadrado.
9. Sabe-se que sin α = 0,6.
Calcula tan α .
10. Simplifica a expressão (sin α – cos α)2
.
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70

Professor / /20
1. Completa a seguinte tabela utilizando uma calculadora ou uma tabela trigonométrica.
Ângulo x sin x cos x tan x
27º
0,7112 57,29
0,5471
Apresenta os valores das razões trigonométricas com quatro casas decimais e as amplitudes
dos ângulos em graus e minutos (0 c.d.).
2. Na figura ao lado está representado o triângulo [RIO], retângulo em I.
Calcula:
2.1. sin (RÔI) 2.2. cos (RÔI) 2.3. tan (RÔI)
2.4. sin (IR
̂ O) 2.5. cos (IR
̂ O) 2.6. tan (IR
̂ O)
3. Para cada uma das situações seguintes, calcula o valor de x.
Apresenta os resultados com uma casa decimal.
3.1. 3.2. 3.3.
4. A figura seguinte representa o paralelepípedo [ABCDEFGH].
De acordo com os dados da figura, determina o valor de:
4.1. AG
4.2. CÂG
Apresenta os resultados arredondados às unidades.
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71

5. Determina o perímetro dos seguintes triângulos.
5.1 5.2.
6. Observa a seguinte figura e determina AB .
7. Calcula a área de um polígono regular cujo lado mede 6 cm e tem:
7.1. seis lados;
7.2. oito lados.
Apresenta os resultados à décima do centímetro quadrado.
Determina a altura da árvore.
Apresenta o resultado arredondado à décima do metro.
9. Sabe-se que sin x =
3
5
.
Sem usar a calculadora, determina:
9.1. cos x
9.2. tan x
10. Prova que sin x (sin x + cos x) – cos x (sinx – cos x) = 1.
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72

LUGARES
GEOMÉTRICOS.
CIRCUNFERÊNCIA
7
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73

Professor / /20
Ficha de treino 7
1. Desenha a mediatriz do segmento de reta [AB] da figura.
2. Desenha um ângulo de 120º de amplitude e a bissetriz desse ângulo.
3. Observa as figuras e determina o valor de x.
3.1. 3.2. 3.3.
4. Observa as figuras e determina os valores de x e y.
4.1. 4.2. 4.3. 4.4.
Os triângulos [ABC] e
[BDC] são iguais.
5. O retângulo [ABCD] foi dividido em nove retângulos iguais.
Utiliza as letras da figura e completa.
5.1. ...
AI BG
+ =
 
5.2. ...
AF CD
+ =
 

5.3. ...
DC GI
+ =
 
5.4. ...
AH KO
+ =
 
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74

Ficha de treino 7
6. Desenha:
6.1. a figura B obtida da figura A pela reflexão de eixo e;
6.2. a figura B, transformada da figura A pela translação associada ao vetor = +
  
w u v .
7.1. Descreve a isometria que transforma:
a) a figura A na figura B;
b) a figura B na figura C;
c) a figura C na figura A.
7.2. Explica porque não é possível transformar a
figura C na figura D usando uma isometria ou
uma composição de isometrias.
8.1. Completa.
a) ...
GL FD
+ =

 

b) ...
JM FE
+ =
 

8.2. Descreve a isometria que transforma:
a) a figura 7 na figura 5;
b) a figura 3 na figura 8.
8.3. Descreve uma composta de duas isometrias que transforme a figura 1 na figura 7.
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Professor / /20
1. Qual dos seguintes lugares geométricos representa uma coroa circular?
2. Representa no quadriculado:
2.1. o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de D;
2.2. o lugar geométrico dos pontos mais próximos da semirreta ȦB do que da semirreta ȦD;
2.3. o lugar geométrico dos pontos a uma distância superior a três unidades de C.
3. Um cão de guarda está preso com uma trela de 2 m de comprimento. A outra extremidade da
trela está ligada a um tubo com 5 m de comprimento, ao longo do qual pode mover-se até às
extremidades.
Desenha a cor vermelha a parte do terreno em que o cão pode movimentar-se.
Usa uma escala de 1:100.
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Professor / /20
1. Ao ponto de interseção das bissetrizes de um triângulo chama-se:
Circuncentro Incentro
Baricentro Ortocentro
2. O ângulo EFG é um ângulo reto inscrito na circunferência da figura seguinte. Determina,
geometricamente, o centro da circunferência. Explica o processo que utilizares, justificando
cada um dos passos seguidos. Esse processo não deve envolver a medição de segmentos.
3. Assinala com a letra P o local onde deve ser construído um posto de abastecimento de
combustíveis que fique igualmente distanciado dos pontos A, B e C.
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Professor / /20
1. Na figura seguinte, A e B são pontos de uma circunferência de centro O. AC é uma reta tangente
à circunferência no ponto A.
Sabe-se que AÔB = 80º e AB = 5 cm.
1.1. Mostra que o triângulo [ABO] é isósceles.
1.2. Determina a amplitude do ângulo CAB.
1.3. Calcula DE .
2. Para cada uma das figuras determina o valor de x.
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
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78

Professor / /20
1. Observa as seguintes figuras:
Dos ângulos desenhados, indica os que são:
1.1. ângulos inscritos; 1.2. ângulos ao centro.
2. Determina as amplitudes dos ângulos identificados com uma letra.
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
2.5. 2.6.
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79

Professor / /20
1. Como se designa cada um dos ângulos relativamente à sua circunferência?
1.1. 1.2. 1.3.
1.4. 1.5. 1.6.
2. Determina a amplitude dos ângulos ou arcos identificados com uma letra.
2.1. 2.2. 2.3.
2.4. 2.5. 2.6.
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80

Professor / /20
1. A amplitude de um ângulo interno de um polígono regular é 144º.
Quantos lados tem o polígono?
6 8 10 12
2. Tendo em conta as medidas das amplitudes dos ângulos internos do polígono, determina x.
3. Na figura seguinte podes observar dois lados consecutivos de um polígono regular.
Qual é a soma dos ângulos internos deste polígono?
4. Observa o hexágono regular da figura.
Determina a amplitude:
4.1. do ângulo x;
4.2. de um ângulo interno;
4.3. de um ângulo externo.
M9FNGP-6
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81

Professor / /20
1. Na figura seguinte, A, B e C são pontos de uma circunferência de centro O.
As retas AD e BD são tangentes à circunferência.
1.1. Determina a amplitude do ângulo AOB.
1.2. Explica porque é que o quadrilátero [ADBO] pode ser inscrito numa circunferência.
2. Para cada figura, determina as amplitudes dos ângulos identificados com letras.
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
AB // CD
AD DC
=
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82

Professor / /20
1. Na figura está representado um campo retangular com 100 m de comprimento e 60 m de
largura, junto ao qual passa um rio.
Na figura seguinte podes observar um esquema do terreno.
O ponto A representa uma árvore existente no campo.
No desenho, o lado de cada quadrícula corresponde a 10 metros.
No campo vão ser plantadas duas árvores numa zona que obedece às seguintes
condições:
• a distância das árvores ao rio é de 60 m;
• as árvores distam da árvore já existente 30 m.
Assinala com as letras P e Q os locais onde vão ser plantadas as duas árvores.
2. Descreve os lugares geométricos correspondentes às partes sombreadas das figuras.
2.1. 2.2.
3. Qual das seguintes opções define uma esfera?
Lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a um ponto dado é maior ou igual
a r (r > 0)
Lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a um ponto dado é igual a r (r > 0)
Lugar geométrico do espaço cuja distância a um ponto dado é igual a r (r > 0)
Lugar geométrico do espaço cuja distância a um ponto dado é menor ou igual a r (r > 0)
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4. Em relação à figura seguinte, sabe-se que:
• o ponto O é o centro da circunferência;
• as cordas [AD] e [BC] são paralelas;
• AÔB = 80º e CD = 120º.
Determina:
4.1. AB 4.2. OB
̂ A
4.3. BC 4.4. DA
5. Na figura seguinte está representada uma circunferência, de centro em O, em que:
• o retângulo [ABCD] está inscrito na circunferência;
• o segmento de reta [DB] é um diâmetro;
• a reta t é tangente à circunferência no ponto A.
• CD = 100º.
5.1. Qual é a amplitude do arco AB?
5.2. Sabendo que DO = 5 cm e que BC = 6 cm, determina AB .
5.3. Determina a amplitude do ângulo EAB.
Mostra como obtiveste as tuas respostas.
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6. O polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual a 1440º tem:
Quatro lados
Seis lados
Oito lados
Dez lados
7.1. Determina a amplitude do ângulo AOC.
7.2. Mostra que o quadrilátero [ABCO] é inscritível numa circunferência.
8. Observa o seguinte pentágono:
Determina o valor de x.
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9. Na figura seguinte está representada a circunferência de centro O e diâmetro [QS].
A reta PR é tangente à circunferência no ponto Q.
A amplitude do ângulo QPO é 34º.
9.1. Qual é a amplitude do ângulo POQ?
9.2. Determina a amplitude do ângulo RQT.
10. Na figura seguinte podes observar dois ângulos excêntricos: um com o vértice no interior da
circunferência e outro com o vértice no exterior da circunferência.
Sabe-se que:
 AÊB = 20º
 AB = 60º
Determina a amplitude do ângulo AFB.
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Professor / /20
1. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O.
Com as letras da figura escreve:
1.1. três raios; 1.2. um diâmetro;
1.3. duas cordas.
2. A figura seguinte apresenta um octógono regular, [ABCDEFGH]
inscrito numa circunferência de centro O.
2.1. Determina a amplitude do ângulo:
a) COD b) ODC
c) BAH d) EOH
2.2 Qual é o nome do quadrilátero [FBCE]?
2.3. Calcula a área da parte colorida da figura sabendo que o
raio da circunferência é 30 cm e o lado do octógono mede, aproximadamente, 23 cm.
Apresenta o resultado arredondado à décima do centímetro quadrado.
3. Na figura as retas PA e PB são tangentes à circunferência de
centro O, nos pontos A e B, respetivamente.
Sabe-se que AP
̂ O = 18º.
Determina BÔA e OÂB.
4. Na figura, a reta OM é perpendicular à corda [AB] e passa pelo
ponto médio da corda.
Sabendo que MÔA = 55º, determina:
4.1. OÂM 4.2. MB
̂ O
4.3. BÔA
5. Na figura ao lado podes observar um icoságono regular
(figura geométrica com 20 lados e 20 ângulos iguais).
Relativamente ao icoságono, calcula:
5.1. a soma das amplitudes dos ângulos internos;
5.2. a soma dos ângulos externos;
5.3. a amplitude de cada ângulo interno;
5.4. a amplitude de cada ângulo externo.
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6. Observa cada uma das figuras e determina o valor de x.
6.1. 6.2. 6.3.
6.4. 6.5. 6.6.
6.7. 6.8. 6.9.
7. Qual é o lugar geométrico dos pontos que distam:
7.1. no plano, igualmente de dois pontos dados?
7.2. no espaço, igualmente de dois pontos dados?
7.3. no plano, 2 cm de um ponto dado?
7.4. no espaço, 2 cm de um ponto dado?
7.5. no plano, igualmente de duas semirretas com a mesma origem?
8. No referencial ao lado:
8.1. desenha a mediatriz de [AB];
8.2. a coroa circular cujas circunferências têm raios AB e AC ;
8.3. a bissetriz do ângulo BAC;
8.4. o círculo cuja circunferência contém A, B e C.
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Professor / /20
Ficha de treino 8
1. Completa.
2. Na figura seguinte pode observar-se quatro bolas vermelhas, três bolas verdes, duas bolas
cor-de-rosa e uma bola azul.
Escreve sob a forma de fração, sob a forma decimal e sob a forma de percentagem a razão
entre:
2.1. o número de bolas verdes e o número de bolas vermelhas _____; _____; _____
2.2. o número de bolas vermelhas e o número total de bolas _____; _____; _____
3. Completa.
3.1.
...
15
7
5
= 3.2.
10
20
18 ...
=
3.3.
28
420
150 ...
= 3.4.
255
17
12 ...
=
3.5.
15
30
5
2 ...
...
=
= 3.6.
...
...
40
7
1
5
=
=
Fração Decimal Percentagem
4
1
0,3
5%
5
3
0,35
80%
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Ficha de treino 8
4. O diagrama de Carroll apresentado refere-se à informação recolhida relativamente aos
alunos do 9.º ano da escola do João.
Número de
rapazes
Número de
raparigas
Prefere a disciplina de Matemática 38 46
Prefere outra disciplina 62 54
4.1. Quantos rapazes preferem a disciplina de Matemática?
4.2. Quantos alunos preferem a disciplina de Matemática?
4.3. Encontrou-se, por acaso, um aluno do 9.º ano da escola do João.
Qual é mais provável?
a) Ser rapaz ou rapariga?
b) Ser rapaz e não preferir a disciplina de Matemática ou rapariga e preferir a disciplina
de Matemática?
5. No diagrama de Venn seguinte pode observar-se os nomes dos 16 alunos da turma 9.º E
da escola da Luz.
5.1. Quantos alunos têm quatro letras no nome?
5.2. Quantos alunos têm menos de quatro letras no nome?
5.3. De acordo com os dados do diagrama de Venn, completa o seguinte diagrama de
Carroll.
Número de alunos cujo
nome tem mais de 4 letras
Número de alunos cujo
nome tem 4 ou menos letras
Rapariga
Rapaz
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Professor / /20
1. Um grupo de alunos de uma turma do 7.º ano
questionou quantos minutos os seus colegas de
escola jogavam playstation antes de dormir.
Apresentou o conjunto de dados segundo o diagrama
de caule e folhas.
Caule Folhas
2 0 1 1 2 5 5 7
3 3 7 7 8 8
4 0 2 5 6 8 8
5 0 0 4 4 4 5 9
6 0 0 0 0 5 5 5 8
7 2 3 3 4 2 | 0 representa 20 minutos
1.1. Classifica a variável em estudo.
1.2. Indica a amplitude do tempo que este grupo de alunos joga playstation antes de dormir.
1.3. Agrupa os dados em seis classes, considerando o valor mínimo para extremo inferior
da 1.ª classe e constrói a tabela de frequências.
2. Considera os seguintes dados:
1,25 1,20 0,98 1,29 1,00 1,15 0,99
1,13 1,19 1,11 1,01 1,05 1,12 0,95
1,24 1,29 1,09 1,16 1,04 0,98 0,98
0,99 1,08 1,03 1,22 1,20 1,22 1,21
1,09 1,14 1,25 0,96 1,24 1,13 1,26
2.1. Classifica a variável em estudo.
2.2. Considerando o valor mínimo para extremo inferior da 1.ª classe, agrupa os dados em
classes de amplitude 0,05 e constrói a tabela de frequências.
2.3. Representa o conjunto de dados através de um histograma.
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Professor / /20
1. Uma experiência aleatória consiste em lançar uma moeda duas vezes e registar a face que
fica voltada para cima: face nacional (N) ou face europeia (E).
O acontecimento contrário do acontecimento “Sair pelo menos uma face nacional (N)” é:
{(N, N)}
{(N, N); (N, E); (E, N)}
{(E, E)}
{(N, N); (E, E)}
2. Seja Ω o espaço de resultados de uma experiência
aleatória que consiste em lançar um dado, com as faces
numeradas de 1 a 6, e registar o número da face que ficou
voltada para cima.
2.1. Identifica o universo de resultados, Ω.
2.2. Considera os seguintes acontecimentos:
A: “Sair um número ímpar”
B: “Sair um número maior que 4”
Escreve os acontecimentos:
a) A
b) A B
∪
c) A B
∩
2.3. Escreve um acontecimento C de Ω de modo que:
a) A e C sejam acontecimentos disjuntos;
b) B e C sejam acontecimentos complementares;
c) A C
∪ seja um acontecimento certo.
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Professor / /20
1. Considera as seguintes rodas da sorte e as experiências aleatórias que consistem em rodar
os ponteiros de cada uma delas e anotar se saiu vermelho (V) ou branco (B).
I II III IV
1.1. Qual é a roda cuja probabilidade de sair cor vermelha é
1
3
?
(A) I (B) II (C) III (D) IV
1.2. Para duas das rodas, a probabilidade de sair cor vermelha é maior que 60% e menor que
70%.
Quais são essas rodas?
2. Um saco contém 20 berlindes: seis são verdes, nove são azuis e os restantes são amarelos.
Qual é a probabilidade de, retirando um berlinde ao acaso, este ser:
2.1. verde? Apresenta a resposta em percentagem.
2.2. amarelo? Apresenta a resposta sob a forma de fracção irredutível.
3. Num cesto há molas da roupa de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Sabe-se que a probabilidade de tirar uma mola vermelha é
1
6
e a de tirar uma mola azul é
1
3
.
Sabendo que o cesto tem 15 molas verdes, determina quantas molas tem de cada uma das
outras cores.
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Professor / /20
1. Sejam A e B dois acontecimentos, disjuntos, de uma determinada experiência aleatória.
Sabe-se também que ( ) 1
2
P A = e ( )
1
4
P B = .
De acordo com essas informações, calcula:
1.1. ( )
P A 1.2. ( )
P B 1.3. ( )
P A B
∩
1.4. ( )
P A B
∪ 1.5. ( )
P A B
∪
2. Numa cidade existem dois jornais: A e B. Interrogaram-se 8800 pessoas dessa cidade e
verificou-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal A, 4000 são assinantes do Jornal B
e 800 não lêm qualquer um destes jornais.
Qual é a probabilidade de que uma das pessoas inquiridas, escolhida ao acaso, seja
assinante de ambos os jornais?
Para responderes a esta questão constrói um diagrama de Venn.
3. Uma caixa contém bombons com três tipos de chocolate: chocolate branco, chocolate preto
e chocolate de leite.
A probabilidade de tirar, ao acaso, um bombom de chocolate preto é
1
3
e a de tirar um
bombom de chocolate branco é 0,25.
Na caixa há 15 bombons de chocolate de leite.
3.1. Mostra que na caixa há 36 bombons.
Apresenta os cálculos que efetuares.
3.2. Qual é a probabilidade de retirar um bombom da caixa que:
a) não seja de chocolate de leite?
b) não seja de chocolate preto ou não seja de chocolate de leite?
c) não seja de chocolate preto e não seja de chocolate de leite?
d) seja de chocolate preto ou não seja branco?
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Professor / /20
1. Lança-se um dado cúbico, equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6 e roda-se o pião,
equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 4. Registaram-se os números saídos.
1.1. Completa a tabela seguinte, calculando a soma dos pontos obtidos.
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3
3 4
4 5
1.2. Escreve todas as formas de obter soma 5.
1.3. Determina a probabilidade de a soma ser:
a) igual a 5; b) superior a 8.
2. Observa a roda da sorte e o saco da figura seguinte.
O saco contém três bolas azuis, duas bolas vermelhas e uma bola azul.
Um jogo consiste em rodar a roda da sorte e, caso saia número par, o jogador tira uma bola
do saco. O jogador ganha um prémio se a bola tirada do saco tiver cor vermelha.
O João vai jogar.
Qual é a probabilidade de o João ganhar o prémio?
(A)
1
9
(B)
1
2
(C)
1
3
(D)
2
3
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Professor / /20
1. O João desconfiava que o dado que utilizava num jogo não era equilibrado.
Lançou-o 1000 vezes e calculou o valor da frequência relativa para cada face.
Registou os dados obtidos na seguinte tabela:
Número da face 1 2 3 4 5 6
Frequência relativa 0,23 0,22 0,14 0,17 0,12
1.1. Completa a tabela.
1.2. Vai lançar-se novamente o dado.
Qual é a probabilidade esperada de sair:
a) o número 3?
b) um número primo?
1.3. O dado será equilibrado?
2. Uma roleta tem oito secções iguais, sendo umas pintadas de azul, outras de verde e outras de
vermelho.
O gráfico seguinte mostra o resultado de 3000 experiências com a roleta.
Quantas secções de cada cor se espera que a roleta tenha?
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Professor / /20
1. Em cada jogada do Jogo do Monopólio lançam-se dois dados numerados de 1 a 6 e adicionam-se
o número de pintas das duas faces que ficam voltadas para cima.
1.1. Qual é o espaço amostral correspondente ao lançamento dos dois dados nas condições
anteriormente descritas?
1.2. Mostra que os acontecimentos elementares não são equiprováveis.
Justifica a tua resposta recorrendo a um exemplo.
1.3. Considera os seguintes acontecimentos:
A : “Obter um número maior que 11”
B : “Obter o número zero”
C : “Não obter um número negativo”
D : “Obter um número par”
a) Classifica os acontecimentos referidos.
b) Identifica os acontecimentos associados à experiência:
b1) A B
∩ b2) A C
∩ b3) A b4) A B
∩
2. Foi lançado um dado com 12 faces, numeradas de 1 a 12.
Qual é a probabilidade de sair:
2.1. o número 1?
2.2. um número inferior a 4?
2.3. um número primo?
3. O professor de Matemática levou dois dados para a aula.
Um dos dados tem quatro faces numeradas de 1 a 4 e o outro tem seis faces numeradas de 1 a 6.
Lançaram-se os dois dados sobre uma mesa e calculou-se o produto dos números que apareceram
nas faces voltadas para baixo dos dois dados.
3.1. Constrói uma tabela de dupla entrada onde seja possível observar todos os resultados
possíveis.
3.2. Qual é a probabilidade de o produto dos valores saídos nos dois dados ser igual a 4?
3.3. A Joana lançou os dois dados e calculou a soma dos valores saídos nas faces que ficaram
voltadas para baixo.
Qual é a probabilidade de a soma ser menor que 6?
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4. O João realizou um inquérito aos alunos de duas turmas do 9.º ano sobre o tipo de programas
preferidos de televisão. Obteve os resultados que podem observar-se no gráfico.
4.1. Qual é o tipo de programa mais popular?
4.2. Quantos alunos foram inquiridos?
4.3. Escolhendo um destes alunos ao acaso, qual é a probabilidade de:
a) preferir Documentários?
Apresenta o resultado na forma de percentagem arredondada às unidades.
b) preferir Filmes ou Telenovelas?
Apresenta o resultado na forma decimal arredondado às centésimas.
c) Não preferir Noticiários?
5. Uma caixa contém sete bolas coloridas para enfeitar o pinheiro de natal. Três são vermelhas e as
restantes são prateadas.
O João vai retirar duas das bolas da caixa, sucessivamente e com reposição.
5.1. Completa a seguinte tabela de dupla entrada.
V V V P P P P
V
V
V
P
P
P
P
5.2. Calcula a probabilidade de o João retirar:
a) duas bolas com a mesma cor;
b) pelo menos uma bola prateada.
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Professor / /20
1. Em determinada altura do ano, plantaram-se 31 roseiras com a mesma altura. Três
meses depois mediu-se a altura de cada uma das roseiras.
Os dados, em centímetros, foram os seguintes:
25 80 93 62 65 80 41 82
35 99 95 72 77 71 43 85
40 85 96 82 83 77 52 95
60 92 71 92 94 62 63
1.1. Determina a amplitude das medidas das alturas das roseiras.
1.2. Agrupa os dados em cinclo classes considerando o valor mínimo para extremo inferior
da primeira classe e constrói o respetivo histograma.
2. Considera as seguintes experiências.
A : Tirar, ao acaso, uma carta de um baralho com 52 cartas e
verificar que carta saiu.
B : Lançar para cima de uma mesa 50 pioneses e verificar se
ficam com a cabeça voltada para cima ou voltada para baixo.
C : Largar uma pedra de uma altura de 10 metros e medir o
tempo que demora a chegar ao solo.
D : Rodar um rapa e verificar qual a letra da face (R, T, D ou P) que fica voltada para cima.
E : Colocar um cubo de gelo a uma temperatura de 20 ºC e verificar em que estado físico
fica a água.
2.1. Diz quais das experiências realizadas são aleatórias.
2.2. Quantos são os casos possíveis e os acontecimentos elementares da experiência:
a) A b) B c) D
2.3. Qual o universo de resultados e os acontecimentos elementares da experiência D?
2.4. Na experiência B não se deve aplicar a Regra de Laplace para calcular a
probabilidade de um dos seus acontecimentos. Explica porquê.
3. O Tiago resolveu a equação 2x (2x + 4) (– x – 1) = 0 e
escreveu, em três pedaços de papel, cada uma das soluções,
amarrotou-os e colocou-os num saco. De seguida, pediu à
Susana que, ao acaso, retirasse, sucessivamente e sem
reposição dois dos papéis e mostrasse os números que neles
estavam escritos.
3.1. Escreve todos os casos possíveis.
3.2. Classifica cada um dos seguintes acontecimentos.
a) A: “O produto dos números ser igual a 0.”
b) B: “A soma dos números ser negativa.”
c) C: “O produto dos números ser negativo.”
d) D: “A diferença entre a primeira solução e a segunda solução ser 2.”
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100

Teste de avaliação 8 ∙ 90 minutos
4. Um cesto de fruta tem oito maçãs, seis peras, quatro laranjas e dois pêssegos.
Tira-se um dos frutos ao acaso. Qual é a probabilidade de escolher:
4.1. uma pera? Apresenta o resultado na forma decimal.
4.2. uma maçã? Apresenta o resultado na forma de percentagem.
4.3. uma laranja ou um pêssego? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
4.4. um fruto que não seja maçã? Apresenta o resultado na forma de fração irredutível.
5. Na figura seguinte são apresentados os quatro primeiros termos de uma sequência de
figuras compostas pelos símbolos e .
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Observa que a figura correspondente ao primeiro termo da sequência não possui o
símbolo , que só aparece a partir do segundo termo.
Admitindo que se mantém a regularidade da sequência, qual é a probabilidade de,
escolhendo um dos símbolos da figura 20, ao acaso, o símbolo escolhido ser .
6. Sejam S o espaço de resultados e A e B dois acontecimentos de S, associados a uma
certa experiência aleatória.
Qual é o valor de P (B) sabendo que P (A) = 25%, P (A ∪ B) = 60% e A e B são disjuntos?
7. Observa os dois dados tetraédricos da figura, ambos com as faces numeradas de 3 a 6.
Uma experiência consiste em lançar os dois dados tetraédricos sobre uma mesa e
multiplicar os números que aparecem nas faces que ficaram voltadas para baixo.
Sugestão: Para responderes às questões seguintes organiza os dados numa tabela de dupla entrada.
7.1. Quantos produtos diferentes se podem obter nesta experiência?
7.2. Os acontecimentos elementares são igualmente prováveis? Justifica a tua resposta.
7.3. Qual é a probabilidade de o produto dos números saídos ser um múltiplo de 3?
7.4. Num dos dados a face com o número 5 ficou voltada para baixo.
Qual é a probabilidade de obter um produto múltiplo de 5?
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101

Teste de avaliação 8 ∙ 90 minutos
8. Uma caixa contém bolas indistinguíveis ao tato de duas cores
diferentes: azul e roxo.
Sabe-se que o número de bolas azuis é 8 e, extraindo-se, ao
acaso, uma bola da caixa, a probabilidade de ela ser de cor roxa
é igual a
3
5
. Quantas bolas roxas existem na caixa?
9. Numa fábrica é produzido um determinado tipo de peças para automóveis.
Numa operação de controlo de qualidade registaram-se os seguintes dados, relativos às
duas máquinas que produzem as peças.
Máquina A Máquina B
Boas 44 92
Defeituosas 6 8
As peças foram colocadas numa caixa e, posteriormente, foi retirada uma ao acaso.
Qual a probabilidade de:
9.1. sair uma peça defeituosa?
9.2. sair uma peça boa, sabendo que foi produzida pela máquina B?
10. Ao disputar um treino de tiro ao alvo, o João tem de atirar sobre o alvo duas vezes. Sabe-se
que, em cada tiro, a probabilidade de o João acertar no alvo é 0,9.
Qual é a probabilidade de:
10.1. acertar sempre no alvo?
10.2. acertar pelo menos uma vez no alvo?
10.3. errar sempre o alvo.
11. Numa estação de lavagem de carros um funcionário tem três carros para lavar: um preto, um
vermelho e um branco.
11.1. De quantas maneiras diferentes pode o funcionário realizar a sequência de lavagem
dos três carros?
11.2. Se escolher um dos carros ao acaso, qual é a probabilidade de começar por lavar o
carro preto?
12. Num quadrado, de lado 10 cm, desenhámos um triângulo de altura 8 cm e base igual ao lado
do quadrado.
Suponhamos que, lançando uma moeda ao ar, o centro da moeda cai em qualquer ponto do
quadrado com a mesma probabilidade. Calcula a probabilidade de o centro da moeda cair
no triângulo.
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102

Soluções
Capítulo 1 – Inequações. Valores aproximados de
números reais
Ficha de treino 1
1.1.
1
12
1.2.
25
6
−
2.1. 2 × 10– 10
2.2. 1,25 × 10– 1
3.1. 3 cm 3.2. 7 cm
4.1. 29
AC = 4.2. 1 29
+
5.1. > 5.2. < 5.3. < 5.4. <
6.1. S = {4} 6.2. S = {1} 6.3.
9
4
S
 
=  
 
6.4.
4
7
S
 
=  
 
6.5.
13
8
S
 
= −
 
 
7. Filho: 6 anos; mãe: 36 anos.
8. x = 15
9.
1 2 3 4 5 6
A 1 6
B 2 3 6 5
C 1 2 4 5
D 0 3
E 7 1 2 9 6
F 2 2 5 6
Miniteste 1.1.
1.1. x > –1
1.2. ≥ 2
x
1.3. x >10
1.4. x < 1
1.5. x< – 4
1.6. > −
1
3
x
2. Afirmações verdadeiras: (A), (C), (D) e (E)
Afirmações falsas: (B), (F) e (G)
3. < < < < − < −
3 2
1
2 2
a a a a a
a
Miniteste 1.2.
1.1. { }
= 1
A
1.2. { }
3, 0
B = −
1.3. { }
2, 1
, 0, 1
C = − −
2.1. [ [
2,
A
= + ∞
2.2. { }
= ∈ − < <
ℝ : 1 1
B x x ; { }
= ∈ ≥
ℝ : 0
C x x
2.3. 0
2.4. 0
3. ] [
, 2
A = −∞ − ; ] ]
0, 4
B = ; ] ]
, 1
A = −∞ ; [ [
0, 3
D =
Miniteste 1.3.
1. 4
2.1. ] ]
1
, 3
−
2.2. ] ] [ [
, 1 1
, 3
−∞ − ∪
2.3. [ [
1
,
− + ∞
2.4. { } ] [
2 0, 3
− ∪
3.1. [ [ ] [
1
, 2 ; ,
A B A B
∩ =− ∪ =−∞ + ∞
3.2. ] ] ] [
1
, 5 ; 2,
A B A B
∩ = − ∪ = − + ∞
3.3. [ [
1
3, ; , 4
2
A B A B
 
∩ = − ∪ =−π
 
 
Miniteste 1.4.
1.1. > 1.2. ≤ 1.3. >
2.1. ] [
0,
S
= + ∞ 2.2. ] [
, 1
S = −∞ 2.3.
3
,
2
S
 
= + ∞
 
 
3.1.
13
,
5
S
 
= −∞
 
 
3.2. 2
4. Números maiores ou iguais a – 30
Miniteste 1.5.
1. (B)
2.1. ] [
1, 3
S = − 2.2. ] [
,
S = −∞ + ∞ = ℝ
2.3. ] [
2, 3
S = 2.4. [ [
1,
S = − + ∞
2.5. S = { } 2.6. ] [ ] [
, 1 0,
S = −∞ − ∪ + ∞
3.1.
5
,
4
S
 
= −∞
 
 
3.2. ] [
3,
S
= + ∞
4.
19
7,
2
x
 
∈  
 
Miniteste 1.6.
1.1. −
7 4 3
1.2. −
2 6
1.3. −
7
2
1.4.
2
5
π
π −
1.5. −3 3
2.1. 0,33 2.2. –2,24 2.3. 3,46
2.4. 1,62 2.5. 2,18
3.1. Erro máximo: 0,2; ] [
3,2; 3,6
x y
+ =
3.2. Erro máximo: 0,3; ] [
3,1; 3,7
x y
+ =
1. (B)
2.1. { }
: 1 5
B x x
= ∈ − < <
R
2.2. (D) 2.3. ] [
, 2
−∞ 2.4. 2
2.5. Por exemplo: 3
3. A = 1 – 5 ; B = 1 + 5
4.
5
,
4
S
 
= + ∞
 
 
5. (C)
7.
3
0,
2
x
 
∈  
 
8. Quatro automóveis
Teste de avaliação 1
1.1. a) 1; 5 b) 1; – 3; 5
c) 1;
1
5
; – 3; 5;
1
3
− d) 2; ; 1 5
π −
1.2.
1.3. a)
1
3; ;1 5
3
 
− − −
 
 
b)
1 1
; ; 1; 2
3 5
 
−
 
 
2. Por exemplo: – 2
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104

Soluções
3.1. 2 3.2. 17 12 2
− ; irracional 3.3.
5
2
−
4.1.
Conjunto Condição
Representação
geométrica
Intervalo
A { }
: 2 1
x x
∈ − < ≤
ℝ 2,1
 
−
 
B { }
: 0
x x
∈ ≥
ℝ [ [
0, + ∞
C { }
: 1
x x
∈ <
ℝ ] [
, 1
−∞ −
4.2. a) [0, 1] b) 2, 1
 
− −
  c) ∅
d) 2,
 
− + ∞
  e) ] ]
, 1
−∞
f) ] [ [ [
, 1 0,
−∞ − ∪ + ∞ g) R
5.1.
3
,
2
S
 
= − + ∞
 
 
5.2.
7
,
11
S
 
= + ∞
 
 
5.3.
3
,
2
S
 
= −∞
 
 
5.4.
7
,
16
S
 
= −∞
 
 
6.1.
1
,
3
S
 
= + ∞
 
 
6.2. 0
7. x ∈ ]2, 6]
8.1. S = ]0, 1[ 8.2. ] ]
, 7
S = −∞
9. ] [
2,
x ∈ + ∞
Capítulo 2 – Funções
Ficha de treino 2
1.1. 23, …, 4n – 1
1.2. 2
1 1
,...,
36 x
2. 406
3.1. 19
3.2. Não
3.3. 3n – 2
4.1.
3
2
4.2. –15
4.3. 4
5.1.
x –3 –2 –1 0
3
2
2 4
y –8 –5 –2 1
11
2
7 13
5.2. e 5.3.
(x, y) = (2, 7)
6.1. S = {1} 6.2. S = {0}
6.3.
16
11
S
 
=  
 
6.4. S = {3}
6.5. S = {–1} 6.6.
8
29
S
 
=  
 
Miniteste 2.1.
1. Quatro horas
2.1. 3600 2.2. 3600 2.3. 40 dias
2.4.
3600
y
x
=
3.1. e 3.4. Proporcionalidade inversa
3.2. Proporcionalidade direta
3.3. Não há relação de proporcionalidade.
Miniteste 2.2.
1.1 (C) e (H) 1.2. (E)
2.1.
Retângulo 1 Retângulo 2 Retângulo 3
Base 6 3 12
Altura 4 8 2
2.2. (C)
Miniteste 2.3.
1. 200 t
v D
= ±
2.
Velocidade (v)
(km/h)
30 50 70 90 110 15 600
Distância de
travagem (Dt)
(metros)
4,5 12,5 24,5 40,5 60,5 78
3.
4. (D)
1.1. Proporcionalidade inversa:
6
y
x
=
1.2. e 1.4 Não existe
1.3. Proporcionalidade direta:
3
2
y x
=
1.5. Proporcionalidade inversa:
4
y
x
= −
1.6. Proporcionalidade direta: y x
= −
2.1., 2.2. e 2.6. Não existe
2.3. Proporcionalidade direta; constante: 3
2.4. Proporcionalidade direta; constante: 0,6
2.5. Proporcionalidade inversa; constante: 37
3.1. a)
x 1 4,5 3 12
y
4
3
6 4 16
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105

Soluções
b)
x 1 2 3 12
y 12 6 4 4
3.2. a)
4
3
y x
= ;
12
y
x
=
b)
4.1. (I); (II); (III) e (IV)
4.2. (II); constante: 3 ; (III); constante:
1
3
4.3. (IV); constante: 3
5.1.
24
y
x
=
5.2.
6. 25 minutos
7. 24 dias
8.1. 1,25 km
8.2. 250 metros por minuto
8.3. a) 7,5 minutos b) 3,75 minutos c) 1,5 minuto
9. 12 horas
10.1. y = x2
10.2.
2
1
2
y x
=
10.3.
2
1
3
y x
=
10.4. y = – 2x2
11.1. S = {– 3, 3}
11.2. S = {– 4, 4}
11.3. S = { }
11.4. { }
2, 2
S = −
11.5. { }
3, 3
S = −
11.6. S = {– 4, 8}
12. Comprimento: 22 m; largura: 11 m
13. – 9
14.1. T1 = 50; T2 = 125
14.2. A partir de 117 minutos o plano da operadora M é
sempre mais económico.
1.1. (I) – (C); (II) – (E); (III) – (B); (IV) – (F); (V) – (H);
(VI) – (A)
1.2. (A) e (H): função quadrática
(B): função constante
(C): função de proporcionalidade inversa
(D), (F) e (G): função linear
(E): função afim
1.3. (I): hipérbole; (II), (III) e (IV): reta; (V) e (VI): parábola
2.1. y = 3x
2.2. y =
12
x
3.1.
3.2. (B)
3.3. 1,40 m
4. Seis trabalhadores
6.1. 12 bananas
6.2. B =
3
2
P
8.1. Gráfico A
8.2. Cinco voltas completas
9.2. = 5
AC
9.3. x = – 2
9.4.
1
2
y = −
10.1. –3 10.4. S = {–2, 2}
Capítulo 3 – Equações
Ficha de treino 3
1.1.
9
2
A = 1.2.
7
2
A = 1.3. 3,14
A =
2.1. S = {0} 2.2.
2
3
S
 
= −
 
 
2.3. S = {– 2}
2.4. S = {1} 2.5. S = {0} 2.6. S = {1}
2.7. S = {– 5} 2.8. S = {3} 2.9. S = {0}
2.10.
3
2
S
 
=  
 
2.11. S = {– 1} 2.12. S = {7}
3.1.
3
2
x
y
− +
= 3.2.
3
x
y = −
4.1. Custo de x vasos de manjericos
4.2. Custo de y vasos de manjericos
4.3. Custo de x vasos de manjericos e y vasos de gerbérias
5.1. 2n 5.2. 2n + 1 5.3.
1
2n
5.4. 3n 5.5. 3n + 2 5.6.
5
7
n
n
6.1. x = 10 6.2. 5
x = 6.3. x = 2,5
6.4. 6 2
x = 6.5. 17
x = 6.6. 3
x =
7.1. x = 3 7.2. 10
2
=
x 7.3. 3
4
=
x
7.4.
25
2
x = 7.5. 17
x = 7.6. x = 3
8.1. 40 cm2
8.2. 41
VA = cm; 41
VB = cm; 4 2
AB = cm
8.3. Isósceles
Miniteste 3.1.
1.1. Área: 15 a2
+ a – 2 1.2. Perímetro: 34
2. (B)
3.1. x (2 – x) 3.2. (6 – 2x) (6 + 2x)
3.3. (x + 1)(x + 1) 3.4. (x – 1) (– x – 3)
4. (C)
Miniteste 3.2.
1. (B)
2.1. Por exemplo: x(x + 3) = 0
x 1 3 4 2
y 24 8 6 12
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Soluções
2.2. Por exemplo: ( )( )
2 0
x x
+ − π =
3.1. { }
3, 3
S = − 3.2.
4
0,
3
S
 
=  
 
3.3.
4
0,
3
S
 
=  
 
3.4. S = {2}
3.5. S = { }
4. Comprimento: 3 cm ; largura: 1 cm
Miniteste 3.3.
1. (B)
2.1. .2.
2
1 9
2 4
x
 
− + +
 
 
2.3.
2
5 39
2
4 8
x
 
− +
 
 
2.4. ( )
2
1
1 2
2
x − −
3.1. S = {1} 3.2.
1 3
,
2 2
S
 
= −
 
 
3.3.
1 1
,
2 8
S
 
= −
 
 
3.4. { }
S =
3.5. { }
2, 4
S =
Miniteste 3.4.
1. (B)
2.1. { }
2, 2
k ∈ − 2.2. { }
1
S =
3. (A)
4.1.
5 57 5 57
,
4 4
S
 
− +
 
=  
 
 
4.2. S = ∅
4.3. { }
2, 3
S = 4.4. { }
1, 3
S = −
Miniteste 3.5.
1. (C)
2.1. x ≈ 1,82 m 2.2. 47,32 m
3. João: 13 anos; Tiago: 7 anos
4. x = 25
1.1.
2 5 3
2 2
x x
− − 1.2. 2
2 10 12
x x
− + −
1.3. 2
1 1
2 2
x − 1.4. 2 3
4
x x
− −
1.5. 2 19
6
2
x x
+ + 1.6. 2 5
5
4
x +
2.1. x(x – 3) 2.2. (x – 3)(x + 3)
2.3.
1 1
3 3
2 2
x x
  
− +
  
  
2.4. (x – 1)( x – 1)
2.5. (x – 7)(x + 1) 2.6. (4 – x)(6 + x)
2.7. –2(x – 1) 2.8. (x + 3)(x + 4)
3.1. S = {0} 3.2.
1
0,
2
S
 
=  
 
3.3.
3 3
,
5 5
S
 
= −
 
 
3.4. S = ∅
3.5. S = {3, 4} 3.6. S = {1, 3}
3.7.
7 29 7 29
,
10 10
S
 
− − − +
 
=  
 
 
3.8.
4 19 4 19
,
3 3
S
 
− − − +
 
=  
 
 
3.9.
2 7 2 7
,
3 3
S
 
− +
 
=  
 
 
4. 8 5. – 2 ou 4
6.1. a) Medida da largura do retângulo maior
b) Medida do comprimento do retângulo maior
c) Área do retângulo maior
d) Área da parte colorida.
6.2. x = 2 m
7. 60 metros 8. 25 cm
9. 40 bonecas 10. 15 bolas
1. (A)
2.1.
3 1
,
2 2
S
 
= −
 
 
2.2.
21
2
S
 
=  
 
2.3.
3
, 0
4
S
 
= −
 
 
2.4. { }
3, 3
S = −
2.5. { }
3 14, 3 14
S =
− + 2.6.
1 3
,
2 2
S
 
=  
 
3.2. 34 cm
4. (C)
5.1. S = ∅ 5.2. k = 0
6. 100 cm2
7. Largura: 10 metros
Capítulo 4 – Geometria euclidiana. Paralelismo e
perpendicularidade
Ficha de treino 4
1.1. Por exemplo:
a) AD e BE b) AI e BJ
c) EF
ɺ e JK
ɺ d) HI
ɺ e JK
ɺ
e) FG
ɺ e BA
ɺ f) [AI] e [BJ]
g) [EF] e [JF]
1.2. a) 50º b) 50º c) 50º
2.2. Uma reta
3.1. [ED]
3.2. [AE], [BE], [CE] e [DE]
3.3. 4√5
Miniteste 4.1.
1. Um triângulo com os comprimentos dos lados a, b e c tais
que 
+ 
= 
é retângulo no vértice oposto ao lado de
comprimento c.
Hipótese: 
+ 
= 
Tese: o triângulo é retângulo no vértice oposto ao lado de
comprimento c.
2.1. Condição suficiente: o quadrilátero é um paralelogramo.
Condição necessária: o quadrilátero é um trapézio.
A implicação recíproca não é verdadeira.
2.2. Condição suficiente: o quadrilátero é um quadrado.
Condição necessária: o quadrilátero é um retângulo.
A implicação recíproca não é verdadeira.
2.3. Condição suficiente: 
= 4
Condição necessária:  = −2
A implicação recíproca é verdadeira.
2.4. Condição suficiente: o triângulo tem dois lados iguais
Condição necessária: o triângulo tem dois ângulos iguais
2.5. Condição suficiente: 
= −8
Condição necessária:  = −2
2.6. Condição suficiente: 2 = 0
Condição necessária:  = 0
3. Hipótese: ângulos correspondentes determinados por uma
secante em duas retas paralelas;
Tese: os ângulos correspondentes são iguais.
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107

Soluções
Miniteste 4.2.
1.1. a) Por exemplo, EF
b) Por exemplo, BCG
c) Por exemplo, ABF
d) O ponto F e) Por exemplo, EH, FG e BC
Miniteste 4.3.
1.1. a) Por exemplo, ABF e EFG
b) Por exemplo, AB e BC
c) Por exemplo, os semiplanos determinados pela reta EF
e que contêm os pontos G e B.
d) o plano MNK
1.3. a) 4 cm b) 2 cm c) 2 2 cm d) 2 cm
1. Condição suficiente: x < y; condição necessária:
1 1
x y
>
2. Hipótese: o número é múltiplo de 2 e 5
Tese: o número é múltiplo de 10
3.1. Paralelo 3.2. Não 3.3. Sim
4. 45º 5.1. A 5.2. 8 cm
1.1. Condição suficiente: os números são pares
Condição necessária: a soma dos números é par
A implicação recíproca é falsa. Por exemplo, 3 + 5 = 8 e,
no entanto, 3 e 5 são ímpares.
1.2. Condição suficiente: x = 4; condição necessária: 2
16
x =
A implicação recíproca é falsa. Por exemplo, ( )
2
4 16
− =.
1.3. Condição suficiente: o número é divisor de 4
Condição necessária: o número é divisor de 16
A implicação recíproca é falsa. Por exemplo, 8 é divisor de
16 mas não de 4.
1.4. Condição suficiente: xy = 0
Condição necessária: 0
x = v 0
y =
2.1. Por exemplo:
a) os planos ABE e ABH b) os planos AFJ e BEI
c) as retas GJ, HI e CD
3.1. Por exemplo:
a) EH e FG b) EI e BC
c) EF e AB d) IF e EF
e) EF e BF f) FG e IF
3.2. Por exemplo:
a) reta AE e o plano BCG b) o plano ABF e a reta EF
c) a reta AB e o plano BCG d) a reta IF e o plano ABC
3.3. Por exemplo:
a) os planos ABC e EFG b) os planos ABC e CDA
c) os planos FGI e BCG d) os planos ABC e BCG
e) os planos EFI e ABF
4. Basta garantir que o corrimão seja paralelo a uma reta
contida na rampa.
Capítulo 5 – Áreas e volumes de sólidos
Miniteste 5.1.
1.
64
2
3
cm3
2.1. 50 cm3
2.2. 6,5 cm
2.3. a) 65 cm2
b) 90 cm2
2.4. 150 cm3
Miniteste 5.2.
1.1. 56π cm2
1.2. 153,6 cm3
1.3.
16
21
3
× π cm3
2.1. 16π cm2
2.2. 48π cm2
2.3. 4 3 cm 2.4.
64
3
3
× π cm3
Miniteste 5.3.
1.1. 281 250π 1.2. 30 π
1.3. 384 π
2. Por exemplo: pirâmide com base de 48 cm de
comprimento e 6 cm de largura e altura 4cm ou pirâmide
com base quadrada com 12 cm de lado e altura 8 cm.
3. Por exemplo: cilindro com 69,12 cm de altura cujo raio da
base mede 10 cm ou cilindro com 48 cm de altura cujo
raio da base mede 12 cm.
4.1. 351,9 cm2
4.2.
544
3
π cm3
5. 25π cm2
1.1. 2 cm 1.2. 6 cm
2. 120 cm
3.1. 342 unidades 3.2. 8 vezes
3.3. Pirâmide com 90 unidades de altura cuja medida do lado
da base é 5.
4.1. Q 4.2. Q
5.1. 150 u. v. 5.2. 84 π u. v.
5.3. 60 u. v.
6.1. Volume: 192 u. v.; área: 144 u. a.
6.2. Volume: 84 π u. v.; área: 3 232 18
+ u. a.
6.3. Volume:
1
3
π u. v. ; área: π u. a.
2.1. 86,49 cm 2.2. 71,4 dm3
3. 1000 dm3
4. (1,62 + 0,036 π ) m3
5.
1
6
6. 5,1 π m
Capítulo 6 – Trigonometria no triângulo retângulo
Ficha de treino 6
1. São semelhantes: 1.1., 1.3. e 1.5.
2.2. 61
AC = cm 2.3.
3 61
2
AE = cm
3.1. x = 17 cm 3.2. x = 10 cm
3.3. x = 561 cm 3.4. x = 466 cm
4.1. EC = 6,48 cm 4.2. DF = 15,48 cm
5.1. x = 16 cm 5.2. 1168,7 cm3
Miniteste 6.1.
1.1. a) [AC] b) [BC] c) [AB]
1.2. a)
3
sin
2
α = b)
1
cos
2
α = c) tan 3
=
α
2.1. x ≈ 6,2 cm e y ≈ 4,8 cm 2.2. x ≈ 5,7 cm e y ≈ 4,0 cm
3. (D) 4.
2
13
Miniteste 6.2.
1.1.
3
2
1.2.
1
2
1.3.
1
2
1.4. 3
2. 1,0
3.1.
21
5
3.2.
21
2
5. sin 0,6 e cos 0,8
= =
θ θ
6.1. 35º 16’ 6.2. –0,11
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Soluções
Miniteste 6.3.
1.1. a ≈ 3,5; b = 2 1.2. a = 5; b ≈ 36,9º
2. 88,94 cm2
3.1. 0,3420 3.2. 0,6481 3.3. 32,7303
4. 29,0 cm
Miniteste 6.4.
1. 1123 m
2. 46,7º
3.1. 90º 3.2. 0,6 u. a.
4. 16,58 m
1. (D)
2.1.  30º
CBA = 2.2.
3 3
2
cm2
3. 4,20 m 4. 3,7321
5. (C) 6. 8746 m2
7. 600 m 8. 172,0 cm2
9. 0,75 10. 1 2sin cos
− α α
1.
Ângulo x sin x cos x tan x
27º 0,4540 0,8910 0,5095
42º 20’ 0,7112 0,7030 1,0117
56º 50’ 0,8371 0,5471 1,5300
2.1.
3
5
2.2.
4
5
2.3.
3
4
2.4.
4
5
2.5.
3
5
2.6.
3
4
3.1. 4,8 cm 3.2. 41,2º 3.3. 29,2 cm
4.1. 56 cm 4.2. 16º
5.1. 19,7 cm 5.2. 18,5 cm
6. 109,34 cm
7.1. 18 27 cm2
7.2. 173,8 cm2
8. 3,5 m
9.1.
4
5
9.2.
3
4
Capítulo 7 – Lugares geométricos. Circunferência
Ficha de treino 7
1. 2.
3.1. x = 135º 3.2. x = 148º
3.3. x = 120º
4.1. x = 32º 4.2. x = 45º; y = 70º
4.3. x = 60º e y = 120º 4.4. x = 62,5º e y = 17,5º
5.1. AM


(por exemplo) 5.2. EA


(por exemplo)
5.3. DP

(por exemplo) 5.4. AM


(por exemplo)
6.1. 6.2.
7.1. a) É a reflexão deslizante de eixo y = 1 e vetor
correspondente a um deslocamento horizontal de duas
unidades para a esquerda.
b) É a rotação de centro no ponto de coordenadas (0, 1) e
amplitude 180º (ou –180º).
c) É a reflexão deslizante de eixo vertical, paralelo ao eixo Oy,
que contém, por exemplo, o ponto de coordenadas (1, 0).
7.2. Tal não é possível porque as figuras C e D não são
iguais.
8.1. a) GA

b) JD


8.2. a) Rotação de centro P e amplitude 12º (ou –240º).
b) Translação associada ao vetor NO

(por exemplo)
8.3. Por exemplo: translação associada ao vetor MH


, seguida
de uma rotação de centro no ponto P e amplitude 120º.
Miniteste 7.1.
1.
2.1. 2.2.
2.3.
3.
Miniteste 7.2.
1. Incentro
2. Se o ângulo EFG inscrito na circunferência é reto, então o
arco de circunferência EG é uma semicircunferência e o
segmento de reta [EG] é um diâmetro da circunferência.
Assim, o centro da circunferência é o ponto médio do
segmento de reta [EG] que pode ser determinado com a
ajuda do compasso e da régua.
5 m
2 m
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109

Soluções
3.
Miniteste 7.3.
1.2.  40º
CAB = 1.3. DE = 5 cm
2.1. x = 30º 2.2. x = 122º
2.3. x = 55º 2.4. x = 55º
Miniteste 7.4.
1.1. I e V 1.2. III
2.1 a = 20; b = 31º 2.2. c = 41º
2.3. e = d = 49º 2.4. f = 75º
2.5. g = 18º ; h = 72º 2.6. i = 74º; j = 16º
Miniteste 7.5.
1.1. Ângulo com o vértice no exterior da circunferência
1.2. Ângulo inscrito na circunferência
1.3. Ângulo ex-inscrito
1.4. Ângulo de um segmento
1.5. Ângulo ao centro
1.6. Ângulo com o vértice no interior da circunferência
2.1. a = 60º 2.2. b = 25º 2.3. c = 45º
2.4. d = 100º 2.5. e = 40º 2.6. f = 70º
Miniteste 7.6.
1. 10 2. x = 80º
3. 5040º 4. x = 120º
Miniteste 7.7.
1.1.  140º
AOB =
1.2. O quadrilátero [ADBO] é inscritível numa circunferência
porque os seus ângulos internos opostos são suplementares.
2.1. a = 95º e b = 105º
2.2. c = 87º e d = 89º
2.3. e = 100º e f = 50º
2.4. g = 108º e h = 54º
1.
2.1. Lugar geométricos dos pontos do quadrilátero [ABCD],
que estão a uma distância de O correspondente a
2
AB
ou
superior.
2.2. Lugar geométrico dos pontos do quadrilátero [ABCD] mais
próximos da semirreta ȦB do que da semirreta ȦD
3. “Lugar geométrico do espaço cuja distância a um ponto
dado é menor ou igual a r (r > 0)”
4.1. 80º 4.2. 50º
4.3. 80º 4.4. 80º
5.1. 100º 5.2. 8 cm 5.3. 50º
6. Dez lados
7.1. 100º
7.2. O quadrilátero é inscritível numa circunferência porque os
seus ângulos internos opostos são suplementares.
8. x = 40º
9.1. 56º 9.2. 62º
10. 40º
1.1. [AO], [BO] e [CD]
1.2. [AC]
1.3. Por exemplo, [AB] e [AC].
2.1. a) 45º b) 135º
c) 270º d) 270º
2.2. Trapézio isósceles
2.3. 278,3 cm2
3.1. 144º 3.2. 18º
4.1. 35º 4.2. 35º
4.3. 110º
5.1. 3240º 5.2. 360º
5.3. 164º 5.4. 16º
6.1. 140º 6.2. 30º
6.3. 65º 6.4. 55º
6.5. 50º 6.6. 50º
6.7. 20º 6.8. 125º
6.9. 60º
7.1. Mediatriz do segmento de reta definido pelos dois pontos
7.2. Plano mediador do segmento de reta definido pelos dois
pontos
7.3. Circunferência de centro no ponto dado e raio 2 cm
7.4. Superfície esférica de centro no ponto dado e raio 2 cm
7.5. Bissetriz das duas semirretas
8.1.
8.2.
8.3. 8.4.
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Soluções
Capítulo 8 – Organização e tratamento de dados
Ficha de treino 8
1.
Fração Decimal Percentagem
1
4
0,25 25%
3
10
0,3 30%
1
20
0,05 5%
3
5
0,6 60%
7
20
0,35 35%
4
5
0,8 80%
2.1.
3
4
; 0,75 e 75%
2.2.
4
10
ou
2
5
; 0,4; 40%
3.1. 21
3.2. 9
3.3. 10
3.4. 180
3.5. 75; 6
3.6. 35; 280
4.1. 38
4.2. 84
4.3. a) É tão provável ser rapaz como rapariga.
b) É mais provável ser rapaz e não preferir a disciplina de
Matemática.
5.1. 6
5.2. 5
5.3.
Número de alunos Número de alunos
Rapariga 2 9
Rapaz 3 2
Miniteste 8.1.
1.1. Quantitativa discreta
1.2. 54 minutos
1.3. Por exemplo:
Classes
Frequência
absoluta
Frequência
relativa
[20, 30[ 7
7
37
[30, 40[ 5
5
37
[40, 50[ 6
6
37
[50, 60[ 7
7
37
[60, 70[ 8
8
37
[70, 80[ 4
4
37
Total 37 1
2.1. Variável quantitativa contínua
2.2.
Classes Frequência absoluta
[0,95; 1,00[ 7
[1,00; 1,05[ 4
[1,05; 1,10[ 4
[1,10; 1,15[ 5
[1,15; 1,20[ 3
[1,20; 1,25[ 7
[1,25; 1,30[ 5
Total 35
2.3.
Miniteste 8.2.
1. {(E, E)}
2.1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2.2. a) A
̅ = {2, 4, 6}
b) A∪B = {1, 3, 5, 6}
c) A
̅ ∩B = {6}
2.3. Por exemplo:
a) C = {2, 4, 6}
b) B = {1, 2, 3, 4}
c) C = {2, 4}
3. {(N, E); (N, N); (E, N); (E, E)}
Miniteste 8.3.
1.1. (D)
1.2. I e II
2.1. 30%
2.2.
3
10
ou 0,3 ou 30%
3. Cinco molas vermelhas e dez molas azuis
Miniteste 8.4.
1.1.
1
2
1.2.
3
4
1.3. 0
1.4.
3
4
1.5.
1
4
2.
5
44
3. 36
Miniteste 8.5.
1.
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
2. (1, 4); (2, 3); (3, 2) e (4, 1)
3. a)
1
6
b)
1
8
4. (A)
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Soluções
Miniteste 8.6.
1.1.
Número
da face
1 2 3 4 5 6
Probabilidade 0,23 0,22 0,14 0,17 0,12 0,12
1.2. a) 0,14 ou 14% b) 0,48 ou 48%
1.3. Não
2. Quatro vermelhas, uma verde e três azuis
1.1. Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
1.3. a) A é um acontecimento elementar, B é um
acontecimento impossível, C é um acontecimento certo e D é
um acontecimento composto
b1) A∩B = { }
b2) A∩C = {12}
b3) A
̅ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
b4) A B
∩ =
Ω
2.1.
1
10
2.2.
3
10
2.3.
2
5
3.1.
× 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16
3.2.
3
16
3.3.
3
8
4.1. Filmes
4.2. 39
4.3. a)
7
39
b)
7
13
c)
12
13
5.1.
V V V P P P P
V (V, V) (V, V) (V, V) (V, P) (V, P) (V, P) (V, P)
P (P, V) (P, V) (P, V) (P, P) (P, P) (P, P) (P, P)
5.2. a)
25
49
b)
40
49
1.1. 74 cm
1.2.
2.1. A, B e D
2.2. a) 52 casos possíveis e 52 acontecimentos elementares
b) 50 casos possíveis e 2 acontecimentos elementares
c) 4 casos possíveis e 4 acontecimentos elementares
2.3. Universo de resultados: S = {R, T, D, P}
Acontecimentos elementares: {R} , {T} , {D} e {P}.
3.1. (–2, –1); (–2, 0); (–1, –2); (–1, 0); (0, –2) e (0, –1)
3.2. a) Possível não elementar (acontecimento composto)
b) Acontecimento certo
c) Acontecimento impossível
d) Acontecimento elementar
4.1. 30% 4.2. 40%
4.3. 30% 4.4. 60%
5.
19
20
6. 35%
7.1. 10 7.2. Não
7.3.
3
4
7.4. 1
8. 12
9.1.
7
75
9.2. 92%
10.1. 0,81 10.2. 0,01 10.3. 0,99
11.1. 6 11.2.
1
3
12.
2
5
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