Matrizes
Ao final dessa aula você                          saberá:    O que é matriz e suas representações.    Igualdade de matri...
O que é matriz?  É uma tabela de números que pode serrepresentada entre chaves ou entre  colchetes.                     Sã...
Como é a representaçãogenérica de uma matriz?
O que é índice de um              elemento?  É a representação da posição que oelemento ocupa dentro da matriz. Exemplo:  ...
Quando duas matrizes A                 e B são iguais?Quando os elementos de mesmo índice sãocorrespondentes.Exemplo:     ...
Tente fazer sozinho!(PUC-MG)A matriz A = (aij)2x3 é tal que:              3i + j , se i ≠ j       aij =              2i...
Solução       3i + j , se i ≠ j     a11 a12 a13 aij =                                                    a a a     ...
O que é matriz linha?É uma matriz formada por apenas uma linha. Exemplo: A = ( 2 4 3 0 7 )        O que é matriz coluna?É ...
O que é matriz nula?  É uma matriz que apresenta todos oselementos iguais a zero.Exemplos:     0 0 0 0                ...
O que é matriz                    quadrada? É a matriz que apresenta o mesmo númerode linhas e colunas.                   ...
O que é diagonal                        principal? É a diagonal formada pelos elementos aij,sendo i=j de uma matriz quadra...
Tente fazer sozinho!(Ufop-MG) Observe a matriz:               1 2 3                0 x 4                            ...
Solução                  1 2 3                    x 4                   0                                          ...
O que é matriz               diagonal?   É a matriz quadrada na qual todos oselementos que não pertencem a diagonalprincip...
O que é matriz                triangular? É a matriz quadrada na qual os elementos abaixo ou acima da diagonal principal s...
O que é matriz oposta?  É a matriz cujos elementos são osopostos de uma matriz dada.Exemplos:   0 1 − 4       0 −1 4 A...
O que é matriz                 transposta?   É a matriz cujas colunas são iguais àslinhas de uma matriz dada.             ...
Tente fazer sozinho!(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, esomente se, At = A. Se a matriz                2 x2 x  ...
Solução 2 x2 x   2 1         −1               2           1 0 5 − y = x   0 y − 3− 1 y − 3 1   x 5 − y 1 ...
O que é matriz                   identidade?   É a matriz quadrada que apresentatodos os elementos da diagonal principalig...
Como somamos ou               subtraímos matrizes? Basta somar ou subtrair os elementoscorrespondentes. As matrizes devem ...
Como multiplicamos uma          matriz por um número real? Basta multiplicar todos os elementos damatriz por esse número r...
Como o tipo da matriz       influencia na multiplicação            de duas matrizes?Matriz A                Matriz B 4x3  ...
Como efetuamos o                       produto de duas                          matrizes?  Dada uma matriz A = (aij)mxn e ...
Exemplo 1:      3 2                 3 1  A = 5 0 e B =                   6 2       1 4                  ...
Exemplo 2:  2 1    4 2 0C=  e D=         1 3  5 1 3      2.4 + 1.5 2.2 + 1.1 2.0 + 1.3CD =                 ...
Tente fazer sozinho!1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes                            x           1 0  0 1 − 1 ...
Solução               x  1 0  0 1 −   0             1 − 1  1 0 2  y  =0                          ...
x  0 1 −1  0    1 −1 3  y  =0                                         1                       0...
 1 b2) (Fatec-SP) Seja a matriz A =   , tal que                                a 1    − 19 − 8 A =  2     10 − 1...
Solução 1 b   1 b  − 19 − 8 a 1  a 1  =  10 − 19                     1 + ab       2b  − 19 − 8  2a ...
O que é matriz inversa?  É matriz X de ordem n, cujo produto coma matriz A é igual a matriz identidade deordem n.         ...
Exemplo:                2 1    3 − 1              A=  e B=                 5 3   − 5 2                         ...
Tente fazer sozinho!(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a                       0 2matriz inversa de A =       ...
Solução 0 2 a b   1 0 − 1 1   c d  = 0 1                      2c        2d   1 0 − a + c − b + d  ...
Bibliografia  Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto  e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática  – SP. Páginas: 11...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

www.aulasapoio.com - Matemática - Matrizes

298 visualizações

Publicada em

Matemática - VideoAulas Sobre Matrizes – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.aulasapoio.com

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
298
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
6
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
0
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

www.aulasapoio.com - Matemática - Matrizes

  1. 1. Matrizes
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá: O que é matriz e suas representações. Igualdade de matrizes. A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz triangular, matriz oposta, matriz identidade e matriz inversa. O que é diagonal principal e diagonal secundária. Soma, subtração e multiplicação de matrizes.
  3. 3. O que é matriz? É uma tabela de números que pode serrepresentada entre chaves ou entre colchetes. São matrizes com 2 linhas e 3 colunas. Então dizemos que é uma matriz 2 x 3. Exemplos:  1 2 3  1 2 3 A= 4 0 1  ou A = 4 0 1      
  4. 4. Como é a representaçãogenérica de uma matriz?
  5. 5. O que é índice de um elemento? É a representação da posição que oelemento ocupa dentro da matriz. Exemplo:  a11 a12  2 3  A =  = a a   1 0    21 22    O 3 é o elemento a12, ou seja, estána 1ª linha e na 2ª coluna.
  6. 6. Quando duas matrizes A e B são iguais?Quando os elementos de mesmo índice sãocorrespondentes.Exemplo:  a11 a12   b11 b12  A = a a   = B = a b    21 22   21 22  Logo, a11 =b11 , a12 =b12 , a21 = a21 , a22 =b22
  7. 7. Tente fazer sozinho!(PUC-MG)A matriz A = (aij)2x3 é tal que:  3i + j , se i ≠ j aij =  2i − 3 j , se i = jÉ correto afirmar que:  −1 − 5  −1 7     a ) A =  6 7  b) − 5 2   2 9  6 −9      −1 7 5   −1 5 6  c)  6 2 9  d )  7 − 2 9     
  8. 8. Solução  3i + j , se i ≠ j  a11 a12 a13 aij =   a a a   2i − 3 j , se i = j  21 22 23 a11 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1a12 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5a13 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6a21 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7a22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2a23 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9Resposta: D
  9. 9. O que é matriz linha?É uma matriz formada por apenas uma linha. Exemplo: A = ( 2 4 3 0 7 ) O que é matriz coluna?É uma matriz formada por apenas uma coluna. 2  Exemplo:   B =0  9   
  10. 10. O que é matriz nula? É uma matriz que apresenta todos oselementos iguais a zero.Exemplos: 0 0 0 0   0 0 0  C = 0 0 0 0 D=  0 0 0 0 0 0 0   
  11. 11. O que é matriz quadrada? É a matriz que apresenta o mesmo númerode linhas e colunas. Dizemos que a matriz A é de ordem 3 e que a matriz B é Exemplos: de ordem 2. 2 4 3    0 1 A =0 4 1  B = 9 4   3 0 7      Matriz 3 x 3 Matriz 2 x 2
  12. 12. O que é diagonal principal? É a diagonal formada pelos elementos aij,sendo i=j de uma matriz quadrada. diagonal secundária diagonal principal
  13. 13. Tente fazer sozinho!(Ufop-MG) Observe a matriz: 1 2 3  0 x 4    0 0 y    Chama-se traço de uma matriz a soma doselementos de sua diagonal principal. Determinex e y na matriz acima de tal forma que seutraço valha 9 e x seja o triplo de y.
  14. 14. Solução 1 2 3   x 4 0    0 y 0 x = 3y1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2x = 3.2  x = 6
  15. 15. O que é matriz diagonal? É a matriz quadrada na qual todos oselementos que não pertencem a diagonalprincipal são iguais a zero. A diagonalprincipal deve apresentar pelo menos umelemento diferente de zero.Exemplos: 2 0 0    A =0 1 0  0 0 7   
  16. 16. O que é matriz triangular? É a matriz quadrada na qual os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são iguais a zero. Exemplos: 2 0 0 0  2 2 4      5 1 0 0  2 7 B =0 1 3  C = 0170  D =0 1    0 0 7        9 3 7 6   
  17. 17. O que é matriz oposta? É a matriz cujos elementos são osopostos de uma matriz dada.Exemplos:  0 1 − 4 0 −1 4 A=  − A = 2 − 3 − 7  − 2 3 7     −1 8  1 − 8 B=  −B=  − 2 5  2 − 5
  18. 18. O que é matriz transposta? É a matriz cujas colunas são iguais àslinhas de uma matriz dada.  0 − 2Exemplo:  0 1 − 4 t   A=  A =  1 3 − 2 3 7  − 4 7    Note que o número de linhas de A é o número de colunas de At. O mesmo acontece com o número de colunas A é 3x2 e At=2x3
  19. 19. Tente fazer sozinho!(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, esomente se, At = A. Se a matriz  2 x2 x    A =  1 0 5 − y − 1 y − 3 1    x+ yÉ simétrica, então o valor de é: 3a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0
  20. 20. Solução 2 x2 x   2 1 −1    2  1 0 5 − y = x 0 y − 3− 1 y − 3 1   x 5 − y 1     x 2 = 1 ⇒ x = ±1x = −15 − y = y − 3 ⇒ −2 y = −8 ⇒ y = 4x + y −1+ 4 3 = = =1 3 3 3Resposta: letra c
  21. 21. O que é matriz identidade? É a matriz quadrada que apresentatodos os elementos da diagonal principaliguais a 1 e os outros elementos iguais azero.Exemplo: 1 0 0    1 0  I 3 = 0 1 0  I 2 = 0 1   0 0 1     
  22. 22. Como somamos ou subtraímos matrizes? Basta somar ou subtrair os elementoscorrespondentes. As matrizes devem ser do mesmo tipo (m x n).Exemplos:  1 5 4   − 4 0 − 1  − 3 5 3  a )  3 0 − 1 +  2 − 3 6  =  5 − 3 5              9   − 1 10        b) 8  −  5  =  3  7  3   4       
  23. 23. Como multiplicamos uma matriz por um número real? Basta multiplicar todos os elementos damatriz por esse número real.Exemplo: 2  5   − 6 −15      − 3 1 −1 =  − 3 3 − 2 0   6 0   
  24. 24. Como o tipo da matriz influencia na multiplicação de duas matrizes?Matriz A Matriz B 4x3 3x2 Devem ser iguais O resultado é do tipo 4 x 2
  25. 25. Como efetuamos o produto de duas matrizes? Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matrizB = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp,onde o elemento cij é calculado multiplicandoordenadamente os elementos da linha i, damatriz A, pelos elementos da coluna j, damatriz B, e somando os produtos obtidos.
  26. 26. Exemplo 1: 3 2    3 1 A = 5 0 e B =  6 2  1 4      3.3 + 2.6 3.1 + 2.2   21 7     AB =  5.3 + 0.6 5.1 + 0.2  =  15 5   1.3 + 4.6 1.1 + 4.2   27 9     
  27. 27. Exemplo 2: 2 1   4 2 0C=  e D=   1 3 5 1 3  2.4 + 1.5 2.2 + 1.1 2.0 + 1.3CD =   1.4 + 3.5 1.2 + 3.1 1.0 + 3.3  13 5 3CD =   19 5 9
  28. 28. Tente fazer sozinho!1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes x  1 0  0 1 − 1    − 1 1  1 0 2  y      1   é a matriz nula, x + y é igual a:a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2
  29. 29. Solução x  1 0  0 1 −   0   1 − 1  1 0 2  y  =0       1   1       1 0 0 1 −1 0 1 −1−1 1  1 0 2  = 1 −1 3         
  30. 30. x  0 1 −1  0    1 −1 3  y  =0      1       0.x +1. y +1.( −1)   0   1.x + ( −1). y + 3.1 =  0          0 + y −1   0    x − y + 3 = 0         y −1 = 0 ⇒ y = 1 x − y + 3 = 0 ⇒ x − 1 + 3 = 0 ⇒ x = −2 x + y = −2 + 1 = −1Letra C.
  31. 31.  1 b2) (Fatec-SP) Seja a matriz A =   , tal que a 1  − 19 − 8 A = 2  10 − 19 . É verdade que a+b é igual a: a) 0b) 1c) 9d) -1e) -9
  32. 32. Solução 1 b   1 b  − 19 − 8 a 1  a 1  =  10 − 19    1 + ab 2b  − 19 − 8  2a ab + 1 =  10 − 19   2b = −8 ⇒ b = −4ab + 1 = −19 ⇒ −4a = −20 ⇒ a = 5 Resposta: Letra Ba + b = −4 + 5 = 1
  33. 33. O que é matriz inversa? É matriz X de ordem n, cujo produto coma matriz A é igual a matriz identidade deordem n. A matriz inversa de A É indicada por A-1.Ou seja, A.X = X.A = In, onde X = A-1
  34. 34. Exemplo: 2 1  3 − 1 A=  e B=  5 3  − 5 2       2 1  3 − 1 AB =    5 3  − 5 2       2.3 + 1.( − 5) 2.( − 1) + 1.2 AB =   5.3 + 3.( − 5)   5.( − 1) + 3.2    1 0AB =   0 1    Logo, B = A-1
  35. 35. Tente fazer sozinho!(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a  0 2matriz inversa de A =   , então: − 1 1 a) b11 = - ½b) b12 = -1c) b21 = 1d) b22 = -1e) b22 = - ½
  36. 36. Solução 0 2 a b   1 0 − 1 1   c d  = 0 1      2c 2d   1 0 − a + c − b + d  = 0 1  Resposta:    Letra B 12c = 1 ⇒ c = 22d = 0 ⇒ d = 0 1 1− a + c = 0 ⇒ −a + = 0 ⇒ a = 2 2− b + d = 1 ⇒ −b + 0 = 1 ⇒ b = −1
  37. 37. Bibliografia Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 118 a 145. Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 287 a 302. Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.

×