O documento apresenta as principais notações e propriedades dos conjuntos numéricos. Define os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais e sua relação na formação dos números reais. Apresenta também as operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão nesses conjuntos, assim como propriedades como comutatividade, associatividade e distribuição. Por fim, inclui exercícios de aplicação desses conceitos.

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
NOTAÇÕES BÁSICAS
a, b, ... : Variáveis e parâmetros
A, B, ... : Conjuntos
∈ : Pertence
∉ : Não pertence
⊂ : Está contido
⊄ : Não está contido
⊃ : Contém
⊃ : Não contém
∃ : Existe
∃ : Não existe
∃| : Existe apenas um / existe um único
| : Tal que
∀ : Todo, qualquer
⇒ : Implica (se então)
⇔ : Equivale (se e somente se)
∪ : União de conjuntos
∩ : Intersecção de conjuntos
∅ : Conjunto vazio
∨ : ou
∧ :e
~ : Negação
> : Maior que
< : Menor que
≥ : Maior ou igual a
≤ : Menor ou igual a

2. Propriedades das desigualdades:
a) Se a > b, b > c ⇒ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
b) Seja a > b :
• Se c >0 ⇒ a . c > b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
• Se c < 0 ⇒ a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2
c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ R
d) a > b , c > d ⇒ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4
e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a . c > b. d
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem,
independentemente do sentido.
 a , se a ≥ 0
a =
− a , se a < 0
Propriedades do Valor Absoluto
• a ≥0 e a =0 ⇔ a =0
2
• a2 = a
• a2 = a
• a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b
•  a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b ou
• | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b
• Se a, b ∈ R ⇒ | a . b | = | a | . | b |
a a
• Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒ =
b b
• Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a | + | b | (Desigualdade Triangular)
• Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b |
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Introdução
Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais.
Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas.

3. O conjunto dos números naturais – símbolo N – é formado pelos números 0,1,2,...
N = { 0,1,2,3,...}.
O conjunto dos números inteiros – símbolo Z – é formado pelos números naturais
acrescido dos números - 1,-2,-3,... .
Z = { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}
O conjunto dos números racionais – símbolo Q – é formado pelos números na forma a/b,
onde a e b são inteiros com b ≠ 0.
1 1
Q = { .....,-3,-2,-1, − ,0, ,1,2,3,....}
2 2
Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples:
a 
Q =  | a ∈ Z e b ∈ Z *
b 
O conjunto dos números irracionais – símbolo I – é formado pelos números cuja
representação decimal infinita não é periódica. Ex:
2 = 1,4142136...
3 = 1,7320508...
π = 3,1415926...
O conjunto dos números reais – símbolo R – é formado pelos números racionais e
pelos números irracionais.
R = Q U I , sendo Q I I = ∅
Regras Básicas
Em R estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação, que a cada par ordenado
(a,b) de números reais associa um único número real, a+b e a . b respectivamente
Na reta real os números estão ordenados. Um número a é menor que qualquer número x
colocado à sua direita e maior que qualquer x à sua esquerda.
As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:
• Propriedade comutativa
Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se:
a +b=b+a a. b=b. a
• Propriedade associativa
Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se
(a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc)

4. • Elemento Neutro
Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para
qualquer número real a, tem-se:
a+0=a a.1=a
• Elemento oposto e elemento inverso
Existem únicos números reais, indicados
1
a ( chamado oposto) e ( a ≠ 0) (chamado inverso), tal que
a
1
a + (-a) = 0 a. =1
a
• Propriedade distributiva
Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se
a (b + c ) = ab + ac (b + c) a = ba + ca
Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados:
Cancelamento se a + b = a + c então b = c
se ab = ac e a ?0 então b = c
Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a R
para quaisquer a e b de R, se ab = 0, então a = 0, ou b = 0.
Regras de sinal para quaisquer a e b de R
-( -a) = a
(-a)b = - (ab) = a(-b)
(-a)(-b) = ab
Subtração
A diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e b
reais.
A regra dos sinais nos diz:
– ( a + b) = – a – b
Divisão
b
O quociente de b por a, onde a ≠ 0, indicado por , onde b é o numerador e a o
a
denominador. Também é chamado fração b / a .

5. É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO
Soma de frações:
a b a ±b
± = (c ≠ 0)
c c c
a c ad ± bc
± = (b ≠ 0, d ≠ 0)
b d bd
Produto de frações:
a c ac
⋅ = (b ≠ 0, d ≠ 0)
b d bd
Quociente de frações:
a
b = a ⋅ d (b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0)
c b c
d
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São
Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000.
EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS
1) Quais das proposições são verdadeiras?
a) 3 R e) 4 ∈R
b) N ⊂ R
f) 3 R
c) Z ⊂ R
1
d) ∈R
2
2) Complete, usando as propriedades especificadas:
a) 32 . 45 = (comutativa)
b) 5(2 +3 ) = (distributiva)
c) 7 + 0 = (elemento neutro)
1
d) 3 . = (elemento inverso)
3

6. 3) Efetue:
a) (-4)(-3)=..........
b) (2)(-4)(3) =..............
c) (-3)6 =...............
4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real:
( ) – (– a + 3) = a + 3
( ) – (1 – a) = –1 + a
( ) –2 – a = – (2 + a)
5) Efetue:
1 7 8 4 −2
a) + = e) ⋅ =
3 3 5 3 h) 3 =
2
2 3  1  6
b) − = f) −  ⋅ −  = 7
5 7  3  8
a a
2 1 12 i) − , com bcd ?
c) -2 + = bc cd
3 4
g) 10 = 0
2 3 1 3
d) − + = 8
3 4 5
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS
INTRODUÇÃO:
1)a) V b) V c) V d) V e) V f) V
PROPRIEDADES
2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1
EFETUE
3) a) 12 b) – 24 c) – 18
REGRA DE SINAL
4) a) F b) V c) V
EFETUE
8 40 − 45 + 12 52 − 45 7 12 3 12 8 16
5) a) d) = = g) ÷ = . =
3 60 60 60 10 8 10 3 5
14 − 15 1 32 2 2 2 7 7
b) =− e) h) − ÷ =− . =−
35 35 15 3 7 3 2 3
8 1 −32 + 3 29 1 ad − ab a (d − b )
c) − + = =− f) i) =
3 4 12 12 4 bcd bcd