Matemática - VideoAulas Sobre Ângulos – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br

1. ÂngulosÂngulos
Definição – Medidas - OperaçõesDefinição – Medidas - Operações

2. Ao final dessa aula vocêAo final dessa aula você
saberá:saberá:
 O que é um ângulo, assim como seusO que é um ângulo, assim como seus
elementos e identificaçãoelementos e identificação
 Como medir um ânguloComo medir um ângulo
 O que é um ângulo retoO que é um ângulo reto
 O que é um ângulo rasoO que é um ângulo raso
 O que é um ângulo de uma volta ou nuloO que é um ângulo de uma volta ou nulo
 Fazer operações com ângulosFazer operações com ângulos

3. O que é um ângulo?O que é um ângulo?
É oÉ o espaçoespaço entre duasentre duas semirretas.semirretas.
Representação:Representação:
O espaço emO espaço em vermelhovermelho é umé um ânguloângulo..

4. Elementos de um ânguloElementos de um ângulo
Todo ângulo apresentaTodo ângulo apresenta um vérticeum vértice ee dois ladosdois lados..
Dependendo de onde olhamos, vemosDependendo de onde olhamos, vemos dois ângulosdois ângulos
diferentes, formados pelasdiferentes, formados pelas mesmas semirretasmesmas semirretas..
{Ângulo “a” é convexo
Ângulo “b” é côncavo

5. Como identificamos umComo identificamos um
ângulo ?ângulo ?
IndicandoIndicando seu vértice eseu vértice e os pontosos pontos que determinamque determinam
os lados.os lados.
Exemplo:Exemplo:
Note que oNote que o vérticevértice está sempre noestá sempre no meiomeio..
Dizemos que esse é o
ângulo ou .AÔB BÔA{

6. Que instrumento usamos paraQue instrumento usamos para
medir um ângulo?medir um ângulo?
TransferidorTransferidor
Como usamos um transferidor?Como usamos um transferidor?
SeguindoSeguindo osos passospassos a seguir.a seguir.
A unidade de medida do ângulo é o grau (º)

7. 0º = vértice
1º passo: posicionamos o1º passo: posicionamos o zerozero do transferidordo transferidor emem
cima do vérticecima do vértice do ângulo.do ângulo.
2º passo: posicionamos a2º passo: posicionamos a linhalinha que liga o 180º e oque liga o 180º e o
0º0º em cima de um dos ladosem cima de um dos lados do ângulo.do ângulo.
3º passo: verificamos que3º passo: verificamos que medidamedida oo outro ladooutro lado
está marcando.está marcando.
linha = lado
Medida = outro lado

8. O que é umO que é um ângulo retoângulo reto??
É um ângulo queÉ um ângulo que mede 90ºmede 90º..
AÔB = 90ºAÔB = 90º
B
O A

9. O que é umO que é um ângulo rasoângulo raso??
É um ângulo queÉ um ângulo que mede 180ºmede 180º..
BÔA = 180ºBÔA = 180º
O ângulo raso também é conhecido comoO ângulo raso também é conhecido como
ângulo deângulo de meia voltameia volta..
B O A

10. Quantos graus mede um ângulo deQuantos graus mede um ângulo de
uma voltauma volta??
360º360º
AÔB = 360ºAÔB = 360º
O =BA
Essa também pode ser aEssa também pode ser a
representação dorepresentação do ângulo nulo.ângulo nulo.
AÔB = 0ºAÔB = 0º

11. Como transformamos graus emComo transformamos graus em
minutos?minutos?
BastaBasta multiplicarmultiplicar porpor 6060..
Pois,Pois, 1º = 60’1º = 60’
Exemplos:Exemplos: 10º = 600’10º = 600’
 2º = 120’2º = 120’
18º = 1080’18º = 1080’
Para passar de minutos para graus,
basta dividir por 60.

12. E como transformamos minutos emE como transformamos minutos em
segundos?segundos?
BastaBasta multiplicarmultiplicar porpor 6060..
Pois,Pois, 1’ = 60’’1’ = 60’’
Exemplos:Exemplos:  3’ = 180’’3’ = 180’’
22’ = 1320’’22’ = 1320’’
50’ = 3000’’50’ = 3000’’
Para passar de segundos para
minutos, basta dividir por 60.

13. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho
Transforme 2º 30’ 41’’Transforme 2º 30’ 41’’
em segundosem segundos

14. SoluçãoSolução
2º 30’ 41’’ =2º 30’ 41’’ = ______________ segundossegundos
Logo, 2º 30’ 41’’ =Logo, 2º 30’ 41’’ = 9041”9041”
2 x 60 = 120’2 x 60 = 120’
120’ + 30’ = 150’120’ + 30’ = 150’
150’ x 60 = 9000”150’ x 60 = 9000”
9000” + 41” = 9041”9000” + 41” = 9041”

15. Como somamos medidas deComo somamos medidas de
ângulos?ângulos?
DevemosDevemos armar a contaarmar a conta e efetuar os cálculose efetuar os cálculos
((somando segundo com segundo, minuto comsomando segundo com segundo, minuto com
minuto e grau com grauminuto e grau com grau))
Atenção!Atenção!
Quando armamos a conta, devemos colocar asQuando armamos a conta, devemos colocar as
unidades semelhantes na mesma direção.unidades semelhantes na mesma direção.
Exemplo 1:Exemplo 1:
30º 40’ 12’’ + 22º 13’ 7” =30º 40’ 12’’ + 22º 13’ 7” =
30º 40’ 12’’30º 40’ 12’’
+ 22º 13’ 7”+ 22º 13’ 7”
52º 53’ 19”52º 53’ 19”

16. Exemplo 2:Exemplo 2:
11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” =11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” =
Como sempre devemos dar a resposta da formaComo sempre devemos dar a resposta da forma
mais simplificada, faremos:mais simplificada, faremos:
80” =80” = 1’1’ 20”20” 1’1’ + 81’ = 82’+ 81’ = 82’
82’ =82’ = 1º1º 22’22’ 1º1º + 31º = 32º+ 31º = 32º
Logo, 11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” = 32º 22’ 20”Logo, 11º 36’ 30” + 20º 45’ 50” = 32º 22’ 20”
11º 36’ 30”11º 36’ 30”
+ 20º 45’ 50”+ 20º 45’ 50”
31º 81’ 8031º 81’ 80”

17. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho
Calcule:Calcule:
10º 45’ 45” + 20º 20’ 45”10º 45’ 45” + 20º 20’ 45”

18. SoluçãoSolução
30º 65’ 90”30º 65’ 90” 30º 66’ 30”30º 66’ 30” 31º 6’ 30”31º 6’ 30”
10º 45’ 45”10º 45’ 45”
+ 20º 20’ 45”+ 20º 20’ 45”
30º 65’ 90”30º 65’ 90”

19. Como calculamos a diferença entreComo calculamos a diferença entre
as medidas de dois ângulos?as medidas de dois ângulos?
DevemosDevemos armar a contaarmar a conta e efetuar os cálculose efetuar os cálculos
((diminuindo segundo de segundo, minuto dediminuindo segundo de segundo, minuto de
minuto e grau de grauminuto e grau de grau))
Exemplo 1:Exemplo 1:
30º 40’ 12’’ - 22º 13’ 7” =30º 40’ 12’’ - 22º 13’ 7” =
30º 40’ 12’’30º 40’ 12’’
- 22º 13’ 7”- 22º 13’ 7”
8º 27’ 5”8º 27’ 5”

20. Exemplo 2:Exemplo 2:
76º 50’ 8” – 20º 12’ 31” =76º 50’ 8” – 20º 12’ 31” =
Mas o 50 está em
minutos, então
precisamos transformar
esse minuto em
segundos, para somar
com o 8.
Sendo assim, 1’ = 60”
60” + 8” = 68”
76º 50’ 8”76º 50’ 8”
–– 20º 12’ 31”20º 12’ 31”
68”49’
56º 37’ 37”56º 37’ 37”
Como não podemos
tirar 31 de 8, pedimos
emprestado pro 50.

21. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho
Calcule:Calcule:
90º - 9º 2’ 40”90º - 9º 2’ 40”

22. SoluçãoSolução
90º90º 60’ 60”60’ 60”
- 9º 2’ 40”- 9º 2’ 40”
80º 57’ 20”80º 57’ 20”
89 59’

23. Como multiplicamos a medida deComo multiplicamos a medida de
um ângulo por um número natural?um ângulo por um número natural?
DevemosDevemos multiplicarmultiplicar, o grau, o minuto e, o grau, o minuto e
o segundo,o segundo, separadamenteseparadamente..
Exemplo:Exemplo:
(15º 35’ 28”) x 3 =(15º 35’ 28”) x 3 =
15º 35’ 28”15º 35’ 28”
XX 33
45º 105’ 84”45º 105’ 84”

24. Simplificando, temos:Simplificando, temos:
Logo,Logo, (15º 35’ 28”) x 3 = 46º 46’ 24”(15º 35’ 28”) x 3 = 46º 46’ 24”
84” =84” = 1’1’ 24”24” 105’ +105’ + 1’1’ = 106’= 106’
106’ =106’ = 1º1º 46’46’ 45º +45º + 1º1º = 46º= 46º

25. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho
Calcule:Calcule:
12 (50’ 20”)12 (50’ 20”)

26. SoluçãoSolução
Simplificando:Simplificando:
240” = 4’240” = 4’ 600’ + 4’ = 604’600’ + 4’ = 604’ 604’ = 10º 4’604’ = 10º 4’
Logo, 12 (50’ 20”) = 10º 4’Logo, 12 (50’ 20”) = 10º 4’
50’ 20”50’ 20”
X 12X 12
600’ 240”600’ 240”

27. Como dividimos a medida de umComo dividimos a medida de um
ângulo por um número natural?ângulo por um número natural?
Armando a conta eArmando a conta e seguindoseguindo osos passospassos..
1º passo:1º passo: dividirdividir osos grausgraus..
2º passo: se2º passo: se não sobrar restonão sobrar resto,, dividirdividir osos
minutosminutos. Se. Se sobrar restosobrar resto, pular para o, pular para o
passo 3.passo 3.
3º passo:3º passo: multiplicarmultiplicar o resto poro resto por 6060,, somarsomar
aos minutos e dividiraos minutos e dividir. Obs: o mesmo deve. Obs: o mesmo deve
ser feito se sobrar resto nos minutos.ser feito se sobrar resto nos minutos.

28. Exemplo:Exemplo:
27º 22’ 4” : 4 =27º 22’ 4” : 4 =
1º passo:1º passo:
3º passo:3º passo:
427º 22’ 4”
6º3º
27º 22’ 4”
3º 180’
202’
4
6º 50’ 31”
2’ 120’’
124”
0

29. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho
Calcule:Calcule:
5º : 3 =5º : 3 =

30. SoluçãoSolução
5º 3
1º 40’2º 120’
0