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COLÉGIO OPÇÃO
                                             MATEMÁTICA

                                  NÚMEROS E OPERAÇÕES

1.1 – Conjunto dos números naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como
algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema
numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de
contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas
propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na
montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Na seqüência
consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:

                                     N= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam
que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:


                                N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
                                   PROBLEMAS COM NATURAIS

1-uma fruteira da 14 de março comprou 22 caixas de maçãs. Tendo 8 maçãs cada caixa, quantas
maçãs no total obteve a fruteira?

8- em uma rua de 400 metros de comprimento serão colocados posteres de luz de modo que cada um
fique 25 metros de distancia um do outro. Quantos posteres serão colocados nesta rua?

9-uma tartaruga anda em media 1 metro a cada hora. Ao final de um dia teria andado quanto?
16- em uma hora há 60 minutos. Quantas horas há em 840 minutos
Vamos tentar decompor os números a seguir para base 10.
a)5324 b)891 c)981       d)918      e)623189


1.2 - Conjunto dos números inteiros (Z)

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z Este
conjunto pode ser escrito por:


                               Z= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluindo o número zero:


                                 Z= {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
                                                    92
                                                                             7ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

                                          Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

                                        Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o
número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância
entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:




                                 PROBLEMAS COM OS INTEIROS

1-Imagine que uma pessoa tem R$500,00 depositados em um banco e faça sucessivos saques:
1º saque: R$200,00
2º saque: R$100,00
3º saque: R$300,00
Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques?.
O lugar mais alto da terra é o pico do Everest, na Ásia: 8.882 m acima do nível do mar. O lugar mais
baixo é a fossa de sonda, no Oceano Pacífico 10. 790 m abaixo do nível do mar.
       a) Represente essas altitudes, usando números positivos e negativos
       b) Quantos metros o Everest é mais alto que a fossa de Sonda?

2- Um palácio começou a ser construído no ano 9 a.C e foi concluído 8 anos depois. Em que ano
   ficou pronto?
3- Encontre soluções para os exercícios a seguir.
4-
   a) (+ 8)2     b) (- 5 )2   c) (- 6 )3       d) (+ 17 )0    e) (+ 18 )1          f) (- 2 )3
5-
      g) (+ 10)3 . (+ 10)1   h) (- 3)2 . (- 3)1 . (- 3 )0        i) (- 5 )6 : (- 5 )2

6- j) (+ 10)5 : (+ 10 )3         l) [ (+ 10 )2]2                        m) (- 1 )0 . (- 1)2 . (- 1)3 . (- 1 )4


1.3-Conjunto dos números racionais ( Q )
O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.
 O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são
um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q.
     Exemplos:




     Observe o desenho abaixo:
                                                      93
                                                                                        7ª Série – Matemática – 1º Semestre
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  O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.
1.4Outros subconjuntos de Q:
  Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;
  Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;
  Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;
  Q+* é o conjunto dos números racionais e positivos;
  Q-* é o conjunto dos números racionais negativos.
                                   PROBLEMAS COM RACIONAIS
1 Tenho de comprar 2 quilos e 1/4 de café. No supermercado, há pacotes de 1/2, 1/4 e 1 quilo. Que
pacotes devo levar? Quais as possibilidades? Quais escolho para levar a menor quantidade de
pacotes?
2 quanto é a metade de 12/8? e se quisermos o dobro de 12/8?
3. Efetue as adições:
    1  3                    5  1
a)  +  +  +             c)  −  +  + 
    2  7                    6  2
    1  2                    2  4
b)  −  +  +             d)  −  +  + 
    3  5                    3  9
4-resolva
       1 1         3 1
  a)    X    b)     X       c) 4 : 4/5   d)1/3 : 1/6
       2 4         4 3


5- Resolva as expressões abaixo:

a) √16 + √36 = 4 + 6 =
b) √25 + √9 = 5 + 3 =
c) √49 - √4 = 7 - 2 =
d) √36- √1 = 6 - 1 =
e) √9 + √100 = 3 + 10 =
f) √4 x √9 = 2 x 3 =




                                                 94
                                                                            7ª Série – Matemática – 1º Semestre
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                         TEXTO COMPLEMENTAR NÚMEROS IRRACIONAIS


A história dos números reais não é recente, eles foram surgindo ao longo de inúmeras descobertas Matemáticas, um dos
primeiros irracionais está diretamente ligado ao Teorema de Pitágoras, o número √2 (raiz quadrada de dois) surge da
aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo com catetos medindo 1 (uma) unidade.




                             Nessa época, o conhecimento permitia extrair somente a raiz de números que possuíam
quadrados inteiros, por exemplo, 42 = 16, portando √16 = 4 e no caso de √2 não existia um número que, elevado ao quadrado,
resultasse 2.
Outro irracional surgiu da relação entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, resultando um número constante
igual a 3,141592....., representado pela letra grega π (lê-se PI). O número de Ouro também é considerado irracional, através
de pesquisas e observações o Matemático Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, estabeleceu a seguinte
seqüência numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.... Essa seqüência é formada obedecendo a uma montagem
lógica, observe:

1
1+1=2
2+1=3
3+2=5
5+3=8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55

Note que o próximo número da sequência é formado através da soma entre o atual e seu sucessor. Nessa seqüência
numérica, o número irracional surge da divisão entre um elemento e seu antecessor, a partir do número 21, veja:

5 : 3 = 1,666666.....
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,6153846153846153846153846153846 ...
34 : 21 = 1,6190476190476190476190476190476 ...
55: 34 = 1,6176470588235294117647058823529 ...

John Napier, matemático que intensificou os estudos sobre logaritmos, desenvolveu uma expressão que, ao ser calculada,
resulta em um número irracional:




O número irracional não admite representação na forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando
escrito na forma de decimal é um número infinito e não periódico.

Exemplos

π = 3,141592653589793238462... no número PI, após a virgula, não existe formação de períodos, por isso é considerado
irracional.

0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não formam períodos), então é
irracional.

2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.

Se utilizarmos uma calculadora veremos que   √2 , √3 , √5, √7, entre outros, são valores que representam números
irracionais.

A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.

Por Marcos Noé                                               95
Graduado em Matemática                                                                       7ª Série – Matemática – 1º Semestre
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Atividade investigadora
Material: esquadro e régua:
Em equipes desenhe triângulos retângulos como
No da figura com a ajuda do esquadro (angulo de 90°)
Com lados 1 e 2 com as seguintes medidas:
4 e 3 cm, 8 e 6 cm, 12 e 5 cm,20 e 15cm
E comprove o teorema de Pitágoras

 (lado1) 2 + (lado 2) 2 = diagonal 2

Investigue o triangulo de lado 1 e 1cm e comprove que a diagonal não é um numero racional
Faça a mesma coisa para os lados 1 e 2 e 2 e 3 cm

1.5 NÚMEROS IRRACIONAIS
Como visto a cima existem números que não se apresentam na forma fracionária estes números são
chamados de Irracionais. Muitos dos mais importantes e mais intrigantes números da historia da
matemática são números Irracionais como o Pi e o numero de Euller falado anteriormente.
São exemplos de números Irracionais as *dízimas não periódicas e números de raízes quadradas não
perfeitas 5 , 3 , 2

Responda: para os números    5,      3 ,   2 encontre suas posições na reta numérica

1.6– CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( ℜ )
Este conjunto é formado pela união dos números racionais e irracionais. Dessa forma, a reta fica
totalmente completa o que quer dizer que cada ponto dela representa um número real e vice-versa.
               ℜ=Q∪I
   Obs.: Há números que não são reais e são chamados de números complexos. Todos os radicais que
tenham índice par e radicando negativo representam números complexos. Vale ressaltar que um
número real é racional ou é irracional, mas todo número complexo tem uma parte real e uma parte
imaginária, e nenhum número real podem ser complexo.
                                 6                                5
Ex.: a) - 16 ∉ ℜ            b)       - 20 ∉ ℜ                c)       - 30 ∈ ℜ




                                                    96
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                                  TEXTO COMPLEMENTAR
                                   HISTÓRIA DA ÁLGEBRA
                                      (uma visão geral)


Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia
nítida    como,      por     exemplo,     a  palavra      "aritmética",   que    deriva     do
grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes
transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em
Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi
(Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com freqüência citado,
abreviadamente, como Al-jabr.
 Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e
redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"-
Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".
Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado
muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases:
(1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las.
(2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis
e          corpos          -         para         mencionar           apenas         algumas.
De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases,
uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual.
Álgebra geométrica grega

A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por
exemplo, o que nós escrevemos como:
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era
curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual
aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes
contém.[Isto é, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.]
Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um
quadrado.
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam
os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses
resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema
babilônio considerado acima. Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart




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                      2-INVESTIGANDO AS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

2.1 REGRA DE FORMAÇÃO DE SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS
Trabalho em duplas
Ana e Jorge dois amigos de sala decidiram fazer um jogo que consistia da seguinte maneira: o
primeiro jogador pensava numa seqüência de números e entregava ao segundo jogador que
deveria pensar numa operação (soma, potencia e etc..) e repassá-los de volta ao primeiro jogador,
este por sua vez, deveria dizer qual a regra usada para interpretar a seqüência dada, Ana começou
primeiro e o jogo ficou dessa maneira:
                      Ana         2      5   10   22
                                                            Que regra deformação Jorge usou
                      Jorge       7      16 31    67        para interpretar a seqüência dada
                                                            por Ana?


Logo em seguida foi a vez de Ana e a partida ficou desse jeito:
Jorge           2      3      5        7
                                                            Que regra deformação Ana usou para
Ana               5     10        26         50             interpretar a seqüência dada por Jorge?


Exercícios de fixação
 Em duplas realize a seguinte atividade
Atividade 1 complete a tabela e identifique a regra de formação numérica.
Número dito por 12 10 1 0,5 -2 30 4,2 n
Ana
Número dito por 18 15 1,5 0,75
Jorge




Número dito por 100 36 18 5 10               0 9,8 n
Ana
Número dito por 10 3,6 1,8 0,5
Jorge




Número dito por 13 28 200 15             0   1 1,5 n
Ana
Número dito por 6,5 14 100
Jorge




Número dito por -15 -3        0       22 0,1 -5 3/4 n
Ana
Número dito por -30 -6        0
Jorge



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 Atividade-2 Em duplas faça o mesmo jogo, cada aluno dará uma seqüência de números ao
companheiro que deverá bolar uma regra de formação para a seqüência e seu companheiro deverá
adivinhá-la. (registre todos os cálculos em seu caderno)

Exercícios
Nos exercícios a seguir vamos treinar o raciocínio lógico algébrico
1-complete as tabelas e diga a regra de formação numérica:
Jorge             2      3       5        7

Ana               3     8       24


Jorge             2     3       5        7

Ana               9             18


Jorge             2     3       5        7

Ana               8     16               48


jorge             2     3       5        7

Ana               11    21      53


2-Observe a seqüência

:



a)Quantos quadrados escuros possuirá a próxima figura?
b)Quantos quadrados brancos possuirá a próxima figura?
c)Qual a generalização?

3- Descubra a quantidade de diagonais que tem um polígono, em relação ao número de lados que
apresenta.

Quantidade de lados de um            3 4 5 6 7 n
polígono (n)
Quantidade de diagonais do
polígono (x)

4- Com 100 rodas posso fazer quantas bicicletas e triciclos?
5-- Tenho 100 reais para comprar feijão e farinha. O quilo de feijão custa 3 e a farinha 2 reais.
Quanto de cada posso comprar?




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6-As figuras abaixo mostram balanças em equilíbrio, o que significa que os pesos colocados nos
pratos esquerdo e direito se equivalem. Responda as perguntas a seguir considerando que pesos
indicados pela mesma letra são pesos iguais.




Agora responda:
a)o valor do "peso D "?
b)valor do "peso C "?
c) o valor do "peso B "?
d)o valor do "peso A "?
e)o valor do "peso X "?


7-As balanças ilustradas abaixo representam situações de equilíbrio.




   a. Se tirarmos 15 do prato da direita, ela mantém o equilíbrio? Desenhe uma balança nessa
       situação e justifique sua resposta.
   b. b. O que você precisaria fazer no prato da esquerda para que a balança voltasse a ficar em
       equilíbrio? Desenhe a balança nessa nova situação.
   c. . Qual o valor de X?
   d. . Que operações você fez para chegar ao resultado?
       Vamos traduzir os seguintes problemas
   a. A soma de dois números é 16 e um é o triplo do outro. Determine-os.

   b. O dobro de um número multiplicado por 3 é igual a 36. Qual é esse número?

   c. Júlia e João colecionam adesivos. Júlia tem 138 adesivos a menos que João. Quanto adesivo
   tem João, se Júlia tem 289?

   d. A soma das idades de 4 irmãos é 84 anos. Qual a idade de cada um, sabendo que a cada dois
   anos nascia um irmão?

   e. Um número natural excede em 12 a um múltiplo de 5. Qual é o resto de sua divisão por 3?
   f. busque o número de triciclos e bicicletas numa garagem, sabendo que há 100 rodas no total.
   e há 10 triciclos. Qual o numero de bicicletas?
   h. O produto de dois números é 8.quanto vale o dobro do primeiro pelo triplo do segundo?
   i.Sabendo que o produto de dois números é 9.876, é possível conhecer o produto do dobro do
   primeiro pelo triplo do segundo?




                                                 100
                                                                             7ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO


       j.                                 a figura de numero 5 apresentará quantos quadradinhos?e de
       numero 13? Exemplifique a formação.


            2.2EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E VALORES NUMÉRICOS
                                               Texto complementar

Por que as lâmpadas fluorescentes são mais eficazes?

A "lâmpada normal" também é conhecida como lâmpada incandescente. Estas lâmpadas
têm um filamento de tungstênio bem fino, que fica dentro de uma esfera de vidro.
Normalmente, elas vêm com as potências de "60 watts", "75 watts", "100 watts" e assim por
diante. A idéia básica por trás destas lâmpadas é simples. A eletricidade corre pelo
filamento, e por ele ser muito fino, oferece uma boa quantidade de resistência para a
eletricidade que transforma a energia elétrica em calor. O calor é suficiente para fazer com
que o filamento fique branco. Esta parte "branca" é a luz. O filamento brilha devido ao
calor: ele incandesce.
O problema das lâmpadas incandescentes é que o calor gasta muita eletricidade. Apesar do
objetivo da lâmpada ser gerar luz, o calor não é luz, então toda a energia gasta para criar o
calor, é desperdiçada. Portanto, as lâmpadas incandescentes são bem ineficazes, pois elas
produzem cerca de 15 lumens por watt de energia interna.
A lâmpada fluorescente usa um método completamente diferente para produzir a luz.
Existem eletrodos nas duas extremidades de um tubo fluorescente, e um gás que contém
argônio e vapor de mercúrio localizado dentro do tubo. Uma corrente de elétrons flui pelo
gás de um eletrodo para outro (de forma parecida com a corrente dos elétrons de um tubo
de raio cátodo). Estes elétrons batem nos átomos de mercúrio, excitando-os. Conforme os
átomos de mercúrio se movem do estado excitado para o estado não excitado, eles
soltam fótons ultravioleta. Os fótons em questão atingem o fósforo que cobre a parte
interna do tubo fluorescente, e este fósforo produz a luz visível. Parece complicado, então
vamos ver de novo:
   •   Existe uma corrente de elétrons fluindo entre os eletrodos das duas extremidades
       da lâmpada fluorescente;
    • Os elétrons interagem com os átomos do vapor de mercúrio que estão dentro da
       lâmpada;
    • os átomos de mercúrio ficam excitados e quando eles voltam ao estado sem
       excitação, liberam fótons de luz na região ultravioleta do espectro;
    • estes fótons ultravioleta atingem o fósforo que cobre a parte interna da
       lâmpada criando a luz visível.
O fósforo fluoresce para produzir a luz.
A lâmpada fluorescente produz menos calor, portanto, é muito mais eficaz. Uma lâmpada
fluorescente consegue produzir entre 50 e 100 lumens por watt, o que a torna de quatro a
seis vezes mais eficaz do que as lâmpadas incandescentes. É por isso que você pode
comprar uma lâmpada fluorescente de 15 watts, que produz a mesma quantidade de luz,
que uma lâmpada incandescente de 60 watts.
http://ambiente.hsw.uol.com.br/questao236.htm fonte




                                                      101
                                                                               7ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Exemplo1-Você sabia que existe uma expressão algébrica que fornece o cálculo de energia elétrica
por mês de qualquer aparelho elétrico inclusive as lâmpadas? para isso basta usarmos a expressão
               P ×T
algébrica w =         , onde W significa consumo em quilowatt hora(usaremos kWh), P expressa a
               1000
potencia de cada aparelho e T é o tempo que o aparelho fica ligado durante um mês
Apliquemos a formula para as duas lâmpadas do texto uma de 15 w e a outra de 60 w que produzem a
mesma luminosidade. Suponhamos que elas fiquem ligadas 12horas por dia (6 da tarde às 6 da
manhã), isto dará 360 horas por mês (12X30) usando a expressão acima:
      15 × 360                               60 × 360
 w1 =          = 5, 4 (lâmpada 1-fria)  w1 =          = 21, 6 (lâmpada 2-incandescente)
       1000                                   1000
Portanto o consumo mensal da lâmpada 1 é de 5,4 kWh, enquanto o da segunda é de 21,6, suponha
que a cela cobre R$0,31 por kWh. Então a primeira lâmpada gerará um despesa de R$1, 674
(0,31x5, 4) e a segunda R$6,696, uma lâmpada!!


   Tarifa da Cemat está entre as mais baratas do país
   A tarifa de energia elétrica para os clientes residenciais atendidos em baixa tensão (exceto
   subclasse baixa renda) pela Cemat(que também faz parte do grupo rede, antiga CELPA)
   está entre as mais baratas do Brasil, segundo ranking tarifário da Agência Nacional de
   Energia Elétrica (Aneel). Esses consumidores, que representam 62,28% do total de clientes
   da concessionária em Mato Grosso, pagam uma tarifa de R$ 0,32881 por quilowatt/hora
   consumido.
   Essa tarifa entrou em vigor no último dia 08 de abril, após publicação da Resolução
   Homologatória nº 444 da Aneel, que dispõe sobre o reajuste tarifário para quatro
   concessionárias de energia: Cemat, Enersul (Mato Grosso do Sul), Cemig (Minas Gerais) e
   CPFL (interior de São Paulo).
   Apesar do aumento de 7,81% na tarifa para esses consumidores, o preço praticado pela
   concessionária em Mato Grosso ainda é o mais barato entre as demais empresas. Enquanto
   o cliente da Cemat paga R$ 0,32881 por quilowatt hora, o cliente da Enersul paga R$
   0,43364, da Cemig paga R$ 0,43315 e da CPFL paga R$ 0,33782.
                                             http://www.gruporede.com.br/cemat/imp_noticia76.asp


Atividade investigadora: você já trocou as lâmpadas incandescente de sua casa? Faça o calculo do
consumo mensal de todas as lâmpadas de sua casa. É possível economizar mais? Lembre-se que a
potencia em watts vem escrita em cada lâmpada.

Exemplo 2

 Um estatístico britânico, prof. Dennis Lindley ( London's University College ), concluiu
 uma fórmula que estipula a idade ideal para o casamento de uma pessoa. Lindley seguiu
 pela análise do perfil dos casamentos que "dão certo" (os que não se rompem por
 vontade entre as partes) e os que se rompem por iniciativa de um dos parceiros, ou de
 ambos... O professor concluiu que os parâmetros X e Y são os que podem definir com
 mais precisão a idade ideal para se casar.
 Hmmm, será!? Bem, não é a fórmula, em si, que diz a idade ideal: na verdade é você e
 sua experiência de vida. Isso ocorre porque na fórmula há uma dose da
 sua expectativa afetiva futura(X) e uma pitada de sua particular experiência afetiva
 passada (Y).
 O professor estudou (com o uso de estatísticas) uma equação que relaciona estas
 variáveis com M, a idade ideal de casamento. A equação de Lindley é a seguinte:
         X −Y 
 M = Y +       , onde X é a idade que a pessoa imagina que vai se casar e Y é a idade que a
         2,7 
 pessoa começou a namorar ou a ter experiências amorosas.

                                                     102
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COLÉGIO OPÇÃO

Podemos concluir com a fórmula que se uma pessoa que iniciou suas experiências amorosas aos 18
anos e deseja se casar apenas com 30. Então usando a expressão numérica de Lindley:
          30 − 18 
M = 18 +           =22,44 anos.
          2, 7 
Vimos que nos dois exemplos acima expressões algébricas diferentes das generalizações anteriores. Note que,
                            X −Y 
no ultimo exemplo   M = Y +       representa a expressão algébrica e Xe Y são variáveis que depende da
                            2,7 
pessoa entrevistada. Quando atribuímos valores à X=18 e Y=30 obtemos M=22,44 que é o valor numérico da
expressão



Atividade investigadora: aplique a equação de Lindley na sala entrevistando seus colegas dizendo-
lhes qual seria a idade certa para eles se casarem.

EXERCÍCIOS
1-Encontre o perímetro de um quadrado quando ele tiver
    Lado         5 cm       3 cm        x cm

2- Encontre o perímetro de um triangulo eqüilátero quando ele tiver

     Lado           6 cm         13 cm        L cm

3 – Um parafuso tem massa de 40 gramas.
a) Qual a massa de 5 parafusos iguais a este ?
b) E a de n parafusos?

4- A fórmula que expressa a posição de um automóvel que partiu do km 62 da BR-316 e que viaja à
uma velocidade constante igual a 36,6km/h numa rodovia é S = 62 + 36, 6t , com S a posição na
estrada e t o tempo de viajem em horas.calcule a posição do automóvel nos seguintes trechos:
a)apos 2horas de viajem b) após 4,5 horas de viajem c)quando estiver no km 428 terá decorrido
quanto tempo após o inicio da viajem?

5-Numa cesta há uma grande quantidade de parafusos diferentes. Imagine que você vai enfiar a mão
nessa cesta e pegar alguns deles. Quanta massa você vai ter em sua mão se pegar;
a) 4 parafusos de 20 g cada e 6 de 30 g cada?
b) 10 parafusos de 15 g cada e 8 de 12 g cada ?
c) 5 parafusos de x gramas cada e 8 parafusos de y gramas cada ?
d) x parafusos de 5 g cada e y parafusos de 8 g cada?



“6- com base no preço do quilowatt hora da tarifa do grupo Rede” Celpa” (R$ 0,32881 ) e com base na
equação de consumo, diga quanto pagará de conta de luz uma residência que usa os seguintes
eletrodoméstico.

Aparelho de som completo, baixa potência (200 watts)
2 horas por dia.
4 Lâmpada incandescente 100 Watts 6 horas/dia
6 Lâmpada florescente ( 40 Watts)6 horas/dia

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COLÉGIO OPÇÃO
Microcomputador em configuração completa, com
monitor cor de 14 polegadas, impressora, modem e
scanner. (4 horas por dia) 400 w em média
Televisor Preto e Branco, ligado das 19 às 23
horas.(83W)
Televisor Cor 14 polegadas 5 horas/ dia (130 w)
Televisor Cor 20 polegadas 6 horas/dia (190 w)
Torradeira Elétrica 2.000 Watts 1hora/dia
Ventilador grande (50 cm), de parede ou pedestal, 4
horas/dia 700 Watts.
Ventilador grande (60 cm), de parede ou pedestal, 4
horas/dia 130 Watts.

Geladeira de 400 litros 24 horas por dia 58 Watts

Lavadora de Roupa completa 0,5 hora/dia 130 Watts

Televisor Cor 14 polegadas 124 Watts 5horas/dia


Televisor Cor 30 polegadas 170 Watts 4 horas por dia.


7-Mariana começou a namorar quando tinha 14 anos d idade, hoje com 22 anos pretende se casar
apenas com os 28 anos, segundo a equação de Lindley Mariana já deveria ter se casado, ou ainda não
é o tempo para este compromisso?

                                  3-PERÍMETROS E ÁREAS
3.1Perímetro
Perímetro é a medida do comprimento de um contorno.

Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho.
                                                Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos
                                                somar todos os seus lados:
                                                P = 100 + 70 + 100 + 70
                                                P = 340 m




O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o
seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida.




                                                  104
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COLÉGIO OPÇÃO
Por exemplo, a figura ao lado:

    O perímetro da figura é a soma de todos os
    seus lados:

    P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3

    P = 18 + 4 + 9 + 5 = 36




3.2Área é a medida de uma superfície.

A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será
equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:




Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.
A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros.
Se tivermos uma figura do tipo:




Sua área será um valor aproximado. Cada          é uma unidade, então a área aproximada dessa
figura será de 4 unidades.

Problemas
1-Um retângulo possui 32 cm de perímetro. É possível associarmos sua área ao seu perímetro
segundo uma equação algébrica?
2-Um retângulo tem perímetro igual a 16 cm. Quanto deve valer cada lado para que a sua área seja
máxima

4.MONÔMIOS BINÔMIOS E POLINÔMIOS
Monômio palavra grega que significa mono=um mio=nome) ao pé da letra seria; apenas um termo
algébrico, da mesma forma binômio “bi” dois significa dois termos não semelhantes e polinômio
“poli” vários termos algébricos não semelhantes
Exemplos
                                                 105
                                                                            7ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
3n+1 2x2 – 9x + 2, - x3 , 5ax2, 2 a3
 Termos semelhantes: apresenta a mesma parte
 literal: ex: 4 x 2 y e 3 x 2 y 3at 2 e at 2


Para entendermos melhor estas definições podemos transformar números em monômios, binômios
e assim sucessivamente.
                           25 = 16 + 9             1979 = 1× 103 + 9 ×10² + 7 ×10 + 9
  10 = 5 × 2
             Fazendo            4² + 3²            Fazendo 10=p

   x = 5 e y = 2 temos
                                a² + b²
                                                 1979 = 1× p 3 + 9 × p ² + 7 × p + 9
                           Binômio
  10 = xy Monômio                                Polinômio
Exercícios
 1-obtenha um monômio e um polinômio de cada numero abaixo:
        a)25 b)100 d)121
2_obtenha polinômios dos números a seguir:
a)4256 b)2010 c)123654

4.1Operações com monômios
As operações com monômios segue análoga as operações feitas antes na aritmética. Vejamos alguns
exemplos
   25 = 5 × 5
   = 5² ( se 5 = a)
   a × a = a²




Exercício
1 – Efetue:
a) (-5xy) – (-11x)                     c) (+15x) – (-3x) + (+7x) + (-2x)
                                            7a   a 
b) (+2 a) – (+5 a)                     d)   +  − 
                                            2   4

2– Faça a soma:
a) 7x – 8 – 5x + 3                     c) 6x2 – [4x2 + (3x – 5) + x]
b) (3x + 2y) – (7x – 5y)               d) 8m + 7n – (n – 4m + 6n – 4m)

3 – Multiplique:
a) (+5x). (- 4x2)                      c) (- x3) . (5ax2). (2 a3)
                                             a 2 bc   3a 3 b 
b) (- 5y). (- 6xy)                      d)  4 . 5 
                                                              
                                                             
4 – Efetue as divisões:
a) (15x6) : (3x2)                      c) (-7abc) : (-ab)
                                           4a 4 b   5a 2 b 
b) (- 10x3y) : (+5x2)                  d)  +
                                                   : −     
                                              3  
                                                        2  
5 – Efetue:
                                   5
                     2a 2 m 3 
         2 3
a) (- 3 a )      c) 
                     3                      e) 4a 6 b12
                              


                                                              106
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COLÉGIO OPÇÃO
                                         25a 4 x 8 
b) (-y2)4       d) (-3x3y4)4          f)
                                         81       
                                                   
4.2 FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
O que significa fatorar?
Fatorar significa transformar um número numa multiplicação
Por exemplo:
 36 = 9 × 4 ou ainda
    = 3.3.2.2
    = 3².2² fatores primos

E na álgebra isso é possível?
Lembre-se sempre: a base da álgebra é a aritmética. Tudo que fazemos nela
sempre será possível fazer na álgebra.


Lembre-se da distributividade




Atividade
Treine a distributividade nas somas 25+100, 64+32 e 12+48

Agora Observe outro exemplo:




Transformamos 4+2 em 2x+x , usando a distributividade, e após 2x+x em x ( x+1) provando que a
soma 2x+x é igual à x ( x+1) , fatorando assim um termo algébrico.
Atividade
1-Transforme as somas em termos algébricos e depois as fatore:
a)12+9=21
b)30+35=65
c)21+49=70

2-transforme em algébrico e fatore a soma 12+10+8+15

3- fatore
a) 5 a + 5 b + 5 c                 b) 3 (a – 5 b) + 8 (a – 5 b)

                                                   107
                                                                            7ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
c) xy2 + x2y                      d) 18x2y – 4x2y3            e) 2am + bm + 2an + bn
f) ab + ac + bx + cx + 4b + 4c    g) 9m2 – 12mn + 4n2         h) a4 – a


4 observe as figuras abaixo:




       a) Qual a área dessas figuras?
       b) Fatore as áreas obtidas. O que você observa? Elas poderiam ser feitas de outra maneira?
4.3TRANSFORMANDO PRODUTOS EM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Vejamos um outro caso de distributividade. Observe o exemplo 1




Atividade investigadora
1-Aplique a propriedade distributiva nos produtos a seguir:
a)2x5 b)10x10 c) 7x8 d) 6x12

2- verifique a propriedade também para estes produtos
a)(2+6) x (13+7) b)(4-1)x(4-1) c)(5+2)x(5+2) d)(8-1)x(8-1)

3- você também consegue fazer
a)(a+b)x (a+b)   b)(p-1)x(p-1) c) (a+b)x(a+b+c)

4.4COMO OBTER UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA A PARTIR DE TAIS PRODUTOS?
Observe o exemplo 2:




                                                 108
                                                                             7ª Série – Matemática – 1º Semestre
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Concluímos com isso que multiplicando ( h-4 ) × ( h-2 ) obtemos a soma h²-6h+8 . Assim ( h-4 ) × ( h-2 ) é
a fatoração da expressão algébrica h²-6h+8 .
Hora de treinarmos
Exercícios
1-para cada produto encontre uma expressão algébrica
a)5x5 b)7x6 c)3x2 d)8x8 e)5x8 f) 7x4

2- fatore as expressões abaixo
a) x²-5x+6 b) 16-p² c) a²+4a+4

4.5 OS PRODUTOS NOTÁVEIS


Como você deve ter percebido às vezes para fatorarmos determinadas expressões é necessário
conhecermos certos produtos. Por exemplo
x²+6x+9= ( x+3) × ( x+3) Verifique que é!!
Mas ( x+3) × ( x+3) não lembra a área de um quadrado? Observe.




Sua área é igual a ( x+3) × ( x+3) , mas sua área pode ser expressa também como a soma das subáreas
x²+3x+3x+9
Chamamos para este tipo de fatoração de fatoração com produtos notáveis.
Atividade investigadora
Analise geometricamente as expressões algébricas
a) a²+4a+4 b) t²+8t+16 c) c²-10c+25 c) x²-81

Vejamos os principais casos de produtos notáveis
Caso 1 quadrado da soma:
Análogo ao exemplo anterior



Caso 2 quadrado da diferença




                                                    109
                                                                                 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
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CASO 3 :Diferença de dois quadrados




Vários problemas de álgebra envolvendo fatoração necessitam dos conhecimentos de produtos
notáveis, bem como divisão e simplificação de frações algébricas e ainda no estudo das equações do
2º grau. Façamos agora alguns exercícios

Exercícios
1 – desenvolva os seguintes quadrados:
      a) (x + 5)2                                    f) (2m5 – 3)2
      b) (2 a + x)2                                  g) (x – 0,5)2
      c) (a + 2/3)2                                  h) (x2 – 12)2
      d) (2x3 + 3y2)2                                i) (2n4 – 5n3)2
      e) (x/2 + y/2)2                                j) (2x/5 – ¾)2
2 – Desenvolva os produtos abaixo usando os produtos notáveis:

      a)   (y – 7) . (y + 7)                      e) (y + 6/11) . (y – 6/11)
      b)   (2x3 + 2a ) . (2x3 – 2a)               f) (0,12 – 0,2x) . (0,12 + 0,2x)
      c)   (x2 – 1/7) . (x2 + 1/7)                g) ( 1 + x) . (1 – x)
      d)   (3x2 + 4) . (3x2 – 4)                  h) (2a/3 + x5y2) . (2a/3 – x5y2)

3 – Desenvolva os cubos abaixo:
a) (x + 2)3                                       d) (5 – x)3
b) (3 – 2x)3                                      e) (1 + pq)3
c) (x – 2a)3                                      f) (x2/2 + 2x/3)3
                                                110
                                                                              7ª Série – Matemática – 1º Semestre
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4– Desenvolva os quadrados:

a) (x + y + 2)2                     c) (2x2 – 3 + x)2
b) (2 – y + 3x)2                    d) (mn + ½ - m)2
5– resolva:
a)(5x – 2)2 + 3x – 1                c) (2x – 3)2 – 4(x – 1) . (x + 1) + 5
b)(3x – 1) . (3x + 1) – 2x + 5      d) (x + ½) . (x – ½) – (1 – x)2 + 5/4 – 2x

4.6 OPERAÇÕES ENTRE POLINÔMIOS
– Soma e subtração
   Estas operações são feitas através de redução de termos semelhantes dos polinômios.
Ex.: a) (2x2 – 9x + 2) + (3x2 + 7x + 1)
Solução: 2x2 + 3x2 – 9x + 7x + 2 + 1 = 5x2 – 2x + 3
     b) (5x2 – 4x + 9) – (8x2 – 6x + 3)
Solução: 5x2 – 8x2 – 4x + 6x + 9 – 3 = - 3x2 + 2x + 6

– Multiplicação de um monômio por um polinômio
  Nesta operação, usa-se a propriedade distributiva da multiplicação.
Ex.: a) (2xy2) x (3x2y3 – 5x) = 6x3y5 – 10x2y2

– Multiplicação de polinômio por polinômio
   Também aqui, usa-se a propriedade acima, porém devem-se reduzir os termos semelhantes, caso
necessário.
Ex.: a) (2x + 4) x (3x – 5) = 6x2 – 10x + 12x – 20 = 6x2 + 2x – 20

– Divisão de um polinômio por um monômio
   Dividi-se cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex: a) (12x4y2 – 15x2y) : (3x2y) : 4x2y – 5

– Divisão de polinômio por polinômio
   Existem vários métodos para encontrarmos o resultado da divisão:
Ex.: Efetuar as divisões abaixo:
a) (2x2 – 5x – 12): (x – 4)

 Método um:




 Método dois:



Exercício 12
1 – Indique o grau dos polinômios abaixo:
a) 2x3 + 5x4 – 4      c) –x4y – x3 + 2x
b) 7xy3 + 4a3b5 – 2 d) 9x3 – 4x2 – 6x + 1

2 – Efetue as somas e subtrações entre os polinômios.
a) (-2 a2 – 3 a + 6) – (- 4 a2 – 5 a + 6)          c) (7ab + 4c – 3a) – (5c + 4a – 10)
      2           2              2    2
b) (x + 2xy + y ) + (3xy – 2y + x )                d) (4x2y – 3xy2 + 2) + (xy2 – x2y – 2)

3 – Calcule os produtos abaixo:
a) 3 . (2x + y)                     e) (x + 3) . (2x – 6)                 i) (m4 – 1) x ( m4 + 5)
b) 5 a . (2a – 3)                   f) (5x2 – 4x) . ( 3xy – 2)            j) (2x2- 4) . (2x2 – 4)
                                                  111
                                                                                 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
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c) x2 . ( x3 + x4)                    g) (x2 + 5x – 6) . ( 2x + 3)           l) (3x2 – 5x) . (- 3x3)
d) - 3x2y . (4xy – 2y3)               h) (x + 2) . ( x – 1) . (2x – 3)       m) (x – 5) . (x + 5)

4 – Efetue as divisões abaixo:
a) (12x2 – 8x) : (+2x)                e) (x2 + 5x + 6) : (x + 2)
b) (6a2x – 4ax2) : (- 2x)             f) (x3 – 6x2 + 11x) : (x – 3)
c) (-3x2y + 18xy2) : 3xy              g) (3x3 – 13x2 + 37x – 50) : (x2 – 2x + 5)
d) (3x4 – 6x3 + 10x2) : (-2x2)        h) (4x4 – 14x3 + 15x2 – 17x + 5) : (x-2 – 3x + 1)
i) (x4 – 2x3 + 3) : (x + 1)           j) (8x3 – 27) : (2x + 3)

5 – Calcule os produtos e reduza os termos semelhantes.
a) x2 + (x + 7) . (x + 1)                   c) (x + 5) . (x – 2) + (2x - 1) . (x + 1)
       2
b) –2x + 5 + 2 (x + 2) . (x + 2)            d) x.(x + 2) + 3x.(2x + 5)

6-O polinômio

P(x) = x3 – x2 – 14x + 24 é divisível por
(A) x + 7
(B) x
(C) x + 2
(D) x + 4
(E) x – 4

7-O polinômio

P(x) = x3 – x2 – 14x + 24 é divisível por
(A) (x + 7)x
(B) x(x + 2)
(C) (x – 2)(x + 2)
(D) (x – 2)(x + 4)
(E) x – 4




                                                    112
                                                                                  7ª Série – Matemática – 1º Semestre

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  • 1. COLÉGIO OPÇÃO MATEMÁTICA NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 – Conjunto dos números naturais (N) O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Na seqüência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} PROBLEMAS COM NATURAIS 1-uma fruteira da 14 de março comprou 22 caixas de maçãs. Tendo 8 maçãs cada caixa, quantas maçãs no total obteve a fruteira? 8- em uma rua de 400 metros de comprimento serão colocados posteres de luz de modo que cada um fique 25 metros de distancia um do outro. Quantos posteres serão colocados nesta rua? 9-uma tartaruga anda em media 1 metro a cada hora. Ao final de um dia teria andado quanto? 16- em uma hora há 60 minutos. Quantas horas há em 840 minutos Vamos tentar decompor os números a seguir para base 10. a)5324 b)891 c)981 d)918 e)623189 1.2 - Conjunto dos números inteiros (Z) Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z Este conjunto pode ser escrito por: Z= {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z (a) Conjunto dos números inteiros excluindo o número zero: Z= {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} 92 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 2. COLÉGIO OPÇÃO (b) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} (c) Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Reta Numerada Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira: PROBLEMAS COM OS INTEIROS 1-Imagine que uma pessoa tem R$500,00 depositados em um banco e faça sucessivos saques: 1º saque: R$200,00 2º saque: R$100,00 3º saque: R$300,00 Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques?. O lugar mais alto da terra é o pico do Everest, na Ásia: 8.882 m acima do nível do mar. O lugar mais baixo é a fossa de sonda, no Oceano Pacífico 10. 790 m abaixo do nível do mar. a) Represente essas altitudes, usando números positivos e negativos b) Quantos metros o Everest é mais alto que a fossa de Sonda? 2- Um palácio começou a ser construído no ano 9 a.C e foi concluído 8 anos depois. Em que ano ficou pronto? 3- Encontre soluções para os exercícios a seguir. 4- a) (+ 8)2 b) (- 5 )2 c) (- 6 )3 d) (+ 17 )0 e) (+ 18 )1 f) (- 2 )3 5- g) (+ 10)3 . (+ 10)1 h) (- 3)2 . (- 3)1 . (- 3 )0 i) (- 5 )6 : (- 5 )2 6- j) (+ 10)5 : (+ 10 )3 l) [ (+ 10 )2]2 m) (- 1 )0 . (- 1)2 . (- 1)3 . (- 1 )4 1.3-Conjunto dos números racionais ( Q ) O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros. O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q. Exemplos: Observe o desenho abaixo: 93 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 3. COLÉGIO OPÇÃO O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z. 1.4Outros subconjuntos de Q: Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero; Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero; Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero; Q+* é o conjunto dos números racionais e positivos; Q-* é o conjunto dos números racionais negativos. PROBLEMAS COM RACIONAIS 1 Tenho de comprar 2 quilos e 1/4 de café. No supermercado, há pacotes de 1/2, 1/4 e 1 quilo. Que pacotes devo levar? Quais as possibilidades? Quais escolho para levar a menor quantidade de pacotes? 2 quanto é a metade de 12/8? e se quisermos o dobro de 12/8? 3. Efetue as adições:  1  3  5  1 a)  +  +  +  c)  −  +  +   2  7  6  2  1  2  2  4 b)  −  +  +  d)  −  +  +   3  5   3  9 4-resolva 1 1 3 1 a) X b) X c) 4 : 4/5 d)1/3 : 1/6 2 4 4 3 5- Resolva as expressões abaixo: a) √16 + √36 = 4 + 6 = b) √25 + √9 = 5 + 3 = c) √49 - √4 = 7 - 2 = d) √36- √1 = 6 - 1 = e) √9 + √100 = 3 + 10 = f) √4 x √9 = 2 x 3 = 94 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 4. COLÉGIO OPÇÃO TEXTO COMPLEMENTAR NÚMEROS IRRACIONAIS A história dos números reais não é recente, eles foram surgindo ao longo de inúmeras descobertas Matemáticas, um dos primeiros irracionais está diretamente ligado ao Teorema de Pitágoras, o número √2 (raiz quadrada de dois) surge da aplicação da relação de Pitágoras no triângulo retângulo com catetos medindo 1 (uma) unidade. Nessa época, o conhecimento permitia extrair somente a raiz de números que possuíam quadrados inteiros, por exemplo, 42 = 16, portando √16 = 4 e no caso de √2 não existia um número que, elevado ao quadrado, resultasse 2. Outro irracional surgiu da relação entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, resultando um número constante igual a 3,141592....., representado pela letra grega π (lê-se PI). O número de Ouro também é considerado irracional, através de pesquisas e observações o Matemático Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, estabeleceu a seguinte seqüência numérica: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.... Essa seqüência é formada obedecendo a uma montagem lógica, observe: 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 8 + 5 = 13 13 + 8 = 21 21 + 13 = 34 34 + 21 = 55 Note que o próximo número da sequência é formado através da soma entre o atual e seu sucessor. Nessa seqüência numérica, o número irracional surge da divisão entre um elemento e seu antecessor, a partir do número 21, veja: 5 : 3 = 1,666666..... 8 : 5 = 1,6 13 : 8 = 1,625 21 : 13 = 1,6153846153846153846153846153846 ... 34 : 21 = 1,6190476190476190476190476190476 ... 55: 34 = 1,6176470588235294117647058823529 ... John Napier, matemático que intensificou os estudos sobre logaritmos, desenvolveu uma expressão que, ao ser calculada, resulta em um número irracional: O número irracional não admite representação na forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal é um número infinito e não periódico. Exemplos π = 3,141592653589793238462... no número PI, após a virgula, não existe formação de períodos, por isso é considerado irracional. 0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não formam períodos), então é irracional. 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica. Se utilizarmos uma calculadora veremos que √2 , √3 , √5, √7, entre outros, são valores que representam números irracionais. A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula. Por Marcos Noé 95 Graduado em Matemática 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 5. COLÉGIO OPÇÃO Atividade investigadora Material: esquadro e régua: Em equipes desenhe triângulos retângulos como No da figura com a ajuda do esquadro (angulo de 90°) Com lados 1 e 2 com as seguintes medidas: 4 e 3 cm, 8 e 6 cm, 12 e 5 cm,20 e 15cm E comprove o teorema de Pitágoras (lado1) 2 + (lado 2) 2 = diagonal 2 Investigue o triangulo de lado 1 e 1cm e comprove que a diagonal não é um numero racional Faça a mesma coisa para os lados 1 e 2 e 2 e 3 cm 1.5 NÚMEROS IRRACIONAIS Como visto a cima existem números que não se apresentam na forma fracionária estes números são chamados de Irracionais. Muitos dos mais importantes e mais intrigantes números da historia da matemática são números Irracionais como o Pi e o numero de Euller falado anteriormente. São exemplos de números Irracionais as *dízimas não periódicas e números de raízes quadradas não perfeitas 5 , 3 , 2 Responda: para os números 5, 3 , 2 encontre suas posições na reta numérica 1.6– CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( ℜ ) Este conjunto é formado pela união dos números racionais e irracionais. Dessa forma, a reta fica totalmente completa o que quer dizer que cada ponto dela representa um número real e vice-versa. ℜ=Q∪I Obs.: Há números que não são reais e são chamados de números complexos. Todos os radicais que tenham índice par e radicando negativo representam números complexos. Vale ressaltar que um número real é racional ou é irracional, mas todo número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, e nenhum número real podem ser complexo. 6 5 Ex.: a) - 16 ∉ ℜ b) - 20 ∉ ℜ c) - 30 ∈ ℜ 96 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 6. COLÉGIO OPÇÃO TEXTO COMPLEMENTAR HISTÓRIA DA ÁLGEBRA (uma visão geral) Estranha e intrigante é a origem da palavra "álgebra". Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos ("número"). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com freqüência citado, abreviadamente, como Al-jabr. Uma tradução literal do título completo do livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução", mas matematicamente seria melhor "ciência da transposição e cancelamento"- Talvez a melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações". Ainda que originalmente "álgebra" refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las. (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos - para mencionar apenas algumas. De fato, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual. Álgebra geométrica grega A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4: Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém.[Isto é, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.] Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um quadrado. Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima. Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K. Baumgart 97 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 7. COLÉGIO OPÇÃO 2-INVESTIGANDO AS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 2.1 REGRA DE FORMAÇÃO DE SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS Trabalho em duplas Ana e Jorge dois amigos de sala decidiram fazer um jogo que consistia da seguinte maneira: o primeiro jogador pensava numa seqüência de números e entregava ao segundo jogador que deveria pensar numa operação (soma, potencia e etc..) e repassá-los de volta ao primeiro jogador, este por sua vez, deveria dizer qual a regra usada para interpretar a seqüência dada, Ana começou primeiro e o jogo ficou dessa maneira: Ana 2 5 10 22 Que regra deformação Jorge usou Jorge 7 16 31 67 para interpretar a seqüência dada por Ana? Logo em seguida foi a vez de Ana e a partida ficou desse jeito: Jorge 2 3 5 7 Que regra deformação Ana usou para Ana 5 10 26 50 interpretar a seqüência dada por Jorge? Exercícios de fixação Em duplas realize a seguinte atividade Atividade 1 complete a tabela e identifique a regra de formação numérica. Número dito por 12 10 1 0,5 -2 30 4,2 n Ana Número dito por 18 15 1,5 0,75 Jorge Número dito por 100 36 18 5 10 0 9,8 n Ana Número dito por 10 3,6 1,8 0,5 Jorge Número dito por 13 28 200 15 0 1 1,5 n Ana Número dito por 6,5 14 100 Jorge Número dito por -15 -3 0 22 0,1 -5 3/4 n Ana Número dito por -30 -6 0 Jorge 98 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 8. COLÉGIO OPÇÃO Atividade-2 Em duplas faça o mesmo jogo, cada aluno dará uma seqüência de números ao companheiro que deverá bolar uma regra de formação para a seqüência e seu companheiro deverá adivinhá-la. (registre todos os cálculos em seu caderno) Exercícios Nos exercícios a seguir vamos treinar o raciocínio lógico algébrico 1-complete as tabelas e diga a regra de formação numérica: Jorge 2 3 5 7 Ana 3 8 24 Jorge 2 3 5 7 Ana 9 18 Jorge 2 3 5 7 Ana 8 16 48 jorge 2 3 5 7 Ana 11 21 53 2-Observe a seqüência : a)Quantos quadrados escuros possuirá a próxima figura? b)Quantos quadrados brancos possuirá a próxima figura? c)Qual a generalização? 3- Descubra a quantidade de diagonais que tem um polígono, em relação ao número de lados que apresenta. Quantidade de lados de um 3 4 5 6 7 n polígono (n) Quantidade de diagonais do polígono (x) 4- Com 100 rodas posso fazer quantas bicicletas e triciclos? 5-- Tenho 100 reais para comprar feijão e farinha. O quilo de feijão custa 3 e a farinha 2 reais. Quanto de cada posso comprar? 99 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 9. COLÉGIO OPÇÃO 6-As figuras abaixo mostram balanças em equilíbrio, o que significa que os pesos colocados nos pratos esquerdo e direito se equivalem. Responda as perguntas a seguir considerando que pesos indicados pela mesma letra são pesos iguais. Agora responda: a)o valor do "peso D "? b)valor do "peso C "? c) o valor do "peso B "? d)o valor do "peso A "? e)o valor do "peso X "? 7-As balanças ilustradas abaixo representam situações de equilíbrio. a. Se tirarmos 15 do prato da direita, ela mantém o equilíbrio? Desenhe uma balança nessa situação e justifique sua resposta. b. b. O que você precisaria fazer no prato da esquerda para que a balança voltasse a ficar em equilíbrio? Desenhe a balança nessa nova situação. c. . Qual o valor de X? d. . Que operações você fez para chegar ao resultado? Vamos traduzir os seguintes problemas a. A soma de dois números é 16 e um é o triplo do outro. Determine-os. b. O dobro de um número multiplicado por 3 é igual a 36. Qual é esse número? c. Júlia e João colecionam adesivos. Júlia tem 138 adesivos a menos que João. Quanto adesivo tem João, se Júlia tem 289? d. A soma das idades de 4 irmãos é 84 anos. Qual a idade de cada um, sabendo que a cada dois anos nascia um irmão? e. Um número natural excede em 12 a um múltiplo de 5. Qual é o resto de sua divisão por 3? f. busque o número de triciclos e bicicletas numa garagem, sabendo que há 100 rodas no total. e há 10 triciclos. Qual o numero de bicicletas? h. O produto de dois números é 8.quanto vale o dobro do primeiro pelo triplo do segundo? i.Sabendo que o produto de dois números é 9.876, é possível conhecer o produto do dobro do primeiro pelo triplo do segundo? 100 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 10. COLÉGIO OPÇÃO j. a figura de numero 5 apresentará quantos quadradinhos?e de numero 13? Exemplifique a formação. 2.2EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E VALORES NUMÉRICOS Texto complementar Por que as lâmpadas fluorescentes são mais eficazes? A "lâmpada normal" também é conhecida como lâmpada incandescente. Estas lâmpadas têm um filamento de tungstênio bem fino, que fica dentro de uma esfera de vidro. Normalmente, elas vêm com as potências de "60 watts", "75 watts", "100 watts" e assim por diante. A idéia básica por trás destas lâmpadas é simples. A eletricidade corre pelo filamento, e por ele ser muito fino, oferece uma boa quantidade de resistência para a eletricidade que transforma a energia elétrica em calor. O calor é suficiente para fazer com que o filamento fique branco. Esta parte "branca" é a luz. O filamento brilha devido ao calor: ele incandesce. O problema das lâmpadas incandescentes é que o calor gasta muita eletricidade. Apesar do objetivo da lâmpada ser gerar luz, o calor não é luz, então toda a energia gasta para criar o calor, é desperdiçada. Portanto, as lâmpadas incandescentes são bem ineficazes, pois elas produzem cerca de 15 lumens por watt de energia interna. A lâmpada fluorescente usa um método completamente diferente para produzir a luz. Existem eletrodos nas duas extremidades de um tubo fluorescente, e um gás que contém argônio e vapor de mercúrio localizado dentro do tubo. Uma corrente de elétrons flui pelo gás de um eletrodo para outro (de forma parecida com a corrente dos elétrons de um tubo de raio cátodo). Estes elétrons batem nos átomos de mercúrio, excitando-os. Conforme os átomos de mercúrio se movem do estado excitado para o estado não excitado, eles soltam fótons ultravioleta. Os fótons em questão atingem o fósforo que cobre a parte interna do tubo fluorescente, e este fósforo produz a luz visível. Parece complicado, então vamos ver de novo: • Existe uma corrente de elétrons fluindo entre os eletrodos das duas extremidades da lâmpada fluorescente; • Os elétrons interagem com os átomos do vapor de mercúrio que estão dentro da lâmpada; • os átomos de mercúrio ficam excitados e quando eles voltam ao estado sem excitação, liberam fótons de luz na região ultravioleta do espectro; • estes fótons ultravioleta atingem o fósforo que cobre a parte interna da lâmpada criando a luz visível. O fósforo fluoresce para produzir a luz. A lâmpada fluorescente produz menos calor, portanto, é muito mais eficaz. Uma lâmpada fluorescente consegue produzir entre 50 e 100 lumens por watt, o que a torna de quatro a seis vezes mais eficaz do que as lâmpadas incandescentes. É por isso que você pode comprar uma lâmpada fluorescente de 15 watts, que produz a mesma quantidade de luz, que uma lâmpada incandescente de 60 watts. http://ambiente.hsw.uol.com.br/questao236.htm fonte 101 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 11. COLÉGIO OPÇÃO Exemplo1-Você sabia que existe uma expressão algébrica que fornece o cálculo de energia elétrica por mês de qualquer aparelho elétrico inclusive as lâmpadas? para isso basta usarmos a expressão P ×T algébrica w = , onde W significa consumo em quilowatt hora(usaremos kWh), P expressa a 1000 potencia de cada aparelho e T é o tempo que o aparelho fica ligado durante um mês Apliquemos a formula para as duas lâmpadas do texto uma de 15 w e a outra de 60 w que produzem a mesma luminosidade. Suponhamos que elas fiquem ligadas 12horas por dia (6 da tarde às 6 da manhã), isto dará 360 horas por mês (12X30) usando a expressão acima: 15 × 360 60 × 360 w1 = = 5, 4 (lâmpada 1-fria) w1 = = 21, 6 (lâmpada 2-incandescente) 1000 1000 Portanto o consumo mensal da lâmpada 1 é de 5,4 kWh, enquanto o da segunda é de 21,6, suponha que a cela cobre R$0,31 por kWh. Então a primeira lâmpada gerará um despesa de R$1, 674 (0,31x5, 4) e a segunda R$6,696, uma lâmpada!! Tarifa da Cemat está entre as mais baratas do país A tarifa de energia elétrica para os clientes residenciais atendidos em baixa tensão (exceto subclasse baixa renda) pela Cemat(que também faz parte do grupo rede, antiga CELPA) está entre as mais baratas do Brasil, segundo ranking tarifário da Agência Nacional de Energia Elétrica (Aneel). Esses consumidores, que representam 62,28% do total de clientes da concessionária em Mato Grosso, pagam uma tarifa de R$ 0,32881 por quilowatt/hora consumido. Essa tarifa entrou em vigor no último dia 08 de abril, após publicação da Resolução Homologatória nº 444 da Aneel, que dispõe sobre o reajuste tarifário para quatro concessionárias de energia: Cemat, Enersul (Mato Grosso do Sul), Cemig (Minas Gerais) e CPFL (interior de São Paulo). Apesar do aumento de 7,81% na tarifa para esses consumidores, o preço praticado pela concessionária em Mato Grosso ainda é o mais barato entre as demais empresas. Enquanto o cliente da Cemat paga R$ 0,32881 por quilowatt hora, o cliente da Enersul paga R$ 0,43364, da Cemig paga R$ 0,43315 e da CPFL paga R$ 0,33782. http://www.gruporede.com.br/cemat/imp_noticia76.asp Atividade investigadora: você já trocou as lâmpadas incandescente de sua casa? Faça o calculo do consumo mensal de todas as lâmpadas de sua casa. É possível economizar mais? Lembre-se que a potencia em watts vem escrita em cada lâmpada. Exemplo 2 Um estatístico britânico, prof. Dennis Lindley ( London's University College ), concluiu uma fórmula que estipula a idade ideal para o casamento de uma pessoa. Lindley seguiu pela análise do perfil dos casamentos que "dão certo" (os que não se rompem por vontade entre as partes) e os que se rompem por iniciativa de um dos parceiros, ou de ambos... O professor concluiu que os parâmetros X e Y são os que podem definir com mais precisão a idade ideal para se casar. Hmmm, será!? Bem, não é a fórmula, em si, que diz a idade ideal: na verdade é você e sua experiência de vida. Isso ocorre porque na fórmula há uma dose da sua expectativa afetiva futura(X) e uma pitada de sua particular experiência afetiva passada (Y). O professor estudou (com o uso de estatísticas) uma equação que relaciona estas variáveis com M, a idade ideal de casamento. A equação de Lindley é a seguinte:  X −Y  M = Y +  , onde X é a idade que a pessoa imagina que vai se casar e Y é a idade que a  2,7  pessoa começou a namorar ou a ter experiências amorosas. 102 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 12. COLÉGIO OPÇÃO Podemos concluir com a fórmula que se uma pessoa que iniciou suas experiências amorosas aos 18 anos e deseja se casar apenas com 30. Então usando a expressão numérica de Lindley:  30 − 18  M = 18 +   =22,44 anos.  2, 7  Vimos que nos dois exemplos acima expressões algébricas diferentes das generalizações anteriores. Note que,  X −Y  no ultimo exemplo M = Y +  representa a expressão algébrica e Xe Y são variáveis que depende da  2,7  pessoa entrevistada. Quando atribuímos valores à X=18 e Y=30 obtemos M=22,44 que é o valor numérico da expressão Atividade investigadora: aplique a equação de Lindley na sala entrevistando seus colegas dizendo- lhes qual seria a idade certa para eles se casarem. EXERCÍCIOS 1-Encontre o perímetro de um quadrado quando ele tiver Lado 5 cm 3 cm x cm 2- Encontre o perímetro de um triangulo eqüilátero quando ele tiver Lado 6 cm 13 cm L cm 3 – Um parafuso tem massa de 40 gramas. a) Qual a massa de 5 parafusos iguais a este ? b) E a de n parafusos? 4- A fórmula que expressa a posição de um automóvel que partiu do km 62 da BR-316 e que viaja à uma velocidade constante igual a 36,6km/h numa rodovia é S = 62 + 36, 6t , com S a posição na estrada e t o tempo de viajem em horas.calcule a posição do automóvel nos seguintes trechos: a)apos 2horas de viajem b) após 4,5 horas de viajem c)quando estiver no km 428 terá decorrido quanto tempo após o inicio da viajem? 5-Numa cesta há uma grande quantidade de parafusos diferentes. Imagine que você vai enfiar a mão nessa cesta e pegar alguns deles. Quanta massa você vai ter em sua mão se pegar; a) 4 parafusos de 20 g cada e 6 de 30 g cada? b) 10 parafusos de 15 g cada e 8 de 12 g cada ? c) 5 parafusos de x gramas cada e 8 parafusos de y gramas cada ? d) x parafusos de 5 g cada e y parafusos de 8 g cada? “6- com base no preço do quilowatt hora da tarifa do grupo Rede” Celpa” (R$ 0,32881 ) e com base na equação de consumo, diga quanto pagará de conta de luz uma residência que usa os seguintes eletrodoméstico. Aparelho de som completo, baixa potência (200 watts) 2 horas por dia. 4 Lâmpada incandescente 100 Watts 6 horas/dia 6 Lâmpada florescente ( 40 Watts)6 horas/dia 103 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 13. COLÉGIO OPÇÃO Microcomputador em configuração completa, com monitor cor de 14 polegadas, impressora, modem e scanner. (4 horas por dia) 400 w em média Televisor Preto e Branco, ligado das 19 às 23 horas.(83W) Televisor Cor 14 polegadas 5 horas/ dia (130 w) Televisor Cor 20 polegadas 6 horas/dia (190 w) Torradeira Elétrica 2.000 Watts 1hora/dia Ventilador grande (50 cm), de parede ou pedestal, 4 horas/dia 700 Watts. Ventilador grande (60 cm), de parede ou pedestal, 4 horas/dia 130 Watts. Geladeira de 400 litros 24 horas por dia 58 Watts Lavadora de Roupa completa 0,5 hora/dia 130 Watts Televisor Cor 14 polegadas 124 Watts 5horas/dia Televisor Cor 30 polegadas 170 Watts 4 horas por dia. 7-Mariana começou a namorar quando tinha 14 anos d idade, hoje com 22 anos pretende se casar apenas com os 28 anos, segundo a equação de Lindley Mariana já deveria ter se casado, ou ainda não é o tempo para este compromisso? 3-PERÍMETROS E ÁREAS 3.1Perímetro Perímetro é a medida do comprimento de um contorno. Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno que está de vermelho. Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados: P = 100 + 70 + 100 + 70 P = 340 m O perímetro da figura abaixo é o contorno dela, como não temos a medida de seus lados, para medir o seu perímetro devemos contorná-la com um barbante e depois esticá-lo e calcular a medida. 104 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 14. COLÉGIO OPÇÃO Por exemplo, a figura ao lado: O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados: P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3 P = 18 + 4 + 9 + 5 = 36 3.2Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área: Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros. Se tivermos uma figura do tipo: Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades. Problemas 1-Um retângulo possui 32 cm de perímetro. É possível associarmos sua área ao seu perímetro segundo uma equação algébrica? 2-Um retângulo tem perímetro igual a 16 cm. Quanto deve valer cada lado para que a sua área seja máxima 4.MONÔMIOS BINÔMIOS E POLINÔMIOS Monômio palavra grega que significa mono=um mio=nome) ao pé da letra seria; apenas um termo algébrico, da mesma forma binômio “bi” dois significa dois termos não semelhantes e polinômio “poli” vários termos algébricos não semelhantes Exemplos 105 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 15. COLÉGIO OPÇÃO 3n+1 2x2 – 9x + 2, - x3 , 5ax2, 2 a3 Termos semelhantes: apresenta a mesma parte literal: ex: 4 x 2 y e 3 x 2 y 3at 2 e at 2 Para entendermos melhor estas definições podemos transformar números em monômios, binômios e assim sucessivamente. 25 = 16 + 9 1979 = 1× 103 + 9 ×10² + 7 ×10 + 9 10 = 5 × 2 Fazendo 4² + 3² Fazendo 10=p x = 5 e y = 2 temos a² + b² 1979 = 1× p 3 + 9 × p ² + 7 × p + 9 Binômio 10 = xy Monômio Polinômio Exercícios 1-obtenha um monômio e um polinômio de cada numero abaixo: a)25 b)100 d)121 2_obtenha polinômios dos números a seguir: a)4256 b)2010 c)123654 4.1Operações com monômios As operações com monômios segue análoga as operações feitas antes na aritmética. Vejamos alguns exemplos 25 = 5 × 5 = 5² ( se 5 = a) a × a = a² Exercício 1 – Efetue: a) (-5xy) – (-11x) c) (+15x) – (-3x) + (+7x) + (-2x)  7a   a  b) (+2 a) – (+5 a) d)   +  −   2   4 2– Faça a soma: a) 7x – 8 – 5x + 3 c) 6x2 – [4x2 + (3x – 5) + x] b) (3x + 2y) – (7x – 5y) d) 8m + 7n – (n – 4m + 6n – 4m) 3 – Multiplique: a) (+5x). (- 4x2) c) (- x3) . (5ax2). (2 a3)  a 2 bc   3a 3 b  b) (- 5y). (- 6xy) d)  4 . 5       4 – Efetue as divisões: a) (15x6) : (3x2) c) (-7abc) : (-ab)  4a 4 b   5a 2 b  b) (- 10x3y) : (+5x2) d)  +   : −   3     2   5 – Efetue: 5  2a 2 m 3  2 3 a) (- 3 a ) c)   3   e) 4a 6 b12   106 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 16. COLÉGIO OPÇÃO  25a 4 x 8  b) (-y2)4 d) (-3x3y4)4 f)  81     4.2 FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS O que significa fatorar? Fatorar significa transformar um número numa multiplicação Por exemplo: 36 = 9 × 4 ou ainda = 3.3.2.2 = 3².2² fatores primos E na álgebra isso é possível? Lembre-se sempre: a base da álgebra é a aritmética. Tudo que fazemos nela sempre será possível fazer na álgebra. Lembre-se da distributividade Atividade Treine a distributividade nas somas 25+100, 64+32 e 12+48 Agora Observe outro exemplo: Transformamos 4+2 em 2x+x , usando a distributividade, e após 2x+x em x ( x+1) provando que a soma 2x+x é igual à x ( x+1) , fatorando assim um termo algébrico. Atividade 1-Transforme as somas em termos algébricos e depois as fatore: a)12+9=21 b)30+35=65 c)21+49=70 2-transforme em algébrico e fatore a soma 12+10+8+15 3- fatore a) 5 a + 5 b + 5 c b) 3 (a – 5 b) + 8 (a – 5 b) 107 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 17. COLÉGIO OPÇÃO c) xy2 + x2y d) 18x2y – 4x2y3 e) 2am + bm + 2an + bn f) ab + ac + bx + cx + 4b + 4c g) 9m2 – 12mn + 4n2 h) a4 – a 4 observe as figuras abaixo: a) Qual a área dessas figuras? b) Fatore as áreas obtidas. O que você observa? Elas poderiam ser feitas de outra maneira? 4.3TRANSFORMANDO PRODUTOS EM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Vejamos um outro caso de distributividade. Observe o exemplo 1 Atividade investigadora 1-Aplique a propriedade distributiva nos produtos a seguir: a)2x5 b)10x10 c) 7x8 d) 6x12 2- verifique a propriedade também para estes produtos a)(2+6) x (13+7) b)(4-1)x(4-1) c)(5+2)x(5+2) d)(8-1)x(8-1) 3- você também consegue fazer a)(a+b)x (a+b) b)(p-1)x(p-1) c) (a+b)x(a+b+c) 4.4COMO OBTER UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA A PARTIR DE TAIS PRODUTOS? Observe o exemplo 2: 108 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 18. COLÉGIO OPÇÃO Concluímos com isso que multiplicando ( h-4 ) × ( h-2 ) obtemos a soma h²-6h+8 . Assim ( h-4 ) × ( h-2 ) é a fatoração da expressão algébrica h²-6h+8 . Hora de treinarmos Exercícios 1-para cada produto encontre uma expressão algébrica a)5x5 b)7x6 c)3x2 d)8x8 e)5x8 f) 7x4 2- fatore as expressões abaixo a) x²-5x+6 b) 16-p² c) a²+4a+4 4.5 OS PRODUTOS NOTÁVEIS Como você deve ter percebido às vezes para fatorarmos determinadas expressões é necessário conhecermos certos produtos. Por exemplo x²+6x+9= ( x+3) × ( x+3) Verifique que é!! Mas ( x+3) × ( x+3) não lembra a área de um quadrado? Observe. Sua área é igual a ( x+3) × ( x+3) , mas sua área pode ser expressa também como a soma das subáreas x²+3x+3x+9 Chamamos para este tipo de fatoração de fatoração com produtos notáveis. Atividade investigadora Analise geometricamente as expressões algébricas a) a²+4a+4 b) t²+8t+16 c) c²-10c+25 c) x²-81 Vejamos os principais casos de produtos notáveis Caso 1 quadrado da soma: Análogo ao exemplo anterior Caso 2 quadrado da diferença 109 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 19. COLÉGIO OPÇÃO CASO 3 :Diferença de dois quadrados Vários problemas de álgebra envolvendo fatoração necessitam dos conhecimentos de produtos notáveis, bem como divisão e simplificação de frações algébricas e ainda no estudo das equações do 2º grau. Façamos agora alguns exercícios Exercícios 1 – desenvolva os seguintes quadrados: a) (x + 5)2 f) (2m5 – 3)2 b) (2 a + x)2 g) (x – 0,5)2 c) (a + 2/3)2 h) (x2 – 12)2 d) (2x3 + 3y2)2 i) (2n4 – 5n3)2 e) (x/2 + y/2)2 j) (2x/5 – ¾)2 2 – Desenvolva os produtos abaixo usando os produtos notáveis: a) (y – 7) . (y + 7) e) (y + 6/11) . (y – 6/11) b) (2x3 + 2a ) . (2x3 – 2a) f) (0,12 – 0,2x) . (0,12 + 0,2x) c) (x2 – 1/7) . (x2 + 1/7) g) ( 1 + x) . (1 – x) d) (3x2 + 4) . (3x2 – 4) h) (2a/3 + x5y2) . (2a/3 – x5y2) 3 – Desenvolva os cubos abaixo: a) (x + 2)3 d) (5 – x)3 b) (3 – 2x)3 e) (1 + pq)3 c) (x – 2a)3 f) (x2/2 + 2x/3)3 110 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 20. COLÉGIO OPÇÃO 4– Desenvolva os quadrados: a) (x + y + 2)2 c) (2x2 – 3 + x)2 b) (2 – y + 3x)2 d) (mn + ½ - m)2 5– resolva: a)(5x – 2)2 + 3x – 1 c) (2x – 3)2 – 4(x – 1) . (x + 1) + 5 b)(3x – 1) . (3x + 1) – 2x + 5 d) (x + ½) . (x – ½) – (1 – x)2 + 5/4 – 2x 4.6 OPERAÇÕES ENTRE POLINÔMIOS – Soma e subtração Estas operações são feitas através de redução de termos semelhantes dos polinômios. Ex.: a) (2x2 – 9x + 2) + (3x2 + 7x + 1) Solução: 2x2 + 3x2 – 9x + 7x + 2 + 1 = 5x2 – 2x + 3 b) (5x2 – 4x + 9) – (8x2 – 6x + 3) Solução: 5x2 – 8x2 – 4x + 6x + 9 – 3 = - 3x2 + 2x + 6 – Multiplicação de um monômio por um polinômio Nesta operação, usa-se a propriedade distributiva da multiplicação. Ex.: a) (2xy2) x (3x2y3 – 5x) = 6x3y5 – 10x2y2 – Multiplicação de polinômio por polinômio Também aqui, usa-se a propriedade acima, porém devem-se reduzir os termos semelhantes, caso necessário. Ex.: a) (2x + 4) x (3x – 5) = 6x2 – 10x + 12x – 20 = 6x2 + 2x – 20 – Divisão de um polinômio por um monômio Dividi-se cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: a) (12x4y2 – 15x2y) : (3x2y) : 4x2y – 5 – Divisão de polinômio por polinômio Existem vários métodos para encontrarmos o resultado da divisão: Ex.: Efetuar as divisões abaixo: a) (2x2 – 5x – 12): (x – 4) Método um: Método dois: Exercício 12 1 – Indique o grau dos polinômios abaixo: a) 2x3 + 5x4 – 4 c) –x4y – x3 + 2x b) 7xy3 + 4a3b5 – 2 d) 9x3 – 4x2 – 6x + 1 2 – Efetue as somas e subtrações entre os polinômios. a) (-2 a2 – 3 a + 6) – (- 4 a2 – 5 a + 6) c) (7ab + 4c – 3a) – (5c + 4a – 10) 2 2 2 2 b) (x + 2xy + y ) + (3xy – 2y + x ) d) (4x2y – 3xy2 + 2) + (xy2 – x2y – 2) 3 – Calcule os produtos abaixo: a) 3 . (2x + y) e) (x + 3) . (2x – 6) i) (m4 – 1) x ( m4 + 5) b) 5 a . (2a – 3) f) (5x2 – 4x) . ( 3xy – 2) j) (2x2- 4) . (2x2 – 4) 111 7ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 21. COLÉGIO OPÇÃO c) x2 . ( x3 + x4) g) (x2 + 5x – 6) . ( 2x + 3) l) (3x2 – 5x) . (- 3x3) d) - 3x2y . (4xy – 2y3) h) (x + 2) . ( x – 1) . (2x – 3) m) (x – 5) . (x + 5) 4 – Efetue as divisões abaixo: a) (12x2 – 8x) : (+2x) e) (x2 + 5x + 6) : (x + 2) b) (6a2x – 4ax2) : (- 2x) f) (x3 – 6x2 + 11x) : (x – 3) c) (-3x2y + 18xy2) : 3xy g) (3x3 – 13x2 + 37x – 50) : (x2 – 2x + 5) d) (3x4 – 6x3 + 10x2) : (-2x2) h) (4x4 – 14x3 + 15x2 – 17x + 5) : (x-2 – 3x + 1) i) (x4 – 2x3 + 3) : (x + 1) j) (8x3 – 27) : (2x + 3) 5 – Calcule os produtos e reduza os termos semelhantes. a) x2 + (x + 7) . (x + 1) c) (x + 5) . (x – 2) + (2x - 1) . (x + 1) 2 b) –2x + 5 + 2 (x + 2) . (x + 2) d) x.(x + 2) + 3x.(2x + 5) 6-O polinômio P(x) = x3 – x2 – 14x + 24 é divisível por (A) x + 7 (B) x (C) x + 2 (D) x + 4 (E) x – 4 7-O polinômio P(x) = x3 – x2 – 14x + 24 é divisível por (A) (x + 7)x (B) x(x + 2) (C) (x – 2)(x + 2) (D) (x – 2)(x + 4) (E) x – 4 112 7ª Série – Matemática – 1º Semestre