Aula matemática

1. Aula 02 – Matemática Aplicada
Conjuntos numéricos: dos
naturais aos reais;
Regras de sinal
Profa. Dra. Rafaela Andrade Dantas Cerqueira
rafaelatoff@yahoo.com.br

2. CONJUNTOS NUMÉRICOS:
DOS NATURAIS AOS
NÚMEROS REAIS

3. NÚMEROS NATURAIS (N)
“São os números que
usamos quando precisamos
contar coisas.”
1
2
3
4
N é um conjunto infinito.

4. São todos os números inteiros não-
negativos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
NÚMEROS NATURAIS
NÚMEROS NATURAIS - Não nulos
Note que é indiferente incluir ou não o zero no
conjunto N. Historicamente, a ideia abstrata de
um número zero surge mais tarde, associado a
ausência de objetos para contar.

5. NÚMEROS INTEIROS (Z)
Pelos Naturais é impossível!
Como efetuar a subtração de 3 – 4?
Para solucionar problemas do
dia-a-dia, como perda, prejuízo,
etc ...

6. “São todos os números que pertencem aos Naturais
acrescido dos seus respectivos opostos.”
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
NÚMEROS INTEIROS

7. 1. Inteiros não Negativos (Z+):
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
2. Inteiros não Positivos (Z-):
Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
Os números naturais também são chamados de inteiros positivos.
O número zero não é positivo nem negativo.

8. 3. Inteiros não negativos e não nulos (Z*+):
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
4. Inteiros não positivos e não nulos (Z*-):
Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS

9. Adição e multiplicação de números inteiros
Para números inteiros quaisquer a, b e c:
a) Propriedade comutativa:
a + b = b + a e a·b = b·a
b) Propriedade associativa:
(a + b) + c = a + (b + c) e (a·b)·c = a·(b·c)
c) Propriedade distributiva:
(a + b)·c = a·c + b·c
d) O simétrico de um nº inteiro
Um nº inteiro m é simétrico de um n:
m + n= 0

10. Observe que sendo m simétrico de n então
m= −n.
Exemplo:
5 é simétrico de 5,
pois −5 + 5 = 0.
5 é simétrico de (−5),
pois 5 = −(−5).
O produto de qualquer nº inteiro por (−1) é igual ao
simétrico do nº:
−1.(a) = −a = a.(−1).

11. NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Como dividir um osso para dois cachorros?
Os Inteiros não permitem
a resolver este problema!

12. Q = Z  { números fracionários }
Q = {a/b | a, b  Z e b  0}
“Para resolver isso foram criados os números
fracionários.”
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Números Racionais = É o conjunto de
números que pode ser representado por
uma razão (ou fração) entre dois números
inteiros não nulos.

13. 1. Racionais não Negativos e não nulos (Q*+):
Q*+ = {Z*+}  {Todos os números fracionários não
negativos}
2. Racionais não Positivos e não nulos (Q*-):
Q*- = {Z*-}  {Todos os números fracionários não
Positivos}
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS

14. 3. Racionais não Negativos (Q+):
Q+ = {Z+}  {Todos os números fracionários não
negativos}
4. Racionais não Positivos (Q-):
Q- = {Z-}  {Todos os números fracionários não
Positivos}
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS

15. Propriedades básicas
Operações com números racionais
• Adição:
• Subtração:
bd
bc
ad
d
c
b
a 


bd
bc
ad
d
c
b
a 


bd
ac
d
c
b
a


bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a



• Multiplicação:
• Divisão:

16. Propriedades básicas
• .
• .

17. 2,252
Número Racional.
Finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...
Número Racional.
Infinitos algarismos periódicos após a vírgula
(dízima periódica).
3,1415926...
Não é um número Racional.
Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula
E agora?

18. NÚMEROS IRRACIONAIS
Como descrever números
que não são inteiros nem
fracionários?

19. O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números
que NÃO podem ser representados por uma
fração de números inteiros.
I = {Todos os números que Q não consegue descrever}
NÚMEROS IRRACIONAIS

20. Raízes inexatas.
Inf. algarismos não periódicos após a vírgula.
3,1415926...
Número PI.
Supercomputadores já conseguiram calcular
bilhões de casas decimais.
2,7182818...
Número de Euler.
Como Pi, já foram calculadas bilhões de casas
decimais.
3
2 = 1,41421...
5 ; 8...

21. NÚMEROS REAIS
“Descreve todo o conjunto
dos números racionais e
irracionais”
R = { Q }  { I }

22. NÚMEROS REAIS
R
Q
Z
N 


Chama-se conjunto dos números reais (R) aquele
formado pela união dos conjuntos dos números
racionais e irracionais.

23. R
Números Reais
Q
Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z
Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
I
Números Irracionais
2

3


3
5
e

25. Observações:
A notação:
significa ab
a − b significa a + (−b)
. a = 1, ∀a ∈ R − {0}
.
= a = b, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R−{0}
É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO

26. Observações:
A notação:
.
= . , ∀a,b ∈ R − {0}
.
= . , ∀a,b ∈ R, ∀c,d ∈ R−{0}
= + =, ∀a,b ∈ R, ∀c ∈ R−{0}
= , ∀a,b ∈ R−{0}

27. REGRA DE SINAL

28. Regra do sinal para adição e subtração

29. Regra do sinal p/ multiplicação e divisão

30. Valem as seguintes fórmulas:
Para quaisquer a e b reais tem-se:
- (-a) = a
(-a)b = - (a.b) = a(-b)
(-a)(-b) = a.b
Assim temos:
-(-3) = 3
(-4).6 = -(4.6) = 4.(- 6) = -24
Exercício: Efetuar:
(-4)(- 2) = 4.2 = 8
(-8).2 = -16
3.2.(-1) = -6

31. Axiomas para os números Reais
1. Toda e qualquer subtração, na verdade, é uma
soma, ou seja:
a – b = a + (– b)
2. Toda e qualquer divisão, na verdade, é uma
multiplicação, ou seja:
= a ÷ b = a·
a
b
1
b
( )

32. Axiomas para os números Reais
3. Lei de Fechamento: A soma a+b e o produto a·b de
dois números reais são únicos.
4. Lei Comutativa:
a) a + b = b + a
b) a · b = b · a
“A ordem na adição e na multiplicação é
irrelevante!”

33. Axiomas para os números Reais
5. Lei Comutativa:
a) a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +c
b) (a · b) · c = a · (b · c) = b · (a · c) = a · b · c
“A ordem em adições e multiplicações sucessivas é
irrelevante!”

34. 6. Lei Distributiva:
a) a·(b + c) = a·b + a·c
b) b·(a + c) = b·a + b·c
c) c·(a + b) = c·a + c·b
“A multiplicação é distributiva em relação a adição!”
Axiomas para os números Reais

35. Axiomas para os números Reais
7. Lei de Identidade:
a) Existe apenas um número real na qual a soma dele
com outro número qualquer X é igual a X, ou seja:
X + 0 = 0 + X = X
b) Existe apenas um número real na qual a multiplicação
dele com outro número qualquer x é igual a x, ou seja:
1 · X = X · 1 = X

36. Axiomas para os números Reais
8. Lei de Inverso:
a) Para qualquer número Real X existe um Real – X, tal que:
X + (–X) = (–X) + X = 0
b) Para qualquer número Real X ≠ 0, existe um número real
X-1 tal que:
X · (X-1) = (X-1) · X = 1

37. Axiomas para os números Reais
9. Lei do fator zero:
a) Para qualquer número Real X:
X · 0 = 0
b) Se X e Y são dois números reais tal que:
X·Y = 0,
então obrigatoriamente X = 0 ou Y = 0.

38. Axiomas para os números Reais
10.Lei do número negativo:
a) (–1) · a = – a
b) (–1)·(–a) = – (–a) = a
c) (–a)·(–b) = a·b
d) –ab = (–a)·b = a·(–b) = – (–a)·(–b)
Se os sinais forem IGUAIS,
o resultado será POSITIVO.
Se os sinais forem
DIFERENTES, o resultado
será NEGATIVO.

39. Axiomas para os números Reais
11.Lei dos Quocientes:
– a a
=
– b b
a – a a – a
– = = =–
b
a)
b)
b – b – b
*
a c
= a d = b c
b d
a k a
= k R
b
c) se e somente se
d) para qualquer
k b
 




40. Axiomas para os números Reais
12.Lei do número absoluto:
Qualquer número Real tem um número absoluto
correspondente, tal que:
Se a < 0, ou seja, o negativo de a, | – a | = a
Se a > 0, ou seja, o positivo de a, | a | = a
| – a | = | a | = a

41. Axiomas para os números Reais
13.Lei da ordem das
operações:
“Em uma expressão,
uma soma ou uma
subtração só deve ser
realizada após todas as
operações de
multiplicação e divisão já
terem sido efetuadas, ao
menos que elas
apareçam isoladas por (
), [ ] ou { }”.

42. Exercícios

43. Exercícios

44. Ex: Marque cada afirmação como verdadeira ou falsa.
1 – Todo número natural é inteiro?
2 – Todo número inteiro é natural?
3 – Todo número inteiro é racional?
4 – Todo número irracional é racional?
5 – Todo número inteiro é real?
6 – Todo número é real?
R: 1 – Verdadeira.
2 – Falsa = O conjunto dos números inteiros inclui o
zero e os números negativos. Estes não são
naturais.
3 – Verdadeira.
4 – Falsa = O conjunto dos números irracionais é
composto por todos os números que não são
racionais.
5 – Verdadeira.
6 – Falsa = Existem outros conjuntos complexos.

45. Ex: A respeito dos conjuntos numéricos, de suas definições
e das relações de inclusão existentes entre eles, assinale a
alternativa verdadeira:
a) O conjunto dos números naturais é formado pelos
números inteiros positivos.
b) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os
números inteiros positivos e negativos.
c) O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos
números reais.
d) O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos
números naturais.
e) O conjunto dos números reais é disjunto do conjunto dos
números racionais.
R: d. O conjunto dos números naturais é formado
pelos números inteiros positivos e pelo zero, que é
inteiro nulo. O conjunto dos números inteiros é
formado pelos inteiros positivos e negativos e pelo
zero, que é nulo

46. Ex: A respeito dos elementos que pertencem a cada
conjunto numérico, assinale a alternativa correta entre as
afirmações a seguir.
a) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os
números naturais e pelo zero.
b) O conjunto dos números reais contém a intersecção entre
os conjuntos dos números racionais e irracionais.
c) O conjunto dos números racionais contém, entre outros,
todas as dízimas periódicas.
d) O conjunto dos números irracionais contém, entre outros,
todas as raízes.
e) O conjunto dos números irracionais é formado pela união
entre o conjunto dos números reais e racionais.
R: c. O conjunto dos números inteiros é formado pelos
inteiros positivos e negativos e pelo zero, que é nulo

47. Ex: Qual a proposição abaixo é verdadeira?
a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um
número inteiro.
b) A intersecção do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais tem 1 elemento.
c) O número 1,83333... é um número racional.
d) A divisão de dois números inteiros é sempre um número
inteiro.
R: c Verdadeira. O número 1,83333... é um dízima
periódica, pois o algarismo 3 se repete infinitamente.
Esse número pode ser escrito na forma de fração como
11/6, portanto é um número racional.

48. Obrigada
pela atenção!!