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Equação do Segundo Grau


   Tipos, Estudo do Delta (ou Discriminante),
   Raízes da Equação do Segundo Grau, Soma e
   Produto, Máximos e Mínimos, Equações do
   Segundo Grau Disfarçadas e Exercícios de
   Fixação.



                                          Prof. Ary de Oliveira
Tipos de Equação do Segundo Grau

 As equações do 2° grau costumam                     se
 apresentar das seguintes formas:

 I) ax2 + bx + c = 0;

 II) a(x – x’)(x – x’’) = 0.

 Onde x’ e x’’ são as raízes da equação.


                                           Prof. Ary de Oliveira
Estudo do Delta (ou Discriminante)

 Na equação do tipo (I):
                      ax2 + bx + c = 0
 Temos que o Delta ou Discriminante ( ) pode ser obtido
 através da relação a seguir:
                         = b2 – 4ac
 I) Quando < 0: Não temos raízes reais;
 II) Quando = 0: Teremos uma única raiz (ou raiz dupla);
 III) Quando > 0: Teremos duas raízes distintas.




                                              Prof. Ary de Oliveira
Raízes da Equação do Segundo Grau

  Levando       em    consideração        o    Slide  anterior,
  encontraremos as raízes para os casos em que o delta
  (ou discriminante) for maior ou igual a zero: ≥ 0.
  I) Quando = 0: Teremos uma única raiz (ou raiz dupla);
                       x’ = x’’ = – b + √
                                     2a
  III) Quando > 0: Teremos duas raízes distintas.
            x’ = – b + √        OU      x’’ = – b – √
                    2a                           2a



                                                    Prof. Ary de Oliveira
Soma e Produto

 Soma das Raízes:
                  x’ + x’’ = – b
                              a
 Produto das Raízes:
                   x’.x’’ = c
                             a




                                   Prof. Ary de Oliveira
Máximos e Mínimos

 Teremos um ponto de Máximo quando o coeficiente
 a < 0 e um ponto de Mínimo quando o coeficiente a > 0.
 Esse ponto de Máximo ou de Mínimo recebe o nome de
 Vértice e podemos encontrar as coordenados do vértice
 do seguinte modo:
               xV = – b   E      yV = –
                     2a               4a




                                              Prof. Ary de Oliveira
Equações do 2°Grau Disfarçada

 Algumas equações não parecem ser do segundo grau,
 mas elas podem ser transformadas de modo a sê-lo. São
 exemplos de Equações Disfarçadas:
 I) Equação Fracionária: 2 + 3 = 1
                           x+1 x–2
 II) Equação Irracional: x – 1 = √3x + 15

 III) Equação Biquadrada: x4 – 5x2 + 6 = 0




                                             Prof. Ary de Oliveira
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Exercícios de Fixação 13

 (PROFMAT – 2012)
 Um fazendeiro deseja delimitar uma área retangular utilizando 40m de
 cerca e aproveitando um muro (de mais de 40m) que já está
 construído. Determine as dimensões do retângulo de maior área que o
 fazendeiro consegue delimitar.




                                                         Prof. Ary de Oliveira

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Equação do 2° grau

  • 1. Equação do Segundo Grau Tipos, Estudo do Delta (ou Discriminante), Raízes da Equação do Segundo Grau, Soma e Produto, Máximos e Mínimos, Equações do Segundo Grau Disfarçadas e Exercícios de Fixação. Prof. Ary de Oliveira
  • 2. Tipos de Equação do Segundo Grau As equações do 2° grau costumam se apresentar das seguintes formas: I) ax2 + bx + c = 0; II) a(x – x’)(x – x’’) = 0. Onde x’ e x’’ são as raízes da equação. Prof. Ary de Oliveira
  • 3. Estudo do Delta (ou Discriminante) Na equação do tipo (I): ax2 + bx + c = 0 Temos que o Delta ou Discriminante ( ) pode ser obtido através da relação a seguir: = b2 – 4ac I) Quando < 0: Não temos raízes reais; II) Quando = 0: Teremos uma única raiz (ou raiz dupla); III) Quando > 0: Teremos duas raízes distintas. Prof. Ary de Oliveira
  • 4. Raízes da Equação do Segundo Grau Levando em consideração o Slide anterior, encontraremos as raízes para os casos em que o delta (ou discriminante) for maior ou igual a zero: ≥ 0. I) Quando = 0: Teremos uma única raiz (ou raiz dupla); x’ = x’’ = – b + √ 2a III) Quando > 0: Teremos duas raízes distintas. x’ = – b + √ OU x’’ = – b – √ 2a 2a Prof. Ary de Oliveira
  • 5. Soma e Produto Soma das Raízes: x’ + x’’ = – b a Produto das Raízes: x’.x’’ = c a Prof. Ary de Oliveira
  • 6. Máximos e Mínimos Teremos um ponto de Máximo quando o coeficiente a < 0 e um ponto de Mínimo quando o coeficiente a > 0. Esse ponto de Máximo ou de Mínimo recebe o nome de Vértice e podemos encontrar as coordenados do vértice do seguinte modo: xV = – b E yV = – 2a 4a Prof. Ary de Oliveira
  • 7. Equações do 2°Grau Disfarçada Algumas equações não parecem ser do segundo grau, mas elas podem ser transformadas de modo a sê-lo. São exemplos de Equações Disfarçadas: I) Equação Fracionária: 2 + 3 = 1 x+1 x–2 II) Equação Irracional: x – 1 = √3x + 15 III) Equação Biquadrada: x4 – 5x2 + 6 = 0 Prof. Ary de Oliveira
  • 8. Exercício de Fixação 01 (PSAEAM – 2000) Prof. Ary de Oliveira
  • 9. Exercício de Fixação 02 (PSAEAM – 2000) Prof. Ary de Oliveira
  • 10. Exercício de Fixação 03 (PSAEAM – 2000) Prof. Ary de Oliveira
  • 11. Exercício de Fixação 04 (PSAEAM – 2004) Prof. Ary de Oliveira
  • 12. Exercício de Fixação 05 (PSAEAM – 2004) Prof. Ary de Oliveira
  • 13. Exercício de Fixação 06 (PSAEAM – 2005) Prof. Ary de Oliveira
  • 14. Exercício de Fixação 07 (PSAEAM – 2006) Prof. Ary de Oliveira
  • 15. Exercício de Fixação 08 (PSAEAM – 2007) Prof. Ary de Oliveira
  • 16. Exercício de Fixação 09 (PSAEAM – 2008) Prof. Ary de Oliveira
  • 17. Exercício de Fixação 10 (PSAEAM – 2008) Prof. Ary de Oliveira
  • 18. Exercício de Fixação 11 (PSAEAM – 2009) Prof. Ary de Oliveira
  • 19. Exercício de Fixação 12 (PSAEAM – 2009) Prof. Ary de Oliveira
  • 20. Exercícios de Fixação 13 (PROFMAT – 2012) Um fazendeiro deseja delimitar uma área retangular utilizando 40m de cerca e aproveitando um muro (de mais de 40m) que já está construído. Determine as dimensões do retângulo de maior área que o fazendeiro consegue delimitar. Prof. Ary de Oliveira