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CONJUNTO DOS NÚMEROS
INTEIROS
O QUE SÃO NÚMEROS NEGATIVOS?
São números que representam medidas
abaixo de zero.
Exemplos:
E O ZERO?
O zero não é positivo nem negativo.
-4 -35 -1 -2137
Os números acima de zero são chamados de
positivos.
PARA QUE SERVEM OS NÚMEROS
NEGATIVOS?
Dentre várias utilidades veremos as mais comuns:
Representar temperaturas abaixo de zero.
Indicar um saldo negativo de uma conta bancária.
Efetuar subtrações onde o subtraendo é maior que
o minuendo. Ex: 7-10
COMO É FORMADO O CONJUNTO
DOS NÚMEROS INTEIROS?
É formado pelo conjunto dos números naturais,
mais os números negativos.
Representações:
{ }
{ },...5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5...
,...5,4,3,2,1,0
−−−−−=Ζ
=Ν
N
Z
COMO REPRESENTAMOS O
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
NA RETA NUMÉRICA?
0-5 -4 -3 -2 -1 54321
O conjunto dos
números naturais é
um subconjunto dos
números inteiros.
OBSERVAÇÃO:
Quanto mais a direita estiver um número,
maior ele será.
Veja:
0-5 -4 -3 -2 -1 54321
5 > 3 -3 > -5 0 > -2
Macete: quanto mais negativo
for um número, menor ele será.
TENTE FAZER SOZINHO!
Responda:
a) Qual é o maior número negativo?
b) Qual é o antecessor de -5?
c) Qual é o sucessor de -10?
SOLUÇÃO
a) O maior número negativo é -1.
b) O antecessor de -5 é -6.
c) O sucessor de -10 é -9.
O QUE SIGNIFICAM OS SÍMBOLOS:
?,,, ***
−+−+ ΖΖΖΖΖ e
{ },...3,2,1,1,2,3...,*
−−−=Ζ
{ },...3,2,1,0=Ζ+
{ }0,1,2,3..., −−−=Ζ−
{ },...3,2,1*
=Ζ+
{ }1,2,3...,*
_ −−−=Ζ
*
Ζ é o conjunto dos números inteiros sem o zero.
+Ζ é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
−Ζ é o conjunto dos números inteiros não-positivos.
*
+Ζ é o conjunto dos números inteiros positivos.
*
−Ζ é o conjunto dos números inteiros negativos.
O QUE É O MÓDULO DE UM NÚMERO?
É o valor que representa a distância entre
esse número e o zero.
Exemplo:
0-4 4
A distância entre o número 4 e o
zero é a mesma entre o número -4
e o zero. Logo, o módulo desses de
4 e -4 é igual a 4.
COMO INDICAMOS O
MÓDULO DE UM NÚMERO?
Colocando esse número entre duas barras
verticais.
Exemplos:
66 =−
66 =
2020 =−
2020 =
O módulo também
pode ser chamado de
valor absoluto
VAMOS PRATICAR!
Quais são os possíveis valores para x em
Resposta:
2 e -2, pois qualquer um desses números,
quando colocado no lugar do x tem
resultado igual a 2.
?2=x
TENTE FAZER SOZINHO!
Apresente os possíveis valores de
x na expressão:
4<x
Solução
Temos que verificar quais são os números
que o módulo dá um resultado menor que 4.
Logo, a resposta é {-3,-2,-1,0,1,2,3}
O QUE SÃO NÚMEROS SIMÉTRICOS?
São números que apresentam o mesmo
módulo.
Exemplos:
10 e -10
8 e -8
201 e -201
Os números simétricos
também são chamados
de opostos.
RESOLVENDO PROBLEMAS
Responda:
Qual é o simétrico de 5?
-5
Qual é o oposto de -10?
10
Qual é o módulo do oposto de -35?
35
TENTE FAZER SOZINHO!
Apresente o simétrico do
oposto do módulo de -7.
SOLUÇÃO
O módulo de -7 é 7.
O oposto de 7 é -7.
O simétrico de -7 é 7.
COMO SOMAMOS E SUBTRAÍMOS
NÚMEROS INTEIROS?
Primeiro retiramos os parênteses e depois
efetuamos os cálculos.
Se o sinal antes do parêntese for +, então conservamos
o sinal de todos os números dentro do parêntese.
Se o sinal antes do parêntese for -, então mudamos o
sinal de todos os números dentro do parêntese.
Exemplos: a) + (+30) + (-25) = + 30 – 25 = + 5
b) - (-17) + (+3) = + 17 + 3 = + 20
PARA EFETUAR OS CÁLCULOS, USAREMOS A
SEGUINTE REGRA:
 Se os sinais forem iguais, somamos os valores absolutos e
conservamos o sinal.
 Se os sinais forem diferentes, subtraímos os valores
absolutos e conservamos o sinal do maior.
Exemplos:
a) -(+45) + (-5) = - 45 - 5 = - 50
b) -(+20) + (+4) = - 20 + 4 = -16
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES!
1) Se não existir sinal antes de um parênteses ou
antes de um número, então dizemos que o
sinal é +. Ou seja, + (30) = (+30) = + (+30) =
30.
2) A soma de números simétricos é igual a zero.
Ou seja, -10 + 10 = 0 e 8 - 8 = 0.
RESOLVENDO EXPRESSÕES
(-5) + (-9) + (-3) + (+8) + (+2)=
Tirando os parênteses, temos:
- 5 – 9 – 3 + 8 + 2 =
Juntando os números negativos e os números positivos, temos
- 17 + 10 =
Efetuando os cálculos, encontramos:
-7
TENTE FAZER SOZINHO!
Resolva a expressão:
12 + {- 2 + [- 3 – (- 2 + 11)]} =
SOLUÇÃO
12 + {- 2 + [- 3 – (- 2 + 11)]} =
12 + {- 2 + [- 3 – (+ 9)]} =
12 + {- 2 + [- 3 – 9]} =
12 + {- 2 + [- 12]} =
12 + {- 2 - 12} =
12 + {- 14} =
12 – 14 =
-2
COMO MULTIPLICAMOS E
DIVIDIMOS NÚMEROS INTEIROS?
Basta efetuar os cálculos com os valores
absolutos. O sinal deve obedecer a seguinte
regra: se forem iguais, +, se forem diferentes, - .
Exemplos:
a) (-3) . (-4) = 12
b) (+8) : (+4) = 2
c) (-3) . (+4) = - 12
d) (+8) : (-4) = - 2
TENTE FAZER SOZINHO!
Resolva a expressão:
[-27 + (- 12 + 4)] : [1 + (- 3) . (- 2)]=
SOLUÇÃO
[-27 + (- 12 + 4)] : [1 + (- 3) . (- 2)]=
[-27 + (- 8)] : [1 + (+ 6)]=
[-27 - 8] : [1 + 6]=
[-35] : [7]=
-5
COMO ELEVAMOS UM NÚMEROS
INTEIRO A UMA POTÊNCIA?
Basta efetuar o cálculo da potência com os
valores absolutos. Se o expoente for par, o
resultado é sempre positivo. Se o for ímpar,
permanece o sinal inicial.
Exemplos:
a) (-5)2
= 25
b) (+5)2
= 25
c) (-5)3
= - 125
d) (+5)3
= 125
REGRAS IMPORTANTES
Qualquer base elevada a 1 é igual a ela mesma.
Zero elevado a qualquer expoente é igual a
zero.
Qualquer base elevada a zero é igual a 1.
a1
= a
0b
= 0
a0
= 1
COMO MULTIPLICAMOS
POTÊNCIAS COM A MESMA BASE?
Basta conservar a base e somar os expoentes.
Exemplos:
(6)7
. (6)3
= 67+3
= 610
 (-20)4 .
(-20) = (-20)5
Quando um número não
apresenta expoente,
dizemos que está
elevado a 1.
COMO DIVIDIMOS POTÊNCIAS COM
A MESMA BASE?
Basta conservar a base e subtrair os expoentes.
Exemplos:
 (5)7
: (5)3
= (5)7-3
= 54
 (-9)5
: (-9)3
= (-9)5-3
= (-9)2
COMO ELEVAMOS UMA POTÊNCIA
A OUTRA POTÊNCIA?
Basta conservar a base e multiplicar os
expoentes.
Exemplos:
(42
)3
= 42x3
= 46
(53
)6
= 53x6
= 518
COMO EXTRAÍMOS A RAIZ QUADRADA
DOS NÚMEROS INTEIROS?
Basta efetuar os cálculos que já conhecemos,
pois só podemos extrair raiz quadrada de
números não-negativos.
Exemplos:
.9 Ζ− conjuntonoexistenão
39 =+
TENTE FAZER SOZINHO!
( ) ( ) ( )[ ] =−−+−−− 363.510:72 02
Resolva a expressão:
SOLUÇÃO
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
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626
6224
6224
61574
61574
63.51:74
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=−
=−+
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  • 2. O QUE SÃO NÚMEROS NEGATIVOS? São números que representam medidas abaixo de zero. Exemplos: E O ZERO? O zero não é positivo nem negativo. -4 -35 -1 -2137 Os números acima de zero são chamados de positivos.
  • 3. PARA QUE SERVEM OS NÚMEROS NEGATIVOS? Dentre várias utilidades veremos as mais comuns: Representar temperaturas abaixo de zero. Indicar um saldo negativo de uma conta bancária. Efetuar subtrações onde o subtraendo é maior que o minuendo. Ex: 7-10
  • 4. COMO É FORMADO O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS? É formado pelo conjunto dos números naturais, mais os números negativos. Representações: { } { },...5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5... ,...5,4,3,2,1,0 −−−−−=Ζ =Ν N Z
  • 5. COMO REPRESENTAMOS O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA? 0-5 -4 -3 -2 -1 54321 O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.
  • 6. OBSERVAÇÃO: Quanto mais a direita estiver um número, maior ele será. Veja: 0-5 -4 -3 -2 -1 54321 5 > 3 -3 > -5 0 > -2 Macete: quanto mais negativo for um número, menor ele será.
  • 7. TENTE FAZER SOZINHO! Responda: a) Qual é o maior número negativo? b) Qual é o antecessor de -5? c) Qual é o sucessor de -10?
  • 8. SOLUÇÃO a) O maior número negativo é -1. b) O antecessor de -5 é -6. c) O sucessor de -10 é -9.
  • 9. O QUE SIGNIFICAM OS SÍMBOLOS: ?,,, *** −+−+ ΖΖΖΖΖ e { },...3,2,1,1,2,3...,* −−−=Ζ { },...3,2,1,0=Ζ+ { }0,1,2,3..., −−−=Ζ− { },...3,2,1* =Ζ+ { }1,2,3...,* _ −−−=Ζ * Ζ é o conjunto dos números inteiros sem o zero. +Ζ é o conjunto dos números inteiros não-negativos. −Ζ é o conjunto dos números inteiros não-positivos. * +Ζ é o conjunto dos números inteiros positivos. * −Ζ é o conjunto dos números inteiros negativos.
  • 10. O QUE É O MÓDULO DE UM NÚMERO? É o valor que representa a distância entre esse número e o zero. Exemplo: 0-4 4 A distância entre o número 4 e o zero é a mesma entre o número -4 e o zero. Logo, o módulo desses de 4 e -4 é igual a 4.
  • 11. COMO INDICAMOS O MÓDULO DE UM NÚMERO? Colocando esse número entre duas barras verticais. Exemplos: 66 =− 66 = 2020 =− 2020 = O módulo também pode ser chamado de valor absoluto
  • 12. VAMOS PRATICAR! Quais são os possíveis valores para x em Resposta: 2 e -2, pois qualquer um desses números, quando colocado no lugar do x tem resultado igual a 2. ?2=x
  • 13. TENTE FAZER SOZINHO! Apresente os possíveis valores de x na expressão: 4<x
  • 14. Solução Temos que verificar quais são os números que o módulo dá um resultado menor que 4. Logo, a resposta é {-3,-2,-1,0,1,2,3}
  • 15. O QUE SÃO NÚMEROS SIMÉTRICOS? São números que apresentam o mesmo módulo. Exemplos: 10 e -10 8 e -8 201 e -201 Os números simétricos também são chamados de opostos.
  • 16. RESOLVENDO PROBLEMAS Responda: Qual é o simétrico de 5? -5 Qual é o oposto de -10? 10 Qual é o módulo do oposto de -35? 35
  • 17. TENTE FAZER SOZINHO! Apresente o simétrico do oposto do módulo de -7. SOLUÇÃO O módulo de -7 é 7. O oposto de 7 é -7. O simétrico de -7 é 7.
  • 18. COMO SOMAMOS E SUBTRAÍMOS NÚMEROS INTEIROS? Primeiro retiramos os parênteses e depois efetuamos os cálculos. Se o sinal antes do parêntese for +, então conservamos o sinal de todos os números dentro do parêntese. Se o sinal antes do parêntese for -, então mudamos o sinal de todos os números dentro do parêntese. Exemplos: a) + (+30) + (-25) = + 30 – 25 = + 5 b) - (-17) + (+3) = + 17 + 3 = + 20
  • 19. PARA EFETUAR OS CÁLCULOS, USAREMOS A SEGUINTE REGRA:  Se os sinais forem iguais, somamos os valores absolutos e conservamos o sinal.  Se os sinais forem diferentes, subtraímos os valores absolutos e conservamos o sinal do maior. Exemplos: a) -(+45) + (-5) = - 45 - 5 = - 50 b) -(+20) + (+4) = - 20 + 4 = -16
  • 20. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES! 1) Se não existir sinal antes de um parênteses ou antes de um número, então dizemos que o sinal é +. Ou seja, + (30) = (+30) = + (+30) = 30. 2) A soma de números simétricos é igual a zero. Ou seja, -10 + 10 = 0 e 8 - 8 = 0.
  • 21. RESOLVENDO EXPRESSÕES (-5) + (-9) + (-3) + (+8) + (+2)= Tirando os parênteses, temos: - 5 – 9 – 3 + 8 + 2 = Juntando os números negativos e os números positivos, temos - 17 + 10 = Efetuando os cálculos, encontramos: -7
  • 22. TENTE FAZER SOZINHO! Resolva a expressão: 12 + {- 2 + [- 3 – (- 2 + 11)]} =
  • 23. SOLUÇÃO 12 + {- 2 + [- 3 – (- 2 + 11)]} = 12 + {- 2 + [- 3 – (+ 9)]} = 12 + {- 2 + [- 3 – 9]} = 12 + {- 2 + [- 12]} = 12 + {- 2 - 12} = 12 + {- 14} = 12 – 14 = -2
  • 24. COMO MULTIPLICAMOS E DIVIDIMOS NÚMEROS INTEIROS? Basta efetuar os cálculos com os valores absolutos. O sinal deve obedecer a seguinte regra: se forem iguais, +, se forem diferentes, - . Exemplos: a) (-3) . (-4) = 12 b) (+8) : (+4) = 2 c) (-3) . (+4) = - 12 d) (+8) : (-4) = - 2
  • 25. TENTE FAZER SOZINHO! Resolva a expressão: [-27 + (- 12 + 4)] : [1 + (- 3) . (- 2)]=
  • 26. SOLUÇÃO [-27 + (- 12 + 4)] : [1 + (- 3) . (- 2)]= [-27 + (- 8)] : [1 + (+ 6)]= [-27 - 8] : [1 + 6]= [-35] : [7]= -5
  • 27. COMO ELEVAMOS UM NÚMEROS INTEIRO A UMA POTÊNCIA? Basta efetuar o cálculo da potência com os valores absolutos. Se o expoente for par, o resultado é sempre positivo. Se o for ímpar, permanece o sinal inicial. Exemplos: a) (-5)2 = 25 b) (+5)2 = 25 c) (-5)3 = - 125 d) (+5)3 = 125
  • 28. REGRAS IMPORTANTES Qualquer base elevada a 1 é igual a ela mesma. Zero elevado a qualquer expoente é igual a zero. Qualquer base elevada a zero é igual a 1. a1 = a 0b = 0 a0 = 1
  • 29. COMO MULTIPLICAMOS POTÊNCIAS COM A MESMA BASE? Basta conservar a base e somar os expoentes. Exemplos: (6)7 . (6)3 = 67+3 = 610  (-20)4 . (-20) = (-20)5 Quando um número não apresenta expoente, dizemos que está elevado a 1.
  • 30. COMO DIVIDIMOS POTÊNCIAS COM A MESMA BASE? Basta conservar a base e subtrair os expoentes. Exemplos:  (5)7 : (5)3 = (5)7-3 = 54  (-9)5 : (-9)3 = (-9)5-3 = (-9)2
  • 31. COMO ELEVAMOS UMA POTÊNCIA A OUTRA POTÊNCIA? Basta conservar a base e multiplicar os expoentes. Exemplos: (42 )3 = 42x3 = 46 (53 )6 = 53x6 = 518
  • 32. COMO EXTRAÍMOS A RAIZ QUADRADA DOS NÚMEROS INTEIROS? Basta efetuar os cálculos que já conhecemos, pois só podemos extrair raiz quadrada de números não-negativos. Exemplos: .9 Ζ− conjuntonoexistenão 39 =+
  • 33. TENTE FAZER SOZINHO! ( ) ( ) ( )[ ] =−−+−−− 363.510:72 02 Resolva a expressão:
  • 34. SOLUÇÃO ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] 20 626 6224 6224 61574 61574 63.51:74 363.510:72 02 =− =−+ =−−− =−−−− =−−+−− −−+−− =−−+−−−