Mat regra de tres

Inclusão para a vida Matemática D

UNIDADE 1 Noção Intuitiva
“O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23 por
cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são
analfabetos.
REGRA DE TRÊS
Cálculo de uma porcentagem
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”

Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o
25
pois 25% = = 0,25
aumento uma delas implica no aumento da outra na mesma 100
razão. Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00

Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00 Definição
3 kg de alimento custam R$ 45,00
5kg de alimento custam R$ 75,00 Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo
símbolo % que significa “por cento”.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exercícios de Sala 
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o
aumento der uma delas implica na diminuição da outra na
mesma razão. 1. Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o
preço de 25Kg do mesmo produto?
Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias
4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias 2. Sabendo que 36 operários conseguem construir uma casa em
6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias 30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operários, em quanto
tempo será construída a mesma casa?
APLICAÇÕES – REGRA DE TRÊS
3. Calcular
Regra de Três Simples
a) 60% de 30 b) 30% de 20
Regra de Três Simples é um processo matemático mediante o c) 20% de 300 d) 20% de 20%
qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo e) (20%)2 f) 4%
“duas” grandezas, sejam elas direta ou inversamente
proporcionais. Este processo consiste no seguinte:
4. Numa cidade, 240 000 jovens representam 30% da população.
Identificar as grandezas envolvidas no problema. Então a população da cidade é de:
Nas situações dadas (em relação às mesmas) dispô-las
a) 500 000 habitantes b) 600 000 habitantes
em colunas.
c) 700 000 habitantes d) 800 000 habitantes
Verificar se são GDP ou GIP.
e) 900 000 habitantes
Montar a proporção correspondente.
Resolver a proporção.
Tarefa Mínima 
Regra de Três Composta
1. Se trinta litros de um combustível custam R$ 16,95, quantos
Regra de três composta é um processo matemático mediante o custarão oitenta litros do mesmo combustível?
qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo três
ou mais grandezas. O processo é semelhante ao caso anterior
(Regra de três simples), levando em consideração apenas o item
2. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa,
da verificação quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito da quanto tempo levarão para construí-la 10 pedreiros?
seguinte maneira: analisar as grandezas duas a duas, sempre em
relação à que possui a variável. A montagem e resolução da 3. Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para dez
proporção seguem o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados, pergunta-
Três Simples). se: para quantos dias terão suprimentos, considerando-os
inalteráveis?
PORCENTAGEM
4. Calcular as seguintes porcentagens:
PORCENTAGEM a) 25% de 80 b) 4% de 50
c) 120% de 200 d) 0,15% de 400
As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas e) 20% de 30% f) (5%)2
razões centesimais.
g) 49%
13 27
Exemplo: ; ; etc.
100 100 5. Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. A
porcentagem de reprovação foi de:

a) 30% b) 40% c) 50%
d) 60% e) 70%

Pré-Vestibular da UFSC 1

Matemática D Inclusão para a Vida

6. (UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se mesma eficiência das anteriores) trabalhando 8 horas por dia
15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluíram todas as provas. levarão 6 dias para fazer o mesmo trabalho.
O percentual de abstenção foi:

7. Qual o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve
UNIDADE 2
um aumento de 40%?
a) 110,00 b) 112,00 c) 114,00
d) 116,00 e) 98,00 FATORIAL

8. (CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale: Dado um número natural, denomina-se fatorial de n e indica-se
por n! a expressão:
a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009
d) 0,009 e) n.d.a. n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). ......... . 3 . 2 . 1

Assim temos:
Tarefa Complementar
5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120
9. (UNIMEP-SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois 4! = 4. 3. 2. 1 = 24
minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários: 3! = 3. 2. 1 = 6
2! = 2. 1 = 2
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos 1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo)

10. Dezesseis operários trabalhando seis horas por dia Observação: Podemos desenvolver um fatorial até um fator
conveniente. Veja:
constroem uma residência em cento e oitenta dias. Quantos
operários serão necessários para fazer a mesma residência,
8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!
trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias?
4!
a) 18 b) 10 c) 19
6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!
d) 20 e) 21
5!
11. Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de n ! = n. (n 1).(n 2) !
alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa serão
consumidos em quantos dias?
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
a) 12 b) 13 c) 14 CONTAGEM – FÓRMULA DO ARRANJO
d) 15 e) 16
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
12. (UFSC) Com uma lata de tinta é possível pintar 50 m2 de
2
parede. Para pintar uma parede de 72m , gasta-se uma lata e mais O princípio fundamental da contagem, ou princípio
uma parte de uma segunda lata. A parte que se gasta da segunda multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de
lata, em porcentagem, é: um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever
todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma:
13. (UFSC) Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algum
tempo, vendeu essas ações por R$ 2.100,00. Determine o Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e
percentual de aumento obtido em seu capital inicial. independentes de modo que:

14. (UFSC) Um reservatório contendo 120 litros de água E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa
apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa
evaporação, esse índice subiu para 15%. Determinar, em litros, o :
volume de água evaporada. :
En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa
15. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) CORRETA(S).
Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do
01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao mês. evento ocorrer.
Deseja comprar um bem no valor de R$100.000,00, que pode
ser pago a vista ou em três parcelas de R$ 34.000,00, sendo a
ARRANJO
primeira de entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sairá
lucrando se fizer a compra parcelada.
02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questões é um Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os
desempenho inferior a obter 6 acertos numa prova de 10 pares ordenados a partir do conjunto K.
questões, porém superior a obter 5 acertos numa prova de 9
questões. (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4);
04. Duplicando-se o lado de um triângulo eqüilátero, sua área (2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3)
fica também duplicada.
08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 5 dias Observe que esses agrupamentos diferem
para fazer determinado trabalho, então 3 impressoras (com a



Pela natureza dos elementos componentes: 5. Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantos
(2, 3) (1,4) números com quatro algarismos distintos podemos formar a
Pela ordem dos elementos: partir do conjunto K?
(1, 3) (3, 1)
A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n Tarefa Mínima 
elementos tomados p a p, e é indicado por
.
5
1. Calcular .
3 2
Definição: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p
cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n
disponíveis. 2. Resolver as equações abaixo:

a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO ARRANJO
c) (n - 2)! = 720
ARRANJO COM REPETIÇÃO x 1!
3. Ache a solução da equação 12
A
*
n,p =n
p ( x 3)!

Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos 4. Dum ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um
números de 3 algarismos podemos formar a partir de K ? terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto
Resolução: A*5, 3 = 53 = 125 D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem
Logo, podemos formar 125 números de 3 algarismos. para ir do ponto A ao ponto D?

ARRANJO SEM REPETIÇÃO (SIMPLES) a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080

5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100

An p n participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar
e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser
n p distribuídos esses prêmios?

a) 199 b) 200 c) 4.950
Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos d) 9.900 e) 10.000
números de 3 algarismos sem repetição podem ser formados?
6. Telefones de uma cidade possui 6 dígitos (1ºnunca é zero).
5 5432 Supondo que a cidade passe a ter 7 dígitos. Qual o aumento no
Resolução: A5,3 = 60 número de telefones?
5 3 2
a) 81.105 b) 8100 c) 90000 d) 90.103

Logo, podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos.
Tarefa Complementar 
7. Qual o valor de n que satisfaz a equação
n 1 n
1. Calcular o valor de 5
n 2
10 12! 11!
a) b) 8. Quantas soluções possui a equação (x – 2)! = 1
8 11!
n 1 n
2. Resolver as equações: 9. (UFPA) Simplificando obtém-se:
n 2
n 3 1
a) (n 3) ! = 720 b) 20 a) b) n + 1
n 1 n 2
1
3. Quatro seleções de futebol (Brasil, Espanha, Portugal e c) n+2 d)
Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais são as n 1
possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares? e) n

4. Quantas placas para identificação de veículos podem ser m 1m 1
10. (FSBEF-DF) Sendo e tendo em vista
confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, m 2 10
supondo que não há nenhuma restrição.) que m > 0, o valor de m é:



11. Se (n 6)! = 720, então n é igual a: Resolução: Cada anagrama é uma permutação das letras V, A, S,
C e O. Como são 5 letras distintas, o número de anagramas é
dado por:
12. (F.Dom Bosco-DF) A expressão 3! 2! 2! É equivalente à
expressão: P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
a) 12! b) 7! c) 5! d) 5! e) 4! Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras
que compõem a palavra VASCO.
13. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países,
as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
se classificariam nos três primeiros lugares Se, em cada
tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas Vamos considerar um conjunto com n elementos, dos quais um
diferentes poderiam existir? dos deles repete vezes, outro vezes e assim por diante, até
que um elemento repita vezes. O número de permutações
a) 69 b) 2.024 possíveis é dado pela expressão:
c) 9.562 d) 12.144
e) 13.824
Pn .... n
14. (UECE) A quantidade de números inteiros compreendidos
entre os números 1000 e 4500 que podemos formar utilizando
somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem
algarismos repetidos, é:
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as letras da
palavra ARARA.
15. (PUC-SP) Chamam-se “palíndromos” os números inteiros
que não se alteram quando é invertida a ordem de seus Resolução: n = 5 =3 =2
algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de
5
palíndromos com cinco algarismos é: P53, 2 = =10
3 2
a) 450 b) 1000
c) 900 d) 2500 Logo, podemos formar 10 anagramas com as letras
e) 5000 que compõem a palavra ARARA.

UNIDADE 3 TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III -
COMBINAÇÕES
TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II - Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.
PERMUTAÇÕES
Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes
elementos.
Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem {1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.
repetição, estamos montando grupos com todos os elementos
disponíveis. Dizemos que esse tipo de Agrupamento é
Observe que esses agrupamentos diferem
denominado PERMUTAÇÃO de n elementos, e é indicado por
Pn. Considere então, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutações
com esses elementos são: Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2}
{1, 4}
(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2), Mas não diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1}
(3, 2, 1).
Esses tipos de agrupamentos são chamados de COMBINAÇÃO
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA PERMUTAÇÃO de n elementos tomados p a p, e são indicados por
Cn p ou Cp .
n
PERMUTAÇÃO SIMPLES
Definição: Denomina-se combinação de n elementos p a p todo
subconjunto de p elementos.
Pn = n!
FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA COMBINAÇÃO
Exemplo 1: Quantos números de 4 algarismos
distintos podemos formar com os números usando os algarismos
O número de combinações simples dos n elementos tomados p a
{ 2, 5, 6, 7}.
p é dado pela expressão:
Resolução: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24
Cn p n
Logo, pode-se formar 24 números com 4 n p p
algarismos distintos.

Exemplo 2: Calcule o número de anagramas da palavra VASCO.
Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com
um grupo de 10 pessoas.

Então apenas:
Resolução: As comissões são subconjuntos de 3 pessoas
escolhidas entre as 10, logo: a) a afirmação I é verdadeira.
b) a afirmação II é verdadeira.
10 10 9 8 7 c) a afirmação III é verdadeira.
C10,3 = 120 d) as afirmações I e II são verdadeiras.
10 3 3 7 3 21 e) as afirmações I e III são verdadeiras.

Portanto, podemos formar 120 comissões de 3 pessoas
com um grupo de10 pessoas.
9. (CEFET-PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO,
em que nem as vogais nem as consoantes fiquem juntas, é:

Exercícios de Sala  a) 12 b) 36 c) 48
d) 60 e) 72
1. Quantos são os anagramas das palavras:
10. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto
a) ROMA querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo
b) ESCOLA é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas
c) BANANA. possíveis é:
d) MATEMATICA
11. Considere um grupo de 3 moças e 4 rapazes. O número de
2. Quantos são os anagramas da palavra MÉXICO em que comissão de 4 membros, de modo que em cada comissão figure
aparecem as letra E e X sempre juntas? pelo menos um rapaz, é:

3. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com 5 12. Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma,
alunos (A,B,C,D,E) de uma classe? cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os
cumprimentos foram em número de 66. O número de pessoas
4. Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferência. Quantos presentes à reunião é:
triângulos com vértices nesses pontos podemos obter?
13.
Tarefa Mínima 
(ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o
segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do
polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu
número total de diagonais?
1. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar
com os números utilizando os algarismos { 1, 3, 8, 9}. a) 72 b) 63 c) 36
d) 27 e) 18
2. Quantos números diferentes obteremos permutando os
algarismos do número 336.223? 14. (UFRN) Se o número de combinações de n + 2 elementos 4
a 4 está, para o número de combinações de n elementos 2 a 2, na
3. Quantos são os anagramas da palavra SAPO? razão de 14 para 3, então n vale:

4. Determine os número de anagramas da palavra CARCARÁ? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
(não considere o acento)
UNIDADE 4
5. O valor de x em Cx,3 = 35, é:

a) 12 b) 10 c) 7
d) 8 e) 9
NÚMEROS BINOMIAIS

6. Quantas comissões constituídas por 4 pessoas podem ser Dados dois números naturais n e p, denomina-se número
formadas com 10 alunos de uma classe? n
binomial de n sobre p e indicado por ao número definido
p
a) 210 b) 120 c) 240
por:
d) 100 e) 200

7. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. n n!
= com n N, p Ne n p
Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O p
número total de cordas assim formadas é:
p!(n p)!

Tarefa Complementar  Podemos concluir de imediato que:

n n n
8. Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, temos as a 1 b) n c) 1
afirmações: 0 1 n

I - O número total deles é 720.
II - O número dos que terminam com a letra A é 25.
III - O número dos que começam com EN é 24.



NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1.

Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados SEGUNDA PROPRIEDADE
complementares quando a soma dos denominadores (classes) é O último elemento de cada linha é igual a 1.
igual ao numerador.

Exemplos: TERCEIRA PROPRIEDADE
Numa linha qualquer dois binomiais eqüidistantes dos
n n 5 5 extremos são iguais. (binomiais complementares)
a) e b) e
p n p 2 3
QUARTA PROPRIEDADE
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS n
Cada binomial da linha n é igual à soma de dois binomiais
p
1ª) Dois números binomiais complementares são
da linha (n - 1); aquele que está na coluna p com aquele que está
iguais.
na coluna (p - 1).
k p
n n
Então se ou n 1 n 1 n
k p
k p n
p 1 p p
2ª RELAÇÃO DE STIFFEL

n 1 n 1 n
p 1 p p

5 5 6
Veja que
3 4 4

TRIÂNGULO DE PASCAL

Vamos dispor agora os números binomiais em um triângulo, de
forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma
linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma
coluna. QUINTA PROPRIEDADE

col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6 A soma dos elementos da linha do numerador n é igual a 2n.
0
linha 0
0
Linha 0 1 = 20
Linha 1 1 +1 = 21
1 1
linha 1 Linha 2 1 + 2 + 1 = 22
0 1 Linha 3 1 + 3 + 3 + 1 = 23
2 2 2
linha 2
0 1 2 De uma forma genérica podemos escrever:
3 3 3 3
linha 3
0 1 2 3 Exercícios de Sala 
4 4 4 4 4
linha 4
0 1 2 3 4
4 8 9 10
linha 5
5 5 5 5 5 5 1. Calcule A, sendo A =
0 1 2 3 4 5 0 2 7 1
6 6 6 6 6 6 6
linha 6
0 1 2 3 4 5 6 n 3
2. Ache o conjunto solução da equação 21
2
Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:

3. Calcule o valor de:
7 7 10 10 8 8
a) b) c)
p 0 p p 0 p p 3 p

PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL

PRIMEIRA PROPRIEDADE



14 14 15 10. (Unesp-SP) Seja num número natural tal que
4. Resolva a equação: 10 10 11
4 5 x . Então:
4 n 1 4
Tarefa Mínima a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2

5 3 5 7 11. (FGV-SP) Sabendo-se que
1. Calcule E, sendo E = . m m +1 m
2 3 0 1 x e y entao é:
p p +1 p +1
2. (UECE) A soma das soluções da equação
18 18 a) x + y b) x - y c) y - x d) x - p e) y - p
é
6 4x 1
UNIDADE 5
a) 8 b) 5 c) 6 d) 7

3. (PUC-SP) A soma dos valores que m pode assumir na BINÔMIO DE NEWTON
17 17
igualdade: Observe abaixo os desenvolvimentos:
m 1 2m 6
5 5 (a + b)0 = 1
4. Calcule (a + b)1 = 1a + 1b
p 0 p
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
8 8 9 (a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
5. Resolva a equação: (a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
6 7 x 3
Observe que:
6. ( Mack-SP ) O valor de O número de termos do desenvolvimento de (a + b)n é
n + 1.
7 7 7 7 7 7
é: Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n
2 3 4 5 6 7 formam o triângulo de Pascal.
Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b
a) 128 b) 124 c) 120 d) 116 e) 112 crescem de 0 a n.
A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n
Tarefa Complementar  Com base nessas observações podemos generalizar o
desenvolvimento de (a + b)n. Veja:
7. (Mack-SP) Considere a seqüência de afirmações:
n n n n n
a b an b 0 an-1b1 an 2 b 2 a 0bn
15 15 15 15 15 15 0 1 2 n
I. II. III.
1 3 2 13 3x 6
Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b)n é dado pela
Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja expressão:
verdadeira ou falsa, tem-se:
n n p p
a) F, F, V b) F, V, V Tp 1 a b
c) F, V, F d) F, F, F p
e) V, V, V

8. (Fatec-SP) Calcule E de modo que E
p 1 n 1 Exercícios de Sala 
n 1 p 1
onde p, n N* e p < n 1. Desenvolver o binômio (x + 2)4
n
n n n n n
2n ou 2n 2. Determinar o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)6.
o 1 2 n p=0
p

3. Determinar o termo independente no desenvolvimento de (2x
+ 3)4.
6
8
9. ( U.C.-MG ) O resultado de é igual a: 4. A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (4x
p
p 2 3y)6

a) 216 b) 238 c) 240 d) 247 e) 256



Tarefa Mínima TERMO INDEPENDENTE: a0

n é um número natural e indica o grau do polinômio se a n for
1. Determinar o coeficiente numérico do 4º termo no diferente de zero.
desenvolvimento de (x + 2)7.
Observação: Se P(x) = 0, não é definido o grau do polinômio.
2. Achar o termo independente de x no desenvolvimento de (2x VALOR NUMÉRICO
1)6.
m 1 Valor Numérico de um polinômio P(x), é o valor que se obtém
3. Se a soma dos coeficientes do binômio a b é
64, então o valor de m é: substituindo a variável x por um número e efetuando as
operações indicadas.
4. (UEL-PR) Para qualquer valor natural de n, o número de Observação: Quando P( ) = 0 dizemos que é a raiz do
termos do binômio (x + a)n é: polinômio.
a) n + 1 b) n c) n - 1 d) par e) ímpar Observe que os números 2 e 3 são raízes do polinômio
P(x) = x2 - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0.
5. (UFRN) A soma dos coeficientes dos termos do
desenvolvimento do binômio (x + a)n é: POLINÔMIOS IDÊNTICOS
a) 2n b) n/2 c) n + 2 d) n 2 e) 2n Dados os polinômios:

Tarefa Complementar  P1(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 e
P2(x) = b nxn + b n - 1xn - 1 + ..... + b 2x2 + b 1x + b0

6. (UDESC) Sendo 125 a soma dos coeficientes do A condição para que P1 e P2 sejam idênticos é que os coeficientes
desenvolvimento de (2x + 3y)m. O valor de m! é: dos termos de mesmo grau sejam iguais.
Indicamos por P1 (x) P2 (x)
a) 6 b) 24 c) 120 d) 2 e) 3
Assim: an = bn ; an - 1 = bn - 1; a2 = b 2 ; a1 = b 1 ; a0 = b 0
7. (CEFET-PR) O 4º termo do desenvolvimento de (x + 2)6 é:
Vale ressaltar que, se P1 e P2 são idênticos, para qualquer valor
a) 80x3 b) 80x4 c) 40x5 d) 320x3 e) 160x3 de x eles assumem o mesmo valor numérico.

8. (MACK-SP) Qual a soma dos coeficientes numéricos do Em símbolos: P1 (x) P2 (x) P1 (x) = P2 (x)
8
desenvolvimento de 3x
2 2
? Exercícios de Sala 
x
1. Encontre o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 + 2x3
9. (Faap-SP) O sexto termo do desenvolvimento de ( x + 2 ) 8 2
x + 3x 3 para x = 3.
pelo binômio de Newton é:
2. Dado o polinômio P(x) = (a2 4)x2 + (a + 2)x + 3.
a) 48x3 b)10752x3 c) 1792x3 d) 3584x3 Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1º grau.

10. (Mack-SP) O coeficiente x3 do desenvolvimento de 3. Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são números reais.
5 Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).
1
3x é:
x
a) -405 b) -90 c) -243 d) -27 e) -81
Tarefa Mínima 

UNIDADE 6
1. Dado P(x) = 2x3 + 3x2 – 5, calcule:
a) P(0) b) P(1) c) P(2)

POLINÔMIOS
2. Considere o polinômio P(x) = mx2 – 5x + 2. Sabendo que P(-
DEFINIÇÃO 2) = - 4, determine o valor de m.

Dados os números reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0, chamamos de 3. Sabendo-se que P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx + 3b +
polinômio na variável x toda expressão da forma: 1 e P2(x) = 10x2 + 158x + 29 são polinômios idênticos,
determine o valor da expressão: a + b + c.
P(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0

Nomenclatura
4. O polinômio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x é
identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c).
COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0.
TERMOS: a nxn , a n - 1xn - 1 , ..... a 2x2 , a 1x, a0


x 1 A B MÉTODO DA CHAVE
5. (Mogi) Se 2 , então (ALGORITMO DE EUCLIDES)
x 2 x 24 x 4 x 6
2A + B é igual a: O método das chaves é um dos quais podemos obter o quociente
entre dois polinômios. Para isso, devemos seguir os seguintes
a) -3/2 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) -1 procedimentos:
Ordenamos os polinômios P(x) e D(x) segundo as potências
Tarefa Complementar  decrescentes de x.
Dividi-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x),
6. (UEM-PR) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são obtendo o primeiro termo de Q(x) .
números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, Multiplica-se o termo obtido pelo divisor D(x) e subtrai-se de
calcule P(3). P(x)
ax b c Continua-se o processo até que haja um resto de grau inferior
7. (PUC-SP) Efetuando a soma de e , obtemos a
que o de D(x).
x2 1 x 1
x 3 Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão de
expressão . Os valores de a, b e c são
x2 1 x 1 P(x) = 4x3 2x2 + 6x 10 por D(x) = 2x2 + 3x + 2
respectivamente:
Resolução:
a) 0, 1, -3 b) 1, -1, -3
c) -1, 1, 1 d) 1, 2, -1
e) 2, 1, -2

8. (ABC-SP) Num polinômio P(x) de 3º grau, o coeficiente de x3
é 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o valor de P( 1) é:

9. ( UFRGS ) O polinômio do 2º grau p(x), que tem zero
como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2, é

a) 2x2 + 3x – 6 b) 6x - 2
c) 6x2 - x d) 3x2 + x Observe que:
e) x2 + 3x
4x3 2x2 + 6x 10 = (2x2 + 3x + 2) . (2x 4) + (14x 2)
10. (Londrina-PR) Sendo F, G e H polinômios de graus 4, 6 e 3,
respectivamente, o grau de (F + G).H será: Dividendo Divisor Quociente Resto

a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30 MÉTODO DE DESCARTES

UNIDADE 7 Método de Descartes ou Método dos Coeficientes a determinar é
um Método que consiste na obtenção dos coeficientes do
quociente e do resto com o auxílio da seguinte identidade de
Polinômios:
DIVISÃO DE POLINÔMIOS P(x) D(x) . Q(x) + R(x)

Dados os polinômios P(x) e D(x), com D(x) não identicamente onde gr(Q) = gr(P) gr(D) e gr(R) < gr(D)
nulos, dividir P(x) por D(x) equivale obter os polinômios Q(x)
(quociente) e R(x) (resto), tais que: Exemplo: Obter o quociente e o resto da divisão do
polinômio P(x) = x4 x3 2x2 x + 3 por
P(x) D(x) D(x) = x3 3x2 + 2
R(x) Q(x)
Resolução: O grau do resto é no máximo 2, pois
P(x) D(x) . Q(x) + R(x) gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P) gr(D)
gr(R) < gr(D) ou R(x) 0 gr(Q) = 4 3 = 1

Onde: Isso nos permite escrever:

P(x) é o dividendo R(x) = cx2 + dx + e e Q(x) = ax + b
D(x) é o divisor
Q(x) é o quociente Aplicando a identidade, temos:
R(x) é o resto
P(x D(x) . Q(x) + R(x)
OBSERVAÇÕES:
x4 x3 2x2 x+3 (x3 3x2 + 2) . (ax + b) + cx2 + dx + e
O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de P(x) e de D(x),
x4 x3 2x2 x + 3 ax4 + (b 3a)x3 + (c 3b)x2 + (2a + d)x + (2b + e)
ou seja, gr(Q) = gr(P) gr(D)
Se R(x) for um polinômio nulo, apontamos que P(x) é
divisível por D(x), dizemos então, que a divisão é exata.


Daí vem: DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI
a 1 O dispositivo de Briot-Ruffini, também conhecido como
b 3a 1 resolvendo o sistema, temos: algoritmo de Briot-Ruffini, é um modo prático para dividir um
c 3b 2 polinômio P(x) por um binômio da forma
2a d 1 ax + b. Vamos apresentar esse processo através de um exemplo.
2b e 3
a = 1, b = 2, c = 4, d = 3, e = 1 Determine o quociente e o resto da divisão da divisão de
P(x) = 2x3 x2 + 4x 1 por (x 3)
Logo: Q(x) = x + 2 e R(x) = 2x2 3x 1
Resolução:
TEOREMA DO RESTO 1º Passo
Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) de forma ordenada e
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo segundo os expoentes decrescentes de x na chave.
ax + b é o valor numérico de P(x) para
b b 2 1 4 1
x= , ou seja P( ).
a a
Observe que b é a raiz do divisor.
a 2º Passo
Coloca-se à esquerda a raiz do divisor.
Esse teorema nos permite achar o resto de uma divisão sem que
haja a necessidade de aplicar o método das chaves ou o método 3 2 1 4 1
de Descartes.
Exemplo: Determinar o resto da divisão do polinômio
P(x) = 2x2 + 3x + 1 pelo polinômio D(x) = x 3 3º Passo
Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x)
Resolução: A raiz do divisor é 3, logo, para determinarmos
o resto da divisão de P(x) por D(x), basta
calcular P(3). Daí vem: 3 2 1 4 1
P(x) = 2x2 + 3x + 1
P(3) = 2(3)2 + 3(3) + 1 2
P(3) = 28
4º Passo
TEOREMA DE D'ALEMBERT Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o
resultado com o próximo coeficiente de P(x) e o resultado abaixo
Um polinômio P(x) é divisível por D(x) = ax + b se, e somente desse último.
b +
se, P( ) = 0.
a
Veja por exemplo que o polinômio P(x) = x3 3x + 2 é divisível 3 2 1 4 1
por (x + 2) pois P( 2) = 0. x 2 5

Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o
polinômio P(x) = x3 x2 + mx 12 seja 5º Passo
divisível por x 3 Multiplica-se o esse último resultado pela raiz e soma o resultado
com o próximo coeficiente de P(x) de forma análoga ao último
Resolução: Para que P(x) seja divisível por x 3, deve-se passo, e assim sucessivamente.
ter P(3) = 0. Então +

P(x) = x3 x2 + mx 12 3 2 1 4 1
P(3) = (3)3 (3)2 + m(3) 12
0 = 27 9 + 3m 12 x 2 5 19
6 = 3m
2=m
+
Logo, para a divisão ser exata devemos ter m = 2
3 2 1 4 1
TEOREMA DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
x 2 5 19 56
Se um polinômio P(x) é divisível por (x a) e por (x b), então
P(x) é divisível por (x a).(x b).
Observe que o polinômio P(x) = x4 + 2x3 6x2 5x +
2 é divisível por (x + 1).(x 2), uma vez que ele é divisível Terminando assim o processo, temos:
separadamente por (x + 1) e (x 2).
raiz coeficientes de P(x)

2 5 19 56


c) x - 4 d) 1 e) 0
coeficientes de Q(x) R(x)
10. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polinômio P(x)
Como gr(Q) = 2 [gr(P) gr(D)] temos que = x3 + 4x2 + ax + b divisível por (x + 1)2 são respectivamente:
Q(x) = 2x2 + 5x + 19 e resto R(x) = 56
a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) n.d.a.
UNIDADE 8
1. (FUVEST) O quociente de 2x4 – 5x3 – 10x – 1 por x – 3 é:

a) 2x3 – 11x2 + 23x – 68 EQUAÇÕES POLINOMIAIS
b) 2x3 – 11x2 + 33x + 109
c) 2x3 – 11x2 + 33x – 109 DEFINIÇÃO
d) 2x2 + x – 7
e) 2x3 + x2 + 3x – 1
Denomina-se Equação Polinomial toda sentença do tipo
P(x) = 0, ou
2. Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2
4x + 12 seja divisível por x3 + 2x2 x + 3? a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 = 0

3. ( UFSM ) O resto da divisão de x142 – 1 por x + 1 é: onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 são números complexos
n é um número natural
a) 0 b) – 1 c) – 2 d) 141 e) n.d.a. x é a variável
O expoente da equação é o expoente do polinômio P(x)
Tarefa Mínima 
Denomina-se raiz de uma equação polinomial todo número
1. (UFSC) Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2 , tal que P( ) = 0
+ 32 por x + 3.
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
2. (UECE) Se na divisão do polinômio 12x 4 3
+ 5x + 5x + 12 por
3x2 + 2x - 1 o quociente é Q(x), então o valor de Q(3) é: Toda equação polinomial de grau n (n 1) tem pelo menos uma
raiz complexa.
Esse teorema foi demonstrado por Gauss em 1799.
3. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 - 4x3 + x - 1
por Q(x) = 4x3 + 1 é:
DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM
a) x – 5 b) x - 1 c) x + 5 UM PRODUTO DE FATORES DO 1º GRAU
d) 4x - 5 e) 4x + 8
Como uma conseqüência do Teorema Fundamental pode-se
afirmar que todo polinômio de grau n pode ser escrito na forma:
4. (UFSC) Qual o valor de "a" para que o polinômio 5
x + 2x + 4

3x3 + ax2 - 4x + 12 seja divisível por x3 + 2x2 - x + 3?
P(x) = an(x 1).(x 2)(x 3)....... .(x n)

5. (UFSC) Determine o valor de m, para que o resto da onde 1, 2, 3, ..... n são raízes de P(x).
divisão do polinômio P(x) = x3 + mx2 - 2x + 1 por x + 3 seja 43.
MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Tarefa Complementar 
Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao número de vezes que
6. (UFSC) Se o polinômio 2x3 - ax2 + bx + 2 é divisível por 2x2 a mesma se repete no conjunto solução.
+ 5x - 2, então o valor de a - b é: Genericamente, pode-se dizer que o número é raiz de
multiplicidade n da equação polinomial P(x) = 0 se e somente se,
7. (Mack-SP) Um polinômio desconhecido ao ser dividido por x P(x) = (x )n. Q(x), com Q( ) 0.
- 1 deixa resto 2 e ao ser dividido por x - 2 deixa resto 1. Então,
o resto da divisão desse polinômio por (x - 1) (x - 2) é: TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS

a) x – 3 b) -x + 3 c) x + 3 Se um número complexo z = a + bi é raiz de uma equação
d) x - 5 e) -x + 5 polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado z = a bi
também é raiz dessa equação.
8. (UFBA) O resto da divisão de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1
por (x + 1) é 4, se p é igual a: Conseqüências:

a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3 Se a raiz (a + bi) é de multiplicidade k, então seu conjugado
(a bi) terá também multiplicidade k.
9. (FGV-SP) O resto da divisão do polinômio 2x5 - 15x3 + 12x2 Toda equação polinomial de grau ímpar admite pelo menos
+ 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) é: uma raiz real, pois o número de raízes não reais é sempre par.

a) x2 - 2x + 5 b) -6



RELAÇÕES DE GIRARD d) 3/2 e 1 e) 3/2 e 2

São relações estabelecidas entre os coeficientes e raízes de uma 3. (UFSC) Sabendo-se que uma das três raízes da equação 2x3 -
equação polinomial. 17x2 + 32x - 12 = 0 é igual a 1/2 determine a soma das outras
duas raízes.
Sejam x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. Valem as
b 4. (UDESC) As raízes do polinômio x3 – 6x2 – x + 30:
x1 x2
seguintes relações: a
c a) somadas dão 6 e multiplicadas dão 30
x1 x2
a b) somadas dão -6 e multiplicadas dão 30
c) somadas dão 6 e multiplicadas dão -30
Sejam x1 , x2 e x3 as raízes da equação d) somadas dão -6 e multiplicadas dão –30
ax3 + bx2 + cx + d = 0. Valem as seguintes relações: e) são 5, -2 e –3

x1 x2 x3
b Tarefa Complementar 
a
d
x1 x2 x3 5. (Med ABC-SP) As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x -15 = 0
a
c estão em progressão aritmética. Suas raízes são:
x1 x2 x1 x3 x2 x3
a
a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 3, 5
d) 2, 4, 6 e) 3, 6, 9
EQUAÇÃO DE GRAU n
6. (Mackenzie-SP) Uma raiz da equação x3 4x2 + x + 6 = 0 é
Sendo 1, 2,........... n as raízes da equação igual a soma das outras duas. As raízes são:
a nxn + a n - 1x
n - 1
+ ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes
relações: a) 2, 2 e 1 b) 3, 2e1
c) 2, 1 e 3 d) 1, 1e 2
an 1 e) 1, 2 e 3
a1 a2 an
an
a a c
an 2 7. (MACK-SP) O determinante da matriz , onde a,
a1a2 a1a3 a1an a2a3 an 1 an 0 b c
an 1 0 1
an 3 b, e c são raízes da equação x 3 2
5x + 4 = 0, é:
a1a2a3 an 2 an 1 an
an
na
8. (SANTA CASA) Sabe-se que a equação: 4x3 12x2 x + k =
a1 a2 a3 an 1 0 0, onde k , admite duas raízes opostas. O produto das raízes
an dessa equação é:

Exercícios de Sala  a) 12 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/4 e) 12

9. (ITA-SP) Considere a equação x3 + px2 + qx + r = 0 de
1. O polinômio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito como: coeficientes reais, cujas as raízes estão em P.G. Qual das relações
é verdadeira?
a) P(x) = x(x – 1)(x – 3) b) P(x) = x(x + 1)(x + 2)
c) P(x) = x(x + 1)(x + 3) d) P(x) = x(x – 2)(x +4) a) p2 = r.q b) 2p + r = q
e) (x) = x(x – 1)(x + 5) c) 3p2 = r2 . q d) p3 = r.q3
e) q3 = r.p3
2. Resolver a equação x3 12x2 + 41x - 42 = 0, sabendo que
x = 2 é uma das raízes. 10. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números
associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
3. Determine a menor raiz da equação x3 15x2 + 66x 80 = 0,
sabendo que suas raízes estão em P.A. 01. A equação polinomial x3 2x2 4x + 1 = 0 possui as raízes
a, b e c. Logo, a soma a2 + b2 + c2 é igual a 12.
Tarefa Mínima  02. O resto da divisão do polinômio x6 x4 + x2 por x + 2 é
52.
04. Dado o polinômio p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12 é
1. (ACAFE) A equação polinomial cujas raízes são 2, 1 e 1 é: correto afirmar que 2 é raiz de multiplicidade 3 para p(x).
08. Para que o polinômio p(x) = (a + b) x2 + (a b + c) x +
a) x3 + 4x + x 2 = 0 b) x3 x 2 = 0 (b + 2c 6) seja identicamente nulo, o valor de c é 4.
c) x3 + 2x2 3x 2 = 0 d) x3 + 2x2 x 2 = 0
e) x3 + 2x + 1 = 0

2. (FGV-SP) A equação 2x3 5x2 x + 6 admite uma raiz igual
a 2. Então, as outras duas raízes são:

a) 3/2 e 1 b) 2 e 1 c) 3 e 1



UNIDADE 9
b) MATRIZ COLUNA se n = 1

1
MATRIZES Exemplo: A4x1 = 2
5
DEFINIÇÃO 0
c) RETANGULAR se m n
Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n 1, é uma
disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em m
linhas e n colunas.
2 3 1
Exemplo: A2 x 3 =
As matrizes são representadas através de parênteses ( ), 9 4 0
colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||
d) QUADRADA se m = n
Exemplos.:
3 6
2 0 3 Exemplo: A2x2
A= A 2x3 (lê-se: A dois por três)
6 9 5 5 8

Definição: Diz-se que uma matriz é quadrada se a quantidade de
3 2 8 7 linhas for igual a quantidade de colunas. Pode-se dizer então que
A= A2 x 4 (lê-se: A dois por quatro)
6 1 0 3 ela é n x n ou simplesmente de ordem n.

Possui duas diagonais:
2 1
A=
1 6 A3 x 2 (lê-se: A três por dois) diagonal principal (quando i = j para todo aij)
0 6 diagonal secundária (quando i + j = n + 1) , onde n é a ordem
da matriz.
NOTAÇÕES
TIPOLOGIA
Notação Explícita
Matriz Transposta
Uma matriz genericamente é representada por letras maiúsculas e
Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A
seus elementos por letras minúsculas.
a matriz de ordem n x m obtida quando trocamos de forma
Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser
ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por: At ou A'
representada assim:
a11 a12 a13  a 1n 2 9
2 3 1
a 21 a 22 a 23  a2n Exemplo A2 x 3 = t
A3x2 = 3 4
9 4 0
A= a 31 a 32 a 33  a 3n com m e n N* 1 0
OBSERVAÇÃO: Seja uma matriz A de ordem n.
   
a m1 a m2 a m3  a mn Se A = At , então A é dita SIMÉTRICA

Notação Condensada 2 3 5
Podemos também, abreviar essa representação da seguinte forma:
Exemplo: A = 3 1 8
A = [aij] m x n 5 8 0
Os elementos da matriz A são indicados por aij de forma que:
i {1, 2, 3,......m} (indicador da linha)
j {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna) Se A = At, então A é dita ANTISIMÉTRICA
( A indica matriz oposta de A que se obtém
trocando o sinal dos seus elementos)
CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES

Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n são
0 1 3
respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A, Exemplo: A = 1 0 4
temos:
3 4 0
a) MATRIZ LINHA se m = 1
Matriz Identidade
Exemplo: A1x3 3 1 2
Uma matriz A de ordem n é dita identidade ou unidade se os
elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais
elementos iguais a zero.



1 0 0 Exercícios de Sala 
1 0
Exemplos: I2 = I3 = 0 1 0 1. A é uma matriz 3 por 2, definida pela lei
0 1
0 0 1 2i j , se i j
Pode se indicar a matriz identidade por:
aij = Então, A se escreve:
1, para i = i 3, se i j
In = [aij] , aij =
0, para i j
2. (UFSC) Dadas as matrizes:
Importante: A matriz identidade é neutra na multiplicação de
matrizes. x 0
2x 1 3y 1
Matriz Nula
A= e B= 12 4
0 4 x z
1 6
Uma matriz é dita nula quando todos seus elementos forem iguais
a zero. A matriz Nula é neutra na soma de matrizes. Se A = Bt , o valor de x.y.z é:

Matriz Diagonal
3. O valor de x.y de modo que a matriz A seja simétrica, é:
É toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i j.
1 0 0 2 5 2y 1
Exemplo: A = 0 4 0 A= x 1 0 2
0 0 3 5 2 6
Matriz Triangular a) 6 b) 12 c) 15 d) 14 e) 0
É toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j.
Tarefa Mínima 
3 1 5 4 0 0
1. Escreva, na forma explícita, cada matriz abaixo:
Exemplos: 0 4 7 1 2 0
0 0 1 9 1 8 a) A = (aij)2x2, com aij = i + j
b) A = (aij)3x2, com aij = 3i – j2
IGUALDADE DE MATRIZES 1 se i j
c) A = (aij)3x2, com aij = 2
Duas matrizes Amxn e Bmxn são iguais se os elementos i se i j
correspondentes (elementos de mesmo índice) forem iguais.
2 se i = j
d) A = (aij)2x3, com aij =
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 2 + j, se i j

É efetuada somando ou subtraindo os elementos correspondentes 2. (UFSC) Dada a matriz A = [aij]2 x 3 definida por aij =
das matrizes. (válido para matrizes de mesma ordem).
3i j, se i j
Propriedades:
7, se i j o valor da expressão 2a23 + 3a22 - a21 é:
1) A + B = B + A (propriedade comutativa) i2 j, se i j
2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade
associativa) 1 2 3
3) A + O = A (elemento neutro) 3. (UFOP-MG) Observe a matriz 0 x 4
.
4) (A + B)t = At + Bt
0 0 y
PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ Determine x e y de tal forma que seu traço valha 9 e x
seja o triplo de y.
Dado um número real K e uma matriz Am x n, denomina-se
produto de K por A e se indica por k.A, matriz que se obtém
multiplicando-se todo elemento de A por k.
4. Considere as matrizes A = 2 5
y
1 2
Propriedades:
3 log x 7
2
Sendo x e y dois números reais e A e B duas matrizes de mesma
ordem, valem as seguintes propriedades: 2 1 8
1) x . (yA) = (xy) . A eB= . Determine o valor de x + y de
2) x . (A + B) = xA + xB 5 16 7
3) (x + y) . A = xA + yA modo que A = Bt


5. Considere as matrizes A = 2 1 eB= 0 3 1 -1 1 1 0 3
3 0 1 2 c) - 1 1 0 d) 0 2 2
-1 0 1 3 2 3
a) Obter a matriz X tal que A + X = B
b) Obter as matrizes X e Y tal que: 0 2 1
e) 2 0 3
X Y 3A
1 3 0
X Y B
12. Se a matriz quadrada A é tal que At = A, ela é chamada
Tarefa Complementar  matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:

M= 4 a a 12 a 13 .
6. Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha: a b 2 a 23
b c 2c 8
5x 2 1 6 2 1 3 Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente:
3y 0 y 2 1 5 1 a) – 4, – 2 e 4 b) 4, 2 e – 4
c) 4, –2 e – 4 d) 2, – 4 e 2
7. (FCMSCSP) Se A é uma matriz quadrada, define-se o e) n.d.a.
TRAÇO de A como a soma dos elementos da diagonal principal
de A. Nestas condições, o traço da matriz A = (aij)3 x 3, onde 13. Sendo A = 1 7 eB= 3 1 , então a matriz X, tal que
aij = 2i - 3j é igual a: 2 4 4 0
X A X 2 B , é igual a:
a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6
2 3
8. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da
matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i j ou aij = i j se i < j. 3 1 2 2
14. Dadas as matrizes: A = eB= , o
2 4 0 4
9. Uma matriz se diz anti-simétrica se At = A. Nessas
produto dos elementos da segunda linha de 1 1 é:
condições, se a matriz A é anti-simétrica, então, x + y + z é igual B A
4 2
a: a) 1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 2

x y z
A= 15. Dadas as matrizes
2 0 3 x y x 6 4 x y e sendo 3A = B + C,
1 3 0 A B= C=
z w - 1 2w z+w 3
então:
a) 3 b) 1 c) 0 d) 1 e) 3
a) x + y + z + w = 11 b) x + y + z + w = 10
10. (LONDRINA-PR) Uma matriz quadrada A diz-se c) x + y z w = 0 d) x + y z w = 1
simétrica se A = At . Assim, se a matriz e) x + y + z + w > 11
2 1 2y
A= x 0 z 1 é simétrica, então x + y + z é igual a:
UNIDADE 10
4 3 2
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 3 e) 5
Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p. O
11. (U.Católica de Salvador -BA) Uma matriz quadrada A, de produto de A por B é a matriz C = [cik]m x p, de tal forma que os
ordem n, se diz anti-simétrica se A = -At, onde At é a matriz elementos cik são obtidos assim:
transposta de A. Nessas condições, qual das matrizes seguintes é
anti-simétrica? cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk

n
1 -2 3 0 1 -2 ou seja: aij b jk para todo i {1, 2, ........, m} e todo k {1,
a) - 2 0 1 b) - 1 0 3 j 1
3 1 4 2 -3 0 2,...,p}.

Exemplo: Considere as matrizes
3 0 1 3
A= eB= . Determine A.B
2 1 9 2
Resolução: O produto AxB é uma matriz obtida da
seguinte forma:


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