O documento discute semelhança de triângulos, definindo-a como figuras que têm ângulos correspondentes congruentes e lados homólogos proporcionais. Apresenta casos de semelhança como LLL, LAL e AA e o Teorema Fundamental da Semelhança, que estabelece que uma paralela a um lado determina dois triângulos semelhantes. Discutem-se também razão de semelhança e propriedades de triângulos semelhantes.

1. SEMELHANÇA
DE
TRIÂNGULOS

2. Figuras semelhantes
Figuras semelhantes são aquelas que
apresentam a mesma forma, independente do
tamanho.
Exemplos:

3. Polígonos semelhantes
Polígonos semelhantes são aquelas que
apresentam ângulos correspondentes
congruentes e lados homólogos proporcionais.
Exemplos:

4. Triângulos semelhantes
1º) os ângulos correspondentes congruentes:
Dois triângulos são semelhantes se
atenderem a duas condições:

5. 2º) os lados homólogos são proporcionais.
''' c
c
b
b
a
a

6. Exemplo:
15
5
6
2
9
3

7. Triângulos
semelhantes
Definição
Ângulos correspondentes
congruentes
Lados homólogos
proporcionias

8. Tente fazer sozinho
1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são
semelhantes..

9. Tente fazer sozinho
1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são
semelhantes.

10. Solução
São semelhantes
Não são
semelhantes, pois os
ângulos
correspondentes não
são congruentes

11. Tente fazer sozinho
2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes,
calcule os valores de x e y.

12. Tente fazer sozinho
2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes,
calcule os valores de x e y.

13. Solução
24
189
12
x
x
2
27
18
9
12
y
y

14. Razão de semelhança
Razão de semelhança é a razão entre os
lados homólogos.
Exemplo:
3
1
15
5
6
2
9
3
Razão de
semelhança

15. A razão de semelhança entre dois triângulos
é a mesma para:
 Os lados correspondentes
 Os perímetros
 As alturas
 As medianas
 As bissetrizes

16. Exemplo:
3010
3
1
15
5
6
2
9
3
BA PP
3
1
30
10
B
A
P
P

17. Triângulos
semelhantes
Definição
Ângulos correspondentes
congruentes
Lados homólogos
proporcionias
característica
Apresentam razão
de semelhança

18. Tente fazer sozinho
4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo
que seu perímetro é igual a 130.

19. Tente fazer sozinho
4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo
que seu perímetro é igual a 130.

20. Solução
45
36
130
94
25
20
130
94
60
48
130
94
13094
MN
MN
PN
PN
MP
MP
PP NMPABC

21. Teorema Fundamental da
semelhança
Toda paralela a um lado de um triângulo e
que cruza os outros lados em dois pontos,
determina um triângulo semelhante ao primeiro.
AOABOBCOC 111 ~~

22. Exemplo:
Determine os valores de x e y:
18
12
12
20
8
x
x
14
2120
8
y
y
y

23. Tente fazer sozinho
5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas
dos segmentos e , sabendo que AB e DE são
segmentos paralelos.
CE CB

24. Tente fazer sozinho
5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas
dos segmentos e , sabendo que AB e DE são
segmentos paralelos.
CE CB

25. Solução
Dados
AB
DE
EB
O que se pede
CE
CB
12
9
4
?
?

26. Solução
12
363
36912
36912
12
9
4
CE
CE
CECE
CECE
CE
CE
AB
DE
CB
CE
CA
CD
16
412
4
CB
CB
CECB

27. 6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5
FB, a razão FG/DE vale:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 5/2
e) 7/2
Tente fazer sozinho

28. 6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5
FB, a razão FG/DE vale:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 5/2
e) 7/2
Tente fazer sozinho

29. Solução
4
4
DE
FG
x
x
DE
FG
Letra b

30. Propriedade
Se a paralela a um lado de triângulo intercepta
um dos lados no seu ponto médio, então ela
também intercepta o outro lado no ponto médio.
Exemplo:
M é o ponto médio de
AB, então N é o ponto
médio de AC.

31. Triângulos
semelhantes
Definição
Ângulos correspondentes
congruentes
Lados homólogos
proporcionias
característica
Apresentam razão
de semelhança
Paralela a um lado que cruza
os outros lados determina
dois triângulos semelhantes
Teorema
Fundamental

32. Casos de semelhança
1º) LLL (Lado, Lado, Lado)
Três lados homólogos proporcionais.

33. 2º) LAL (Lado Ângulo Lado)
Dois lados homólogos proporcionais e os
ângulos formados por esses lados são
congruentes.

34. 3º) AA (Ângulo, Ângulo)
Dois ângulos correspondentes congruentes.

35. Casos de
semelhança
LLL
LAL
AA
Triângulos
semelhantes
Definição
Ângulos correspondentes
congruentes
Lados homólogos
proporcionias
característica
Apresentam razão
de semelhança
Paralela a um lado que cruza
os outros lados determina
dois triângulos semelhantes
Teorema
Fundamental

36. Tente fazer sozinho
7) Se, num triângulo ABC, temos ,
AB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE,
ocorre , DF=2cm e DE=3cm.
Qual o caso de congruência entre os triângulos
ABC e FDE?
o
B 40ˆ
o
D 40ˆ

37. Tente fazer sozinho
7) Se, num triângulo ABC, temos ,
AB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE,
ocorre , DF=2cm e DE=3cm.
Qual o caso de semelhança entre os triângulos
ABC e FDE?
o
B 40ˆ
o
D 40ˆ

38. Solução
Dados
o
B 40ˆ
o
D 40ˆ
AB = 4cm
DF = 2cm
BC = 6cm
DE = 3cm
O que se pede: caso de congruência
3
6
4
2

39. Solução
Logo, o caso de semelhança é LAL.
3
6
4
2
2
3
6
2
4
DB

40. 7) (Unesp 2004) Um observador situado num
ponto O, localizado na margem de um rio,
precisa determinar sua distância até um ponto
P, localizado na outra margem, sem atravessar
o rio. Para isso marca, com estacas, outros
pontos do lado da margem em que se
Encontra,de tal forma que P, O e B estão
alinhados entre si e P, A e C também.
Tente fazer sozinho

41. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m,
BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.
A distância, em metros, do observador em O
até o ponto P, é:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

42. 7) (Unesp 2004) Um observador situado num
ponto O, localizado na margem de um rio,
precisa determinar sua distância até um ponto
P, localizado na outra margem, sem atravessar
o rio. Para isso marca, com estacas, outros
pontos do lado da margem em que se
Encontra,de tal forma que P, O e B estão
alinhados entre si e P, A e C também.
Tente fazer sozinho

43. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m,
BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.
A distância, em metros, do observador em O
até o ponto P, é:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

44. Solução
LetraE50
1503
51508
3040
25
3040
25
x
x
xx
x
x
x
x
5
8

45. Bibliografia
 IEZZI, Gelson et al. Matemática:Ciência e
Aplicações. 4ed. SP:Atual Editora, 2006.
 Klick Educação, site:
http://www.klickeducacao.com.br/materia/20
/display/0,5912,POR-20-92-963-,00.html
 Bianchini, Edwaldo: Matemática, Editora
Moderna, 6ª edição, 2006.