Conjuntos numéricos

ESCOLA NORMAL 2 DE JULHO
PROFº ROBSON NASCIMENTO 7ª SÉRIE 2012
hobbyrjn123.blogspot.com.br

CONJUNTOS NUMÉRICOS - RESUMO

Conjunto dos números naturais (IN)

IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN*={1, 2, 3, 4, 5,...}  o zero foi excluído do conjunto IN.
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o
gráfico abaixo:

Conjunto dos números inteiros (Z)

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
O conjunto IN é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z+=IN.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico
abaixo:

1

Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o
numerador e denominador Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto
dos números inteiros com as frações positivas e negativas.

Exemplos:

5 3 3
Então : -2, , 1, , 1, , por exemplo,são números racionais.
4 5 2

3 6 9
a) 3
1 2 3
1 2 3
b) 1
1 2 3

Assim, podemos escrever:

a
Q {x | x , com a Z, b Z e b 0}
b

É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que se obtém
dividindo a a por b.
b

Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
1 5 75
0,5 1,25 3,75
2 4 20

Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
1 6 7
0,333... 0,8571428571 ...
42 1,1666...
3 7 6

Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.

2

Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem
ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos
a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

Um número irracional bastante conhecido é o número =3,1415926535...
2 1,4142135...
3 1,7320508...

Conjunto dos números reais (IR)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos
números reais como:

IR=Q {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como
subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs.: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:
Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

3


1ª LISTA DE EXERCÍCIOS

QUESTÃO 01 – Qual a diferença entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números
inteiros? Exemplifique.

QUESTÃO 02 – Pesquise na internet, o porquê ou as curiosidades de cada símbolo que representa os
conjuntos numéricos. Exemplo: Por que os números naturais são representados por IN? E assim por
diante.

QUESTÃO 03 – Transcreva todos os números do QUADRO 1 para o QUADRO 2, obedecendo a
organização de cada conjunto.

QUADRO 1
-33 π 21 2 -0,01
12% 0,333... 1 -7/9 +1
100 0,1 +1,23 0, 00000000001 +1000
0 12 3,012 -78 22,232323...
-100 0,5 0,5555... 1/ 4 -0,121212...
25 1/2 10¹ 56 10/100
1 2 -159 10000000000,0 ( 64)
123 -789 -23 16 -100/-100
-1,2 1,000000 144 -2,4444... -x
-2 -10% 14 3,141592... 1

QUADRO 2
NATURAIS INTEIROS RACIONAIS IRRACIONAIS REAIS

4


QUESTÃO 03 – Escreva os números racionais a seguir de dois modos diferentes.

5 5 1 20 25 11
a) b) c) d) e) f)
4 10 11 60 20 22

QUESTÃO 05 – Represente por uma fração os seguintes quocientes:
a) (-55) : (-8) =
b) (+52) : (8) =
c) (-10) : (7) =
d) (-17) : (+4) =
e) (+9) : (-6) =
f) (-12) : (+4) =
g) (20) : (-30) =
h) (+91) : (-2) =

QUESTÃO 06 – Transforme em números decimais as seguintes frações, indicando entre quais
números inteiros elas se localizam e dê um referencial (sua posição entre os números inteiros).

5 7 10 3 9 15 9
a) b) c) d) e) f) g)
2 2 4 2 2 2 2

7
QUESTÃO 07 – Para marcar o número , primeiro devemos escrevê-lo na forma de um numeral
2
1
misto, 3 . Então dividimos o segmento de extremos 3 e 4 em duas partes , contamos uma parte do 3
2
7
para a direita, e marcamos .
2

Baseando-se nesse exemplo localize na reta numérica as frações racionais a seguir.

5 7 10 3 9 15 9
a) b) c) d) e) f) g)
2 2 4 2 2 2 2

OBS.: A fração na forma mista é obtida apenas quando se tem uma fração, cujo numerador, é maior que o
denominador.

5


QUESTÃO 08 – Compare as frações:

7 8 Nota: Comparando números racionais que estejam na forma de fração.
a) .......
5 3 - As frações que tiverem denominadores diferentes, basta transformá-las em
frações equivalentes com denominadores iguais. Assim, em seguida,
2 compare os numeradores.
b) 3.......
7 3 5
1 1 7 21 8 40
c) ....... Ex.: a) 3
e 5
4 3 5 15 3 15
8 8 Note que agora seus denominadores são iguais, basta comparar os
d ) .......
3 9 7 8
6 7 numeradores. Veja 21 < 40, portanto .
e) ....... 5 3
4 5 OBS.: Vale lembrar que esse cálculo é válido quando temos dois números
7 8 racionais de sinais iguais, ou seja, positivos ou negativos, caso contrário fica
f) ....... fácil perceber quando os sinais forem opostos. Por exemplo itens e) e f).
27 3

QUESTÃO 09 – A matemática e o peso ideal. O índice de massa corpórea (IMC) é calculado da
seguinte forma. Divide-se a massa (peso), em quilogramas, pela a altura (em metros) ao quadrado.
Escreva a fração que generaliza esse cálculo e suas devidas condições para que seu algoritmo seja
verdadeiro, em seguida calcule seu IMC. Veja a tabela abaixo as situações.

IMC CONCLUSÃO
Abaixo de 19 Muito magro
De 19 a 25 Normal
De 25 a 30 Sobrepeso
De 30 a 40 Obesidade
Acima de 40 Obesidade grave

QUESTÃO 10 – Calcule:
1
a )0, 777...
2
1
b)1, 222...
6
1
c)0, 777...
2
1 2
d ) 0, 222... :
3 3

6


QUESTÃO 11 – Encontre a fração geratriz de cada dízima periódica a seguir.

a) 0,3737... = d) -3,222... = g) 0,5656... =
b) -0,888... = e) -1,2121... = h) 1,4343... =
c) 0,555... = f) 0,0505... = i) 2,0101... =

QUESTÃO 12 – Encontre a fração geratriz que represente a dízima 0,999... Após seus cálculos, o que
você percebeu? Justifique seus cálculos.

QUESTÃO 13 – Porcentagem: Também representa um número racional. Por quê? Porque
20 20 1
20% Q . Lembrando os conceitos de débito (-) e crédito (+), pesquise o que é o título de
100 20 5
uma determinada empresa e representes as seguintes situações:

a) O título de uma determinada empresa valorizou 10%.
b) O título de uma determinada empresa desvalorizou 10%.
c) A Bolsa de Valores de São Paulo fechou em alta de 12%.
d) a Bolsa de Valores do Rio de Janeiro fechou em baixa de 5%.

“Porque eu fazia do amor um cálculo matemático errado: pensava que, somando as compreensões, eu
amava. Não sabia que, somando as incompreensões é que se ama verdadeiramente. Porque eu, só por ter
tido carinho, pensei que amar é fácil.” Clarice Lispector

As listas de exercícios serão entregues no final de cada unidade. Ou ainda de acordo com o decorrer dos conteúdos
ministrados em sala de aula. O prazo de entrega das listas será antes do término de cada unidades. Avisarei com
antecedência, caso haja mudança de datas.

“Obs.: A lista de exercícios acima tem 13 questões das quais escolham 10 para ser entregue.”

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