I) O documento apresenta notações matemáticas sobre conjuntos numéricos e operações.
II) Define símbolos como i (unidade imaginária), módulo e conjugado de números complexos, intervalos reais e matrizes.
III) Fornece exemplos de sistemas de coordenadas cartesianas retangulares.
I. O documento apresenta notações matemáticas comuns como conjuntos numéricos (N, Z, Q, R, C), operações com números complexos e notações para intervalos e somas.
II. Também fornece uma observação sobre os sistemas de coordenadas considerados serem cartesianos retangulares.
Este documento apresenta um sumário de uma apostila de matemática dividida em 5 unidades que abordam tópicos como operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais e exponenciais.
O documento apresenta 9 exercícios resolvidos sobre números complexos na forma trigonométrica e algébrica. As questões abordam conversão entre as formas, cálculo de conjugados, determinação de argumentos e módulos.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação algébrica como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, operações como adição, multiplicação, conjugado e divisão, representação geométrica no plano cartesiano e representação trigonométrica ou polar.
2. São apresentadas propriedades de potenciação e radiciação de números complexos e suas representações geométricas no plano de Gauss.
3. Exemplos numéricos de problemas envolvendo números complexos são
www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Exercícios Resolvidos de Fa...Beatriz Góes
O documento apresenta uma série de exercícios de fatoração de expressões algébricas. As respostas mostram os passos para fatorar cada expressão, isolando os termos comuns e obtendo uma forma fatorada.
1) O documento discute números complexos, apresentando suas diferentes formas algébrica e trigonométrica, assim como operações com números complexos e suas propriedades.
2) É introduzida a notação i=−1 e é mostrado que números complexos podem ser representados na forma a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária.
3) São apresentadas as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números complexos na forma algébrica, assim como suas propriedades.
1) O documento apresenta uma coleção de exercícios de números complexos com gabarito. 2) Os exercícios envolvem operações como soma, produto, módulo e argumento de números complexos, bem como representações geométricas no plano complexo. 3) As respostas vão de letras a até e, correspondentes às alternativas para cada questão.
I. O documento apresenta notações matemáticas comuns como conjuntos numéricos (N, Z, Q, R, C), operações com números complexos e notações para intervalos e somas.
II. Também fornece uma observação sobre os sistemas de coordenadas considerados serem cartesianos retangulares.
Este documento apresenta um sumário de uma apostila de matemática dividida em 5 unidades que abordam tópicos como operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais e exponenciais.
O documento apresenta 9 exercícios resolvidos sobre números complexos na forma trigonométrica e algébrica. As questões abordam conversão entre as formas, cálculo de conjugados, determinação de argumentos e módulos.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação algébrica como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, operações como adição, multiplicação, conjugado e divisão, representação geométrica no plano cartesiano e representação trigonométrica ou polar.
2. São apresentadas propriedades de potenciação e radiciação de números complexos e suas representações geométricas no plano de Gauss.
3. Exemplos numéricos de problemas envolvendo números complexos são
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O documento apresenta uma série de exercícios de fatoração de expressões algébricas. As respostas mostram os passos para fatorar cada expressão, isolando os termos comuns e obtendo uma forma fatorada.
1) O documento discute números complexos, apresentando suas diferentes formas algébrica e trigonométrica, assim como operações com números complexos e suas propriedades.
2) É introduzida a notação i=−1 e é mostrado que números complexos podem ser representados na forma a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária.
3) São apresentadas as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números complexos na forma algébrica, assim como suas propriedades.
1) O documento apresenta uma coleção de exercícios de números complexos com gabarito. 2) Os exercícios envolvem operações como soma, produto, módulo e argumento de números complexos, bem como representações geométricas no plano complexo. 3) As respostas vão de letras a até e, correspondentes às alternativas para cada questão.
ExercíCio De FatoraçãO Com Gabarito 50 Questoes. Antonio Carlosguesta4929b
Este documento contém 50 questões de fatoração de expressões algébricas. O objetivo é testar a habilidade dos estudantes em decompor expressões em produtos de fatores. As questões variam em nível de dificuldade e tipos de expressões a serem fatoradas, incluindo expressões polinomiais, binômios elevados ao quadrado e outros.
O documento apresenta notações matemáticas básicas como conjuntos numéricos, operações com conjuntos e funções. Define símbolos para determinante, transposta e complementar de conjuntos. Apresenta notações para intervalos, séries e funções trigonométricas e exponenciais complexas.
a) 10
b) -6
c) -36
d) 6
O documento contém três exercícios sobre determinantes de segunda e terceira ordem. No primeiro exercício, é pedido para calcular o valor de determinantes de segunda ordem. No segundo, resolver equações usando determinantes. E no terceiro, calcular o valor de um determinante de terceira ordem.
1) O documento apresenta questões sobre conjuntos, funções e equações algébricas.
2) A questão 1 trata de subconjuntos de um conjunto universo U e relações entre eles.
3) A questão 2 envolve conversão de tipos de combustível em veículos e cálculo do número de carros tricombustíveis.
4) As demais questões abordam propriedades de funções, raízes de polinômios e equações algébricas.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas raízes são números complexos, unidade imaginária i, operações com números complexos, módulo e argumento, e representação gráfica no plano de Argand-Gauss.
2) É mostrado que a resolução de equações de segundo grau levou ao desenvolvimento dos números complexos, representados na forma a + bi.
3) São explicadas propriedades e operações com números complexos, como potências de i, soma, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas raízes são números complexos, a unidade imaginária i, operações com números complexos e sua representação geométrica no plano de Argand-Gauss.
2) É definido o módulo e o argumento de um número complexo e mostrado como escrevê-lo na forma trigonométrica.
3) São apresentados exercícios sobre operações e propriedades de números complexos.
Este documento contém 15 questões sobre sistemas de equações lineares. As questões abordam resolução de sistemas, determinação de valores de incógnitas, identificação de soluções e análise de propriedades de sistemas lineares.
Este documento apresenta notações matemáticas comuns e a resolução de alguns exercícios. No primeiro exercício, é calculado o número de maneiras de trocar uma moeda de 25 centavos usando moedas menores, chegando-se à resposta de 12 maneiras. No segundo exercício, é calculada a probabilidade de um alvo ser atingido por pelo menos um de dois atiradores que acertam o alvo com probabilidade de 1/3, chegando-se à resposta de 5/9. No terceiro exercício, é calculada a razão entre números complexos rel
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Jussileno Souza
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e elementos; (2) representação algébrica de matrizes; (3) tipos de matrizes como quadrada e identidade.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
Lista 1 Geometria Analítica e Álgebra Linear - Matrizes, Determinantes e Sis...Bruno Castilho
(1) A matriz A+B é igual a 2 1, 3 5
(2) A matriz B que satisfaz AB = 0 é 1 2 0, 0 1 3
(3) Para que X + 2C = A2(B – 3C), a matriz X é 4 11/5 -12/5, -29/5 -8/5 -1
O documento apresenta três problemas matemáticos relacionados a conjuntos, progressões aritméticas e equações. O primeiro problema trata de conjuntos e progressões aritméticas, o segundo de subconjuntos e o terceiro de equações complexas e soma de quadrados.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
This patent application describes an apparatus for casting a non-pneumatic tire. It includes a floating mold alignment mechanism that allows a portion of the mold to move radially, allowing the molding apparatus to operate without tie bars. The mechanism comprises two sets of needle roller bearings arranged orthogonally to allow radial movement of a mold portion. This helps address issues like spokes sticking during demolding by accommodating any misalignment between rotating mold halves.
A MIG 480S SUMIG vem com uma tocha SU 520 e um cabo de extensão de 5 metros com 0,70mm de diâmetro, possui um alimentador de quatro rolos engrenados com função de dois ou quatro toques e um medidor digital de amperagem/voltagem, além de termostato de proteção e suporte traseiro para o cilindro de gás.
A MIG 480S SUMIG vem com uma tocha SU 520 e um cabo de extensão de 5 metros com 0,70mm de diâmetro, possui um alimentador de quatro rolos engrenados com função de dois ou quatro toques e um medidor digital de amperagem/voltagem, além de termostato de proteção e suporte traseiro para o cilindro de gás.
ExercíCio De FatoraçãO Com Gabarito 50 Questoes. Antonio Carlosguesta4929b
Este documento contém 50 questões de fatoração de expressões algébricas. O objetivo é testar a habilidade dos estudantes em decompor expressões em produtos de fatores. As questões variam em nível de dificuldade e tipos de expressões a serem fatoradas, incluindo expressões polinomiais, binômios elevados ao quadrado e outros.
O documento apresenta notações matemáticas básicas como conjuntos numéricos, operações com conjuntos e funções. Define símbolos para determinante, transposta e complementar de conjuntos. Apresenta notações para intervalos, séries e funções trigonométricas e exponenciais complexas.
a) 10
b) -6
c) -36
d) 6
O documento contém três exercícios sobre determinantes de segunda e terceira ordem. No primeiro exercício, é pedido para calcular o valor de determinantes de segunda ordem. No segundo, resolver equações usando determinantes. E no terceiro, calcular o valor de um determinante de terceira ordem.
1) O documento apresenta questões sobre conjuntos, funções e equações algébricas.
2) A questão 1 trata de subconjuntos de um conjunto universo U e relações entre eles.
3) A questão 2 envolve conversão de tipos de combustível em veículos e cálculo do número de carros tricombustíveis.
4) As demais questões abordam propriedades de funções, raízes de polinômios e equações algébricas.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas raízes são números complexos, unidade imaginária i, operações com números complexos, módulo e argumento, e representação gráfica no plano de Argand-Gauss.
2) É mostrado que a resolução de equações de segundo grau levou ao desenvolvimento dos números complexos, representados na forma a + bi.
3) São explicadas propriedades e operações com números complexos, como potências de i, soma, subtração, multiplicação e divisão.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas raízes são números complexos, a unidade imaginária i, operações com números complexos e sua representação geométrica no plano de Argand-Gauss.
2) É definido o módulo e o argumento de um número complexo e mostrado como escrevê-lo na forma trigonométrica.
3) São apresentados exercícios sobre operações e propriedades de números complexos.
Este documento contém 15 questões sobre sistemas de equações lineares. As questões abordam resolução de sistemas, determinação de valores de incógnitas, identificação de soluções e análise de propriedades de sistemas lineares.
Este documento apresenta notações matemáticas comuns e a resolução de alguns exercícios. No primeiro exercício, é calculado o número de maneiras de trocar uma moeda de 25 centavos usando moedas menores, chegando-se à resposta de 12 maneiras. No segundo exercício, é calculada a probabilidade de um alvo ser atingido por pelo menos um de dois atiradores que acertam o alvo com probabilidade de 1/3, chegando-se à resposta de 5/9. No terceiro exercício, é calculada a razão entre números complexos rel
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Resume conceitos como multiplicação de matrizes, determinantes de matrizes quadradas e resolução de sistemas lineares através de igualdades matriciais.
Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008Jussileno Souza
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo: (1) definição de matrizes e elementos; (2) representação algébrica de matrizes; (3) tipos de matrizes como quadrada e identidade.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
1) A probabilidade de que uma pessoa daltônica selecionada aleatoriamente na população seja mulher é de 1/21.
2) O valor de α2 + β2 é 1, dado que α e β satisfazem a equação αβ = αβ - 1.
3) O valor de T - S, que é a soma dos valores de k que tornam o sistema impossível menos os valores que o tornam possível e indeterminado, é -4.
Lista 1 Geometria Analítica e Álgebra Linear - Matrizes, Determinantes e Sis...Bruno Castilho
(1) A matriz A+B é igual a 2 1, 3 5
(2) A matriz B que satisfaz AB = 0 é 1 2 0, 0 1 3
(3) Para que X + 2C = A2(B – 3C), a matriz X é 4 11/5 -12/5, -29/5 -8/5 -1
O documento apresenta três problemas matemáticos relacionados a conjuntos, progressões aritméticas e equações. O primeiro problema trata de conjuntos e progressões aritméticas, o segundo de subconjuntos e o terceiro de equações complexas e soma de quadrados.
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
This patent application describes an apparatus for casting a non-pneumatic tire. It includes a floating mold alignment mechanism that allows a portion of the mold to move radially, allowing the molding apparatus to operate without tie bars. The mechanism comprises two sets of needle roller bearings arranged orthogonally to allow radial movement of a mold portion. This helps address issues like spokes sticking during demolding by accommodating any misalignment between rotating mold halves.
A MIG 480S SUMIG vem com uma tocha SU 520 e um cabo de extensão de 5 metros com 0,70mm de diâmetro, possui um alimentador de quatro rolos engrenados com função de dois ou quatro toques e um medidor digital de amperagem/voltagem, além de termostato de proteção e suporte traseiro para o cilindro de gás.
A MIG 480S SUMIG vem com uma tocha SU 520 e um cabo de extensão de 5 metros com 0,70mm de diâmetro, possui um alimentador de quatro rolos engrenados com função de dois ou quatro toques e um medidor digital de amperagem/voltagem, além de termostato de proteção e suporte traseiro para o cilindro de gás.
Este documento introduce los conceptos básicos de las bases de datos y los sistemas de gestión de bases de datos. Explica que una base de datos es una colección de datos interrelacionados y estructurados que son almacenados y gestionados por un sistema de gestión de bases de datos. Un sistema de gestión de bases de datos permite definir, manipular y consultar la base de datos de forma eficiente.
O documento compara o desempenho de várias arquiteturas de memória DRAM contemporâneas, incluindo Fast Page Mode, Extended Data Out, Synchronous DRAM, Enhanced SDRAM, Synchronous Link DRAM, Rambus DRAM e Direct Rambus DRAM. Ele descreve a metodologia de simulação usada para testar cada arquitetura e apresenta resultados preliminares sobre o tratamento de refresh e resultados finais sobre tempo de execução total, distribuição do tempo e largura de banda do barramento. A conclusão é que as melhorias na DRAM ajudaram, mas
1) O problema envolve encontrar os pontos de interseção de duas circunferências.
2) Usando a potência dos pontos, chega-se à conclusão de que GF = 4.
3) Portanto, a alternativa correta é d.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Apresenta também algumas propriedades importantes dos determinantes, como quando ele é nulo, como muda quando se multiplica linhas, e como é afetado por transposição e inversão de matrizes.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Apresenta também algumas propriedades importantes dos determinantes, como quando ele é nulo, como muda quando se multiplica linhas, e como é afetado por transposição e inversão de matrizes.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3, além de apresentar 7 propriedades importantes dos determinantes, como que estes podem ser nulos ou mudar de sinal a depender das operações realizadas na matriz. Por fim, aborda conceitos sobre matriz inversa.
O documento define o que é um determinante e apresenta as regras para calcular determinantes de matrizes quadradas de diferentes ordens. Explica como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3. Apresenta também algumas propriedades importantes dos determinantes, como quando ele é nulo, como muda quando se multiplica linhas, e como é afetado por transposição e multiplicação de matrizes.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações em fatoração de polinômios. Inclui identidades como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x + y)(x - y) = x2 - y2, além de exemplos e exercícios de fatoração usando fator comum e agrupamento.
Este documento apresenta três problemas envolvendo funções e geometria plana. No primeiro problema, são calculados os valores de uma função em pontos específicos e esboçado seu gráfico. No segundo, são esboçados os gráficos das funções modulo e valor absoluto de outra função. No terceiro, são calculadas probabilidades envolvendo lançamento de dados poliédricos.
1) O documento apresenta identidades algébricas importantes como o quadrado da soma, cubo da diferença e produto da soma pela diferença de dois termos.
2) Inclui também exercícios sobre esses e outros tópicos algébricos como equações do segundo grau e identidades trigonométricas.
3) O objetivo é revisar conceitos fundamentais de álgebra para uma turma de curso progressão.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo a soma, diferença, quadrado e cubo de termos. Inclui identidades como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 e (a + b)(a - b) = a2 - b2. O texto também fornece exemplos para aplicar essas fórmulas em expressões algébricas.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo a soma e diferença de termos, como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 e (a + b)(a - b) = a2 - b2. Também mostra como desenvolver expressões como (a + b)3, (a - b)3 e produtos da soma pela diferença de termos. Exercícios são fornecidos para aplicar essas fórmulas.
O documento resume os principais tópicos de matemática básica, incluindo operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais, exponenciais e sistemas de equações. É dividido em 22 seções que cobrem esses tópicos e fornecem exemplos passo a passo de como resolvê-los.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de equações do 2o grau, incluindo sua forma geral ax2 + bx + c = 0 e como calcular o discriminante.
2) São mostrados exemplos de resolução de equações completas e incompletas do 2o grau, identificando os casos com base no sinal do discriminante.
3) São apresentados exercícios sobre identificação e resolução de equações do 2o grau, cálculo de raízes e determinação de coeficientes.
1) O documento apresenta conceitos sobre números complexos, incluindo equações de segundo grau cujas soluções envolvem números complexos, unidade imaginária i, operações com números complexos e sua representação geométrica no plano de Argand-Gauss.
2) É mostrado como os números complexos surgiram da necessidade de encontrar raízes de equações algébricas e como Gauss propôs uma interpretação geométrica utilizando o plano cartesiano.
3) São apresentadas noções como módulo, argumento e formas algébrica e
Trigonometria é estudada para resolver problemas envolvendo triângulos retângulos. O documento apresenta definições de seno, cosseno e tangente em termos das proporções entre os lados do triângulo. Também apresenta um exemplo numérico de cálculo de ângulo formado por uma rampa.
O documento discute sobre matrizes, apresentando:
1) O conceito de matrizes e sua notação;
2) Exemplos de construção de matrizes;
3) Tipos de matrizes como quadrada, diagonal, simétrica etc;
4) Operações com matrizes como soma, subtração, multiplicação e transposta.
O documento contém 30 questões de matemática do 2o grau sobre diversos tópicos como funções, logaritmos, trigonometria, matrizes, determinantes e geometria. As questões abordam conceitos como domínio de funções, função inversa, progressão aritmética, sistemas lineares, volumes e áreas de sólidos geométricos e elipses.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 40 questões sobre conjuntos, funções e domínios.
2) As questões abordam tópicos como operações com conjuntos, produto cartesiano, gráficos de funções, equações funcionais e determinação de domínios.
3) A lista tem o objetivo de avaliar o conhecimento dos estudantes em diferentes conceitos fundamentais de álgebra.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de pré-cálculo, incluindo conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações do 1o e 2o grau e inequações. O capítulo 1 discute conjuntos numéricos, operações com números inteiros e racionais, e o capítulo 2 introduz conceitos de funções e o plano cartesiano.
Este documento apresenta as soluções de uma prova de matemática do nível 3 da OBMEP 2010 e contém:
1) Resoluções de 4 questões de raciocínio lógico e geometria envolvendo cálculos, análise de figuras e sequências de movimentos.
2) As questões abordam temas como operações em calculadora, preenchimento de quadrados com determinadas propriedades, cálculo de medidas em figuras geométricas e análise de sequências de movimentos para terminar um jogo.
3) As soluções
1) O documento apresenta a resolução de quatro questões sobre um problema envolvendo cartões com números e operações matemáticas.
2) Na primeira questão, é explicada a lógica para determinar o número que deve ser dito ao matemágico de acordo com o cartão escolhido.
3) Na segunda questão, são calculados os números de cartões pares e múltiplos de 3, e aqueles que são pares mas não múltiplos de 3.
4) Na terceira questão, são calculadas as áreas de figuras geométricas formadas a
O documento apresenta as soluções de uma prova de matemática do nível 1 da OBMEP 2010, com quatro questões resolvidas. A primeira questão trata de números paradas, a segunda de operações matemáticas envolvendo cartões de cores, a terceira de áreas e perímetros de figuras geométricas e a quarta de casais de números.
O documento apresenta instruções para a realização de uma prova de matemática da OBMEP, incluindo: preencher os dados corretamente, assinar a lista de presença, duração de 3 horas, soluções devem ser escritas de forma legível e organizada, não é permitido comunicação com outras pessoas.
A poeta brasileira Cecília Meireles é homenageada pela OBMEP. Sua frase "Liberdade é uma palavra que o sonho humano alimenta, não há ninguém que explique e ninguém que não entenda" é citada. O documento contém instruções para realização da segunda fase da olimpíada.
O documento apresenta instruções para a realização de uma prova de matemática da OBMEP, incluindo solicitação para preencher os dados corretamente, assinar a lista de presença e não usar fontes de consulta.
1) O documento apresenta soluções para questões de um exame de matemática sobre preenchimento de quadriculados e sequências numéricas. 2) As soluções incluem preenchimento de quadriculados de forma única e máxima soma, além de análise de sequências de Fibonacci. 3) A lonjura de pontos é calculada através de poligonais que passam por pontos de coordenadas inteiras.
1) A resolução apresenta as soluções detalhadas para cinco questões da OBMEP 2011 sobre geometria e raciocínio lógico.
2) São descritas as etapas de raciocínio para chegar às respostas de cada questão, com figuras ilustrativas quando necessário.
3) As soluções utilizam propriedades geométricas, operações algébricas e raciocínio combinatório para chegar aos resultados esperados.
1) O documento apresenta soluções para questões de uma prova de matemática sobre números e operações.
2) A questão 1 discute como transformar números de dois dígitos em um único dígito através de multiplicação e soma. A questão 2 trata de pontos conectados em uma circunferência. A questão 3 lida com áreas e perímetros de retângulos e triângulos.
3) As soluções fornecem detalhes passo a passo para chegar às respostas corretas de cada questão, com figuras ilustrativas quando necess
Este documento fornece instruções para a realização de uma prova de matemática, incluindo verificar os dados do aluno, preencher o quadro de identificação, assinar a lista de presença, durção da prova, não comunicação com outras pessoas e demais regras.
1. As instruções orientam um aluno a preencher corretamente os dados em um teste, assinar a lista de presença, escrever as respostas de forma organizada e justificada, e não comunicar-se com outras pessoas durante a prova.
2. O teste terá duração de 3 horas, e o aluno só poderá sair 45 minutos após o início.
3. É proibido o uso de calculadoras ou consultas durante a prova.
1. As instruções orientam um aluno a preencher corretamente os dados em um teste e informam sobre os procedimentos a serem seguidos durante a realização da prova, como tempo de duração, materiais permitidos e proibidos.
2. O documento incentiva o aluno a fazer o melhor possível no exame e deseja sorte na segunda fase da OBMEP.
3. São fornecidos um quadro para o aluno assinar e preencher seus dados, além de uma página para a correção da prova ser registrada.
As instruções indicam como o aluno deve preencher seus dados, realizar a prova e entregá-la ao aplicador. A duração da prova é de 3 horas e o aluno só poderá deixar a sala 45 minutos após o início. As respostas devem ser escritas de forma organizada e legível, com justificativas.
1. O documento fornece instruções sobre o preenchimento e realização de uma prova. Deve-se conferir os dados, assinar a lista de presença, e a prova pode ser feita a lápis ou caneta durante 3 horas.
O documento fornece instruções para a realização de uma prova de matemática do ensino médio, incluindo o preenchimento do cartão de respostas, duração da prova, tipo de questões e procedimentos durante a realização da prova.
1. O documento apresenta instruções para a realização de uma prova de matemática do nível 8o e 9o anos do ensino fundamental, contendo 20 questões e um cartão resposta para preenchimento com dados do aluno.
1. O documento contém 20 questões de múltipla escolha sobre assuntos de matemática do ensino fundamental.
2. As questões abordam tópicos como operações com números, geometria, álgebra e raciocínio lógico.
3. O documento fornece as instruções e as alternativas de resposta para cada questão, mas não mostra as respostas corretas.
O documento apresenta 7 questões de matemática sobre geometria e proporcionalidade. As questões envolvem cálculos de medidas de segmentos, lados e alturas de figuras geométricas como triângulos, retângulos e prédios.
(1) Se x2 + y2 = 13 e xy = 6, então o valor de (x + y)2 é 78.
(2) Simplificando 55/5105 - 2/a2 + a/aa, tem-se 1/a - 1/a.
(3) Um dos fatores do polinômio x2 + y2 – 2xy – x + y é x + y.
1. MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA
NOTAÇÕES
:ގ conjunto dos números naturais
:ޚ conjunto dos números inteiros
:ޑ conjunto dos números racionais
:ޒ conjunto dos números reais
:ރ conjunto dos números complexos
i: unidade imaginária: i2 = – 1
–
z: conjugado do número z ∈ ރ
͉z͉: módulo do número z ∈ ރ
AB = {x : x ∈ A e x ∉ B}
[a, b] = {x ∈ ޒ : a ≤ x ≤ b}
[a, b[ = {x ∈ ޒ : a ≤ x < b}
]a, b[ = {x ∈ ޒ : a < x < b}
Mm×n(:)ޒ conjunto das matrizes reais m × n
det M: determinante da matriz M
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A): número de elementos do conjunto finito A
—
AB: segmento de reta unindo os pontos A e B
A
^
BC: ângulo formado pelos segmentos
—
AB e
—
BC, com
vértice no ponto B
k
∑ an xn = a0 + a1x + a2 x2 + ... + akxk, k ∈ ގ
n = 0
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados
são cartesianos retangulares.
1 BB
Dado z = (– 1 + ͙ෆ3 i), então zn é igual a
a) – ͙ෆ3 i. b) – 1. c) 0.
d) 1. e) ͙ෆ3 i.
Resolução
I) z = – + i = 1 (cos 120° + i . sen 120°)
II) z2 = 1 . (cos 240° + i . sen 240°) = – – i
III)z89 = 189 . [cos (89 . 120°) + i . sen (89 . 120°) =
= cos 10680° + i . sen 10 680° =
= cos 240° + i . sen 240° = z2
IV) zn = z + z2 + … + z89 = =
= = z . (1 + z) = z + z2 =
= – + i – – i = –1
89
∑
n=1
1
–––
2
89
–––
2
89
–––
6
͙ෆ3
–––
2
1
–––
2
͙ෆ3
–––
2
1
–––
2
z . (1 – z89)
––––––––––
1 – z
89
∑
n = 1
z . (1 – z2)
––––––––––
1 – z
͙ෆ3
–––
2
1
–––
2
͙ෆ3
–––
2
1
–––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
2. 2 CC
Das afirmações abaixo sobre números complexos z1 e z2:
I) ͉z1 – z2⎪ ≤ ⎪⎪z1⎪ – ⎪z2⎪⎪.
II) ͉
–
z1 . z2⎪ = ⎪⎪
–
z2⎪ . ⎪
–
z2⎪⎪.
III) Se z1 = ͉z1͉ (cos θ + i sen θ) ≠ 0, então
z1
– 1 = ͉z1͉– 1 (cos θ – i sen θ).
é(são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III.
d) apenas II e III. e) todas.
Resolução
I) ͉z1 – z2͉ ≤ ͉͉z1͉ – ͉z2͉͉ é falsa, pois, se
z1 = 1 e z2 = – 3, por exemplo, temos
͉z1͉ = 1, ͉z2͉ = 3, ͉z1͉ – ͉z2͉ = 1 – 3 = – 2,
͉͉z1͉ – ͉z2͉͉ = ͉– 2͉ = 2 e ͉z1 – z2͉ = ͉1 – (– 3)͉ = 4,
Neste caso ͉z1 – z2͉ > ͉͉z1͉ – ͉z2͉͉
II) ͉–
z1 . z2͉ = ͉͉–
z2͉ . ͉–
z2͉͉ é falsa, pois, se por exemplo,
z1 = 1 – i e z2 = 3 + 4i, temos:
–
z1 = 1 + i,
–
z1 . z2 = (1 + i) .(3 + 4i) = – 1 + 7i ⇔
⇔ ͉–
z1 . z2͉ = ͉– 1 + 7i͉ = 5͙ළළ2
Além disso, –
z2 = 3 – 4i ⇔ ͉–
z2͉ = 5 ⇔
⇔ ͉͉–
z2͉ . ͉–
z2͉͉ = ͉5 . 5͉ = 25 ≠ ͉–
z1 . z2͉
III)Verdadeira
z1 = ͉–
z1͉ (cos θ + i sen θ) ⇔
⇔ z1
–1 = ͉–
z1͉– 1 (cos(– θ) + i sen (– θ)] =
= ͉z1͉– 1 . (cos θ – i sen θ) pois
cos (– θ) = cos θ e sen (– θ) = – sen θ
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
3. 3 EE
A soma de todas as soluções da equação em ރ :
z2 + ͉z͉2 + iz – 1 = 0 é igual a
a) 2. b) . c) 0. d) – . e) – 2i.
Resolução
Sendo z = a + bi, temos:
z2 + ͉z͉2 + iz – 1 = 0 ⇔
⇔ (a + bi)2 + a2 + b2 + i (a + bi) – 1 = 0 ⇔
⇔ a2 + 2abi + b2i2 + a2 + b2 + ai + bi2 – 1 = 0 ⇔
⇔ 2a2 + 2abi – b2 + b2 + ai – b – 1 = 0 ⇔
⇔ (2a2 – b – 1) + (2ab + a) . i = 0 ⇔
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ou ou ⇒
⇒ z1 = – i ou ou
Assim, z1 + z2 + z3 = – i – – i + – i = –2i
4 BB
Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10
são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas
coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada
mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta
moeda também apresentar uma coroa é
a) . b) . c) . d) . e) .
Resolução
I) 5 moedas são do tipo , 10 do tipo
e 25 do tipo .
II) Se uma moeda é retirada ao acaso e a face obser-
vada mostra uma coroa, então esta moeda é do
tipo ou do tipo e, por-
tanto, o total de possibilidades é 35.
III)Das 35 moedas do item (II), existem 25 do tipo
.
IV) A probabilidade pedida é = .
Ά
2a2 – b – 1 = 0
2ab + a = 0 Ά
2a2 – b – 1 = 0
a . (2b + 1) = 0
Ά
a = 0
b = – 1 Ά
1
a = – ––
2
1
b = – ––
2
Ά
1
a = ––
2
1
b = – ––
2
1 1
z2 = – ––– – ––– i
2 2
1 1
z3 = –– – –– i
2 2
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
1
–––
2
7
–––
8
5
–––
7
5
–––
8
3
–––
5
3
–––
7
Ca Ca
Ca Co Co Co
Ca Co Co Co
Co Co
25
–––
35
5
––
7
i
–––
2
1
–––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
4. 5 AA
Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que
A ʚ B e n({C : C ʚ B A}) = 128.
Então, das afirmações abaixo:
I) n(B) – n(A) é único;
II) n(B) + n(A) ≤ 128;
III) a dupla ordenada (n(A), n( B)) é única;
é( são) verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III.
d) apenas I e II. e) nenhuma.
Resolução
Observemos que {ރ : ރ ʚ BA} = P (BA), onde
P (BA) é o conjunto das partes (subconjuntos) de BA.
Assim,
n ({ރ : ރ ʚ BA}) = n [P(BA)] = 128 = 27 ⇔
⇔ n (BA) = 7 ⇔ n(B) – n(A) = 7, pois A ʚ B.
Desta forma, a dupla (n(A), n(B)) é qualquer do con-
junto {(1; 8), (2; 9), (3; 10); ……}
I) Verdadeira, pois n(B) – n(A) = 7
II) Falsa, pois (n(A), n(B)) = (61; 68), por exemplo
teremos n(B) + n(A) = 68 + 61 = 129 > 128
III)Falsa, pois existem infinitas duplas ordenadas
(n(A), n(B)), conforme exposto acima.
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5. 6 BB
x + 2y + 3z = a
O sistema
Ά y + 2z = b
3x – y – 5c z = 0
a) é possível, ∀a, b, c ∈ .ޒ
b) é possível quando a = ou c ≠ 1.
c) é impossível quando c = 1, ∀a, b ∈ .ޒ
d) é impossível quando a ≠ , ∀c ∈ .ޒ
e) é possível quando c = 1 e a ≠ .
Resolução
⇔
A terceira equação e, portanto, o sistema:
I) Admite solução única se, e somente se,
5c – 5 ≠ 0 ⇔ c ≠ 1
II) Admite infinitas soluções se, e somente se,
5c – 5 = 0 e 3a – 7b = 0 ⇔ c = 1 e a =
III)Não admite solução se, e somente se,
5c – 5 = 0 e 3a – 7b ≠ 0 ⇔ c = 1 e a ≠
Desta forma, o sistema admite solução se
a = ou c ≠ 1
7b
–––
3
7b
–––
3
7b
–––
3
x + 2y + 3z = a
y + 2z = b ⇔
7y + (5c + 9)z = 3a
Ά
x + 2y + 3z = a
y + 2z = b ⇔
3x – y – 5cz = 0
Ά
x + 2y + 3z = a
y + 2z = b
(5c – 5)z = 3a – 7bΆ
7b
–––
3
7b
–––
3
7b
–––
3
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6. 7 EE
Considere as afirmações abaixo:
I) Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não nula
e não inversível, então existe matriz não nula N, de
mesma ordem, tal que M N é matriz nula.
II) Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal
que det (M2 – M) = 0, então existe matriz não nula
X, de ordem n x 1, tal que MX = X.
III) A matriz é inversível,
∀θ ≠ + kπ, k ∈ .ޚ
Destas, é(são) verdadeira(s)
a) apenas II. b) apenas I e II. c) apenas I e III.
d) apenas II e III. e) todas.
Resolução
I) Verdadeira.
Se M é uma matriz quadrada não nula e não
inversível, então det M = 0.
Considere N =
A igualdade M . N = 0, em que 0 é a matriz nula de
ordem n, equivale a n sistemas lineares homo-
gêneos do tipo
M . =
Estes sistemas são possíveis e indeterminados, pois
det M = 0, admitem solução não trivial e, portanto,
existirá pelo menos um apk ≠ 0, para
p, k ∈ {1; 2; 3; …; n}.
Assim, de fato, existe N não nula, tal que M . N é
nula.
Um exemplo dessa situação é M =
e N = .
Ambas não são nulas e
M . N = =
[
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
........................................
an1 an2 an3 … ann
]
΅
– sen θ
θ
1 – 2 sen2 ––
2
cos θ
tg θ
–––––
sec θ
΄
π
––
2
]
0
0
...
0
[]
a1k
a2k
.
.
.
ank
[
]1 2
2 4[
]2 2
–1 –1[
]0 0
0 0[]2 2
–1 –1[]1 2
2 4[
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7. II) Verdadeira.
Se M é inversível, então det M ≠ 0. Assim, sendo I
a matriz identidade, temos:
1) det (M2 – M) = 0 ⇔ det [M . (M – I)] = 0 ⇔
⇔ det M . det (M – I) = 0 ⇔ det (M – I) = 0
2) A matriz X, de ordem n x 1, que satisfaz a
equação M . X = X é tal que:
M . X = X ⇔ M . X – X = 0 ⇔ (M – I) . X = 0
Assim, X é solução de um sistema linear
homogêneo possível e indeterminado, pois
det (M – I) = 0. Como esse sistema admite
solução não trivial, existe a matriz X não nula.
III)Verdadeira.
Lembrando que 1 – 2 sen2 = cos (2 . ) = cos
θ
e que
= tg θ . cos θ = sen θ, para ∀ θ ≠ + kπ, k ∈ ,ޚ
temos:
det =
=det = cos2θ + sen2θ = 1 ≠ 0.
Portanto, a matriz tem inversa.
8 CC
Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação
x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ∈ ,ޒ então a2 – b3 é igual
a
a) – 64. b) – 36. c) – 28. d) 18. e) 27.
Resolução
x = 1 é raiz dupla
⇔ ⇒
⇒ a2 – b3 = (– 6)2 – 43 = 36 – 64 = – 28
1 0 1 a b 1
1 1 2 2 + a 2 + a + b 1
1 2 4 6 + a
Ά
2 + a + b = 0
6 + a = 0 Ά
a = – 6
b = 4
θ
––
2
θ
––
2
tg θ
–––––
sec θ
π
––
2
[
cos θ – sen θ
tg θ θ
––––– 1–2sen2 ––
sec θ 2
]
[
cos θ – sen θ
sen θ cos θ
]
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
8. 9 AA
O produto das raízes reais da equação
|x2 – 3x + 2| = |2x – 3| é igual a
a) –5. b) –1. c) 1. d) 2. e) 5.
Resolução
|x2 – 3x + 2| = |2x – 3| ⇔
⇔ x2 – 3x + 2 = 2x – 3 ou x2 – 3x + 2 = –2x + 3 ⇔
⇔ x2 – 5x + 5 = 0 ou x2 – x – 1 = 0
Como as duas equações tem somente raízes reais, o
produto das quatro raízes resulta
(x1 . x2) . (x’1 . x’2) = 5 . (–1) = –5
10 AA
Considere a equação algébrica ∑
3
k=1
(x – ak)4 – k = 0. Sabendo
que x = 0 é uma das raízes e que (a1, a2, a3) é uma
progressão geométrica com a1 = 2 e soma 6, pode-se
afirmar que
a) a soma de todas as raízes é 5.
b) o produto de todas as raízes é 21.
c) a única raiz real é maior que zero.
d) a soma das raízes não reais é 10.
e) todas as raízes são reais.
Resolução
3
I) ∑ (x – a
k
)4 – k = (x – a1)3 + (x – a2)2 + (x – a3)1 = 0
k = 1
II) (a1, a2, a3) é progressão geométrica com a1 = 2,
razão q e soma 6, portanto, 2 + 2q + 2q2 = 6 ⇔
⇔ q2 + q – 2 = 0 ⇔ q = – 2 ou q = 1
III)(a1, a2, a3) = (2, – 4, 8) ou (a1, a2, a3) = (2, 2, 2)
IV) Se (a1, a2, a3) = (2, 2, 2), então a equação dada seria
(x – 2)3 + (x – 2)2 + (x – 2) = 0, que não admite zero
como raiz.
V) Aúnica possibilidade é, pois, (a1, a2, a3) = (2, – 4, 8)
e, neste caso, a equação dada é
(x – 2)3 + (x + 4)2 + (x – 8) = 0 ⇔
⇔ x3 – 5x2 + 21x = 0 ⇔ x . [x2 – 5x + 21] = 0 ⇒
⇒ x = 0 ou x =
VI) O conjunto verdade da equação dada é
Ά0; ; · e a única afirma-
ção verdadeira é que a soma de todas as raízes é 5.
5 ± ͙ෆෆ59 i
–––––––––
2
5 + ͙ෆෆ59 i
–––––––––
2
5 – ͙ෆෆ59 i
–––––––––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
9. 11 DD
A expressão 4e2x + 9e2y – 16ex – 54ey + 61 = 0, com x e
y reais, representa
a) o conjunto vazio.
b) um conjunto unitário. ,
c) um conjunto não unitário com um número finito de
pontos.
d) um conjunto com um número infinito de pontos.
e) o conjunto {(x, y) ∈ ޒ2
| 2(ex – 2)2 + 3(ey – 3)2 = 1}.
Resolução
I) 4e2x + 9e2y – 16ex – 54ey + 61 = 0 ⇔
⇔ 4e2x – 16ex + 16 + 9e2y – 54ey + 81 + 61 = 16 + 81 ⇔
⇔ 4 (ex – 2)2 + 9 (ey – 3)2 = 36 ⇔
II) A cada par ordenado (ex; ey) ∈ ޒ*+ x ޒ*+ , cor-
responde um único par ordenado (x; y) ∈ ޒ x .ޒ
III)A equação obtida no item (I), nas variáveis ex e ey,
representa um ramo de elipse, com centro no
ponto (2; 3) semieixo maior 3, semieixo menor 2 e
ambos paralelos aos respectivos eixos cartesianos.
IV) Aexpressão dada representa um conjunto com um
número infinito de pontos.
(ex – 2)2 (ey – 3)2
––––––––– + –––––––– = 1
9 4
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
10. 12 EE
Com respeito à equação polinomial
2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 = 0 é correto afirmar que
a) todas as raízes estão em .ޑ
b) uma única raiz está em ޚ e as demais estão em ޑ
.ޚ
c) duas raízes estão em ޑ e as demais têm parte imagi-
nária não nula.
d) não é divisível por 2x – 1.
e) uma única raiz está em ޑ ޚ e pelo menos uma das
demais está em ޒ .ޑ
Resolução
Seja P(x) = 2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2
Como P(1) = 0, então x = 1 e raiz da equação
2x4 – 3x3 – 3x2 + 6x – 2 = 0 ⇔
⇔ (x – 1) . (2x3 – x2 – 4x + 2) = 0 ⇔
⇔ (x – 1) . (x2 – 2) . (2x – 1) = 0 ⇔
⇔ x = 1 ou x = ͙ෆ2 ou x = – ͙ෆ2 ou x =
Dessa forma uma única raiz x = está em ޑ ޚ e
pelo menos uma das demais (x = ͙ෆ2 ) está em ޒ .ޑ
2 – 3 – 3 6 – 2 1
2 – 1 – 4 2 0
1
––
2
1
––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
11. 13 DD
Sejam m e n inteiros tais que = – e a equação
36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa uma
circunferência de raio r = 1 cm e centro C localizado no
segundo quadrante. Se A e B são os pontos onde a
circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC,
em cm2, é igual a
a) b) c)
d) e)
Resolução
36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 ⇔
⇔ x2 + y2 + . x + . y – = 0, representa uma
circunferência cujo centro é C ; , e
sendo o raio igual a 1, temos:
+ + = 1 ⇔ m2 + n2 = . 722
Para n = – m, resulta m2 + – . m
2
= . 722 ⇔
⇔ m = 24 e n = –36, pois o centro se localiza no 2.o
quadrante, portanto, o centro é C ;
Se A e B são os pontos onde a circunferência de raio 1
cruza o eixo Oy, podemos (a partir do gráfico a seguir)
obter a medida de AM (sendo M o ponto médio
de
–––
AB).
Assim:
AM2 + (1/3)2 = 12 ⇒ AM =
2 ͙ෆ2
––––––
3
m2
––––
722
n2
––––
722
23
––––
36
13
–––
36
3
––
2
3
––
2
13
–––
36
1
– –––
3
1
–––
2
m
––
n
2
––
3
8͙ළළ2
–––––
3
4͙ළළ2
–––––
3
2͙ළළ2
–––––
3
2͙ළළ2
–––––
9
͙ළළ2
––––
9
m
–––
36
n
–––
36
23
–––
36
– m
––––
72
– n
––––
72
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
12. Portanto, AB = e a área do triângulo ABC,
em
cm2, é =
14 CC
Entre duas superposições consecutivas dos ponteiros das
horas e dos minutos de um relógio, o ponteiro dos
minutos varre um ângulo cuja medida, em radianos, é
igual a
a) π. b) π. c) π.
d) π. e) π.
Resolução
Lembrando que, para cada 2π radianos de giro do
ponteiro dos minutos, o ponteiro das horas gira
radianos, temos:
Enquanto o ponteiro das horas girou x radianos, o
ponteiro dos minutos girou (2π + x) radianos, de modo
que
= ⇔ = 12 ⇔ x =
Desta forma, o ponteiro dos minutos varreu um
ângulo, em radianos, de 2π + =
(2π + x)
––––––
x
2π
––––––
π
––
6
2π + x
––––––
x
2π
–––
11
2π
–––
11
24π
––––
11
4 ͙ෆ2
––––––
3
4 ͙ෆ2 1
–––––– . ––––
3 3
–––––––––––––––
2
2 ͙ෆ2
––––––
9
23
–––
11
16
–––
6
24
–––
11
25
–––
11
7
––
3
π
–––
6
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
13. 15 DD
Seja ABC um triângulo retângulo cujos catetos AB
––
e BC
––
medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se D é um ponto
sobre AB
––
e o triângulo ADC é isósceles, a medida do
segmento AD
––
, em cm, é igual a
a) b) c) d) e)
Resolução
Sendo x = AD = CD, no triângulo retângulo BCD, de
acordo com o teorema de Pitágoras, tem-se:
(CD)2 = (BC)2 + (BD)2 ⇒ x2 = 62 + (8 – x)2 ⇔
⇔ 16x = 100 ⇔ x =
Portanto: AD = cm
25
–––
4
25
–––
4
3
––
4
15
–––
6
15
–––
4
25
–––
4
25
–––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
14. 16 CC
Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre
––––
AB.
Considere as áreas do quadrado ABCD, do trapézio
BEDC e do triângulo ADE. Sabendo que estas áreas
definem, na ordem em que estão apresentadas, uma
progressão aritmética cuja soma é 200 cm2, a medida do
segmento
––––
AE, em cm, é igual a
a) . b) 5. c) . d) . e) 10.
Resolução
Como o soma das três áreas é igual a 200 cm2, po-
demos então concluir que a área do quadrado ABCD
é igual a 100 cm2 e que portanto cada um dos seus
lados mede 10 cm.
Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que
estão apresentadas, uma progressão aritmética,
podemos então concluir que a área do trapézio é igual
a média aritmética entre a área do triângulo e a área
do quadrado.
Assim, sendo x = AE, temos:
= ⇔
⇔ 200 – 10x = 5x + 100 ⇔ 15x = 100 ⇔ x =
Portanto: AE = cm
20
–––
3
20
–––
3
[10 + (10 – x] . 10
––––––––––––––––
2
10 . x
––––– + 100
2
––––––––––––
2
10
–––
3
20
–––
3
25
–––
3
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
15. 17 BB
Num triângulo ABC o lado
––––
AB mede 2 cm, a altura rela-
tiva ao lado
––––
AB mede 1 cm, o ângulo A
^
BC mede 135° e
M é o ponto médio de
––––
AB . Então a medida de B
^
AC +
B
^
MC, em radianos, é igual a
a) π. b) π. c) π. d) π. e) π.
Resolução
A partir do enunciado, temos a seguinte figura:
I) O triângulo BHC é retângulo e isósceles, então
BH = HC = 1 cm
II) No triângulo MHC, tg β = =
III)No triângulo AHC, tg α = =
Como tg (α + β) = = = 1
conclui-se que α + β = B
^
AC + B
^
MC = (pois α e β
são agudos)
HC
–––––
MH
1
–––
2
HC
–––––
AH
1
–––
3
tg α + tg β
––––––––––––
1 – tg α . tg β
1 1
–– + ––
2 3
–––––––––
1 1
1 – –– . ––
2 3
π
–––
4
1
––
5
1
––
4
1
––
3
3
––
8
2
––
5
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
16. 18 AA
Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de
raio 5 cm. Sabe-se ainda que
––––
AB é o diâmetro,
––––
BC mede
6 cm e a bissetriz do ângulo A
^
BC intercepta a circun-
ferência no ponto D. Se α é a soma das áreas dos
triângulos ABC e ABD e β é a área comum aos dois, o
valor de α – 2β, em cm2, é igual a
a) 14. b) 15. c) 16. d) 17. e) 18.
Resolução
I) No triângulo ABC, de acordo com o teorema da
bissetriz do ângulo interno, temos:
= ⇔ a = 3
II) Como o triângulo ABC é retângulo, temos:
cos (2x) = = e portanto
cos (2x) = 1 – 2 sen2x ⇒ = 1 – 2 sen2x ⇔
⇔ sen x = , pois x é ângulo agudo.
III)No triângulo retângulo ADE, temos:
cos (90° – x) = ⇒ sen x = ⇒
⇒ = ⇒ b = ͙ෆ5
IV) Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo
retângulo ADE, temos:
c2 + b2 = (8 – a)2 ⇒ c2 + ( ͙ෆ5 )2
= 52
⇔
⇔ c = 2 ͙ෆ5 cm
V) Sendo S1 e S2 as áreas dos triângulos ADE e BCE,
respectivamente, temos:
α – 2β = S1 + S2 = + =
= + = 14 cm2
͙ෆ5
–––––
5
b
–––
5
b . c
–––––
2
a . 6
–––––
2
10
–––––
8 – a
6
––
a
6
––
10
3
––
5
3
––
5
͙ෆ5
–––––
5
b
–––
AE
b
–––––
8 – a
3 . 6
–––––
2
͙ෆ5 . 2͙ෆ5
–––––––––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
17. 19 EE
Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular
hexagonal cuja altura mede 12 cm e a aresta da base mede
͙ෆ3 cm. Então o raio da esfera, em cm, é igual a
a) ͙ෆ3 . b) . c) .
d) 2 ͙ෆ3 . e) .
Resolução
I) O apótema
–––
PM da base dessa pirâmide, em
centímetros, mede:
. = 5
II) O apótema
–––
VM da pirâmide, em centímetros,
mede:
122 + 52 = 13
III)Da semelhança entre os triângulos retângulos
TOV e PMV, temos:
=
Assim, sendo x o raio da esfera, em centímetros,
temos finalmente:
= ⇔ 18x = 60 ⇔ x =
OT
–––
PM
VO
–––
VM
x
–––
5
12 – x
––––––
13
10
–––
3
10
–––
3
10
–––
3
13
–––
3
15
–––
4
10
–––
3
10 ͙ෆ3
–––––––
3
͙ෆ3
––––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
18. 20 CC
Considere as afirmações:
I. Existe um triedro cujas 3 faces têm a mesma medida
α = 120°.
II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces
medem, respectivamente, 30°, 45°, 50°, 50° e 170°.
III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares,
1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces
hexagonais tem 9 vértices.
IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro
convexo com 10 vértices é 2880°.
Destas, é(são) correta(s) apenas
a) II. b) IV. c) II e IV.
d) I, II e IV. e) II, III e IV.
Resolução
I) A afirmação I é falsa, pois a soma das faces de um
triedro é sempre menor que 360°.
II) A afirmação II é correta, pois:
30° + 45° + 50° + 50° + 170° < 360° e
170° < 30° + 45° + 50° + 50°
III)A afirmação III é falsa, pois um poliedro convexo
que tem 7 faces, sendo 3 triangulares, 1 quadran-
gular, 1 pentagonal e 2 hexagonais, tem
= 15 arestas e, portanto,
o seu número “x” de vértices deve satisfazer a
Relação de Eüler, ou seja: x – 15 + 7 = 2 ⇔ x = 10
IV) A soma das medidas dos ângulos de todas as faces
de um poliedro convexo com 10 vértices é igual a
(10 – 2) . 360° = 2880°.
Assim, interpretando a expressão “soma das
medidas de todas as faces” como “soma das
medidas dos ângulos de todas as faces”, podemos
concluir que a afirmação IV é correta.
Portanto, são corretas apenas as afirmações II e
IV.
3 . 3 + 1 . 4 + 1 . 5 + 2 . 6
–––––––––––––––––––––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
19. As questões dissertativas, numeradas de 21 a 30, devem
ser resolvidas no caderno de soluções
21
Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não
vazios, tais que (AB)ʴ(BA) = A.
Resolução
Lembrando que (A B) ʜ (B A) = (A ʜ B) – (A ʵ B),
temos:
I) (A B) ʜ (B A) = A ⇔ (A ʜ B) – (A ʵ B) = A ⇔
⇔ [(Aʜ B) – (Aʵ B)] ʜ (Aʵ B) = Aʜ (Aʵ B) ⇔
⇔ A ʜ B = A ʵ (A ʜ B) ⇔ A ʜ B = A ⇔ B ʚ A
II) No entanto, se B ʚ A, temos A ʵ B = B, B A = Ø
(A B) ʜ (B A) = (A B) ʜ Ø = A B e
(A B) ʜ (B A) = A ⇔ A B = A ⇔ A ʵ B = Ø ⇔
⇔ B = Ø, contrariando o enunciado.
Resposta: Não existem conjuntos A e B satisfazendo as
condições dadas.
22
Sejam n ≥ 3 ímpar, z ∈ ރ {0} e z1, z2, ..., zn as raízes
de zn = 1. Calcule o número de valores ͉zi – zj͉, i, j = 1, 2, ....
n, com i ≠ j, distintos entre si.
Resolução
I) Se n ≥ 3, ímpar e z1, z2, z3, …, zn as raízes da
equação zn = 1 = cos 0° + i . sen 0° então:
z1 = cos . 0 + i . sen . 0 = 1
z2 = cos . 1 + i . sen . 1
Ӈ
zk+1 = cos . k + i . sen . k
Ӈ
zn = cos (n – 1) + cos . (n – 1)
II) Estas n soluções, representadas no plano com-
plexo, são pontos de uma circunferência de raio 1
e dividem esta circunferência em n partes iguais
determinando um polígono regular de n lados.
III)Se zi e zj forem duas quaisquer dessas soluções
então ͉zi – zj͉2 é a distância entre os afixos de zi e zj.
2π
–––
n
2π
–––
n
2π
–––
n
2π
–––
n
2π
–––
n
2π
–––
n
΄
2π
–––
n ΅ ΄
2π
–––
n ΅
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
20. IV) ͉z1 – z2͉ = ͉z2 – z3͉ = ͉z3 – z4͉ = … = d12
V) ͉z1 – z3͉ = ͉z2 – z4͉ = ͉z3 – z5͉ = … = d13
VI) ͉z1 – z4͉ = ͉z1 – z5͉ = … = d14
VII) ͉z1 – z5͉ = ͉z2 – z6͉ = … = d15
Ӈ
VIII) Do ponto P1 saem diagonais de tamanhos
diferentes e o lado P1P2 do polígono de medida
d12
IX) O número total de valores distinto de ͉zi – zj͉ é
+ 1 =
23
Sobre uma mesa estão dispostos 5 livros de história, 4 de
biologia e 2 de espanhol. Determine a probabilidade de os
livros serem empilhados sobre a mesa de tal forma que
aqueles que tratam do mesmo assunto estejam juntos.
Resolução
Os 11 livros podem ser empilhados de 11! maneiras
diferentes sobre a mesa.
Desses casos, estarão juntos aqueles que tratam de um
mesmo assunto num total de 5! 4! 2! 3!.
A probabilidade pedida é, pois p = =
= =
Resposta:
5! 4! 2! 3!
–––––––––––
11!
5! 24 . 2 . 6
–––––––––––––––––––
11 . 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5!
1
––––––
1155
1
––––––
1155
n – 3
–––––
2
n – 3
–––––
2
n – 1
–––––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
21. 24
Resolva a inequação em ޒ : 16 <
log
1/5
(x2 – x + 19)
.
Resolução
16 <
log
1/5
(x2 – x + 19)
⇔ 4– log1/5(x2 – x + 19)
> 42 ⇔
⇔ – log (x2 – x + 19) > 2 ⇔ log (x2 – x + 19) < – 2 ⇔
⇔ x2 – x + 19 > 25 ⇔ x2 – x – 6 > 0 ⇔ x < – 2 ou x > 3
Obs.:
1) O gráfico de f(x) = x2 – x – 6 é do tipo
2) x2 – x + 19 > 0 ∀x ∈ ޒ
Resposta: S = {x ∈ ޒ ͉ x < – 2 ou x > 3}
25
Determine todas as matrizes M ∈ ލ2x2()ޒ tais que
MN = NM, ∀N ∈ ލ2x2(.)ޒ
Resolução
Sejam M = e N = .
Se M.N = N.M, ∀N ∈ ލ2×2 (,)ޒ então:
. = . ⇔
⇔ = ⇔
⇔
Das equações (I) e (IV), temos cy = bz, que só é ver-
dadeira para quaisquer b e c se, e somente se, y = z = 0.
Substituindo nas equações (II) e (III), temos bx = bw
e cw = cx, que só são verdadeiras para quaisquer b e
c se, e somente se, x = w.
Assim, as matrizes M que satisfazem as condições
dadas são do tipo , ∀x.
Resposta: , ∀x
1
––
4
1––
5
1––
5
΄
x
z
y
w ΅ ΄
a
c
b
d ΅
΄
x
z
y
w ΅ ΄
a
c
b
d ΅ ΄
a
c
b
d ΅ ΄
x
z
y
w ΅
΄
ax + cy
az + cw
bx + dy
bz + dw ΅ ΄
ax + bz
cx + dz
ay + bw
cy + dw ΅
Ά
ax + cy = ax + bz (I)
bx + dy = ay + bw (II)
az + cw = cx + dz (III)
bz + dw = cy + dw (IV)
΄
x
0
0
x ΅
1
––
4
΅
x
0
0
x΄
IITTAA ((33ºº DDIIAA )) –– DDEEZZEEMMBBRROO//22001100
22. 26
Determine todos os valores de m ∈ ޒ tais que a equação
(2 – m) x2 + 2mx + m + 2 = 0 tenha duas raízes reais
distintas e maiores que zero.
Resolução
Aequação ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) terá duas raízes reais
distintas e maiores que zero se, e somente se,
Δ = b2 – 4 ac > 0, P = > 0 e S = > 0.
Para a equação dada, devemos ter
I) (2m)2 – 4 (2 – m) (2 + m) > 0 ⇔
⇔ 4m2 – 4 (4 – m2) > 0 ⇔ 8m2 – 16 > 0 ⇔
⇔ m < – ͙ළළ2 ou m > ͙ළළ2
II) > 0 ⇔ (m + 2) (2 – m) > 0 ⇔ – 2 < m < 2
III) > 0 ⇔ – 2m (2 – m) > 0 ⇔ m < 0 ou m > 2
De (I), (II) e (III), concluímos que – 2 < m < – ͙ළළ2 .
Resposta: – 2 < m < – ͙ළළ2
27
Considere uma esfera Ω com centro em C e raio r = 6 cm
e um plano Σ que dista 2 cm de C. Determine a área da
intersecção do plano Σ com uma cunha esférica de 30°
em Ω que tenha aresta ortogonal a Σ.
Resolução
No triângulo retângulo AOC, temos CA= r = 6cm,
CO = 2cm e (AO)2 + 22 = 62 ⇒ AO = 4 ͙ෆ2 cm
A intersecção de ∑ com Ω é o setor circular AOB de
30° cujo raio mede 4 ͙ෆ2 cm.
Assim, sendo S, em cm2, a área do setor AOB, temos:
S = . π . (4 ͙ෆ2 )2
=
Resposta: cm2
c
––
a
–b
–––
a
m + 2
–––––––
2 – m
– 2m
–––––––
2 – m
30°
––––
360°
8π
––––
3
8π
––––
3
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23. 28
a) Calcule
cos2 – sen2
cos –2 sen cos sen .
b) Usando o resultado do item anterior, calcule
sen cos .
Resolução
a)
cos2
–sen2
.cos – 2. sen .cos . sen =
= cos . cos – sen . sen =
= cos = cos = 0
b) Usando o resultado do item anterior, temos:
cos2 – sen2
.cos =
= 2 . sen . cos . sen ⇔
⇔ sen . cos = ⇔
⇔ sen . cos =
= =
Notandoque e sãocomplementares,temos
sen = cos e, portanto, resulta:
sen . cos =
Respostas: a) 0 b)
π
–––
10
π
––
5
π
––
5
π
––
5
π
–––
10
π
––
5
π
––
5
π
–––
10
2π
–––5
π
–––
10
2π
–––5
π
–––
10
2π π
––– + –––5 10
π
–––
2
π
––
5
π
––
5
π
–––
10
π
––
5
π
––
5
π
–––
10
π
–––
10
π
––
5
2π π
cos ––– . cos –––
5 10
–––––––––––––––––
π
2 . sen –––
5
π
–––
10
π
––
5
2π π
cos ––– . cos –––
5 10
–––––––––––––––––
π π
4 . sen ––– . cos –––
10 10
2π
cos –––
5
––––––––––
π
4 . sen –––
10
π
–––10
2π
–––5
π
–––
10
2π
–––
5
π
–––
10
π
–––
5
1
–––
4
1
–––
4
π
––
5
π
––
5
π
–––
10
π
––
5
π
––
5
π
–––
10
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24. 29
Num triângulo AOB o ângulo AOB
^
mede 135° e os lados
AB
–––
e OB
–––
medem ͙ළළ2 cm e ͙ළළළළළළළ2 – ͙ළළ3 cm, respectivamente.
A circunferência de centro em O e raio igual à medida de
OB
–––
intercepta AB
–––
no ponto C (≠ B).
a) Mostre que OAB^ mede 15°.
b) Calcule o comprimento de AC
–––
.
Resolução
a)
I) Sendo AB = ͙ෆ2 cm, OB = ͙ෆෆෆ2 – ͙ෆ3 cm e apli-
cando a lei dos senos no ΔAOB, temos:
⇔
⇔ sen
^
A = =
= = (I)
Obs.: A – ͙ෆB = –
com C = A2 – B
II) sen 15° = sen (60° – 45°) =
= sen 60° . cos 45° – sen 45° . cos 60° =
= . – . = (II)
De (I) e (II), temos: sen
^
A = sen 15° ⇒
^
A = 15°,
pois
^
A é agudo. Portanto, o ângulo O
^
AB mede 15°.
͙ෆෆෆ2 – ͙ෆ3 ͙ෆ2
––––––––– = –––––––––
sen
^
A sen 135°
͙ෆෆෆ2 – ͙ෆ3
––––––––
2
2 + 1 2 – 1
––––– – –––––
2 2
––––––––––––––––––– =
2
͙ෆ3 1
–––– – ––––
͙ෆ2 ͙ෆ2
––––––––––––
2
͙ෆ6 – ͙ෆ2
–––––––––
4
A + C
––––––
2
A – C
––––––
2
͙ෆ3
––––
2
͙ෆ2
––––
2
͙ෆ2
––––
2
1
––
2
͙ෆ6 – ͙ෆ2
–––––––––
4
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25. b)
O triângulo OBC é isósceles, pois
OB = OC = ͙ෆෆෆෆෆ2 – ͙ෆ3 (raio)
Assim, sendo α a medida dos ângulos congruentes
O
^
BC e O
^
CB e β a medida do ângulo A
^
OC, temos:
I) 15° + 135° + α = 180° ⇔ α = 30°
II) α = 15° + β, pois α é ângulo externo ao triân-
gulo CAO
Assim: 30° = 15° + β ⇔ β = 15° ⇔
⇔ C^AO ≅ C
^
OA ⇔ Δ CAO é isósceles com
base
–––
AO ⇔ AC = OC
Portanto: AC = ͙ෆෆෆෆෆ2 – ͙ෆ3
Respostas: a) demonstração b) ͙ෆෆෆෆෆ2 – ͙ෆ3
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26. 30
Considere um triângulo equilátero cujo lado mede
2͙ළළ3 cm. No interior deste triângulo existem 4 círculos de
mesmo raio r. O centro de um dos círculos coincide com
o baricentro do triângulo. Este círculo tangencia externa-
mente os demais e estes, por sua vez, tangenciam 2 lados
do triângulo.
a) Determine o valor de r.
b) Calcule a área do triângulo não preenchida pelos cír-
culos.
c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, determine
a distância do centro ao vértice mais próximo.
Resolução
a) I) A altura h, em centímetros, do triângulo equi-
látero
ABC é tal que h = = 3
II) G é o baricentro do triângulo equilátero ABC.
Assim: AG = . h = . 3 = 2
III) H é o baricentro do triângulo equilátero ADE.
Assim: AH = 2 . HN ⇔ AH = 2r
IV) AH + HN + NG = AG
Assim: 2r + r + r = 2 ⇔ r =
b) A área S, em centímetros quadrados, da região
interna ao triângulo ABC não preenchida pelos
círculos é dada por:
S = – 4π r2
Assim: S = – 4 . π .
2
⇔ S = 3 ͙ෆ3 – π
c) Para cada círculo que tangencia o triângulo, a
distância do centro ao vértice mais próximo é
dada por: d = AH = IB = JC = 2r
Assim: d = 2 . ⇔ d = 1
Respostas: a) cm b) 3 ͙ෆ3 – π cm2 c) 1cm
1
––
2
BC . h
––––––
2
2 ͙ෆ3 . 3
–––––––
2
1
––2
1
––
2
2 ͙ෆ3 . ͙ෆ3
––––––––––
2
2
––
3
2
––
3
1
––
2
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