Matrizes (AP 01)

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Matemática II Prof. GiancarloProf. GiancarloProf. GiancarloProf. Giancarlo –––– CursCursCursCursiiiinhonhonhonho
MATRIZES APOSTILA
01
1.1.1.1. INTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
A tabela abaixo mostra a quantidade de alguns modelos de
motos vendidas no primeiro quadrimestre do ano passado numa
agência.
Janeiro Fevereiro Março Abril
I 30 38 22 21
II 33 36 18 20
III 18 16 11 10
Tabelas como essas são chamadas de matrizes.
Definição
Chama-se matriz do tipo (lê-se m por n) toda a tabela
com ∙ elementos dispostos em linhas e colunas.
2.2.2.2. REPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃOREPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZDE UMA MATRIZDE UMA MATRIZDE UMA MATRIZ
Um elemento de uma matriz é representado por uma letra
minúscula acompanhada de um duplo índice. De modo geral,
representa-se um elemento qualquer por , onde mostra a linha
em que está o elemento, e mostra a coluna.
De modo geral, uma matriz pode ser
representada assim:
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮
⋯
Exemplo 1
Construa a matriz , sabendo-se que 3 .
3.3.3.3. ELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTESELEMENTOS CORRESPONDENTES
Se duas matrizes, A e B, forem do mesmo tipo , então
os elementos com o mesmo índice são chamados elementos
correspondentes.
Exemplo 2
Considere as matrizes e ! "
# #
# #
$, os
elementos correspondentes de A e B são:
4.4.4.4. TIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZESTIPOS DE MATRIZES
Em função dos valores de seus elementos, do número de
linhas e colunas ou ainda por serem aplicadas com muita
frequência, algumas matrizes possuem nomenclatura especial.
Vejamos algumas dessas matrizes.
4.1 Matriz quadrada
É toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de
colunas.
Em uma matriz quadrada de ordem , os elementos , onde
formam a diagonal principal e os elementos , onde
1 formam a diagonal secundária.
& '
• Diagonal principal: , , , → .
• Diagonal secundária: , , , → 4 1.
• Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da diagonal
principal.
4.2 Matriz Diagonal
É toda matriz quadrada , onde 0 para todo , .
Exemplo 3:
1 0
0 -1
! .
2 0 0
0 -1 0
0 0 3
0
4.3 Matriz Escalar
É toda matriz diagonal onde os elementos da diagonal
principal são iguais.
Exemplo 4:
-1 0
0 -1
! .
2 0 0
0 2 0
0 0 2
0
4.4 Matriz Identidade
É toda matriz escalar, onde os elementos da diagonal
principal são iguais a 1.
Exemplo 5:
1 0
0 1
! .
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
4.5 Matriz Linha
É toda matriz da forma , onde
… .
Exemplo 6:
2 1 3
4.6 Matriz Coluna
É toda matriz que apresentam uma coluna, onde
.
Exemplo 7:
2
3
4
⋮
5
6
7
! 8
2
4
5
6
;
4.7 Matriz Nula
É toda matriz onde todos os seus elementos são iguais a
zero.
Exemplo 8:
8
0 0 ⋯ 0
0 0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮
0 0 ⋯ 0
;
4.8 Matriz simétrica
É toda matriz quadrada onde cada elemento .
Exemplo 9:
.
2 4 6
4 5 3
6 3 2
0 ! .
1 5 6
5 3 2
6 2 7
0
4.9 Matriz Antissimétrica
É toda matriz quadrada onde - .
Exemplo 10:
.
0 2 3
-2 0 -5
-3 5 0
0
4.10 Matriz Transposta
Seja uma matriz = >, chama-se transposta de e
representa-se por ?, a matriz ?
> =, que se obtem trocando
linhas por colunas.
Exemplo 11:
8
2 1
4 3
2 7
0 4
; ⟹ ? 2
1
4
3
2
7
0
4
Model
o
Mês

MATRIZES APOSTILA
01
5.5.5.5. IGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZESIGUALDADE DE MATRIZES
Dadas as matrizes e !, dizemos que essas matrizes são
iguais se, e somente se, elas possuem a mesma ordem e os
elementos correspondentes são iguais.
AB C DB C ⇔ FGH IGH
6.6.6.6. OPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZESOPERAÇÃO COM MATRIZES
6.16.16.16.1 ADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃOADIÇÃO
Dadas as matrizes e ! # , a soma
delas, representada por !, é a matriz J K , em que K
# . Isto é, cada elemento de J é a soma dos elementos
correspondentes das matrizes e !.
Propriedades da adição
P1. ! J ! J → associatividade
P2. ! ! → comutatividade
P3. L → elemento neutro
P4. - L → elemento oposto
6.26.26.26.2 SUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃOSUBTRAÇÃO
Dadas as matrizes e ! # , a soma
delas, representada por - !, é a matriz J K , em que K
- # . Isto é, cada elemento de J é a soma dos elementos
correspondentes das matrizes e !.
A - D A -D .
6.36.36.36.3 MULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃO
Multiplicação de um número real por uma matriz
Sejam as matrizes e um número real M. Ao
multiplicarmos M pela matriz , obtemos a matriz ! # , tal
que # M ∙ .
Multiplicação de matriz por matriz
Dadas as matrizes do tipo e ! # do tipo
N, o produto de por !, é a matriz J K do tipo N, em
que cada elementoK é a soma dos produtos dos elementos da linha
de pelos elementos da coluna de !, tomados ordenadamente.
Indicamos o produto dessas matrizes por ∙ ! ou !.
O produto ∙ ! de duas matrizes só é possível se o número
de colunas da for igual ao número de linhas da !. Dessa forma, a
matriz J terá o mesmo número de linhas de e o mesmo número
de colunas de !:
AB C ∙ DC O PB O
Propriedades da multiplicação
P1. Dadas as matrizes , ! = e J= Q, temos
∙ ! ∙ J ∙ ! ∙ J → associativa
P2. Dadas as matrizes , ! = e J =, temos
∙ ! J ∙ ! ∙ J → distributiva à esquerda
P3. Dadas as matrizes , ! e J =, temos
! ∙ J ∙ J ! ∙ J → distributiva à direita
P4. Dadas as matrizes e as matrizes identidade R e R , temos
R ∙ e ∙ R → elemento neutro
P5. Dadas as matrizes e ! = e o número M ∈ T, temos
M ∙ ∙ ! ∙ M ∙ ! M ∙ ∙ !
P6. Dadas as matrizes , ! =, temos
∙ ! ? ?
∙ !?
7.7.7.7. MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA
Seja uma matriz quadrada A de ordem n. Quando existe uma
matriz B, também de ordem n, tal que ∙ ! ! ∙ R , B é
chamada matriz inversa de A, a qual indicamos por U
.
Se existe a matriz inversa de uma matriz dada, dizemos que esta é
invertível ou não-singular.
Caso contrário, dizemos que esta é não-invertível ou singular.
8.8.8.8. MODELO GSSPMODELO GSSPMODELO GSSPMODELO GSSP
Proposição: Seja a matriz V
#
K W
X WXYV , 0, então
VU Z
W
WXYV
-
#
WXYV
-
K
WXYV WXYV
[
Exemplo 12
Determine a inversa da matriz
1 3
1 2
, caso exista.
QuestãoQuestãoQuestãoQuestão 1111
Determine as seguintes matrizes.
a) , tal que 2 .
b) ! # , tal que # 3 - 2 .
c) J K , tal que K
- , ]X ,
, ]X
d) W ^W _ , tal que W `
∙ , ]X
, ]X a
, ]X b
A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas (atleta) e colunas
(dia), representa os registros dos tempos de treinamento dos atletas
A, B e C em 3 dias. Sendo G a ordem das linhas e H a ordem das
colunas e FGH cd. G fd. H o elemento genérico desta tabela, com
e dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo atleta B
no terceiro dia foi de:
a) 1 hora e 30 minutos.
b) 1 hora e 50 minutos.
c) 2 horas.
d) 2 horas e 10 minutos.
e) 2 horas e 30 minutos
O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário mostrando as
estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4.
A matriz associada a esse mapa é definida da seguinte
forma:
Sabendo-se que e referem-se as cidades do mapa e variam no
conjunto {1, 2, 3, 4}, construa a matriz .
Atividades

MATRIZES APOSTILA
01
Questão 4
Determine os valores de x e y para que as matrizes
7 4g - 5h
-2 3
e ! "
7 8
2g - 4h 3
$ sejam iguais.
Questão 5
(UPM–SP) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos
de sua diagonal principal. O traço da matriz , tal que
, é:
a) 3
b)2j
c) 5
d) 4
e) 2k
Questão 6
(Ufersa–RN) Se , ! e J são matrizes do tipo 4 3, 3 4 e 4 2,
respectivamente, a transposta do produto ∙ ! ∙ J é uma matriz do
tipo:
a) 4 2
b) 3 2
c) 2 4
d) 2 3
Questão 7
As matrizes l
3 1
5 2
m e l
-3 4
1 -8
m são tais que 3n 2 - !.
Calcule a matriz n.
Questão 8
(Unesp) Considere três lojas o , o e o , e três tipos de produtos, p ,
p e p . A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto
vendido em cada loja na primeira semana de dezembro. Cada
elemento da matriz indica a quantidade do produto p vendido
pela loja o , com , 1, 2, 3.
o o o
p
p
p
q
30 19 20
15 10 8
12 16 11
s
Analisando a matriz, podemos afirmar que:
a) a quantidade de produtos do tipo p vendidos pela loja o é 11.
b) a quantidade de produtos do tipo p vendidos pela loja o é 30.
c) a soma das quantidades de produtos do tipo p vendidos pelas
três lojas é 40.
d) a soma das quantidades de produtos do tipo p vendidos pelas
lojas o , com 1, 2, 3 é 52.
e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos p e p vendidos
pela loja o é 45.
Questão 9
(Esam–RN) O produto ∙ ! de duas matrizes só é possível quando
o número de colunas de for igual ao número de linhas de !.
Então, identifique a alternativa incorreta.
a) Se e ! são matrizes quadradas de ordem 3, então o produto ∙
! será, também, uma matriz quadrada de ordem 3.
b) Se é uma matriz 5 2 e ! é uma matriz 5 2, existe o produto
! ∙ .
c) Se q
3 2
5 0
1 4
s e ! l
3 1
6 2
m, então ∙ ! é uma matriz do tipo 3
2.
d) Se é uma matriz 2 2, então a matriz é, também, do tipo
2 2.
e) Só podemos calcular ! quando ! é uma matriz quadrada.
Questão 10
(Facceba–BA) Considerando-se as matrizes V
1 2
2 5
e t
5 -2
-2 1
, conclui-se:
a) V é a matriz oposta de t.
b) V 2t
c) V t
6 0
0 2
d) V ∙ t
1 0
0 1
e) t é a matriz transposta de V.
Questão 11
(PUC–SP) Na matriz l
20 18 5
18 21 4
m, os elementos da primeira
linha representam os preços unitários em reais de três artigos
diferentes na loja X e os da segunda linha, os respectivos preços
unitários em reais dos mesmos artigos na loja Y. Os elementos da
matriz ∙ !, com ! q
1
2
1
s, representam os preços a serem pagos
pela compra de 1 unidade do primeiro artigo, 2 do segundo e 1 d
terceiro, nessas lojas. Se fizermos a compra em Y, gastaremos, em
relação ao que seria gasto na loja X:
a) R$ 3,00 a mais
b) R$ 3,00 a menos
c) R$ 4,00 a mais
d) R$ 4,00 a menos
e) N.R.A.
Questão 12
(PUC–MG) Multiplicando as matrizes "
1 g
h 3
$ ∙
-1 2
3 0
, obtemos
11 2
11 -4
. O produto dos elementos x e y da primeira matriz é:
a) 4
b) 6
c) -4
d) -6
e) -8
RASCUNHO

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