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MATRIZESMATRIZES
Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela formada por m.n
elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes
são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou
através de barras duplas || ||
EXEMPLOS
















−
−
=
12
36
28
13
02
A 





−
−
=
313
524
B
5x2
2x3
A = (aij) mxn
Notação Condensada
• Construir a matriz A = (aij)3x2, em que
aij = 3i – j.
a32a31
a22a21
a12a11
A =
aij = 3i – j
a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1
a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4
a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7
78
45
12
A =
TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ QUADRADA (An)










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
DIAGONAL
PRINCIPAL
i = j
DIAGONAL
SECUNDÁRIA
i + j = n + 1
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
Seja A uma matriz de ordem m x n,
denomina-se transposta de A a matriz de
ordem n x m obtida, trocando-se de forma
ordenada as linhas pelas colunas.
Representa-se por At






049
132
A2x3 = At
3x2 =










01
43
92










085
813
532
A =
SIMÉTRICA
A = At










08-5
803-
5-30
A =
ANTI SIMÉTRICA
A = - At
MATRIZ IDENTIDADE (In)










100
010
001
DIAGONAL
PRINCIPAL
IGUAL A UM
DEMAIS
ELEMENTOS
IGUAIS A
ZERO
I3 =
ASSINALE V OU F
O número de elementos de uma matriz quadrada
de ordem 12 é 48.
UFSC - 2003
( )F
UFSC - 2005
V( )
UFSC - 2009
( )V
UFSC - 2006
V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a
soma dos elementos da diagonal principal
de uma matriz quadrada L; então
tr(L) = tr(Lt).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO
DE MATRIZES
A.I = A
B.I = B
C.I = C
ASSINALE V OU F
UFSC - 2005
( )F
OPERAOPERAÇÇÕESÕES
ADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃO E SUBTRAÇÇÃOÃO
nxmnxmnxm CBA =±






−
+





124
016
842
123






=
926
139
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Comutativa: A + B = B + A
(A + B)t = At + Bt
MULTIPLICAMULTIPLICAÇÇÃOÃO
DE UM NDE UM NÚÚMEROMERO
POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ
23
1–2
M =
3.M =
3.23.3
3.13.–2
=
69
3–6
3.M
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OPERAOPERAÇÇÕES COM MATRIZESÕES COM MATRIZES
PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =
nn=
OPERAOPERAÇÇÕESÕES
4
1
–22
0–3
6–2
53
2–1
B =A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6






4
1
–22
0–3
6–2
53
2–1
B =A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6






2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6





 −
=
1214
16
A.B
PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =
nn=
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou
seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0.
.
00
11






=





−10
10 0 0
0 0






Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou
seja, geralmente A.B ≠≠≠≠ B.A .
A.I = I.A = A
A2 = A.A
OPERAOPERAÇÇÕESÕES
( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p,
respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que
for correto.
01. n.r = m.p
02. m = r + 1
04. p = 2m
08. n = r
16. n + r = p + m
GABARITO: 18
Matrizes determinantes-sistemaslineares
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DETERMINANTESDETERMINANTES -- CCÁÁLCULOLCULO
DETERMINANTESDETERMINANTES
CÁLCULO – 2ª ORDEM
a22
a12
a21
a11
= a11 . a22 – a12 . a21
15
32
det A = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13
4–1
2–5
det B = = (–5).4 – 2.(–1) = –18
Matrizes determinantes-sistemaslineares
GABARITO: 05
DETERMINANTESDETERMINANTES
CÁLCULO – 3ª ORDEM
a33a32a31
a23
a13
a22a21
a12a11
a32a31
a22a21
a12a11
Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
31–2
0
2
24
–31
A =
31–2
0
2
24
–31
1–2
24
–31
6 + 0 + 8 + 8 – 0 + 36
det A = 58
det A =
( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz








−
x0x
0x2
021
é positivo se:
a) x > −4
b) x < 0
c) x < 2
d) x < −4 ou x > 0
e) x > −2 ou x < −6
CÁLCULO – 3ª ORDEM
a33a32a31
a23
a13
a22a21
a12a11
a32a31
a22a21
a12a11
Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
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DETERMINANTESDETERMINANTES -- PROPRIEDADESPROPRIEDADES
1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO
0 3 9
0 8 3
0 4 1
0− =
0
241
2104
152
=
0
141
383
939
=−
0
743
189
431
=−
Fila de elementos
Igual a zero
2 Filas paralelas
Iguais
2 Filas paralelas
proporcionais
Uma das filas é a
soma de duas
outras
2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o determinante
trocará de sinal.
3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determinante será
multiplicado por esse número.
4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n
det (k.A) = kn. det A
Gabarito: -48
5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua
transposta.
6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
Gabarito: 70
7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de
A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da
matriz B, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B)
Gabarito: 70
IFSC - 2013
Após assistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu
codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C
e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos determinantes
abaixo:
10000
01000
00400
00020
00003
D
20168
1284
3342
2021
C
1000
11200
32830
25171
B
121
213
421
A
−
−
=
−
−−
−−
−
=
−
−
==
Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente à
proposição correta ou à soma das proposições corretas.
01. A senha possui dois dígitos nulos.
02. A senha possui seis dígitos.
04. O último dígito da senha é zero.
08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente.
16. A + B +C + D = 45 .
32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5.
Gabarito: 50
Matrizes determinantes-sistemaslineares
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MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA
MATRIZ INVERSA
A . A-1 = In
detA
1
detA 1
=−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui
inversa, sendo assim chamada
de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não
admite inversa é chamada de
singular.
ASSINALE V OU F
UFSC - 2001
( )F
UFSC - 2004
( )V
UFSC - 2013
( )V
MATRIZ INVERSA
A . A-1 = In
detA
1
detA 1
=−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui
inversa, sendo assim chamada
de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não
admite inversa é chamada de
singular.
ASSINALE V OU F
UFSC - 2011
( )V
UFSC - 2011
( )F
UEL – 2010
UDESC – 2009
Matrizes determinantes-sistemaslineares
Regra de Chió Abaixamento de ordem de
um determinante
A =
1 2 4 2
3 7 5 6
1 10 4 5
3 8 2 3
 
 
 
 −
 
 
7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)
10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)
8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)
− − − 
 − − − − 
 − − − 
det A= (-1)1+1
1 7 0
8 8 3
2 10 3
− 
 − 
 − − 
det A = - 4
1) Procurar o elemento 1 na matriz.
2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1.
3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes.
4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha
e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas
desses elementos.
5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da
matriz resultante
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SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARES
REGRA DE CRÄMER
x = y = z =∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
∆∆∆∆z
∆∆∆∆s
Resolver o sistema abaixo usando a regra
de Crämer



=−
=+
7y2x
142y3x
∆s = ∆x = ∆y =
17
214
−12
23
− 72
143
∆S = - 7 ∆x = - 28 ∆y = - 7
y =
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
x =
∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
14
7
7
7
28
==
−
−
=
−
−
=
yx
yx
Solução: {(4,1)}



=−
=+
712(4)
142(1)3(4)
De fato:
x = y = z =∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
∆∆∆∆z
∆∆∆∆s
Determine as raízes do sistema
S =





=+−
=+−
−=−+
3zy2x
1zy
32zyx
112
110
211
−
−
−
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x == - 2
113
111
213
−
−
−−
= - 2
132
110
23-1 −
∆∆∆∆y = ∆∆∆∆z == - 4
312
110
311
−
−
−
= - 6
y =
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
x =
∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
321
2
6
2
4
2
2
===
−
−
=
−
−
=
−
−
=
zyx
zyx
Solução: {(1,2,3)}
z =
∆∆∆∆z
∆∆∆∆s
PUC – PR
A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”,
que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois
eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pelos cartazes, determine o
valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas.
UFSC – SC
Um agricultor comprou mudas de acerola, banana e maracujá, pelos
respectivos preços: R$3,00, R$2,00, R$1,00. Sabendo-se que ele gastou
um total de R$ 69,00 e que as mudas que custaram menos de R$3,00,
cada uma, são num total de 4, quantas mudas ele comprou?
a – acerola
b – banana
m - maracujá
3a + 2b + m= 69
b + m = 4
m = 4 - b
3a + 2b + 4 – b = 69
3a + b = 65
3
b65
a
−
=
0 < b < 4
b só pode ser 2
Então, a = 21
m = 4 - 2
m = 2 Portanto: a + b + m = 25
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR ESCALONAMENTOÃO POR ESCALONAMENTO



−=+
=+−
1zy
22zyx





=++
=++
=++
72zyx-
204z3y2x
6zyx





=+
=+
=++
52z3x
2zy-x
1zy2x
SISTEMA 1: SOLUÇÃO: S = {(5, 1, 2)}
SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO
SISTEMA 2:





=−
=++
=+
1zy
1zy2x
1yx





=
−=−
=+−
63z
1zy
6zyx
SOLUÇÃO: S = {(1-3k, -1-k, k)}
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO
SISTEMA 3:
SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO
SOLUÇÃO: S = {(1, 2, 3)}
SISTEMA 4:
SISTEMA IMPOSSÍVEL
NÃO POSSUI SOLUÇÃO
SISTEMA 5:
SOLUÇÃO: S = {(-k, k+1, k)}
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO



=+
=+
62y2x
3yx
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =
26
13
22
11
62
31
∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0



=−
=+
7y2x
142y3x
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =
17
214
−12
23
− 72
143
∆∆∆∆S = - 7 ∆∆∆∆x = - 28 ∆∆∆∆y = - 7



=+
=+
54y4x
3yx
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =
45
13
44
11
54
31
∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 7 ∆∆∆∆y = - 7
Soluções: {(2,1); (3,0); (4,-1)....}
Solução: {(4,1)}
Não há solução
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
Sistema Possível Determinado
Sistema Possível Indeterminado Sistema Impossível
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR CRAMERÃO POR CRAMER
( UFSC ) Para que o sistema abaixo seja
impossível, o valor de a é:





=++
=++
=++
32zyx
2azyx
14z3yx
0
211
a11
431
= a = 2
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
( UEPG-PR ) O sistema linear é:





=++
=++
=++
b4z2y3x
33zyax
2zyx
01. impossível para a≠≠≠≠ 2 e b = 5
02. impossível para a = 2 e b ≠≠≠≠ 5
04. possível e determinado para
a = 2 ∀∀∀∀ b ∈∈∈∈ R
08. possível e indeterminado para
a = 2 e b = 5
16. possível e determinado para a ≠≠≠≠ 2
GABARITO: 26
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
EXERCÍCIOS UFSC – ASSINALE V ou F
( ) UFSC – 2005 O par ordenado (5, 2) é a única solução do sistema



=+
=+
276y3x
92yx
FF
( ) UFSC – 2012FF
( ) UFSC - 2012FF
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
GABARITO: 09
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃOÃO
NNººEQUAEQUAÇÇÕESÕES ≠≠ NNººDE INCDE INCÓÓGNITASGNITAS
GABARITO: 11
SISTEMAS HOMOGÊNEOSSISTEMAS HOMOGÊNEOS
GABARITO: 09
(ACAFE – 2012.1) Dado o sistema de equação abaixo, analise as
afirmações a seguir.








=+−+−
=−−+−
=−−−−
=−+++
=+−+−
0aw2z3y2x2v
0wzyx3v
0wzyxv
0wzyxv
0wzyxv I. O sistema é homogêneo.
II. O sistema será possível e indeterminado para
qualquer valor de a.
III. O sistema não admite a solução trivial.
IV. O sistema será possível e determinado para
a = - 2
GABARITO: A

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  • 2. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || || EXEMPLOS                 − − = 12 36 28 13 02 A       − − = 313 524 B 5x2 2x3 A = (aij) mxn
  • 3. Notação Condensada • Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j. a32a31 a22a21 a12a11 A = aij = 3i – j a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1 a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4 a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7 78 45 12 A =
  • 4. TIPOS DE MATRIZES MATRIZ QUADRADA (An)           333231 232221 131211 aaa aaa aaa DIAGONAL PRINCIPAL i = j DIAGONAL SECUNDÁRIA i + j = n + 1 TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por At       049 132 A2x3 = At 3x2 =           01 43 92           085 813 532 A = SIMÉTRICA A = At           08-5 803- 5-30 A = ANTI SIMÉTRICA A = - At
  • 5. MATRIZ IDENTIDADE (In)           100 010 001 DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A UM DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO I3 = ASSINALE V OU F O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48. UFSC - 2003 ( )F UFSC - 2005 V( ) UFSC - 2009 ( )V UFSC - 2006 V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A.I = A B.I = B C.I = C
  • 6. ASSINALE V OU F UFSC - 2005 ( )F
  • 7. OPERAOPERAÇÇÕESÕES ADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃO E SUBTRAÇÇÃOÃO nxmnxmnxm CBA =±       − +      124 016 842 123       = 926 139 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Comutativa: A + B = B + A (A + B)t = At + Bt MULTIPLICAMULTIPLICAÇÇÃOÃO DE UM NDE UM NÚÚMEROMERO POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ 23 1–2 M = 3.M = 3.23.3 3.13.–2 = 69 3–6 3.M
  • 9. PRODUTO DE MATRIZES pxmpxnnxm CB.A = nn= OPERAOPERAÇÇÕESÕES
  • 10. 4 1 –22 0–3 6–2 53 2–1 B =A = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6      
  • 11. 4 1 –22 0–3 6–2 53 2–1 B =A = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6       2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6       − = 1214 16 A.B
  • 12. PRODUTO DE MATRIZES pxmpxnnxm CB.A = nn= Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0. . 00 11       =      −10 10 0 0 0 0       Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B ≠≠≠≠ B.A . A.I = I.A = A A2 = A.A OPERAOPERAÇÇÕESÕES
  • 13. ( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto. 01. n.r = m.p 02. m = r + 1 04. p = 2m 08. n = r 16. n + r = p + m GABARITO: 18
  • 16. DETERMINANTESDETERMINANTES CÁLCULO – 2ª ORDEM a22 a12 a21 a11 = a11 . a22 – a12 . a21 15 32 det A = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13 4–1 2–5 det B = = (–5).4 – 2.(–1) = –18
  • 19. DETERMINANTESDETERMINANTES CÁLCULO – 3ª ORDEM a33a32a31 a23 a13 a22a21 a12a11 a32a31 a22a21 a12a11 Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33 31–2 0 2 24 –31 A = 31–2 0 2 24 –31 1–2 24 –31 6 + 0 + 8 + 8 – 0 + 36 det A = 58 det A =
  • 20. ( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz         − x0x 0x2 021 é positivo se: a) x > −4 b) x < 0 c) x < 2 d) x < −4 ou x > 0 e) x > −2 ou x < −6 CÁLCULO – 3ª ORDEM a33a32a31 a23 a13 a22a21 a12a11 a32a31 a22a21 a12a11 Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
  • 22. 1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO 0 3 9 0 8 3 0 4 1 0− = 0 241 2104 152 = 0 141 383 939 =− 0 743 189 431 =− Fila de elementos Igual a zero 2 Filas paralelas Iguais 2 Filas paralelas proporcionais Uma das filas é a soma de duas outras 2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o determinante trocará de sinal.
  • 23. 3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determinante será multiplicado por esse número. 4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n det (k.A) = kn. det A Gabarito: -48 5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
  • 24. 6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Gabarito: 70 7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja: det(A.B) = det(A).det(B) Gabarito: 70
  • 25. IFSC - 2013 Após assistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos determinantes abaixo: 10000 01000 00400 00020 00003 D 20168 1284 3342 2021 C 1000 11200 32830 25171 B 121 213 421 A − − = − −− −− − = − − == Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas. 01. A senha possui dois dígitos nulos. 02. A senha possui seis dígitos. 04. O último dígito da senha é zero. 08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente. 16. A + B +C + D = 45 . 32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5. Gabarito: 50
  • 28. MATRIZ INVERSA A . A-1 = In detA 1 detA 1 =− • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. ASSINALE V OU F UFSC - 2001 ( )F UFSC - 2004 ( )V UFSC - 2013 ( )V
  • 29. MATRIZ INVERSA A . A-1 = In detA 1 detA 1 =− • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. ASSINALE V OU F UFSC - 2011 ( )V UFSC - 2011 ( )F
  • 30. UEL – 2010 UDESC – 2009
  • 32. Regra de Chió Abaixamento de ordem de um determinante A = 1 2 4 2 3 7 5 6 1 10 4 5 3 8 2 3        −     7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2) 10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2) 8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2) − − −   − − − −   − − −  det A= (-1)1+1 1 7 0 8 8 3 2 10 3 −   −   − −  det A = - 4 1) Procurar o elemento 1 na matriz. 2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1. 3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes. 4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas desses elementos. 5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da matriz resultante
  • 34. REGRA DE CRÄMER x = y = z =∆∆∆∆x ∆∆∆∆s ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s Resolver o sistema abaixo usando a regra de Crämer    =− =+ 7y2x 142y3x ∆s = ∆x = ∆y = 17 214 −12 23 − 72 143 ∆S = - 7 ∆x = - 28 ∆y = - 7 y = ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s x = ∆∆∆∆x ∆∆∆∆s 14 7 7 7 28 == − − = − − = yx yx Solução: {(4,1)}    =− =+ 712(4) 142(1)3(4) De fato:
  • 35. x = y = z =∆∆∆∆x ∆∆∆∆s ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s Determine as raízes do sistema S =      =+− =+− −=−+ 3zy2x 1zy 32zyx 112 110 211 − − − ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x == - 2 113 111 213 − − −− = - 2 132 110 23-1 − ∆∆∆∆y = ∆∆∆∆z == - 4 312 110 311 − − − = - 6 y = ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s x = ∆∆∆∆x ∆∆∆∆s 321 2 6 2 4 2 2 === − − = − − = − − = zyx zyx Solução: {(1,2,3)} z = ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s
  • 37. A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”, que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pelos cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas. UFSC – SC
  • 38. Um agricultor comprou mudas de acerola, banana e maracujá, pelos respectivos preços: R$3,00, R$2,00, R$1,00. Sabendo-se que ele gastou um total de R$ 69,00 e que as mudas que custaram menos de R$3,00, cada uma, são num total de 4, quantas mudas ele comprou? a – acerola b – banana m - maracujá 3a + 2b + m= 69 b + m = 4 m = 4 - b 3a + 2b + 4 – b = 69 3a + b = 65 3 b65 a − = 0 < b < 4 b só pode ser 2 Então, a = 21 m = 4 - 2 m = 2 Portanto: a + b + m = 25
  • 39. RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR ESCALONAMENTOÃO POR ESCALONAMENTO    −=+ =+− 1zy 22zyx      =++ =++ =++ 72zyx- 204z3y2x 6zyx      =+ =+ =++ 52z3x 2zy-x 1zy2x SISTEMA 1: SOLUÇÃO: S = {(5, 1, 2)} SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO SISTEMA 2:      =− =++ =+ 1zy 1zy2x 1yx      = −=− =+− 63z 1zy 6zyx SOLUÇÃO: S = {(1-3k, -1-k, k)} SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO SISTEMA 3: SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO SOLUÇÃO: S = {(1, 2, 3)} SISTEMA 4: SISTEMA IMPOSSÍVEL NÃO POSSUI SOLUÇÃO SISTEMA 5: SOLUÇÃO: S = {(-k, k+1, k)} SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO
  • 40.    =+ =+ 62y2x 3yx ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y = 26 13 22 11 62 31 ∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0    =− =+ 7y2x 142y3x ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y = 17 214 −12 23 − 72 143 ∆∆∆∆S = - 7 ∆∆∆∆x = - 28 ∆∆∆∆y = - 7    =+ =+ 54y4x 3yx ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y = 45 13 44 11 54 31 ∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 7 ∆∆∆∆y = - 7 Soluções: {(2,1); (3,0); (4,-1)....} Solução: {(4,1)} Não há solução POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 Sistema Possível Determinado Sistema Possível Indeterminado Sistema Impossível RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR CRAMERÃO POR CRAMER
  • 41. ( UFSC ) Para que o sistema abaixo seja impossível, o valor de a é:      =++ =++ =++ 32zyx 2azyx 14z3yx 0 211 a11 431 = a = 2 POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 ( UEPG-PR ) O sistema linear é:      =++ =++ =++ b4z2y3x 33zyax 2zyx 01. impossível para a≠≠≠≠ 2 e b = 5 02. impossível para a = 2 e b ≠≠≠≠ 5 04. possível e determinado para a = 2 ∀∀∀∀ b ∈∈∈∈ R 08. possível e indeterminado para a = 2 e b = 5 16. possível e determinado para a ≠≠≠≠ 2 GABARITO: 26
  • 42. POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 EXERCÍCIOS UFSC – ASSINALE V ou F ( ) UFSC – 2005 O par ordenado (5, 2) é a única solução do sistema    =+ =+ 276y3x 92yx FF ( ) UFSC – 2012FF ( ) UFSC - 2012FF
  • 43. POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO
  • 45. RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃOÃO NNººEQUAEQUAÇÇÕESÕES ≠≠ NNººDE INCDE INCÓÓGNITASGNITAS GABARITO: 11
  • 47. (ACAFE – 2012.1) Dado o sistema de equação abaixo, analise as afirmações a seguir.         =+−+− =−−+− =−−−− =−+++ =+−+− 0aw2z3y2x2v 0wzyx3v 0wzyxv 0wzyxv 0wzyxv I. O sistema é homogêneo. II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. III. O sistema não admite a solução trivial. IV. O sistema será possível e determinado para a = - 2 GABARITO: A