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Equações
 literais
Observa as equações seguintes:


            3x  7 y  1
            3x  7 z  y
            3x  7  0
As equações 1 e 2 são equações literais, enquanto que, a equação 3 não é
uma equação literal.

Então, qual será a definição de equação literal?



        Equações literais – são equações que têm mais do que uma variável, isto é,
        pelo menos 2 incógnitas.
Exemplos de equações literais:


•A equação y  6 x  2 que representa uma reta não vertical (função afim).

•A equação   y  6x    que representa uma reta que passa na origem
                       do referencial (função linear).
  (equações do 1.º grau com duas incógnitas)
                                                                  Geogebra
  Quantas soluções têm?

  •As fórmulas:
                                   bh             B  b   h
                  A  l2      A              A
                                    2                   2
  que representam, respetivamente, as áreas do quadrado, do triângulo e
  do trapézio.

  • A equação da relatividade E = mc2.

  •A fórmula do teorema de Pitágoras a 2  b2  c 2
Como resolver equações literais?

  As regras para resolver equações, também se aplicam à resolução de uma
  equação literal, em ordem a qualquer uma das letras que nela figuram.

Exemplo I:

Observa a figura:
                                                     Perímetro 12 cm     y
  A figura sugere a seguinte equação,

                           2 x  2 y  12                x
Como a equação tem duas variáveis x e y, podemos resolvê-la em ordem a
x ou em ordem a y, isto é:                                    Nota:
                                                              Quando uma letra é
                                  2 x  2 y  12             a incógnita, as
                                                              outras letras
                                2 x  12  2 y              funcionam como se
                                                              fossem números.
                                     12  2 y
                               x            
                                        2
                                x  6 y      Resolvida em ordem a        x
Nota: Diz-se que a equação está resolvida em ordem a x porque a variável x está isolada
num dos membros da equação, neste caso no 1.º membro.



                                 y                      2 x  2 y  12 
             Perímetro 12 cm
                                                      2 y  12  2 x 
                  x                                        12  2 x
                                                      y           
                                                              2
                      Resolvida em ordem a y.         y  6 x

  Qual o interesse de resolver uma equação em ordem a uma das variáveis?

   Sabendo que a largura, y, do rectângulo é 2, qual é o comprimento?

   Ora, aqui interessa resolver equação em ordem a   x (é a incógnita, o valor desconhecido)
        Assim, é muito fácil dar a resposta.
                                               x  6 y         O comprimento é 4.
                                               x  62  x  4
Mas, se a pergunta fosse:

    Sabendo que o comprimento,   x , do rectângulo é 3, qual é a largura?
    Neste caso já interessava resolver a equação em ordem a y.

          y  6 x
          y  63  y  3
Se se pretende determinar o comprimento do rectângulo, então, interessa
resolver a equação em ordem a x. Por outro lado, se se quisesse saber a
sua largura, neste caso, já interessava resolver a equação em ordem a y.

Conclusão:
Uma equação literal resolve-se em ordem a uma das letras (variável)
que se considera a incógnita (valor desconhecido). As outras letras
funcionam como números (valores dados).
As regras já conhecidas para resolver equações são também aplicáveis
na resolução de equações literais.
Assim, a equação tem uma
    A=100 m2       l   infinidade de soluções.
      c
c  100  l  1         c  l  100   mas,


c  50  l  2         c  l  100    mas,


  c  25  l  4       c  l  100    mas,


c  20  l  5          c  l  100    mas,


 c  12,5  l  8      c  l  100    …
Equações do 1.º grau com duas incógnitas.

                    ax+by=c;        a, b e c
  As soluções desta equação são, geralmente, pares ordenados de
  números.

   x+2y=9              S=(1,4)           Uma solução


                       S=(0, 9/2)             Outra solução


  Quantas soluções têm?

 Estas equações têm uma infinidade de soluções ou nenhuma (no caso de a=0,

  b=0 e c    ).                                        Cuidado:
                                                       No contexto de
Relacionar com as funções afins, reta,                 problemas nem sempre
todos os pontos que estão sobre a                      todas as soluções
reta são soluções da equação.                          servem. Dar ex.
Exemplo II

           A equação E=mc2 em que:
           E- energia
           m- quantidade de matéria
           c- velocidade da luz

Descoberta de Einstein apontava para a possibilidade de se obterem grandes
quantidades de energia a partir de pequenas quantidades de matéria. A bomba
atómica é um dos frutos desta equação.

Resolve a equação em ordem a m e depois em ordem a c.
                                                       E
E  mc 
       2
                                           E  mc  c  
                                                   2      2

                                                       m
  E mc 2    E
 2  2 m 2                                      E
 c    c    c                               c
                                                   m

           Resolvida em ordem a m.
                                      Resolvida em ordem a c.
Exemplo III

A fórmula V=c.l.h serve para determinar o volume de uma caixa de cereais.

Resolve a equação em ordem a c.

Neste caso, c é a incógnita.

Para isolar c divide-se ambos os membros por lh e depois simplifica-se.


                V c.l.h
                        
                lh    lh
                c V
                      lh
Exemplo IV

Resolve a equação em ordem a h.

Neste caso, a incógnita é a letra h, as outras letras funcionam como se fossem
números.

                                                 A
                                                    B  b   h
A área de um trapézio é dada pela fórmula
                                                             2

                   Bb
                        h  2 A  B  b h  h 
                                                    2A
                A
                    2                              Bb
    Se pretender saber quanto é a altura do trapézio é necessário conhecer os valores de B
    (base maior) , b (base menor) e A (área). Por exemplo:
     Determina h, sabendo que A=10 cm2, B=4 cm e b=1 cm.

                                                         2 10
                                                      h        4 cm
                                                         4 1
Exercícios:


 1. Resolve em ordem a x, a equação
                                      5
                                         y  1   x
                                                  y
                                      3           2
 Neste caso a incógnita é x. A letra y “funciona” como um número.

  5
     y  1   x 
              y                        1.º Tiram-se os parênteses
  3           2                        2.º Tiram-se os denominadores
   5      5    y
  y   x                           3.º Isolam-se os termos com a incógnita
   3       3   2 6                  (pretendida) num dos membros
      2    2    3 
                                       4.º Reduzem-se os termos semelhantes
  10 y  10  3 y  6 x 
                                 5.º Determina-se o valor da incógnita,
  6 x  7 y  10               quando são dados os valores das outras
                                  variáveis.
        7 y  10
 x              A equação está resolvida em ordem a x.
            6
2. Resolver a mesma equação em ordem a y.     5
                                                 y  1   x
                                                          y
                                              3           2
                5           y
                   y  1   x 
                3           2
                 5      5    y
                y   x 
                 3      3    2  6 
                    2     2     3 
                10 y  10  3 y  6 x 
                10 y  3 y  10  6 x 
                7 y  10  6 x 
                    10  6 x
                y
                       7
3.                   C F  32
Em Física, a fórmula             estabelece a correspondência entre C (graus
                     5   9
Celsius) e F (graus Fahrenheirt). A Isabel está doente. A sua temperatura é

102,2ºF. Qual é a sua temperatura em ºC?

Processo 1:   Substitui-se F por 102,2 e resolve-se a equação em ordem a C.

 C 102,2  32  C 70,2
                    9C  351  C  39
 5     9       5  9
                          9    5 

Processo 2: Começa-se por resolver a equação em ordem a C.

 C F  32                       5F  160
          9C  5F  160  C 
 5   9                             9
     Na fórmula obtida substitui-se F por 102,2 e efectuam-se as contas:

   5 102,2  160
C                 39             R.: A Isabel tem de temperatura 39 ºC.
         9
Tarefa 3 página137
  139 exercício 9
      10 e 11

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Equações literais

  • 2. Observa as equações seguintes: 3x  7 y  1 3x  7 z  y 3x  7  0 As equações 1 e 2 são equações literais, enquanto que, a equação 3 não é uma equação literal. Então, qual será a definição de equação literal? Equações literais – são equações que têm mais do que uma variável, isto é, pelo menos 2 incógnitas.
  • 3. Exemplos de equações literais: •A equação y  6 x  2 que representa uma reta não vertical (função afim). •A equação y  6x que representa uma reta que passa na origem do referencial (função linear). (equações do 1.º grau com duas incógnitas) Geogebra Quantas soluções têm? •As fórmulas: bh B  b   h A  l2 A A 2 2 que representam, respetivamente, as áreas do quadrado, do triângulo e do trapézio. • A equação da relatividade E = mc2. •A fórmula do teorema de Pitágoras a 2  b2  c 2
  • 4. Como resolver equações literais? As regras para resolver equações, também se aplicam à resolução de uma equação literal, em ordem a qualquer uma das letras que nela figuram. Exemplo I: Observa a figura: Perímetro 12 cm y A figura sugere a seguinte equação, 2 x  2 y  12 x Como a equação tem duas variáveis x e y, podemos resolvê-la em ordem a x ou em ordem a y, isto é: Nota: Quando uma letra é 2 x  2 y  12  a incógnita, as outras letras  2 x  12  2 y  funcionam como se fossem números. 12  2 y x  2  x  6 y Resolvida em ordem a x
  • 5. Nota: Diz-se que a equação está resolvida em ordem a x porque a variável x está isolada num dos membros da equação, neste caso no 1.º membro. y 2 x  2 y  12  Perímetro 12 cm  2 y  12  2 x  x 12  2 x  y  2 Resolvida em ordem a y.  y  6 x Qual o interesse de resolver uma equação em ordem a uma das variáveis? Sabendo que a largura, y, do rectângulo é 2, qual é o comprimento? Ora, aqui interessa resolver equação em ordem a x (é a incógnita, o valor desconhecido) Assim, é muito fácil dar a resposta. x  6 y O comprimento é 4. x  62  x  4
  • 6. Mas, se a pergunta fosse: Sabendo que o comprimento, x , do rectângulo é 3, qual é a largura? Neste caso já interessava resolver a equação em ordem a y. y  6 x y  63  y  3 Se se pretende determinar o comprimento do rectângulo, então, interessa resolver a equação em ordem a x. Por outro lado, se se quisesse saber a sua largura, neste caso, já interessava resolver a equação em ordem a y. Conclusão: Uma equação literal resolve-se em ordem a uma das letras (variável) que se considera a incógnita (valor desconhecido). As outras letras funcionam como números (valores dados). As regras já conhecidas para resolver equações são também aplicáveis na resolução de equações literais.
  • 7. Assim, a equação tem uma A=100 m2 l infinidade de soluções. c c  100  l  1 c  l  100 mas, c  50  l  2 c  l  100 mas, c  25  l  4 c  l  100 mas, c  20  l  5 c  l  100 mas, c  12,5  l  8 c  l  100 …
  • 8. Equações do 1.º grau com duas incógnitas. ax+by=c; a, b e c As soluções desta equação são, geralmente, pares ordenados de números. x+2y=9 S=(1,4) Uma solução S=(0, 9/2) Outra solução Quantas soluções têm? Estas equações têm uma infinidade de soluções ou nenhuma (no caso de a=0, b=0 e c ). Cuidado: No contexto de Relacionar com as funções afins, reta, problemas nem sempre todos os pontos que estão sobre a todas as soluções reta são soluções da equação. servem. Dar ex.
  • 9. Exemplo II A equação E=mc2 em que: E- energia m- quantidade de matéria c- velocidade da luz Descoberta de Einstein apontava para a possibilidade de se obterem grandes quantidades de energia a partir de pequenas quantidades de matéria. A bomba atómica é um dos frutos desta equação. Resolve a equação em ordem a m e depois em ordem a c. E E  mc  2 E  mc  c   2 2 m E mc 2 E  2  2 m 2 E c c c c m Resolvida em ordem a m. Resolvida em ordem a c.
  • 10. Exemplo III A fórmula V=c.l.h serve para determinar o volume de uma caixa de cereais. Resolve a equação em ordem a c. Neste caso, c é a incógnita. Para isolar c divide-se ambos os membros por lh e depois simplifica-se. V c.l.h   lh lh  c V lh
  • 11. Exemplo IV Resolve a equação em ordem a h. Neste caso, a incógnita é a letra h, as outras letras funcionam como se fossem números. A B  b   h A área de um trapézio é dada pela fórmula 2 Bb  h  2 A  B  b h  h  2A A 2 Bb Se pretender saber quanto é a altura do trapézio é necessário conhecer os valores de B (base maior) , b (base menor) e A (área). Por exemplo: Determina h, sabendo que A=10 cm2, B=4 cm e b=1 cm. 2 10 h  4 cm 4 1
  • 12. Exercícios: 1. Resolve em ordem a x, a equação 5  y  1   x y 3 2 Neste caso a incógnita é x. A letra y “funciona” como um número. 5  y  1   x  y 1.º Tiram-se os parênteses 3 2 2.º Tiram-se os denominadores 5 5 y  y   x  3.º Isolam-se os termos com a incógnita 3 3 2 6  (pretendida) num dos membros 2  2  3  4.º Reduzem-se os termos semelhantes  10 y  10  3 y  6 x  5.º Determina-se o valor da incógnita,  6 x  7 y  10  quando são dados os valores das outras variáveis. 7 y  10 x A equação está resolvida em ordem a x. 6
  • 13. 2. Resolver a mesma equação em ordem a y. 5  y  1   x y 3 2 5 y  y  1   x  3 2 5 5 y  y   x  3 3 2  6   2   2   3   10 y  10  3 y  6 x   10 y  3 y  10  6 x   7 y  10  6 x  10  6 x  y 7
  • 14. 3. C F  32 Em Física, a fórmula  estabelece a correspondência entre C (graus 5 9 Celsius) e F (graus Fahrenheirt). A Isabel está doente. A sua temperatura é 102,2ºF. Qual é a sua temperatura em ºC? Processo 1: Substitui-se F por 102,2 e resolve-se a equação em ordem a C. C 102,2  32 C 70,2     9C  351  C  39 5 9 5 9 9  5  Processo 2: Começa-se por resolver a equação em ordem a C. C F  32 5F  160   9C  5F  160  C  5 9 9 Na fórmula obtida substitui-se F por 102,2 e efectuam-se as contas: 5 102,2  160 C  39 R.: A Isabel tem de temperatura 39 ºC. 9
  • 15. Tarefa 3 página137 139 exercício 9 10 e 11