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Pontifícia Universidade Católica do Paraná
                                 Campus de Toledo




                               Curso de Agronomia




         Apostila de Matemática Básica
                                   Parte 1




Prof. Ms. Rodrigo Campagnolo


                                   Toledo, 2011



                                                                  1
OBJETIVO


   Revisar tópicos de Matemática Fundamental visando preparar o aluno para o início da
disciplina de Matemática e Física Aplicada a Agronomia.


SIMBOLOGIA MATEMÁTICA




                                                                                    2
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1 Conjunto dos números naturais (N)
    São todos os números positivos, inclusive o zero.
                                     N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
    Podemos observar que em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação,
resultando sempre em um número natural. Já a subtração entre dois números naturais nem
sempre é um número natural, ou seja, 3 – 4 = _____, por exemplo, não é possível em N.
    Daí a necessidade de se ampliar o conjunto N introduzindo os números negativos.


1.2 Conjunto dos Números inteiros (Z)
    Com o tempo, o conjunto dos números naturais ficou pequeno para a matemática (Ex:
operações inversas 5 – 7 = _____). Sendo assim, os números negativos foram reunidos aos
naturais. O conjunto dos números inteiros compreende todos os números positivos e
negativos, inclusive o zero.
                                 Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
    Podemos observar que em Z é sempre possível efetuar a adição, a multiplicação e a
subtração, resultando sempre em um número inteiro. Já a divisão entre dois números inteiros
nem sempre resulta um número inteiro:
    (-8) : (+2) = _____ é possível em Z.
    (-7) : (+2) = _____ não é possível em Z.
    Daí a necessidade de se ampliar o conjunto Z introduzindo as frações não aparentes.


1.3 Conjunto dos números racionais (Q)
    Neste caso, vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e
teremos os números racionais.


    Exemplo:


   Assim, podemos escrever:




                                                                                          3
Todo número racional pode ser escrito na forma decimal, que pode ser exata (número
finito de algarismos):
   1                           5
     =                        − =                       6=   =
   4                           8


    ou não-exata, porém, periódica.
   2                                          177
     =           =                                =          =
   3                                          990


1.4 Conjunto dos números irracionais (I)
    O conjunto dos números irracionais surgiu para solucionar muitos problemas envolvendo
a geometria e a aritmética.
    Exemplo:
             a       L        b       Se L = 1, d = ?

                              L
                     d

                              c

    Outro exemplo: π = 3,1415926535...
         Portanto, número irracional é todo número que está ou pode ser escrito na forma
decimal infinita e não-periódica.


1.5 Conjunto dos números reais (R)
    O conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais e irracionais.




    Representação em diagrama:

                                             Q
     I


                                       N
                         Z


                                  R




   Propriedade:



                                                                                           4
Ou seja, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional e todo número
racional é real.
    Talvez a aproximação mais intuitiva da noção do conjunto de números reais seja
considerá-los como correspondendo a pontos situados ao longo de uma reta infinita.
                                       3
                                     -
        ......                         2                                  ......
 -∞                          -4 -3   -2 -1 0   1   2   3   4                       +∞

                                                √2
    Como subconjuntos importantes de R, temos:
   ܴ ∗ = ܴ − ሼ0ሽ
   ܴା = conjunto dos números reais não negativos
   ܴି = conjunto dos números reais não positivos


2. NÚMEROS RELATIVOS
2.1 Valor absoluto ou módulo
    É um número desprovido de sinal
    Ex: |- 9 | = 9 ou |+ 7 | = 7
2.2 Soma e subtração algébrica
    Sinais iguais: somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum


    Exemplo:


    Sinais diferentes: subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior


    Exemplo:


    Exercícios:




                                                                                        5
Devemos lembrar que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do
número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o
de menos (–). Se não houver sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de
mais (+).
   Exemplo:




   Exercícios:




Algumas dicas:
   a) Na soma de mais de dois números relativos, se obtém o resultado final somando-se o
primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última
parcela.

   Exemplo:

            ( +5) + ( −3) + (−7) + ( +3) + (+4) =

            = (+2) + ( −7 ) + ( +3) + ( +4) =

            = ( −5) + ( +3) + ( +4) =

            = ( − 2 ) + ( +4 ) = 2
   b) Podemos também somar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas
e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos.
2.3 Multiplicação e divisão algébrica
   Sinais iguais   resposta positiva
   Sinais diferentes   resposta negativa
   Isto é:
        ሺ+ሻ × ሺ+ሻ = ሺ+ሻ     ሺ+ሻ ÷ ሺ+ሻ = ሺ+ሻ
        ሺ−ሻ × ሺ−ሻ = ሺ+ሻ     ሺ−ሻ ÷ ሺ−ሻ = ሺ+ሻ
        ሺ+ሻ × ሺ−ሻ = ሺ−ሻ     ሺ+ሻ ÷ ሺ−ሻ = ሺ−ሻ
        ሺ−ሻ × ሺ+ሻ = ሺ−ሻ     ሺ−ሻ ÷ ሺ+ሻ = ሺ−ሻ


   Exemplo:




   Exercícios:
     ܽሻ 12 × 3 =                                         20
                                                   ℎሻ        =
     ܾሻ ሺ−12ሻ × ሺ−3ሻ =                                  ሺ−5ሻ
                                                        ሺ−20ሻ
     ܿሻ ሺ−12ሻሺ−3ሻ =                                ݅ሻ         =
                                                         ሺ−5ሻ
     ݀ሻ ሺ−12ሻ. ሺ−3ሻ
                                                        ሺ−20ሻ
     ݁ሻ 2 × ሺ−2ሻ =                                 ݆ሻ         =
                                                          5
     ݂ሻ 2ሺ−2ሻ =
     ݃ሻሺ−2ሻ3


2.4 Expressões numéricas
   No cálculo de expressões numéricas deve-se obedecer a prioridade dos sinais indicativos
e das operações matemáticas.
                   Prioridade dos sinais        Prioridade das operações
              1°           (   )              Exponenciação e logaritmação
              2°           [   ]                Potenciação e Radiciação
              3°           {   }                 Multiplicação e Divisão
              4°                                    Adição e subtração




                                                                                         7
Exemplo:




   Exercícios:




2.5 Mínimo múltiplo comum
   O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles.

   Exemplo: Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45




   O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720

   Exercícios:




                                                                                         8
3. FRAÇÕES
   A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador:




   A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível
representá-la por um número misto e reciprocamente.
          10    3      10
   a)        =1   pois    possui resto 3
           7    7       7
          28    3     28
   b)        = 5 pois    possui resto 3
          5     5     5
   Exercícios:
        11
   a)      =
         3
          1
   b) 2     =
          3
           1
   c) -1     =
           4
3.1 Soma algébrica de Frações
   Reduzem-se ao menor denominador comum, o m.m.c, dividindo-o em seguida pelo
denominador e multiplicando pelo numerador.
   Exemplo:




   Exercícios:




                                                                                  9
3.2 Multiplicação de Frações
   Multiplicam-se os numeradores entre si e da mesma forma se faz com os denominadores.
   Exemplo:
        1 3  3                                        1 3        3
   ܽሻ    × =                                     ܾሻ ൬− ൰ ൬ ൰ = −
        2 5 10                                        4 2        8


   Exercícios:
       1    2
  ܽሻ ൬− ൰ ൬− ൰ =
       3    5


            1    2
  ܾሻ ሺ−3ሻ ൬− ൰ ൬− ൰ =
            4    7


      3   1
  ܿሻ 2 × 3 =
      4   5


           3
  ܿሻ 2 ×     =
           4
3.3 Divisão de Frações
   Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora.
   Exemplos:
    1ൗ  1 3 3    1                          ൫− 2ൗ3൯     2   2   4     1
  ܽሻ 2 = × = = 1                         ܾሻ         = ൬− ൰ × = − = −1
    1ൗ  2 1 2    2                            1ൗ        3   1   3     3
      3                                         2


   Exercícios:
    1ൗ
  ܽሻ 2 =
     3


         5
  ܾሻ        =
        2ൗ
          3


          1
         43
  ܿሻ             =
           1
       ቀ−2 4ቁ




                                                                                    10
4. POTENCIAÇÃO


           Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal,
esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o
produto de fatores iguais a este número, sendo representada por:


an →base (é o número ou fator emdos fatores iguais)
 →
     expoente (n.º de repetições
                                 questão)



an = a.a.a.a.a...a

          n fatores


Exemplo: 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64


(+2)3 =
(-2)2 =
(-2)3 =


4.1 Casos particulares e conseqüências da definição
a) a0 = 1
b) 1n = 1
c) 0n = 0
d) a = a1
             1
e) a-n =
             an

4.2 Propriedades da potenciação
1) Multiplicação de potências de mesma base: Conservamos a base e somamos os
expoentes.
am . an = am + n            Ex: 24 . 25 = 24+5 = 29
                                52 . 57 =
2) Divisão de potências de mesma base: Conservamos a base e subtraímos os expoentes.
am : an = am - n            Ex: 68 : 65 = 68-5 = 63
                                56 : 54 =
3) Potência de um produto: Elevamos cada fator ao expoente do produto
(a . b)n = an . bn           Ex: (2 . 7)2 = 22 . 72 = 4 . 49 = 196
                                 (- 9z)2 =




4) Potência de um quociente: Elevamos o numerador e o denominador ao expoente indicado.


                                Ex:



5) Potência de potência: Conservamos a base e multiplicamos os expoentes
(am)n = am . n
Ex: (42)5 = 42.5 = 410

                                            Cuidado!

                                        n                                  2
      (am)n              ≠         am                         Ex: (23)2 ≠ 23
                                                                     26 ≠ 29
                                                                     64 ≠ 512
      Potência de              Potência de
      potência                 ordem superior




Exercícios:
5. RADICAIS


   Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão
que, elevado à potência n reproduz A.
   OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo




Assim,




5.1 Propriedade
   É possível retirar um fator do radical, bastando que se divida o expoente do radicando
pelo índice do radical.
   Exemplos:




   Para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do
radical. Assim:




                                                                                     13
5.2 Adição e subtração de radicais semelhantes
    Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o
radical.
    Exemplo:

5.3 Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
    Multiplicam-se ou dividem-se os radicandos e dá-se ao produto ou quociente o índice
comum.
    Exemplo:




    Exercícios:




5.4 Potenciação de radicais
    Eleva-se o radicando a potência indicada e conserva-se o índice.
    Exemplo:
           ଷ
  ܽሻ൫ √3൯ = ඥ3ଷ = √27
      ర        ర  ర


                   ଶ
  ܾሻ ቀ ඥ2ଶ × 3ቁ = ඥሺ2ଶ × 3ሻଶ = ඥ2ସ × 3ଶ = √144
       ఱ          ఱ                 ఱ     ఱ




5.5 Radiciação de radicais
    Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando
    Exemplo:
                                                                య
    ܽሻ ඥ√3 =           √3 = √3                              ܾሻ ටඥ √3 = √3
                   మ×మ     ర                                      ర   మర




                                                                                        14
5.6 Expoente fracionário
   Toda a potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo radicando é a base, o
índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.
      ௣
    ܽ௡ = √ܽ௣
            ೙



   Exemplo:

          ଶൗ
                = ඥܽ ଶ
                  య
   ܽሻ ܽ     ଷ



   Exercícios:




5.7 Racionalização de denominadores




   Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração.
   Mais exemplos:




                                                                                          15
Exercícios:




   Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do
denominador.


OBS: A expressão conjugada de (a+b) é (a-b).
       Exemplo:




                                                                                16
Exercícios:
          ଵൗ
ܽሻ16        ଶ   =
      ିଶൗ
ܾሻ8      ଷ      =

          1               1
ܿሻ                  −            =
     1 − √2             √2 + 1



݀ሻට ඥܽଽ =
      ర




                ଶ
݁ሻ ቀ ඥܽ଻ ቁ =
      య




_________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFIA
BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações : ensino médio e preparação
para educação superior. São Paulo: Ática, 1999. 3 v.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy.
Matemática fundamental: 2. Grau. São Paulo: FTD, 1994.




                                                                               17

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Apostila Matemática Básica Parte 1

  • 1. Pontifícia Universidade Católica do Paraná Campus de Toledo Curso de Agronomia Apostila de Matemática Básica Parte 1 Prof. Ms. Rodrigo Campagnolo Toledo, 2011 1
  • 2. OBJETIVO Revisar tópicos de Matemática Fundamental visando preparar o aluno para o início da disciplina de Matemática e Física Aplicada a Agronomia. SIMBOLOGIA MATEMÁTICA 2
  • 3. 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1.1 Conjunto dos números naturais (N) São todos os números positivos, inclusive o zero. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Podemos observar que em N é sempre possível efetuar a adição e a multiplicação, resultando sempre em um número natural. Já a subtração entre dois números naturais nem sempre é um número natural, ou seja, 3 – 4 = _____, por exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade de se ampliar o conjunto N introduzindo os números negativos. 1.2 Conjunto dos Números inteiros (Z) Com o tempo, o conjunto dos números naturais ficou pequeno para a matemática (Ex: operações inversas 5 – 7 = _____). Sendo assim, os números negativos foram reunidos aos naturais. O conjunto dos números inteiros compreende todos os números positivos e negativos, inclusive o zero. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Podemos observar que em Z é sempre possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, resultando sempre em um número inteiro. Já a divisão entre dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro: (-8) : (+2) = _____ é possível em Z. (-7) : (+2) = _____ não é possível em Z. Daí a necessidade de se ampliar o conjunto Z introduzindo as frações não aparentes. 1.3 Conjunto dos números racionais (Q) Neste caso, vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e teremos os números racionais. Exemplo: Assim, podemos escrever: 3
  • 4. Todo número racional pode ser escrito na forma decimal, que pode ser exata (número finito de algarismos): 1 5 = − = 6= = 4 8 ou não-exata, porém, periódica. 2 177 = = = = 3 990 1.4 Conjunto dos números irracionais (I) O conjunto dos números irracionais surgiu para solucionar muitos problemas envolvendo a geometria e a aritmética. Exemplo: a L b Se L = 1, d = ? L d c Outro exemplo: π = 3,1415926535... Portanto, número irracional é todo número que está ou pode ser escrito na forma decimal infinita e não-periódica. 1.5 Conjunto dos números reais (R) O conjunto dos números reais é formado por todos os números racionais e irracionais. Representação em diagrama: Q I N Z R Propriedade: 4
  • 5. Ou seja, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional e todo número racional é real. Talvez a aproximação mais intuitiva da noção do conjunto de números reais seja considerá-los como correspondendo a pontos situados ao longo de uma reta infinita. 3 - ...... 2 ...... -∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞ √2 Como subconjuntos importantes de R, temos: ܴ ∗ = ܴ − ሼ0ሽ ܴା = conjunto dos números reais não negativos ܴି = conjunto dos números reais não positivos 2. NÚMEROS RELATIVOS 2.1 Valor absoluto ou módulo É um número desprovido de sinal Ex: |- 9 | = 9 ou |+ 7 | = 7 2.2 Soma e subtração algébrica Sinais iguais: somam-se os valores absolutos e dá-se o sinal comum Exemplo: Sinais diferentes: subtraem-se os valores absolutos e dá-se o sinal do maior Exemplo: Exercícios: 5
  • 6. Devemos lembrar que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de menos (–). Se não houver sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+). Exemplo: Exercícios: Algumas dicas: a) Na soma de mais de dois números relativos, se obtém o resultado final somando-se o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última parcela. Exemplo: ( +5) + ( −3) + (−7) + ( +3) + (+4) = = (+2) + ( −7 ) + ( +3) + ( +4) = = ( −5) + ( +3) + ( +4) = = ( − 2 ) + ( +4 ) = 2 b) Podemos também somar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos.
  • 7. 2.3 Multiplicação e divisão algébrica Sinais iguais resposta positiva Sinais diferentes resposta negativa Isto é: ሺ+ሻ × ሺ+ሻ = ሺ+ሻ ሺ+ሻ ÷ ሺ+ሻ = ሺ+ሻ ሺ−ሻ × ሺ−ሻ = ሺ+ሻ ሺ−ሻ ÷ ሺ−ሻ = ሺ+ሻ ሺ+ሻ × ሺ−ሻ = ሺ−ሻ ሺ+ሻ ÷ ሺ−ሻ = ሺ−ሻ ሺ−ሻ × ሺ+ሻ = ሺ−ሻ ሺ−ሻ ÷ ሺ+ሻ = ሺ−ሻ Exemplo: Exercícios: ܽሻ 12 × 3 = 20 ℎሻ = ܾሻ ሺ−12ሻ × ሺ−3ሻ = ሺ−5ሻ ሺ−20ሻ ܿሻ ሺ−12ሻሺ−3ሻ = ݅ሻ = ሺ−5ሻ ݀ሻ ሺ−12ሻ. ሺ−3ሻ ሺ−20ሻ ݁ሻ 2 × ሺ−2ሻ = ݆ሻ = 5 ݂ሻ 2ሺ−2ሻ = ݃ሻሺ−2ሻ3 2.4 Expressões numéricas No cálculo de expressões numéricas deve-se obedecer a prioridade dos sinais indicativos e das operações matemáticas. Prioridade dos sinais Prioridade das operações 1° ( ) Exponenciação e logaritmação 2° [ ] Potenciação e Radiciação 3° { } Multiplicação e Divisão 4° Adição e subtração 7
  • 8. Exemplo: Exercícios: 2.5 Mínimo múltiplo comum O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número divisível por todos eles. Exemplo: Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45 O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720 Exercícios: 8
  • 9. 3. FRAÇÕES A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador: A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível representá-la por um número misto e reciprocamente. 10 3 10 a) =1 pois possui resto 3 7 7 7 28 3 28 b) = 5 pois possui resto 3 5 5 5 Exercícios: 11 a) = 3 1 b) 2 = 3 1 c) -1 = 4 3.1 Soma algébrica de Frações Reduzem-se ao menor denominador comum, o m.m.c, dividindo-o em seguida pelo denominador e multiplicando pelo numerador. Exemplo: Exercícios: 9
  • 10. 3.2 Multiplicação de Frações Multiplicam-se os numeradores entre si e da mesma forma se faz com os denominadores. Exemplo: 1 3 3 1 3 3 ܽሻ × = ܾሻ ൬− ൰ ൬ ൰ = − 2 5 10 4 2 8 Exercícios: 1 2 ܽሻ ൬− ൰ ൬− ൰ = 3 5 1 2 ܾሻ ሺ−3ሻ ൬− ൰ ൬− ൰ = 4 7 3 1 ܿሻ 2 × 3 = 4 5 3 ܿሻ 2 × = 4 3.3 Divisão de Frações Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração divisora. Exemplos: 1ൗ 1 3 3 1 ൫− 2ൗ3൯ 2 2 4 1 ܽሻ 2 = × = = 1 ܾሻ = ൬− ൰ × = − = −1 1ൗ 2 1 2 2 1ൗ 3 1 3 3 3 2 Exercícios: 1ൗ ܽሻ 2 = 3 5 ܾሻ = 2ൗ 3 1 43 ܿሻ = 1 ቀ−2 4ቁ 10
  • 11. 4. POTENCIAÇÃO Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por: an →base (é o número ou fator emdos fatores iguais) → expoente (n.º de repetições questão) an = a.a.a.a.a...a n fatores Exemplo: 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 (+2)3 = (-2)2 = (-2)3 = 4.1 Casos particulares e conseqüências da definição a) a0 = 1 b) 1n = 1 c) 0n = 0 d) a = a1 1 e) a-n = an 4.2 Propriedades da potenciação 1) Multiplicação de potências de mesma base: Conservamos a base e somamos os expoentes. am . an = am + n Ex: 24 . 25 = 24+5 = 29 52 . 57 = 2) Divisão de potências de mesma base: Conservamos a base e subtraímos os expoentes. am : an = am - n Ex: 68 : 65 = 68-5 = 63 56 : 54 =
  • 12. 3) Potência de um produto: Elevamos cada fator ao expoente do produto (a . b)n = an . bn Ex: (2 . 7)2 = 22 . 72 = 4 . 49 = 196 (- 9z)2 = 4) Potência de um quociente: Elevamos o numerador e o denominador ao expoente indicado. Ex: 5) Potência de potência: Conservamos a base e multiplicamos os expoentes (am)n = am . n Ex: (42)5 = 42.5 = 410 Cuidado! n 2 (am)n ≠ am Ex: (23)2 ≠ 23 26 ≠ 29 64 ≠ 512 Potência de Potência de potência ordem superior Exercícios:
  • 13. 5. RADICAIS Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A, ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A. OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo Assim, 5.1 Propriedade É possível retirar um fator do radical, bastando que se divida o expoente do radicando pelo índice do radical. Exemplos: Para introduzir um fator no radical, multiplica-se o expoente do fator pelo índice do radical. Assim: 13
  • 14. 5.2 Adição e subtração de radicais semelhantes Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os coeficientes e conserva-se o radical. Exemplo: 5.3 Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice Multiplicam-se ou dividem-se os radicandos e dá-se ao produto ou quociente o índice comum. Exemplo: Exercícios: 5.4 Potenciação de radicais Eleva-se o radicando a potência indicada e conserva-se o índice. Exemplo: ଷ ܽሻ൫ √3൯ = ඥ3ଷ = √27 ర ర ర ଶ ܾሻ ቀ ඥ2ଶ × 3ቁ = ඥሺ2ଶ × 3ሻଶ = ඥ2ସ × 3ଶ = √144 ఱ ఱ ఱ ఱ 5.5 Radiciação de radicais Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando Exemplo: య ܽሻ ඥ√3 = √3 = √3 ܾሻ ටඥ √3 = √3 మ×మ ర ర మర 14
  • 15. 5.6 Expoente fracionário Toda a potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo radicando é a base, o índice é o denominador do expoente, sendo o numerador o expoente do radicando. ௣ ܽ௡ = √ܽ௣ ೙ Exemplo: ଶൗ = ඥܽ ଶ య ܽሻ ܽ ଷ Exercícios: 5.7 Racionalização de denominadores Neste caso multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador da fração. Mais exemplos: 15
  • 16. Exercícios: Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. OBS: A expressão conjugada de (a+b) é (a-b). Exemplo: 16
  • 17. Exercícios: ଵൗ ܽሻ16 ଶ = ିଶൗ ܾሻ8 ଷ = 1 1 ܿሻ − = 1 − √2 √2 + 1 ݀ሻට ඥܽଽ = ర ଶ ݁ሻ ቀ ඥܽ଻ ቁ = య _________________________________________________________________________ BIBLIOGRAFIA BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações : ensino médio e preparação para educação superior. São Paulo: Ática, 1999. 3 v. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática fundamental: 2. Grau. São Paulo: FTD, 1994. 17