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1ª Lista de exercícios de Geometria - 3° ano Teresópolis,
                                                                                     Fevereiro de 2011.
                                                                                  Professor: Carlinhos
                   PIRÂMIDES
                                                           5) O volume de uma pirâmide triangular regular é
PARTE I                                                            3
                                                           27 3 m . Calcule a aresta da base, sabendo que a
1)   Quantas faces     laterais   têm   uma    pirâmide    altura é igual ao semiperímetro da base.
     quadrangular?
                                                           6) Uma barraca com forma de pirâmide de base
                                                           quadrada de 30 dm de lado pode ser vedada com
2) Qual é o total de arestas de uma pirâmide               quatro lonas triangulares de 25 dm de altura. Quantos
   pentagonal?                                             litros de ar cabem na barraca?


3) Qual é a pirâmide que tem 16 arestas?                   TESTES
                                                           1. (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um
4) Uma pirâmide hexagonal regular de 21 cm de altura
tem o apótema da base medindo 20 cm. Calcule a             retângulo de lados AB = 4 e BC = 3.
medida      do      apótema        da     pirâmide.        As áreas dos triângulos ABE e CDE são,
                                                           respectivamente, 4Ë10 e 2Ë37 . Calcule o volume da
                                                           pirâmide.
5) Uma pirâmide de base quadrada tem 15 cm de
altura e 17 cm de apótema. Calcule o perímetro da
base.

6) O apótema de uma pirâmide regular de base
arbitrária tem 24 cm e a aresta lateral mede 25 cm.
Calcule o lado da base.

7) A área lateral de uma pirâmide hexagonal regular é
       2
72 cm . Calcule a aresta da base, sabendo que a
aresta lateral mede 5 cm.                                  2. (Ufsc) Em uma pirâmide quadrangular regular a
8) Uma pirâmide quadrangular regular tem 3 m de            aresta lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm.
altura e 8 m de aresta da base. Calcule a área total e o   Determine o volume, em cm¤,desta.
volume desta pirâmide.
                                                           3. (Unesp) A figura representa uma pirâmide com
                                                           vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a
PARTE II
                                                           face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto
                                                           no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um
1) A aresta lateral de uma pirâmide regular                plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a
quadrangular mede 13 cm e a aresta da base,
                                                           pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e
5 2 cm. Calcule seu volume.                                um tronco de pirâmide de altura H.
                                                     3
2) O volume de uma pirâmide quadrangular é 144 m e
a altura é o dobro da aresta da base. Calcule a altura
dessa pirâmide.

3) Uma pirâmide tem por base um triângulo eqüilátero
de lado 12 cm. As faces laterais formam com o plano
da base ângulos de 60º. Calcule a altura e a aresta
lateral.

4) A aresta da base de uma pirâmide regular
hexagonal mede 4 cm. Sabendo que a área lateral é o
quíntuplo da área da base, calcule seu volume.

                                                                                                                 1
1ª Lista de exercícios de Geometria - 3° ano Teresópolis,
                                                                                    Fevereiro de 2011.
                                                                                 Professor: Carlinhos
Sabendo-se que H=4cm, AB=6cm, BC=3cm e a altura
h=AE=6cm, determine:
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D';
b) o volume do tronco de pirâmide.

4. (Cesgranrio) Uma pirâmide quadrangular regular
tem todas as arestas iguais a x. O volume dessa
pirâmide é:
a) (x¤Ë2)/3     b) (x¤Ë2)/6
c) (x¤Ë3)/2     d) (x¤Ë3)/6     e) x¤
                                                          9. (Uerj) Leia os quadrinhos:
5. (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície
lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O
lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As
telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes
que cobrem 1m£. Supondo que possa haver 10 lotes
de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o
número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130

6. (G1) Um faraó projetou uma pirâmide de 100m de
altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m, dentro
da qual estaria seu túmulo. Para edificar 1000m¤ a
mão de obra escrava gastava, em média, 72 dias.
Nessas condições, o tempo necessário, em anos, para       Suponha que o volume de terra acumulada no
a construção dessa pirâmide foi, aproximadamente,         carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do
a) 76 b) 66 c) 56 d) 46                                   sólido esquematizado na figura 1, formado por uma
                                                          pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo
7. (Ita) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e    retângulo.
altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá-    Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou
la por um plano paralelo à base de forma que o volume     em cada ano de trabalho é, em dm¤, igual a:
da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide         a) 12 b) 13 c) 14 d) 15
original?
a) 2 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m.                   10. (Ufc) Um tetraedro regular tem arestas medindo
                                                          Ë6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a:
8. (Uel) Considere o cubo de aresta 3 cm e vértices       a) 1/2 cm       b) 1 cm          c) 3/2 cm
ABCDEFG. Considere o ponto P situado no                   d) 2 cm         e) 5/2 cm
prolongamento da aresta EA de modo que PA = 5 cm,
como está estabelecido na figura.                         11. (Uff) A grande pirâmide de Quéops, antiga
                                                          construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular
A maior e a menor aresta lateral da pirâmide PEFGH        de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face
medem, respectivamente:                                   dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura
a) Ë82 cm e 8 cm       b) Ë82 cm e 4 cm                   relativa à base mede 179 m.
c) Ë43 cm e 8 cm       d) 20 cm e 10 cm                   A área da base dessa pirâmide, em m£, é:
e) 12 cm e 8 cm                                           a) 13.272       b) 26.544       c) 39.816
                                                          d) 53.088       e) 79.432

                                                                                                               2
1ª Lista de exercícios de Geometria - 3° ano Teresópolis,
                                                                                    Fevereiro de 2011.
                                                                                 Professor: Carlinhos
                                                          15. (Unesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar
12. (Ufscar) As bases ABCD e ADGF das pirâmides           em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira,
ABCDE e ADGFE são retângulos e estão em planos            que será apoiado sobre uma pirâmide de base
perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma           quadrada feita de concreto maciço, como mostra a
pirâmide regular de altura 3 cm e apótema lateral 5 cm,   figura.
e que ADE é face lateral comum às duas pirâmides.




Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o
volume da pirâmide ADGFE, em cm¤, é
                                                          Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m
a) 67,2.       b) 80.         c) 89,6.
                                                          e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de
d) 92,8.       e) 96.
                                                          concreto (em m¤) necessário para a construção da
                                                          pirâmide será
13. (Ufsm) Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro
                                                          a) 36.          b) 27.          c) 18.
na forma de pirâmide quadrangular, para verificar o
                                                          d) 12.          e) 4.
índice pluviométrico de uma certa região. A água,
depois de recolhida, é colocada num cubo de 10 cm de
                                                          16. (Unirio)
aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8
cm e forma uma pequena pirâmide de 10 cm de
apótema lateral, então a altura atingida pela água no
cubo é de
a) 2,24 cm      b) 2,84 cm       c) 3,84 cm
d) 4,24 cm      e) 6,72 cm




                                                          Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a
                                                          figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide
                                                          é de 6 m¤, então, o volume do cubo, em m¤, é igual a:
                                                          a) 9    b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
                                                          17. (Ufc) Um cone circular reto e uma pirâmide de
                                                          base quadrada têm a mesma altura e o mesmo
                                                          volume. Se r é a medida do raio da base do cone, e b
14. (Ufsm) Uma pirâmide tem altura H. A que distância     é a medida do lado da base da pirâmide, então o
do vértice deve-se passar um plano paralelo à base,       quociente b/r é igual a:
para dividi-la em duas partes de mesmo volume?            a) 1/3 b) 1       c) Ë™ d) ™     e) 2™
a) H/¤Ë2         b) ¤ËH/2       c) 3ËH
d) H/3           e) H/2




                                                                                                                  3
1ª Lista de exercícios de Geometria - 3° ano Teresópolis,
                                                         Fevereiro de 2011.
                                                      Professor: Carlinhos
GABARITO DOS TESTES DE
PIRÂMIDES
1. 24 u.v.

2. 24

3. a) 4/3 cm¤
b) 104/3 cm¤

4. [B]

5. [A]

6. [B]

7. [C]

8. [A]

9. [D]

10. [D]

11. [D]

12. [C]

13. [C]

14. [A]

15. [D]

16. [D]

17. [C]




                                                                          4

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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS( PIRÂMIDES)

  • 1. 1ª Lista de exercícios de Geometria - 3° ano Teresópolis, Fevereiro de 2011. Professor: Carlinhos PIRÂMIDES 5) O volume de uma pirâmide triangular regular é PARTE I 3 27 3 m . Calcule a aresta da base, sabendo que a 1) Quantas faces laterais têm uma pirâmide altura é igual ao semiperímetro da base. quadrangular? 6) Uma barraca com forma de pirâmide de base quadrada de 30 dm de lado pode ser vedada com 2) Qual é o total de arestas de uma pirâmide quatro lonas triangulares de 25 dm de altura. Quantos pentagonal? litros de ar cabem na barraca? 3) Qual é a pirâmide que tem 16 arestas? TESTES 1. (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um 4) Uma pirâmide hexagonal regular de 21 cm de altura tem o apótema da base medindo 20 cm. Calcule a retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. medida do apótema da pirâmide. As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4Ë10 e 2Ë37 . Calcule o volume da pirâmide. 5) Uma pirâmide de base quadrada tem 15 cm de altura e 17 cm de apótema. Calcule o perímetro da base. 6) O apótema de uma pirâmide regular de base arbitrária tem 24 cm e a aresta lateral mede 25 cm. Calcule o lado da base. 7) A área lateral de uma pirâmide hexagonal regular é 2 72 cm . Calcule a aresta da base, sabendo que a aresta lateral mede 5 cm. 2. (Ufsc) Em uma pirâmide quadrangular regular a 8) Uma pirâmide quadrangular regular tem 3 m de aresta lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm. altura e 8 m de aresta da base. Calcule a área total e o Determine o volume, em cm¤,desta. volume desta pirâmide. 3. (Unesp) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a PARTE II face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um 1) A aresta lateral de uma pirâmide regular plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a quadrangular mede 13 cm e a aresta da base, pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e 5 2 cm. Calcule seu volume. um tronco de pirâmide de altura H. 3 2) O volume de uma pirâmide quadrangular é 144 m e a altura é o dobro da aresta da base. Calcule a altura dessa pirâmide. 3) Uma pirâmide tem por base um triângulo eqüilátero de lado 12 cm. As faces laterais formam com o plano da base ângulos de 60º. Calcule a altura e a aresta lateral. 4) A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 4 cm. Sabendo que a área lateral é o quíntuplo da área da base, calcule seu volume. 1
  • 2. 1ª Lista de exercícios de Geometria - 3° ano Teresópolis, Fevereiro de 2011. Professor: Carlinhos Sabendo-se que H=4cm, AB=6cm, BC=3cm e a altura h=AE=6cm, determine: a) o volume da pirâmide EA'B'C'D'; b) o volume do tronco de pirâmide. 4. (Cesgranrio) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas iguais a x. O volume dessa pirâmide é: a) (x¤Ë2)/3 b) (x¤Ë2)/6 c) (x¤Ë3)/2 d) (x¤Ë3)/6 e) x¤ 9. (Uerj) Leia os quadrinhos: 5. (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m£. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130 6. (G1) Um faraó projetou uma pirâmide de 100m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m, dentro da qual estaria seu túmulo. Para edificar 1000m¤ a mão de obra escrava gastava, em média, 72 dias. Nessas condições, o tempo necessário, em anos, para Suponha que o volume de terra acumulada no a construção dessa pirâmide foi, aproximadamente, carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do a) 76 b) 66 c) 56 d) 46 sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo 7. (Ita) Seja uma pirâmide regular de base hexagonal e retângulo. altura 10 m. A que distância do vértice devemos cortá- Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou la por um plano paralelo à base de forma que o volume em cada ano de trabalho é, em dm¤, igual a: da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 original? a) 2 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. e) 8 m. 10. (Ufc) Um tetraedro regular tem arestas medindo Ë6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a: 8. (Uel) Considere o cubo de aresta 3 cm e vértices a) 1/2 cm b) 1 cm c) 3/2 cm ABCDEFG. Considere o ponto P situado no d) 2 cm e) 5/2 cm prolongamento da aresta EA de modo que PA = 5 cm, como está estabelecido na figura. 11. (Uff) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular A maior e a menor aresta lateral da pirâmide PEFGH de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face medem, respectivamente: dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura a) Ë82 cm e 8 cm b) Ë82 cm e 4 cm relativa à base mede 179 m. c) Ë43 cm e 8 cm d) 20 cm e 10 cm A área da base dessa pirâmide, em m£, é: e) 12 cm e 8 cm a) 13.272 b) 26.544 c) 39.816 d) 53.088 e) 79.432 2
  • 3. 1ª Lista de exercícios de Geometria - 3° ano Teresópolis, Fevereiro de 2011. Professor: Carlinhos 15. (Unesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar 12. (Ufscar) As bases ABCD e ADGF das pirâmides em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, ABCDE e ADGFE são retângulos e estão em planos que será apoiado sobre uma pirâmide de base perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma quadrada feita de concreto maciço, como mostra a pirâmide regular de altura 3 cm e apótema lateral 5 cm, figura. e que ADE é face lateral comum às duas pirâmides. Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o volume da pirâmide ADGFE, em cm¤, é Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m a) 67,2. b) 80. c) 89,6. e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de d) 92,8. e) 96. concreto (em m¤) necessário para a construção da pirâmide será 13. (Ufsm) Um técnico agrícola utiliza um pluviômetro a) 36. b) 27. c) 18. na forma de pirâmide quadrangular, para verificar o d) 12. e) 4. índice pluviométrico de uma certa região. A água, depois de recolhida, é colocada num cubo de 10 cm de 16. (Unirio) aresta. Se, na pirâmide, a água atinge uma altura de 8 cm e forma uma pequena pirâmide de 10 cm de apótema lateral, então a altura atingida pela água no cubo é de a) 2,24 cm b) 2,84 cm c) 3,84 cm d) 4,24 cm e) 6,72 cm Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m¤, então, o volume do cubo, em m¤, é igual a: a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 17. (Ufc) Um cone circular reto e uma pirâmide de base quadrada têm a mesma altura e o mesmo volume. Se r é a medida do raio da base do cone, e b 14. (Ufsm) Uma pirâmide tem altura H. A que distância é a medida do lado da base da pirâmide, então o do vértice deve-se passar um plano paralelo à base, quociente b/r é igual a: para dividi-la em duas partes de mesmo volume? a) 1/3 b) 1 c) Ë™ d) ™ e) 2™ a) H/¤Ë2 b) ¤ËH/2 c) 3ËH d) H/3 e) H/2 3
  • 4. 1ª Lista de exercícios de Geometria - 3° ano Teresópolis, Fevereiro de 2011. Professor: Carlinhos GABARITO DOS TESTES DE PIRÂMIDES 1. 24 u.v. 2. 24 3. a) 4/3 cm¤ b) 104/3 cm¤ 4. [B] 5. [A] 6. [B] 7. [C] 8. [A] 9. [D] 10. [D] 11. [D] 12. [C] 13. [C] 14. [A] 15. [D] 16. [D] 17. [C] 4