O documento aborda conceitos fundamentais de álgebra matricial, incluindo adição, multiplicação, matrizes identidade e inversas. Ele também discute o cálculo de determinantes e a aplicação da Regra de Cramer na resolução de sistemas de equações lineares. Exemplos práticos e exercícios são fornecidos para ilustrar cada conceito.

1. ÁLGEBRA MATRICIAL
Prof. Elisson de Andrade
eapandra@uol.com.br

2. Dica: anote todos os passos, pois ao final
de cada explicação, terá que fazer o
mesmo exercício com outros números

3. 𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Matriz quadrada 3x3
Notação para matrizes: m x n (linha por coluna)
𝑎11
𝑎21
𝑎31
Vetor coluna 3x1

4. Soma e subtração
Duas matrizes só podem ser somadas ou subtraídas se tiverem
a mesma dimensão
4 9
2 1
+
2 0
0 7
=
4 + 2 9 + 0
2 + 0 1 + 7
=
6 9
2 8
Resolva:
19 3
2 0
−
6 8
1 3
=
19 − 6 3 − 8
2 − 1 0 − 3
=
13 −5
1 −3

5. Multiplicação Escalar
Multiplicação de uma matriz por um número (um escalar)
7
3 −1
0 5
=
21 −7
0 35
Resolva:
19 3
2 0
− 2
6 8
1 3
=
19 − 2.6 3 − 2.8
2 − 2.1 0 − 2.3
=
7 −13
0 −6

6. Multiplicação de Matrizes
Se queremos multiplicar duas matrizes: AB
A coluna de A precisa ter a mesma dimensão da linha de B
Ex: A (1x2) e B (2x3)
𝐴 = 2 1 𝐵 =
3 4 0
2 0 1
A dimensão da matriz resultante de AB será 1x3
𝐴𝐵 = 𝐶 = 𝑐11 𝑐12 𝑐13

7. Multiplicação de Matrizes
Multiplica-se cada linha de A por cada coluna de B
DADO: 𝐴 = 2 1 𝐵 =
3 4 0
2 0 1
𝐶 = 𝑐11 𝑐12 𝑐13
𝑐11 = 2.3 + 1.2 = 8
𝑐12 = 2.4 + 1.0 = 8
𝑐13 = 2.0 + 1.1 = 1
𝐶 = 8 8 1

8. Multiplicação de Matrizes
Multiplique as matrizes abaixo
DADO: 𝐴 =
1 3
2 8
4 0
𝐵 =
5
9
𝐶 =
32
82
20
Resolvendo: 𝐶 =
1.5 + 3.9
2.5 + 8.9
4.5 + 0.9

9. Matriz Identidade
É uma matriz quadrada com vários números 1 na sua diagonal principal,
e zero em todas as demais posições
𝐼2 =
1 0
0 1
𝐼3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Importância: desempenha papel similar ao número 1 em álgebra de números

10. Matriz Identidade
Exemplo: Calcule IA
𝐼2 =
1 0
0 1
𝐴 =
1 2 3
2 0 3
Resultado:
𝐼𝐴 = 𝐴 =
1 2 3
2 0 3

11. Matriz Nula
É uma matriz quadrada com vários números 0 em todas suas posições e
não precisa ser quadrada
0 =
0 0
0 0
0 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Importância: ao multiplicarmos uma matriz por uma matriz nula, teremos uma matriz
nula como resposta

12. Matriz Transposta
Quando linhas e colunas são trocadas: a primeira linha vira primeira
coluna e assim por diante. Seja:
𝐴 =
3 4
1 7
Sua Transposta será:
𝐴′
=
3 1
4 7

13. Matriz Transposta
Represente a transposta da seguinte matriz
𝐴 =
3 1
8 0
−9 4
Sua Transposta será:
𝐴′
=
3 8 −9
1 0 4

14. Matriz Inversa
• Só é possível calcular a Inversa, se a matriz é QUADRADA
• Mas nem toda matriz quadrada tem inversa (condição
necessária e não suficiente)
• Se possui inversa: matriz não-singular
• Se não possui: matriz singular
• Portanto, primeiro desafio: testar a não singularidade da matriz

15. Matriz Inversa
• Uma vez que a matriz é quadrada (condição necessária),
precisamos saber se suas colunas (ou linhas) são
independentes (condição suficiente)
• Podemos testar a não-singularidade de uma matriz
utilizando-se de determinantes

16. Determinante
Em uma matriz 2x2 o determinante é calculado fazendo o produto dos
elementos da diagonal principal, e depois subtraindo do produto dos
outros dois números
𝐴 =
10 4
8 5
Cálculo do determinante de segunda ordem (por ser uma matriz 2x2)
𝐴 =
10 4
8 5
= 10.5 − 8.4 = 18

17. Determinante
Em uma matriz 3x3 o determinante é calculado da seguinte forma:
𝐴 =
2 1 3
4 5 6
7 8 9
Cálculo do determinante de terceira ordem (por ser uma matriz 3x3)
𝐴 = 2.5.9 + 1.6.7 + 3.4.8 − 7.5.3 + 8.6.2 + 9.4.1 = −9
𝐴 =
2 1 3
4 5 6
7 8 9
2 1
4 5
7 8

18. Determinante
Em uma matriz 4x4 (ou maior) precisamos utilizar a expansão de Laplace (mas
por ora, vamos continuar na matriz 3x3 só para explicitar o método):
Vamos pegar o primeiro elemento e eliminar sua linha e sua coluna. Vamos achar o
menor do elemento a11 (e assim para os outros elementos da linha)
𝐴 = 2 5.9 − 8.6 − 1 4.9 − 7.6 + 3(4.8 − 5.7) = −9
𝑀11 =
5 6
8 9
𝐴 =
2 1 3
4 5 6
7 8 9
𝑀12 =
4 6
7 9
𝑀13 =
4 5
7 8
Cofator: será o sinal de Mij. Quando i+j é par o sinal de Mij será mantido, se a soma for ímpar,
o sinal deverá ser invertido. No nosso caso, multiplicaremos cada menor pelo seu respectivo
aij, e aplicaremos a regra de sinal de cofator.

19. Determinante
Calcule o determinante a seguir pelo Método de Laplace
𝐴 = −7 1.5 − 6.4 − 0 9.5 − 0.4 + 3(9.6 − 0.1) = 295
𝑀11 =
1 4
6 5
𝐴 =
−7 0 3
9 1 4
0 6 5
𝑀12 =
9 4
0 5
𝑀13 =
9 1
0 6

20. Determinante
Calcule o determinante a seguir pelo Método de Laplace
𝐴 = 3 −75 − 4 −60 + 1 0 − 2 50 = −85
𝑀11 =
0 1 3
0 4 −3
5 1 0
𝑀12 =
−2 1 3
2 4 −3
4 1 0
𝑀13 =
−2 0 3
2 0 −3
4 5 0















0
1
5
4
3
4
0
2
3
1
0
2
2
1
4
3
A
𝑀13 =
−2 0 1
2 0 4
4 5 1

21. Voltando à Matriz Inversa
• Uma vez que a matriz é quadrada (condição necessária),
precisamos saber se suas colunas (ou linhas) são
independentes (condição suficiente)
• Podemos testar a não-singularidade de uma matriz
utilizando-se de determinantes: se 𝐴 ≠ 0
• Matriz é não-singular e sua inversa existe

22. Matriz Inversa
Vamos achar a inversa da seguinte matriz 𝐴 =
3 2
1 0
Já que 𝐴 ≠ 0 (ou seja 𝐴 = −2), isso significa que a inversa 𝐴−1 existe.
O próximo passo é criar uma matriz de cofatores C (escolhendo cada elemento aij,
eliminando sua linha e coluna respectiva, e achando o determinante do restante
dos elementos (e fazendo a regra do sinal). Como essa matriz é 2x2, o processo
se torna mais fácil.
𝐶 =
0 −1
−2 3

23. Matriz Inversa
O próximo passo é TRANSPOR a matriz de cofatores,
que denominaremos de Matriz Adjunta de A
Logo, transpondo C, temos:
Assim, a INVERSA de A será dada por:
𝐶 =
0 −1
−2 3
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
0 −2
−1 3
𝐴−1 =
1
𝐴
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
1
−2
0 −2
−1 3
=
0 1
1/2 −3/2

24. Uma questão interessante...
Temos as duas matrizes 𝐴−1
=
0 1
1/2 −3/2
𝐴 =
3 2
1 0
Multiplique as duas matrizes: 𝐴. 𝐴−1
3.0 + (2.
1
2
) 3.1 + (2. −
3
2
)
1.0 + (0.
1
2
) 1.1 + (0. −
3
2
)
=
1 0
0 1
= 𝐼
Na álgebra com números, um número dividido por ele mesmo dá 1: a/a = 1
Que em outra notação ficaria a.a-1 = 1
Em álgebra matricial, não é possível dividir matrizes.
Mas se der para fazer uma analogia vemos que A.A-1 = I
Ou seja, a multiplicação de uma matriz por sua inversa dá uma coluna principal de 1

25. Calcular a inversa de:
Calculando o determinante:
𝐴 = 99
𝐴 =
4 1 −1
0 3 2
3 0 7
Matriz de cofatores
𝐶 =
3 2
0 7
−
0 2
3 7
0 3
3 0
−
1 −1
0 7
4 −1
3 7
−
4 1
3 0
1 −1
3 2
−
4 −1
0 2
4 1
0 3
𝐶 =
21 6 −9
−7 31 3
5 −8 12
𝐴−1
=
1
𝐴
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
1
99
21 −7 5
6 31 −8
−9 3 12

26. Calcular a inversa de:
Calculando o determinante:
𝐴 = 1
𝐴 =
1 2 3
0 1 4
5 6 0
𝐶 =
−24 18 5
20 −15 −4
−5 4 1
𝐴−1
=
1
𝐴
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
1
1
−24 18 5
20 −15 −4
−5 4 1

27. Regra de Cramer
• Método prático de resolver sistemas de equações
lineares
• Ex:
• 5𝑥1 + 3𝑥2 = 30
• 6𝑥1 − 2𝑥2 = 8
• Esse sistema de equações lineares pode ser expresso
em forma de matrizes

28. Regra de Cramer
𝐴 =
5 3
6 −2
𝑥 =
𝑥1
𝑥2
𝑑 =
30
8
Logo, temos a seguinte álgebra matricial:
• 𝐴𝑥 = 𝑑
• Como precisamos isolar 𝑥, vamos pré-multiplicar ambos os lados pela inversa de 𝐴
• 𝐴−1
𝐴𝑥 = 𝐴−1
𝑑 de onde sai que
• 𝑥 = 𝐴−1
𝑑
• Ou seja, para achar os valores de 𝑥 basta multiplicar a inversa da matriz 𝐴 pela matriz 𝑑

29. Regra de Cramer
𝐴 =
5 3
6 −2
Invertendo:
𝐶 =
−2 −6
−3 5
Matriz Cofatores:
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
−2 −3
−6 5
Matriz Adjunta (transposta):
Inversa: 𝐴−1 =
1
𝐴
𝐴𝑑𝑗 𝐴 =
1
−28
−2 −3
−6 5
=
2/28 3/28
6/28 −5/28
𝐴 = −28
Determinante de A

30. Regra de Cramer
Fazendo a multiplicação: 𝐴−1
𝑑
2/28 3/28
6/28 −5/28
.
30
8
(
2
28
30) + (
3
28
8)
(
6
28
30) + (−
5
28
8)
60
28
+
24
28
180
28
−
40
28
84
28
140
28
Logo, se 𝑥 = 𝐴−1
𝑑:
𝑥1
𝑥2
=
3
5

31. Regra de Cramer
• Resolva o sistema de equações lineares abaixo, pela
Regra de Cramer.
• Equações:
• 7𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 0
• 10𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 8
• 6𝑥1 + 3𝑥2 − 2𝑥3 = 7
Respostas:
x1 = 1
x2 = 3
x3 = 4

32. Exercícios extras no Site