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ÁLGEBRA LINEAR

PROFª MÁRCIA AMANCIO

Matrizes
Introdução
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais
aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um
exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

Química

Inglês

Literatura

Espanhol

A

8

7

9

8

B

6

6

7

6

C

4

8

5

9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na
segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no
exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima
para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas
matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.
Veja mais alguns exemplos:
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é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que
o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que
o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

Na matriz

, temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.
Denominações especiais
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
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Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A
=[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por

exemplo,

, do tipo 3 x 1

Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas;

dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz
quadrada de ordem 2.

é do tipo 2 x 2, isto é,

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é
formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)
Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.
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Por exemplo,

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.

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal
principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são
iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por
exemplo:

Assim, para uma matriz identidade

.
t

Matriz transposta: matriz A obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

t

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A é do tipo n x m.
t

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna
t
de A .
t

Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A . Por exemplo,
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é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos
sempre

a ij = a ij.
Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de

A. Por exemplo,

.

Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que
ocupam a mesma posição são iguais:

.

Operações envolvendo matrizes
Adição
Dadas as matrizes

, chamamos de soma dessas matrizes a matriz

, tal que Cij = aij + bij , para todo

:

A+B=C
Exemplos:

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
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Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a
adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
Subtração
Dadas as matrizes
soma de A com a matriz oposta de B:

, chamamos de diferença entre essas matrizes a

A-B=A+(-B)
Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do
tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:
B = x.A
Observe o seguinte exemplo:

Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as
seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA = yA
d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
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Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos
elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada
elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima
linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz
1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna

2ª linha e 2ª coluna

Assim,
Observe que:

.

para entender como se obtém cada Cij:
ÁLGEBRA LINEAR

Portanto,
comutativa.

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.A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade

Vejamos outro exemplo com as matrizes

:

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual
ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):
Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5
Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto
Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
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Operações elementares-linha

São as operações efetuadas nas linhas de uma matriz. São as seguintes:
Permutação de duas linhas: Notação L i

Lj

Multiplicação de uma linha por uma constante não-nula: Notação L i

k.L j

Substituição de uma linha por sua soma com uma outra linha,previamente
multiplicada por uma escalar não-nulo: Notação L i
L i + k.L j
Obs: Estas operações elementares podem ser efetuadas nas colunas de uma matriz.
Neste caso, são chamadas operações elementares –coluna. Se A e B são matrizes m
x n, dizemos que são equivalentes (linha ou coluna) se uma delas puder ser obtida
da outra através de uma seqüência finita de operações elementares(linha ou coluna).
Denotamos a equivalência entre duas matrizes A e B por A ~B ou B~A.
Ex:

2 0 1
1 4 3
1 4 3 ~ 2 0 1
4 3 2

4 3 2

Matriz Escalonada

Uma matriz A= [ aij] mxn diz-se estar na forma escalonada quando o número de zeros
que precedem o primeiro elemento não- nulo em cada linha(elemento líder), aumenta
de linha em linha, enquanto a linha não for constituída só de zeros.
Ex: Matrizes escalonadas

2 7 9
0 0 1
0 0 0

,

1 6 9 0
0 4 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0

Matrizes escalonadas são, as vezes, chamadas de matrizes linha-escalonada.
Observe que, se uma matriz está na forma escalonada, os elementos líderes das
linhas formam uma “ escada” .
Veremos mais adiante que a técnica do escalonamento pode ser usada para cáculo
do determinante, matriz inversa, e para encontra o conjunto solução de um sistema de
equações lineares.
Processo de transformar uma matriz A em uma forma escalonada é conhecido como
eliminação GAUSS. Para escalonar uma matriz, procedemos da seguinte maneira:
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1- Localize a primeira coluna de A que contém um elemento não-nulo. È a coluna do
líder;
2- Se o primeiro elemento, nesta coluna, for zero, permute a primeira linha de A com
uma linha na qual o elemento correspondente seja diferente de zero;
3-Feito isso, agora o primeiro elemento, em nossa, coluna não é nulo. Esse é o
elemento líder;
4- Usando a terceira operação elementar, substitua por zero todos os elementos nãonulos abaixo do elemento líder, na mesma coluna;
5- Feito isso, a matriz fica semelhante á matriz a seguir:

k
o
0

k

k

1

2

k

n

0
6- Repetir os passos de 1 a 4 até obter uma matriz escalonada.

Matriz Canônica
Uma matriz escalonada é chamada matriz canônica se:
Todo elemento líder é 1 e;
Cada elemento líder é o único elemento não nulo- na sua coluna.
Nas colunas, onde os líderes se localizam eles são os únicos elementos
diferentes de zero.
Ex:

1
0
0

2
2
0

1
2
4

forma escalonada

1 0 0
0 1 0 forma canônica
0 0 1

Ex: Transformar a matriz A em escalonada:
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1

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2 1

1

2 1 0 L2
1 1 2

L2
1

L3

L3

L2 0
0

1

2

1

0
0

3
0

2 L2
1

L1

L1

2
3
1

( 2). L 1 0
1

1

1

2 L3
2

2

L1 0
0

1

3
3

2
3

1

3
0

L3

2

2 forma escalonada
1

1 2 1
1
L 2 . ( ) 0 1 2 3 L1
3
0 0 1

1 0 0
1
( ).L 3 0 1 2 3 L 2
3
0 0 1

L2

1 0
L1

( 2).L 2 0 1
0 0

1 0 0
2
( ).L 3 0 1 0
3
0 0 1

13
23
1

formacanônica

Matriz inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A
-1
. A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A .
Ex: A =

2 4
a b
, fazendo A-1 =
, sabemos que A. A-1= I2
1 5
c d

2 4
a b
.
1 5
c d

1 0
0 1

2a 4c 2b 4d
a 5c b 5d

1 0
0 1

Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:
2 4
a b
.
1 5
c d
2a 4c 1
a 5c 0

1

2b 4d

1

A

0

b 5d

2

1

56
16

1 0
0 1
a
b

23
13

2a 4c 2b 4d
a 5c b 5d

5
e c
6
2
e d
3

1
6
1
3

1 0
0 1
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Cálculo da inversa pelo método de Jordan
Se A é uma matriz invertível, sua matriz canônica é a matriz identidade.
Método conhecido como processo de Jordan
1. Forme a matriz[ A : I ]
2. Usando operações elementares-linha, encontre a matriz canônica desta nova
matriz.Lembre- se de que qualquer operação feita em uma linha de A deverá ser
feita na linha correspondente da matriz I
3. Ex:

1 2

A

3 0

1 2:1 0
3 0:0 1

2

L

2

3.L

1
1

0

2 : 1
6:

0

3 1

L

2

L .(

1 1 2: 1
)
6 0 1 :1 2

L 2 .(

1 1 2: 1
)
6 0 1 :1 2

2

0
16

1 2
3 0

A

1 2:1 0
3 0:0 1
1

A

L

0
12

L2

L2

3.L 1

1
0

2 : 1
6:

0

3 1

L2

0
16

13
16

Determinantes
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é
do tipo nxn).
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as
coordenadas dos seus vértices;
Determinante de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11:
det M =Ia11I = a11
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Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não
têm o significado de módulo.
Por exemplo:
M= [5]

det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3]

det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz
, de ordem 2, por definição o determinante associado a M,
determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o
exemplo a seguir.

Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de
ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando
suprimimos a linha e a coluna que passam por aij .
Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz
, de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao
elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
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Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é:

b) Sendo

, de ordem 3, temos:

Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz
i+j
quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1) . MCij .
Veja:

a) Dada

b) Sendo

, os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são:

, vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
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Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn
pode ser obtido pela soma dos
produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos
cofatores.
Assim, fixando

em que

, temos:

é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m,

Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático,
denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para

.
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1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser
precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois
produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve
ser precedida do sinal negativo):

Assim:
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Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace,
encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3.
Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar
a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.
Propriedades dos determinantes
Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa
matriz é nulo.
Exemplo:

P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo:

P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
ÁLGEBRA LINEAR

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Exemplo:

P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos
correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos:

P5) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo:

P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o
determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos:
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P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de
sinal.
Exemplo:

P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos,
o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:
ÁLGEBRA LINEAR

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P10) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,

. Como:

Exemplo:

P12)
Exemplo:

Cálculo do determinante pelo método da eliminação
O determinante de qualquer matriz quadrada A pode ser calculado reduzindo a matriz A a
uma matriz escalonada. Como qualquer matriz escalonada quadrada é triangular superior,
o determinante desta matriz escalonada é o produto dos elementos de sua diagonal
principal. Assim, para obter o det(a) utilizaremos operações elementares nas linhas de A,
o que é sempre possível, para transformar A em uma matriz escalonada.
Observe abaixo o efeito de cada operação elementar-linha sobre o determinante de A á
medida que reduzimos A á forma escalonada.
1. Se a matriz B é obtida de A pela divisão de uma certa linha de A por uma
escalar K≠ 0, então det (A) = K. det (B)
2. Se a matriz B e obtida de A pela permuta de duas linhas de A, então: det (A) =
(-1) . det(B)
3. Se a matriz B é obtida de A pela Substituição de uma Linha por sua soma com
um múltiplo de uma outra linha, então: det(A)=det (B)
4. O exemplo a seguir mostra como calcular o determinante de A utilizando
operações elementares nas linhas de A para reduzi-la á forma
escalonada(triangular superior).
ÁLGEBRA LINEAR
4

3

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2

2

2 5

3

2

( 1) 3

4

L1

6

2

1
( 1).(2) 3

3

L1
3

6

2 5

4

L3
1

4

2
1
.L
2 1
1

( 2) 0

8

4

0

5

10

2

( 2).( 5) 0
0

L

3

1
L
5 3

4

3

L

2

1
( 2) 0

3

2
L2

2
8

4
3. L 1

3
4

3
L3

2
L3

1

2

2

3

1 2

1

2

( 10) 0 1

2

0

8
L

3

4.L 1

3

(10).( 1) 0

4

L

3

2 5

L2

8
1

2

3

4
L

3

( 10).(1).(1).(12)

0 0 12
8. L

2

L

3

L

3

4.L

1

Posto de uma matriz
Definimos posto de uma matriz A, que denotamos por p(a), como sendo o número
de linhas não-nulas de uma forma escalonada da matriz A.

Resolução de Sistemas Lineares

Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas
x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação
recebe o nome de linear homogênea).
Veja alguns exemplos de equações lineares:
3x - 2y + 4z = 7

-2x + 4z = 3t - y + 4

(homogênea)

As equações a seguir não são lineares:
xy - 3z + t = 8

2

x - 4y = 3t - 4

120
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Sistema linear
Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é,
simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

Matrizes associadas a um sistema linear
A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.
Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última
coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Sistemas homogêneos
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:
ÁLGEBRA LINEAR

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Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o
nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais
Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema
, encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim,
dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema
, verificamos que os pares ordenados (0,8),
(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para
, verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as
equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).
Resumindo, um sistema linear pode ser:
a) possível e determinado (solução única);
b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
c) impossível (não tem solução).

Sistema normal
Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o
determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.
Se m=n e det A

0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer
ÁLGEBRA LINEAR

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Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e
Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna
formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:
a) possível e determinado, se D=det A

0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição
só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente
proporcionais e termos independentes não-proporcionais.
Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e
Exemplo:

Dxi

0, 1

i n; caso em que o sistema não tem solução.
ÁLGEBRA LINEAR

Como D=0 e Dx

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0, o sistema é impossível e não apresenta solução.

Sistemas Lineares
Sistemas escalonados
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de
equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se
muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a
discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação,
está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta
de equação para equação.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de
zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª
incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as
propriedades dos sistemas equivalentes:
Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x
seja igual a 1:
ÁLGEBRA LINEAR

PROFª MÁRCIA AMANCIO

Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z=-6

z=3

Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2

-7y - 9 = -2

y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3

x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Sistemas Lineares

Exemplo 2:
ÁLGEBRA LINEAR

PROFª MÁRCIA AMANCIO

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema
é impossível.

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:
Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:
ÁLGEBRA LINEAR

PROFª MÁRCIA AMANCIO

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:
Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação

O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas
soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas
condições é chamada grau de indeterminação (GI):
GI= n - m
Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:
Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:
GI = n-m = 4-3 = 1

Método de discussão do sistema por escalonamento
1.
2.
3.
4.

p(a): é número de linhas não-nulas de uma forma escalonada da matriz A
p(A:B) : ´número de linhas não-nulas da matriz escalonada aumentada
n= número de incógnitas do sistema
r = número de equações na forma escalonada
sistema não tem solução, quando: p(a)
p(A:B)→ Sistema
impossível(SI)
sistema tem solução: p(A)=p(A:B), r=n→ Sistema possível e
determinado(SPD)
sistema tem solução: p(A)=p(A:B), r < n → Sistema possível e
indeterminado(SPI)
ÁLGEBRA LINEAR

PROFª MÁRCIA AMANCIO

Ex:
2x y

z

3

x y

z

1

x y

z

2

Transformar em matriz
2

1

1 :3

1

1

1 :1

1

1

1

1 :1

2

1

1 :3

0

1: 2

1

1: 2

1

1
L1
n

1
L2
2; r

1

L2
3

nr

L2

2.L 1

L3

sistema impossível

1

1 :1

1

1

1: 1

0

1

1: 2

0

L3

L1

1

1

1

1 :1

0

2
L3

1 :1
2 :1

0

L3

2.L 2

1
1
0

1 :1
1: 1
0 : 1

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Matrize

  • 1. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Matrizes Introdução O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa: Química Inglês Literatura Espanhol A 8 7 9 8 B 6 6 7 6 C 4 8 5 9 Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela. Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes: Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita: Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos:
  • 2. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO é uma matriz do tipo 2 x 3 é uma matriz do tipo 2 x 2 Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. Na matriz , temos: Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5. Denominações especiais Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
  • 3. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, , do tipo 3 x 1 Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz quadrada de ordem 2. é do tipo 2 x 2, isto é, Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1. Veja: Observe a matriz a seguir: a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1 a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1) Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.
  • 4. ÁLGEBRA LINEAR Por exemplo, PROFª MÁRCIA AMANCIO . Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo: Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: Assim, para uma matriz identidade . t Matriz transposta: matriz A obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo: t Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A é do tipo n x m. t Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna t de A . t Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A . Por exemplo,
  • 5. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij. Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, . Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais: . Operações envolvendo matrizes Adição Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que Cij = aij + bij , para todo : A+B=C Exemplos: Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo. Propriedades
  • 6. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 Subtração Dadas as matrizes soma de A com a matriz oposta de B: , chamamos de diferença entre essas matrizes a A-B=A+(-B) Observe: Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij: B = x.A Observe o seguinte exemplo: Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x . (yA) = (xy) . A b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA = yA d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A
  • 7. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Multiplicação de matrizes O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Vamos multiplicar a matriz 1ª linha e 1ª coluna 1ª linha e 2ª coluna 2ª linha e 1ª coluna 2ª linha e 2ª coluna Assim, Observe que: . para entender como se obtém cada Cij:
  • 8. ÁLGEBRA LINEAR Portanto, comutativa. PROFª MÁRCIA AMANCIO .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade Vejamos outro exemplo com as matrizes : Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B: A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
  • 9. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Operações elementares-linha São as operações efetuadas nas linhas de uma matriz. São as seguintes: Permutação de duas linhas: Notação L i Lj Multiplicação de uma linha por uma constante não-nula: Notação L i k.L j Substituição de uma linha por sua soma com uma outra linha,previamente multiplicada por uma escalar não-nulo: Notação L i L i + k.L j Obs: Estas operações elementares podem ser efetuadas nas colunas de uma matriz. Neste caso, são chamadas operações elementares –coluna. Se A e B são matrizes m x n, dizemos que são equivalentes (linha ou coluna) se uma delas puder ser obtida da outra através de uma seqüência finita de operações elementares(linha ou coluna). Denotamos a equivalência entre duas matrizes A e B por A ~B ou B~A. Ex: 2 0 1 1 4 3 1 4 3 ~ 2 0 1 4 3 2 4 3 2 Matriz Escalonada Uma matriz A= [ aij] mxn diz-se estar na forma escalonada quando o número de zeros que precedem o primeiro elemento não- nulo em cada linha(elemento líder), aumenta de linha em linha, enquanto a linha não for constituída só de zeros. Ex: Matrizes escalonadas 2 7 9 0 0 1 0 0 0 , 1 6 9 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Matrizes escalonadas são, as vezes, chamadas de matrizes linha-escalonada. Observe que, se uma matriz está na forma escalonada, os elementos líderes das linhas formam uma “ escada” . Veremos mais adiante que a técnica do escalonamento pode ser usada para cáculo do determinante, matriz inversa, e para encontra o conjunto solução de um sistema de equações lineares. Processo de transformar uma matriz A em uma forma escalonada é conhecido como eliminação GAUSS. Para escalonar uma matriz, procedemos da seguinte maneira:
  • 10. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO 1- Localize a primeira coluna de A que contém um elemento não-nulo. È a coluna do líder; 2- Se o primeiro elemento, nesta coluna, for zero, permute a primeira linha de A com uma linha na qual o elemento correspondente seja diferente de zero; 3-Feito isso, agora o primeiro elemento, em nossa, coluna não é nulo. Esse é o elemento líder; 4- Usando a terceira operação elementar, substitua por zero todos os elementos nãonulos abaixo do elemento líder, na mesma coluna; 5- Feito isso, a matriz fica semelhante á matriz a seguir: k o 0 k k 1 2 k n 0 6- Repetir os passos de 1 a 4 até obter uma matriz escalonada. Matriz Canônica Uma matriz escalonada é chamada matriz canônica se: Todo elemento líder é 1 e; Cada elemento líder é o único elemento não nulo- na sua coluna. Nas colunas, onde os líderes se localizam eles são os únicos elementos diferentes de zero. Ex: 1 0 0 2 2 0 1 2 4 forma escalonada 1 0 0 0 1 0 forma canônica 0 0 1 Ex: Transformar a matriz A em escalonada:
  • 11. ÁLGEBRA LINEAR 1 PROFª MÁRCIA AMANCIO 2 1 1 2 1 0 L2 1 1 2 L2 1 L3 L3 L2 0 0 1 2 1 0 0 3 0 2 L2 1 L1 L1 2 3 1 ( 2). L 1 0 1 1 1 2 L3 2 2 L1 0 0 1 3 3 2 3 1 3 0 L3 2 2 forma escalonada 1 1 2 1 1 L 2 . ( ) 0 1 2 3 L1 3 0 0 1 1 0 0 1 ( ).L 3 0 1 2 3 L 2 3 0 0 1 L2 1 0 L1 ( 2).L 2 0 1 0 0 1 0 0 2 ( ).L 3 0 1 0 3 0 0 1 13 23 1 formacanônica Matriz inversa Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A -1 . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A . Ex: A = 2 4 a b , fazendo A-1 = , sabemos que A. A-1= I2 1 5 c d 2 4 a b . 1 5 c d 1 0 0 1 2a 4c 2b 4d a 5c b 5d 1 0 0 1 Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas: 2 4 a b . 1 5 c d 2a 4c 1 a 5c 0 1 2b 4d 1 A 0 b 5d 2 1 56 16 1 0 0 1 a b 23 13 2a 4c 2b 4d a 5c b 5d 5 e c 6 2 e d 3 1 6 1 3 1 0 0 1
  • 12. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Cálculo da inversa pelo método de Jordan Se A é uma matriz invertível, sua matriz canônica é a matriz identidade. Método conhecido como processo de Jordan 1. Forme a matriz[ A : I ] 2. Usando operações elementares-linha, encontre a matriz canônica desta nova matriz.Lembre- se de que qualquer operação feita em uma linha de A deverá ser feita na linha correspondente da matriz I 3. Ex: 1 2 A 3 0 1 2:1 0 3 0:0 1 2 L 2 3.L 1 1 0 2 : 1 6: 0 3 1 L 2 L .( 1 1 2: 1 ) 6 0 1 :1 2 L 2 .( 1 1 2: 1 ) 6 0 1 :1 2 2 0 16 1 2 3 0 A 1 2:1 0 3 0:0 1 1 A L 0 12 L2 L2 3.L 1 1 0 2 : 1 6: 0 3 1 L2 0 16 13 16 Determinantes Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices; Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11: det M =Ia11I = a11
  • 13. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo. Por exemplo: M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5 M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3 Determinante de 2ª ordem Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por: Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir. Menor complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MCij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir: a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11(MC11), retiramos a linha 1 e a coluna 1:
  • 14. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a12 é: b) Sendo , de ordem 3, temos: Cofator Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz i+j quadrada de ordem n o número Aij tal que Aij = (-1) . MCij . Veja: a) Dada b) Sendo , os cofatores relativos aos elementos a11 e a12 da matriz M são: , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31:
  • 15. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando em que , temos: é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, Regra de Sarrus O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus. Acompanhe como aplicamos essa regra para .
  • 16. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO 1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: 2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo): 3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo): Assim:
  • 17. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real. Determinante de ordem n > 3 Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus. Propriedades dos determinantes Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades: P1 ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplo: P2) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo. Exemplo: P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
  • 18. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Exemplo: P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplos: P5) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais. Exemplo: P7) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplos:
  • 19. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO P8) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo: P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplos:
  • 20. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO P10) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como: Exemplo: P12) Exemplo: Cálculo do determinante pelo método da eliminação O determinante de qualquer matriz quadrada A pode ser calculado reduzindo a matriz A a uma matriz escalonada. Como qualquer matriz escalonada quadrada é triangular superior, o determinante desta matriz escalonada é o produto dos elementos de sua diagonal principal. Assim, para obter o det(a) utilizaremos operações elementares nas linhas de A, o que é sempre possível, para transformar A em uma matriz escalonada. Observe abaixo o efeito de cada operação elementar-linha sobre o determinante de A á medida que reduzimos A á forma escalonada. 1. Se a matriz B é obtida de A pela divisão de uma certa linha de A por uma escalar K≠ 0, então det (A) = K. det (B) 2. Se a matriz B e obtida de A pela permuta de duas linhas de A, então: det (A) = (-1) . det(B) 3. Se a matriz B é obtida de A pela Substituição de uma Linha por sua soma com um múltiplo de uma outra linha, então: det(A)=det (B) 4. O exemplo a seguir mostra como calcular o determinante de A utilizando operações elementares nas linhas de A para reduzi-la á forma escalonada(triangular superior).
  • 21. ÁLGEBRA LINEAR 4 3 PROFª MÁRCIA AMANCIO 2 2 2 5 3 2 ( 1) 3 4 L1 6 2 1 ( 1).(2) 3 3 L1 3 6 2 5 4 L3 1 4 2 1 .L 2 1 1 ( 2) 0 8 4 0 5 10 2 ( 2).( 5) 0 0 L 3 1 L 5 3 4 3 L 2 1 ( 2) 0 3 2 L2 2 8 4 3. L 1 3 4 3 L3 2 L3 1 2 2 3 1 2 1 2 ( 10) 0 1 2 0 8 L 3 4.L 1 3 (10).( 1) 0 4 L 3 2 5 L2 8 1 2 3 4 L 3 ( 10).(1).(1).(12) 0 0 12 8. L 2 L 3 L 3 4.L 1 Posto de uma matriz Definimos posto de uma matriz A, que denotamos por p(a), como sendo o número de linhas não-nulas de uma forma escalonada da matriz A. Resolução de Sistemas Lineares Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b em que a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Veja alguns exemplos de equações lineares: 3x - 2y + 4z = 7 -2x + 4z = 3t - y + 4 (homogênea) As equações a seguir não são lineares: xy - 3z + t = 8 2 x - 4y = 3t - 4 120
  • 22. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Sistema linear Um conjunto de equações lineares da forma: é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. Matrizes associadas a um sistema linear A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes: matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Em relação ao sistema: a matriz incompleta é: matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema. Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é: Sistemas homogêneos Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:
  • 23. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Veja um exemplo: A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais Classificação de um sistema quanto ao número de soluções Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única). No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções). Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução). Resumindo, um sistema linear pode ser: a) possível e determinado (solução única); b) possível e indeterminado (infinitas soluções); c) impossível (não tem solução). Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal. Regra de Cramer
  • 24. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Discussão de um sistema linear Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser: a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única. Exemplo: m=n=3 Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única. b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções. Exemplo: D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0 Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções. c) impossível, se D=0 e Exemplo: Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução.
  • 25. ÁLGEBRA LINEAR Como D=0 e Dx PROFª MÁRCIA AMANCIO 0, o sistema é impossível e não apresenta solução. Sistemas Lineares Sistemas escalonados Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares. Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado. Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema: I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n) Exemplo 1: 1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes: Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:
  • 26. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação: Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação: 2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação: Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação: Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. -2z=-6 z=3 Substituindo z=3 em (II): -7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1 Substituindo z=3 e y=-1 em (I): x + 2(-1) + 3= 3 x=2 Então, x=2, y=-1 e z=3 Sistemas Lineares Exemplo 2:
  • 27. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO 1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação: Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação: Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação: 2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação: Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação: Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível. II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n) Exemplo: 1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação: Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação: Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:
  • 28. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO 2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação: Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação O sistema está escalonado. Como m<n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI): GI= n - m Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo: Consideramos o sistema em sua forma escalonada: Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições: GI = n-m = 4-3 = 1 Método de discussão do sistema por escalonamento 1. 2. 3. 4. p(a): é número de linhas não-nulas de uma forma escalonada da matriz A p(A:B) : ´número de linhas não-nulas da matriz escalonada aumentada n= número de incógnitas do sistema r = número de equações na forma escalonada sistema não tem solução, quando: p(a) p(A:B)→ Sistema impossível(SI) sistema tem solução: p(A)=p(A:B), r=n→ Sistema possível e determinado(SPD) sistema tem solução: p(A)=p(A:B), r < n → Sistema possível e indeterminado(SPI)
  • 29. ÁLGEBRA LINEAR PROFª MÁRCIA AMANCIO Ex: 2x y z 3 x y z 1 x y z 2 Transformar em matriz 2 1 1 :3 1 1 1 :1 1 1 1 1 :1 2 1 1 :3 0 1: 2 1 1: 2 1 1 L1 n 1 L2 2; r 1 L2 3 nr L2 2.L 1 L3 sistema impossível 1 1 :1 1 1 1: 1 0 1 1: 2 0 L3 L1 1 1 1 1 :1 0 2 L3 1 :1 2 :1 0 L3 2.L 2 1 1 0 1 :1 1: 1 0 : 1