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Ficha de Trabalho
                    Nome: ___________________________________________________ N.º: ____ Turma: ___
                                                                                                                           9.º Ano


  Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI)
                               Tema: Circunferência e Polígonos . Rotações

1. Na figura está representado um decágono regular              [ ABCDEFGHIJ ] ,
inscrito numa circunferência de centro O.
                           [ ] [          ]
Os segmentos de recta ID e HC são diâmetros desta circunferência.
   1.1. Após uma rotação de centro em O e de amplitude 144° (sentido
   contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloca-se para uma
   posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que
   ponto se trata?


   1.2. Ao observar a figura, a Rita afirmou:
   «A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI.»
   Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá
   ter chegado a esta conclusão?
   Justifica a tua resposta.




   1.3. Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na
   circunferência desenhada ao lado, um triângulo
   equilátero. O ponto que está marcado no interior da
   circunferência é o seu centro.
   Não apagues as linhas auxiliares que traçares para
   construíres o triângulo.
                                                  (EN 2005 – 1.ª Chamada)




2. Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos
perpendiculares), um triângulo ABC .[     ]
                       [       ]
O segmento de recta BC é perpendicular ao eixo dos xx .

Sabe-se que AB =       20 , AC = 5 e BC = 5 .

 2.1. Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do
                           [        ]
 perímetro do triângulo ABC , a menos de 0,1.

          Valor aproximado por defeito ___________

          valor aproximado por excesso ___________

                                              [    ]
 2.2. A imagem do segmento de recta BC obtida por meio de uma rotação de centro em A e amplitude 90° é um
 segmento de recta ...
   (A) paralelo ao eixo dos    xx   (B) paralelo ao eixo dos   yy     (C) perpendicular a   [ AB ]   (D) perpendicular a   [ AC ]
                                                                                                         (EN 2005 – 2.ª Chamada)

Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações                                                    1/6
3. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que:
      • A, B e C são pontos da circunferência;
      • o segmento de recta AC é um diâmetro;

      • OAB = 30º .

   3.1. Qual é a amplitude do arco AB (em graus)?

   3.2. Considera uma recta tangente à circunferência no ponto A.
   Seja D um ponto pertencente a essa recta.
   Sabendo que o ângulo BAD é agudo, determina a sua amplitude (em graus).
   Justifica a tua resposta.                                                               (EN 2005 – 2.ª Chamada)



                                                          [
4. Na figura, está representado um octógono regular ABCDEFGH ,              ]
inscrito numa circunferência de centro O.

Ao observar a figura, e sem efectuar medições, a Ana afirmou:
                               [
             «O quadrilátero BDFH       ] é um quadrado.»
Como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão?
Justifica a tua resposta.
                                                        (EN 2005 – 2.ª Chamada)




5. O símbolo ao lado está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a
localização dos lavabos.
As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo.
Em cada uma delas, está desenhada uma recta r .
Em qual delas a recta r é um eixo de simetria?
   (A)                            (B)                       (C)                   (D)




                                                                                           (EN 2006 – 1.ª Chamada)

6. A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos.
Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos.
Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no
ponto O, de amplitude 90° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)?
   (A)                           (B)                           (C)                   (D)




                                                                                           (EN 2006 – 2.ª Chamada)



7. Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro O, em que:
      • A, B, C e D são pontos da circunferência;
      • DAB = 50º ;
      • DOC = 60º .

Qual é, em graus, a amplitude do arco CB ?
                                                                 (EN 2006 – 2.ª Chamada)


Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações                                   2/6
8. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que:
         • A, B, C e D são pontos da circunferência;
                                 [   ]
         • o segmento de recta BD é um diâmetro;
         • E é o ponto de intersecção das rectas BD e AC;
                     [      ]
         • o triângulo ADE é rectângulo em E ;

         • CAD = 30º .

   8.1. Qual é a amplitude, em graus, do arco CD (assinalado na figura a traço mais grosso)?

   8.2. Sabendo que AD = 5 , determina ED .
   Apresenta todos os cálculos que efectuares.
   8.3. Sem efectuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira.
                                                [   ] [
                                «Os triângulos ADE e CDE            ]   são geometricamente iguais.»
                                                                                                             (EN 2007 – 1.ª Chamada)


9. Sejam A, B e C três pontos distintos de uma circunferência em que o arco AB tem 180° de amplitude.
Justifica a seguinte afirmação:
                                                        [
                                           «O triângulo ABC     ]   não é equilátero.»
                                                                                                             (EN 2007 – 2.ª Chamada)


10. Na figura está desenhado um pentágono regular ABCDE .   [           ]
Em qual das quatro figuras que se seguem o pentágono sombreado é a imagem do
pentágono     [ ABCDE ]    obtida por meio de uma rotação de centro no ponto A e
amplitude 180°?
   (A)                               (B)                                 (C)                               (D)




                                                                                                (TI 9Ano – Maio 2008)




11. Na figura que se segue está representada uma circunferência de centro O, em
                                            [
que está inscrito um pentágono regular PQRST .      ]
   11.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo TPQ ?
   Apresenta todos os cálculos que efectuares.
   11.2. Sabe-se que:
      • a circunferência tem raio 5;
                     [     ]
         • o triângulo SOR tem área 12.
   Determina a área da zona sombreada a cinzento na figura.
   Apresenta todos os cálculos que efectuares e indica o resultado arredondado às décimas.
                                                                                                                 (TI 9Ano – Maio 2008)



12. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e
diâmetro [AB].
O ponto C pertence à circunferência.
Determina a amplitude, em graus, do ângulo α .
Apresenta os cálculos que efectuares.

                                                                            (EN 2008 – 2.ª Chamada)



Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações                                                      3/6
13. Na figura 3 está representada uma circunferência.
Sabe-se que:
         • [AC] é um diâmetro de comprimento 15.
         • B é um ponto da circunferência.
         • AB = 12 .
   13.1. Justifica que o triângulo [ABC] é rectângulo em B.
                                                                                       Fig.3
   13.2. Calcula a área da região sombreada da figura 3.
   Apresenta os cálculos que efectuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades.
   Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.
                                                                                                        (TI 9Ano – Maio 2009)

14. A figura 4 apresenta um pormenor arquitectónico da casa do Cipreste, de Raul Lino, em Sintra.
Na figura 5, estão a representação geométrica de parte do pormenor arquitectónico e o vector v .




Em qual das alternativas seguintes estão representadas a figura 5 e a imagem dessa figura através da translação
associada ao vector v ?
   (A)                              (B)                             (C)                           (D)




                                                                                      (TI 9Ano – Maio 2009)

15. A figura ao lado [ABCDEFGH] é um octógono regular inscrito na
circunferência de centro O.
Qual é a imagem do triângulo [AOB] obtida por meio da rotação de
centro no ponto O e de amplitude 135º, no sentido contrário ao dos
ponteiros do relógio?
         (A) [COD]                        (B) [EOD]
         (C) [HOG]                        (D) [GOF]
                                                        (EN 2009 – 1.ª Chamada)

16. Na figura ao lado, sabe-se que:
         • O é o centro da circunferência;
         • [AB] e [BC] são cordas geometricamente iguais;
         • D é o ponto de intersecção do diâmetro [EB] com a corda [AC].
Nota: A figura 4 não está construída à escala.
   16.1. Qual é, em graus, a amplitude do arco AC, supondo que ABC = 28º ?
   16.2. Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de [DE], supondo que

   AO = 6,8 cm e AC = 6, 4 cm .
   Apresenta os cálculos que efectuares.                                                            (EN 2009 – 1.ª Chamada)

Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações                                              4/6
17. Na figura ao lado, sabe-se que:
      • o diâmetro [BD] é perpendicular ao diâmetro [AC];
      • [OHDE] e [OFBG] são quadrados geometricamente iguais;
      • o ponto O é o centro do círculo;

      • OC = 2 m .


   17.1. Escreve, em graus, a amplitude do ângulo ACB.

   17.2. De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas seguintes, assinala a que não
   completa correctamente a afirmação que se segue.
   O quadrado [OHDE] é a imagem do quadrado [OFBG], através da transformação geométrica definida por uma:
      (A) rotação de centro no ponto O e amplitude 180º.        (B) rotação de centro no ponto O e amplitude – 180º.
      (C) simetria axial de eixo AC.                            (D) simetria axial de eixo DB.

   17.3. Determina o valor exacto, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OFBG].
   Apresenta os cálculos que efectuares.
                                                                                                     EN 2009 – 2.ª Chamada)




18. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual
está inscrito um hexágono regular [ABCDEF].

   18.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo DOC ?
   18.2. Relativamente à Figura 6, sabe-se ainda que:
      • a circunferência tem raio 4;
      • o triângulo [DOC] tem área 4 3 .

   Determina a área da região sombreada. Escreve o resultado arredondado às unidades.
   Apresenta os cálculos que efectuaste.
   Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais.

   18.3. Considera a rotação de centro no ponto O e de amplitude 240º (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio).
   Qual é a imagem do ponto D obtida por meio dessa rotação?
                                                                                                       (TI 9Ano - Maio 2010)



19. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro O, na
qual está inscrito um rectângulo [ABCD].
A figura não está desenhada à escala.
Sabe-se que:
      • BDA = 70º
      •   AB = 4,35 cm .

   19.1. Qual é a amplitude, em graus, do arco AB?

   19.2. Quantos eixos de simetria tem o rectângulo [ABCD]?


   19.3. Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro [BD] da circunferência?
   Apresenta os cálculos que efectuaste.
   Escreve o resultado arredondado às centésimas.
   Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

                                                                                                    (EN 2010 – 1.ª Chamada)


Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações                                            5/6
20. Relativamente à figura, sabe-se que:
      • [ACEG] é um quadrado de lado 4 e centro O;
      • os pontos B, D, F e H são os pontos médios dos lados do quadrado
      [ACEG];
      • os vértices do quadrado [ACEG] são os centros das circunferências
      representadas na figura;
      • o raio de cada uma das circunferências é 2 ;
      • o ponto I pertence à circunferência de centro no ponto A;
      • o ponto A pertence ao segmento de recta [IO ].

   20.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo BIH ?

   20.2. Determina a área da região sombreada.
   Apresenta os cálculos que efectuaste.
   Escreve o resultado arredondado às décimas.
   Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

   20.3. Determina o comprimento de [IO ].
   Apresenta os cálculos que efectuaste.
   Escreve o resultado arredondado às décimas.
   Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

                                                                                                   (EN 2010 – 2.ª Chamada)




                                                                                                      Bom trabalho!




Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações                                           6/6

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Circunferência e polígonos

  • 1. Ficha de Trabalho Nome: ___________________________________________________ N.º: ____ Turma: ___ 9.º Ano Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI) Tema: Circunferência e Polígonos . Rotações 1. Na figura está representado um decágono regular [ ABCDEFGHIJ ] , inscrito numa circunferência de centro O. [ ] [ ] Os segmentos de recta ID e HC são diâmetros desta circunferência. 1.1. Após uma rotação de centro em O e de amplitude 144° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio), o ponto A desloca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata? 1.2. Ao observar a figura, a Rita afirmou: «A amplitude do ângulo CDI é igual à amplitude do ângulo CHI.» Uma vez que a Rita não tinha transferidor, como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta. 1.3. Com o auxílio de material de desenho, inscreve, na circunferência desenhada ao lado, um triângulo equilátero. O ponto que está marcado no interior da circunferência é o seu centro. Não apagues as linhas auxiliares que traçares para construíres o triângulo. (EN 2005 – 1.ª Chamada) 2. Na figura, está representado, num referencial ortogonal (eixos perpendiculares), um triângulo ABC .[ ] [ ] O segmento de recta BC é perpendicular ao eixo dos xx . Sabe-se que AB = 20 , AC = 5 e BC = 5 . 2.1. Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do [ ] perímetro do triângulo ABC , a menos de 0,1. Valor aproximado por defeito ___________ valor aproximado por excesso ___________ [ ] 2.2. A imagem do segmento de recta BC obtida por meio de uma rotação de centro em A e amplitude 90° é um segmento de recta ... (A) paralelo ao eixo dos xx (B) paralelo ao eixo dos yy (C) perpendicular a [ AB ] (D) perpendicular a [ AC ] (EN 2005 – 2.ª Chamada) Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações 1/6
  • 2. 3. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que: • A, B e C são pontos da circunferência; • o segmento de recta AC é um diâmetro; • OAB = 30º . 3.1. Qual é a amplitude do arco AB (em graus)? 3.2. Considera uma recta tangente à circunferência no ponto A. Seja D um ponto pertencente a essa recta. Sabendo que o ângulo BAD é agudo, determina a sua amplitude (em graus). Justifica a tua resposta. (EN 2005 – 2.ª Chamada) [ 4. Na figura, está representado um octógono regular ABCDEFGH , ] inscrito numa circunferência de centro O. Ao observar a figura, e sem efectuar medições, a Ana afirmou: [ «O quadrilátero BDFH ] é um quadrado.» Como é que ela poderá ter chegado a esta conclusão? Justifica a tua resposta. (EN 2005 – 2.ª Chamada) 5. O símbolo ao lado está desenhado nas placas do Parque das Nações que assinalam a localização dos lavabos. As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse símbolo. Em cada uma delas, está desenhada uma recta r . Em qual delas a recta r é um eixo de simetria? (A) (B) (C) (D) (EN 2006 – 1.ª Chamada) 6. A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos. Em cada uma das quatro figuras que se seguem, estão representados dois azulejos. Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotação, com centro no ponto O, de amplitude 90° (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)? (A) (B) (C) (D) (EN 2006 – 2.ª Chamada) 7. Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro O, em que: • A, B, C e D são pontos da circunferência; • DAB = 50º ; • DOC = 60º . Qual é, em graus, a amplitude do arco CB ? (EN 2006 – 2.ª Chamada) Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações 2/6
  • 3. 8. Na figura, está representada uma circunferência, de centro O, em que: • A, B, C e D são pontos da circunferência; [ ] • o segmento de recta BD é um diâmetro; • E é o ponto de intersecção das rectas BD e AC; [ ] • o triângulo ADE é rectângulo em E ; • CAD = 30º . 8.1. Qual é a amplitude, em graus, do arco CD (assinalado na figura a traço mais grosso)? 8.2. Sabendo que AD = 5 , determina ED . Apresenta todos os cálculos que efectuares. 8.3. Sem efectuares medições, explica por que é que a seguinte afirmação é verdadeira. [ ] [ «Os triângulos ADE e CDE ] são geometricamente iguais.» (EN 2007 – 1.ª Chamada) 9. Sejam A, B e C três pontos distintos de uma circunferência em que o arco AB tem 180° de amplitude. Justifica a seguinte afirmação: [ «O triângulo ABC ] não é equilátero.» (EN 2007 – 2.ª Chamada) 10. Na figura está desenhado um pentágono regular ABCDE . [ ] Em qual das quatro figuras que se seguem o pentágono sombreado é a imagem do pentágono [ ABCDE ] obtida por meio de uma rotação de centro no ponto A e amplitude 180°? (A) (B) (C) (D) (TI 9Ano – Maio 2008) 11. Na figura que se segue está representada uma circunferência de centro O, em [ que está inscrito um pentágono regular PQRST . ] 11.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo TPQ ? Apresenta todos os cálculos que efectuares. 11.2. Sabe-se que: • a circunferência tem raio 5; [ ] • o triângulo SOR tem área 12. Determina a área da zona sombreada a cinzento na figura. Apresenta todos os cálculos que efectuares e indica o resultado arredondado às décimas. (TI 9Ano – Maio 2008) 12. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro no ponto O e diâmetro [AB]. O ponto C pertence à circunferência. Determina a amplitude, em graus, do ângulo α . Apresenta os cálculos que efectuares. (EN 2008 – 2.ª Chamada) Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações 3/6
  • 4. 13. Na figura 3 está representada uma circunferência. Sabe-se que: • [AC] é um diâmetro de comprimento 15. • B é um ponto da circunferência. • AB = 12 . 13.1. Justifica que o triângulo [ABC] é rectângulo em B. Fig.3 13.2. Calcula a área da região sombreada da figura 3. Apresenta os cálculos que efectuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. (TI 9Ano – Maio 2009) 14. A figura 4 apresenta um pormenor arquitectónico da casa do Cipreste, de Raul Lino, em Sintra. Na figura 5, estão a representação geométrica de parte do pormenor arquitectónico e o vector v . Em qual das alternativas seguintes estão representadas a figura 5 e a imagem dessa figura através da translação associada ao vector v ? (A) (B) (C) (D) (TI 9Ano – Maio 2009) 15. A figura ao lado [ABCDEFGH] é um octógono regular inscrito na circunferência de centro O. Qual é a imagem do triângulo [AOB] obtida por meio da rotação de centro no ponto O e de amplitude 135º, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio? (A) [COD] (B) [EOD] (C) [HOG] (D) [GOF] (EN 2009 – 1.ª Chamada) 16. Na figura ao lado, sabe-se que: • O é o centro da circunferência; • [AB] e [BC] são cordas geometricamente iguais; • D é o ponto de intersecção do diâmetro [EB] com a corda [AC]. Nota: A figura 4 não está construída à escala. 16.1. Qual é, em graus, a amplitude do arco AC, supondo que ABC = 28º ? 16.2. Qual é, em centímetros, a medida do comprimento de [DE], supondo que AO = 6,8 cm e AC = 6, 4 cm . Apresenta os cálculos que efectuares. (EN 2009 – 1.ª Chamada) Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações 4/6
  • 5. 17. Na figura ao lado, sabe-se que: • o diâmetro [BD] é perpendicular ao diâmetro [AC]; • [OHDE] e [OFBG] são quadrados geometricamente iguais; • o ponto O é o centro do círculo; • OC = 2 m . 17.1. Escreve, em graus, a amplitude do ângulo ACB. 17.2. De entre as transformações geométricas indicadas nas alternativas seguintes, assinala a que não completa correctamente a afirmação que se segue. O quadrado [OHDE] é a imagem do quadrado [OFBG], através da transformação geométrica definida por uma: (A) rotação de centro no ponto O e amplitude 180º. (B) rotação de centro no ponto O e amplitude – 180º. (C) simetria axial de eixo AC. (D) simetria axial de eixo DB. 17.3. Determina o valor exacto, em centímetros, da medida do lado do quadrado [OFBG]. Apresenta os cálculos que efectuares. EN 2009 – 2.ª Chamada) 18. Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um hexágono regular [ABCDEF]. 18.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo DOC ? 18.2. Relativamente à Figura 6, sabe-se ainda que: • a circunferência tem raio 4; • o triângulo [DOC] tem área 4 3 . Determina a área da região sombreada. Escreve o resultado arredondado às unidades. Apresenta os cálculos que efectuaste. Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. 18.3. Considera a rotação de centro no ponto O e de amplitude 240º (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio). Qual é a imagem do ponto D obtida por meio dessa rotação? (TI 9Ano - Maio 2010) 19. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um rectângulo [ABCD]. A figura não está desenhada à escala. Sabe-se que: • BDA = 70º • AB = 4,35 cm . 19.1. Qual é a amplitude, em graus, do arco AB? 19.2. Quantos eixos de simetria tem o rectângulo [ABCD]? 19.3. Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro [BD] da circunferência? Apresenta os cálculos que efectuaste. Escreve o resultado arredondado às centésimas. Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. (EN 2010 – 1.ª Chamada) Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações 5/6
  • 6. 20. Relativamente à figura, sabe-se que: • [ACEG] é um quadrado de lado 4 e centro O; • os pontos B, D, F e H são os pontos médios dos lados do quadrado [ACEG]; • os vértices do quadrado [ACEG] são os centros das circunferências representadas na figura; • o raio de cada uma das circunferências é 2 ; • o ponto I pertence à circunferência de centro no ponto A; • o ponto A pertence ao segmento de recta [IO ]. 20.1. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo BIH ? 20.2. Determina a área da região sombreada. Apresenta os cálculos que efectuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas. Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. 20.3. Determina o comprimento de [IO ]. Apresenta os cálculos que efectuaste. Escreve o resultado arredondado às décimas. Nota – Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais. (EN 2010 – 2.ª Chamada) Bom trabalho! Exercícios de Exame + TI (9º Ano) – Circunferência e Polígonos. Rotações 6/6