O documento apresenta a resolução de 10 questões de uma prova de matemática do Colégio Naval de 2010. As questões envolvem cálculos geométricos e algébricos relacionados a áreas de figuras, sistemas de equações, raízes de equações e propriedades de triângulos. As respostas variam de letras a, b, c, etc.

1. SISTEMA ELITE DE ENSINO
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 2010
(PROVA AMARELA)
GABARITO COMENTADO ELABORADO PELO PROFESSORES:
ÁLVARO
GANDHI
HAROLDO
MADEIRA
ROBERTO
QUESTÃO 1 – RESPOSTA: e
Num quadrado ABCD de lado 6 cm, traça-se a circunferência K de centro em A e raio 4 cm.
Qual é medida, em cm, do raio da circunferência tangente exterior a K e tangente ao lado BC no
ponto C?
a) 2,4
b) 2,5
c) 2,6
d) 2,7
e) 2,8
RESOLUÇÃO:
   2 22 2 2
6 r 6 r 4 36 12r r 36 r 8r 16
20r 56 r 2,8
          
   

2. QUESTÃO 2 – RESPOSTA: c
A área de um quadrado de 5 cm de lado, na unidade u definida como sendo a área de um círculo
de raio 1 cm, é:
a) exatamente 25.
b) exatamente 12,5
c) aproximadamente 8.
d) aproximadamente 6.
e) aproximadamente 5.
RESOLUÇÃO:
2 2 2 2 1
u π 1 cm π cm 1cm u
π
    
2 2 2 1 25
S 5 cm 25 cm 25 u u 8u
π π
     
QUESTÃO 3 – RESPOSTA e
Sabe-se que: o número natural K dividido pelo número natural A dá quociente 56 e resto zero; K
dividido pelo número natural B dá quociente 21 e resto zero; e os algarismos de A são os
mesmos de B e ambos possuem dois algarismos, porém em ordem inversa. A soma dos
algarismos de K é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
RESOLUÇÃO:
K 56A 21B 
 A xy 10x y   e  B yx 10y x  
   56 10x y 21 10y x 7x 2y    
Como x e y são algarismos, então x 2 e y 7 .
 K 56 27 1512  
A soma dos algarismos de K é 9.
QUESTÃO 4 – ANULADA
Sobre o sistema formado por 3x + 4y = 7 e 6x + 8x = 15, pode-se afirmar que é:
a) indeterminado.
b) determinado e 9x + 12y.
c) determinado e x = y = 0
d) determinado e x = – y  0.
e) impossível.
RESOLUÇÃO:

3. 3x 4y 7 15 53
x e y
6x 8x 15 14 56
 
  
 
Logo, o sistema é determinado, mas nenhuma das opções traz uma condição correta.
A questão deve, portanto, ser anulada.
Nota-se que houve um erro de digitação no enunciado que deveria ser
3x 4y 7
6x 8y 15
  

 
e que
representa um sistema impossível já que
3 4 7
6 8 15
  . Estivesse o enunciado correto, a opção
seria letra e.
QUESTÃO 5 – RESPOSTA: d
Um funcionário usa uma empilhadeira para transportar bobinas de 70 kg ou de 45 kg, sendo uma
de cada vez. Quantas viagens com uma carga deverá fazer, no mínimo, para transportar
exatamente uma tonelada dessa carga?
a) 18
b) 17
c) 16
d) 15
e) 14
RESOLUÇÃO:
Sendo m o número de viagens com a carga de 70 kg e n o número de viagens com a carga de 45
kg, temos:
m 70 n 45 1000 14m 9n 200      
Resolvendo a equação Diofantina:
m 400 9t
, t
n 600 14t
 

  
.
 
m 400 9t 0 t 44
t 43,44
n 600 14t 0 t 43
    
 
     
t 43 m n 15
m n 200 5t
t 44 m n 20
   
     
   
O número mínimo de viagens é 15.
QUESTÃO 6 – RESPOSTA: a
A menor raiz da equação ax2
+ bx + c = 0, com abc  0, é a média geométrica entre “m” e a
maior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre “n” e a menor raiz. Pode-se afirmar que “m
+ n” é expresso por:
a)
3
2
3abc – b
a c
b)
3
2
3abc b
a c


4. c)
3
2
3abc – b
c a
d)
3
2
abc b
c a

e)
3
2
abc – b
c a
RESOLUÇÃO:
Sejam 1r e 2r , com 1 2r r , temos:
2
1
1 2
2
r
r m r m
r
   
2
2
2 1
1
r
r n r n
r
   
   
3
32 2 3 3
1 2 1 2 1 21 2 1 2
2 1 1 2 1 2
3 3
3 2 2
b c b
3
r r 3r r r rr r r r a a a
m n
cr r r r r r
a
b 3bc a 3abc b
ca a a c
   
                   
 
  
     
 
QUESTÃO 7 – RESPOSTA: a
O combustível A é composto de uma mistura de 20% de álcool e 80% de gasolina. O
combustível B é constituído exclusivamente de álcool. Um motorista quer encher completamente
o tanque do seu carro com 50% de álcool e 50% de gasolina. Para alcançar o seu objetivo
colocou x litros de A e y litros de B. A razão x/y é dada por:
a) 5/3
b) 3/5
c) 2/5
d) 5/2
e) 3/2
RESOLUÇÃO:
Numa mistura de x litros de A e y litros de B, a quantidade de álcool é 0,2x y . Se o percentual
de álcool nesse combustível é 50%, então
0,2x y 1 x 1 5
0,4x 2y x y y 0,6x
x y 2 y 0,6 3

         

QUESTÃO 8 – RESPOSTA: c
Sobre o lado maior de um retângulo de base 1 e altura 2 constrói-se um retângulo de base 2 e
altura 3; sobre o maior lado desse último, constrói-se um retângulo de base 3 e altura 4; e assim
sucessivamente, até se construir o retângulo de base 99 e altura 100. Com quantos zeros termina
o produto das áreas de cada um desses retângulos?

5. a) 39
b) 40
c) 46
d) 78
e) 80
RESOLUÇÃO:
       
 2
100!
P 1 2 2 3 3 4 99 100
100
         
Como 100! termina em
100 100
20 4 24
5 25
   
      
   
zeros, então
 2
100!
P
100
 termina em
24 24 2 46   zeros.
QUESTÃO 9 – RESPOSTA: e
O conjunto solução de números reais, tal que o valor da expressão
   
 
 

15 10
8
x 5 2x 1
3x 1
é maior do
que, ou igual a zero, é:
a) 1 1
5; ;
3 2
 
     
 
b) 1
; 5;
2
 
      
 
c) ;   
d) 1 1
; 5;
3 2
 
      
 
e) 1
5;
2
 
     
 
RESOLUÇÃO:
   
 
15 10
8
x 5 2x 1
0
3x 1
 


No quociente acima, 5 é raiz de multiplicidade ímpar,
1
2
e
1
3
 são raízes de multiplicidade par, e
1
3
 não é um valor válido para x, pois anula o denominador.
 
1
S 5;
2
 
   
 

6. QUESTÃO 10 – RESPOSTA: c
Em um triângulo retângulo ABC, é a bissetriz interna relativa ao cateto maior AC e AH é a altura
relativa à hipotenusa BC. S e o ponto I é a intersecção entre BD e AH, pode-se afirmar que
med(BH)
med(BH)
é igual a:
a) med(BC)
med(AH)
b) med(BC)
med(AD)
c) med(BC)
med(CD)
d) med(AD)
med(AI)
e) med(AD)
med(IH)
RESOLUÇÃO:
1a
SOLUÇÃO:
Teorema das bissetrizes no ABHΔ :
BH BA
HI AI

ADIΔ é isósceles AI AD 
BH BA
HI AD
 
Teorema das bissetrizes no ABCΔ :
AB BC
AD CD

BH BA BC
HI AD CD
  
2a
SOLUÇÃO:
BH AB
cotg
IH AD
θ  
Lei dos senos no BCDΔ :
 
 sen 90BC CD BC cos
cotg
sen CD sen sensen 90
θ θ
θ
θ θ θθ

    

BH BC
cotg
HI CD
θ  

7. QUESTÃO 11 – RESPOSTA: A
Sendo A B Ch , h , e h as medidas das alturas; A B Cm ,m e m as medidas das medianas; e A B Cb ,b e b
as medidas das bissetrizes internas de um triângulo ABC, analise as afirmativas a seguir.
I – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ h , 1/ h e 1/ h é semelhante ao triângulo ABC.
II – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ m , 1/ m e 1/ m é semelhante ao triângulo ABC.
III – O triângulo formado pelos segmentos A B C1/ b , 1/ b e 1/ b é semelhante ao triângulo ABC.
Pode-se concluir que
a) apenas I é sempre verdadeira.
b) apenas II é sempre verdadeira.
c) apenas III é sempre verdadeira.
d) I, II e III são sempre verdadeiras.
e) I, II e III são sempre falsas.
RESOLUÇÃO:
I - VERDADEIRA
CA B
A B C
c ha h b h a b c
S 2S
1 1 12 2 2
h h h
 
      
II – FALSA
Observe como contra-exemplo um triângulo retângulo isósceles de lados a 2 , b 2 e c 2 2 .
As medianas são Am 5 , Bm 5 e Cm 2 .
2 2 2
2 2 2
A B C
1 1 1 1 2 1 1 1
5 2m m m5 5 2
     
           
    
Logo, o triângulo de lados
A
1
m
,
B
1
m
e
C
1
m
não é retângulo e, consequentemente, não é
semelhante ao triângulo original.
III – FALSA
Observe como contra-exemplo um triângulo retângulo isósceles de lados a 2 , b 2 e c 2 2 .
As bissetrizes são Ab 2 4 2 2  , Bb 2 4 2 2  e Cb 2 .
 
2 2 2
2 2 2
A B C
1 1 1 1 1 1 1 1
2b b b24 2 22 4 2 2 2 4 2 2
     
                    
Logo, o triângulo de lados
A
1
b
,
B
1
b
e
C
1
b
não é retângulo e, consequentemente, não é
semelhante ao triângulo original.
QUESTÃO 12 – RESPOSTA: c
Quantos são os números inteiros com os quais é possível, no conjunto dos reais, calcular o valor
numérico da expressão algébrica 2
103x– x – 300 ?

8. a) 100
b) 99
c) 98
d) 97
e) 96
RESOLUÇÃO:
             2 2
103x– x – 300 – x 103x – 300 0 x 100 x 3 0 3 x 100
A quantidade de valores interiros de x é 100 3 1 98  
QUESTÃO 13 – RESPOSTA: e
O número natural 198 está escrito na base 10. Em quantas bases de numeração o número dado é
escrito com três algarismos?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
RESOLUÇÃO:
Se o número 198 é escrito com 3 algarismos na base b, então  2 3
b 198 b .
 
   
   
  
2
*
3
b 198 b 14
b b 6,7,8, ,14
b 198 b 6
A quantidade de bases de numeração é   14 6 1 9 .
QUESTÃO 14 – RESPOSTA: c
Os números

4x
2 x
e
2 x
4x
são inteiros e positivos, com  x – 0;2 . Nessas condições, pode-se
concluir que:
a) x 0

9. b) 0 x 1/ 3 
c) 1/ 3 x 1/ 2 
d) 1/ 2 x 2 / 3 
e) 2 / 3 x 1 
RESOLUÇÃO:
Se um número e seu inverso são inteiros e positivos, então ambos são iguais a 1.
         
4x 2 1 1
1 4x 2 x x 0,4 x
2–x 5 3 2
Note que x não poderia assumir os valores 0 ou 2.
QUESTÃO 15 – RESPOSTA: e
Dado o número   
  
40
40
2009 –1 – 2010 , analise as afirmativas a seguir.
I. N é divisível por 2008.
II. N é divisível por 2009.
III. N é divisível por 40
2009 2010 .
Com base nos dados apresentados, pode-se concluir que:
a) apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) apenas a afirmativa II é verdadeira.
c) apenas a afirmativa III é verdadeira.
d) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
e) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
I. FALSA
           
      
40 40
40 40
N 2009 –1 – 2010 1 –1 – 2 2 mod2008
II. VERDADEIRA
          
      
40 40
40 40
N 2009 –1 – 2010 0 –1 –1 0 mod2009
III. VERDADEIRA
1a
SOLUÇÃO:
 
   
  
          
40 40
40
4040 40
2009 1 2009 mod2009 2010
N 2009 –1 – 2010 2009 – 2010 0 mod2009 2010
2a
SOLUÇÃO:
Seja 40
p(x)= (x 1) 2010  , então o resto da divisão de p(x) por x 2010 é igual a
   40
p 2010 2009 2010 .
Concluímos que, se  40
x 2009 , então
 
4040 40 40 40
2009 –1 – 2010 (2009 2010). 2009 2010 (2009 2010).       
 
k n

10. Logo, o resto da divisão de   
  
40
40
2009 –1 – 2010 por 40
2009 2010 é zero.
Note que faltou no enunciado explicitar que   
  
40
40
N 2009 –1 – 2010 , sem essa informação a
questão perde o sentido, sendo passível de anulação.
QUESTÃO 16 – RESPOSTA: d
Em um trapézio isósceles ABCD, de base maior AB, está inscrito um arco de circunferência
AMB, onde M é ponto médio da base menor CD. O ângulo DBC, formado pela diagonal BD e
pelo lado BC desse trapézio, mede 50 e o ângulo DBA mede 10. Qual é a razão entre as
medidas da base AB e do comprimento do arco AMB, sabendo-se que os lados congruentes
desse trapézio são tangentes ao arco AMB nos pontos A e B?
a) 3

b) 3

c) 2 3
3
d) 3 3
2
e) 2 2

RESOLUÇÃO:
O ângulo ˆABF 10 é um ângulo inscrito, então AF 20 .
O ângulo ˆCBF 50 é um ângulo de segmento, então BF 100 .
 AMB 120  AB é o lado do triângulo equilátero inscrito na circunferência
Supondo que a circunferência tenha raio R, então AB R 3 e o comprimento de AMB é  
1
2 R
3
.
Logo a razão pedida é 
 
R 3 3 3
2 R 2
3
.
Note, entretanto, que a situação exposta é impossível, pois ao se construir a figura descrita

11. os ângulos DBC e DBA não possuirão medidas 50 e 10 , respectivamente.
As inconsistências podem ser vistas nas figuras abaixo:
QUESTÃO 17 – RESPOSTA: a
Sobre o lado BC do quadrado ABCD constrói-se um triângulo PBC, sendo o ponto P externo ao
quadrado e o quadrilátero PCDB convexo. Se o ângulo PDC é congruente ao ângulo PBC, pode-
se afirmar que o quadrilátero PCDB é
a) sempre circunscritível em um círculo.
b) sempre circunscritível a um círculo.
c) inscritível em um círculo apenas se for um trapézio.
d) circunscritível a um círculo apenas se for um trapézio.
e) impossível de ser inscrito em um círculo.
RESOLUÇÃO:
  ˆ ˆPDC PBC  B e D estão num arco capaz de  sobre PC  #PCDB é inscritível

12. QUESTÃO 18 – RESPOSTA: e
Analise as afirmativas a seguir.
I)  
3
3
0,333... 27 3
(3 ) 3
II) 
  1
(2 3) 2 3
III) 3k
10 tem  3k 1 algarismos, qualquer que seja o número natural k.
Assinale a opção correta.
a) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
I. VERDADEIRA
 
   
 
 
27
1 1
27
0,333... 27 93 3(3 ) 3 3 3 e  
 
   
 
 
3
27
1 1
3 27
3 93 33 3 3 3
II. VERDADEIRA
 
 
  
     
  
1
22
1 2 3 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
III. VERDADEIRA
   3k 0
k 0 10 10 1 possui    3 0 1 1 algarismo
  3k
3k zeros
k 0 10 1 00 0  3k
10 possui  3k 1 algarismos para qualquer natual k.
QUESTÃO 19 – RESPOSTA: b
Os números naturais x e 18 são, nessa ordem, inversamente proporcionais aos números naturais y
e 45. Se x y, quantos são os valores possíveis para x?
a) 9
b) 10
c) 15
d) 18
e) 20
RESOLUÇÃO:
       1 4x 18
xy 18 45 810 2 3 5
1 1
y 45
 x e y são divisores de 810

13. Como x y para encontrar a quantidade de valores de x basta calcular a metade da quantidade de
divisores naturais de 810, pois esses aparecem sempre aos pares, um maior e outro menor que
810 .
       d 1 1 4 1 1 1 20  há 
20
10
2
possíveis valores de x
QUESTÃO 20 – RESPOSTA: b
O triângulo de lados 0,333 cm, 0,5 cm e 0,666 cm é equivalente ao triângulo isósceles de
base 0,333 cm e lados congruentes medindo x centímetros cada um. Com base nos dados
apresentados, é correto afirmar que x é igual a
a)
3
2
b)
151
24
c)
1
3
d)
257
48
e) 15 4 6
36
RESOLUÇÃO:

1
0,333
3
; 
1
0,5
2
; 
2
0,666
3
      
1 1 2 3 3
2p p
3 2 3 2 4
Utilizando a Fórmula de Heron para o cálculo da área do triângulo:
   
           
   
23 3 1 3 1 3 2 3 5 1 1 15
S cm
4 4 3 4 2 4 3 4 12 4 12 48
O triângulo da figura deve possuir área igual a 215
cm
48
, então

14.      
1 1 15 15
S h h
2 3 48 8
Aplicando o Teorema de Pitágoras no ACH:
   
             
2 2
2 15 1 15 1 151 151
x x cm
8 6 64 36 64 9 24
COMENTÁRIO:
A questão 4 deve ser anulada e as questões 15 e 16 são passíveis de
anulação pelos motivos expostos nas suas soluções.
A questão 13 deve ser anulada, pois envolve o assunto bases de
numeração, que não faz parte do Programa para as provas escritas,
conforme anexo III do Edital do Concurso.