Este documento fornece uma introdução aos principais conceitos de matemática, incluindo números inteiros, racionais e reais, medidas, razões e porcentagens. Ele define cada conjunto numérico e explica suas relações, além de apresentar o sistema legal de medidas e unidades para comprimento e área.

1. CONHECIMENTOS DE
MATEMÁTICA
ÍNDICE
1. Números inteiros, racionais e reais.
2. Sistema legal de medidas.
3. Razões e proporções.
4. Regras de três simples e composta.
5. Porcentagens.
6. Funções e gráficos.
7. Seqüências numéricas.
8. Progressões aritméticas e geométricas.
9. Juros simples e compostos
3

2. .
.
1. NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS
1.1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
No dia-a-dia, utilizamo-nos de conceitos matemáticos sem mesmo perceber.
Sempre que podemos contar as unidades de um conjunto de coisas, por
exemplo, quando contamos o dinheiro que temos na carteira, ou o número de
gols que o centroavante de nosso time marcou no último campeonato, ou
ainda o número de votos que o Presidente Lula recebeu nas últimas eleições,
obtemos como resposta um resultado que denomina-se número natural.
Portanto, qualquer número que seja resultado ou conseqüência de uma
contagem de unidades é denominado de número natural e é representado
por N.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Um subconjunto importante de N é o conjunto N*:
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}
Como podemos ver, o zero foi excluído do conjunto N.
Podemos visualizar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma
reta, como mostrado abaixo:
Dentro do conjunto dos números naturais podemos afirmar que todas as
operações envolvendo adição (+) e multiplicação (x) SEMPRE dará como
resultado outro número natural.
Já não podemos dizer o mesmo quanto às operações inversas da adição – a
subtração ( — ), e da multiplicação – a divisão ( ÷ ), pois nem sempre
podemos representar a diferença entre dois números naturais por outro
número natural, o mesmo acontecendo com a divisão. Por exemplo, a
diferença 5 – 8 ou a divisão 7 ÷ 5.
4

3. .
.
Por este motivo, foi criado um novo conjunto numérico, chamado de números
inteiros e indicado por
Z, para se expressar o resultado de algumas
subtrações.
1.2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
No nosso exemplo anterior vimos que dentro do conjunto dos números
naturais a diferença 5 – 8 não podia ser representada por um número
natural. Já no conjunto dos números inteiros esta diferença pode ser
expressada, pois o resultado ( -3 ) é um número inteiro.
Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2,...} 3,...}
O conjunto N é subconjunto de Z, ou seja, está contido em Z.
Outros subconjuntos de Z:
Z* = Z- {0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
Observe que
Z+= N.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme
mostra o gráfico abaixo:
5

4. .
.
Da mesma maneira que foi criado o conjunto dos números inteiros para que
pudéssemos expressar o resultado de algumas subtrações ou diferenças
numéricas, o mesmo ocorreu quanto à impossibilidade de expressar o
resultado de uma divisão de dois números inteiros. Assim, foi criado o
conjunto dos números racionais, que é indicado por Q.
1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma
de fração (com o numerador e denominador pertencentes ao conjunto dos
números inteiros). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do
conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
333
577
33
3
55
5
4
,
2
,
9
p
o
r
e
x
e
m
p
l
o
,
s
ã
o
n
ú
m
e
r
o
s
Demonstrando:
a) os números inteiros -6; 0; -9; 4 são números racionais, pois podem ser
escritos como:
racionai
s.

5. −6
;
1
;
0
4
12−18
;
32
b) uma decimal exata finita como 0,6 ou 4,8 também é considerada uma
número racional, pois pode ser escrita em forma de fração:
6

6. .
.
3
e
24
5
respectivamente
5
Assim, podemos escrever:
0}Q = {x | x =
b
a
Onde podemos ler:
“O conjunto dos números racionais ( Q ) é composto por todo e qualquer
número (x) tal que (|) este número (x) seja resultado de uma divisão de um
número inteiro (a Є Z), numerador (a), por outro número inteiro (a Є Z),
denominador (b), desde que o denominador (b) seja diferente de zero.”
É interessante considerar a representação decimal de um número racional ,
obtém dividindo a por b.
que se
a
b
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
1
=0
5,
2
−
5
= − ,1
25
4
75
20
= 3 75,
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
1
=0
333,
3
...
6
=0
42...
7
8571
= 11
4285
...
666,
6
71,
7
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número
racional.

8. .
.
1.4. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (Q’)
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os
números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois
inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2
e a raiz quadrada de 3:
,1
4142135...
3=1
7320
508,
...
Um número irracional bastante conhecido é o número
(Pi)
π=3,1415926535...
1.5. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
Chama-se número real todo número racional ou irracional e representa-se por
R
R= Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
ATENÇÃO 
As relações entre os conjuntos numéricos apresentados podem ser resumidas
pelo diagrama a seguir:
8

9. .
.
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos
números REAIS. Como subconjuntos importantes de R temos:
R* = IR - {0}
R+ = conjunto dos números reais não negativos
R_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por
exemplo:
Entre os números 0 e 1 existem infinitos números reais:
0,01 ; 0,003 ; 0,0009 ; 0,12 ; 0,35 ; 0,81 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ...
Entre os números 8 e 9 existem infinitos números reais:
8,01 ; 8,02 ; 8,05 ; 8,1 ; 8,2 ; 8,5 ; 8,99 ; 8,999 ; 8,9999 ...
1.6. NÚMEROS FRACIONÁRIOS
a
O símbolo
zero.
Chamamos:
b
significa a ÷ b, sendo a e b números naturais e b diferente de

10. .
.
a
b
de fração;
a de numerador;
b de denominador.
a
Se a é múltiplo de b, então
b
é um número natural.
Veja um exemplo:
6
A fração
3
é igual a 6 ÷ 3. Neste caso, 6 é o numerador e 3 é o
denominador. Efetuando a divisão de 6 por 3, obtemos o quociente 2. Assim,
6
3
é um número natural e 6 é múltiplo de 3.
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e
usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam
ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número
fracionário.
O significado de uma fração
a
Por vezes, a expressão ou fração
b
é um número natural. Outras vezes,
a
isso não acontece. Então, qual é o significado de
b
?
Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre
essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
Exemplo:
Gabriel adora pizza. Por telefone, pediu uma pizza de mussarela. Conseguiu,
sozinho, comer 3/4 da pizza. Como sabemos geralmente a pizza é dividida
em 8 pedaços. Se Gabriel comeu 3/4 da pizza, então ele comeu 6 pedaços.
10

11. Na figura acima, as partes pintadas de amarelo seriam as partes comidas por
Gabriel, e as partes verde são as partes que sobraram da pizza.
Leitura de uma Fração
As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...
Frações equivalentes
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo:
são equivalentes
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o
denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Simplificação de frações
Uma fração equivalente a
, com termos menores, é
dividindo-se ambos os termos da fração
fração
é uma fração simplificada de
. A fração
foi obtida
pelo fator comum 3. Dizemos que a
.
A fração
não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível.
A fração
comum.
não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator

12. Números fracionários
Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença
abaixo verdadeira?
3*X=1
Substituindo X, temos:
X por 0 temos: 3 * 0 = 0
X por 1 temos: 3 * 1 = 3.
Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o
produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números.
Assim, surgem os números fracionários.
“Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.”
a
Portanto, uma fração
b
(b diferente de zero) e todas frações equivalentes a
ela representam o mesmo número fracionário
a
b
.
Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que
1
3*
3
1
X =
3
,
pois
= 1.
2. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
2.1. MEDIDA E UNIDADE DE MEDIDA
Medir uma grandeza significa compará-la com outra grandeza de mesma
espécie, que doravante denominaremos de unidade ou padrão, e verificar
quantas vezes esta grandeza cabe na grandeza a ser medida.
Metro Linear
Os povos antigos utilizaram durante muito tempo partes de seu corpo para
medir comprimento, o que gerou muita confusão devido a pés e mãos serem
de tamanhos diferentes.
Para resolver esta confusão, cientistas franceses, no final do século XVIII,
estabeleceram o metro como unidade fundamental (padrão) para medir o
comprimento.

13. 2.2. AS UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO
Como unidade padrão para medida de comprimento ficou estabelecido o
metro, cujo símbolo ficou sendo o m.
Quando desejamos medir grandes extensões ou distâncias, fica difícil utilizar o
metro como unidade. Temos, portanto, que utilizar os múltiplos do metro,
que são:
decâmetro = dam

equivalente a 10 m
hectômetro = hm

equivalente a 100 m
quilômetro = km

equivalente a 1000 m
Já, para medirmos pequenas extensões ou distâncias, nos utilizamos dos
submúltiplos do metro:
decímetro = dm

equivalente a 0,1 m
centímetro = cm

equivalente a 0,01 m
milímetro = mm

equivalente a 0,001 m
2.3. MUDANÇA DE UNIDADE
 Conversão para unidade menor: desloca-se a vírgula para direita,
tantas casas decimais quantos forem os espaços que separam as duas
unidades na escala.
Exemplo: Transformar:
a) 3,5 hm  m
m
Neste caso, devemos deslocar a vírgula 2 casas à direita, achando 350

14. b) 62,18 m  dm
Agora, deslocamos a vírgula uma casa à direita, encontrando 621,8 m
 Conversão para unidade maior: desloca-se a vírgula para a esquerda,
tantas casas decimais quantos forem os espaços que separam as duas
unidades na escala.
Exemplo: Transformar
a) 84,4 dm  m
Fazendo uso da regra, deslocamos a vírgula uma casa à esquerda, e
encontramos 8,44 m
b) 341,75 mm  dm
Neste exemplo, devemos deslocar a vírgula 2 casas à esquerda,
encontrando 3,4175 dm
2.4. POLÍGONOS, PERÍMETROS E ÁREAS
Perímetro nada mais é que a soma das medidas de todos os lados de um
polígono de n lados, e é representado pela letra P.

16. 2.5. MEDIDAS DE SUPERFÍCIE
Medir uma superfície é simplesmente compará-la com uma superfície tomada
com unidade padrão. A unidade fundamental para medir superfícies é o metro
2
quadrado (m
da superfície.
).
Esta medida de superfície também é denominada ÁREA
O metro quadrado é a área de um quadrado de lado 1 m.
2
1m
1
m
1m
Mudança de Unidade 
Qualquer unidade é sempre 100 vezes maior
que a unidade imediatamente inferior ou 100 vezes menor que a
unidade imediatamente superior.
Como os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado variam de 100 em 100, a
conversão de unidade é feita deslocando-se a vírgula de 2 em 2 casas,
para a direita ou para a esquerda.
Unidades Agrárias  Quando queremos medir grandes extensões de terra,
utilizamos as unidades agrárias que são: are, hectare e centiare
17

17. .
.
2.6. ÁREAS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
18

18. .
.
19

19. .
.
2.7. VOLUMES DE SÓLIDOS
3
Para medirmos o Volume de um corpo utilizamo-nos do metro cúbico (m )
como unidade fundamental, que corresponde ao volume de um cubo de 1
m de aresta (lado).
Cada unidade é 1000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior ou
1000 vezes menor que a unidade imediatamente superior.
Mudança de Unidade 
A conversão de unidade é feita deslocando-se a
vírgula de 3 em 3 casas decimais para a direita ou para a esquerda
20

20. .
.
21

21. .
.
2.8. MEDIDAS DE CAPACIDADE
Para medirmos o volume de um recipiente que contém líquidos ou gases,
usamos como unidade fundamental o litro. O litro é o volume de um cubo
de 1 dm de aresta.
Símbolo=
1
l
l = 1 dm
3
1 dm
1 dm
1 dm
22

22. .
.
Unidades de Capacidade
quilolitro
hectolitro
decalitro
kl
hl
dal
10 l
1.000
l
100
l
litro
l
1
decilitro
centilitro
dl
l
0,1
cl
l
mililitro
ml
0,01
l
0,001
l
Conforme observamos no quadro acima, cada unidade de capacidade é 10
vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 10 vezes menor que a
unidade imediatamente superior.
Mudança de Unidade
Na conversão de uma unidade em outra inferior, devemos deslocar a
vírgula para a direita de uma em uma casa decimal.
Exemplo: 4,71
l
 471
l
0,008 dal  0,08 hl
e
Na conversão de uma unidade em outra superior, devemos deslocar a
vírgula para a esquerda de uma em uma casa decimal.
Exemplo: 4,36 cl

0,0436
l
e
1,5
l

0,015 hl
2.9. MEDIDA DE MASSA
A unidade fundamental de massa é o quilograma (kg) que corresponde a
3
massa aproximada de 1 dm de água destilada a uma temperatura de 4º C.
Não devemos confundir PESO e MASSA.
PESO  é a força com que a Terra atrai os corpos para o seu centro.
MASSA  é a quantidade de matéria que um corpo possui.
23

23. .
.
Mudança de Unidade
Na mudança de unidade de medidas de massa observamos que cada unidade é
10 vezes maior que a imediatamente inferior ou 10 vezes menor que
imediatamente superior.
Exemplos: 1,57 hg 
dg
75 dg 
157 g
e
0,75 dag
e
41,3 mg 
4,13 cg
5,5414 dag  554,14
Outras Medidas de Massa
Relações Importantes
Então podemos estabelecer uma correspondência entre as unidades de
volume, capacidade e massa conforme pode ser mostrado na tabela abaixo:
24

24. .
.
2.10. MEDIDAS DE TEMPO
Por não pertencerem ao sistema métrico decimal, daremos uma rápida
pincelada nas medidas de tempo. A unidade legal para a medida de tempo é
o segundo. Os seus múltiplos são apresentados como segue:
Nome
Símbolo
valor
unidade
segundo
múltiplos
dia
Minuto Hora
s
Min
1s
60 s
H
d
60 min = 3600 s 24 h = 1440 min = 86.400
s
As medidas de tempo inferiores ao segundo não têm designação própria, sendo
utilizados os submúltiplos decimais.
Assim dizemos:
décimos de
segundo, centésimos de segundo, ou milésimos de segundo.
Utilizam-se também as unidades de tempo estabelecidas pelas convenções
usuais do calendário civil e da Astronomia, como, por exemplo, 1 mês, o ano,
o século, etc. Para efetuar a mudança de uma unidade para outra, devemos
multiplica-la (ou dividi-la) pelo valor desta unidade.
25

25. .
.
3. RAZÕES E PROPORÇÕES
3.1. RAZÃO ENTRE DUAS GRANDEZAS
Para entendermos o significado da razão entre dois números ou grandezas,
analisaremos algumas situações do dia-a-dia.
1º caso:
Marlene receberá visitas para uma festa no final de semana e
resolveu preparar um batida de frutas. A receita diz que devem
ser colocadas 9 frutas em cada receita, sendo 6 laranjas e 3
maças. Comparemos os números envolvidos nesta situação.
Sabemos que:
9, 6 e 3 são os números envolvidos nesta hipotética situação;
para cada 6 laranjas, devemos colocar 3 maças.
Escrevemos assim:
6
ou 6 : 3 
3
6
é a razão entre os números 6 e 3, nesta ordem.
3
Como 6 é o dobro de 3, para fazer o mesmo tipo de batida de frutas, a
quantidade de laranjas deve ser sempre igual ao dobro da quantidade de
maças.
“Se a e b são dois números e b é diferente de zero, dizemos que
a
ou a
b
: b é a razão entre a e b, nessa ordem”
2º caso:
Para ir à escola, Lucas gasta 30 minutos indo à pé. Já, Matheus
utiliza-se de sua moto e faz o mesmo percurso em 10 minutos.
Qual a razão entre os tempos gastos por Matheus e Lucas para
chegarem até a escola, sabendo-se que o espaço percorrido é o
mesmo ?
tempo gasto por Matheus ..................
10 minutos
tempo gasto por Lucas ......................
30 minutos
1
10
=
ou 1 : 3 
30
3
Matheus é
1
3
a razão entre os tempos gastos por Lucas e
 significa que para cada minuto gasto por Matheus,
Lucas gasta três vezes mais tempo para percorrer o mesmo
percurso.
26

26. .
.
“A razão entre grandezas de mesma natureza é a razão entre
os números que expressam as medidas destas grandezas.”
Atenção:
Quando comparamos grandezas de mesma natureza, as
medidas devem estar expressas na mesma unidade.
Observações:
1)
A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três
formas. Exemplo:
Razão entre 1 e 4:
2)
1:4
ou
ou 0,25.
A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal
negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários.
Exemplo:
A razão entre –1 e 8 é
.
Termos de uma razão
Observe a razão:
(lê-se "a está para b" ou "a para b").
Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número
denominado conseqüente. Veja o exemplo:
3 : 5
=
Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.
27
bé

27. .
.
Razões inversas
Considere as razões.
Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja,
Nesse caso, podemos afirmar que
são razões inversas.
Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a
1.
Exemplo:
são razões inversas, pois
.
Podemos verificar que nas razões inversas o antecedente de uma é o
conseqüente da outra, e vice-versa.
Observações:
1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa.
2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar
(trocar) os seus termos.
Exemplo:
O inverso de
.
Razões equivalentes
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da
seguinte maneira:
Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo
28

28. .
.
número racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente.
Exemplos:
são razões equivalentes.
são razões equivalentes.
Razão entre grandezas da mesma espécie
O conceito é o seguinte:
Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os
números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplos:
1) Calcular a razão entre a altura de dois vasos de flores, sabendo que o
primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2=
1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:
2) Num certo intervalo de tempo, um carro percorre 2 km enquanto Alexandre
caminha 50 metros. Qual é a razão entre os espaços percorridos pelo carro e
por Alexandre, durante este intervalo de tempo?
29

29. .
.
Quando temos unidades de medida diferentes, devemos transforma-las para a
mesma base. Neste caso, transformaremos a distância percorrida pelo carro
em metros. ( 2 km = 2.000 m )
2000 40
=
50
1
 significa que o carro percorre 40 m enquanto Alexandre
percorre 1 m.
Razões entre grandezas de espécies diferentes
O conceito é o seguinte:
Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies
diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas
grandezas.
Exemplos:
1) Consumo médio:
Marlene foi de Rio Preto a Uberlândia (298 Km) no seu carro, realizar
uma visita à sua mãe. Foram gastos nesse percurso 26 litros de
combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido?
O que significa essa razão?
Solução
:
Razão =
298 ,11 46 km / l
=
26
,11 46 km / l
(lê-se "11,46 quilômetros por litro").
Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média
11,46 km.
2) Velocidade média:
Na mesma viagem Rio Preto/Uberlândia, Marlene fez o percurso (298
Km) em 4 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que
significa essa razão?
Solução:
30

30. .
.
Razão =
298
= 74
km / h
5,
4
Razão = 74,5 km/h (lê-se "74,5 quilômetros por hora").
Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 74,5 km.
3) Densidade demográfica:
A cidade de São José do Rio Preto no último censo teve uma população
avaliada em 367.512 habitantes. Sua área é de 434,10 km2. Determine a
razão entre o número de habitantes e a área da cidade. O que significa
essa razão?
Solução
:
Razão =
367
512.
434
10,
= 846 hab / km2
Razão = 846 hab/km2 (lê-se "846 habitantes por quilômetro quadrado")
Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 846
habitantes.
4) Densidade absoluta ou massa específica:
Um cubo de concreto de 10 cm de aresta tem massa igual a 17,8 kg.
Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa
essa razão?
Solução:
Volume = 10 cm . 10 cm . 10 cm = 1.000cm3
Massa = 17,8 kg  17.800 g
Razão =
17800
= 17
1000 8,
g / cm3
Razão = 17,8 g/cm3 (lê-se "17,8 gramas por centímetro cúbico").
Essa razão significa que 1000 cm3 de concreto pesa 17,8g.
3.2. CONCEITO DE PROPORÇÃO

31. 31

32. .
.
1º Caso:
Uma escola tem 800 alunos e freqüentemente realiza pesquisas
com o intuito de saber o índice de satisfação de seus alunos. A
última pesquisa realizada teve por objetivo saber qual o esporte
preferido de seus alunos.
Os números levantados foram os
seguintes:
De posse dos dados, podemos analisa-los utilizando alguns quocientes:
1.
total de alunos que praticam natação ...................
160
total de alunos da escola ....................................
800
1160
=
5800
Constatamos, portanto, que de cada 5 alunos matriculados na escola, 1 pratica
natação.
2.
total de alunos que praticam Basquete .................
total de alunos que jogam futebol de salão ............
40
240
140
=
6240
O número de alunos que pratica futebol de salão é 6 vezes maior que o
número de alunos que pratica basquete.
2º Caso:
Gabriel e Inês resolvem pintar a parede da sala de sua casa. Eles
sabem que para conseguir uma tonalidade rosa, devem misturar 2
litros de vermelho e 3 de branco. Mas esta receita só dá certo para
pequenas dimensões a serem pintadas. Como a parede é muito
grande, Inês está em dúvida se pode misturar 10 litros de
vermelho com 15 litros de branco. E aí ? O que fazer para
resolver este problema ?
32

33. .
.
E você o que acha ? Basta misturar as tintas para ver o que acontece ?
O problema é que se der errado o prejuízo será dobrado: o tempo gasto e o
custo da tinta.
Para resolver esta questão vamos usar razões para ter uma maior
probabilidade de acerto.
2
A receita diz 
2 vermelhos com 3 brancos  a mistura é de
10
Inês quer ...
As razões
2
3
A igualdade
e
2
3
3
10 vermelhos com 15 brancos  a mistura é de
10
15
=
são iguais  fatorando
10
15
210
315
15
 chegamos a
é uma proporção entre os números 2, 3, 10 e 15, nessa
ordem.
Lê-se: 2 está para 3 assim como 10 está para 15
Assim:
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Uma Proporção envolve quatro números no mínimo: a, b, c e d. Nesta
ordem, temos a proporção 
a : b = c : d,
sendo b e d ≠
zero
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos
que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for
igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
ou
a :b =
c :d
(lê-se "a está para b assim como c está para d")

34. 33

35. .
.
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
b e c os meios da proporção.
a e d os extremos da proporção.
Exemplo:
Dada a proporção
, temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27
Extremos: 3 e 36
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
De modo geral, temos que:
a
=
cb
d
⇔a.d =b.c
Nasce daí a propriedade fundamental das proporções:
34

36. .
.
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos.
Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:
Determine o valor de x na proporção:
x 21
=
3 9
Solução:
que:
Fazendo uso da Propriedade Fundamental das Proporções, temos
9.x =
9.x =
=x
x
3 . 21
63
(aplicando a propriedade fundamental)
63
9
= 7
Logo, o valor de x é 7.
Determine o valor de x na proporção:
7x −1
=
53x + 2
Solução:
5 . (x-1) = 7 . (3x+2)
5x - 5 = 21x + 14
5x - 21x = 14 + 5
-16x = 19
(aplicando a propriedade fundamental)
35

37. =x
−19
16
Quarta proporcional
Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta
proporcional desses números um número x tal que:
Exemplo:
Determine a quarta proporcional dos números 7, 3 e 21.
Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:
7
=
21
3 x
(aplicando a propriedade fundamental)

38. 7.x =
7.x =
63
7
=x
x
3 . 21
63
= 9
Logo, a quarta proporcional é 9.
4. REGRA DE TRÊS
4.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
A Regra de três simples é utilizada para resolver problemas que envolvem
proporcionalidade entre duas grandezas.
Passos utilizados numa regra de três simples
Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes
em correspondência.
Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1.
Em 3 minutos uma torneira despeja 6 litros de água numa caixa
d´água. Se a caixa ficou cheia em 6 horas, qual será a capacidade desta
caixa d´água ?
Tempo
Capacidade
Caixa
3 minutos
6 litros
6 h = 6 * 60 minutos 
360 minutos
X litros
da

39. Resolvendo, temos:
3 . x = 6 . 360
3 x = 2160 litros
x = 2.160/3

x = 720 litros
b)
Um motociclista viaja de S.J.do Rio Preto até Mirassol, à velocidade de
80km/h, fazendo o percurso em 10 minutos. Se a velocidade da moto fosse
de 100km/h, em quantos minutos seria feito o mesmo percurso?
Velocidade
(Km/h)
Tempo (minutos)
80
10 min
100
X min
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a
velocidade o tempo diminui na razão inversa.
Resolução:
X/10 = 80/100  x = 10*80/100  x = 800/100
 x = 8 minutos
Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.
4.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Algumas situações envolvem mais de duas grandezas. A análise e a resolução
de problemas desta natureza podem envolver uma regra de três composta.
Exemplo:
a) 20 pintores trabalhando 6 horas por dia, pintam um edifício em 4 dias.
Quantos dias serão necessários para que 6 pintores, trabalhando 8 horas por
dia, pintem o mesmo edifício?
1. Para facilitar a resolução, vamos separar as grandezas e números
envolvidos:
Quantidade de pintores: 20, 6
Horas por dia : 6, 8
Número de dias: 4 , x
2. supondo que o número de horas por dia não varie:
Pintores
20
6
Horas p/ dia
6
8
Nº de dias
4
x
Grandezas inversamente proporcionais
38

40. menos pintores, mais dias para pintar
3. supondo que a quantidade de pintores não varie:
Pintores
20
6
Horas p/ dia
6
8
Nº de dias
4
x
Grandezas inversamente proporcionais
Nesta situação, o tempo (dias) é inversamente proporcional à quantidade
de pintores e ao tempo de trabalho por dia, portanto o produto 20 . 6 . 4
é igual ao produto 6 . 8 . x
20 . 6 . 4 = 6 . 8 . x
x = 10

480 = 48 . x

x = 480 / 48
 Serão necessários 10 dias para pintar o edifício.
Como foi visto, existe um método prático para se montar o esquema
e resolver o problema. O Método Prático consiste em:
escrever em uma coluna as variáveis do mesmo tipo, ou seja, aquelas
expressas na mesma unidade de medida.
Identificar aquelas que variam num mesmo sentido (grandezas
diretamente proporcionais) e aquelas que variam em sentidos opostos
(grandezas inversamente proporcionais), marcando-as com setas no
mesmo sentido ou sentidos opostos, conforme o caso.
A incógnita x será obtida da forma sugerida no esquema abaixo, dada
como exemplo de caráter geral.
Imaginemos as grandezas A, B, C e D, que assumem os valores literais
mostrados a seguir. Suponhamos, por exemplo, que a grandeza A seja
diretamente proporcional à grandeza B, inversamente proporcional à grandeza
C e inversamente proporcional à grandeza D.
Após termos executado este
procedimento, montamos o esquema mostrado abaixo:
39

41. Neste caso, o valor da incógnita x
=x
a.
será dado por:
p c
a.p.c.d
.
. =
b.r.s
d
b r
s
Observem que para as grandezas diretamente proporcionais,
multiplicamos
x
pelos valores invertidos e para as grandezas
inversamente proporcionais, multiplicamos pelos valores como aparecem no
esquema.
Exemplo:
STA CASA – SP – Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia,
durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto. Quantas toneladas do
mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6
horas por dia, durante 6 dias?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
Solução:
Observe que a produção em toneladas é diretamente proporcional ao número
de máquinas, ao número de dias e ao número de horas/dia.
Portanto:
Portanto, seriam produzidas 13,5 toneladas do produto, sendo D a
alternativa correta.

42. 40

43. .
.
Exercícios resolvidos e propostos
1. Vinte e cinco costureiras, trabalhando oito horas por dia, durante 10 dias,
fizeram 800 calças. Vinte costureiras trabalhando nove horas por dia durante
dezoito dias, produzirão quantas calças iguais às já produzidas?
SOLUÇÃO:
Nº Costureiras
dias
Horas/dia
calças
25
10
8
800
20
18
9
x
Observe que o número de calças é diretamente proporcional ao número de
costureiras, ao número de dias e ao número de horas/dia.
Portanto:
x = 800.
20
9 18
. .
= 1 296.
258 10
Resposta: 1296 calças
2.
Em uma escola, vinte e cinco estudantes resolvem 150 exercícios de
matemática
em
doze
dias,
estudando
10
horas
por
dia.
Quantas horas por dia, deverão estudar 30 estudantes, para resolverem 180
exercícios em 15 dias?
Solução:
Estudantes
dias
Horas/dia
Exercícios
25
12
10
150
30
15
x
180
Observe que:
Aumentando o número de horas/dia, aumenta o número de exercícios, diminui
o número de dias necessários e diminui o número de estudantes necessárias.
Portanto:
X=
10 * 180 * 12 * 25 / 150 * 15 * 30  x = 540000/67500
Resposta: 8 h
41

44. .
.
3. Certo trabalho é executado por 15 operários, em 12 dias de 10 horas. Se
três operários forem demitidos do serviço, quantos dias de 8 horas deverão
trabalhar os demais, para realizar o dobro do trabalho anterior?
Solução:
Aumentando o número de dias, diminui o número de horas/dia necessários e
diminui o número de operários necessários. Podemos também dizer que para
realizar o dobro do trabalho, o número de dias deve.aumentar.
Portanto, podemos montar o seguinte esquema:
Operários
dias
Horas/dia
Trabalho
15
12
10
T
12
x
8
2T
Logo,
15 10
x = 12 .
. .
2T
= 37 5,
T12 8
Resposta: 37,5 dias
Agora resolva estes dois:
1 - Em uma residência, no mês de fevereiro de um ano não bissexto, ficaram
acesas, em média, 16 lâmpadas elétricas durante 5 horas por dia e houve
uma despesa de R$ 14,00. Qual foi a despesa em março, quando 20 lâmpadas
iguais às anteriores ficaram acesas durante 4 horas por dia, supondo-se que a
tarifa de energia não teve aumento?
Resposta : R$15,50
42

45. .
.
2 - Um livro está impresso em 285 páginas de 34 linhas cada uma com 56
letras em cada linha. Quantas páginas seriam necessárias para reimprimir
esse livro com 38 linhas por página, cada uma com 60 letras?
Resposta: 238 páginas
5. PORCENTAGENS
Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o
próprio nome, por cem.
Exemplo:
12
= 12
100 %,
5
= 5 %,
100
36
= 36 %
100
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por
cento.
Se repararmos em nossa volta, vamos perceber que este símbolo % aparece
com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação,
etc.
Exemplos:
A cesta básica teve um reajuste de 6,2 % no último bimestre;
Os rendimentos da caderneta de poupança que vencem hoje, são de 3,1
%;
A taxa de desemprego no Brasil cresceu 19% neste ano.
Desconto de 25% nas compras à vista.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na
forma de números decimais. Vejam os exemplos:
12 % =
12
=0
100 12,
⇔ 81 % =
81
=0
100 81,
⇔ 0 8,
=%
8
= 0 008,
100

46. Trabalhando com Porcentagem
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.
Exemplos:
1.
Uma geladeira custa 800 reais. Pagando à vista você ganha um
desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta geladeira à vista?
10 % =
10
100
(primeiro representamos na forma de fração decimal)
10% de 100  10% x 100 
10
8000
x 800 =
= 80
100
100
800 – 80 = 720
Logo, pagarei 720 reais.
2.
Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos
metros de mangueira Pedro usou.
32
32% =
100
32 % de 100
⇒
32
x 100
100
⇒
3200
= 32
100
Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.
3.
Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se
quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.
25
25% =
100
45

47. .
.
25 % de 2000
⇒
25
x 2000
100
⇒
50000
= 500
100
O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.
Então, 2000 + 500 = 2500 reais.
Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.
4.
Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos
por cento eu obtive de lucro?
Lucro:
5000
2000
0
25 000 – 20 000 = 5 000 ( preço de venda menos o preço de custo)
4
4
4
25
,0 25
= 25 %
10
=
0
(resultado da divisão do lucro pelo preço de custo)
5.
O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser
vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?
Porcentagem
120
100
120 x = 100 x 35000
= 3500000
Preço
35 000
x
⇒ 120 x
Logo, o preço anterior era R$ 29.166,67
120
120
120
120

48. 46

49. 6. FUNÇÕES E GRÁFICOS
6.1. FUNÇÕES
A idéia de função sempre está associada a uma relação de dependência entre
dois conjuntos. Para chegar à definição de uma função, vamos lembrar alguns
conceitos importantes.
Produto Cartesiano: A x B
A x B = { (a, b)/a ∈ A
e
b∈ B}
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = { -1, 0, 1 } e B = { 0, 1, 4 }.
A x B = { (-1,0); (-1,1); (-1,4); (0,0); (0,1); (0,4); (1,0); (1,1); (1,4) }
Multiplicamos cada termo do conjunto A por cada termo do conjunto B.
Relação
Uma relação R é qualquer subconjunto de A x B
Exemplo:
Determine os pares das relações:
a) R1 = { (x,y) ∈ A x B | y = x + 1 }
A
R1
-1
0
1
B
0
1
4
R1 = {(-1,0);(0,1)}
b) R2 = {(x,y) ∈ A x B
y = x
2
47

50. A
-1
0
1
R2
B
0
1
4
R2 = {(-1,1); (0,0); (1,1)}

51. Observe que na Relação R2 todos os elementos do primeiro conjunto se
corresponderam com algum elemento do segundo conjunto, e uma só vez. A
este tipo de Relação chamamos de função de A em B
Então:
Diz-se que f é uma função (ou aplicação) de A em B ( f: A  B)
se, e somente se, para todo elemento x ∈ A, existir um único
elemento y ∈ B, tal que (x,y) ∈ f.
TODOS os elementos de A devem enviar flecha a algum elemento de B;
CADA elemento de A deve mandar uma única flecha para algum
elemento de B.
Domínio D(f) : é o conjunto da partida das flechas (A)
Contradomínio CD(f):
é o conjunto da chegada das flechas (B)
Imagem Im(f) :
é um subconjunto do contradomínio e é formada pelos
elementos do CD(f), que são, de fato, imagens de elementos do domínio
.y = f(x)
Tipos Fundamentais de Funções
Função Injetora:
Uma função f definida de A em B é injetora quando
cada elemento de B (que é imagem), é imagem de um
único elemento de A
Função Bijetora:
Uma função f definida de A em B, quando injetora e
sobrejetora ao mesmo tempo, recebe o nome de função bijetora.
Exemplo:
É sobrejetora  Im(f) = B
É injetora 
cada elemento da imagem
correspondente em A
em
B
tem
um
único

52. Função Inversa:
Seja f uma função bijetora definida de A em B,
com x ∈ A e y ∈ R, sendo (x,y) ∈ f. Chamaremos de função inversa de f, e
indicaremos por f-1, o conjunto dos pares ordenados (y,x) ∈ f-1 com y ∈ B
e x ∈A
Exemplo:
.f é definida de R em R, sendo y = 2 x.
Para determinarmos f-1, basta trocarmos x por y e y por x
Observe:
Y=2x  x=2y
Isolando y em função de x resulta:
Exemplo:
y = x/2
Achar a função inversa de y = 2x
Solução:
a) troquemos x por y e y por x: teremos x = 2 y
b) expressemos o novo y em função do novo x; teremos, então, y = x/2 e
finalmente,
f-1(x) = x/2
Paridade das funções
1. Função par
A função y = f(x) é PAR, quando x ∈ D(f), f(-x) = f(x) , ou seja, para todo
elemento do seu domínio, f(x) = f (-x).
Portanto , numa função par,
elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse
fato é que os gráficos cartesianos das funções pares são curvas simétricas em
relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
Exemplo:
z = x4 + 2 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.
Por exemplo,
f(2) = 24 + 2 = 18 e f(- 2) = (-2)4 + 2 = 18
O gráfico abaixo, é de uma função par.

53. 2. Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar , quando x ∈ D(f) , f (- x) = - f (x) , ou
seja, para todo elemento do seu domínio, f (-x) = - f (x). Portanto,
numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas.
Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções
ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do
sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(-x) = - f(x).
Por exemplo, f(- 3) = (- 3)3 = - 278e - f( x) = - ( 33 ) = - 27.
O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
Observação:
se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos
que ela não possui paridade.
Exemplo:
O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a
curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e também não é simétrica em
relação à origem.

54. 53

55. .
.
FUNÇÃO DE 1º GRAU
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou
função afim,
qualquer
função f de R em R dada pela expressão f(x) = ax + b, onde a e b são
números reais dados e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o
número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 6z - 4, onde a = 6
eb=-4
f(x) = -3y + 2,
onde a = -3 e b = 2
f(x) = 8x,
onde a = 8
eb=0
6.2.
GRÁFICOS
Sistema Cartesiano Ortogonal
O Sistema Cartesiano ortogonal é composto por dois eixos perpendiculares
com origem comum e uma unidade de medida
Ordenadas
Y
P (x , y )1
Y1
1
X
0
X1
Absc issas
No eixo horizontal, chamado eixo das abscissas, representamos os
primeiros elementos do par ordenado de números reais.
No eixo vertical, chamado de eixo das ordenadas, são representados os
segundos elementos do par ordenado de números reais.
54

56. .
.
Observações:
 a todo par ordenado de números reais corresponde um só ponto do plano,
e a cada ponto corresponde um só par ordenado de números reais;
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma
reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 4x + 2:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o
auxílio de uma régua:
Quando
x = 0, temos
y = 4 · 0 + 2 = 2; portanto, um ponto é (0, 2).
Quando y = 0, temos
(1/2,0).
0 = 4x +2; portanto, x = ½ e outro ponto é
Marcamos os pontos (0, 2) e (1/2,0) no plano cartesiano e ligamos os dois com
uma reta.
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como
veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0,
temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto
em que a reta corta o eixo Oy.
Análise de Gráficos
O comportamento de uma função pode ser obtido através de um gráfico, onde
podemos tirar informações acerca de: crescimento, decrescimento, domínio,
imagem, valores máximos e mínimos, se é função positiva ou negativa, etc.
f ( x) =
Dada uma função
3x
+
1
e o seu gráfico, podemos analisar o seu
55
comportamento da seguinte maneira:
Zero da Função:
graficamente, encontramos o zero da função no ponto
de encontro da reta com o eixo dos x: f(x) = 0  3x/5 + 1/5 = 0  x =
-1/3

57. 3
Domínio: projetando o gráfico sobre o eixo dos x: D = [-2,3]
Imagem: projetando o gráfico sobre o eixo dos y: Im = [-1,2]
Podemos observar que para:
-2 < 3 temos
f ( -2) < f (3)
 dizemos que a função é crescente.
Sinais:
X ∈ [ –2, –1/3 [  f (x) < 0
X ∈ ] –1/3, 3 ]
Valor Mínimo:
 f (x) > 0
–1 é o menor valor assumido por y = f (x)
Ymin = – 1
Valor Máximo: 2 é o maior valor assumido por y = f (x) Ymáx = – 2
Como reconhecer se um gráfico representa ou não uma Função
Quando quisermos saber se um gráfico de uma relação representa ou não uma
função, aplicamos a seguinte técnica:
57

58. .
.
Traçamos qualquer reta paralela ao eixo dos y; qualquer que seja a reta
traçada, se o gráfico da relação for interceptado em um único ponto, e
somente em um ponto, então o gráfico representa uma função. Caso
contrário não representa uma função.
Gráfico de Função Crescente
Tomando por base a função
y = 2 x, definida de R em R. Se formos
atribuindo valores para x, iremos obtendo valores correspondentes para y e
representado-os no plano cartesiano, ficamos com:
Y
y = 2x
9
8
7
6
5
4
3
2
X1
-4 -3 -2 -1
-1
-2
0
1 2 3
4
65
7 8 9
-3
-4
Observe que à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também
aumentam; neste caso podemos afirmar que a função é crescente.
Função Constante
Chamamos de Função Constante toda função definida de R em R e
representada por
f (x) = c ( c = constante )
Exemplos: f (x) = 5;
f (x) = - 5;
f (x) =
¾
Seu gráfico é uma reta paralela ao eixo dos x, passando pelo par ordenado
(ponto) (0,c). Neste caso, teremos o Domínio D = R, o Contradomínio CD =
R e a Imagem Im = {c}
58

59. .
.
y
(0,c)
y=c
x
Função Identidade
É a função de R em R definida por : f (x) = x
É dita função identidade quando seu gráfico é uma reta que contém as
bissetrizes do 1º e 3º quadrantes. Ou seja, os valores de x serão sempre
iguais aos valores de y.
D = R;
CD = R;
Im = R
y
59

60. .
.
Função Afim
É toda função f de R em R definida por f (x) = ax + b, sendo a; b ∈ R e a ≠
0
Observações:
Quando b = 0 a função é denominada de função linear;
D = R;
Im = R;
Seu gráfico é uma reta do plano cartesiano.
Função Quadrática
2
É toda a função f de R em R definida por f (x) = ax + bx + c, e tendo que
a; b; c ∈ R e a ≠ 0.
Exemplos:
2
f (x) = 3 x + 5 x - 7;
4
f (x) = x + 4;
f (x) = x
O gráfico de uma função quadrática é uma PARÁBOLA que terá sua
concavidade voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0.
Exemplos:
2
f (x) = x – 6x + 8 (a = 1 > 0
2
f (x) = -x + 6x – 8 (a = -1 <
0)
2

61. .
.
7. SEQÜÊNCIAS NÚMERICAS
Alguns acontecimentos repetem-se periodicamente em nosso cotidiano. Eles
possuem estreita relação com a matemática, no que se refere à sucessão de
percepções diversas, tais como o passar do tempo, a rotina diária de trabalho
e até mesmo os fatos menos perceptíveis como a nossa respiração, o
batimento de nosso coração e assim sucessivamente.
Assim, a seqüência (ocorrência periódica) de fatos em nosso cotidiano nos
conduz, principalmente à idéia de ordem. Seja, por exemplo, a seqüência de
números, a seguir:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
....
Esta sucessão de números compõe o conjunto dos números Inteiros.
Este exemplo mostra-nos que:
Seqüência ou sucessão é qualquer conjunto onde seus elementos estão
dispostos numa certa ordem.
Seqüências Numéricas
É todo o conjunto de números, que estão dispostos ordenadamente, de uma
maneira que possamos indicar quais são os elementos desse conjunto.
Exemplo: A seqüência de Fibonacci
Nesta seqüência, cada elemento é formado pela soma dos dois elementos
anteriores, ou seja: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .........
Representação de uma seqüência
Representamos a seqüência numérica colocando os termos entre parênteses e
separando-os por virgulas.
Exemplo:
(a1, a2, a3, ......., an, .... ) onde n ∈ N*
Estas seqüências poderão ser:
Finitas – quando o último termo é conhecido. Ex: (2, 8, 14).
Infinitas – quando o último termo não é conhecido. Ex : (3, 13, 23, ...)
61

62. .
.
Leis de Formação
Existem seqüências numéricas em que os elementos ou termos estão dispostos
de tal forma que não é possível relacioná-los com uma das leis de formação.
Um dos exemplos mais recorrentes desta situação é a seqüência dos números
primos: (2, 3, 5, 7, ...)
Para a continuação dos nossos estudo de seqüências vamos supor sempre a
possibilidade de relacionarmos as seqüências com uma lei de formação.
Podemos destacar dois tipos de leis de formação de uma seqüência.
1º. Fórmula do Termo Geral

Permite calcular um termo de ordem n em qualquer seqüência.
Exemplo:
Dado an = 1 – 1/(n+1) para n ∈ N*, pede-se calcular o produto dos 99
primeiros termos da seqüência.
Solução:
Temos que: an = n / (n+1), calculando os termos, a seguir:
Quando
n = 1, então
n=2,
n=3,
...
n = 98,
n = 99
a1 = ½
a2 = 2/3
a3 = ¾
...
a98 = 98/99
a99 = 99/100
Efetuando o produto dos termos da seqüência, temos que:
½ . 2/3. ¾. 4/5. ..... . 98/99. 99/100 =
Como o denominador de um termo é igual ao numerador do termo seguinte,
fazendo as simplificações, temos que:
1
.
.
32
5
2 .
3 4
.
4
1
98 99
.
=
. ... 51 52 . ....
.
52 53
99 100
100

63. 62

64. .
.
11 2 3 4
51 52
98 99
. . . . ... .
.
. ....
.
=
32
4
52 53
99
100
5
100
Então, o produto dos 99 primeiros termos desta seqüência é igual a 0,01.
2º. Lei de recorrência

Neste caso, é necessário recorrer a outros termos conhecidos
(geralmente o primeiro) para se obter qualquer outro elemento da
seqüência, através de uma fórmula que forneça esta relação.
Exemplo.
Dado an+1= an (2n-1 + 1).
Se a3= 3, calcule a5.
Temos a3 = 3, logo
n = 4  a3+1 = a3 (23-1 + 1)
a4 = a3 (22+ 1)
a4 = a3.5  a4 = 15
Como queremos a5, temos então:
a4+1 = a4 (24-1 + 1)
a5 = a4(23 + 1)
a5 = 15.9
 a5 = 135
Seqüência como função
Seja a sucessão de números pares (2, 4, 6, 8, 10, ....)
Essa seqüência de números pares é formada de acordo com uma regra ou lei
de correspondência, na qual é possível estabelecer uma expressão f(n) que
contenha a variável n e tal que para cada numeral natural {1, 2, 3, 4, 5, .....}
atribuído a n se tenha a relação:
an = f(n)
Neste caso, dizemos que f(n) é o termo geral da seqüência
63

65. .
.
A lei de formação do conjunto de números pares é dada através do termo geral
an = 2n
ou por
f(n) = 2n
Neste caso, podemos dizer que:
Seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos naturais diferente de
zero {1, 2, 3, ....} e cujas imagens formam o conjunto dos números reais, ou
seja
F : N*  R
Séries
São expressões numéricas que resultam quando substituímos as vírgulas por
sinais de adição entre os termos sucessivos de uma seqüência.
Exemplo:
A seqüência dos
assim:
a1 = 1
a2 = 1 + 2
a3 = 1 + 2
a4 = 1 + 2
números triangulares 1, 3, 6, 10,..... pode ser decomposta
=3
+3=6
+ 3 + 4 = 10 ..........
Assim, para encontrarmos o enésimo número triangular, devemos somar os
termos de uma seqüência finita, de 1 até o número desejado, ou seja:
an = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ....... + n
Exemplo.
Determinar o décimo primeiro número triangular
a11 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 64
Desta forma, podemos dizer que dada uma única seqüência numérica (a1, a2,
a3, a4, a5,... , an) formamos a seqüência de somas (S1, S2, S3, S4, ....., Sn)
Podemos, então, observar que :
S1 = a1
64

66. .
.
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
............................
Sn =a1 + a2 + a3 ..... + an
Fica, portanto, caracterizado o que chamamos de Série
As séries também podem ser finitas (quando se conhece o último termo da
série) ou infinitas (quando não se conhece o último termo).
A representação de uma série é dada pelo símbolo ∑ (somatório)
Para a série finita temos a
representação
E, para a série infinita é usada a
representação
Exemplo prático de série
Uma pessoa A, chega às 14 horas para um encontro com uma pessoa B. Como
B não chegou, ainda, A resolveu esperar um tempo t1 = ½ hora, e após, t2 =
½ t1, e após, t3 = ½ t2, e assim sucessivamente. Se B não veio quanto tempo
A esperou até ir embora?
Pelos dados temos a seguinte seqüência infinita:
(30min, 15min, 7,5min, 3,75min, .........)
Para obter o valor da soma desta seqüência, basta calcular o valor da série, ou
seja:
Sn = 30 + 15 + 7,5 + 3,75 + ........
Observamos que:
S1 = 30min
S2 = 30 + 15 = 45min
65

67. .
.
S3 = 30 + 15 + 7,5 = 52,5min
S4 = 30 + 15 + 7,5 + 3,75 = 56,25min
...................................
S8 = 59,765625min
.........................
Podemos constatar que, conforme o número de termos vai aumentando, o
valor de cada termo acrescentado vai diminuindo, aproximando-se cada vez
mais de 60 minutos. Dizemos, neste caso, que a seqüência converge para 60
minutos.
Logo, a pessoa terá que esperar 60 minutos até ir embora.
Exercícios resolvidos
1) A partir das seqüências
a)
12 = 1
22 = 1+2+1
32 = 1+2+3+2+1
..................
b)
12 = 1
112 = 121
1112
...................
Calcule o valor de A
A= (55555 x 55555) / 1+2+3+4+5+4+3+2+1 - 1000
Solução:
Ora, pela seqüência b, temos que:
1+2+3+4+5+4+3+2+1 = 52
e, pela seqüência a, temos que:
111112 = 123454321
Então, aplicando estes resultados na expressão A, temos que :
a= (52 x 123454321 ) / 52 – 10000
Logo, A=123453321
66

68. .
.
2) Uma seqüência numérica é definida por:
a1 = 1
an = an-1 + (-1)n para n >= 2
Determine a soma dos 6 primeiros termos.
Solução:
Pelos dados temos que:
a2 = 1 + (-1)2 = 2
a3 = 2 + (-1)3 = 1
a4 = 1 + (-1)4 = 2
a5= 2 + (-1)5 = 1
a6 = 1 + (-1)6 = 2
Logo S6 = 1+2+1+2+1+2 = 9
3) Qual é a soma da série:
n = 1 ==> a1 = -1
n = 2 ==> a2 = 1
n = 3 ==> a3 = -1
Então, se n é par a soma é zero e se n é impar a soma é igual a –1
67

69. .
.
8. PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS
8.1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA . P.A.
Observe a seguinte seqüência numérica:
(5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; ...)
Cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se 4 ao termo anterior, ou
seja:
An = an –1 + 4
onde 2 = n = 7
Podemos notar que a diferença entre dois termos sucessivos não muda, sendo
uma constante.
A2 – a1 = 4
A3 – a2 = 4
... ...
....
a7 - a 6 = 4
Chama-se Progressão Aritmética – P.A. – à toda seqüência numérica onde,
a partir do segundo número, a diferença entre um termo e o seu antecessor é
uma constante que recebe o nome de razão.
Exemplos:
Y = ( 10, 20, 30, 40, 50, 60, ... )
razão = 10
(PA crescente)
Z = ( 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ... )
razão = 0
(PA constante)
W = ( 50, 45, 40, 35, 30, 25, ... ) razão = -5
(PA decrescente)
Classificação
As Progressões Aritméticas podem ser classificadas em 5 categorias, a saber:
1. Crescentes 
são as P.A. em que cada termo é maior que o anterior.
Isto sempre ocorre quando a razão for maior que zero. ( razão > 0 )
X= ( 1, 8, 15, 22, 29, 36, ... )
razão = 7
(PA crescente)
2. Decrescentes  são as P.A. em que cada termo é menor que seu
antecessor. Isto ocorre quando a razão for menor que zero ( razão < 0 )
k = ( 5, 4, 3, 2, 1 )
razão = - 1
68
(PA decrescente)

70. .
.
3. Constantes 
são as P.A. que em cada termo é igual ao seu anterior e
também ao seu sucessor. Isto sempre ocorre quando a razão for igual a zero.
( razão = 0 )
Q = ( 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ... )
4. Finitas 
finito.
razão = 0
(PA
constante)
são as P.A. que estão contidas em um intervalo fechado e
T = ( 2, 4, 6, 8, 10 )
5. Infinitas  são as P.A. onde não conseguimos visualizar um final.
J = ( 1, 2, 3, 5, 7, 11, ...)
Termo Geral de uma P.A.
Seja uma P.A. genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos deduzir das igualdades acima que:
an = a1 + (n – 1) . r
A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada TERMO GERAL da P.A.
Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a
razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – P.A.
Exemplos:
1. Qual o centésimo número par positivo?
Temos a PA: ( 2, 4, 6, 8, 10, ... ) onde o primeiro termo a1= 2, a razão r = 2 e
queremos calcular o milésimo termo a 100. Nestas condições, n = 100 e
poderemos escrever:
a100 = a1 + (100 - 1) . 2 = 2 + 99 . 2 = 2 + 198 = 200.
Portanto, 200 é o centésimo número par.
69

71. .
.
2. Qual o número de termos da PA: ( 1000, 980, 960, ... , 20) ?
Temos a1 = 1000, r = 980 -1000 = - 20 e an = 20 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 20 = 1000 + (n - 1). (- 20) ;
logo, 20 - 1000 = - 20n + 20 e, 20 - 1000 - 20 = - 20n de onde conclui-se
que
- 1000 = - 20n , de onde vem n = 50.
Portanto, a P.A. possui 50 termos.
Propriedades das Progressões Aritméticas
1.
Interpolação Aritmética 
Dados dois termos A e B inserir ou
interpolar k meios aritméticos entre A e B é obter uma P.A. cujo
primeiro termo é A, o último termo é B e a razão é calculada através da
relação:
−B
A
K +1
Exemplo:
Inserir 3 meios aritméticos entre 20 e 100 de modo a formar uma P.A.
Solução:
Aplicando a fórmula
−B A
K +1
Onde B = 100, A = 20, K = 3, encontraremos a razão:
100
− 20
3 +1
Portanto, encontrando a razão, que neste caso é 20, podemos escrever a P.A.
pedida.
P.A.: {20,40,60,80,100}
2.
Termos Eqüidistantes  Dois termos são considerados eqüidistantes
dos extremos em uma P.A. finita, quando o número de termos que
antecede um deles é igual ao número de termos que sucede o outro.

72. 70

73. .
.
Temos, então, que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos
é uma constante igual à soma dos extremos
Exemplo:
{ -3, 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 }
- 3 e 32 são os extremos e sua soma dá 29
2 e 27 são eqüidistantes e sua soma é 29
7 e 22 são eqüidistantes e sua soma é 29.
Com este exemplo, podemos também concluir que:
Se uma P.A. finita tem número par de termos, então o termo central é
a média aritmética dos termos extremos.
Exercícios resolvidos
1. - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :
( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja
negativa?
Solução:
Temos:
a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5,
ou seja:
r = -2/5.
Poderemos escrever para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos será:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Entretanto, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo:
(16n – 2n2) / 10 < 0
Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o
numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2 < 0

n(16 – 2n ) < 0
De acordo com o que pede o exercício, n é o número de termos, então ele é
um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja
negativo, deveremos ter:
16 – 2n < 0, de onde concluímos que 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
71

74. .
.
2. - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5
e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
Solução:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, ficamos com:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = 1.
Assim, teremos:
x = 4, pois o valor negativo de x nos levaria a valores
negativos para os lados do triângulo, o que seria uma impossibilidade
matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente
positivas.
Então, os termos da P.A. serão:
x+1,
2x, x2 – 5
ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8,
11, que são as medidas dos lados do triângulo.
Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a
5+8+11 = 24.
Resposta: 24
8.2. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G.
Definição
P.G. é
toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo,
inclusive, é igual ao produto do seu termo precedente por uma
constante. Esta constante é chamada razão da progressão geométrica
(q).
As seqüências a seguir são exemplos de P.G.:
b) (x , xt 2
,
c) (8 ,
2,
xt 4 xt 6 , )
,
1
1
,
, )
⇒
⇒
8
a1 = 1
e
1
a =x
q=
q=4
2
e q=t
1
a1
e
=
4
a1 = 7
a1 = 4 e
e

75. q =1
q = 2−
Classificação
a1
>0
a1
0
a1
<0
a1
>0
e q >1
ou
e
<q

1


 ⇒P.G. decrescente


1
q<0
a
e
a
e

e q >1
ou
e
<q
1
1


 ⇒P.G. crescente
⇒P.G. alternante ou oscilante
⇒P.G. constante ou estacionária
q
=0
Termo geral de uma P.G.
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.G. da seguinte forma:
2
a
1a
3
2
a
=q
⇒
a2 = a
q1
=q
a
a
4
3
=q
q
= a2
2 2 2 2 222
2 2 2 2
2 2 2 2

76. a
a
= a3
4
(
q= a
2
1
aq
)q = a q
1
q
3
⇒
1
•••••••••••••••••••••••••••••
73

77. .
.
=a
−q = 
q
a⇒ = a
−1
a
−
=aq
⇒
q
=
=
an
1nn

a
1
−1
Podemos verificar que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro termo
por uma potência cuja base é a razão. Note que o expoente da razão é igual à
posição do termo menos uma unidade, ou seja:
2
12
2
1
12
1
3
q
1−
14
••••••••••••
•••
an

=
11
q 1−
3
13
1
1
1
1
a1
q
111
−1
a1q a1q
−1
2
3
1−
q
1
3 1−1−

78. O termo de ordem n da P.G. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
=
n 1−
a
q
1
Propriedades
1.
Numa P.G. cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica
entre o termo precedente e o termo seguinte.
Realmente, se
... an-1, an , an+1 ...
e
+1
.
Os sinais (+) ou (–) são usados de acordo com as características da P.G.
2.
Numa P.G. limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual ao produto dos extremos.
Seja então a P.G. limitada, com n termos, razão q, e A e B os termos
eqüidistantes dos extremos, conforme mostrado logo a seguir:
1−
termos
p
, a
 n ) 
Pela fórmula do termo geral,
q
1−
.1
Dividindo as igualdades (25) e (26) membros a membro resulta:

79. 75

80. .
A
=
a1
an
B
o que nos leva
a:
an .
3.
Em uma P.G. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo
médio é a média geométrica dos extremos.
Neste caso
temos:
a ,
1 ,
a
 2

(

termosp
  P.G.

com
a
,
 
n 1−
)
n =2 p + 
termos1
p

Pelas propriedades 1 e 2 temos:
e
=M
AB
AB = a1 ⋅ an
logo,
an
.

termos

81. Soma dos n primeiros termos de uma P.G. Finita
A soma dos n termos da P.G. ( a1; a2; a3; ...; an) é dada por:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
Sn = a1 + a1 .q + a1 .q2 + ... + a1 . qn  ( 1 )
Multiplicando os membros de ( 1 ) pela razão q, teremos:
q . Sn = a1 . q + a1 .q2 + a1 .q3 +... + a1 . qn

(2)
Fazendo ( 2 ) - ( 1 ):
q . Sn –
Sn = a 1 . q n – a 1
Sn (q –
1) = a1 . (qn – 1)
S
)1
a
=S
qn
n
q
−1
= soma dos termos de uma P.G.
Onde:
n
n = número de termos
a1 = primeiro termo
q = razão
Exemplo:
Calcule a soma dos 6 primeiros números da P.G. (1; 2; ... )
Solução:
Temos que
.
=S
a
1
a1 = 1; q = 2;
( )− 1
)(q
1 . 62 − 1
n
n
q
−1
S
n
n = 6

Sn =
2
−1
=
1.(
)64 − 1

Resposta:

82. S
1
6
= 63

83. Soma dos n primeiros termos de uma P.G. Infinita
Considere uma P.G. Infinita (termos ilimitados) e decrescente. Nestas
condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na
fórmula anterior, encontraremos:
=S
a1
8
q 1−
Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
.
.
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo,
substituindo na fórmula, vem:
100 =
x
1 −1/
2
x = 100.
2
1
 x = 50

84. Exercícios resolvidos
1. - Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu
produto é 729 , então sendo a, b e c os três primeiros termos , pede-se
calcular o valor de a2 + b2 + c2
Solução:
Sendo q a razão da P.G., poderemos escrever a sua forma genérica:
(x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a P.G. é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0[
Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q =
1/3.
Como é dito que a P.G. é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a P.G. seria crescente.
Portanto, a P.G. é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819
2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última
parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:
Solução:
Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ...+ (10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)

85. Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma
P.G. de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n .
Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10)/9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10
Resposta: 10
9.
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
9.1. JUROS SIMPLES
Conceito: é aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal
J
=
Cxix
n
Onde:
J
C
i
n
= juros
= capital inicial
= taxa unitária de juros
= número de períodos que o capital ficou aplicado

86. Observações:
a taxa i e o número de períodos n devem referir-se à
mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo
deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá
ser expresso em meses, e assim sucessivamente;
em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros
na forma unitária (taxa percentual ou centesimal, dividida por
100)
Juro Comercial 
Juro Exato 
para operações envolvendo valores elevados e períodos
pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferença
na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro
Comercial considera o ano comercial com 360 dias e
o mês comercial com 30 dias.
no cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365
dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o
número real de dias.
sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de
juros sob o conceito comercial
80

87. .
.
Taxa Nominal 
é a taxa usada na linguagem normal, expressa nos
contratos ou informada nos exercícios; a taxa nominal é
uma taxa de juros simples e se refere a um
determinado período de capitalização.
Taxa Proporcional  duas taxas são denominadas proporcionais quando
existe entre elas a mesma relação verificada para
os períodos de tempo a que se referem.
i
=
1
t
1
i
t
2
2
Taxa Equivalente  duas taxas são equivalentes se fizerem com que um
mesmo capital produza o mesmo montante no fim
do mesmo prazo de aplicação.
no regime de juros simples, duas
equivalentes também são proporcionais;
taxas
CAPITAL, TAXA E PRAZO MÉDIOS

em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são
aplicados, em épocas diferentes, a uma mesma taxa de juros,
desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim de um certo
período. Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado
a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados
a diversas taxas por períodos distintos de tempo.
Capital Médio (juros de diversos Capitais) é o mesmo valor de diversos
capitais
aplicados
a
taxas
diferentes por prazos diferentes
que produzem a MESMA QUANTIA
DE JUROS.
Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn
i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nn
81

88. .
.
Taxa Média 
é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser
aplicada, durante um certo período de tempo, para
produzir juros iguais à soma dos juros que seriam
produzidos por diversos capitais.
Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn
C1 n1 + C2 n2+ C3 n3 + ... + Cn nn
Prazo Médio  é o período de tempo que a soma de diversos capitais
deve ser aplicado, a uma certa taxa de juros, para produzir
juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos
capitais.
Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn
C1 i1 + C2 i2+ C3 i3 + ... + Cn in
Montante 
é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.
M = C(1+i
a fórmula requer que a taxa
unitária;
x
n)
i seja expressa na forma
a taxa de juros i e o período de aplicação
expressos na mesma unidade de tempo;
n devem estar
Desconto Simples  quando um título de crédito (letra de cambio,
promissória, duplicata) ou uma aplicação financeira
é resgatada antes de seu vencimento, o título sofre
um ABATIMENTO, que é chamado de Desconto.
82

89. .
.
Valor Nominal: valor que corresponde ao seu valor no dia do seu
vencimento. Antes do vencimento, o título pode ser
resgatado por um valor menor que o nominal, valor
este denominado de valor Atual ou valor de
Resgate.
Desconto Comercial  também conhecido como Desconto Bancário ou
“por fora”, é quando o desconto é calculado
sobre o VALOR NOMINAL de um título.
pode ser entendido como sendo o juro simples
calculado sobre o valor nominal do título;
Dc = N
x
i
x
n
Onde:
Dc
N
i
n
=
Desconto Comercial
=
Valor Nominal
=
Taxa de juros
=
Período considerado
Ex.: Uma promissória de valor nominal de $ 500 foi resgatada
4 meses antes de seu vencimento, à taxa de
8 % a.a.. Qual o valor do Desconto ?
N = $ 500
i = 8 % a.a. = 0.08
n = 4 meses = 4/12
Dc = ?
Valor Atual 
Dc = N . i . n
Dc = 500 . 0.08 . 4/12
Dc = $ 13,33
o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele
efetivamente pago (recebido) por este título, na data
de seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual
ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é
obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto
comercial aplicado.
Vc = N - Dc
83

90. .
.
Ex.:
Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento
para 65 dias, é descontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples
comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título.
N = $ 2000
Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 .
65/360
n = 65 dias = 65/360
Dc = $ 469,44
i = 130 a.a. = 1.30
Dc = ?
Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469,44
Vc = ?
Vc = $ 1.530,56
Desconto Racional o desconto racional ou “por dentro” corresponde ao
juro simples calculado sobre o valor atual (ou
presente) do título. Note-se que no caso do desconto
comercial, o desconto correspondia aos juros simples
calculado sobre o valor nominal do título.
Dr = N x i
n
(1+i
n)
x
x
Ex.:
Qual o desconto racional de um título com valor de face de $
270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 %
a.m. ? N = $ 270
Dr = N . i . n / (1
+ i . n)
n = 2 meses
Dr = $ 270 . 0.03 . 2 / (1 + 0.03 . 2)
i = 3 a.m. = 0.03 a.m.
Dr = ?
Valor Atual Racional 
Dr = $ 16,20 / 1.06
Dr = $ 15,28
é determinado pela diferença entre o valor
nominal
N e o desconto racional Dr
Vr = N Dr

91. 84

92. .
.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Capitais Diferidos  quando 2 ou mais capitais (ou títulos de crédito,
certificados de empréstimos,etc), forem exigíveis em
datas diferentes, estes capitais são denominados
DIFERIDOS.
Capitais Equivalentes 
por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos serão
EQUIVALENTES, em uma certa data se, nesta
data, seus valores atuais forem iguais.
Equivalência de Capitais p/ Desconto Comercial 

Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um título
num instante n’ e de V’c o de outro título no instante n’, o valor atual
destes títulos pode ser expresso como segue:
Vc = N ( 1 – i.n )
e
V’c = N’ ( 1 – i . n’ )
Para que os títulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a V’c, então:
N’ = N ( 1 – i x n)
1 – i x n’
onde
:
N’
N
=
Capital Equivalente
=
Valor Nominal
n
=
período inicial
n’
= período subseqüente
i
=
taxa de juros
85

93. .
.
Ex.:
uma promissória de valor nominal $ 2000, vencível em 2
meses, vai ser substituída por outra, com vencimento para 5 meses.
Sabendo-se que estes títulos podem ser descontados à taxa de 2 %
a.m., qual o valor de face da nova promissória ?
$ 2.000
N’ = ?
]
N = $ 2.000
]
0
N’
]
1
]
2
]
3
]
4
5
n’ = 5 meses
n = 2
meses
I = 2 % a.m. = 0,02 a.m.
N’ = N (1 – i . n) / 1 – i . n’ = 2.000 (1 – 0.02 . 2) / (1 – 0.02 . 5)
N’ = $ 2.133
Equivalência de Capitais p/ Desconto Racional 

Para se estabelecer a equivalência de capitais diferidos em se tratando
de desconto racional, basta lembrar que os valores atuais racionais dos
respectivos capitais devem ser iguais numa certa data.

Chamando-se de Vr o valor atual do desconto comercial de um título na
data n’ e de N o valor nominal deste título na data n, e de V’r o valor
racional atual de outro título na data n’, e de N’ o valor nominal do outro
título na data n’, temos:
Vr = N / ( 1 + i.n )
e
V’r = N’ / ( 1 + i . n’ )
Para que se estabeleça a equivalência de capitais devemos ter Vr = V’r,
logo
:
N’ = N ( 1 + i x n’ )
1+ixn
onde:
86

94. .
.
N’
N
=
Capital Equivalente
=
Valor Nominal
n
=
período inicial
n’
= período subseqüente
i
=
taxa de juros
Ex.: qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a $ 600,
disponível em 75 dias, `a taxa de 80 % a.a. de desconto racional
simples
?
N
]
$ 600
]
0
N’ = ?
]
75
]
120
Vr 75
Vr 120
Vr 75 = ?
Vr 120 = ?
n = 75
dias
n’ = 120 dias
i = 80 % a.a. = 0.80 a.a. = 0.80/360 a.d.
Como Vr 75 = Vr 120, temos 
0.80/360 . 75)
N’ = 600 . ( 1 + 0.80/360 . 120) / (1 +
N’ = $ 651,28
9.2.
JUROS COMPOSTOS
Conceito: No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a
que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao
capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os
juros são capitalizados, passando este montante, capital
mais juros, a render novos juros no período seguinte.
Juros Compostos 
são aqueles em que a taxa de juros incide sempre
sobre o capital inicial, acrescidos dos juros
acumulados até o período anterior

95. Cálculo do Montante 
vamos supor o cálculo do montante de um capital
de $ 1.000, aplicado à taxa de 10 % a.m.,
durante 4 meses.
CAPITA
L
Juro
s
Montante
(M)
(C)
(J)
1º Mês
1.000
100
1.100
2º Mês
1.100
110
1.210
3º Mês
1.210
121
1.331
4º Mês
1.331
133
1.464
Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de
juros, a expressão (1 + i) é elevada à potência correspondente.
S
Onde
:
=
P (1
+
i)
n
S
=
Soma dos Montantes
P
=
Principal ou Capital Inicial i
=
taxa de juros
n
=
nº de períodos considerados
a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos
na mesma unidade de tempo;

96. .
Ex.:
Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a
uma taxa de 8 % a.m., para retirar no final deste período. Quanto irá
retirar ?
S=?
0
i=8%
a.m.
$ 800
Dados:
n=3
Pede-se:
S=?
P = $ 800
n = 3 meses
i = 8 % a.m. = 0.08 a.m.
(1.08)
S = P (1 + i )
3
n
= 800 x (1 + 0.08)
3
= 800 x
S = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08
S = $ 1.007,79
Valor Atual  Considere-se que se deseja determinar a quantia P que deve
ser investida à taxa de juros i para que se tenha o montante
S, após n períodos, ou seja, calcular o VALOR ATUAL de S.
- Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos
Montantes, para encontrarmos o valor atual
P
=
S
/(1+i)n
Onde:
S
=
Soma dos Montantes
P
=
Principal ( VALOR ATUAL )
i
=
taxa de juros
n
=
nº de períodos considerados
89

97. .
.
é utilizada para o cálculo do valor de ( 1 + i )
n
, quando o valor de n ou de i não constam da
tabela financeira disponível para resolver o
problema.
a interpolação é muito utilizada quando se trabalha com taxas
de juros “quebradas” ou períodos de tempo “quebrados”.
Ex.: taxa de juros de 3.7 % a.m. ou 5 meses e 10 dias
n
Como a tabela não fornece o valor da expressão ( 1 + i )
para números “quebrados”, devemos procurar os valores mais
próximos, para menos e para mais, e executarmos uma regra
de três, deste modo:
Interpolação Linear 
Ex.: Temos que calcular o montante de um principal de $ 1.000 a uma taxa
de juros de 3.7 % a.m., após 10 meses, a juros compostos.
n
A tabela não fornece o fator ( 1 + i )
correspondente a 3.7 %, mas seu
valor aproximado pode ser calculado por interpolação linear de valores
fornecidos na tabela.
Procuramos, então, as taxas mais próximas de 3.7 %, que são 3 % e 4 %. Na
linha correspondente a 10 períodos (n), obtêm-se os fatores correspondentes
a
( 1 + i ) n que são, respectivamente, 1.343916 e 1.480244.
Procedemos, então, a uma regra de três para encontrarmos o fator referente a
3.7 %:
para um acréscimo de 1 % ( 4% - 3% ) temos um acréscimo de 0.136328
(1.480244 – 1.343916);
n
para 0.7 % de acréscimo na taxa, o fator ( 1 + i )
terá um
acréscimo de x. Portanto:
1 % --------------- 0.136328
0.7 % ------------x
x=
0.09543
n
- Somando-se o valor encontrado (0.09543) ao do fator ( 1 + i )
correspondente à taxa de 3 % (1.343916), teremos o fator (1.439346)
correspondente à taxa de 3.7 %.
- Voltando à solução do problema, temos:
S = 1.000 x 1.439346 
S = $ 1.439,34
90

98. .
.
9.3.
TAXAS DE JUROS
TAXAS PROPORCIONAIS

Na formação do montante, os juros podem ser capitalizados
mensalmente, trimestralmente, semestralmente e assim por diante,
sendo que, via de regra, quando se refere a período de capitalização, a
taxa de juros é anual. Assim, pode-se falar em:
juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente;
juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente;
juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente;

Quando a taxa for anual, capitalizada em períodos menores, o cálculo
n
de ( 1 + i )
é feito com a TAXA PROPORCIONAL. Dessa forma:
Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral
proporcional é 15% a.s.
1 ano = 2 semestres  30 % a.a. = 2 x 15 % a.s.
Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral
proporcional é 5 % a.t.
1 ano = 4 trimestres  20 % a.a. = 4 x 5 % a.t.
Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal
proporcional é 1 % a.m.
1 ano = 12 meses
a.m.
12 % a.a. = 12 x 1 %

Ex.: Qual o montante do capital equivalente a $ 1.000, no fim de 3 anos, com
juros de 16 %, capitalizados trimestralmente ?
Dados
:P=
1.000
i = 16 % a.a. = 4 % a.t. = 0.04
a.t. n = 3 anos = 12 trimestres
S= P.
S = 1.000 .
(1
(1
0.04 )
+
+
i)
n
12
S = 1.000 x (1.601032)  S = $ 1.601,03
91

99. .
.
TAXAS EQUIVALENTES

São taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo
diferentes, mas que levam um capital a um mesmo resultado final ao
término de um determinado período de tempo.

Duas taxas são EQUIVALENTES quando, referindo-se a períodos
de tempo diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo
montante, num mesmo intervalo de tempo.
Temos, então:
C = ( 1 + ie
equivalente
)
n
)
,
onde:
ie
=
taxa
de
juros
nk
Ck = ( 1
+ ik
, onde: ik = taxa de juros aplicada
- Como queremos saber a taxa de juros equivalente (ik), para um
mesmo capital, temos:
C = Ck  ( 1 + ie ) n = ( 1 + ik ) nk
Então:
ie = ( 1
+ ik
)
k
-1
- Esta fórmula é utilizada para, dada uma taxa menor (ex.: dia,
mês, trimestre), obter a taxa maior equivalente (ex.: semestre,
ano).
Ex.: Qual a taxa anual equivalente a 10 % a.m. ?
ik
k
= 10 % a.m. = 0.1 a.m.
ie
= ?
= 1 ano = 12 meses
 ie
= ( 1 + ik )
k
–1
= (1 + 0.1)
12
- 1=
2.138428
ie = 2.138428 ou transformando para taxa percentual
 ie = 213,84 %
92

100. .
.
TAXAS NOMINAL e EFETIVA (ou REAL)

No regime de juros simples, as taxas são sempre EFETIVAS. Para melhor
compreensão dos conceitos de Taxa Nominal e Taxa Efetiva, no sistema
de juros compostos, vamos considerar os seguintes enunciados:
1. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de
juros compostos à taxa de 10 % a.a., com capitalização anual, durante 2
anos ?
Solução:
Tal enunciado contém uma redundância, pois em se tratando
de uma taxa anual de juros compostos, está implícito que
a capitalização (adição de juros ao Capital), é feita ao fim de cada
ano, ou seja, é anual. Elaborado visando o aspecto didático, este
enunciado objetivou enfatizar que a taxa efetivamente considerada é
a de 10 % a.a., ou seja, que a taxa de 10 % é uma TAXA EFETIVA.
2. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de
juros compostos, à taxa de 10 % a.a., com capitalização semestral,
durante 2 anos ?
Solução:
Este segundo enunciado também apresenta uma incoerência,
pois sendo uma taxa anual, os juros só são formados ao fim de
cada ano e, portanto, decorridos apenas 1 semestre, não se terão
formados ainda nenhum juros e, por conseguinte, não poderá haver
capitalização semestral.
Portanto, na prática costuma-se associar o conceito de TAXA
NOMINAL ao de TAXA PROPORCIONAL
Assim, se a taxa de juros por período de capitalização for
N
i e se houver
períodos de capitalização, então a TAXA NOMINAL iN será:
IN = N
i
x
O conceito de TAXA EFETIVA está associado ao de taxa equivalente.
Assim, a taxa efetiva
ie pode ser
determinada por equivalência, isto
P, aplicado a uma taxa ie, durante um ano, deve produzir
o mesmo montante quando aplicado à taxa i durante n períodos.
é, o principal
93

101. .
.
i =(1
+ ie)
1/n
- 1
Ex.:
Vamos supor $ 100 aplicados a 4 % a.m., capitalizados
mensalmente, pelo prazo de 1 ano. Qual a taxa nominal e a taxa
efetiva.
a) Taxa Nominal
IN = N
x
i
 12 x 0.04 = 0.48 
Nominal
b)
IN
= 48 % a.a.  Taxa
Taxa Efetiva
P = $ 100
S = P (1 + i)
n
S=?
i = 4 % a.m. = 0.04 a.m.
S = 100 x ( 1 + 0.04)
n = 12 meses
12
S = 100 x 1.60103
S = $ 160,10
Logo, J = 160,10 – 100  J = $ 60,10, que foi produzido por $ 100;
então:
ie = 60,10 %
a.a.
A taxa equivalente também poderia ser determinada pela fórmula:
i = ( 1 + ie) 1/n - 1
94

102. .
.
ie
= (
0.60103
temos:
1
ie
+
i)n - 1
= (1 + 0.04)
12
– 1 = 1.60103 – 1 =
= 0.6010  transformando-se para a forma percentual,
ie
= 60,10 % a.a.