www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Polinômios

463 visualizações

Publicada em

Matemática - VideoAulas Sobre Polinômios para Ensino Médio– Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
463
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
17
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
0
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Polinômios

  1. 1. ConhecimentoAnterior• Produtos Notáveis• Fatoração• Conjuntos Numéricos• Números Complexos• Noções de Função
  2. 2. Vamos aprenderTeoremasmétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesgraudefiniçãoEquaçõespolinomiaisPolinômios
  3. 3. PolinômioDefinição:Chamamos de polinômio na variável x,toda expressão na forma:Onde:an, an-1, an-2,...,a2, a1, a0 são números complexosdenominados coeficientesn é um número inteiro não negativox é uma variável complexa01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−
  4. 4. Polinômiosdefinição 01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−
  5. 5. PolinômioGrau do polinômio:O grau do polinômio é determinado pelomaior expoente da variável.Exemplos: 4x2– 3  2º grau 8x5+ 6x3+ 2x  5º grau
  6. 6. PolinômiosMaior expoente da variávelgraudefinição 01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−
  7. 7. Tente fazersozinho1) (Mack-SP) Determine m real para que opolinômio:p(x) = (m-4)x3+ (m2-16)x2+ (m+4)x + 4seja de grau 2.
  8. 8. Tente fazersozinho1) (Mack-SP) Determine m real para que opolinômio:p(x) = (m-4)x3+ (m2-16)x2+ (m+4)x + 4seja de grau 2.
  9. 9. Soluçãop(x) = (m-4)x3+ (m2-16)x2+ (m+4)x + 4Resposta: m não existe.404==−mm40162±≠≠−mm
  10. 10. Tente fazersozinho2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e cpara que os polinômios p1(x) e p2(x) sejamidênticos:p1(x) = a(x+c)3+ b(x+d)p2(x) = x3+ 6x2+15x +14
  11. 11. Tente fazersozinho2) (Faap-SP) Calcule os valores de a, b e cpara que os polinômios p1(x) e p2(x) sejamidênticos:p1(x) = a(x+c)3+ b(x+d)p2(x) = x3+ 6x2+15x +14
  12. 12. Soluçãop1(x) = a(x+c)3+ b(x+d) e p2(x) = x3+ 6x2+15x +14( ) ( )( )( ) 14156331415633141563314156233223233223233223233+++=++++++++=++++++++=++++++++=+++xxxbdacxbacacxaxxxxbdbxacxacacxaxxxxbdbxcxccxxaxxxdxbcxa
  13. 13. Soluçãop1(x) = a(x+c)3+ b(x+d) e p2(x) = x3+ 6x2+15x +14( ) 1415633 233223+++=+++++ xxxbdacxbacacxax133==axax26.1.363 22===ccxacx ( )31512152.1.315322==+=+=+bbbxxbac
  14. 14. Operações comPolinômiosA) Adição:Sendo p(x) = 3x2+2x-1 e q(x) = -x3+7x2-6,logo p(x) + q(x) = -x3+10x2+2x-7.B) Subtração:Sendo p(x) = 3x2-4x+1 e q(x) = 5x2-3x+4,logo p(x) - q(x) = -2x2-x-3.
  15. 15. Operações comPolinômiosC) Multiplicação : Sendo p(x) = 7 e q(x) = 2x3-4x2+5x-3, logop(x).q(x) = 7(2x3-4x2+5x-3)=14x3-28x2+35x-21. Sendo p(x) = 3x-4 e q(x) = -2x+5, logop(x) . q(x) = (3x-4)(-2x+5) = -6x2+15x+8x-20 == -6x2+23x-20.
  16. 16. PolinômiosmultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefinição 01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−
  17. 17. Tente fazersozinho3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus7 e 5, respectivamente. Julgue as sentençasseguintes, corrigindo o que for falso:a)O grau de f(x) . g(x) é 35b) O grau de f(x) + g(x) é 7c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  18. 18. Tente fazersozinho3) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de graus7 e 5, respectivamente. Julgue as sentençasseguintes, corrigindo o que for falso:a)O grau de f(x) . g(x) é 35b) O grau de f(x) + g(x) é 7c) O grau do polinômio (x2-1).g(x)+f(x) é 7
  19. 19. Soluçãof(x)  grau 7 e g(x)  grau 5a)f(x) . g(x)  grau 35 (falso)x7. x5= x12 grau 12b) f(x) + g(x)  grau 7 (verdadeiro)c) (x2-1) . g(x) + f(x)  grau 7 (falso)grau 7 ou menor que 7, pois o coeficiente dasoma dos termos de grau 7 pode ser zero
  20. 20. Divisão dePolinômiosC.1) Método da chaveNo método da chave temos que armar a conta,como se fosse uma divisão de números naturais:e seguir os passos conforme os exemplos.quocientedividendo divisorresto
  21. 21. Exemplo 1: Calcule (x2+ 2x – 15) : (x + 5)1º passo: ordenar e completar o dividendo,se necessário.Nesse caso não será necessário2º passo: armar a conta.Divisão dePolinômiosx2+ 2x - 15 x + 5
  22. 22. 3º passo: dividir o 1º termo do dividendo pelo1º termo do divisor.Divisão dePolinômiosx2+ 2x - 15 x + 5x
  23. 23. 4º passo: multiplicar o resultado por cadatermo do divisor, colocando a respostaembaixodo dividendo, com o sinal contrário.Divisão dePolinômiosx2+ 2x - 15 x + 5x-x2- 5xPara facilitar o próximopasso, procure colocar ostermos semelhantes namesma direção.
  24. 24. 5º passo: efetuar a soma da 1ª com a 2ª linha,obtendo um novo dividendo.Divisão dePolinômiosx2+ 2x - 15 x + 5x-x2- 5x- 3x - 15
  25. 25. 6º passo: verificar se o grau do 1º termo donovo dividendo é menor que o grau do 1º termodo divisor. Caso não seja, voltamos ao 3º passo.Divisão dePolinômiosx2+ 2x - 15 x + 5x-x2- 5x- 3x - 15
  26. 26. Logo, quociente é x – 3 e resto é 0.Divisão dePolinômiosx2+ 2x - 15 x + 5x-x2- 5x- 3x - 15x2+ 2x - 15 x + 5x - 3-x2- 5x- 3x - 153x + 150
  27. 27. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4+ 1 por x3+1.1º passo:x4+ 1 = x4+ 0x3+ 0x2+ 0x + 12º passo:Divisão dePolinômiosx4+ 0x3+ 0x2+ 0x + 1 x3+ 1
  28. 28. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4+ 1 por x3+1.3º passo:Divisão dePolinômiosx4+ 0x3+ 0x2+ 0x + 1 x3+ 1x
  29. 29. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4+ 1 por x3+1.4º passo:Divisão dePolinômiosx4+ 0x3+ 0x2+ 0x + 1 x3+ 1x-x4- x
  30. 30. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4+ 1 por x3+1.5º passo:Divisão dePolinômiosx4+ 0x3+ 0x2+ 0x + 1 x3+ 1x-x4- x- x + 1
  31. 31. Exemplo 2: Encontre o resto da divisão dex4+ 1 por x3+1.5º passo:Logo, o quociente é x e o resto é - x +1Divisão dePolinômiosx4+ 0x3+ 0x2+ 0x + 1 x3+ 1x-x4- x- x + 16º passo: como o 1ºtermo do novodividendo apresentao grau menor que ograu do 1º termo dodivisor, não podemoscontinuar a divisão.
  32. 32. PolinômiosMétodo daChavemétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefiniçãoDivisão comum01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−
  33. 33. Divisão dePolinômiosNote que para toda divisão depolinômios, vale a sentença:D(x) = d(x) . q(x) + r(x)Exemplo:x4+ 1 = x (x3+ 1) – x + 1
  34. 34. Tente fazersozinho4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio4x3+ 12x2+ x – 4 por 2x + 3 é:a) 1b) 2c) 4d) 6e) 8
  35. 35. Tente fazersozinho4) (Uespi) O resto da divisão do polinômio4x3+ 12x2+ x – 4 por 2x + 3 é:a) 1b) 2c) 4d) 6e) 8
  36. 36. Solução4x3+ 12x2+ x – 4 2x + 32x2+ 3x – 4-4x3– 6x26x2+ x – 4– 6x2– 9x– 8x – 4+ 8x+128 Letra E
  37. 37. Tente fazersozinho5) Determine o polinômio p(x) que divididopelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quocienteq(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  38. 38. Tente fazersozinho5) Determine o polinômio p(x) que divididopelo polinômio f(x) = x + 5, tem por quocienteq(x) = x – 2 e deixa resto r(x) = 3.
  39. 39. SoluçãoD(x)= d(x).q(x) + r(x)P(x)= f(x) . q(x) + r(x)P(x) = (x + 5) (x – 2) + 3P(x) = x2– 2x + 5x – 10 + 3P(x) = x2+ 3x – 7
  40. 40. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniVamos usar o próximo exemplo paramostraros passos a serem seguidos:Exemplo 1: Calcular o quociente e o resto de(x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).1º passo: Calcular a raiz do divisor.303 =⇒=− xx
  41. 41. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).2º passo: Dispor a raiz do divisor e oscoeficientes do dividendo da seguinte forma1 -4 5 -23
  42. 42. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).2º passo: Dispor a raiz do divisor e oscoeficientes do dividendo da seguinte forma1 -4 5 -23coeficientesdo dividendoraiz dodivisor
  43. 43. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).3º passo: abaixar o 1º coeficiente dodividendo1 -4 5 -231
  44. 44. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).4º passo: multiplicar o número abaixado pelaraiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte. (3 . 1 - 4 = -1)1 -4 5 -231 -1
  45. 45. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).4º passo: multiplicar o número abaixado pelaraiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte.1 -4 5 -231+x-1Colocar o resultadoembaixo docoeficiente somado
  46. 46. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).5º passo: repetir as operações (multiplicarpela raiz do divisor e somar com o coeficienteseguinte)
  47. 47. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).5º passo:1 -4 5 -231 -1x+21 -4 5 -231 -1x+2 4
  48. 48. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 1: (x3– 4x2+ 5x -2) : (x - 3).6º passo: identificar o resto e os coeficientesdo quociente.1 -4 5 -231 -1 2 4 Resto = 4O quociente é:x2– x + 2
  49. 49. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 2: (2x3– 5x + 1) : (x + i).1º passo:2º passo: 3º passo:ixix −=⇒=+ 02 0 - 5 1- i 2 0 - 5 1- i2
  50. 50. Divisão dePolinômiosC.1) Dispositivo de Briot – RuffiniExemplo 2: (2x3– 5x + 1) : (x + i).4º e 5º passos: 6º passo:2 0 - 5 1- i2 -2i -7 1+7iO quociente é: 2x2– 2ix – 7O resto é: 1 + 7i
  51. 51. Polinômios DispositivodeBriot-RuffiniMétodo daChavemétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefiniçãoDivisão comumSeguir os 6 passos01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−
  52. 52. Tente fazersozinho6) O polinômio p(x) = -x3+ ax2+ 5x + b (a e bsão constantes reais) é divisível por x – 5.Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemosresto 35.a)Determine os valores de a e b.b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  53. 53. Tente fazersozinho6) O polinômio p(x) = -x3+ ax2+ 5x + b (a e bsão constantes reais) é divisível por x – 5.Quando dividimos p(x) por x + 2, obtemosresto 35.a) Determine os valores de a e b.b) Qual é o resto da divisão de p(x) por x+4?
  54. 54. Solução-1 a 5 b5-1 a – 5 5a – 20 25a – 100 + b0-1 a 5 b- 2-1 a + 2 - 2a + 1 4a – 2 + b3525a – 100 + b = 04a – 2 + b = 35a = 3b = 25
  55. 55. Teorema do Resto“ Seja p(x) um polinômiotal que p ≥ 1. O resto dadivisão de p(x) por x – a éigual a p(a), ou seja,r = p(a).”
  56. 56. Teorema do RestoExemplo: Para calcular o resto da divisão dep(x) = 3x2– 17x + 15 por x – 2, basta aplicaro Teorema do Resto.A raiz do divisor é : x – 2 = 0  x = 2Pelo Teorema do Resto temos que:r(x) = p(2)r(x) = 3.22– 17.2 + 15 = 12 – 34 + 15 = - 7.
  57. 57. PolinômiosTeoremado restoTeoremasDispositivodeBriot-RuffiniMétodo daChavemétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefiniçãoDivisão comumSeguir os 6 passosr(x)=p(a) , sendo(x-a) divisor de p(x)01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−
  58. 58. Tente fazersozinho7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)por um polinômio k(x) tem q(x) = x3+ 3x2+ 5como quociente e r(x) = x2+ x + 7 como resto.Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  59. 59. Tente fazersozinho7) (Unifesp) A divisão de um polinômio p(x)por um polinômio k(x) tem q(x) = x3+ 3x2+ 5como quociente e r(x) = x2+ x + 7 como resto.Sabendo-se que o resto da divisão de k(x)por x é 2, o resto da divisão de p(x) por x é:a) 10 b) 12 c) 15 d) 25 e) 70
  60. 60. SoluçãoP(x)= k(x) . q(x) + r(x)P(x) = k(x) . (x3+ 3x2+ 5) + (x2+ x + 7)P(0) = k(0) . (03+ 3.02+ 5) + (02+ 0 + 7)P(0) = k(0) . 5 + 7Pelo Teorema do resto, temos que k(0) =2Logo, p(0) = 2 . 5 + 7 = 17  letra C
  61. 61. Teorema deD’Alembert“ Seja a (complexo) é raiz deum polinômio f(x), então f(x) édivisível por x – a e,reciprocamente, se f(x) édivisível por x – a, então a éraiz de f(x).”
  62. 62. PolinômiosTeorema deD’AlembertTeoremado restoTeoremasDispositivodeBriot-RuffiniMétodo daChavemétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefiniçãoDivisão comumSeguir os 6 passosr(x)=p(a) , sendo(x-a) divisor de p(x)a é raiz de f(x) f(x)é divisível por (x-a)01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−
  63. 63. EquaçõesPolinomiaisEquação polinomial é aquela que pode serescrita na forma:Exemplos: x3+ 1 = 0 3x2– 2ix + 1 = 0 x4– 2x3+ x2+ 2x – 2 = 00... 0111 =++++ −− axaxaxa nnnn
  64. 64. PolinômiosTeorema deD’AlembertTeoremado restoTeoremasDispositivodeBriot-RuffiniMétodo daChavemétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefiniçãoDivisão comumSeguir os 6 passosr(x)=p(a) , sendo(x-a) divisor de p(x)a é raiz de f(x) f(x)é divisível por (x-a)DefiniçãoEquaçõespolinomiais01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−0... 0111 =++++ −− axaxaxa nnnn
  65. 65. EquaçõesPolinomiaisRaiz da equação é o valor que da variável,que satisfaz a igualdade.Exemplos:a) 2x + 12 = 0 b) x2– 9 = 02 x = - 12 x2= 9x = - 6 x = ± 3
  66. 66. PolinômiosTeorema deD’AlembertTeoremado restoTeoremasDispositivodeBriot-RuffiniMétodo daChavemétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefiniçãoDivisão comumSeguir os 6 passosr(x)=p(a) , sendo(x-a) divisor de p(x)a é raiz de f(x) f(x)é divisível por (x-a)DefiniçãoEquaçõespolinomiais definiçãoraizValor da variável quesatisfaz a igualdade01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−0... 0111 =++++ −− axaxaxa nnnn
  67. 67. EquaçõesPolinomiais( ) 022xxx02x2xc)x223=+−=+−022xxou0x 2=+−=i1xi;1x21−=+=( ) ( )( )( ) 01x2x02x12xx02x2xd)x2223=++=+++=+++01xou02x 2=+=+-2x = 1x ±=
  68. 68. EquaçõesPolinomiaisPodemos decompor um polinômio em fatoresdo 1º grau, de acordo com suas raízes, atravésda fórmula:Onde:an é o coeficiente de xn.xi são as raízes de p(x).)(...))()(()( 321 nn xxxxxxxxaxp −⋅⋅−−−=
  69. 69. EquaçõesPolinomiaisExemplo: Sabendo que as raízes do polinômio2x3– 4x2– 2x + 4 são os números –1, 1 e 2,podemos decompor esse polinômio em fatoresdo 1º grau, usando a fórmula:Sendo assim, temos:2(x + 1) (x – 1) (x – 2))(...))()(()( 321 nn xxxxxxxxaxp −⋅⋅−−−=
  70. 70. Tente fazersozinho8) Resolva a equação abaixo, sabendoque duas de suas raízes são – 1 e 1.x4– 2x3+ x2– 2 = 0
  71. 71. Tente fazersozinho8) Resolva a equação abaixo, sabendoque duas de suas raízes são – 1 e 1.x4– 2x3+ x2– 2 = 0
  72. 72. SoluçãoComo – 1 e 1 são raízes de p(x) = 0, entãop(x) = (x + 1)(x – 1).q(x) = 0.Logo,Como as raízes de q(x) são 1 + i e 1 – i ,então as raízes da equação são ± 1 e 1 ± i.1 -2 1 2 -2-11 -3 4 -2 011 -2 2 0 q(x) = x2– 2x + 2
  73. 73. Multiplicidadeda RaizEntende-se por multiplicidade da raiz onúmero de vezes que uma mesma raizaparece.Exemplo:Na resolução da equação x2– 12x + 36 = 0 ,encontramos duas raízes iguais a 6. Nessecaso,dizemos que x = 6 é uma raiz de
  74. 74. PolinômiosTeorema deD’AlembertTeoremado restoTeoremasDispositivodeBriot-RuffiniMétodo daChavemétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefiniçãoDivisão comumSeguir os 6 passosr(x)=p(a) , sendo(x-a) divisor de p(x)a é raiz de f(x) f(x)é divisível por (x-a)DefiniçãoEquaçõespolinomiaisdefiniçãomultiplicidadedefiniçãoraiz Nº de vezes quea raiz apareceValor da variável quesatisfaz a igualdade01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−0... 0111 =++++ −− axaxaxa nnnn
  75. 75. Multiplicidadeda RaizPara identificar qual é a multiplicidade deuma raiz, basta dividir o polinômio pela raiz,até encontrar um resto diferente de zero.Exemplo:Qual é a multiplicidade da raiz 2 dopolinômio p(x) = x4– 5x3+ 6x2+ 4x – 8?
  76. 76. Multiplicidadeda RaizExemplo:Qual é a multiplicidade da raiz 2 dopolinômio p(x) = x4– 5x3+ 6x2+ 4x – 8?1 -5 6 4 -821 -3 0 4 021 -1 -2 022 1 1 01 3nãoLogo, a raiz 2temmultiplicidade 3.
  77. 77. PolinômiosTeorema deD’AlembertTeoremado restoTeoremasDispositivodeBriot-RuffiniMétodo daChavemétodosdivisãomultiplicaçãosubtraçãoadiçãooperaçõesMaior expoente da variávelgraudefiniçãoDivisão comumSeguir os 6 passosr(x)=p(a) , sendo(x-a) divisor de p(x)a é raiz de f(x) f(x)é divisível por (x-a)DefiniçãoEquaçõespolinomiaisidentificaçãodefiniçãomultiplicidadedefiniçãoraizDivisõessucessivasNº de vezes quea raiz apareceValor da variável quesatisfaz a igualdade01222211 ... axaxaxaxaxa nnnnnn ++++++ −−−−0... 0111 =++++ −− axaxaxa nnnn
  78. 78. Tente fazersozinho9) Determine uma equação algébricado 4º grau que tenha -1 como raiz demultiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  79. 79. Tente fazersozinho9) Determine uma equação algébricado 4º grau que tenha -1 como raiz demultiplicidade 3 e 2 como outra raiz.
  80. 80. SoluçãoComo o – 1 tem multiplicidade 3 e o 2 é aoutra raiz, podemos escrever o polinômioassim:p(x) = (x + 1)3(x – 2) = 0p(x) = (x3+3x2+ 3x + 1) (x – 2) = 0p(x) = x4+ x3– 3x2– 5x – 2 = 0
  81. 81. Bibliografia• Matemática – Volume Único: Iezzi, Gelson;Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David; Périgo,Roberto – Atual Editora – 4ª edição – 2007 –Páginas: 551 a 585• Matemática Contexto e Aplicações: Dante,Luiz Roberto – Editora Ática – 3ª edição –2008 - Páginas: 134 a 164• Figuras: google imagens
  82. 82. Note que para toda divisão depolinômios, vale a sentença:D(x) = d(x) . q(x) + r(x)Exemplo:x4+ 1 = x (x3+ 1) – x + 1

×