Baixado 79 vezes
![Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela formada por m.n
elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes
são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou
através de barras duplas || ||
EXEMPLOS
−
−
=
12
36
28
13
02
A
−
−
=
313
524
B
5x2
2x3
A = (aij) mxn](https://image.slidesharecdn.com/matrizes-determinantes-sistemaslineares-140317092721-phpapp02/85/Matrizes-determinantes-sistemaslineares-2-320.jpg)
Mais conteúdo relacionado
![[DASS] 1º AULÃO CDF - PRE ENEM - 2014 - Matemática e suas tecnologias](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/dass-aulaocdf-pre-enem2014-matematicaesuastecnologias-140608144601-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Semelhante a Matrizes determinantes-sistemaslineares
Matrizes determinantes-sistemaslineares
- 1.
- 2. Uma matriz dotipo m x n, é uma tabela formada por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras duplas || || EXEMPLOS − − = 12 36 28 13 02 A − − = 313 524 B 5x2 2x3 A = (aij) mxn
- 3. Notação Condensada • Construira matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j. a32a31 a22a21 a12a11 A = aij = 3i – j a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1 a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4 a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7 78 45 12 A =
- 4. TIPOS DE MATRIZES MATRIZQUADRADA (An) 333231 232221 131211 aaa aaa aaa DIAGONAL PRINCIPAL i = j DIAGONAL SECUNDÁRIA i + j = n + 1 TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se de forma ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por At 049 132 A2x3 = At 3x2 = 01 43 92 085 813 532 A = SIMÉTRICA A = At 08-5 803- 5-30 A = ANTI SIMÉTRICA A = - At
- 5. MATRIZ IDENTIDADE (In) 100 010 001 DIAGONAL PRINCIPAL IGUALA UM DEMAIS ELEMENTOS IGUAIS A ZERO I3 = ASSINALE V OU F O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48. UFSC - 2003 ( )F UFSC - 2005 V( ) UFSC - 2009 ( )V UFSC - 2006 V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada L; então tr(L) = tr(Lt).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES A.I = A B.I = B C.I = C
- 6. ASSINALE V OUF UFSC - 2005 ( )F
- 7. OPERAOPERAÇÇÕESÕES ADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃOE SUBTRAÇÇÃOÃO nxmnxmnxm CBA =± − + 124 016 842 123 = 926 139 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Comutativa: A + B = B + A (A + B)t = At + Bt MULTIPLICAMULTIPLICAÇÇÃOÃO DE UM NDE UM NÚÚMEROMERO POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ 23 1–2 M = 3.M = 3.23.3 3.13.–2 = 69 3–6 3.M
- 8.
- 9. PRODUTO DE MATRIZES pxmpxnnxmCB.A = nn= OPERAOPERAÇÇÕESÕES
- 10. 4 1 –22 0–3 6–2 53 2–1 B =A = –3.(–1)+ 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6
- 11. 4 1 –22 0–3 6–2 53 2–1 B =A = –3.(–1)+ 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6 − = 1214 16 A.B
- 12. PRODUTO DE MATRIZES pxmpxnnxmCB.A = nn= Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0. . 00 11 = −10 10 0 0 0 0 Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou seja, geralmente A.B ≠≠≠≠ B.A . A.I = I.A = A A2 = A.A OPERAOPERAÇÇÕESÕES
- 13. ( UEPG –2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p, respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que for correto. 01. n.r = m.p 02. m = r + 1 04. p = 2m 08. n = r 16. n + r = p + m GABARITO: 18
- 15.
- 16. DETERMINANTESDETERMINANTES CÁLCULO – 2ªORDEM a22 a12 a21 a11 = a11 . a22 – a12 . a21 15 32 det A = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13 4–1 2–5 det B = = (–5).4 – 2.(–1) = –18
- 18.
- 19. DETERMINANTESDETERMINANTES CÁLCULO – 3ªORDEM a33a32a31 a23 a13 a22a21 a12a11 a32a31 a22a21 a12a11 Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33 31–2 0 2 24 –31 A = 31–2 0 2 24 –31 1–2 24 –31 6 + 0 + 8 + 8 – 0 + 36 det A = 58 det A =
- 20. ( UEL –2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz − x0x 0x2 021 é positivo se: a) x > −4 b) x < 0 c) x < 2 d) x < −4 ou x > 0 e) x > −2 ou x < −6 CÁLCULO – 3ª ORDEM a33a32a31 a23 a13 a22a21 a12a11 a32a31 a22a21 a12a11 Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
- 21.
- 22. 1) CASOS ONDEO DETERMINANTE É NULO 0 3 9 0 8 3 0 4 1 0− = 0 241 2104 152 = 0 141 383 939 =− 0 743 189 431 =− Fila de elementos Igual a zero 2 Filas paralelas Iguais 2 Filas paralelas proporcionais Uma das filas é a soma de duas outras 2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o determinante trocará de sinal.
- 23. 3) Se multiplicarmosuma fila por um número real, o determinante será multiplicado por esse número. 4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n det (k.A) = kn. det A Gabarito: -48 5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
- 24. 6) O determinantede uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Gabarito: 70 7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da matriz B, ou seja: det(A.B) = det(A).det(B) Gabarito: 70
- 25. IFSC - 2013 Apósassistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos determinantes abaixo: 10000 01000 00400 00020 00003 D 20168 1284 3342 2021 C 1000 11200 32830 25171 B 121 213 421 A − − = − −− −− − = − − == Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente à proposição correta ou à soma das proposições corretas. 01. A senha possui dois dígitos nulos. 02. A senha possui seis dígitos. 04. O último dígito da senha é zero. 08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente. 16. A + B +C + D = 45 . 32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5. Gabarito: 50
- 27.
- 28. MATRIZ INVERSA A .A-1 = In detA 1 detA 1 =− • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. ASSINALE V OU F UFSC - 2001 ( )F UFSC - 2004 ( )V UFSC - 2013 ( )V
- 29. MATRIZ INVERSA A .A-1 = In detA 1 detA 1 =− • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. ASSINALE V OU F UFSC - 2011 ( )V UFSC - 2011 ( )F
- 30. UEL – 2010 UDESC– 2009
- 32. Regra de ChióAbaixamento de ordem de um determinante A = 1 2 4 2 3 7 5 6 1 10 4 5 3 8 2 3 − 7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2) 10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2) 8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2) − − − − − − − − − − det A= (-1)1+1 1 7 0 8 8 3 2 10 3 − − − − det A = - 4 1) Procurar o elemento 1 na matriz. 2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1. 3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes. 4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas desses elementos. 5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da matriz resultante
- 33.
- 34. REGRA DE CRÄMER x= y = z =∆∆∆∆x ∆∆∆∆s ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s Resolver o sistema abaixo usando a regra de Crämer =− =+ 7y2x 142y3x ∆s = ∆x = ∆y = 17 214 −12 23 − 72 143 ∆S = - 7 ∆x = - 28 ∆y = - 7 y = ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s x = ∆∆∆∆x ∆∆∆∆s 14 7 7 7 28 == − − = − − = yx yx Solução: {(4,1)} =− =+ 712(4) 142(1)3(4) De fato:
- 35. x = y= z =∆∆∆∆x ∆∆∆∆s ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s Determine as raízes do sistema S = =+− =+− −=−+ 3zy2x 1zy 32zyx 112 110 211 − − − ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x == - 2 113 111 213 − − −− = - 2 132 110 23-1 − ∆∆∆∆y = ∆∆∆∆z == - 4 312 110 311 − − − = - 6 y = ∆∆∆∆y ∆∆∆∆s x = ∆∆∆∆x ∆∆∆∆s 321 2 6 2 4 2 2 === − − = − − = − − = zyx zyx Solução: {(1,2,3)} z = ∆∆∆∆z ∆∆∆∆s
- 36.
- 37. A figura aseguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”, que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pelos cartazes, determine o valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas. UFSC – SC
- 38. Um agricultor comproumudas de acerola, banana e maracujá, pelos respectivos preços: R$3,00, R$2,00, R$1,00. Sabendo-se que ele gastou um total de R$ 69,00 e que as mudas que custaram menos de R$3,00, cada uma, são num total de 4, quantas mudas ele comprou? a – acerola b – banana m - maracujá 3a + 2b + m= 69 b + m = 4 m = 4 - b 3a + 2b + 4 – b = 69 3a + b = 65 3 b65 a − = 0 < b < 4 b só pode ser 2 Então, a = 21 m = 4 - 2 m = 2 Portanto: a + b + m = 25
- 39. RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃOE CLASSIFICAÇÇÃO POR ESCALONAMENTOÃO POR ESCALONAMENTO −=+ =+− 1zy 22zyx =++ =++ =++ 72zyx- 204z3y2x 6zyx =+ =+ =++ 52z3x 2zy-x 1zy2x SISTEMA 1: SOLUÇÃO: S = {(5, 1, 2)} SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO SISTEMA 2: =− =++ =+ 1zy 1zy2x 1yx = −=− =+− 63z 1zy 6zyx SOLUÇÃO: S = {(1-3k, -1-k, k)} SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO SISTEMA 3: SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO SOLUÇÃO: S = {(1, 2, 3)} SISTEMA 4: SISTEMA IMPOSSÍVEL NÃO POSSUI SOLUÇÃO SISTEMA 5: SOLUÇÃO: S = {(-k, k+1, k)} SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO
- 40. =+ =+ 62y2x 3yx ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x= ∆∆∆∆y = 26 13 22 11 62 31 ∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 =− =+ 7y2x 142y3x ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y = 17 214 −12 23 − 72 143 ∆∆∆∆S = - 7 ∆∆∆∆x = - 28 ∆∆∆∆y = - 7 =+ =+ 54y4x 3yx ∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y = 45 13 44 11 54 31 ∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 7 ∆∆∆∆y = - 7 Soluções: {(2,1); (3,0); (4,-1)....} Solução: {(4,1)} Não há solução POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 Sistema Possível Determinado Sistema Possível Indeterminado Sistema Impossível RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR CRAMERÃO POR CRAMER
- 41. ( UFSC )Para que o sistema abaixo seja impossível, o valor de a é: =++ =++ =++ 32zyx 2azyx 14z3yx 0 211 a11 431 = a = 2 POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admite solução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 ( UEPG-PR ) O sistema linear é: =++ =++ =++ b4z2y3x 33zyax 2zyx 01. impossível para a≠≠≠≠ 2 e b = 5 02. impossível para a = 2 e b ≠≠≠≠ 5 04. possível e determinado para a = 2 ∀∀∀∀ b ∈∈∈∈ R 08. possível e indeterminado para a = 2 e b = 5 16. possível e determinado para a ≠≠≠≠ 2 GABARITO: 26
- 42. POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admitesolução DETERMINADO INDETERMINADO ∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0 ∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0 EXERCÍCIOS UFSC – ASSINALE V ou F ( ) UFSC – 2005 O par ordenado (5, 2) é a única solução do sistema =+ =+ 276y3x 92yx FF ( ) UFSC – 2012FF ( ) UFSC - 2012FF
- 43. POSSÍVEL IMPOSSÍVEL Admite solução Não admitesolução DETERMINADO INDETERMINADO
- 44.
- 45. RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃOE CLASSIFICAÇÇÃOÃO NNººEQUAEQUAÇÇÕESÕES ≠≠ NNººDE INCDE INCÓÓGNITASGNITAS GABARITO: 11
- 46.
- 47. (ACAFE – 2012.1)Dado o sistema de equação abaixo, analise as afirmações a seguir. =+−+− =−−+− =−−−− =−+++ =+−+− 0aw2z3y2x2v 0wzyx3v 0wzyxv 0wzyxv 0wzyxv I. O sistema é homogêneo. II. O sistema será possível e indeterminado para qualquer valor de a. III. O sistema não admite a solução trivial. IV. O sistema será possível e determinado para a = - 2 GABARITO: A