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IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA
Obs.: Os sistemas de coordenadas considerados são car-
tesianos retangulares.
1 CC
Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo
U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (BC ʜ A)C =
= {f, g, h}, BC ʝ A = {a,b} e ACB = {d,e}, então,
n(P(A ʝ B)) é igual a
a) 0. b) 1. c) 2. d) 4. e) 8.
Resolução
1) (BC ʜ A)C = {f; g; h} ⇔ (BC)C ʝ AC = {f; g; h} ⇔
⇔ B ʝ AC = {f; g; h} ⇔ BA = {f; g; h}
2) BC ʝ A = {a; b} ⇔ AB = {a; b}
3) AC B = {d; e} ⇔ U(A ʜ B) = {d; e}
De (1), (2) e (3), temos o diagrama
Logo, A ʝ B = {c} e P(A ʝ B) = {Ø, {c}}
NOTAÇÕES
‫ގ‬ = {0, 1, 2, 3,...}
‫:ޒ‬ conjunto dos números reais
‫:ރ‬ conjunto dos números complexos
[a, b] = {x ∈ ‫;ޒ‬ a ≤ x ≤ b}
(a, + ∞) = ]a, + ∞[ = {x ∈ ‫;ޒ‬ a < x < + ∞}
AB = {x ∈ A; x ∉ B}
AC: complementar do conjunto A
i: unidade imaginária; i2 = –1
͉z͉: módulo do número z ∈ ‫ރ‬
Re z: parte real do z ∈ ‫ރ‬
Im z : parte imaginária do número z ∈ ‫ރ‬
Mm×n(‫:)ޒ‬ conjunto das matrizes reais m × n
At: transposta da matriz A
det A: determinante da matriz A
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A
n(A): número de elementos do conjunto finito A
—
AB: segmento de reta unindo os pontos A e B
tr A : soma dos elementos da diagonal principal da
matriz quadrada A
2 BB
Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com
motor a gasolina e o restante com motor “flex” (que
funciona com álcool e com gasolina). Numa
determinada época, neste conjunto de 1000 carros, 36%
dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com
motor “flex” sofrem conversão para também funcionar
com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556
dos 1000 carros desta empresa são bicombustíveis,
pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis
é igual a
a) 246. b) 252. c) 260. d) 268. e) 284.
Resolução
Se, entre os 1000 carros da empresa, x têm motor a
gasolina e 1000 – x possuem motor “flex”, temos:
(100 – 36)% . (1000 – x) + 36% x = 556 ⇔
⇔ 640 – 0, 64x + 0,36x = 556 ⇔ 0,28x = 84 ⇔ x = 300
Portanto, o número de carros tricombustíveis é
36%. (1000 – 300) = . 700 = 252
36
––––
100
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3 EE
Seja f : ‫ޒ‬ → ‫ޒ‬  {0} uma função satisfazendo às con-
dições: f(x + y) = f(x)f(y), para todo x, y ∈ ‫ޒ‬ e
f(x) ≠ 1, para todo x ∈ ‫ޒ‬  {0}.
Das afirmações:
I. f pode ser ímpar.
II. f(0) = 1.
III. f é injetiva.
IV. f não é sobrejetiva, pois f(x) > 0 para todo x ∈ ‫.ޒ‬
é (são) falsa( s) apenas
a) I e III. b) II e III. c) I e IV.
d) IV. e) I.
Resolução
Se f: ‫ޒ‬ → ‫ޒ‬  {0}, f(x + y) = f(x) . f(y) para todo
x; y ∈ R e f(x) ≠ 1, para todo x ∈ ‫ޒ‬  {0}, então:
1) f(x) ∈ CD (f) = ‫ޒ‬  {0} ⇔ f(x) ≠ 0, ∀ x ∈ ‫.ޒ‬
2) f(0 + 0) = f(0) . f(0) ⇔ f(0) = [f(0]2 ⇒ f(0) = 1, pois
f(0) ≠ 0.
3) Para qualquer a ≠ 0, tem-se:
f(–a + a) = f(–a) . f(a) = f(0) = 1 e, portanto f(a) e
f(–a) tem o mesmo sinal. Assim, f não pode ser
ímpar.
4) x1 ≠ x2 ⇔ x1 = x2 + k, com k ≠ 0 ⇔
⇔ f(x1) = f(x2 + k) = f(x2) . f(k) ≠ f(x2), pois f(k) ≠ 1.
Assim, f é injetiva.
5) f(x) = f ΂ + ΃ = f . f =
= ΄f ΅
2
> 0, pois f ≠ 0.
Desta forma, Im(f) ʚ ‫ޒ‬+ e Im(f) ≠ CD(f), então
a função não é sobrejetiva.
Assim, apenas a afirmação (I) é falsa.
x
΂–––΃2
x
΂–––΃2
x
–––
2
x
–––
2
x
΂–––΃2
x
΂–––΃2
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
4 BB
Se a = cos e b = sen , então, o número complexo
΂cos + i sen
΃
54
é igual a
a) a + bi. b) – a + bi.
c) (1 – 2a2b2) + ab (1 + b2)i. d) a – bi.
e) 1 – 4a2b2 + 2ab(1 – b2)i.
Resolução
Se a = cos e b = sen então:
1) cos + i . sen
54
=
= cos + i . sen =
= cos 10π + + i . sen 10π + =
= cos + i . sen =
2) cos = – cos = – a
3) sen = sen = b
Assim sendo:
cos + i . sen
54
=
cos + i . sen = – a + bi
π
–––
5
π
–––
5
π
––
5
π
––
5
4π
–––
5
4π
––––
5
΃
π
––
5
π
––
5΂
π
––
5
4π
––––
5
π
––
5
4π
––––
5
΃
4π
––––
5΂΃
4π
––––
5΂
΃
4π
––––
5΂΃
4π
––––
5΂
΃
54π
––––
5΂΃
54π
––––
5΂
΃
π
–––
5
π
–––
5΂
π
––
5
π
––
5
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
5 EE
O polinômio de grau 4
(a + 2b + c)x4 + (a + b + c) x3 – (a – b) x2 +
+ (2a – b + c) x + 2 (a + c),
com a, b, c ∈ ‫,ޒ‬ é uma função par. Então, a soma dos
módulos de suas raízes é igual a
a) 3 + ͙ෆ3 . b) 2 + 3 ͙ෆ3 . c) 2 + ͙ෆ2 .
d) 1 + 2 ͙ෆ2 . e) 2 + 2 ͙ෆ2 .
Resolução
1) P(x) = (a + 2b + c) . x4 + (a + b + c) . x3 – (a – b)x2 +
+ (2a – b + c) x + 2 (a + c) é de grau 4 e é uma
função par. Asim sendo:
⇒ ⇒
2) Se b ≠ 0, a + c = – b e a = 2b, então
P(x) = b x4 – (2b – b) x2 + 2 (– b) ⇔
⇔ P(x) = bx4 – bx2 – 2b
3) Resolvendo a equação P(x) = 0, temos:
bx4 – bx2 – 2b = 0 ⇔ x4 – x2 – 2 = 0 ⇔
⇔ x2 = – 1 ou x2 = 2 ⇔ x = i ou x = – i
ou x = ͙ෆ2 ou x = – ͙ෆ2
4) O conjunto-verdade da equação P(x) = 0 é
V = {i; – i; ͙ෆ2 ; – ͙ෆ2 }
5) A soma dos módulos das raízes é
1 + 1 + ͙ෆ2 + ͙ෆ2 = 2 + 2 ͙ෆ2
6 CC
Considere as funções
f (x) = x4 + 2x3 – 2x – 1 e g(x) = x2 – 2x + 1.
A multiplicidade das raízes não reais da função
composta f o g é igual a
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
Resolução
Sendo f(x) = x4 + 2x3 – 2x – 1 =
= (x2 + 1) . (x2 – 1) + 2x . (x2 – 1) =
= (x2 – 1) . (x2 + 2x + 1) =
= (x2 – 1) . (x + 1)2
e g(x) = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2, temos:
(fog) (x) = [(x – 1)4 – 1] . [(x – 1)2 + 1]2 =
= [(x – 1)2 – 1] . [(x – 1)2 + 1]3 =
= (x2 – 2x) . (x2 – 2x + 2)3,
cujas raízes são 0 (raiz simples), 2 (raiz simples),
1 + i (raiz tripla) e 1 – i (raiz tripla).
Logo, a multiplicidade de cada raiz não-real da
função composta fog é igual a 3.
Ά
a + 2b + c ≠ 0
a + b + c = 0
2a – b + c = 0
Ά
a + b + c + b ≠ 0
a + b + c = 0
a – 2b = 0 Ά
a + c = – b
b ≠ 0
a = 2b
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
7 AA
Suponha que os coeficientes reais a e b da equação
x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite
solução não real r com ͉r͉ ≠ 1. Das seguintes afirmações:
I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo
todas não reais.
II. As raízes podem ser duplas.
III. Das quatro raízes, duas podem ser reais.
é (são) verdadeira( s )
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III.
d) apenas II e III e) nenhuma.
Resolução
1) Seja r = p + qi, com p2 + q2 ≠ 1 e q ≠ 0, a raiz não
real da equação x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0, de
coeficientes reais.
2) Se r for raiz, então também o será, pois
+ + + + 1 =
= = = 0
3) = = ≠ p – qi, pois p2 + q2 ≠ 1
4) Já que a equação tem coeficientes reais, se
r = p + qi e = são raízes, então, p – qi e
também serão raízes.
5) A equação admite, portanto, quatro raízes dis-
tintas, sendo todas não-reais.
1
––––––
p – qi
1
–––
r
1
–––––––
p + qi
1
––
r
1
––––––
p + qi
p – qi
––––––
p2 + q2
1 + ar + br2 + ar3 + r4
–––––––––––––––––––––
r4
0
–––
r4
1
–––
r4
a
–––
r3
b
–––
r2
a
–––
r
1
–––
r
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
8 BB
Se as soluções da equação algébrica 2x3 – ax2 + bx + 54 = 0,
com coeficientes a, b ∈ ‫,ޒ‬ b ≠ 0, formam, numa
determinada ordem, uma progressão geométrica, então,
é igual a
a) – 3. b) – . c) . d) 1. e) 3.
Resolução
Sejam , α e α . q as raízes da equação em progres-
são geométrica de razão q (q ∈ ‫.)*ޒ‬
De acordo com as relações de Girard, temos:
. α . αq = ⇔ α3 = – 27
Logo, a = – 3 é uma das raízes e, conseqüentemente,
2 . (– 3)3 – a . (– 3)2 + b . (– 3) + 54 = 0 ⇔
⇔ – 54 – 9a – 3b + 54 = 0 ⇔ 9a = – 3b ⇔
⇔ = –
α
––
q
1
––
3
1
––
3
a
––
b
1
–––
3
a
–––
b
– 54
–––––
2
α
––
q
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
9 EE
Dados A ∈ M3x2 (‫)ޒ‬ e b ∈ M3x1 (‫,)ޒ‬ dizemos que
X0 ∈ M2x1 (‫)ޒ‬ é a melhor aproximação quadrática do
sistema AX = b quando ͙ෆෆෆෆෆෆෆෆෆ(AX0 – b)t (AX0 – b) assume
o menor valor possível. Então, dado o sistema
=
,
a sua melhor aproximação quadrática é
a) . b) . c) .
d) . e) .
Resolução
Sendo A = , b = e x0 = ,
Temos:
I) (A . X0 – b) = . – =
= – =
II) (A . X0 – b)t = [–x – 1 y – 1 x – 1]
III)(A . X0 – b)t . (A . X0 – b) =
[–x – 1 y – 1 x – 1] . =
= [(–x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)2] =
= [2 . (x2 + 1) + (y – 1)2].
Interpretando ͙ෆෆC (C ∈ M1x1 (‫))ޒ‬ como sendo a
raiz quadrada do elemento desta matriz,
͙ෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆ(A X0 – b)t . (A X0 – b) = ͙ෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆ[2 . (x2 + 1) +(y – 1)2],
que assume o menor valor possível para x = 0 e
y = 1, pois x2 ≥ 0 e (y – 1)2 ≥ 0.
Logo, a melhor aproximação quadrática do siste-
ma
΅
x
y΄΅
1
1
1
΄΅
–1
0
1
0
1
0
΄
΅
0
1΄΅
1
0΄
΅
– 2
0΄΅
1
1΄΅
1
– 1΄
΅
1
1
1
΄΅
x
y΄΅
– 1 0
0 1
1 0
΄
΅
– x – 1
y – 1
x – 1
΄΅
1
1
1
΄΅
–x
y
x
΄
΅
1
1
1
΄΅
x
y΄΅
–1
0
1
0
1
0
΄
΅
– x – 1
y – 1
x – 1
΄
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
= é x0 = .
10 DD
O sistema
com (c1, c2) ≠ (0, 0), a1c1 + a2c2 = b1c1 + b2c2 = 0, é
a) determinado.
b) determinado somente quando c1 ≠ 0 e c2 ≠ 0.
c) determinado somente quando c1 ≠ 0 e c2 = 0 ou c1 =
0 e c2 ≠ 0.
d) impossível.
e) indeterminado.
Resolução
1) Se c1 = 0 e c2 ≠ 0, então:
a1 . 0 + a2 . c2 = b1 . 0 + b2c2 = 0 ⇔ a2 = b2 = 0
e a equação 0 . x + 0 . y = c2 ≠ 0 não tem solução.
2) Se c1 ≠ 0 e c2 = 0, então:
a1 . c1 + a2 . 0 = b1 . c1 + b2 . 0 = 0 ⇔ a1 = b1 = 0
e a equação 0 . x + 0y = c1 ≠ 0 não tem solução
3) Se c1 ≠ 0 e c2 ≠ 0, então:
⇔ ⇔
⇔ (a1c1 + a2c2) x + (b1c1 + b2c2)y = c1
2
+ c2
2
⇒
⇒ 0 . x + 0 . y = c1
2
+ c2 ≠ 0 e, portanto, o sistema é
impossível.
Ά
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Ά
a1c1x + b1c1y = c1
2
a2c2x + b2c2y = c2
2
Ά
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ ‫,ޒ‬
΅
0
1΄΅
1
1
1
΄΅
x
y΄΅
–1
0
1
0
1
0
΄
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
11 AA
Seja A ∈ M2x2 (‫)ޒ‬ uma matriz simétrica e não nula,
cujos elementos são tais que a11, a12 e a22 formam, nesta
ordem, uma progressão geométrica de razão q ≠ 1 e
tr A = 5a11. Sabendo-se que o sistema AX = X admite
solução não nula X ∈ M2x1 (‫,)ޒ‬ pode-se afirmar que
a2
11 + q2 é igual a
a) . b) . c) 5. d) . e) .
Resolução
Sejam A = e X =
I) Sendo A uma matriz simétrica e não-nula e
(a11, a12, a22) uma progressão geométrica de razão
q ≠ 1,
A =
Como tr A = 5 . a11 ⇔ a11 + a11 . q2 = 5 . a11 ⇔
⇔ a11 . q2 = 4 . a11 ⇔ q2 = 4, pois a11 ≠ 0
II) A . X = X ⇒ . = ⇔
⇔ = ⇔
⇔ ⇔
⇔
Para que o sistema linear homogêneo acima
admita solução não-nula, devemos ter:
= 0 ⇔
⇔ 1 – a11 – a11 . q2 = 0 ⇔
⇔ 1 – a11 – 4 . a11 = 0 ⇔ a11 =
Logo, a11
2
+ q2 = ΂ ΃
2
+ 4 =
1
–––
5
101
–––
25
΄
a11 a12
a21 a22
΅ ΄
x
y ΅
101
–––
25
121
–––
25
49
–––
9
25
–––
4
1
–––
5
͉
a11 – 1 a11 . q
a11 . q a11 . q2 – 1͉
Ά
(a11 – 1) . x + a11 . q . y = 0
a11 . q . x + (a11 . q2 – 1) . y = 0
Ά
a11 . x + a11 . q . y = x
a11 . q . x + a11 . q2 . y = y
΄
a11 . x + a11 . q . y
a11 . q . x + a11 . q2 . y ΅ ΄
x
y ΅
΄
a11 a11 . q
a11 . q a11 . q2΅ ΄
x
y ΅ ΄
x
y ΅
΄
a11 a11 . q
a11 . q a11 . q2 ΅
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
12 BB
Uma amostra de estrangeiros, em que 18% são profi-
cientes em inglês, realizou um exame para classificar a
sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são
proficientes em inglês, 75% foram classificados como
proficientes. Entre os não proficientes em inglês, 7%
foram classificados como proficientes. Um estrangeiro
desta amostra, escolhido ao acaso, foi classificado como
proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro
ser efetivamente proficiente nesta língua é de aproxima-
damente
a) 73%. b) 70%. c) 68%. d) 65%. e) 64%.
Resolução
Dos 18% de estrangeiros proficientes em inglês, 75%,
isto é, 75% de 18% = 13,5% foram classificados
como proficientes.
Dos 82% de estrangeiros não-proficientes em inglês,
7%, isto é, 7% de 82% = 5,74% foram classificados
como proficientes.
Se o estrangeiro escolhido ao acaso foi classificado
como proficiente em inglês, então a probabilidade de
ele ser efetivamente proficiente em inglês é
p = = ≅ 0,70 = 70%
13 EE
Considere o triângulo ABC de lados a =
–––
BC, b =
–––
AC e
c =
–––
AB e ângulos internos α = C
^
AB, β = A
^
BC e γ = B
^
CA.
Sabendo-se que a equação x2 – 2bx cos α + b2 – a2 = 0
admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que
a) α = 90°.
b) β = 60°.
c) γ = 90°.
d) O triângulo é retângulo apenas se α = 45°.
e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
Resolução
Se a equação em x : x2 – 2bcos α . x + b2 – a2 = 0 ad-
mite c como raiz dupla, então tem-se a seguinte
identidade de polinômios:
x2 – 2bcos α . x + (b2 – a2) ϵ (x – c)2 ⇔
⇔ x2 – 2bcos α . x + (b2 – a2) ϵ x2 – 2cx + c2 ⇔
⇔ ⇔ ⇔
Pode-se concluir então que o triângulo de lados a, b e
c é sempre retângulo e b é a hipotenusa.
c
cos α = –––
b
b2 = a2 + c2Ά
– 2bcos α = – 2c
b2 – a2 = c2Ά
13,5
–––––––
19,24
13,5
––––––––––
13,5 + 5,74
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
14 DD
No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos
cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta
t : x = 1 e ao ponto A = (3, 2) é igual a 4. Então, S é
a) uma circunferência de raio ͙ෆ2 e centro (2, 1).
b) uma circunferência de raio 1 e centro (1, 2).
c) uma hipérbole.
d) uma elipse de eixos de comprimento 2͙ෆ2 e 2.
e) uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1.
Resolução
Se a reta (t) tem equação x = 1, o ponto A = (3, 2) e
sendo P(x, y) um ponto genérico do L.G., temos:
dP,t
2
+ dP, A
2
= 4 ⇔ (x – 1)2 + (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4 ⇔
⇔ 2x2 – 8x + 8 + y2 – 4y + 4 = 2 ⇔
⇔ 2 . (x – 2)2 + (y – 2)2 = 2 ⇔
⇔ + = 1
A equação representa uma elipse, de centro (2; 2), tal
que:
I) a2 = 2 ⇒ a = ͙ෆ2 ⇒ 2a = 2͙ෆ2 é o comprimento do
eixo maior.
II) b2 = 1 ⇒ b = 1 ⇒ 2 . b = 2 é o comprimento do eixo
menor.
Os eixos da elipse têm comprimentos 2͙ෆ2 e 2.
(y – 2)2
–––––––
2
(x – 2)2
–––––––
1
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
15 DD
Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma
circunferência de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado
–––
BC
mede 2 cm e o ângulo interno A
^
BC mede 30°. Então, o
raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o
comprimento, em cm, igual a
a) 2 – ͙ෆ3. b) . c)
d) 2 ͙ෆ3 – 3. e) .
Resolução
De acordo com o enunciado, podemos montar as se-
guintes figuras:
Assim, sendo S a área do triângulo ABC, em centí-
metros quadrados, p o semiperímetro desse triân-
gulo, em centímetros, e r o raio, em centímetros, da
circunferência inscrita nesse triângulo, tem-se:
1º) S = = = ͙ෆ3
2º) S = p . r
Logo: ͙ෆ3 = . r ⇔ ͙ෆ3 = (2 + ͙ෆ3) . r ⇔
⇔ r = ⇔ r = ͙ෆ3 (2 – ͙ෆ3) ⇔ r = 2͙ෆ3 – 3
͙ෆ3
–––––––
2 + ͙ෆ3
1
–––
2
͙ෆ2
––––
4
1
–––
3
4 + 2͙ෆ3
–––––––
2
2͙ෆ3 . 1
–––––––
2
AB . 1
––––––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
16 EE
A distância entre o vértice e o foco da parábola de equa-
ção 2x2 – 4x – 4y + 3 = 0 é igual a
a) 2. b) . c) 1. d) . e) .
Resolução
2x2 – 4x – 4y + 3 = 0 ⇔ 2x2 – 4x + 3 = 4y ⇔
⇔ x2 – 2x + = 2y ⇔ x2 – 2x + 1 – 1 + = 2y ⇔
⇔ x2 – 2x + 1 = 2y – ⇔ (x – 1)2 = 2 . ΂y – ΃
Sendo (x – g)2 = 4 . f . (y – h) a equação reduzida da
parábola, comparando-a com a equação obtida,
conclui-se que:
1º) o vértice da parábola é o ponto ΂1; ΃
2º) A distância entre o vértice e o foco da parábola é
a medida f, tal que 4 . f = 2, e portanto f = .
1
–––
2
3
–––
4
3
–––
2
1
–––
2
1
–––
4
1
–––
4
1
–––
2
3
–––
2
3
–––
2
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
17 AA
A expressão
é equivalente a
a) [cos x – sen2x] cotg x. b) [sen x + cos x] tg x.
c) [cos2 x – sen x] cotg2 x. d) [l – cotg2 x] sen x.
e) [1 + cotg2 x] [sen x + cos x]
Resolução
=
= =
= =
= 2 . sen . cos . [cotg2 x – cos x] =
= sen x . =
= =
= . [cos x – sen2x] = cotg x . [cos x – sen2x]
3π x
2 . ΄sen ΂x + –––΃+ cotg2 x΅. tg ΂––΃2 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x
sec2
΂––΃2
11 x
2 . ΄sen ΂x + ––– π΃+ cotg2 x΅. tg ΂––΃2 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x
1 + tg2
΂––΃2
11 x
2 ΄sen ΂x + –––π΃+ cotg2x΅tg ––-
2 2
––––––––––––––––––––––––––––––––––
x
1 + tg2 –––
2
΃
x
–––
2΂΃
x
–––
2΂
x
sen΂––΃2
2 . [– cos x + cotg2 x] –––––––––
x
cos΂––΃2
–––––––––––––––––––––––––––––––
1
–––––––––––
x
cos2
΂––΃2
cos x
––––––
sen x
sen x . [cos2x – cos x . sen2x]
–––––––––––––––––––––––––
sen2x
΅
cos2x
–––––– – cos x
sen2x΄
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
18 BB
Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (0,0)
e
–––
AB uma corda de C. Sabendo que (1,3) é ponto médio
de
–––
AB , então uma equação da reta que contém
–––
AB é
a) y + 3x – 6 = 0. b) 3y + x – 10 = 0.
c) 2y + x – 7 = 0. d) y + x – 4 = 0.
e) 2y + 3x – 9 = 0.
Resolução
Sejam t e s, respectivamente, as retas que contêm
—
AB
e
—
CP, sendo P(1;3), ponto médio de
—
AB.
O coeficiente angular da reta s é tal que,
ms = = 3.
O ponto P(1;3) pertence à reta t cujo coeficiente
angular é mt = – , pois t ⊥ s.
Dessa forma, a equação da reta t é
y – 3 = – (x – 1) ⇔ 3y + x – 10 = 0
1
–––
3
3 – 0
––––––
1 – 0
1
–––
3
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
19 AA
Uma esfera é colocada no interior de um cone circular
reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo de vértice. Os
pontos de contato da esfera com a superfície lateral do
cone definem uma circunferência e distam 2 ͙ෆ3 cm do
vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela
esfera, em cm3, é igual a
a) π. b) π. c) π.
d) π. e) π.
Resolução
Sendo R o raio da base do cone e r o raio da esfera,
ambos, em centímetros, tem-se:
1º) tg 30° = ⇔ = ⇔ r = 2
2º) tg 30° = ⇔ = ⇔ R =
Assim, o volume V da região interna ao cone, não-
ocupada pela esfera, em centímetros cúbicos, é dado
por:
V = . π . R2 . 8 – . π . r3 =
= . π . . 8 – . π . 23 =
= – =
542
––––
9
512
––––
9
500
––––
9
480
––––
9
416
––––
9
416π
–––––
9
32π
––––
3
512π
––––
9
4
–––
3
64
–––
3
1
–––
3
4
–––
3
1
–––
3
8͙ෆ3
–––––
3
R
–––
8
͙ෆ3
–––––
3
R
–––
8
r
–––––
2͙ෆ3
͙ෆ3
–––––
3
r
–––––
2͙ෆ3
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
20 CC (com ressalvas)
Os pontos A = (3,4) e B = (4,3) são vértices de um cubo,
em que
–––
AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro
cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é
igual a
a) ͙ෆ8. b) 3. c) ͙ෆෆ12. d) 4 e) ͙ෆෆ18.
Resolução
1º) A medida a da aresta do cubo é dada por
a = AB = ͙ළළළළළළළළළළළළළළළළළළළ(3 – 4)2 +(4 – 3)2 = ͙ළළ2
2º) Entendendo que os vértices do octaedro são os
centros das faces do cubo, então a medida ᐉ da
aresta do octaedro regular é tal que:
ᐉ2 =
2
+
2
⇔ ᐉ2 =
assim: ᐉ2 = ⇔ ᐉ2 = 1
3º) Entendendo que o examinador queira que seja
calculada a área S da superfície total do octaedro,
já que este não possui área lateral, então, como
tal superfície é composta por oito triângulos
eqüiláteros de lado ᐉ, tem-se:
S = 8 . ⇔ S = 2͙ළළ3 ᐉ2
Assim: S = 2͙ළළ3 . 1 ⇔ S = ͙ළළළ12
ᐉ2͙ළළ3
––––––
4
΂͙ළළ2 ΃
2
––––––
2
a2
–––
2΃
a
–––
2΂΃
a
–––
2΂
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE
21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPON-
DIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES.
21
Seja S o conjunto solução da inequação
(x – 9) ͉ logx+4(x3 – 26x) ͉ ≤ 0.
Determine o conjunto SC.
Resolução
Como o gráfico da função f(x) = x3 – 26x é do tipo
temos:
1) Existe o logx + 4 (x3 – 26x) se, e somente se,
– 4 < x < – 3 ou – 3 < x < 0 ou x > ͙ෆෆ26
2) Dentro das condições de existência do logaritmo,
(x – 9) . ͉ logx+4 (x3 – 26x) ͉ ≤ 0 ⇔ x – 9 ≤ 0 ⇔
⇔ x ≤ 9, para logx + 4 (x3 – 26x) ≠ 0 e x = b ou x =
c (do gráfico acima) para logx+ 4 (x3 – 26x) = 0
3) Como b < 9 e c < 9, S = { x ∈ ‫ޒ‬ ͉ – 4 < x < – 3 ou
– 3 < x < 0 ou ͙ෆෆ26 < x ≤ 9} e
SC = { x ∈ ‫ޒ‬ ͉ x ≤ – 4 ou x = – 3 ou
0 ≤ x ≤ ͙ෆෆ26 ou x > 9}
Resposta: SC = { x ∈ ‫ޒ‬ ͉ x ≤ – 4 ou x = – 3 ou
0 ≤ x ≤ ͙ෆෆ26 ou x > 9}
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
22
Sejam x, y ∈ ‫ޒ‬ e w = x2(1 + 3i) + y2(4 – i) – x(2 + 6i) +
+ y(–16 + 4i) ∈ ‫.ރ‬ Identifique e esboce o conjunto
Ω = {(x, y) ∈ ‫ޒ‬2; Re w ≤ – 13 e Im w ≤ 4}.
Resolução
w = x2 (1 + 3i) + y2 (4 – i) – x (2 + 6i) + y (– 16 + 4i)
⇔
⇔ w = x2 + 3x2 i + 4y2 – y2i – 2x – 6xi – 16y + 4yi ⇔
⇔ w = (x2 + 4y2 – 2x – 16y) + (3x2 – y2 – 6x + 4y)i
Desta forma:
1) Re w ≤ – 13 ⇒ x2 + 4y2 – 2x – 16y ≤ – 13 ⇔
⇔ (x – 1)2 + 4(y – 2)2 ≤ 4 ⇔
⇔ + ≤ 1 que é a equação de
uma região elíptica de centro (1; 2), semi-eixo
maior paralelo ao eixo das abscissas e medindo 2 e
semi-eixo menor medindo 1.
2) Im w ≤ 4 ⇔ 3x2 – y2 – 6x + 4y ≤ 4 ⇔
⇔ 3(x – 1)2 – (y – 2)2 ≤ 3 ⇔ – ≤ 1
que é a equação de uma região determinada por
uma hipérbole de centro (1; 2), eixo transverso pa-
ralelo ao eixo das abscissas e medindo 1 e eixo
conjugado medindo 2.͙ෆ3.
3) A representação no plano complexo dessas regiões
é a seguinte:
Resposta: O conjunto pedido está representado pelos
pontos que formam a figura destacada aci-
ma.
(y – 2)2
–––––––
3
(x – 1)2
––––––
1
(y – 2)2
––––––––
1
(x – 1)2
––––––––
4
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
23
Seja f: ‫ޒ‬{–l} → ‫ޒ‬ definida por f(x) = .
a) Mostre que f é injetora.
b) Determine D = {f(x); x ∈ ‫ޒ‬  {–1} } e f–1: D → ‫.}1–{ޒ‬
Resolução
Sendo:
f: ‫ޒ‬  {– 1} → ‫ޒ‬ definida por
f(x) = = 2 +
conclui-se:
a) ∀x1, x2 ∈ ‫ޒ‬  {– 1}, temos:
x1 ≠ x2 ⇔ x1 + 1 ≠ x2 + 1 ⇔ ≠ ⇔
⇔ 2 + ≠ 2 + ⇔
⇔ f(x1) ≠ f(x2) e, portanto, f é injetora.
b) Sendo f –1 a função inversa de f, temos:
f(f–1(x)) = x ⇔ 2 + = x ⇔
⇔ = x – 2 ⇔
⇔ f–1(x) + 1 = ⇒ f–1(x) =
O conjunto D = {f(x); x ∈ ‫ޒ‬  {– 1}} e
f–1: D → ‫ޒ‬  {– 1} é o conjunto-domínio da função f–1
e, portanto, D = ‫ޒ‬  {2}.
Respostas: a) demonstração
b) D = ‫ޒ‬  {2}
1
–––––
x + 1
2x + 3
–––––––
x + 1
2x + 3
––––––
x + 1
3 – x
––––––
x – 2
1
–––––
x – 2
1
–––––––––
f–1(x) + 1
1
–––––––––
f–1(x) + 1
1
––––––
x2 + 1
1
––––––
x1 + 1
1
––––––
x2 + 1
1
––––––
x1 + 1
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
24
Suponha que a equação algébrica
10
x11 + ∑ anxn + a0 = 0
n = 1
tenha coeficientes reais a0, a1, ..., a10 tais que as suas
onze raízes sejam todas simples e da forma β + iγn, em
que β, γn ∈ ‫ޒ‬ e os γn, n = 1, 2, …, 11, formam uma
progressão aritmética de razão real γ ≠ 0. Considere as
três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é,
respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua
resposta:
I. Se β = 0, então a0 = 0.
II. Se a10 = 0, então β = 0.
III. Se β = 0, então a1 = 0.
Resolução
10
A equação x11 + ∑ anxn + a0 = 0 ⇔
n = 1
⇔ x11 + a10 . x10 + a9 x9 + a8 x8 + … + a1x + a0 = 0 é
de grau 11 e tem pelo menos uma raiz real.
I) Verdadeira, pois se β = 0 as onze raízes são do
tipo iγn. Esse número somente será real se γn = 0
para algum valor de n. Desta forma, zero é raiz da
equação e
011 + a10 . 010 + a9 . 09 + … + a1 . 0 + a0 = 0 ⇔
⇔ a0 = 0.
II) Verdadeira, pois as onze raízes são da forma
(β + γ1 i; β + γ2 i; β + γ3 i; β + γ4 i; β + γ5 i; β;
β + γ7 i; β + γ8 i; β + γ9 i; β + γ10 i; β + γ11 i) e tais
que (γ1; γ2; …; γ5; 0; γ7; …; γ11) formam uma
progressão artitmética de soma zero. Desta forma,
a soma das onze raízes será 11β = = 0,
portanto β = 0.
III)Falsa, pois, como visto no item (I) se β = 0 então
zero é raiz da equação dada. A equação dada é
fatorável em
x (x10 + a10 x9 + a9 x8 + a8 x7 + … + a2 x + a1) = 0
O produto das outras dez raízes é a1 e elas podem
não ser nulas. Poderiam ser, por exemplo, – 5i;
– 4i; –3i; – 2i; – i; i; 2i; 3i; 4i e 5i.
Observe que, neste caso,
(– 5; – 4; – 3; …; 0; 1; 2; …5) formam uma
progressão aritmética, de razão não-nula.
a10
– –––
1
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
25
Um determinado concurso é realizado em duas etapas.
Ao longo dos últimos anos, 20% dos candidatos do
concurso têm conseguido na primeira etapa nota
superior ou igual à nota mínima necessária para poder
participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos
dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no
mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da
segunda etapa?
Resolução
A probabilidade de um candidato conseguir nota pa-
ra participar da segunda etapa é 20% = e a de não
conseguir nota é 80% = .
Dos 6 candidatos, a probabilidade de pelo menos
quatro deles conseguirem nota para participar da
segunda etapa é:
C6,4.
4
.
2
+C6,5 .
5
.
1
+C6,6.
6
.
0
=
=
4
. ΄15 .
2
+ 6 . . +
2
΅=
= . =
Resposta:
4
––
5
1
––
5
53
–––––
3125
53
–––––
3125
265
––––
25
1
––––
625
1
΂––΃5
4
΂––΃5
1
΂––΃5
4
΂––΃5
1
΂––΃5
4
΂––΃5
1
΂––΃5
4
΂––΃5
1
΂––΃5
4
΂––΃5
1
΂––΃5
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
26
Sejam A, B ∈ M3x3(‫.)ޒ‬ Mostre as propriedades abaixo:
a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X ∈ M3x1(‫,)ޒ‬
então A é a matriz nula.
b) Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula,
então det A = det B = 0.
Resolução
Se A ∈ M3×3(‫,)ޒ‬ então A =
a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo
X ∈ M3×1(‫,)ޒ‬ então
a.1) para X = , temos:
A . X = . =
= = ⇒ a11 = a21 = a31 = 0
a.2) para X = , temos:
A . X = . =
= = ⇒ a12 = a22 = a32 = 0
a.3) para X = , temos:
A . X = . =
= = ⇒ a13 = a23 = a33 = 0
Desta forma, A = = O
b) 1) Se det A ≠ 0, existe A– 1 e A . B = O ⇒
⇒ A–1 . A . B = A–1 . O ⇔ I . B = O ⇔ B = O
Contrariando a hipótese de que B é não-nula.
΃
1
0
0΂
΃
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
΂
΃
0
0
0΂΃
a11
a21
a31
΂
΃
1
0
0΂΃
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
΂
΃
0
0
0
0
0
0
0
0
0΂
΃
0
0
0΂΃
a13
a23
a33
΂
΃
0
0
1΂΃
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
΂
΃
0
0
1΂
΃
0
0
0΂΃
a12
a22
a32
΂
΃
0
1
0΂΃
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
΂
΃
0
1
0΂
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
2) Se det B ≠ 0, existe B–1 e A . B = O ⇒
⇒ A . B . B–1 = O . B–1 ⇔ A . I = O ⇔ A = O
Contrariando a hipótese de que A é não-nula.
Dos itens (1) e (2), temos det A = det B = 0.
Respostas: a) demonstração
b) demonstração
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
27
Sabendo que tg2 = , para algum
x ∈ , determine sen x.
Resolução
1) tg2 = ⇒ tg = , pois:
≤ x + ≤
Assim:
= ⇔ = ⇔
⇔ 2 tg x + = ͙ෆ2 – tg x ⇔
⇔ 6 tg x + 2͙ෆ3 = 3͙ෆ2 – ͙ෆ6 tg x ⇔
⇔ (6 + ͙ෆ6 ) tg x = 3͙ෆ2 – 2͙ෆ3 ⇔
⇔ tg x = ⇔ tg x =
2) Como 0 < x < , podemos então montar o
seguinte triângulo retângulo:
do qual podemos concluir que:
sen x = ⇔ sen x =
Resposta:
3 – ͙ෆ6
––––––––
6
1
΄0, –– π΅2
1
–––
2
1
΂x + –– π΃6
π
–––
2
͙ෆ3 – ͙ෆ2
––––––––––
͙ෆ6 + 1
3͙ෆ2 – 2͙ෆ3
––––––––––
6 + ͙ෆ6
͙ෆ6
––––
3
2͙ෆ3
–––––
3
͙ෆ2
–––
2
͙ෆ3
tg x + ––––
3
––––––––––––
͙ෆ3
1 – ––– . tg x
3
͙ෆ2
–––
2
π
tg x + tg ΂––΃6
––––––––––––––
π
1 – tg ΂––΃ tg x
6
2π
–––
3
π
–––
6
π
–––
6
͙ෆ2
––––
2
π
΂x + ––΃6
1
–––
2
π
΂x + ––΃6
3 – ͙ෆ6
––––––––
6
͙ෆ3 – ͙ෆ2
––––––––––
2 ͙ෆ3
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
28
Dadas a circunferência C: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 20 e a reta
r: 3x – y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C, for-
ma um ângulo de 45° com r e cuja distância à origem é
. Determine uma equação a reta t.
Resolução
A circunferência C: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 20 tem centro
A (3; 1) e raio igual a 2 ͙ෆ5 .
A reta r: 3x – y + 5 = 0 tem coeficiente angular mr = 3
Sendo mt, o coeficiente angular da reta t que forma
um ângulo de 45° com r, temos
tg 45° = ⇔ 1 =
⇔ = 1 ou = –1 ⇔
⇔ mt = ou mt = –2
Dessa forma, sendo h ∈ ‫,ޒ‬ a equação da reta t é tal
que:
y = x + h ou y = –2x + h ⇔
⇔ x – 2y + 2h = 0 ou 2x + y – h = 0
Sabendo que a distância entre a reta t e a origem é
, temos:
• Para x – 2y + 2h = 0
= ⇔ h = ±
• Para 2x + y – h = 0
= ⇔ h = ± 3
Assim, as equações das retas que formam um ân-
gulo de 45° com r e distam da origem são:
x – 2y + = 0 , x – 2y – = 0,
2x + y – 3 = 0 ou 2x + y + 3 = 0
Dentre estas retas, a única que tangencia a circun-
3
––
2
3
––
2
3͙ෆ5
–––––
5
3 ͙ෆ5
–––––
5
͉2 . 0 + 0 – h͉
––––––––––––––
͙ෆෆෆෆෆ12 + (–2)2
3
––
2
3 ͙ෆ5
–––––
5
͉0 – 2 . 0 + 2h͉
–––––––––––––––
͙ෆෆෆෆෆ12 + (–2)2
3 ͙ෆ5
–––––
5
1
–––
2
1
–––
2
3 – mt
––––––––
1 + 3mt
3 – mt
––––––––
1 + 3mt
3 – mt
͉––––––––͉1 + 3mt
mr – mt
͉––––––––––͉1 + mr . mt
3 ͙ෆ5
–––––
5
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
ferência C é a de equação
(t) 2x + y + 3 = 0, cuja distância ao centro de C,
A(3; 1), é igual ao raio (2 ͙ෆ5).
Com efeito,
dA,t = = = 2 ͙ෆ5
Resposta: uma equação da reta t é 2x + y + 3 = 0
29
Considere as n retas
ri: y = mix + 10, i = 1, 2, ..., n; n ≥ 5,
em que os coeficientes mi, em ordem crescente de i,
formam uma progressão aritmética de razão q > 0. Se
ml = 0 e a reta r5 tangencia a circunferência de equação
x2 + y2 = 25, determine o valor de q.
Resolução
Sendo mi, i = 1, 2, …, n, n ≥ 5, termos de uma
progressão aritmética de razão q > 0 e m1 = 0, temos:
(m1; m2; m3; m4; m5; …) = (0; q; 2q; 3p; 4q; …) =
Assim, a equação da reta r5 é da forma
y = m5x + 10 ⇔ y = 4qx + 10 ⇔ 4qx – y + 10 = 0
Sabendo que a reta r5 tangencia a circunferência de
equação x2 + y2 = 25, com centro C(0;0) e raio r = 5,
resulta
⇔ = 5 ⇔ 10 = 5 ͙ළළළළළළළෆ16q2 + 1 ⇒
⇒ 4 = 16q2 + 1 ⇒ q = , pois q > 0
Resposta: q =
10
–––––
͙ෆ5
͉2 . 3 + 1 + 3͉
––––––––––––––
͙ෆෆෆ22 + 12
͙ෆ3
–––––
4
͙ෆ3
–––––
4
͉4q . 0 – 0 + 10͉
––––––––––––––––
͙ළළළළළළළළළළළළෆ(4q)2 + (– 1)2
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
30
A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de
uma pirâmide regular é igual a ͙ෆ5. Exprima o volume
desta pirâmide em termos da medida a do apótema da
base.
Resolução
Sendo ᐉ, h e g, respectivamente, as medidas da aresta
da base, da altura, e do apótema da pirâmide regular
octogonal, tem-se:
1º) ᐉ + + = 2a ⇔ ᐉ + ᐉ ͙ෆ2 = 2a ⇔
⇔ ᐉ = ⇔ ᐉ = 2 (͙ෆ2 – 1) a
2º) = ͙ෆ5 ⇔ g = ͙ෆ5 a
3º) g2 = h2 +a2
Assim: (͙ෆ5 a)2
= h2 + a2 ⇔ h = 2a
4º) O volume V dessa pirâmide é igual a um terço do
produto da área de sua base pela sua altura.
Assim:
V = . 4ᐉ . a . h ⇔ V = . 2 (͙ෆ2 – 1)a . a . 2a ⇔
⇔ V =
Resposta:
ᐉ
––––
͙ෆ2
ᐉ
––––
͙ෆ2
16 (͙ෆ2 – 1)a3
––––––––––––––
3
16 (͙ෆ2 – 1)a3
––––––––––––––
3
4
–––
3
1
–––
3
4ᐉg
––––
4ᐉa
2a
–––––––
͙ෆ2 + 1
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
Comentário
Com 18 questões de álgebra, 3 de trigonometria,
4 de geometria e 5 de geometria analítica, algumas
muito mal enunciadas e outras apresentando alto
grau de complexidade, com enunciados rebuscados e
notações não muito usuais, a banca examinadora
elaborou uma prova de matemática bastante traba-
lhosa, que certamente exigiu um grande empenho
por parte dos candidatos mais bem preparados, os
quais devem ter ficado extremamente extenuados
por conta da prova.
IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088

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Ita2009 3dia

  • 1. IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088 MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA Obs.: Os sistemas de coordenadas considerados são car- tesianos retangulares. 1 CC Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (BC ʜ A)C = = {f, g, h}, BC ʝ A = {a,b} e ACB = {d,e}, então, n(P(A ʝ B)) é igual a a) 0. b) 1. c) 2. d) 4. e) 8. Resolução 1) (BC ʜ A)C = {f; g; h} ⇔ (BC)C ʝ AC = {f; g; h} ⇔ ⇔ B ʝ AC = {f; g; h} ⇔ BA = {f; g; h} 2) BC ʝ A = {a; b} ⇔ AB = {a; b} 3) AC B = {d; e} ⇔ U(A ʜ B) = {d; e} De (1), (2) e (3), temos o diagrama Logo, A ʝ B = {c} e P(A ʝ B) = {Ø, {c}} NOTAÇÕES ‫ގ‬ = {0, 1, 2, 3,...} ‫:ޒ‬ conjunto dos números reais ‫:ރ‬ conjunto dos números complexos [a, b] = {x ∈ ‫;ޒ‬ a ≤ x ≤ b} (a, + ∞) = ]a, + ∞[ = {x ∈ ‫;ޒ‬ a < x < + ∞} AB = {x ∈ A; x ∉ B} AC: complementar do conjunto A i: unidade imaginária; i2 = –1 ͉z͉: módulo do número z ∈ ‫ރ‬ Re z: parte real do z ∈ ‫ރ‬ Im z : parte imaginária do número z ∈ ‫ރ‬ Mm×n(‫:)ޒ‬ conjunto das matrizes reais m × n At: transposta da matriz A det A: determinante da matriz A P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(A): número de elementos do conjunto finito A — AB: segmento de reta unindo os pontos A e B tr A : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A
  • 2. 2 BB Uma empresa possui 1000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor “flex” (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor “flex” sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 556 dos 1000 carros desta empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a a) 246. b) 252. c) 260. d) 268. e) 284. Resolução Se, entre os 1000 carros da empresa, x têm motor a gasolina e 1000 – x possuem motor “flex”, temos: (100 – 36)% . (1000 – x) + 36% x = 556 ⇔ ⇔ 640 – 0, 64x + 0,36x = 556 ⇔ 0,28x = 84 ⇔ x = 300 Portanto, o número de carros tricombustíveis é 36%. (1000 – 300) = . 700 = 252 36 –––– 100 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 3. 3 EE Seja f : ‫ޒ‬ → ‫ޒ‬ {0} uma função satisfazendo às con- dições: f(x + y) = f(x)f(y), para todo x, y ∈ ‫ޒ‬ e f(x) ≠ 1, para todo x ∈ ‫ޒ‬ {0}. Das afirmações: I. f pode ser ímpar. II. f(0) = 1. III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois f(x) > 0 para todo x ∈ ‫.ޒ‬ é (são) falsa( s) apenas a) I e III. b) II e III. c) I e IV. d) IV. e) I. Resolução Se f: ‫ޒ‬ → ‫ޒ‬ {0}, f(x + y) = f(x) . f(y) para todo x; y ∈ R e f(x) ≠ 1, para todo x ∈ ‫ޒ‬ {0}, então: 1) f(x) ∈ CD (f) = ‫ޒ‬ {0} ⇔ f(x) ≠ 0, ∀ x ∈ ‫.ޒ‬ 2) f(0 + 0) = f(0) . f(0) ⇔ f(0) = [f(0]2 ⇒ f(0) = 1, pois f(0) ≠ 0. 3) Para qualquer a ≠ 0, tem-se: f(–a + a) = f(–a) . f(a) = f(0) = 1 e, portanto f(a) e f(–a) tem o mesmo sinal. Assim, f não pode ser ímpar. 4) x1 ≠ x2 ⇔ x1 = x2 + k, com k ≠ 0 ⇔ ⇔ f(x1) = f(x2 + k) = f(x2) . f(k) ≠ f(x2), pois f(k) ≠ 1. Assim, f é injetiva. 5) f(x) = f ΂ + ΃ = f . f = = ΄f ΅ 2 > 0, pois f ≠ 0. Desta forma, Im(f) ʚ ‫ޒ‬+ e Im(f) ≠ CD(f), então a função não é sobrejetiva. Assim, apenas a afirmação (I) é falsa. x ΂–––΃2 x ΂–––΃2 x ––– 2 x ––– 2 x ΂–––΃2 x ΂–––΃2 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 4. 4 BB Se a = cos e b = sen , então, o número complexo ΂cos + i sen ΃ 54 é igual a a) a + bi. b) – a + bi. c) (1 – 2a2b2) + ab (1 + b2)i. d) a – bi. e) 1 – 4a2b2 + 2ab(1 – b2)i. Resolução Se a = cos e b = sen então: 1) cos + i . sen 54 = = cos + i . sen = = cos 10π + + i . sen 10π + = = cos + i . sen = 2) cos = – cos = – a 3) sen = sen = b Assim sendo: cos + i . sen 54 = cos + i . sen = – a + bi π ––– 5 π ––– 5 π –– 5 π –– 5 4π ––– 5 4π –––– 5 ΃ π –– 5 π –– 5΂ π –– 5 4π –––– 5 π –– 5 4π –––– 5 ΃ 4π –––– 5΂΃ 4π –––– 5΂ ΃ 4π –––– 5΂΃ 4π –––– 5΂ ΃ 54π –––– 5΂΃ 54π –––– 5΂ ΃ π ––– 5 π ––– 5΂ π –– 5 π –– 5 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 5. 5 EE O polinômio de grau 4 (a + 2b + c)x4 + (a + b + c) x3 – (a – b) x2 + + (2a – b + c) x + 2 (a + c), com a, b, c ∈ ‫,ޒ‬ é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a a) 3 + ͙ෆ3 . b) 2 + 3 ͙ෆ3 . c) 2 + ͙ෆ2 . d) 1 + 2 ͙ෆ2 . e) 2 + 2 ͙ෆ2 . Resolução 1) P(x) = (a + 2b + c) . x4 + (a + b + c) . x3 – (a – b)x2 + + (2a – b + c) x + 2 (a + c) é de grau 4 e é uma função par. Asim sendo: ⇒ ⇒ 2) Se b ≠ 0, a + c = – b e a = 2b, então P(x) = b x4 – (2b – b) x2 + 2 (– b) ⇔ ⇔ P(x) = bx4 – bx2 – 2b 3) Resolvendo a equação P(x) = 0, temos: bx4 – bx2 – 2b = 0 ⇔ x4 – x2 – 2 = 0 ⇔ ⇔ x2 = – 1 ou x2 = 2 ⇔ x = i ou x = – i ou x = ͙ෆ2 ou x = – ͙ෆ2 4) O conjunto-verdade da equação P(x) = 0 é V = {i; – i; ͙ෆ2 ; – ͙ෆ2 } 5) A soma dos módulos das raízes é 1 + 1 + ͙ෆ2 + ͙ෆ2 = 2 + 2 ͙ෆ2 6 CC Considere as funções f (x) = x4 + 2x3 – 2x – 1 e g(x) = x2 – 2x + 1. A multiplicidade das raízes não reais da função composta f o g é igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Resolução Sendo f(x) = x4 + 2x3 – 2x – 1 = = (x2 + 1) . (x2 – 1) + 2x . (x2 – 1) = = (x2 – 1) . (x2 + 2x + 1) = = (x2 – 1) . (x + 1)2 e g(x) = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2, temos: (fog) (x) = [(x – 1)4 – 1] . [(x – 1)2 + 1]2 = = [(x – 1)2 – 1] . [(x – 1)2 + 1]3 = = (x2 – 2x) . (x2 – 2x + 2)3, cujas raízes são 0 (raiz simples), 2 (raiz simples), 1 + i (raiz tripla) e 1 – i (raiz tripla). Logo, a multiplicidade de cada raiz não-real da função composta fog é igual a 3. Ά a + 2b + c ≠ 0 a + b + c = 0 2a – b + c = 0 Ά a + b + c + b ≠ 0 a + b + c = 0 a – 2b = 0 Ά a + c = – b b ≠ 0 a = 2b IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 6. 7 AA Suponha que os coeficientes reais a e b da equação x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 são tais que a equação admite solução não real r com ͉r͉ ≠ 1. Das seguintes afirmações: I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais. II. As raízes podem ser duplas. III. Das quatro raízes, duas podem ser reais. é (são) verdadeira( s ) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III e) nenhuma. Resolução 1) Seja r = p + qi, com p2 + q2 ≠ 1 e q ≠ 0, a raiz não real da equação x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0, de coeficientes reais. 2) Se r for raiz, então também o será, pois + + + + 1 = = = = 0 3) = = ≠ p – qi, pois p2 + q2 ≠ 1 4) Já que a equação tem coeficientes reais, se r = p + qi e = são raízes, então, p – qi e também serão raízes. 5) A equação admite, portanto, quatro raízes dis- tintas, sendo todas não-reais. 1 –––––– p – qi 1 ––– r 1 ––––––– p + qi 1 –– r 1 –––––– p + qi p – qi –––––– p2 + q2 1 + ar + br2 + ar3 + r4 ––––––––––––––––––––– r4 0 ––– r4 1 ––– r4 a ––– r3 b ––– r2 a ––– r 1 ––– r IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 7. 8 BB Se as soluções da equação algébrica 2x3 – ax2 + bx + 54 = 0, com coeficientes a, b ∈ ‫,ޒ‬ b ≠ 0, formam, numa determinada ordem, uma progressão geométrica, então, é igual a a) – 3. b) – . c) . d) 1. e) 3. Resolução Sejam , α e α . q as raízes da equação em progres- são geométrica de razão q (q ∈ ‫.)*ޒ‬ De acordo com as relações de Girard, temos: . α . αq = ⇔ α3 = – 27 Logo, a = – 3 é uma das raízes e, conseqüentemente, 2 . (– 3)3 – a . (– 3)2 + b . (– 3) + 54 = 0 ⇔ ⇔ – 54 – 9a – 3b + 54 = 0 ⇔ 9a = – 3b ⇔ ⇔ = – α –– q 1 –– 3 1 –– 3 a –– b 1 ––– 3 a ––– b – 54 ––––– 2 α –– q IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 8. 9 EE Dados A ∈ M3x2 (‫)ޒ‬ e b ∈ M3x1 (‫,)ޒ‬ dizemos que X0 ∈ M2x1 (‫)ޒ‬ é a melhor aproximação quadrática do sistema AX = b quando ͙ෆෆෆෆෆෆෆෆෆ(AX0 – b)t (AX0 – b) assume o menor valor possível. Então, dado o sistema = , a sua melhor aproximação quadrática é a) . b) . c) . d) . e) . Resolução Sendo A = , b = e x0 = , Temos: I) (A . X0 – b) = . – = = – = II) (A . X0 – b)t = [–x – 1 y – 1 x – 1] III)(A . X0 – b)t . (A . X0 – b) = [–x – 1 y – 1 x – 1] . = = [(–x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)2] = = [2 . (x2 + 1) + (y – 1)2]. Interpretando ͙ෆෆC (C ∈ M1x1 (‫))ޒ‬ como sendo a raiz quadrada do elemento desta matriz, ͙ෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆ(A X0 – b)t . (A X0 – b) = ͙ෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆෆ[2 . (x2 + 1) +(y – 1)2], que assume o menor valor possível para x = 0 e y = 1, pois x2 ≥ 0 e (y – 1)2 ≥ 0. Logo, a melhor aproximação quadrática do siste- ma ΅ x y΄΅ 1 1 1 ΄΅ –1 0 1 0 1 0 ΄ ΅ 0 1΄΅ 1 0΄ ΅ – 2 0΄΅ 1 1΄΅ 1 – 1΄ ΅ 1 1 1 ΄΅ x y΄΅ – 1 0 0 1 1 0 ΄ ΅ – x – 1 y – 1 x – 1 ΄΅ 1 1 1 ΄΅ –x y x ΄ ΅ 1 1 1 ΄΅ x y΄΅ –1 0 1 0 1 0 ΄ ΅ – x – 1 y – 1 x – 1 ΄ IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 9. = é x0 = . 10 DD O sistema com (c1, c2) ≠ (0, 0), a1c1 + a2c2 = b1c1 + b2c2 = 0, é a) determinado. b) determinado somente quando c1 ≠ 0 e c2 ≠ 0. c) determinado somente quando c1 ≠ 0 e c2 = 0 ou c1 = 0 e c2 ≠ 0. d) impossível. e) indeterminado. Resolução 1) Se c1 = 0 e c2 ≠ 0, então: a1 . 0 + a2 . c2 = b1 . 0 + b2c2 = 0 ⇔ a2 = b2 = 0 e a equação 0 . x + 0 . y = c2 ≠ 0 não tem solução. 2) Se c1 ≠ 0 e c2 = 0, então: a1 . c1 + a2 . 0 = b1 . c1 + b2 . 0 = 0 ⇔ a1 = b1 = 0 e a equação 0 . x + 0y = c1 ≠ 0 não tem solução 3) Se c1 ≠ 0 e c2 ≠ 0, então: ⇔ ⇔ ⇔ (a1c1 + a2c2) x + (b1c1 + b2c2)y = c1 2 + c2 2 ⇒ ⇒ 0 . x + 0 . y = c1 2 + c2 ≠ 0 e, portanto, o sistema é impossível. Ά a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Ά a1c1x + b1c1y = c1 2 a2c2x + b2c2y = c2 2 Ά a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 , a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈ ‫,ޒ‬ ΅ 0 1΄΅ 1 1 1 ΄΅ x y΄΅ –1 0 1 0 1 0 ΄ IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 10. 11 AA Seja A ∈ M2x2 (‫)ޒ‬ uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a11, a12 e a22 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q ≠ 1 e tr A = 5a11. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X ∈ M2x1 (‫,)ޒ‬ pode-se afirmar que a2 11 + q2 é igual a a) . b) . c) 5. d) . e) . Resolução Sejam A = e X = I) Sendo A uma matriz simétrica e não-nula e (a11, a12, a22) uma progressão geométrica de razão q ≠ 1, A = Como tr A = 5 . a11 ⇔ a11 + a11 . q2 = 5 . a11 ⇔ ⇔ a11 . q2 = 4 . a11 ⇔ q2 = 4, pois a11 ≠ 0 II) A . X = X ⇒ . = ⇔ ⇔ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Para que o sistema linear homogêneo acima admita solução não-nula, devemos ter: = 0 ⇔ ⇔ 1 – a11 – a11 . q2 = 0 ⇔ ⇔ 1 – a11 – 4 . a11 = 0 ⇔ a11 = Logo, a11 2 + q2 = ΂ ΃ 2 + 4 = 1 ––– 5 101 ––– 25 ΄ a11 a12 a21 a22 ΅ ΄ x y ΅ 101 ––– 25 121 ––– 25 49 ––– 9 25 ––– 4 1 ––– 5 ͉ a11 – 1 a11 . q a11 . q a11 . q2 – 1͉ Ά (a11 – 1) . x + a11 . q . y = 0 a11 . q . x + (a11 . q2 – 1) . y = 0 Ά a11 . x + a11 . q . y = x a11 . q . x + a11 . q2 . y = y ΄ a11 . x + a11 . q . y a11 . q . x + a11 . q2 . y ΅ ΄ x y ΅ ΄ a11 a11 . q a11 . q a11 . q2΅ ΄ x y ΅ ΄ x y ΅ ΄ a11 a11 . q a11 . q a11 . q2 ΅ IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 11. 12 BB Uma amostra de estrangeiros, em que 18% são profi- cientes em inglês, realizou um exame para classificar a sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês, 75% foram classificados como proficientes. Entre os não proficientes em inglês, 7% foram classificados como proficientes. Um estrangeiro desta amostra, escolhido ao acaso, foi classificado como proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente proficiente nesta língua é de aproxima- damente a) 73%. b) 70%. c) 68%. d) 65%. e) 64%. Resolução Dos 18% de estrangeiros proficientes em inglês, 75%, isto é, 75% de 18% = 13,5% foram classificados como proficientes. Dos 82% de estrangeiros não-proficientes em inglês, 7%, isto é, 7% de 82% = 5,74% foram classificados como proficientes. Se o estrangeiro escolhido ao acaso foi classificado como proficiente em inglês, então a probabilidade de ele ser efetivamente proficiente em inglês é p = = ≅ 0,70 = 70% 13 EE Considere o triângulo ABC de lados a = ––– BC, b = ––– AC e c = ––– AB e ângulos internos α = C ^ AB, β = A ^ BC e γ = B ^ CA. Sabendo-se que a equação x2 – 2bx cos α + b2 – a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que a) α = 90°. b) β = 60°. c) γ = 90°. d) O triângulo é retângulo apenas se α = 45°. e) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa. Resolução Se a equação em x : x2 – 2bcos α . x + b2 – a2 = 0 ad- mite c como raiz dupla, então tem-se a seguinte identidade de polinômios: x2 – 2bcos α . x + (b2 – a2) ϵ (x – c)2 ⇔ ⇔ x2 – 2bcos α . x + (b2 – a2) ϵ x2 – 2cx + c2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Pode-se concluir então que o triângulo de lados a, b e c é sempre retângulo e b é a hipotenusa. c cos α = ––– b b2 = a2 + c2Ά – 2bcos α = – 2c b2 – a2 = c2Ά 13,5 ––––––– 19,24 13,5 –––––––––– 13,5 + 5,74 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 12. 14 DD No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t : x = 1 e ao ponto A = (3, 2) é igual a 4. Então, S é a) uma circunferência de raio ͙ෆ2 e centro (2, 1). b) uma circunferência de raio 1 e centro (1, 2). c) uma hipérbole. d) uma elipse de eixos de comprimento 2͙ෆ2 e 2. e) uma elipse de eixos de comprimento 2 e 1. Resolução Se a reta (t) tem equação x = 1, o ponto A = (3, 2) e sendo P(x, y) um ponto genérico do L.G., temos: dP,t 2 + dP, A 2 = 4 ⇔ (x – 1)2 + (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4 ⇔ ⇔ 2x2 – 8x + 8 + y2 – 4y + 4 = 2 ⇔ ⇔ 2 . (x – 2)2 + (y – 2)2 = 2 ⇔ ⇔ + = 1 A equação representa uma elipse, de centro (2; 2), tal que: I) a2 = 2 ⇒ a = ͙ෆ2 ⇒ 2a = 2͙ෆ2 é o comprimento do eixo maior. II) b2 = 1 ⇒ b = 1 ⇒ 2 . b = 2 é o comprimento do eixo menor. Os eixos da elipse têm comprimentos 2͙ෆ2 e 2. (y – 2)2 ––––––– 2 (x – 2)2 ––––––– 1 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 13. 15 DD Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado ––– BC mede 2 cm e o ângulo interno A ^ BC mede 30°. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a a) 2 – ͙ෆ3. b) . c) d) 2 ͙ෆ3 – 3. e) . Resolução De acordo com o enunciado, podemos montar as se- guintes figuras: Assim, sendo S a área do triângulo ABC, em centí- metros quadrados, p o semiperímetro desse triân- gulo, em centímetros, e r o raio, em centímetros, da circunferência inscrita nesse triângulo, tem-se: 1º) S = = = ͙ෆ3 2º) S = p . r Logo: ͙ෆ3 = . r ⇔ ͙ෆ3 = (2 + ͙ෆ3) . r ⇔ ⇔ r = ⇔ r = ͙ෆ3 (2 – ͙ෆ3) ⇔ r = 2͙ෆ3 – 3 ͙ෆ3 ––––––– 2 + ͙ෆ3 1 ––– 2 ͙ෆ2 –––– 4 1 ––– 3 4 + 2͙ෆ3 ––––––– 2 2͙ෆ3 . 1 ––––––– 2 AB . 1 –––––– 2 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 14. 16 EE A distância entre o vértice e o foco da parábola de equa- ção 2x2 – 4x – 4y + 3 = 0 é igual a a) 2. b) . c) 1. d) . e) . Resolução 2x2 – 4x – 4y + 3 = 0 ⇔ 2x2 – 4x + 3 = 4y ⇔ ⇔ x2 – 2x + = 2y ⇔ x2 – 2x + 1 – 1 + = 2y ⇔ ⇔ x2 – 2x + 1 = 2y – ⇔ (x – 1)2 = 2 . ΂y – ΃ Sendo (x – g)2 = 4 . f . (y – h) a equação reduzida da parábola, comparando-a com a equação obtida, conclui-se que: 1º) o vértice da parábola é o ponto ΂1; ΃ 2º) A distância entre o vértice e o foco da parábola é a medida f, tal que 4 . f = 2, e portanto f = . 1 ––– 2 3 ––– 4 3 ––– 2 1 ––– 2 1 ––– 4 1 ––– 4 1 ––– 2 3 ––– 2 3 ––– 2 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 15. 17 AA A expressão é equivalente a a) [cos x – sen2x] cotg x. b) [sen x + cos x] tg x. c) [cos2 x – sen x] cotg2 x. d) [l – cotg2 x] sen x. e) [1 + cotg2 x] [sen x + cos x] Resolução = = = = = = 2 . sen . cos . [cotg2 x – cos x] = = sen x . = = = = . [cos x – sen2x] = cotg x . [cos x – sen2x] 3π x 2 . ΄sen ΂x + –––΃+ cotg2 x΅. tg ΂––΃2 2 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– x sec2 ΂––΃2 11 x 2 . ΄sen ΂x + ––– π΃+ cotg2 x΅. tg ΂––΃2 2 ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– x 1 + tg2 ΂––΃2 11 x 2 ΄sen ΂x + –––π΃+ cotg2x΅tg ––- 2 2 –––––––––––––––––––––––––––––––––– x 1 + tg2 ––– 2 ΃ x ––– 2΂΃ x ––– 2΂ x sen΂––΃2 2 . [– cos x + cotg2 x] ––––––––– x cos΂––΃2 ––––––––––––––––––––––––––––––– 1 ––––––––––– x cos2 ΂––΃2 cos x –––––– sen x sen x . [cos2x – cos x . sen2x] ––––––––––––––––––––––––– sen2x ΅ cos2x –––––– – cos x sen2x΄ IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 16. 18 BB Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro (0,0) e ––– AB uma corda de C. Sabendo que (1,3) é ponto médio de ––– AB , então uma equação da reta que contém ––– AB é a) y + 3x – 6 = 0. b) 3y + x – 10 = 0. c) 2y + x – 7 = 0. d) y + x – 4 = 0. e) 2y + 3x – 9 = 0. Resolução Sejam t e s, respectivamente, as retas que contêm — AB e — CP, sendo P(1;3), ponto médio de — AB. O coeficiente angular da reta s é tal que, ms = = 3. O ponto P(1;3) pertence à reta t cujo coeficiente angular é mt = – , pois t ⊥ s. Dessa forma, a equação da reta t é y – 3 = – (x – 1) ⇔ 3y + x – 10 = 0 1 ––– 3 3 – 0 –––––– 1 – 0 1 ––– 3 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 17. 19 AA Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2 ͙ෆ3 cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm3, é igual a a) π. b) π. c) π. d) π. e) π. Resolução Sendo R o raio da base do cone e r o raio da esfera, ambos, em centímetros, tem-se: 1º) tg 30° = ⇔ = ⇔ r = 2 2º) tg 30° = ⇔ = ⇔ R = Assim, o volume V da região interna ao cone, não- ocupada pela esfera, em centímetros cúbicos, é dado por: V = . π . R2 . 8 – . π . r3 = = . π . . 8 – . π . 23 = = – = 542 –––– 9 512 –––– 9 500 –––– 9 480 –––– 9 416 –––– 9 416π ––––– 9 32π –––– 3 512π –––– 9 4 ––– 3 64 ––– 3 1 ––– 3 4 ––– 3 1 ––– 3 8͙ෆ3 ––––– 3 R ––– 8 ͙ෆ3 ––––– 3 R ––– 8 r ––––– 2͙ෆ3 ͙ෆ3 ––––– 3 r ––––– 2͙ෆ3 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 18. 20 CC (com ressalvas) Os pontos A = (3,4) e B = (4,3) são vértices de um cubo, em que ––– AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a a) ͙ෆ8. b) 3. c) ͙ෆෆ12. d) 4 e) ͙ෆෆ18. Resolução 1º) A medida a da aresta do cubo é dada por a = AB = ͙ළළළළළළළළළළළළළළළළළළළ(3 – 4)2 +(4 – 3)2 = ͙ළළ2 2º) Entendendo que os vértices do octaedro são os centros das faces do cubo, então a medida ᐉ da aresta do octaedro regular é tal que: ᐉ2 = 2 + 2 ⇔ ᐉ2 = assim: ᐉ2 = ⇔ ᐉ2 = 1 3º) Entendendo que o examinador queira que seja calculada a área S da superfície total do octaedro, já que este não possui área lateral, então, como tal superfície é composta por oito triângulos eqüiláteros de lado ᐉ, tem-se: S = 8 . ⇔ S = 2͙ළළ3 ᐉ2 Assim: S = 2͙ළළ3 . 1 ⇔ S = ͙ළළළ12 ᐉ2͙ළළ3 –––––– 4 ΂͙ළළ2 ΃ 2 –––––– 2 a2 ––– 2΃ a ––– 2΂΃ a ––– 2΂ IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 19. AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPON- DIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. 21 Seja S o conjunto solução da inequação (x – 9) ͉ logx+4(x3 – 26x) ͉ ≤ 0. Determine o conjunto SC. Resolução Como o gráfico da função f(x) = x3 – 26x é do tipo temos: 1) Existe o logx + 4 (x3 – 26x) se, e somente se, – 4 < x < – 3 ou – 3 < x < 0 ou x > ͙ෆෆ26 2) Dentro das condições de existência do logaritmo, (x – 9) . ͉ logx+4 (x3 – 26x) ͉ ≤ 0 ⇔ x – 9 ≤ 0 ⇔ ⇔ x ≤ 9, para logx + 4 (x3 – 26x) ≠ 0 e x = b ou x = c (do gráfico acima) para logx+ 4 (x3 – 26x) = 0 3) Como b < 9 e c < 9, S = { x ∈ ‫ޒ‬ ͉ – 4 < x < – 3 ou – 3 < x < 0 ou ͙ෆෆ26 < x ≤ 9} e SC = { x ∈ ‫ޒ‬ ͉ x ≤ – 4 ou x = – 3 ou 0 ≤ x ≤ ͙ෆෆ26 ou x > 9} Resposta: SC = { x ∈ ‫ޒ‬ ͉ x ≤ – 4 ou x = – 3 ou 0 ≤ x ≤ ͙ෆෆ26 ou x > 9} IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 20. 22 Sejam x, y ∈ ‫ޒ‬ e w = x2(1 + 3i) + y2(4 – i) – x(2 + 6i) + + y(–16 + 4i) ∈ ‫.ރ‬ Identifique e esboce o conjunto Ω = {(x, y) ∈ ‫ޒ‬2; Re w ≤ – 13 e Im w ≤ 4}. Resolução w = x2 (1 + 3i) + y2 (4 – i) – x (2 + 6i) + y (– 16 + 4i) ⇔ ⇔ w = x2 + 3x2 i + 4y2 – y2i – 2x – 6xi – 16y + 4yi ⇔ ⇔ w = (x2 + 4y2 – 2x – 16y) + (3x2 – y2 – 6x + 4y)i Desta forma: 1) Re w ≤ – 13 ⇒ x2 + 4y2 – 2x – 16y ≤ – 13 ⇔ ⇔ (x – 1)2 + 4(y – 2)2 ≤ 4 ⇔ ⇔ + ≤ 1 que é a equação de uma região elíptica de centro (1; 2), semi-eixo maior paralelo ao eixo das abscissas e medindo 2 e semi-eixo menor medindo 1. 2) Im w ≤ 4 ⇔ 3x2 – y2 – 6x + 4y ≤ 4 ⇔ ⇔ 3(x – 1)2 – (y – 2)2 ≤ 3 ⇔ – ≤ 1 que é a equação de uma região determinada por uma hipérbole de centro (1; 2), eixo transverso pa- ralelo ao eixo das abscissas e medindo 1 e eixo conjugado medindo 2.͙ෆ3. 3) A representação no plano complexo dessas regiões é a seguinte: Resposta: O conjunto pedido está representado pelos pontos que formam a figura destacada aci- ma. (y – 2)2 ––––––– 3 (x – 1)2 –––––– 1 (y – 2)2 –––––––– 1 (x – 1)2 –––––––– 4 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 21. 23 Seja f: ‫ޒ‬{–l} → ‫ޒ‬ definida por f(x) = . a) Mostre que f é injetora. b) Determine D = {f(x); x ∈ ‫ޒ‬ {–1} } e f–1: D → ‫.}1–{ޒ‬ Resolução Sendo: f: ‫ޒ‬ {– 1} → ‫ޒ‬ definida por f(x) = = 2 + conclui-se: a) ∀x1, x2 ∈ ‫ޒ‬ {– 1}, temos: x1 ≠ x2 ⇔ x1 + 1 ≠ x2 + 1 ⇔ ≠ ⇔ ⇔ 2 + ≠ 2 + ⇔ ⇔ f(x1) ≠ f(x2) e, portanto, f é injetora. b) Sendo f –1 a função inversa de f, temos: f(f–1(x)) = x ⇔ 2 + = x ⇔ ⇔ = x – 2 ⇔ ⇔ f–1(x) + 1 = ⇒ f–1(x) = O conjunto D = {f(x); x ∈ ‫ޒ‬ {– 1}} e f–1: D → ‫ޒ‬ {– 1} é o conjunto-domínio da função f–1 e, portanto, D = ‫ޒ‬ {2}. Respostas: a) demonstração b) D = ‫ޒ‬ {2} 1 ––––– x + 1 2x + 3 ––––––– x + 1 2x + 3 –––––– x + 1 3 – x –––––– x – 2 1 ––––– x – 2 1 ––––––––– f–1(x) + 1 1 ––––––––– f–1(x) + 1 1 –––––– x2 + 1 1 –––––– x1 + 1 1 –––––– x2 + 1 1 –––––– x1 + 1 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 22. 24 Suponha que a equação algébrica 10 x11 + ∑ anxn + a0 = 0 n = 1 tenha coeficientes reais a0, a1, ..., a10 tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma β + iγn, em que β, γn ∈ ‫ޒ‬ e os γn, n = 1, 2, …, 11, formam uma progressão aritmética de razão real γ ≠ 0. Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: I. Se β = 0, então a0 = 0. II. Se a10 = 0, então β = 0. III. Se β = 0, então a1 = 0. Resolução 10 A equação x11 + ∑ anxn + a0 = 0 ⇔ n = 1 ⇔ x11 + a10 . x10 + a9 x9 + a8 x8 + … + a1x + a0 = 0 é de grau 11 e tem pelo menos uma raiz real. I) Verdadeira, pois se β = 0 as onze raízes são do tipo iγn. Esse número somente será real se γn = 0 para algum valor de n. Desta forma, zero é raiz da equação e 011 + a10 . 010 + a9 . 09 + … + a1 . 0 + a0 = 0 ⇔ ⇔ a0 = 0. II) Verdadeira, pois as onze raízes são da forma (β + γ1 i; β + γ2 i; β + γ3 i; β + γ4 i; β + γ5 i; β; β + γ7 i; β + γ8 i; β + γ9 i; β + γ10 i; β + γ11 i) e tais que (γ1; γ2; …; γ5; 0; γ7; …; γ11) formam uma progressão artitmética de soma zero. Desta forma, a soma das onze raízes será 11β = = 0, portanto β = 0. III)Falsa, pois, como visto no item (I) se β = 0 então zero é raiz da equação dada. A equação dada é fatorável em x (x10 + a10 x9 + a9 x8 + a8 x7 + … + a2 x + a1) = 0 O produto das outras dez raízes é a1 e elas podem não ser nulas. Poderiam ser, por exemplo, – 5i; – 4i; –3i; – 2i; – i; i; 2i; 3i; 4i e 5i. Observe que, neste caso, (– 5; – 4; – 3; …; 0; 1; 2; …5) formam uma progressão aritmética, de razão não-nula. a10 – ––– 1 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 23. 25 Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, 20% dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa? Resolução A probabilidade de um candidato conseguir nota pa- ra participar da segunda etapa é 20% = e a de não conseguir nota é 80% = . Dos 6 candidatos, a probabilidade de pelo menos quatro deles conseguirem nota para participar da segunda etapa é: C6,4. 4 . 2 +C6,5 . 5 . 1 +C6,6. 6 . 0 = = 4 . ΄15 . 2 + 6 . . + 2 ΅= = . = Resposta: 4 –– 5 1 –– 5 53 ––––– 3125 53 ––––– 3125 265 –––– 25 1 –––– 625 1 ΂––΃5 4 ΂––΃5 1 ΂––΃5 4 ΂––΃5 1 ΂––΃5 4 ΂––΃5 1 ΂––΃5 4 ΂––΃5 1 ΂––΃5 4 ΂––΃5 1 ΂––΃5 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 24. 26 Sejam A, B ∈ M3x3(‫.)ޒ‬ Mostre as propriedades abaixo: a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X ∈ M3x1(‫,)ޒ‬ então A é a matriz nula. b) Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula, então det A = det B = 0. Resolução Se A ∈ M3×3(‫,)ޒ‬ então A = a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X ∈ M3×1(‫,)ޒ‬ então a.1) para X = , temos: A . X = . = = = ⇒ a11 = a21 = a31 = 0 a.2) para X = , temos: A . X = . = = = ⇒ a12 = a22 = a32 = 0 a.3) para X = , temos: A . X = . = = = ⇒ a13 = a23 = a33 = 0 Desta forma, A = = O b) 1) Se det A ≠ 0, existe A– 1 e A . B = O ⇒ ⇒ A–1 . A . B = A–1 . O ⇔ I . B = O ⇔ B = O Contrariando a hipótese de que B é não-nula. ΃ 1 0 0΂ ΃ a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ΂ ΃ 0 0 0΂΃ a11 a21 a31 ΂ ΃ 1 0 0΂΃ a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ΂ ΃ 0 0 0 0 0 0 0 0 0΂ ΃ 0 0 0΂΃ a13 a23 a33 ΂ ΃ 0 0 1΂΃ a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ΂ ΃ 0 0 1΂ ΃ 0 0 0΂΃ a12 a22 a32 ΂ ΃ 0 1 0΂΃ a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ΂ ΃ 0 1 0΂ IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 25. 2) Se det B ≠ 0, existe B–1 e A . B = O ⇒ ⇒ A . B . B–1 = O . B–1 ⇔ A . I = O ⇔ A = O Contrariando a hipótese de que A é não-nula. Dos itens (1) e (2), temos det A = det B = 0. Respostas: a) demonstração b) demonstração IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 26. 27 Sabendo que tg2 = , para algum x ∈ , determine sen x. Resolução 1) tg2 = ⇒ tg = , pois: ≤ x + ≤ Assim: = ⇔ = ⇔ ⇔ 2 tg x + = ͙ෆ2 – tg x ⇔ ⇔ 6 tg x + 2͙ෆ3 = 3͙ෆ2 – ͙ෆ6 tg x ⇔ ⇔ (6 + ͙ෆ6 ) tg x = 3͙ෆ2 – 2͙ෆ3 ⇔ ⇔ tg x = ⇔ tg x = 2) Como 0 < x < , podemos então montar o seguinte triângulo retângulo: do qual podemos concluir que: sen x = ⇔ sen x = Resposta: 3 – ͙ෆ6 –––––––– 6 1 ΄0, –– π΅2 1 ––– 2 1 ΂x + –– π΃6 π ––– 2 ͙ෆ3 – ͙ෆ2 –––––––––– ͙ෆ6 + 1 3͙ෆ2 – 2͙ෆ3 –––––––––– 6 + ͙ෆ6 ͙ෆ6 –––– 3 2͙ෆ3 ––––– 3 ͙ෆ2 ––– 2 ͙ෆ3 tg x + –––– 3 –––––––––––– ͙ෆ3 1 – ––– . tg x 3 ͙ෆ2 ––– 2 π tg x + tg ΂––΃6 –––––––––––––– π 1 – tg ΂––΃ tg x 6 2π ––– 3 π ––– 6 π ––– 6 ͙ෆ2 –––– 2 π ΂x + ––΃6 1 ––– 2 π ΂x + ––΃6 3 – ͙ෆ6 –––––––– 6 ͙ෆ3 – ͙ෆ2 –––––––––– 2 ͙ෆ3 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 27. 28 Dadas a circunferência C: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 20 e a reta r: 3x – y + 5 = 0, considere a reta t que tangencia C, for- ma um ângulo de 45° com r e cuja distância à origem é . Determine uma equação a reta t. Resolução A circunferência C: (x – 3)2 + (y – 1)2 = 20 tem centro A (3; 1) e raio igual a 2 ͙ෆ5 . A reta r: 3x – y + 5 = 0 tem coeficiente angular mr = 3 Sendo mt, o coeficiente angular da reta t que forma um ângulo de 45° com r, temos tg 45° = ⇔ 1 = ⇔ = 1 ou = –1 ⇔ ⇔ mt = ou mt = –2 Dessa forma, sendo h ∈ ‫,ޒ‬ a equação da reta t é tal que: y = x + h ou y = –2x + h ⇔ ⇔ x – 2y + 2h = 0 ou 2x + y – h = 0 Sabendo que a distância entre a reta t e a origem é , temos: • Para x – 2y + 2h = 0 = ⇔ h = ± • Para 2x + y – h = 0 = ⇔ h = ± 3 Assim, as equações das retas que formam um ân- gulo de 45° com r e distam da origem são: x – 2y + = 0 , x – 2y – = 0, 2x + y – 3 = 0 ou 2x + y + 3 = 0 Dentre estas retas, a única que tangencia a circun- 3 –– 2 3 –– 2 3͙ෆ5 ––––– 5 3 ͙ෆ5 ––––– 5 ͉2 . 0 + 0 – h͉ –––––––––––––– ͙ෆෆෆෆෆ12 + (–2)2 3 –– 2 3 ͙ෆ5 ––––– 5 ͉0 – 2 . 0 + 2h͉ ––––––––––––––– ͙ෆෆෆෆෆ12 + (–2)2 3 ͙ෆ5 ––––– 5 1 ––– 2 1 ––– 2 3 – mt –––––––– 1 + 3mt 3 – mt –––––––– 1 + 3mt 3 – mt ͉––––––––͉1 + 3mt mr – mt ͉––––––––––͉1 + mr . mt 3 ͙ෆ5 ––––– 5 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 28. ferência C é a de equação (t) 2x + y + 3 = 0, cuja distância ao centro de C, A(3; 1), é igual ao raio (2 ͙ෆ5). Com efeito, dA,t = = = 2 ͙ෆ5 Resposta: uma equação da reta t é 2x + y + 3 = 0 29 Considere as n retas ri: y = mix + 10, i = 1, 2, ..., n; n ≥ 5, em que os coeficientes mi, em ordem crescente de i, formam uma progressão aritmética de razão q > 0. Se ml = 0 e a reta r5 tangencia a circunferência de equação x2 + y2 = 25, determine o valor de q. Resolução Sendo mi, i = 1, 2, …, n, n ≥ 5, termos de uma progressão aritmética de razão q > 0 e m1 = 0, temos: (m1; m2; m3; m4; m5; …) = (0; q; 2q; 3p; 4q; …) = Assim, a equação da reta r5 é da forma y = m5x + 10 ⇔ y = 4qx + 10 ⇔ 4qx – y + 10 = 0 Sabendo que a reta r5 tangencia a circunferência de equação x2 + y2 = 25, com centro C(0;0) e raio r = 5, resulta ⇔ = 5 ⇔ 10 = 5 ͙ළළළළළළළෆ16q2 + 1 ⇒ ⇒ 4 = 16q2 + 1 ⇒ q = , pois q > 0 Resposta: q = 10 ––––– ͙ෆ5 ͉2 . 3 + 1 + 3͉ –––––––––––––– ͙ෆෆෆ22 + 12 ͙ෆ3 ––––– 4 ͙ෆ3 ––––– 4 ͉4q . 0 – 0 + 10͉ –––––––––––––––– ͙ළළළළළළළළළළළළෆ(4q)2 + (– 1)2 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 29. 30 A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a ͙ෆ5. Exprima o volume desta pirâmide em termos da medida a do apótema da base. Resolução Sendo ᐉ, h e g, respectivamente, as medidas da aresta da base, da altura, e do apótema da pirâmide regular octogonal, tem-se: 1º) ᐉ + + = 2a ⇔ ᐉ + ᐉ ͙ෆ2 = 2a ⇔ ⇔ ᐉ = ⇔ ᐉ = 2 (͙ෆ2 – 1) a 2º) = ͙ෆ5 ⇔ g = ͙ෆ5 a 3º) g2 = h2 +a2 Assim: (͙ෆ5 a)2 = h2 + a2 ⇔ h = 2a 4º) O volume V dessa pirâmide é igual a um terço do produto da área de sua base pela sua altura. Assim: V = . 4ᐉ . a . h ⇔ V = . 2 (͙ෆ2 – 1)a . a . 2a ⇔ ⇔ V = Resposta: ᐉ –––– ͙ෆ2 ᐉ –––– ͙ෆ2 16 (͙ෆ2 – 1)a3 –––––––––––––– 3 16 (͙ෆ2 – 1)a3 –––––––––––––– 3 4 ––– 3 1 ––– 3 4ᐉg –––– 4ᐉa 2a ––––––– ͙ෆ2 + 1 IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088
  • 30. Comentário Com 18 questões de álgebra, 3 de trigonometria, 4 de geometria e 5 de geometria analítica, algumas muito mal enunciadas e outras apresentando alto grau de complexidade, com enunciados rebuscados e notações não muito usuais, a banca examinadora elaborou uma prova de matemática bastante traba- lhosa, que certamente exigiu um grande empenho por parte dos candidatos mais bem preparados, os quais devem ter ficado extremamente extenuados por conta da prova. IITTAA ((33ºº DDIIAA)) -- DDEEZZEEMMBBRROO//22000088