Matrizes
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SoluçãoSoluçãoaa1111 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1= 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1aa1212 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5= 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5aa1313...
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Tente fazer sozinho!(Ufop-MG) Observe a matriz:Chama-se traço de uma matriz a soma doselementos de sua diagonal principal....
Soluçãox = 3y1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2x = 3.2  x = 6yx0040321
O que éO que é matrizmatrizdiagonaldiagonal??É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual todos osna qual todos oselement...
O que éO que é matrizmatriztriangulartriangular??É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual osna qual os elementoseleme...
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Tente fazer sozinho!(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, esomente se, At= A. Se a matrizÉ simétrica, então o valor ...
Solução−−−=−−−1530112131501222yxyxyyxx112±=⇒= xx1−=x48235 =⇒−=−⇒−=− yyyy1333413==+−=+ yxResposta: letr...
O que éO que é matrizmatrizidentidadeidentidade??É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada que apresentaque apresentatodos os ...
Como somamos ousubtraímos matrizes?Basta somar ou subtrair os elementoscorrespondentes. As matrizes devem serdo mesmo tipo...
Como multiplicamos umamatriz por um número real?Basta multiplicar todos os elementosdamatriz por esse número real.Exemplo:...
Como o tipo da matrizinfluencia na multiplicaçãode duas matrizes?Matriz A4 x 3Matriz B3 x 2Devem ser iguaisO resultado é d...
Como efetuamos oproduto de duasmatrizes?Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matrizB = (bij)nxp , o produto é uma matriz C =...
Exemplo 1:==2613410523BeA=++++++=9275157212.41.16.43.12.01.56.03.52.21.36.23.3AB
Exemplo 2:==3150243112DeC=++++++=951935133.30.11.32.15.34.13.10.21.12.25.14.2CDCD
Tente fazer sozinho!1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizesé a matriz nula, x + y é igual a:a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2...
Solução= −− 0012011101101yx−−= −− 3111102011101101
( )( )=+−−+=+−+−++00310001.3.1.11.1.1.0yxyyxyx=−−001311110yx.112...
2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que. É verdade que a+b é igual a:a) 0b) 1c) 9d) -1e) -9=11abA−−−=19108192A
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O que é matriz inversa?É matriz X de ordem n, cujo produto coma matriz A é igual a matriz identidade deordem n.Ou seja,A.X...
Exemplo:−−==25133512BeA( ) ( )( ) ( )=+−−++−−+=−−=10012.31.55.33.52.11.25....
Tente fazer sozinho!(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é amatriz inversa de , então:a) b11 = - ½b) b12 = -1c) b21 =...
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Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contextoe Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática– SP. Páginas: 118 a 1...
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  1. 1. Matrizes
  2. 2. Ao final dessa aula vocêsaberá: O que é matriz e suas representações. Igualdade de matrizes. A definição de: matriz nula, matriz linha, matrizcoluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriztriangular, matriz oposta, matriz identidade ematriz inversa. O que é diagonal principal e diagonal secundária. Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
  3. 3. O que éO que é matrizmatriz??É umaÉ uma tabelatabela de números que pode serde números que pode serrepresentadarepresentada entreentre chaveschaves ou entreou entrecolchetescolchetes..Exemplos:Exemplos:==104321104321AouASão matrizes com 2linhas e 3 colunas.Então dizemos que éuma matriz 2 x 3.
  4. 4. Como é a representaçãogenérica de uma matriz?
  5. 5. O que éO que é índiceíndice de umde umelemento?elemento?É a representação daÉ a representação da posiçãoposição que oque oelemento ocupa dentro da matriz.elemento ocupa dentro da matriz.Exemplo:Exemplo:O 3 é o elementoO 3 é o elemento aa1212, ou seja, está, ou seja, estánana 1ª linha1ª linha e nae na 2ª coluna2ª coluna..==013222211211aaaaA
  6. 6. Quando duasQuando duas matrizesmatrizes AAe B sãoe B são iguaisiguais??Quando os elementosQuando os elementos de mesmo índicede mesmo índice sãosãocorrespondentescorrespondentes..Exemplo:Exemplo:22222121121211112221121122211211,,,,baaababaLogobabbBaaaaA=======
  7. 7. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!(PUC-MG)A matriz A = (a(PUC-MG)A matriz A = (aijij))2x32x3 é tal que:é tal que:É correto afirmar que:É correto afirmar que:=−≠+=jisejijisejiaij,32,3−−−−−− −−=927651)926571)962571)927651)dcbAa
  8. 8. SoluçãoSoluçãoaa1111 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1= 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1aa1212 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5= 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5aa1313 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6= 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6aa2121 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7= 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7aa2222 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2= 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2aa2323 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9= 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9Resposta: D232221131211aaaaaa=−≠+=jisejijisejiaij,32,3
  9. 9. O que éO que é matriz linhamatriz linha??É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma linhaapenas uma linha..Exemplo:Exemplo:É uma matriz formada porÉ uma matriz formada por apenas uma colunaapenas uma coluna..Exemplo:Exemplo:( )70342=AO que éO que é matriz colunamatriz coluna??=902B
  10. 10. O que éO que é matriz nulamatriz nula??É uma matriz que apresentaÉ uma matriz que apresenta todostodos ososelementoselementos iguais aiguais a zerozero..Exemplos:Exemplos:==000000000000000000DC
  11. 11. O que éO que é matrizmatrizquadradaquadrada??É a matriz que apresenta oÉ a matriz que apresenta o mesmo númeromesmo númerodede linhas e colunaslinhas e colunas..Exemplos:Exemplos:=703140342AMatriz 3 x 3=4910BMatriz 2 x 2Dizemos que amatriz A é de ordem3 e que a matriz B éde ordem 2.
  12. 12. O que éO que é diagonaldiagonalprincipalprincipal??É aÉ a diagonaldiagonal formada pelosformada pelos elementos aelementos aijij,,sendosendo i=ji=j de uma matriz quadrada.de uma matriz quadrada.diagonal principaldiagonal secundária
  13. 13. Tente fazer sozinho!(Ufop-MG) Observe a matriz:Chama-se traço de uma matriz a soma doselementos de sua diagonal principal. Determinex e y na matriz acima de tal forma que seutraço valha 9 e x seja o triplo de y.yx0040321
  14. 14. Soluçãox = 3y1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2x = 3.2  x = 6yx0040321
  15. 15. O que éO que é matrizmatrizdiagonaldiagonal??É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual todos osna qual todos oselementos que não pertencem a diagonalelementos que não pertencem a diagonalprincipal são iguais a zeroprincipal são iguais a zero. A. A diagonaldiagonalprincipalprincipal deve apresentardeve apresentar pelo menos umpelo menos umelemento diferente de zeroelemento diferente de zero..Exemplos:Exemplos:=700010002A
  16. 16. O que éO que é matrizmatriztriangulartriangular??É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada na qual osna qual os elementoselementosabaixo ou acima da diagonal principal sãoabaixo ou acima da diagonal principal sãoiguais a zeroiguais a zero..Exemplos:Exemplos:===10726739071000150002700310422DCB
  17. 17. O que éO que é matrizmatriz opostaoposta??É aÉ a matrizmatriz cujoscujos elementos são oselementos são osopostos de uma matriz dada.opostos de uma matriz dada.Exemplos:Exemplos:−−−=−−−=732410732410AA−−=−−−=52815281BB
  18. 18. O que éO que é matrizmatriztranspostatransposta??É aÉ a matrizmatriz cujascujas colunascolunas sãosão iguais àsiguais àslinhas de uma matriz dada.linhas de uma matriz dada.Exemplo:Exemplo:−−=−−=743120732410 tAANote que o número de linhasde A é o número de colunasde At. O mesmo acontececom o número de colunasA é 3x2 e At=2x3
  19. 19. Tente fazer sozinho!(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, esomente se, At= A. Se a matrizÉ simétrica, então o valor de é:a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0−−−=1315012 2yyxxA3yx +
  20. 20. Solução−−−=−−−1530112131501222yxyxyyxx112±=⇒= xx1−=x48235 =⇒−=−⇒−=− yyyy1333413==+−=+ yxResposta: letra c
  21. 21. O que éO que é matrizmatrizidentidadeidentidade??É aÉ a matriz quadradamatriz quadrada que apresentaque apresentatodos os elementos datodos os elementos da diagonal principaldiagonal principaliguais aiguais a 11 e ose os outrosoutros elementos iguais aelementos iguais azerozero..Exemplo:Exemplo:==100110001000123 II
  22. 22. Como somamos ousubtraímos matrizes?Basta somar ou subtrair os elementoscorrespondentes. As matrizes devem serdo mesmo tipo (m x n).Exemplos:=−−−−=−−−+−4310351789)535353632104103451)ba
  23. 23. Como multiplicamos umamatriz por um número real?Basta multiplicar todos os elementosdamatriz por esse número real.Exemplo:−−−=−−−06331560211523
  24. 24. Como o tipo da matrizinfluencia na multiplicaçãode duas matrizes?Matriz A4 x 3Matriz B3 x 2Devem ser iguaisO resultado é do tipo 4 x 2
  25. 25. Como efetuamos oproduto de duasmatrizes?Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matrizB = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp,onde o elemento cij é calculado multiplicandoordenadamente os elementos da linha i, damatriz A, pelos elementos da coluna j, damatriz B, e somando os produtos obtidos.
  26. 26. Exemplo 1:==2613410523BeA=++++++=9275157212.41.16.43.12.01.56.03.52.21.36.23.3AB
  27. 27. Exemplo 2:==3150243112DeC=++++++=951935133.30.11.32.15.34.13.10.21.12.25.14.2CDCD
  28. 28. Tente fazer sozinho!1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizesé a matriz nula, x + y é igual a:a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 −−12011101101yx
  29. 29. Solução= −− 0012011101101yx−−= −− 3111102011101101
  30. 30. ( )( )=+−−+=+−+−++00310001.3.1.11.1.1.0yxyyxyx=−−001311110yx.112203103101CLetrayxxxyxyy−=+−=+−=⇒=+−⇒=+−=⇒=−
  31. 31. 2) (Fatec-SP) Seja a matriz , tal que. É verdade que a+b é igual a:a) 0b) 1c) 9d) -1e) -9=11abA−−−=19108192A
  32. 32. Solução15452041914821910819122119108191111=+−=+=⇒−=−⇒−=+−=⇒−=−−−=++−−−=baaaabbbabababababResposta: Letra B
  33. 33. O que é matriz inversa?É matriz X de ordem n, cujo produto coma matriz A é igual a matriz identidade deordem n.Ou seja,A.X = X.A = In,onde X = A-1A matriz inversade A É indicadapor A-1.
  34. 34. Exemplo:−−==25133512BeA( ) ( )( ) ( )=+−−++−−+=−−=10012.31.55.33.52.11.25.13.225133512ABABABLogo, B = A-1
  35. 35. Tente fazer sozinho!(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é amatriz inversa de , então:a) b11 = - ½b) b12 = -1c) b21 = 1d) b22 = -1e) b22 = - ½−=1120A
  36. 36. Solução1101210210002211210012210011120−=⇒=+−⇒=+−=⇒=+−⇒=+−=⇒==⇒==+−+−=−bbdbaacaddccdbcadcdcbaResposta:Letra B
  37. 37. Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contextoe Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática– SP. Páginas: 118 a 145. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,Roberto; Degenszajn, David – Matemática(volume único). 4ª edição – 2007. EditoraAtual – SP. Páginas: 287 a 302. Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Cursode Matemática. 3ª edição – 2003. EditoraModerna – SP. Páginas: 283 a 308.

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