O documento discute os conceitos básicos de polinômios, incluindo elementos de um monômio, monômios semelhantes, binômios, trinômios, polinômios completos e operações com polinômios como adição e multiplicação. Também aborda divisão de polinômios usando os métodos de Descartes e Briot-Ruffini.

1. POLINÔMIOS
ISABELA COELHO MALAQUIAS

2. ELEMENTOS DE UM MONÔMIO
𝑎. 𝑥 𝑛
“a” = Coeficiente
“x” = Variável
𝑥 𝑛
= Parte Literal
n = Grau

3. MONÔMIOS
• Um monômio é o produto de uma constante não nula por uma
variável.
• Obs: o grau de um monômio deve ser um número natural.
• Exemplos de Monômios: 2𝑥3
, 9x, 3𝑥4
, 8𝑥2
• ATENÇÃO!: Todo número diferente de zero é um monômio. O
número 4 é um monômio tendo a parte literal 𝑥0
, pois qualquer
coisa elevado a zero é 1. Sendo assim, o número 4 é um monômio
de grau zero.

4. MONÔMIOS SEMELHANTES
• Monômios são semelhantes quando possuem a mesma parte literal.
7𝑥4
e 2𝑥4
possuem a parte literal 𝑥4
e portanto, são semelhantes.
. Quando os monômios são semelhantes, pode-se fazer o agrupamento
desses termos.
7𝑥4
+ 2𝑥4
= 9𝑥4
(soma-se os coeficientes e mantém-se a parte literal)

5. BINÔMIOS
• Expressões formadas por dois monômios não semelhantes, ou seja, que
não possuem a mesma parte literal e portanto, não é possível reduzi –
los
7𝑥4
+ 2𝑥3
= Binômio do 4º grau
6𝑥3
+ 3𝑥2
= Binômio do 3º grau
5𝑥5
+ 4𝑥4
= Binômio do 5º grau
O grau do binômio será sempre o maior grau entre os monômios.

6. TRINÔMIOS
• Expressão formada por três monômios não semelhantes.
2𝑦4
+ 3𝑦3
+ 𝑦2
= Trinômio do 4º grau
3𝑡3
+ 5𝑡2
+ 6𝑡 = Trinômio do 3º grau
O grau do trinômio sempre será sempre o maior grau entre os
monômios.

7. POLINÔMIOS
• Um polinômio é um monômio ou a soma algébrica de monômios não
semelhantes. Ou seja:
• Binômio = Um polinômio com dois monômios não semelhantes.
• Trinômio = Um polinômio com três monômios não semelhantes.
• Todos os binômios e trinômios são polinômios mas nem todo
polinômio é um binômio ou trinômio!
• Cada um dos monômios de um polinômio é chamado de termo.

8. POLINÔMIO COMPLETO
• 𝑎𝑥 𝑛
+ 𝑎𝑥 𝑛−1
+ 𝑎𝑥 𝑛−2
+ 𝑎𝑥 𝑛−3
.....K
• Um polinômio é completo quando aparece todas as potências da variável
menor que o grau, ou seja, potência decresce de “n” até zero.
• Exemplo: 2𝑥4
+ 3𝑥3
+ 5𝑥2
+ 4𝑥 + 7
• Observe que o grau do polinômio é 4, o próximo termo terá grau 4-1 = 3, o
próximo terá 4-2= 2, o próximo terá 4-3 = 1 e o próximo 4-4 = 0 (cuidado!,
nem sempre aparecerá na ordem)
• O valor de “a” deve ser diferente de zero pois esse termo é quem define o
grau do polinômio (porque é o maior grau), sendo assim, se o “a” for zero
o termo 𝑎𝑥 𝑛
será excluído e o polinômio não será do grau “n”

9. IGUALDADE DE POLINÔMIOS
• Os polinômios serão iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.
• Exemplo:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + c e 𝑥2
- 4𝑥 + 1
O “a” é quem está com o 𝑥2
, logo pra ser igual ao outro polinômio o “a” deve
ser 1, já o “b” é quem está com o x, logo pra ser igual ao outro polinômio o “b”
deve ser - 4, já o “c” é o termo independente, logo pra ser igual ao outro
polinômio o “c” deve ser 1

10. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
A(x) = 4𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 + 5 B(x) = 3𝑥2
+ 5𝑥 + 6
A(x) + B(x)
4𝑥3
+ 2𝑥2
+ 3𝑥 + 5 + 3𝑥2
+ 5𝑥 + 6
4𝑥3
+ 5𝑥2
+ 8𝑥 + 11
Para realizar operações com polinômios deve-se agrupar os termos
semelhantes (com a mesma parte literal)

11. OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
A(x) = (x + 1) B(x) = (x – 4)
Multiplicar o x pelo x e pelo – 4 depois multiplicar o 1 pelo x e pelo -4.
Depois disso, agrupar os termos semelhantes.
A(x) x B(x)
𝑥2
- 4x + x – 4
𝑥2
- 3x - 4

12. REPRESENTAÇÃO DE POLINÔMIOS (exemplos)
• 1º grau = ax + b
• 2º grau = ax² + 𝑏𝑥 + c
• 3º grau = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ c𝑥 + d

13. DIVISÃO DE POLINÔMIOS - DESCARTES
• 1º = Saber o grau do quociente (diminuir o grau do dividendo pelo grau do
divisor) e representar esse polinômio.
• 2º = Saber o grau máximo do resto (sempre é 1 a menos que o grau do
divisor) e representar esse polinômio.
• 3º = Multiplicar o divisor pelo quociente e somar com o resto.
• 4º = Agrupar os termos semelhantes e colocar em evidência.
• 5º = Realizar a igualdade de polinômios (a multiplicação do divisor pelo
quociente somada com o resto deve ser igual ao dividendo).
• 6º = Montar as expressões do quociente e do divisor a partir dos valores
dos coeficientes obtidos.
ATENÇÃO = DEVE-SE USAR LETRAS DIFERENTES PARA REPRESENTAR O
POLINÔMIO DO QUOCIENTE E DO RESTO

14. EXEMPLO
• 3𝑥3 - 4𝑥2 - 2𝑥 + 4 / 𝑥2 + 2
-Dividendo = 3𝑥3 - 4𝑥2 - 2𝑥 + 4 = P(x)
-Divisor = 𝑥2 + 2
-Quociente = será do 1º grau (3-2 = 1) ----- ax + b
-Resto = O máximo possível pode ser do 1º grau (2-1 = 1) ---- cx + d
P(x) = (𝑥2 + 2) x (ax + b) + (cx + d)
P(x) = 𝑎3 + 𝑏𝑥2 + 2ax + 2b + cx + d
𝑎3 + 𝑏𝑥2 + (2a + c)x + (2b + d) = 3𝑥3 - 4𝑥2 - 2𝑥 + 4
a = 3 ; b = - 4 ; 2a + c = -2 ---- 2(3) + c = - 2 ---- c = -8 ; 2b + d = 4 ---- 2(-4) + d = 4
d= 12
Quociente = 3x -4 ; Resto = -8x + 12

15. DIVISÃO DE POLINÔMIOS - CHAVE
• 1º = Dividir o termo que contém o grau do dividendo pelo termo que
contém o grau do divisor. O resultado dessa divisão será o primeiro
termo do quociente.
• 2º = Multiplicar o 1º termo do quociente pelos termos do divisor e
diminuir do dividendo
• 3º = Dessa subtração sairá outro polinômio, desse polinômio deve-se
dividir o termo que contém o grau pelo termo que contém o grau do
divisor.
• 4º = Continuar fazendo a mesma coisa até gerar o maior grau de resto
possível que o divisor pode ter.

16. EXEMPLO
Quociente = 𝒙 𝟐
- 4x - 9
Resto = -6

17. DIVISÃO DE POLINÔMIOS – BRIOT RUFFINI
• 1º = Descobrir a raíz do divisor (ex: x-1 --- x -1 = 0 ---- x =1)
• 2º = Abaixar os coeficientes do dividendo e colocar a raíz em 1º
• 3º = Repetir o primeiro coeficiente (colocar embaixo), multiplicá-lo pela
raiz e somá-lo com o segundo coeficiente (colocar o resultado
embaixo)
• 4º = Repetir isso com os outros coeficientes
• 5º = O último número que sobrar será o resto.
• 6º = Saber qual será o grau do quociente e a partir dos resultados
obtidos montar a expressão.

18. EXEMPLO

19. RESTO DA DIVISÃO DE POLINÔMIOS
• Em uma divisão de polinômios, o grau máximo do resto sempre terá 1
grau a menos que o grau do divisor. Porém, não consegue-se saber
com certeza antes de dividir qual será o grau do resto, apenas o grau
máximo.
• Por exemplo: Se o divisor for do grau 2, o grau máximo do resto será 1,
ou seja, o resto pode ser do 1º grau, pode ser de grau zero ou pode
ser de grau indefinido.

20. OUTRA DICA
• O grau do dividendo sempre será maior que o grau do divisor.
• Dividendo: 𝑥2
+ 3x - 4 Divisor: 𝑥4
+ 3𝑥3
+ 2𝑥2
+ 7x − 5
𝑥2
/ 𝑥4
= 𝑥−2
(isso não pode acontecer pois sempre o grau deve
ser um número natural)