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RICARDINHO
FUNÇÕES
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
D=ℜ

y = f(x) = ax + b
y

Im = ℜ

y
(0, b)

x
Raiz ou
zero da
função
y=0

(0, b)

a>0

x

FUNÇÃO
CRESCENTE

a<0

FUNÇÃO
DECRESCENTE
Lembrando....
y = ax2 + bx + c

a>0
a<0

x1

yV

−b
xV =
2a

Vértice

e

−∆
yV =
4a

ou

x1 = x2

∆<0

x2

x1 ≠ x2

∆=0

xV

Côncava para
baixo

∆>0

c

Côncava para
cima

não há raízes
reais

x1 + x 2
xV =
e yV = f ( xV )
2
RESUMO GRÁFICO

∆>0

∆=0

x1 ≠ x2

∆<0

x1 = x2

x1, x2 ∉ R

y

y

x1

x2

x

y

x1 = x2

x

x
+1
Sejam as funções f(x) = 2x− 4 definida para todo x
x

real e x ≠ 4, g(x) = x + 3 e h(x) = 2x2 – 12x + 16

definida para todo x real. Determine a soma dos
números
associados
à(s)
proposição(ões)
VERDADEIRA(S).
f(x) = 2x +1
x −4

g(x) = x + 3

h(x) = 2x2 – 12x + 16

01. O domínio da função k(x) = h(x) é definido por
D(h) = {x ∈ ℜ/ 2 ≤ x ≤ 4}

k(x)= h(x)

k(x) = 2x2 −12x +16

D(h) { x ∈ R | x ≤ 2 ou x ≥ 5}

LSO
FA
02. A função h(x) é par.

SO
AL
F

2x2 – 12x + 16 ≥ 0
x2 – 6x + 8 ≥ 0

+

+
2

_

4
f(x) = 2x +1
x −4

g(x) = x + 3

h(x) = 2x2 – 12x + 16

04. O valor de f(g(2)) é igual a 11.

f(x) = 2x +1
x −4
f(5) = 2.5+1
5−4
f(5) = 11
08.

f(x) = 2x +1
x −4
IRO
DE
DA
ER
V

g(x) = x + 3

IRO
g(2) = 2 + 3
DE
DA
ER
g(2) =5
V

f-1(x) = 4x +1
x −2
f(x) = 2x +1
x −4

g(x) = x + 3

h(x) = 2x2 – 12x + 16

16. A reta que representa a função g intercepta o eixo das
abscissas em (1,0)
y

Raiz ou
zero da
função
y=0

g(x) = x + 3

SO
AL
F

(0, 3)
b)

(-3,0)

x

32. A função f assume valores estritamente positivos para
x < -1/2 ou x > 4

IRO
DE
DA
ER
V
f(x) = 2x +1
x −4

h(x) = 2x2 – 12x + 16

g(x) = x + 3

64. O valor mínimo de h(x) é – 1.
y

h(x) = 2x2 – 12x + 16

−b
− (−12)
∴V =
x
xV =
2a
2.2
xV = 3

(0,16)

3
x1

-2

x2

Vértice

x

h(3) = 2.(3)2 – 12.3 + 16
h(3) = - 2
EXPONENCIAL e
LOGARITMOS
log 2x + log (1 + 2x) = log 6
log 2x + log (1 + 2x) = log 6
log [(2x (1 + 2x)] = log 6
2x (1 + 2x) = 6
y (1 + y) = 6
y + y2 = 6
y2 + y – 6 = 0
y’ = 2

y’’ = - 3

Incógnita auxiliar:
2X = y

2x = 2
x=1
FUNÇÃO EXPONENCIAL

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

Forma: f(x) = ax

ax > ay
(a > 1) → função crescente
x>y

a>1

(0 < a < 1) → função decrescente

x<y

0<a<1
Função Logarítmica

Definição
logB A = x ↔ A = Bx
A>0

y

y = loga x

a>1

1≠B>0

Casos Particulares
logB 1 = 0 logA A = 1

logA Am = m

x

0
1

Propriedades
logC (A.B) = logc A + logc B
logC (A/B) = logc A – logc B
logC Am = m.logc A
MUDANÇA DE BASE

logB A =

log c A
log cB

y = loga x

0<a<1
Uma pessoa comprou um imóvel com intenção de investir
seu dinheiro. Sabendo-se que este imóvel valorizou 12% ao
ano, determine:
a) Dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84. Determine o valor do log 1,12.

 112 
log 1,12 = log

 100 

log 1,12 = log 24 + log 7 – 2
log 1,12 = 4.0,30 + 0,84 – 2

log 1,12 = log 112 – log 100

log 1,12 = 0,04

log 1,12 = log (24.7) – log 102
b) Após quanto tempo o valor valor do imóvel duplicou?

M = C(1 + i)t
2x = x(1 + 0,12)t
2 = (1,12)t
log 2 = log (1,12)t

0,30 = t .log (1,12)
0,30 = t .0,04
t = 7,5 (7 anos e 6 meses)
PROGRESSÕES
P. A.
a1, a2, a3, ……., an
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:

a2 – a1 = a 3 – a2 = r
TERMO GERAL

P. G.
a1, a2, a3, ……., an
RAZÃO DA P.G.
a2 a3
=
= ... = q
a1 a 2

TERMO GERAL

a2 = a1 + r

a2 = a1 . q

a3 = a1 + 2r

a3 = a1 . q2

a4 = a1 + 3r

a4 = a1 . q3

an = a1 + (n – 1).r

SOMA DOS TERMOS

an = a1 . q n – 1

SOMA DOS TERMOS
Sn = (a1 + an). n
2

3 TERMOS EM P.G.
x
; x; xq
q

a 1 .(qn − 1)
Sn =
q−1
limite S ∞ =

a1
1- q
PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F
A sequência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1) é uma P.A e a sequência
(1 + y, 13 + y, 49 +y) é uma P.G, então o valor de x.y é 10.

P.A

P.G

a2 – a1 = a3 – a2

a2
a1

x – 2 – (1 – 3x) = 2x + 1 – (x – 2)

4x – 3 = x + 3

x=2

=

a3
a2

13+ y = 49 + y
1+y
13 + y
(13 + y)2 = (1 + y).(49 + y)

VERDADEIRO

y=5
PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F
A soma dos números ímpares de 27 a 75 é 1275.
27

75

Sn =

( a1 + an) · n
2

a1

an

S25 =

( a1 + a25) · 25
2

an = a1 + (n – 1)r
75 = 27 + (n – 1).2
n = 25

VERDADEIRO

S25 =

( 27 + 75) · 25
2

S25 = 1275
PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F
A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1

(3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)
1 1
1 + .... 
 +

+


3 9 27


a1
S∞ =
1- q

0 < |q| < 1

1
3
S=
1− 1
3
S = 0,5

Falso
MATRIZ INVERSA
MATRIZ INVERSA

A . A-1 = In
detA −1

1
=
detA

a b
A=
 c d



2 1
A=
 7 5



det A =3

• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa,
sendo assim chamada de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não admite
inversa é chamada de singular.

- 1 =  d − b

A
− c a 




 d

A - 1 =  det A
 -c
 det A


- 1 =  5 − 1

A
− 7 2 




 5

A- 1 =  3
-7

 3

-b 

det A 
a 
det A 


-1

3
2

3
LEMBRAR !!!!!!
det(A.B) = detA.det B

(Teorema de Binet)

CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B

vale lembrar que:

k ∈ R, n é a ordem da matriz

det (k.A) = kn. det A
GEOMETRIA
ANALÍTICA
y

ESTUDO DA RETA

r

B

yB
FORMAS DE OBTENÇÃO
Dados 2 pontos

x
xA
xB

y
yA
yB

1
1=0
1

y – yo = m(x – xo)

EQUAÇÕES DA RETA
EQUAÇÃO GERAL

EQUAÇÃO REDUZIDA

ax + by + c = 0

y = mx + n
Coef.
Coef.
angular linear

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR

m = tg α

yB– yA

Dados 1 ponto e o coef. angular

m=

yB − y A
xB − x A

A

yA

α
xB– xA

α
xA

O

xB

x

(0, n)
POSIÇÕES RELATIVAS

PARALELAS: mr = ms
CONCORRENTES: mr ≠ ms
PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

y

EQUAÇÃO REDUZIDA

P

y

β

C

R

(x – α)2 + (y – β )2 = R2

y-β

x-α

EQUAÇÃO GERAL

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

α

x

x

A = - 2α

B=-2β

÷(

)
(-2
÷

-2)

x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0

β=3

α=2
C( 2 , 3 )

C = α 2 + β 2 – R2
9 = (2)2 + (3)2 – R2

R=2

C = α2 + β2 – R2
PORCENTAGEM
AUMENTOS E DESCONTOS
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20%
SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2%
SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02
DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20%
SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR:
0,8
Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um
determinado produto é equivalente a um único aumento de:
1,1 . 1,2 = 1,32

32%
Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em
10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque.
Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de
desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,00. O
preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, era:
PREÇO INICIAL:x

1,1

0,8

x

= 176

0,88x = 176

x = 200
Se um cubo tem as suas arestas aumentadas em 20% cada
uma, então o seu volume fica aumentado em:

1,2 a
a

1,2 a

a
1,2 a

a

V

=1 a3

V = (1,2a)3
V = 1,728a3

Portanto, o volume aumentado
em 72,8%
Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de
rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do
município, conforme mostra a figura:
Para orçar um contrato publicitário, uma agência
precisa avaliar a probabilidade que um morador
tem de, circulando livremente pelo município,
encontrar-se na área de alcance de pelo menos
uma das emissoras. Essa probabilidade é de,
aproximadamente:

n(A) é o número de elementos
do evento desejado

10km

10km

n(E) é o número de elementos
do espaço amostral

A = 1/2 (π R2)
π
A = 1/2 (3,14 102)

A = 157km2

P(A)= 157

628

n(A)
P(A) =
n(E)
=

0,25 = 25%

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Dicas ufsc-ricardinho

  • 3. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU D=ℜ y = f(x) = ax + b y Im = ℜ y (0, b) x Raiz ou zero da função y=0 (0, b) a>0 x FUNÇÃO CRESCENTE a<0 FUNÇÃO DECRESCENTE
  • 4. Lembrando.... y = ax2 + bx + c a>0 a<0 x1 yV −b xV = 2a Vértice e −∆ yV = 4a ou x1 = x2 ∆<0 x2 x1 ≠ x2 ∆=0 xV Côncava para baixo ∆>0 c Côncava para cima não há raízes reais x1 + x 2 xV = e yV = f ( xV ) 2
  • 5. RESUMO GRÁFICO ∆>0 ∆=0 x1 ≠ x2 ∆<0 x1 = x2 x1, x2 ∉ R y y x1 x2 x y x1 = x2 x x
  • 6. +1 Sejam as funções f(x) = 2x− 4 definida para todo x x real e x ≠ 4, g(x) = x + 3 e h(x) = 2x2 – 12x + 16 definida para todo x real. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S).
  • 7. f(x) = 2x +1 x −4 g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16 01. O domínio da função k(x) = h(x) é definido por D(h) = {x ∈ ℜ/ 2 ≤ x ≤ 4} k(x)= h(x) k(x) = 2x2 −12x +16 D(h) { x ∈ R | x ≤ 2 ou x ≥ 5} LSO FA 02. A função h(x) é par. SO AL F 2x2 – 12x + 16 ≥ 0 x2 – 6x + 8 ≥ 0 + + 2 _ 4
  • 8. f(x) = 2x +1 x −4 g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16 04. O valor de f(g(2)) é igual a 11. f(x) = 2x +1 x −4 f(5) = 2.5+1 5−4 f(5) = 11 08. f(x) = 2x +1 x −4 IRO DE DA ER V g(x) = x + 3 IRO g(2) = 2 + 3 DE DA ER g(2) =5 V f-1(x) = 4x +1 x −2
  • 9. f(x) = 2x +1 x −4 g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16 16. A reta que representa a função g intercepta o eixo das abscissas em (1,0) y Raiz ou zero da função y=0 g(x) = x + 3 SO AL F (0, 3) b) (-3,0) x 32. A função f assume valores estritamente positivos para x < -1/2 ou x > 4 IRO DE DA ER V
  • 10. f(x) = 2x +1 x −4 h(x) = 2x2 – 12x + 16 g(x) = x + 3 64. O valor mínimo de h(x) é – 1. y h(x) = 2x2 – 12x + 16 −b − (−12) ∴V = x xV = 2a 2.2 xV = 3 (0,16) 3 x1 -2 x2 Vértice x h(3) = 2.(3)2 – 12.3 + 16 h(3) = - 2
  • 12. log 2x + log (1 + 2x) = log 6 log 2x + log (1 + 2x) = log 6 log [(2x (1 + 2x)] = log 6 2x (1 + 2x) = 6 y (1 + y) = 6 y + y2 = 6 y2 + y – 6 = 0 y’ = 2 y’’ = - 3 Incógnita auxiliar: 2X = y 2x = 2 x=1
  • 13. FUNÇÃO EXPONENCIAL INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Forma: f(x) = ax ax > ay (a > 1) → função crescente x>y a>1 (0 < a < 1) → função decrescente x<y 0<a<1
  • 14. Função Logarítmica Definição logB A = x ↔ A = Bx A>0 y y = loga x a>1 1≠B>0 Casos Particulares logB 1 = 0 logA A = 1 logA Am = m x 0 1 Propriedades logC (A.B) = logc A + logc B logC (A/B) = logc A – logc B logC Am = m.logc A MUDANÇA DE BASE logB A = log c A log cB y = loga x 0<a<1
  • 15. Uma pessoa comprou um imóvel com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-se que este imóvel valorizou 12% ao ano, determine: a) Dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84. Determine o valor do log 1,12.  112  log 1,12 = log   100  log 1,12 = log 24 + log 7 – 2 log 1,12 = 4.0,30 + 0,84 – 2 log 1,12 = log 112 – log 100 log 1,12 = 0,04 log 1,12 = log (24.7) – log 102 b) Após quanto tempo o valor valor do imóvel duplicou? M = C(1 + i)t 2x = x(1 + 0,12)t 2 = (1,12)t log 2 = log (1,12)t 0,30 = t .log (1,12) 0,30 = t .0,04 t = 7,5 (7 anos e 6 meses)
  • 17. P. A. a1, a2, a3, ……., an CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA: a2 – a1 = a 3 – a2 = r TERMO GERAL P. G. a1, a2, a3, ……., an RAZÃO DA P.G. a2 a3 = = ... = q a1 a 2 TERMO GERAL a2 = a1 + r a2 = a1 . q a3 = a1 + 2r a3 = a1 . q2 a4 = a1 + 3r a4 = a1 . q3 an = a1 + (n – 1).r SOMA DOS TERMOS an = a1 . q n – 1 SOMA DOS TERMOS Sn = (a1 + an). n 2 3 TERMOS EM P.G. x ; x; xq q a 1 .(qn − 1) Sn = q−1 limite S ∞ = a1 1- q
  • 18. PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F A sequência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1) é uma P.A e a sequência (1 + y, 13 + y, 49 +y) é uma P.G, então o valor de x.y é 10. P.A P.G a2 – a1 = a3 – a2 a2 a1 x – 2 – (1 – 3x) = 2x + 1 – (x – 2) 4x – 3 = x + 3 x=2 = a3 a2 13+ y = 49 + y 1+y 13 + y (13 + y)2 = (1 + y).(49 + y) VERDADEIRO y=5
  • 19. PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F A soma dos números ímpares de 27 a 75 é 1275. 27 75 Sn = ( a1 + an) · n 2 a1 an S25 = ( a1 + a25) · 25 2 an = a1 + (n – 1)r 75 = 27 + (n – 1).2 n = 25 VERDADEIRO S25 = ( 27 + 75) · 25 2 S25 = 1275
  • 20. PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F A soma dos termos da P.G (3-1, 3-2, 3-3, ...........) é 1 (3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..) 1 1 1 + ....   +  +   3 9 27   a1 S∞ = 1- q 0 < |q| < 1 1 3 S= 1− 1 3 S = 0,5 Falso
  • 22. MATRIZ INVERSA A . A-1 = In detA −1 1 = detA a b A=  c d    2 1 A=  7 5    det A =3 • Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível. • Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular. - 1 =  d − b  A − c a      d  A - 1 =  det A  -c  det A  - 1 =  5 − 1  A − 7 2      5  A- 1 =  3 -7   3 -b   det A  a  det A   -1  3 2  3
  • 23. LEMBRAR !!!!!! det(A.B) = detA.det B (Teorema de Binet) CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B vale lembrar que: k ∈ R, n é a ordem da matriz det (k.A) = kn. det A
  • 25. y ESTUDO DA RETA r B yB FORMAS DE OBTENÇÃO Dados 2 pontos x xA xB y yA yB 1 1=0 1 y – yo = m(x – xo) EQUAÇÕES DA RETA EQUAÇÃO GERAL EQUAÇÃO REDUZIDA ax + by + c = 0 y = mx + n Coef. Coef. angular linear CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR m = tg α yB– yA Dados 1 ponto e o coef. angular m= yB − y A xB − x A A yA α xB– xA α xA O xB x (0, n) POSIÇÕES RELATIVAS PARALELAS: mr = ms CONCORRENTES: mr ≠ ms PERPENDICULARES: mr . ms = – 1
  • 26. ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA y EQUAÇÃO REDUZIDA P y β C R (x – α)2 + (y – β )2 = R2 y-β x-α EQUAÇÃO GERAL x2 + y2 + Ax + By + C = 0 α x x A = - 2α B=-2β ÷( ) (-2 ÷ -2) x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0 β=3 α=2 C( 2 , 3 ) C = α 2 + β 2 – R2 9 = (2)2 + (3)2 – R2 R=2 C = α2 + β2 – R2
  • 28. AUMENTOS E DESCONTOS AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2 AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02 DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 0,8 Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um determinado produto é equivalente a um único aumento de: 1,1 . 1,2 = 1,32 32%
  • 29. Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,00. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, era: PREÇO INICIAL:x 1,1 0,8 x = 176 0,88x = 176 x = 200
  • 30. Se um cubo tem as suas arestas aumentadas em 20% cada uma, então o seu volume fica aumentado em: 1,2 a a 1,2 a a 1,2 a a V =1 a3 V = (1,2a)3 V = 1,728a3 Portanto, o volume aumentado em 72,8%
  • 31. Um município de 628 km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura: Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente: n(A) é o número de elementos do evento desejado 10km 10km n(E) é o número de elementos do espaço amostral A = 1/2 (π R2) π A = 1/2 (3,14 102) A = 157km2 P(A)= 157 628 n(A) P(A) = n(E) = 0,25 = 25%