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Matemática
Matemática I
Função Exponencial .............................................. 3
Logaritmo ............................................................... 7
Polinômios ............................................................11
Análise Combinatória........................................... 15
Binômio de Newton.............................................. 19
Matriz ................................................................... 23
Determinante ....................................................... 27
Sistemas Lineares ............................................... 30
Progressão Aritmética e
Progressão Geométrica....................................... 34
Matemática II
Geometria Espacial ............................................. 38
I - Prisma.......................................................... 38
II - Pirâmide ...................................................... 40
III - Cilindro......................................................... 42
IV - Cone ............................................................ 43
V - Esfera .......................................................... 46
JOSÉ AUGUSTO DE MELO
M2
Areproduçãoporqualquermeio,inteiraouemparte,venda,
exposiçãoàvenda,aluguel,aquisição,ocultamento,
empréstimo,trocaoumanutençãoemdepósitosem
autorizaçãododetentordosdireitosautoraisécrimeprevisto
noCódigoPenal,Artigo184,parágrafo1e2,com
multaepenadereclusãode01a04anos.
Anotações
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33333Matemática - M2
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1- DEFINIÇÃO
Seja a um número real tal que a > 0 e a ≠ 1.
Chamamos de função exponencial à função f : R → R+
definida por f(x) = ax
Exemplos: a) f(x) = 3x
b) f(x) =
2- GRÁFICO
1º caso: a > 1 ; a função é crescente
*
2º caso: 0 < a < 1 ; a função é decrescente
PROPRIEDADES
P.1) Domínio = R
Imagem = {y ∈ R : y > 0}
P.2) A função exponencial, f(x) = ax
não tem raiz.
P.3) A interseção do gráfico de f(x) = ax
com o eixo 0y é o ponto (0,1)
P.4) A função exponencial é bijetora
1) (UFMG) A figura é um esboço do gráfico da função y = 2x. A ordenada do ponto P da abscissa é:
Solução:
Resp: e
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44444 Matemática - M2
2) Uma colônia de bactérias tem, num certo instante (t0), 1500 bactérias. Observações subseqüentes revelaram
que essa população dobrava sempre, em relação à observação imediatamente anterior.
a) Qual a população de bactérias na 4ª observação após t0
?
b) Em que observação a colônia alcançou 375.255
bactérias?
Solução:
Não é difícil você concluir que o número de bactérias é dado por f(n) = 1500 . 2n
, onde n é a observação
realizada após t0
.
a) Na 4ª observação, a população de bactérias é f(4) = 1500 . 24
; f(4) = 24000.
b) Queremos que f(n) = 375 . 255
; 1500 . 2n
= 375.
255
Resp: Na 53ª observação.
3- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
As condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse modo, se
ax
= ay
, então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no
expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais.
Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra eqüivalente, da
forma ax
= ay
. Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação.
am
. an
= am+n
am
: an
= am-n
(am
)n
= am.n
Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir.
Observação: As equações redutíveis à forma ax
= by
com a ≠ b você aprenderá a resolver no capítulo sobre
logaritmos.
1) Resolva a equação:
16x . 4x + 3 – 8x + 2 = 0
Solução:
16x . 4x + 3 - 8x + 2 ; 16x . 4x + 3 = 8x + 2
( 24 )x . ( 22 )x + 3 = ( 23 )x + 2 ; 24x . 22x + 6 = 23x +
6
26x + 6 = 23x + 6 → 6x + 6 = 3x + 6 ; x = 0
Resp: x = 0
2) Resolva a equação: 2x + 2x + 1 – 2x + 2 + 2x – 1 = -8
Solução
2x + 2x . 2 – 2x . 22 + 2x . 2- 1 = - 8 ;
2x = 24 ; x = 4
Resp: x = 4
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55555Matemática - M2
3) Resolva a equação: 32x + 1 + 5 . 3x = 2
Solução:
32x . 3 + 5 . 3x – 2 = 0; Como 32x = (3x)2 , se
fizermos
3x = y obteremos: 3y2 + 5y – 2 = 0, cujas raízes
são
y = ou y = - 2
Para y = vem: 3x
= 3- 1
; x = -1
Para y = –2 vem: 3x
= –2 (não admite solução)
Resp: x = –1
4) Resolva a equação: 7x + 7x – 1 = 8x
Solução:
7x + 7x 7- 1 = 8x ; 7x . ( 1 + ) = 8x
; x = 1
Resp: x = 1
5) (MACK–SP) O número de soluções distintas da equação 2x – 2–x = K, K real é:
a) 2, qualquer que seja K d) 1, somente se K ≠ 0
b) 2, somente se K > 0 e) 0, somente se K < 0
c) 1, qualquer que seja K
Solução:
2x
– = K. Seja 2x
= y . Então: y - = K ; y
2
– Ky – 1 = 0. Para essa equação
∆ = K2
+ 4 > 0. Logo, ela tem duas raízes reais distintas. Além disso, o produto dessas raízes é –1 (relações
de Girard). Então, uma delas é positiva e uma é negativa. Como a raiz negativa não fornece solução para x,
a resposta correta é C.
Resp: c
4- INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Nas condições impostas à base de uma função exponencial, temos:
*Se a > 1, a função é crescente, portanto:
ax
> ay
↔ x > y
ax
< ay
↔ x < y
*Se 0 < a < 1, a função é decrescente, e então:
ax
> ay
↔ x < y
ax
< ay
↔ x > y
Resumindo: ao resolver uma inequação exponencial, proceda como nas equações, ou seja, iguale as ba-
ses. Mas, ao comparar os expoentes, lembre–se:
*Se a > 1, compare os expoentes, mantendo o sentido da desigualdade.
*Se 0 < a < 1, ao comparar os expoentes, inverta o sentido da desigualdade.
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66666 Matemática - M2
1) Resolva a inequação:
Solução:
Como a base é menor que 1, devemos ter:
x2 + 2 ≤ 3x ; x2 – 3x + 2 ≤ 0
raízes: 1 e 2
diagrama:
Solução:
1 ≤ x ≤ 2
2) Resolva a inequação: 3x + 2 + 3x + 1 – 3x > 33
Solução:
3x . 32 + 3x . 3 – 3x > 33 ; 3x . (9 + 3 – 1) > 33
3x . 11 > 33 ; 3x > 3 ; x > 1
Resp: x > 1
3) Resolva a inequação: x2x – 1 < x3
Solução:
1ª hipótese: x > 1
Nesse caso: 2x – 1 < 3 ; x < 2
A interseção com a condição x > 1 nos dá S1
= {x ∈ R : 1 < x < 2}
2ª hipótese: 0 < x < 1
Teremos 2x –1 > 3 ; x > 2
Como esses valores de x não pertencem a 0 < x < 1, nesse intervalo não temos nenhuma solução.
Resp: S = {x ∈ R : 1 < x < 2}
4) (UF–VIÇOSA) Determine os valores de a para que a equação x2 + 2a . x + 1 = 0, admita raízes reais.
Solução:
Para a equação dada admitir raízes reais, D ≥ 0 . Logo
22a
– 4 > 0 ; 22a
≥ 22
; 2a ≥ 2 ; a ≥ 1
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77777Matemática - M2
LOGARITMO
1- DEFINIÇÃO
Seja a > 0 , a ≠ 1 e b > 0 . Chama–se logaritmo de b na base a ao número x = loga
b tal que ax
= b
Em símbolos
loga
b = x ↔ ax
= b
Exemplos:
a) log2
8 = 3, pois 23
= 8 b) log1/2
4 = –2, pois ( )–2
= 4
2- CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
a > 0 e a ≠ 1
Existe loga
b se e somente se
b > 0
3- BASES MAIS USADAS
3.1- LOGARITMO DECIMAL
Utiliza a base 10. Convenciona-se que, ao omitir a base, seu valor é 10. Assim:
log10
b = log b
3.2- LOGARITMO NATURAL
Usa como base o número e (número de Euler). Anota–se por loge
b ou l n b
4- PROPRIEDADES ELEMENTARES
Decorrem imediatamente da definição as propriedades a seguir:
a) loga
a = 1
b) loga
1 = 0
c) loga
am
= m
d) = b
É claro que estamos admitindo a > 0, a ≠ 1 e b > 0.
5- PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Para a > 0, a ≠ 1 e b > 0, c > 0, temos
P.1) loga
(b . c) = loga
b + loga
c
P.2) loga
= loga
b - loga
c
P.3) loga
bm
= m loga
b , m ∈ R
a → base
b → logaritmando
x → logaritmo
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88888 Matemática - M2
1) Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule:
a) log 18 b) log 15
Solução:
a) log 18 = log (2.32
) = log 2 + log32
= log 2 + 2 log 3
Portanto: log 18 = 0,30 + 2 . 0,47
log 18 = 1,24
b) log 15 = log (3.5) = log 3 + log 5 = log 3 + log ( )
Então: log 15 = log 3 + log 10 – log 2
log 15 = 0,47 + 1 – 0,30 ; log 15 = 1,17
2) (PUC–SP) São dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Determine o número real x que satisfaz à equação:
4x - 1
= 1125
Solução:
4x - 1
= 1125 ; 22x – 2
= 32
. 53
e daí:
log (22x – 2
) = log (32
. 53
)
(2x – 2) . log 2 = 2 log 3 + 3 log 5
Mas log 5 = log ( ) = log 10 – log 2 = 1 – 0,30 = 0,70
Logo: (2x – 2) . 0,30 = 2 . 0,48 + 3 . 0,70 e daí:
2x – 2 = 10,2 ; x = 6,1
3) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log x.
Sabe–se que AO = BC. Então, pode-se afirmar que:
a) loga
b = c
b) a + b = c
c) ac
= b
d) ab = c
e) 10a
+ 10b
= 10c
Solução:
Observe que: OA = log a ; OB = log b e OC = log c
Mas BC = OC – OB ; logo BC = log c – log b. Como OA = BC, temos
log a = log c – log b ; log a = log ; ab = c
Resp: d
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99999Matemática - M2
6 - MUDANÇA DE BASE
Sejam a > 0 , a ≠ 1, c > 0 , c ≠ 1 e b > 0. Então loga
b =
Exemplos: a) log2
3 = b) log5
7 = ...
Conseqüências: a) loga
b = b)
7- EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Assim denominamos as equações que envolvem logaritmos. Para resolvê-las, tenha sempre em mente as
condições de existência e procure reduzir a equação dada, usando as propriedades, à forma loga
f(x) =
loga
g(x) ou à forma loga
f(x) = b.
No primeiro caso, lembre–se de que f(x) = g(x). E, no segundo caso, a definição dá que f(x) = ab
.
1) Resolva a equação log(x – 2)(x + 4) = 2.
Solução:
Se você quiser, ache as condições de existência, depois resolva a equação e verifique quais raízes satisfa-
zem às condições de existência.
Aqui, no entanto, para economizar tempo, vamos resolver a equação e verificar por substituição direta
quais raízes servem.
log(x – 2)
(x + 4) = 2 ↔ (x – 2)2
= x + 4 o que dá x2
– 5x = 0 cujas raízes são x = 0 e x = 5.
Observe que o x = 0 faz a base valer –2, logo não serve. Já o 5 satisfaz às condições de existência e então:
S = {5}
2) Resolva: log3(x2 – 1) = log3(x + 1).
Solução:
De log3
(x2
– 1) = log3
(x + 1) vem x2
– 1 = x + 1 ; x2
– x – 2 = 0, cujas raízes são 2 e -1.
Dessas, apenas 2 serve.
S = {2}
3) log2
2x – 3log2 x + 2 = 0
Solução:
Observe que log2
2
x = (log2
x)2
. Seja então log2
x = y. A equação dada fica:
y2
– 3y + 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 2.
Se y = 1, vem : log2
x = 1 ; x = 2
Se y = 2, vem : log2
x = 2 ; x = 4
Como ambas as raízes servem, S = {2, 4}.
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1010101010 Matemática - M2
4) Resolva a equação: log2 (3x –1) – log4 (x + 1) =
Solução:
Inicialmente, coloque todos os logaritmos numa mesma base.
log2
(3x – 1) -
log2
(3x – 1) - (tirando o m.m.c.)
2 log2
(3x – 1) – log2
(x + 1) = 1 ; log2
; 9x2
– 8x – 1 = 0 cujas raízes são 1 e - . Porém – não convém. Logo, S = {1}
8- INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Se a > 1 Se 0 < a < 1
Atenção: Não se esqueça de calcular o domínio da inequação.
1) Resolva a inequação: log1/2 (x – 1) > log1/2 (2x + 3).
Solução:
a) Condição de existência
b) Resolução da inequação log1/2
(x – 1) > log1/2
(2x + 3) → x – 1 < 2x + 3 ; x > - 4
c) Resposta final: é obtida fazendo–se a interseção entre os intervalos obtidos em a e b. Faça isso e você
terá: S = {x ∈ R : x > 1}.
2) Resolva a inequação: log2x + 2log x – 3 > 0.
Solução:
a) Domínio: x > 0
b) Resolução: Faça log x = y. Então, y2
+ 2y – 3 > 0, que resolvida dá y < –3 ou y > 1.
Se y < –3, então log x < –3 ; x < 0,001
Se y > 1, então log x > 1 ; x > 10
c) Resposta: a interseção nos mostra que
S = {x ∈ R : 0 < x < 0,001 ou x > 10}.
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1111111111Matemática - M2
9 - A FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Como vimos, a função exponencial é bijetora e, portanto, admite inversa. Por outro lado, se loga
y = x, temos
que y = ax
, ou seja, a inversa da exponencial é a função logarítmica que definiremos a seguir:
Seja a > 0, a ≠ 1 e x > 0 números reais. Chama-se função logarítmica à função f: R*+
→ R, definida por
f(x) = loga
x.
Como os gráficos de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y = x, o gráfico da função
logarítmica é:
1º caso: a > 1 2º caso: 0 < a < 1
POLINÔMIOS
1 - DEFINIÇÃO
Chamaremos de polinômio em R, na variável x, a toda expressão da forma:
P(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao, onde n é um número natural, e an ¹ 0.
Exemplos:
São polinômios: a) P(x) = 5x3 - 4x2 + x - 1
b) P(x) = x2 -
c) P(x) = -5
Não são polinômios: a) + 3 b)
Dado o polinômio P(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao com an ¹ 0, n é chamado de grau do polinômio.
Assim: a) P(x) = 3x2 - 5x + 1, tem grau 2. c) P(x) = - 3x + 1, tem grau 1.
b) P(x) = 2x - x3 + 4, tem grau 3. d) P(x) = 2, tem grau zero.
O polinômio P(x) = 0 é chamado de polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo. Para ele, não se
define o grau.
2 - VALOR NUMÉRICO
Se K é um número real, chama-se valor numérico do polinômio P(x) para x = K ao número obtido substituindo-
se x por K e efetuando as operações indicadas. Indicaremos o valor numérico por P(K). Caso P(K) = 0,
diremos que K é a raiz ou zero do polinômio.
Assim, se P(x) = 3x2 - x + 1
P(2) = 3 . 22 - 2 + 1 = 11
P(0) = 3 . 02 - 0 + 1 = 1
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1212121212 Matemática - M2
3 - IGUALDADE DE POLINÔMIOS
Sejam os polinômios: P1(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao e
P2(x) = bn . xn + bn - 1 . xn - 1 + ... + b1 . x + bo
Dizemos que P1(x) = P2(x) se: an = bn; an - 1 = bn - 1; ..., a1 = b1 e ao = bo
1) Determine a, b, c para que os polinômios P1(x) = (a - 2)x3 + 3x2 + b - 1 e P2(x) = (c + 5)x2 + 3 sejam
idênticos.
Solução:
Queremos que:
(a - 2)x3 + 3x2 + b - 1 = 0x3 + (c + 5)x2 +3
Logo: a - 2 = 0; a = 2
c + 5 = 3; c = -2
b - 1 = 3; b = 4
2) Calcule a e b, de modo que:
Solução:
1º modo:
e daí vem:
2º modo:
Na igualdade:
2x - 6 = a(x + 3) + b (x - 1) faça:
x = -3 Õ -12 = a . 0 - 4.b;b =3
x = 1 Õ -4 = 4a + b.0; a = -1
2x - 6 = a(x + 3) + b(x - 1)
2x - 6 = ax + 3a + bx - b
2x - 6 = (a + b)x +(3a + b) e então:
cuja solução é a = -1 e b =3
a + b = 2
3a - b = -6
Atenção: escolha para x os valores que anulam
os denominadores das frações dadas
originalmente.
4 - DIVISÃO DE POLINÔMIOS
Se A(x) e B(x) são dois polinômios, com B(x) ¹ 0, dividirApor B é encontrar dois outros polinômios Q(x) e R(x),
tal que:
I) A(x) = B(x) .Q(x) + R(x)
II) Grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) = 0
Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x).
Observe que o grau de Q(x) é dado pela diferença entre o grau de A(x) e B(x).
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1313131313Matemática - M2
Método da chave
Seja efetuar a divisão (2x3 - x2 + 3) : (x2 -2x + 3)
Solução:
• Inicialmente, ordene o polinômio dividendo em ordem
decrescente e complete-o. No caso do divisor, basta
que ele esteja em ordem.
2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3
• Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro
termo do divisor para obter o primeiro termo do
quociente (2x).
• Multiplique o primeiro termo do quociente pelo divi-
sor e subtraia o resultado do dividendo, para obter
o resto parcial (3x2 -6x + 3).
2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3
-2x3 + 4x2 -6x 2x
3x2 - 6x +3
• Se o grau do resto parcial for menor que o grau do
divisor, a divisão terminou. Caso contrário, repita as
operações acima, usando o resto parcial como divi-
dendo.
2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3
-2x3 + 4x2 -6x 2x + 3
3x2 - 6x +3
-3x2 - 6x - 9
-6
Método de Descartes
Façamos a mesma divisão: (2x3 - x2 + 3) : (x2 -2x + 3)
Solução:
• Inicialmente, determine o grau do quociente. Q(x) é
do 1º grau, concorda? Logo Q(x) = ax + b.
• O grau do resto, sendo menor que o grau do divisor
será um polinômio cujo grau é no máximo 1.
Seja então R(x) = cx + d.
2x3 - x2 + 3 x2 -2x + 3
cx + d ax + b
Usando a identidade A = B . Q + R
obtemos: 2x3 - x2 + 3 = (x2 -2x + 3)(ax + b) + cx + d
Efetuando e reduzindo os termos semelhantes,
teremos:
2x3 - x2 + 3 = ax3 + (b - 2a)x2 +(3a - 2b + c)x + 3b + d
Portanto: a = 2
b - 2a = -1; b = 3
3a - 2b + c = 0; c = 0
3b + d = 3; d = -6
Então, finalmente: Q(x) = 2x + 3
R(x) = -6
5 - O DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI
Se, numa divisão, o divisor for do 1º grau, além dos métodos dados anteriormente, existe um outro, cuja
descrição será feita a seguir. Seja efetuar (2x3 - 3x + 1) : (x - 2)
• Desenhe o esquema a seguir
2 2 0 -3 1
• À esquerda do primeiro traço vertical, colocamos a raiz do divisor (no nosso caso, 2).
À direita desse traço, colocamos os coeficientes do dividendo (já ordenado), completando com zero os termos
faltosos.
Para efetuar a divisão entre dois polinômios, temos dois métodos:
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1414141414 Matemática - M2
• Abaixamos o primeiro desses coeficientes e o multiplicamos pela raiz do divisor (2), somando o resultado
obtido (4) ao próximo coeficiente (0) e encontramos 4.
4
2 2 0 -3 1
2 4
4 8 10
2 2 0 -3 1
2 4 5 11
Q(x) R(x)
• Repita tudo isso, agora, para o 4. Continue até achar o último número (à direita do traço vertical tracejado).
Observe que o resto será nulo, ou um polinômio de grau zero. No nosso exemplo, R(x) = 11. Como Q(x) é de
grau 2, temos:
Q(x) = 2x2 + 4x + 5
Atenção: Se o divisor for do tipo ax ± b, proceda como anteriormente. Contudo, na hora de dar a resposta, ao
determinar Q(x), divida os coeficientes obtidos no dispositivo por a (apenas os coeficientes reservados a
Q(x)). O resto fica inalterado.
6 - TEOREMA DO RESTO OU DE D’ALEMBERT
O resto da divisão de um polinômio P(x) por x - a é P(a).
Demonstração:
Na divisão de P(x) por x - a, seja Q(x) o quociente e R(x) o resto. Observe que o grau de R é zero ou R(x) =
0.
P(x) x - a
R Q(x)
P(x) = (x - a) . Q(x) + R
Fazendo x = a, vem: P(a) = (a - a) . Q(a) + R e então P(a) = R
0
Como conseqüência dessa propriedade, um polinômio P(x) é divisível por x - a se e só se P(a) = 0.
De modo semelhante, prova-se que: Se o divisor for x + a, o resto é P(-a).
Se o divisor for ax - b, o resto é P(b/a).
Se o divisor for ax + b, o resto é P(-b/a).
7 - DOIS TEOREMAS IMPORTANTES
Daremos, sem demonstrar, dois teoremas que facilitam em muito nosso trabalho com polinômios.
Teorema 1:
O polinômio P(x) é divisível pelo produto
(x - a)(x - b) com a ¹ b se e só se P(x) é divisível
separadamente por x - a e por x - b.
Teorema 2:
Se P(x) é divisível por (x - a)(x - b), então P(x) é
divisível por x - a, e o quociente dessa divisão é
divisível por x - b.
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
1- PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM
Consideremos o seguinte problema:
• As cidades A e B são interligadas por 3 linhas de ônibus e por 4 companhias aéreas. De quantos modos uma
pessoa pode ir de A a B, usando ônibus e voltando de avião?
Solução:
Observe que o evento, ir de A a B e retornar, pode ser decomposto em duas etapas:
1ª etapa: viagem de ida
2ª etapa: viagem de volta.
Como a viagem de ida tem que ser de ônibus, existem três maneiras dessa viagem ser feita. Já para a viagem
de volta, temos 4 possibilidades. Como para cada viagem de ida, existem 4 modos de a pessoa fazer a viagem
de volta, é fácil ver que a pessoa fará as viagens de ida e volta de 4.3 = 12 modos diferentes.
Esse problema ilustra o princípio fundamental de contagem ou Regra do Produto.
Se um evento é formado por duas etapas sucessivas e independentes, de tal modo que a primeira etapa
se realiza de p modos e a segunda de q modos, então o evento ocorre de p.q maneiras.
Podemos estender essa regra a um evento formado por um número K de etapas.
1) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,e 5 ?
Solução:
O evento, formar um número de três algarismos, pode ser decomposto em três etapas:
1ª etapa: escolha do algarismo das centenas.
2ª etapa: escolha do algarismo das dezenas.
3ª etapa: escolha do algarismo das unidades.
Para a 1ª etapa existem 5 possibilidades (apenas o zero não pode ser escolhido).
Para a 2ª etapa existem também 5 possibilidades, pois o número escolhido na 1ª etapa não pode ser
repetido, porém o zero já pode ser usado.
Para a 3ª etapa, existem 4 possibilidades (só não podemos escolher os dois algarismos que foram
escolhidos na 1ª e 2ª etapas.
Logo, pela regra do produto podemos formar 5.5.4 = 100 números.
2) Dispõe-se de 6 cores para pintar uma bandeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser pintada de uma só cor e
duas faixas consecutivas não podem ter a mesma cor. De quantos modos pode ser feita a pintura?
Solução:
O evento, pintar a bandeira, pode ser decomposto em 4 etapas. Para a 1ª etapa existem 6 possibilidades,
pois podemos escolher qualquer uma das 6 cores. Para a 2ª etapa existem 5 possibilidades, pois a cor
usada na faixa anterior não pode ser usada. O mesmo número de possibilidades teremos para a 3ª e 4ª
etapas.
Portanto, a pintura poderá ser feita de:
6.5.5.5 = 750 modos
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3) Quantos números de 5 algarismos distintos formados pelos dígitos 1,3,4,5 e 6 são maiores que 50000?
Solução:
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
1ª etapa: 2 possibilidades: 5 ou 6 (só assim o número será maior que 50000)
2ª etapa: 4 possibilidades (lembre-se: os algarismos devem ser distintos)
3ª etapa: 3 possibilidades
4ª etapa: 2 possibilidades
5ª etapa: 1 possibilidade
Resposta: 2.4.3.2.1 = 48
2 - UMA NOVA ABORDAGEM
Existem alguns problemas de análise combinatória cuja resolução, usando-se a regra do produto, é muito
complicada. Para eles, daremos uma nova abordagem. Assim, se num determinado agrupamento cada
elemento aparece uma única vez, o agrupamento é simples. Caso contrário, ou seja, se um elemento puder
aparecer mais de uma vez, o agrupamento é dito com repetição. Desse modo, se queremos saber quantos
números de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal, devemos considerar cada número como
um agrupamento simples. Caso não aparecesse a palavra distintos no problema, então deveríamos levar
em conta todas as possibilidades e teríamos números com ou sem repetição.
3 - TIPOS DE AGRUPAMENTOS
Basicamente os agrupamentos que se formam com elementos de um conjunto podem ser classificados em
dois tipos.
- Arranjos: agrupamentos que se distinguem um do outro pela natureza e pela ordem de seus elementos.
- Combinações: agrupamentos que se diferenciam apenas pela natureza de seus elementos.
Observação:
Se em um agrupamento do tipo arranjo, usarmos todos os elementos do conjunto considerado, o agrupamento
passa a ser chamado de permutação.
Para fixarmos bem essas noções, vamos classificar os agrupamentos seguintes:
a) números formados por 4 algarismos no sistema decimal.
Solução:
Seja 2315 um tal número. Se mudarmos a ordem de pelo menos dois de seus algarismos, o número muda de
valor. Logo, cada número é um arranjo.
b) Triângulos formados com os cinco pontos tomados sobre uma circunferência.
Solução:
Um triângulo é obtido unindo-se três pontos quaisquer dos 5 que foram dados. Como o triângulo ABC e o
triângulo ACB ou BAC, etc. são o mesmo triângulo, a ordem dos elementos não muda o agrupamento e
temos uma combinação.
c) Filas que podemos formar com 4 pessoas
Solução:
Uma fila se diferencia de outra apenas pela ordem de seus elementos. Além disso, em cada fila todos os
elementos à nossa disposição são usados. Logo, cada fila é uma permutação.
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4- A NOÇÃO DE FATORIAL
No próximo item, aprenderemos como calcular o número de agrupamentos que podemos formar com os
elementos de um conjunto. Necessitaremos então definir a noção de fatorial.
Definição: Seja n um número natural. Então:
0! = 0
1! = 1
n! = n . (n - 1) . ... . 2.1, se n ≥ 2,
onde o símbolo n! lê-se fatorial do número n.
Veja os exemplos:
3! = 3.2.1 = 6
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Observe que:
n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = etc.
Assim teremos:
7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! = 7 . 6 . 5 . 4! = etc.
5- CÁLCULO COMBINATÓRIO - AGRUPAMENTOS SIMPLES
5.1 - Arranjos simples
Considere o seguinte problema: quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos
1,2,3,4,5?
Solução:
Que cada número é um arranjo é óbvio, pois a ordem dos algarismos no número altera o agrupamento. Queremos
então saber quantos arranjos tomados 3 a 3 podemos formar com 5 algarismos dados. Esse valor será
representado por: .Usando a regra do produto, temos que:
5 4 3
Agora, observe:
De um modo geral,
5.2 Permutação Simples
Como já foi dito, o número de permutações de n elementos, (Pn), é igual ao número de arranjos de n elementos
tomados n a n. Logo:
,ou seja
5.3 Combinações Simples
Representando por o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, teremos:
Observe que:
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1.(MACK-SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que
90000 e que são divisíveis por 5 é:
a) 1596 d) 2788
b) 2352 e) 4032
c) 2686
Solução:
1ª hipótese
5 0 ; =_ _ _ _ _
_ _ _ _ _
2ª hipótese
; 3.2. = 2016
6,7 ou 8 0 ou 5
Resposta: 336 + 2016 = 2352
2.(FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144
3. (UNESP) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos.
O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é:
a) 26 b) 90 c) 25 d) 45 e) 42
Solução:
Cada triângulo é uma combinação. Se não houvesse 3 pontos alinhados, os 8 pontos nos dariam triângulos.
Os 3 pontos sobre a primeira reta deixam de determinar triângulos e os 5 outros pontos deixam de
determinar triângulos. Logo a resposta final será:
6- CÁLCULO COMBINATÓRIO - AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO
6.1 - Arranjos com repetição
Se representa a quantidade de agrupamentos do tipo arranjos com repetição, que podemos formar com os
n elementos de um conjunto, tomados p a p, então:
6.2 - Permutação com repetição
Uma permutação é dita com repetição se determinados elementos aparecem mais de uma vez. Assim, por
exemplo, qualquer anagrama da palavra CASA é uma permutação com repetição, pois a letra A aparece 2
vezes. Prova-se que:
n → total de elementos em cada permutação.
n1, n2, ..., nk → quantidade de vezes em que os elementos que se repetem aparecem em cada agrupamento.
6.3 - Combinação com repetição
Se representa o número de combinações com repetição de n elementos, tomados p a p, então:
Solução:
Existem duas possibilidades:
U E
E U
_ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _
2. p4 = 2.4! = 48
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1. Quantos números de três algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, se o algarismo 5 é
sempre o algarismo da centena?
Solução:
Como o problema não diz que os algarismos do número formado são distintos, isso significa que as
repetições são admitidas. Portanto, o total procurado será: 5
2. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
Solução:
Letras que se repetem:
A: 3 vezes
R: 2 vezes
Logo, o número de anagramas será:
3. Podendo escolher entre os sabores hortelã, laranja e limão, de quantos modos uma criança pode comprar 5
balas?
Solução:
Cada grupo de 5 balas pode ser considerado como uma combinação de elementos repetidos, escolhidos
entre os três sabores. Logo, a resposta será:
BINÔMIO DE NEWTON
1 - NÚMERO BINOMIAL
Sejam n e p números com p ≤ n. Chamamos de número binomial de numerador n e classe p ao número
representado por definido por:
Observe que
2 - PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS
2.1 - Propriedades Diretas
; ;
Essas propriedades decorrem diretamente da definição de número binomial.
2.2 - Binomiais Complementares
Dois binomiais são ditos complementares se tiverem o mesmo numerador e se a soma dos denominadores for
igual ao numerador. Assim, são complementares os binomiais:
;
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Também são complementares:
; (p + n - p = n)
; (p - 1 + n - p + 2 = n + 1)
Aplicando a definição de número binomial a dois binomiais complementares, conclui-se que:
Dois números binomiais complementares são iguais.
Desse modo:
Como conseqüência dessa propriedade, temos que:
ou p + q = n
Exemplo:
Resolva a equação:
Solução:
1ª hipótese:
2x - 1 = 3 ; x = 2
2ª hipótese:
2x - 1 + 3 = 10 ; x = 4
Resposta: x = 2 ou x = 4
2.3 - Relação de Stifel
Essa relação acontece entre dois binomiais consecutivos. Assim, são consecutivos:
e assim por diante.
A relação de Stifel nos permite somar dois binomiais consecutivos. Ela pode ser dada de várias formas; uma
delas é:
Exemplo: a)
b)
binomiais complementares
2.4 - Relação de Fermat
É também uma relação entre binomiais consecutivos. Permite-nos calcular o valor de um binomial em função
do binomial “antecedente”. Sua demostração é feita aplicando-se a definição de número binomial.
Exemplos:
a) b)
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4 - O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON
Você sabe que:
Agora, repare:
- Os coeficientes obtidos ao desenvolver esses binômios coincidem com os números das linhas do Triângulo
de Pascal. Assim, os coeficientes de (x + a)3, por exemplo, são achados na linha 3 do Triângulo de Pascal.
Prova-se que os coeficientes de (x + a)n estão na linha n do Triângulo de Pascal.
Além disso, os expoentes de x decrescem de n a 0, e os de a crescem de 0 a n. Essas observações nos
permitem então escrever que:
3 - TRIÂNGULO DE PASCAL
Para tornar nosso trabalho mais ameno, vamos dispor os números binomiais na forma seguinte:
..............................................
Observe que os números binomiais de mesmo
numerador estão na mesma linha, e os números
binomiais de mesmo denominador estão na mesma
coluna. Além disso, os binomiais da primeira coluna
valem 1, pois têm o denominador igual a zero. O
mesmo acontece com o último binomial de cada linha,
que tem o numerador e denominador iguais. Além
disso, a relação de Stifel nos permite calcular os demais
elementos do triângulo. Veja no triângulo anterior, onde
se mostra que:
, e assim por diante.
Usando essas propriedades chegamos facilmente
aos valores associados ao triângulo, obtendo:
linha 0 ; 1
linha 1 ; 1 1
linha 2 ; 1 2 1
linha 3 ; 1 3 3 1
linha 4 ; 1 4 6 4 1
linha 5 ; 1 5 10 10 5 1
......................................
A partir daí, você pode, usando as mesmas
propriedades, obter quantas linhas quiser.
Assim, temos que:
Usando a linha 4 do Triângulo de Pascal para obter os coeficientes binomiais, teremos:
(x + a)4 = x4 - 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4
Para desenvolver (x - a)n, use o mesmo procedimento, porém alterne os sinais + e –, começando sempre
com o sinal de +. Assim:
(x - a)4 = x4 - 4x3a + 6x2a2 - 4xa3 + a4
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2- PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES
a) Matriz Linha
É aquela que tem uma única linha.
A = (-1 2 3), B = [ 1 1]
b) Matriz coluna
É aquela que tem uma única coluna.
3. Calcule o termo médio, no desenvolvimento de .
Solução:
No desenvolvimento de , obtemos n + 1 termos. Logo, o binômio dado tem 7 termos, e então o
termo médio é o 4º termo. Portanto, p = 3 e teremos:
4. Calcule a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (2x2 - 3y)5.
Solução:
Para obtermos apenas os coeficientes, no desenvolvimento de um binômio, basta fazermos as variáveis
que aparecem nele iguais a um. Então, fazendo x = y = 1 teremos:
S = (2 . 12 + 3 . 1)5; S = 55; S = 3125
MATRIZ
1- DEFININDO MATRIZ
Sejam m e n inteiros positivos. À tabela formada por m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas
chamamos de matriz m x n (lê-se matriz m por n).
ou M = (aij) m x n
Observação: aij representa o elemento que está na linha i e coluna j.
Exemplo:
; uma matriz 3 por 2 (3 linhas e 2 colunas)
Para ela, temos:
a12 = 1 ;
a21 = 3 ;
a31 = 0 ;
Essa matriz pode também ser representada dos modos a seguir:
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2424242424 Matemática - M2
d) Matriz Diagonal
Matriz quadrada cujos elementos situados fora da
diagonal principal são nulos.
c) Matriz Quadrada
Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de coluna.
Exemplo:
f) Matriz Triangular
Matriz quadrada na qual todos os elementos
colocados em um mesmo lado da diagonal principal
são nulos.
Os elementos aij de uma matriz quadrada com i = j formam a diagonal principal. A outra diagonal é a diagonal
secundária. Assim, para a matriz anterior:
diagonal principal: 1, 4 , 0
diagonal secundária: 2, 4, 5
e) Matriz Identidade
É toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal
principal são iguais a 1. Uma matriz identidade de
ordem n é representada por In.
g) Matriz Nula
Todos os seus elementos são nulos.
3 - IGUALDADE DE MATRIZES
Definição
Duas matrizes A e B são iguais (A=B) se forem de mesma ordem e se seus elementos correspondentes
forem iguais.
Observação: Elementos correspondentes são elementos de mesmo índice.
Em símbolos: Se A = (aij)mxn e B = (bij)m xn, então:
A = B ↔ aij = bij, para i ∈ { 1, 2, ..., m } e j ∈ { 1, 2, ..., n }
Desse modo, temos que se
e , então: A = B, porém A ≠ C (pois a23 ≠ c23)
4 - MATRIZ TRANSPOSTA
Dada uma matriz A = (aij)m x n, chama-se transposta de A, à matriz At = (bij)n x m tal que bij = aji
Exemplos:
a) Se então
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5 - UM RESULTADO INTERESSANTE
Já vimos que:
Fazendo x = a = 1, obtemos:
Isso significa que a soma dos elementos da linha n no Triângulo de Pascal é 2n.
6 - O TERMO GERAL
É muito raro necessitarmos do desenvolvimento completo do Binômio. O que geralmente ocorre é precisarmos
determinar um termo do Binômio que apresente alguma característica como, por exemplo, o termo em x7, ou
o termo independente de x, e assim por diante. Para resolvermos um tal problema, não precisamos de todo o
desenvolvimento, mas sim do termo genérico do Binômio. Se você observar mais uma vez a fórmula do Binômio
de Newton, verá que cada termo é da forma:
Além disso, se p = 0, temos o primeiro termo;
se p = 1, temos o segundo termo;
e assim sucessivamente. Logo:
representa o termo que ocupa a posição (p+1), e é a fórmula do termo geral do binômio (x + a)n, segundo as
potências decrescentes de x. Nessa fórmula, observe que:
n: representa o expoente do binômio
x: representa o primeiro termo do binômio
a: representa o segundo termo do binômio
p: número que é igual à posição do termo, menos um. Assim, se queremos
Para o binômio (x - a)n, temos
1. Calcule o 10º termo no desenvolvimento de
Solução:
Como queremos o 10º termo (T10), p = 9. Além
disso, o primeiro termo é 2x2, o segundo é
x e n = 12. Logo, pela fórmula do termo geral
temos:
2. Calcule, se existir, o termo independente de x, no
desenvolvimento de: .
Solução:
Termo independente é o termo em x0. Logo,
queremos que: - 8 + 3 p = 0; p =
Como é natural, tal resposta não satisfaz, e então o
binômiodadonãoapresentatermoindependentedex.
Observação:
Se fosse pedido, por exemplo, o termo em x7, o
raciocínio seria semelhante, simplesmente
colocaríamos - 8 + 3p = 7, teríamos p, e então
bastaria substitui-lo na expressão do termo geral.
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b) Se
Uma matriz quadrada A se diz simétrica se At = A. Se A for simétrica, os elementos colocados simetricamente
em relação à diagonal principal devem ser iguais.
5 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Definição 1
Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, soma de A e B é a matriz C = (cij)m x n , tal que cij = aij + bij.
Definição 2
Se A = (aij)m x n, chama-se oposta de A, a matriz
-A = (-aij)m x n
Definição 3
Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n então A - B = A + (-B).
As principais propriedades da adição são
I) A + B = B + A
II) (A + B) + C = A + (B + C)
III) A + 0 = A
IV) A + (-A) = 0
Observação: A e B são matrizes m x n e 0 é a matriz nula m x n
Se A é matriz quadrada com At = -A, dizemos que A é anti-simétrica.
6 - MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL
Definição
Seja A = (ai j)m x n e K ∈ IR
Então: K . A = (bi j)m x n tal que bi j = k . ai j
Assim, se teremos e
7 - MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
a) Multiplicação de uma Matriz Linha por uma Matriz Coluna
Seja A1 x m e Bm x 1 onde o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Definimos o produto
de A por B como sendo a matriz C1 x 1, obtida multiplicando-se o 1º elemento da linha de A pelo
1º elemento da coluna de B, o 2º elemento da linha de A pelo 2º elemento da coluna de B e assim
sucessivamente até o último, e somando-se os produtos assim obtidos.
Exemplo:
Seja A = ( 1 2 3 ) e
Para achar A . B, calculamos:
1 . 4 + 2 . (-1) + 3 . (-2) = 4 - 2 - 6 = -4 , logo C = (-4)
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b) Multiplicação de Matrizes
- Condição de existência: Se Am x p e Bq x n, só existe A . B se p = q. O produto será m x n.
Para efetuar o produto, multiplicamos cada linha de A por cada coluna de B, como já mostrado no item A.
Exemplo:
Se e
A x B será 2 x 2 e então
C11 = 2 . 1 + 1 . 7 + (-3) . 0 = 9
C12 = 2 . (-2) + 1 . 1 + (-3) . 3 = -12
C21 = 0 . 1 + 4 . 7 + (-2) . 0 = 28
C22 = 0 . (-2) + 4 . 1 + (-2) . 3 = -2
Então:
c) Propriedades da Multiplicação
I) A multiplicação de matrizes não é comutativa.
Se A . B = B . A, diremos que A e B comutam.
II) (A .B) . C = A . (B . C);
III) A . (B + C) = A . B + A . C
IV) A . I = I . A = A
V) Se A . B = 0 não se pode concluir que A = 0 ou B = 0
VI) Não vale a lei do corte, ou seja se A . B = A .C não se pode concluir que B = C.
8 - MATRIZ INVERSA
Seja uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se inversa de A (se existir) à matriz representada por
A-1 tal que A . A-1 = A-1 . A = In.
Exemplo:
Ache, se existir, a inversa de A =
Solução:
Se existir,
Como queremos que A . A-1 = I, teremos:
e então:
Resolvendo esses sistemas, teremos: a = -3 , b = 2 , c = 2 , d = -1 e então
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Exemplo:
Calcule
9 - PROPRIEDADES DA INVERSA
a) (A-1)-1 = A
b) (At)-1 = (A-1)t
c) (A . B)-1 = B-1 . A-1
d) (K . A)-1 = . A-1
10 - PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA
a) (At)t = A
b) (A + B)t = At + Bt
c) (A . B)t = Bt . At
DETERMINANTE
1- DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE
Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A ao número associado a A e definido a seguir.
a) Determinante da 1ª ordem
Se A = (a11), então o determinante de A, que indicaremos por det A ou |a11|, será: det A = a11
b) Determinante de 2ª ordem
Se então
det A = a11 . a22 - a21 . a12, ou seja, det A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto
dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo:
c) Determinante de 3ª ordem - Regra de Sarrus
Repetimos a 1ª e a 2ª colunas.
Multiplicamos os elementos da diagonal principal e os elementos das diagonais que lhe são paralelas e somamos.
Multiplicamos os elementos da diagonal secundária e das diagonais que lhe são paralelas. Somamos esses
produtos e subtraímos da soma achada anteriormente.
Solução:
2 - DEFINIÇÃO GERAL DE DETERMINANTE
Para definir determinante de ordem n qualquer, precisamos antes entender o que é cofator.
- Cofator: seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento de A. Chama-se cofator de aij e
representa-se porAij ao número definido por:
Aij = (-1)i + j. Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida suprimindo-se de A, a linha i e a coluna j.
Exemplo:
Seja então:
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Solução:
É vantajoso tomarmos uma fila que tenha o maior número possível de zeros. Usaremos então a
3ª coluna
detA = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =
3 . A 13 + 0 . A23 + 0 . A33 = 3 . A13
Como A13 = (-1)1 + 3 . = 17, teremos: det A = 3 . 17 = 51
Sugiro que você, utilizando o teorema de Laplace, prove que, seAé uma matriz triangular, seu determinante
é obtido multiplicando-se os elementos da diagonal principal.
3- PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
Os cálculos envolvendo determinantes ficam muito mais simples se usarmos as propriedades a seguir.
P.1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta: det A = det At
P.2) Se uma matriz quadrada tem uma linha ou coluna de zeros, seu determinante é nulo.
P.3) Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Se a matriz B é obtida de A, trocando de posição duas
linhas (ou duas colunas) quaisquer, então: det B = - det A
P.4) Se uma matriz A possui duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0.
P.5) Multiplicando-se uma linha (ou coluna) de uma matriz A, por um número real K, não nulo, seu
determinante fica multiplicado por K.
Conseqüência: det (K.A) = Kn . det A
P.6) Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então det A = 0.
P.7) Teorema de Cauchy
A soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz pelos respectivos
cofatores de outra linha (ou coluna) é igual a zero.
P.8) Teorema de Jacobi
Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz A por um número diferente de zero e
adicionarmos o resultado a outra linha (ou coluna), obtemos uma matriz B, tal que det A = det B.
P.9) Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A . B) = det A . det B.
Essa última propriedade tem uma conseqüência importante. Seja A uma matriz inversível.
Então: A . A-1 = I. Logo:
det (A . A-1) = det I e usando P.9 e lembrando que det I = 1, teremos: det A . det A-1 = 1
Portanto, se A admite inversa, det A ≠ 0, e nesse caso, det .
Podemos agora definir o determinante de ordem n, o que é feito pelo:
- Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadradaA, de ordem n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos elementos de uma
fila qualquer (linha ou coluna), pelos respectivos cofatores.
Exemplo:
Calcule
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4 - ABAIXAMENTO DA ORDEM - REGRA DE CHIÓ
Seja A = (aij)n x n uma matriz quadrada, e apq um elemento de A, tal que apq = 1.
Para calcular o det A, pela regra de Chió, procede-se do seguinte modo:
- suprime-se a linha p e a coluna q.
- dos elementos restantes subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas perpendiculares
traçadas do elemento considerado às filas que foram suprimidas.
- formamos uma matriz B com as diferenças assim obtidas.
- det A = (-1) p+q . detB.
Observação: Se na matriz A não houver nenhum elemento igual a 1, usando as propriedades é possível
fazer tal elemento aparecer.
Exemplo:
Calcule, usando CHIÓ
Solução:
5- MATRIZ DE VANDERMONDE
Uma matriz quadrada, de ordem n, se diz matriz de Vandermonde se ela for da forma:
- os elementos de uma mesma coluna formam uma P.G.
- os elementos da 2ª linha são chamados de elementos característicos.
Se x1 , x2, ..., xn são elementos característicos de uma matriz de Vandermonde,
seu determinante é obtido multiplicando-se todas as diferenças xi - xj com i > j.
Exemplo: Calcule
Solução:
Como as colunas formam uma P.G., trata-se de uma matriz de Vandermonde, de elementos característicos
2, -1, 3, 1.
Então: D = (-1 - 2) (3 - 2) (3 + 1) (1 - 2) (1 + 1) (1 -3) = -48
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SISTEMAS LINEARES
1 - EQUAÇÃO LINEAR
Chamamos de equação linear a toda equação da forma
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
Uma seqüência (a1, a2, ..., an) é uma solução da equação.
Se a substituição de x1, por a1, x2 por a2, xn por an tornar a sentença verdadeira.
Exemplo:
Seja a equação linear x - 2y - z = 7
(1, 1, -8) é solução pois 1 - 2 . 1 - (-8) = 7.
Já (0, -1, 3) não é solução pois 0 - 2 . (-1) - 3 = -1 e - 1 ¹ 7.
Observe que:
- a equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, com b ¹ 0 não admite solução.
- a equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0, tem qualquer seqüência (a1, a2, ..., an) como solução.
2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Chamamos de sistema de equações lineares ou sistema linear a um conjunto de duas ou mais equações lineares.
Exemplo:
A seqüência (a1, a2, ..., an) é solução do sistema S, se for solução de todas as equações de S.
Um sistema se classifica em:
A) Sistema possível ou compatível: é aquele que possui solução.
- se essa solução é única, o sistema é compatível determinado.
- se tivermos mais de uma solução, o sistema é indeterminado.
B) Sistema impossível ou incompatível: é aquele que não possui solução.
- Se todos os termos independentes de um sistema (bj) forem nulos, o sistema se diz homogêneo.
- Se um sistema é homogêneo, a seqüência (0, 0, ..., 0) é solução, chamada solução trivial.
3 - REGRA DE CRAMER
A regra de Cramer é uma técnica que nos permite resolver apenas sistemas quadrados, ou seja, sistemas
em que o número de equações é igual ao número de incógnitas.
Seja o sistema:
Chamaremos de D ao determinante formado pelos coeficientes de cada equação do sistema.
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D(xi) é o determinante da matriz que se obtém, substituindo-se a coluna i de D, pela coluna dos termos
independentes.
A regra de Cramer afirma que, se D ¹ 0, então
Exemplo:
Resolver o sistema
Solução:
Como D ≠ 0, o sistema é compatível e determinado.
Logo:
Resposta: (1, -5, 2)
4 - O MÉTODO DO ESCALONAMENTO
O método do escalonamento é um método geral de resolução de sistemas lineares, não apresentando as
restrições da Regra de Cramer.
Um sistema se diz escalonado quando aumenta de uma equação para a seguinte o número de coeficientes
iniciais nulos, até que sobrem, eventualmente, equações onde todos os coeficientes iniciais são nulos.
Num sistema escalonado, uma equação do tipo 0x1+ 0x2 + 0xn = 0 pode ser suprimida, pois qualquer seqüência
(a1, a2, ..., an) é solução.
Já se num sistema tivermos uma equação do tipo 0x1+ 0x2 +... + 0x = b, com b ¹ 0, o sistema é incompatível,
pois tal equação não tem solução.
Num sistema escalonado, as incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações são chamadas
de variáveis livres, e a quantidade delas chama-se grau de indeterminação do sistema.
Exemplo:
Seja o sistema:
Esse sistema está escalonado, x2 é variável livre, e
o seu grau de indeterminação é 1.
Dois sistemas S1 e S2 são equivalentes (S1 - S2) se
possuem o mesmo conjunto solução.
Para obtermos sistemas equivalentes, usamos as
transformações elementares, que são operações
efetuadas sobre as equações do sistema, que o
transformam em outro equivalente.
São elas:
T.1) Trocar a ordem das equações.
T.2) Trocar a ordem das incógnitas.
T.3) Multiplicar uma das equações do sistema
por um número não nulo.
T.4) Substituir uma das equações do sistema,
pela soma dela com uma outra,
previamente multiplicada por um número
não nulo.
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3232323232 Matemática - M2
1. Resolva o sistema
Solução:
Inicialmente troque de posição a 1ª e a 3ª equações, pois assim o primeiro elemento da 1ª equação será 1.
;
Agora, para zerar os termos em x na 2ª e 3ª equação, multiplicamos a 1ª equação por -4 e somamos com
a 2ª e depois multiplicamos a 1ª equação por -2 e somamos com a 3ª equação.
;
Daí vem:
;
;
De 26z = 26 vem z = 1 e substituindo em y + 4z = 0, obtemos, y + 4 = 0, y = -4 e daí:
x + y + z = 1; x - 4 + 1 = 1; x = 4
Resposta: (4, -4, 1)
Solução:
Trocando a 1ª e 3ª equação de posição vem:
; ;
a última equação mostra que o sistema é incompatível.
-4 -2
-2 -4
1
-1
7
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3. Resolva:
Solução:
; ;
Logo, o sistema tem uma variável livre, que é z. Se fizermos z = a, teremos:
-y + 2a = -2; y = 2 + 2a
x + 2 . (2 + 2a) + 3a = 3; x = -1 - 7a Logo a solução é: (-1 - 7a, 2 + 2a, a)
5- DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES
Discutir um sistema é classificá-lo em determinado, indeterminado ou incompatível, em função do(s) parâmetro(s)
que aparece(m) nas equações do sistema.
Para discutir um sistema, utilizaremos o escalonamento. Veja alguns exemplos:
a) Discutir o sistema:
Solução:
Logo:
Se 9 - m ¹ 0 ou seja, se m ¹ 9, o sistema é incompatível.
Se 9 - m = 0, ou seja, se m = 9, o sistema terá uma variável livre e será compatível indeterminado.
b) Discutir o sistema
Solução:
Como o sistema já está escalonado, temos:
-2 -3
1
-2 -3 -1
-1 -2
• Para a - 2 ¹ 0, ou seja, para a ¹ 2, o sistema será compatível e determinado com z = e daí tira-se x e y.
• Se a - 2 = 0, ou seja, se a = 2, a última equação se transforma em 0 = 4b - 8. Logo:
Se 4b - 8 ¹ 0, ou seja, se b ¹ 2, o sistema é incompatível.
Se 4b - 8 = 0, ou seja, se b = 2, o sistema é indeterminado.
Em resumo:
Se a ¹ 2, o sistema é compatível determinado.
Se a = 2, e b = 2, o sistema é indeterminado.
Se a = 2 e b ¹ 2, o sistema é incompatível.
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PROGRESSÃO ARITMÉTICA E
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1 - SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS
Informalmente falando, uma seqüência é um conjunto cujos elementos são considerados em ordem.
Exemplo:
a) (1, 3, 5, 7, 9...) ® seqüência dos números ímpares.
b) (0, 2, 4, 6, 8, 10) ® seqüência dos números naturais pares menores que 12.
2 - REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA SEQÜÊNCIA
(a1, a2, a3, ..., an)
a1: indica o 1º termo.
a2: indica o 2º termo.
.. ... ... ... ...
an: indica o enésimo termo.
Exemplos:
Seja a seqüência (-3, 5, 4, 11, 13, 0), temos que: a1 = -3; a4 = 11; a6 = 0
3 - TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS
Dois termos de uma seqüência são eqüidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem o
primeiro é igual ao número de termos que seguem o segundo.
É fácil perceber que dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual à soma
dos índices dos termos extremos.
Exemplo:
Seja a seqüência (a1, ..., a20)
a5 e a16 são eqüidistantes dos extremos pois
5 + 16 = 1 + 20
a8 e a11 não são eqüidistantes dos extremos pois
8 + 11 ¹ 1 + 20
4 - REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA
Uma seqüência pode ser dada através da fórmula do termo geral ou através de uma fórmula de recorrência. Veja:
a) Escreva os três primeiros termos da seqüência, cujo termo geral é: an = 3n - 1
Solução:
a1 = 3 . 1 - 1 = 2, a2 = 3 . 2 - 1 = 5
a3 = 3 . 3 - 1 = 8
Resposta: a1 = 2, a2 = 5, a3 = 8
b) Seja a seqüência tal que a1 = 2 e an = an-1 . 3.
Escreva os três primeiros termos dela.
Solução:
a1 = 2
a2 = a1 . 3 = 2 . 3 = 6
a3 = a2 . 3 = 6 . 3 = 18
Resposta: a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18
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5 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Definição
Chamaremos de progressão aritmética (P.A.) à seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao
anterior somado com uma constante, que denominaremos de razão (r) da P.A.
Exemplos:
a) (3, 7, 11, 15,...) P.A. de razão r = 4
b) (6, 4, 2, 0, -2,...) P.A. de razão r = -2
c) (2, 2, 2,...) P.A. de razão r = 0
Observe que, se (a1, a2, ..., an) é uma P.A., então: r = a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1
Além disso, pela definição dada, teremos:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
e de um modo geral: an = a1 + (n -1) . r ® fórmula do termo geral.
Podemos achar uma outra fórmula mais geral. Seja (a1, a2, ..., ak, ..., an) uma P.A. de razão r.
Pela fórmula do termo geral temos:
Portanto:
an - ak = a1 + nr - r - a1 - kr + r ou
an = ak + (n - k) . r
Exemplos:
A primeira fórmula nos permite escrever:
a7 = a1 +6r, a10 = a1 + 9r etc.
A segunda nos permite escrever:
a5 = a3 + 2r, a9 = a6 + 3r, a4 = a7 - 3r, etc.
6 - PROPRIEDADES DE UMA P.A.
P.1) Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é média aritmética dos outros dois.
Demonstração:
Sejam x, y, z termos consecutivos de uma P.A. de razão r. Então, pela definição, teremos:
y = x + r
y = z - r
Somando m.a.m. essas igualdades, encontramos: 2y = x + z ou y =
P.2) A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos de uma P.A.
Demonstração:
Dada a P.A. (a1, ..., ap, ..., aq, ..., an) sejam ap e aq termos eqüidistantes dos extremos. Então, teremos
p + q = 1 + n ou p - 1 = n - q (I).
Além disso: ap = a1 + (p - 1) r
an = aq + (n - q) r = aq + (p - 1) r, pois n - q = p - 1
Logo, subtraindo m.a.m., obteremos: an - ap = aq + (p - 1) r - a1 - (p - 1) r ou
an - ap = aq - a1 e daí an + a1 = ap + aq
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Conseqüências dessas propriedades:
1ª) Se p + q = r + s então ap + aq = ar + as
Assim, podemos escrever: a2 + a5 = a4 + a3 = a1 + a6
2ª) Numa P.A. finita, com um número ímpar de termos, o termo central é média aritmética entre os extremos,
ou entre qualquer par de termos eqüidistantes dos extremos.
7 - SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.
Seja a P.A.
(a1, a1 + r, a1 + 2r, ..., an - 2r, an - r, an). Então:
Sn = a1 + a1 + r + a1 + 2r + ... + an - 2r + an - r + an
ou
Sn = an + an - r + an - 2r + ... + a1 + 2r + a1 + r + a1
Somando m.a.m. obtemos:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an)
n parcelas
Logo: 2Sn = (a1 + an) . n e então .
8 - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
Definição
Chama-se progressão geométrica (P.G.) a toda seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao
anterior, multiplicado por uma constante, que chamaremos de razão (q) da P.G.
Exemplos:
(3, 6, 12, 24, ...), P.G. de razão q = 2.
(1, -3, 9, -27, ...), P.G. de razão q = -3.
(18, 6, 2, , ...), P.G. de razão q = .
(2, 2, 2, ...) P.G. de razão q = 1.
Observação:
Para se achar a razão de uma P.G., basta dividir um termo qualquer pelo anterior.
Se (a1, a2, ..., an) é uma P.G. temos:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
e notando que o expoente da razão é sempre uma unidade menor que o índice do termo em questão, teremos:
an = a1 . qn-1 ® termo geral da P.G.
De modo análogo ao que fizemos para a P.A., prova-se que: an = ak . qn-k .
Veja: a7 = a1 . q6 , a5 = a1 . q4
a9 = a4 . q5 , a3 = a7 . q-4
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9 - PROPRIEDADES DE UMA P.G.
P.1) Dados três termos de uma P.G., o termo do meio é média geométrica entre os outros dois.
Ou seja: Se a, b, c estão em P.G., b2 = ac.
P.2) O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos de uma P.G.
Conseqüências de P.2.
1ª) Se p + r = s + t então ap . ar = as . at
2ª) Em uma P.G. de número ímpar de termos, o termo central é média geométrica entre os extremos, ou
entre dois termos eqüidistantes dos extremos.
Tente provar essas propriedades. As demonstrações são parecidas com o que fizemos para as P.As.
10- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA
Seja (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) uma P.G. finita de razão q ¹ 1. Então:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
Multiplicando por q, obtemos:
qSn = a1q + a2q + a3q + ... + an-2 . q + an-1 . q + an . q ou
qSn = a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an + anq
Portanto:
qSn - Sn = anq - a1, e daí vem:
Usando a fórmula an = a1 . qn-1, prova-se também que:
11- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
Seja (a1, a2, ..., an, ...) uma P.G. infinita cuja razão q é tal que |q| < 1. Já sabemos que:
. Fazendo n tender a infinito.
qn tenderá a zero e Sn tende a:
Lembre-se: essa fórmula só vale para P.Gs. onde |q| < 1.
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GEOMETRIA ESPACIAL
I - PRISMA
1- DEFINIÇÃO
Sejam α e β dois planos paralelos, R uma região
poligonal em α, e r uma reta cuja interseção com α
é um ponto exterior a R. Chama-se prisma, à reunião
de todos os segmentos PP’ paralelos a r, com P em
R e P’ em β.
2- ELEMENTOS DE UM PRISMA
Elementos:
ABC e A’B’C’: bases
AB é uma aresta da base (quais são as outras?)
AA’ é uma aresta lateral (quais são as outras?)
AA’BB’ é uma face lateral (quais são as outras?)
h é a altura do prisma (distância entre os planos da base)
Obs.: Se as arestas laterais são oblíquas em relação
aos planos da base, o prisma é um prisma
oblíquo. Se as arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases o prisma
é um prisma reto (h = aresta lateral)
3- CLASSIFICAÇÃO
Prisma triangular: as bases são triângulos
Prisma quadrangular: as bases são quadriláteros
Prisma pentagonal: as bases são pentágonos
e assim por diante.
Prisma regular: é o prisma reto, cujas bases são
polígonos regulares.
Prisma regular triangular Prisma regular pentagonal
4- SECÇÕES
- Secção transversal de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano paralelo às bases.
- Secção reta de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano perpendicular às suas arestas
laterais.
h
C’
A’ B’
C
A B
h
P’
P
R
r
α
β
α
β
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5- PARALELEPÍPEDO
- Paralelepípedo é o prisma cuja base é um paralelogramo.
- Paralelepípedo retângulo (ou reto-retângulo ou ortoedro) é um prisma reto, cuja base é um retângulo.
- Cubo é um paralelepípedo retângulo no qual todas as seis faces são quadrados.
Exemplos:
Paralelepípedo reto
Faces laterais - retângulos
bases: paralelogramos
Cubo
As seis faces são quadrados
Paralelepípedo retângulo
As seis faces são retâgulos
Paralelepípedo oblíquo
As seis faces são paralelogramos
6- DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO
Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo retângulo.
No triângulo ABC, temos:
d2
f = a2 + b2
No triângulo ACC’, temos:
d2 = d2
f + c2 e substituindo:
d2 = a2 + b2 + c2. Logo:
7- ÁREA TOTAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (St )
St é a área de 6 retângulos
2 com dimensões a, b
2 com dimensões a, c
2 com dimensões b, c
Logo:
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8 - VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (V)
Um paralelepípedo retâgulo de dimensões a, b, c, tem um volume dado por: V = a . b. c
9 - DIAGONAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DE UM CUBO
Como um cubo é um caso especial de paralelepípedo retângulo, as fórmulas anteriores são válidas para ele,
bastando fazer b = c = a.
Teremos então: , ,
Obs.: a é a aresta do cubo.
10 - VOLUME DE UM PRISMA QUALQUER
O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base (B) pela altura (h) V = B . h
11 - LEMBRETES IMPORTANTES
A) Altura e área de um triângulo equilátero
B) Área de um hexágono regular
A área do hexágono é seis vezes a área do triângulo
equilátero de lado a
,
C)Apótema do hexágono regular (m)
O apótema do hexágono regular coincide com a
altura de um triângulo equilátero.
II - PIRÂMIDE
1- DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
Definição: Seja α um plano, R uma região poligonal
em α e V um ponto não pertencente a α. Chama-se
pirâmide à reunião de todos os segmentos com uma
das extremidades num ponto de R e a outra no ponto V.
- Elementos
Vértice: é o ponto V.
Base: é o polígono ABCDE
Arestas da base: são os lados da base: AB, BC, ...
Arestas laterais: VA, VB, ...VE
Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ...
Altura: é a distância do vértice ao plano da base.
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2- CLASSIFICAÇÃO
Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo.
Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero.
Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante.
Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base for o centro desse
polígono, a pirâmide é uma pirâmide regular.
Numa pirâmide regular, as faces laterais são
triângulos isósceles congruentes.
A altura de uma face lateral de uma pirâmide regu-
lar em relação ao lado da base chama-se apótema
da pirâmide.
VO = altura (h)
OM = apótema da base (n)
VM = apótema da pirâmide (m)
3- VOLUME DE UMA PIRÂMIDE
Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é:
4- SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE
Chama-se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano paralelo à base. Sendo
h a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal ao vértice V da pirâmide, temos:
a)
b)
c)
d)
Observação: As relações acima são válidas para qualquer pirâmide.
5- TRONCO DE PIRÂMIDE
A secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o vértice é uma nova
pirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de tronco de pirâmide.
Observe que: m2 = h2 + n2
Base maior: é a base da pirâmide original Representaremos
sua área por B.
Base menor: é a secção transversal. Sua área será
representada por b.
Altura do tronco: é a distância entre os planos das
bases (h).
O volume do tronco de cone é:
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4242424242 Matemática - M2
6- TETRAEDRO REGULAR
Chamamos de tetraedro regular à pirâmide regular na qual as quatro faces são triângulos equiláteros congruentes.
- Área total do tetraedro regular ( St )
St = 4 vezes a área de um triângulo equilátero de lado a.
Portanto ou
- Altura do tetraedro regular (h)
Seja a aresta do tetraedro. Como o tetraedro é regular, o ponto O é o baricentro
do triângulo ABC, e como esse triângulo é equilátero teremos:
No triângulo VOA, temos: e daí vem
- Volume do tetraedro regular (V)
, onde B é a área da base. Mas ;
então
III - CILINDRO
1- DEFINIÇÃO E ELEMENTOS
- Definição: Sejam α e β planos paralelos, C um círculo contido em α e r uma reta que intercepta α em A e β
em B. Chama-se cilindro à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB, que têm uma
extremidade no círculo C e outra no plano β.
- Elementos de um cilindro
Bases: são os círculos de centro O e O’.
Altura (h): é a distância entre os planos das bases.
Eixo: é a reta OO’ que contém os centros das bases.
Geratriz: qualquer segmento paralelo ao eixo e com
extremidades nas circunferências das bases.
2- CLASSIFICAÇÃO
Cilindro reto: as geratrizes são perpen-
diculares aos planos da base.
Cilindro oblíquo: as geratrizes não são
perpendiculares aos planos da base.
Observação: O cilindro reto é também cha-
mado de cilindro de revolução.
Cilindro Cilindro Cilindro
reto oblíquo equilátero
g = 2 r = h
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- Secção Meridiana
É a interseção de um cilindro reto com um plano que contém o eixo.
A secção meridiana geralmente é um retângulo. Se ela for um quadrado, o cilindro é chamado cilindro equilátero.
3- ÁREA LATERAL
Se você “abrir” o cilindro obterá um retângulo de base 2πr e altura h.
Logo, a área lateral do cilindro será SI = 2πr
4- ÁREA TOTAL
É a área lateral acrescida da área das duas bases.
Logo: St = 2πrh + 2πr2 ou: St = 2πr(h + r)
5- VOLUME DE UM CILINDRO
É dado por: V = πr2 . h
IV - CONE
1- DEFINIÇÃO - ELEMENTOS
- Definição: Seja C um círculo de centro O e raio r,
contido num plano α , e V um ponto fora desse
plano. Chamamos de cone circular ou cone à
reunião de todos os segmentos cujos extremos
são o ponto V e um ponto do círculo.
- Elementos:
Vértice: ponto V
Base: círculo de centro O
Altura: distância de V ao plano da base
Eixo: reta VO
Geratriz: segmentos com extremos em V e num
ponto da circunferência da base.
o
2πr
h
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4444444444 Matemática - M2
2- CLASSIFICAÇÃO
Cone oblíquo: o eixo é oblíquo à base
Cone reto: o eixo é perpendicular à base
Cone oblíquo Cone reto
Observação:
1) O cone reto também é chamado de cone de
revolução. Ele pode ser gerado pela rotação
completa de um triângulo retângulo em torno
de um de seus catetos.
- Secção meridiana: é a interseção do cone com um
plano que contém o eixo. A secção meridiana de
um cone reto é um triângulo isósceles.
Observação:
2) Num cone reto temos: g2 = h2 + r2
Cone equilátero: é o cone cuja secção meridiana
é um triângulo equilátero.
Num cone equilátero g = 2r e h = r
r
2πr
3- ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE
- Área lateral
Destacando a base de um cone, cortando-o na direção de uma geratriz, obtemos uma planificação do cone que
será um setor circular de raio g e cujo arco tem comprimento 2πr.
Da geometria plana, sabemos que a área de um setor circular de raio r e arco de comprimento l é
Portanto, a área lateral do cone será:
- Área total
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4545454545Matemática - M2
4- VOLUME DO CONE
, r = raio da base e h = altura
5- SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE
É a interseção de um cone com um plano paralelo ao plano de sua base.
Uma secção transversal divide o cone em duas partes: um cone menor e um tronco de cone. São válidas as
relações:
a) b) c) onde:
V1 = volume do cone de altura h
V2 = volume do cone de altura H
r
6- TRONCO DE CONE
Como já dissemos anteriormente, é uma das partes
em que o cone fica dividido por uma secção trans-
versal. Se o cone original que foi seccionado for um
cone reto, o tronco é chamado tronco de cone reto
de bases paralelas.
- Área lateral de um tronco de cone reto de bases paralelas
Seja Sit a área lateral do tronco, Sl a área lateral do cone de geratriz G e S’l a área lateral do cone de raio da
base r.
Então: Slt = Sl - S’l
Slt = π RG = π r(G - g) = π RG - π rG + πrg
Slt = π(RG - rG + rg) = π[G(R - r) + rg]
Da semelhança dos triângulos VAO’ e VBO, tiramos:
ou e daí . Substituindo
vem e então:
- Área total de um tronco de cone reto de bases paralelas. Mostre você que:
- Volume do tronco de cone reto de bases paralelas.
secção
A
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4646464646 Matemática - M2
V - ESFERA
1- ESFERA
É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância
a um ponto dado O, é menor ou igual a R, onde
R > O é o raio da esfera.
2 - SUPERFÍCIE ESFÉRICA
É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância a um ponto dado O, é igual a R, sendo R > O, o seu raio.
Observação: A superfície esférica é a “casca” da esfera.
3 - SECÇÃO - CÍRCULO MÁXIMO
Secção da esfera: é a interseção da esfera com um plano secante.
A secção de uma esfera é um círculo.
Círculo máximo: é a interseção da esfera com um
plano secante que passa pelo seu centro.
Observe que:
4 - PÓLOS, EQUADOR, PARALELOS E MERIDIANOS
Pólos: São as interseções da superfície esférica com o eixo
(P1 e P2)
Equador: é a secção perpendicular ao eixo que passa pelo centro
da superfície esférica (circunferência máxima)
Paralelo: é toda secção da superfície esférica paralela ao equador.
Meridiano: é uma secção da superfície esférica, cujo plano passa
pelo eixo (é também uma circunferência máxima)
5 - DISTÂNCIAS POLARES
Chama-se distância polar à distância de um pólo a um
ponto qualquer de um paralelo.
Exemplo: P1A = p e P2A = p’ são distâncias polares.
Cálculo da distância polar.
Sejam: R: o raio da esfera
d: distância do centro da esfera ao plano da secção. O triângulo P1AP2 é retângulo. Então, usando
as relações métricas nos triângulos retângulos obtemos:
d = distância do centro O ao plano secante
R = raio da esfera
r = raio da secção
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4747474747Matemática - M2
6 - O VOLUME DA ESFERA
O volume de uma esfera de raio R é:
7 - ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
A área da superfície esférica de raio R é:
8 - FUSO ESFÉRICO
É a superfície obtida pelo giro de a graus
(0º < a < 360º) em torno do eixo de uma semi-
circunferência com extremidades nos pólos.
- Área do fuso esférico
Como o fuso é “uma parte” da superfície esférica, podemos calcular sua área por uma regra de três.
Basta observar que, se a = 360º (ou a = 2πrad), o fuso se transforma na superfície esférica.
A) a é dado em graus.
360º - 4pR2
a - S
B) α é dado em radianos
2prad - 4pR2
a - S
Observação: O fuso é a “casca” de um gomo de laranja.
9 - CUNHA ESFÉRICA
Se na definição anterior, substituirmos a semi-circunferência por um semi-círculo obtemos um sólido que é
chamado de cunha esférica (gomo de laranja).
- Volume da cunha
A) a é dado em graus.
360° -
a - V
B) a é dado em radianos
2πrad -
a - V
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4848484848 Matemática - M2
MATEMÁTICA I
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1) (PUC-MG) A exponencial (a + 3)x é função
decrescente. O número real a + 2 pertence ao
intervalo:
a) ]0,1[ d) ]-2,0[
b) ]-2,-1[ e) ]-1,0[
c) ]-1,-1[
2) (UNA-MG) O tempo necessário, em segundos,
para um computador resolver um sistema linear
de n equações a n incógnitas é T(n) = n + 2n. O
tempo que essa máquina levará para resolver
um sistema linear de 10 equações a 10 incógnitas
será:
a) menor que 5 minutos.
b) maior que 5 minutos mas menor que 15
minutos.
c) maior que 15 minutos mas menor que 1 hora.
d) superior a 1 hora.
3) (PUC-MG) Sabe-se que a população de certa
cidade cresce exponencialmente de acordo com
a função p = f(t) do gráfico abaixo, onde t é o
tempo em anos e p, a população em milhares
de habitantes. De acordo com as informações
desse gráfico, o valor aproximado de t, para que
se tenha p = 160, é:
a) 16
b) 20
c) 24
d) 28
e) 32
4) (PUC-MG)Apopulação de uma cidade é dada pela
equação y = 250 . 1,02x, em que y é a população
em milhares de habitantes e x é o tempo, em
anos, contado a partir de janeiro de 1997.Onúmero
prováveldehabitantesdessacidade, em janeiro do
ano 2000, seria aproximadamente:
a) 250.000 d) 265.000
b) 255.000 e) 270.000
c) 260.000
5) (PUC-MG) Considere as funções f( x ) = 3 x e
g ( x ) = x2 + x . A soma das raízes da equação
f( g(x) ) = 9 é:
a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2
6) (UFOP-MG) O valor de x que satisfaz a equação
seguinte é um número: 4x - 15 . 2x - 16 = 0
a) ímpar d) primo
b) irracional e) par
c) negativo
7) (N.Paiva-MG) Considere a equação exponencial
2k + 2-k = 3k, onde k é um número real. Os
valores de k para os quais a equação exponencial
admite raízes reais são:
a)
b)
c)
d)
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4949494949Matemática - M2
8) (Univ. Itaúna-MG) O par (x , y) é solução do sistema
. O valor de é :
a) 2/5 b) 1/5 c) 3/5 d) 4/5
9) (FAFEOD-MG) O domínio da função
é:
a) b) R_ c) R+ d) e) R
10) (UFJF-MG) O conjunto solução, em R, da inequação
é:
a) d)
b) e)
c)
11) (PUC-MG) O par ordenado (-1,5) pertence ao
gráfico da função f(x)= a x. O valor de f (1) é:
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
12) (FMTM-MG) Seja a o menor número real que é
solução da equação . Pode-se
afirmar que é um número:
a) natural d) complexo
b) primo e) divisível por 5
c) irracional
13) (Fund. João Pinheiro-MG) Certo fenômeno é regido
pela lei f(x) = a .10b.x. Sabe-se que
f(0) = 0,01 e f(1) = 10.000. Nesse caso, o quociente
b/a deve ser igual a:
a) 400 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800
14) (UFOP-MG) A soma das raízes da equação
9x + 81 = 3x . 30 é:
a) 1 c) 27/28 e) 30
b) 81/28 d) 4
15) (FCMMG) Suponha que a temperatura de um corpo,
colocado num instante t = 0 em um meio mais frio,
obedeça à seguinte lei: T(t) - A = B.e -k.t, em que A
é a temperatura do meio ambiente, T(t) é a
temperatura do corpo no instante t, B e K são
constantes e e é aproximadamente 2,7. Suponha
ainda que no instante t = 0 o corpo tenha
temperatura de 36,5 °C, e que este se encontre
em uma sala mantida a 20 °C.
O valor de B é:
a) 16,5 °C c) 36,5 °C
b) 28,25 °C d) 56,5 °C
16) (Fac. Milton Campos-MG) Se a é raiz da equação
, então é igual a:
a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 3/2
17) (Fund. João Pinheiro-MG) Uma população, a partir
de 1995, tem a seguinte lei de formação:
Estima-se que, em certo ano, essa mesma
população será 32 vezes a de 1995.
Assim sendo, esse ano seria:
a) 1998
b) 1999
c) 2000
d) 2002
e) 2004
18) (CEFET-MG) O ponto de interseção das curvas
é:
a) (-1,0) c) (0,1) e) (1,1)
b) (0,-1) d) (1,0)
19) UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, está representado o gráfico da função
f(x) = b x , b > 0.
Se , a única afirmativa VERDA-
DEIRA sobre o valor de b é:
a) d) 1 < b < 4
b) e) 4 < b < 9
c)
20) (PUC-MG) O número de raízes reais da equação
é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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5050505050 Matemática - M2
LOGARITMO
1) (UFMG) Seja . Nesse caso,
o valor de y é:
a) 35 b) 56 c) 49 d) 70
2) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, os pontos B e C estão sobre o
gráfico da função ; os pontosAe D têm
abscissas iguais a 8/3 e 12, respectivamente, e
os segmentos AB e CD são paralelos ao eixo y.
Então, a área do trapézio ABCD é:
a) 64/3 b) 70/3 c) 74/3 d) 80/3
3) (UNA-MG) A calculadora de um aluno possui a
tecla ln e não possui a tecla log. Ele deseja
calcular log 2 em sua máquina. Para tal ele deve:
a) calcular ln 2 , calcular ln 10 e somar o primeiro
com o segundo.
b) calcular ln 2 , calcular ln 10 e subtrair o
primeiro do segundo .
c) calcular ln 2 , calcular ln 10 e multiplicar o
primeiro pelo segundo .
d) calcular ln 2 , calcular ln 10 e dividir o primeiro
pelo segundo.
Fazendo a correspondência entre as funções e os
gráficos, assinale, dentre as alternativas abaixo, a
seqüência correta:
a) I-B , II-D , III-A , IV-C
b) I-A , II-D , III-C , IV-B
c) I-A , II-B , III-C , IV-D
d) I-C , II-B , III-A , IV-D
e) I-B , II-C , III-D , IV-A
5) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere a,b,c, três
números positivos tais que e
. Nessas condições, log bc é igual a:
a) –6,8 b) –2,2 c) –2,4 d) 2,5 e) 6,6
6) (PUC-MG) Se log4 (x + 2) + log2 (x + 2) = 3, o valor
de x é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
7) (UNIMONTES-MG) Hoje, graças ao aprimoramento
das técnicas de previsão, podemos responder a
questões como: quantos habitantes há no nosso
planeta ?; em que ano a população de um determi-
nado estado, país ou continente estará duplicada?.
A população de um continente cresce de acordo
com a equação P(t) = P0 . eit, onde P0 é a
população no instante em que se inicia a contagem,
t é dado em anos e i é a taxa de crescimento anual
da população.
Sabendo que loge2 = 0,693 e que a população do
nosso continente cresce à taxa de 3,5% ao ano,
então ela se duplica depois de:
a) 19,8 anos c) 0,198 anos
b) 1,98 anos d) 0,0198 anos
8) (FAFEOD-MG) Na tabela abaixo, estão discriminados
cinco números reais e seus respectivos logaritmos
decimais:
4) (UNA-MG) Considere as seguintes funções reais
e os seguintes gráficos:
( A )
( C )
( B )
( D )
(I) f(x) = 5x (II) f(x) = (III) f(x) = (IV) f(x) = log x
Analise as seguintes alternativas:
I. a . b= 10
II. b2 – r = 0
III. os números a e r são menores que 1
IV. c > d
V. 2,5 ≤ a . b . c . d . r ≤ 10
Número Logaritmo Decimal
a 0,699
b 0,301
c 0,477
d 0,431
r 0,602
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5151515151Matemática - M2
Assinale a alternativa CORRETA:
a) todas as afirmativas são falsas.
b) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras.
c) apenas as afirmativas III e V são falsas.
d) todas as afirmativas são verdadeiras.
9) (UNI-BH) O intervalo que NÃO está contido no con-
junto solução da inequação log
2
x - 1 5 < log
2
x - 1 2 é:
a) [ ,1 [ b) ] -1, ] c) ] 0,1 [ d) ] [
10) (Fund. João Pinheiro-MG) O montante M de um
capital C aplicado à taxa de i% ao mês, durante n
meses consecutivos, é dado pela fórmula
M = C (1 + i)n.
A partir dessa fórmula e utilizando-se logaritmos,
obtém-se para n a expressão:
a)
b)
c)
d)
e)
11) (Itaúna-MG) Sendo e y = log3 = , o
valor de –x2 y é:
a) –3 b) –2 c) 4 d) 2
12) (PUC-MG) Se , o valor de
p é:
a) n b) 10n c) 10n d) n10 e) n/10
13) (CEFET-MG) Sabendo que loga3 = x, logb3-5 = y e
que b = a4, pode-se afirmar que:
a) 4x = -5y d) 5x = -4y
b) x = -5y e) 20x = -y
c) x = -20y
14) (PUC-MG) A raiz quadrada de é:
a) p d) 4p
b) 2p e) 5p
c) 3p
15) (PUC-MG) O valor de N = log2 25 - log2 100 é:
a) –6 b) –5 c) –4 d) –3 e) –2
16) (PUC-MG) Sabe-se que y é um número positivo e
que . O valor de y é:
a)
b)
c)
d)
17) (UFLA-MG) O valor de x na expressão
é:
a) log 2
b) 0
c) 2
d) log 8
e) –3
18) (CEFET-MG) O valor de y que satisfaz a equação
é:
a) 3 b) 9 c) 18 d) 30 e) 54
19) (UFLA-MG) Sabendo-se que logx a = 2, logx b = 3
e logx c = 5, com a, b, c > 0 e 0 < x ≠ 1, então
a expressão vale:
a) 10 b) 5 c) 0 d) -5 e) -10
20) (PUC-MG) A raiz da equação é:
a)
b)
c)
d)
e)
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5252525252 Matemática - M2
POLINÔMIOS
1) (PUC-MG) A igualdade a ( x + 2 ) + b ( x – 1 ) = 3 é verificada para qualquer valor de x. O valor do número
b é:
a) –1 b) –1/2 c) 1/2 d) 1 e) 2
2) (IH-MG) Dada a igualdade , com , o valor de A – B é:
a) –3 b) –2 c) 1 d) 3 e) 4
3) (UFMG) Considere os polinômios e ,
em que a, b, c e d são números reais. Sabe-se que P(x) = Q(x) para todo x Î R. Assim sendo, o número
d é igual a:
a) 1/8 b) 2/3 c) 4/5 d) 3
4) (UFJF-MG) Ao dividirmos um polinômio p(x) por outro polinômio q(x) encontramos um resto r(x) = x – 1.
É CORRETO afirmar que:
a) o grau de p(x) é igual a 2. c) o grau de q(x) é maior que 1.
b) o grau de q(x) é igual a 2. d) o grau de p(x) é igual a1.
5) (PUC-MG) O polinômio P(x)= x 3 – 4x 2 + 5x + m – 3 , é divisível por x + 1.
O valor de m é:
a) 1 b) 13 c) 4 d) 14 e) 22
6) (FMTM-MG) Dividindo-se o polinômio P(x) por 3x – 2 obtém-se quociente Q(x)= x 2 – 2x + 5 e resto r.
Se P(2) = 20 , então o valor de r é:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 20
7(PUC-MG) Sendo , nota-se que P ( 1 ) = Q ( 1 ) = 0. A
forma mais simples da fração é:
a) b) c) d) e)
8) (UFMG) Sejam , onde Q (2) = 0. O resto da divisão de Q( x ) por
P( x ) é:
a) –x –2 b) 9x – 18 c) x + 2 d) 0 e) –9x + 18
9) (FAFEOD-MG) Considere os polinômios, P(x) = 5x5 + ax3 + bx2 + 3x + 250, Q(x) = x-2 e
T(x) = 5x4 +cx3 + dx2 + kx + 375, sendo a, b, c, d e k constantes reais. Se o quociente da divisão de P(x)
por Q(x) é T(x), então o resto dessa divisão é igual a:
a) –850 b) –500 c) 750 d) 1.000
10) (PUC-MG) O polinômio P ( x ) = x 3 + x 2 – 10x + 8 é tal que P ( a ) = P ( b ) = P ( 2 ) sendo a > b. O valor
de a – b é:
a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 11
11) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x + 4. O valor de
a + b + c + d é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
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5353535353Matemática - M2
12) (PUC-MG) O valor de B na identidade 4x + 1 = A (2x + 3) + B é:
a) –5 b) –4 c) –3 d) –2 e) –1
13) (UFMG) Sejam A e B números reais que satisfazem à igualdade
para todo valor de x que não anula nenhum dos denominadores.
A soma A + B é:
a) –1 b) c) 0 d) e)
14) (UFJF-MG) O polinômio p(x), quando dividido por x3 + 1, fornece o resto x2 – 2. O resto da divisão de p(x)
por x + 1 é:
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
15) (Fac. N.Paiva-MG) Considere os polinômios A(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + ax + b e B(x) = x 2 - 1. Suponha que
A(x) seja divisível por B(x). Então, é correto afirmar:
a) a + b = 6
b) A soma dos coeficientes de [B(x)]2 é 4.
c) a – b = 4
d) a2 + b2 = 20
e) 2a + b = 0
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1) (UNIMONTES-MG) Considere E={ 1,2,3 } e F={ 1,2,3,4,5 }.O número de funções injetoras de E em F é:
a) 15 b) 60 c) 20 d) 125
2) (FCMMG) Observe a figura.
Nela está representada a planta de um cômodo
contendo 3 portas na primeira parede, 5 na segunda e
4 na terceira.
Uma pessoa deseja chegar ao ponto B, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portas
indicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é:
a) 11 b) 23 c) 32 d) 60
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5454545454 Matemática - M2
3) (FMTM-MG) Os clientes de um banco devem
escolher uma senha, formada de 4 algarismos
de 0 a 9 de maneira que não haja algarismos
repetidos em duas posições consecutivas. As
senhas 0780 e 1212, por exemplo, são possíveis,
enquanto que as senhas 7228 e 1169 não são. O
número de senhas válidas é:
a) 5.040 c) 8.100 e) 10.000
b) 7.290 d) 9.000
4) (Fund. João Pinheiro-MG) Em um torneio de tênis
de mesa, havia 11 participantes. Cada um deles
jogou uma única vez com os demais.
Portanto, ao final do torneio, foram disputados
a) 11 jogos c) 44 jogos e) 66 jogos
b) 22 jogos d) 55 jogos
5) (UEMG) Um homem, vistoriando seu guarda-
roupa, percebeu que o número de calças é o
triplo do número de camisas. Sabendo-se que,
com as peças de roupas do guarda-roupa, ele
consegue fazer 147 combinações do tipo calça
e camisa, é CORRETO afirmar que o total de
peças de roupas, entre calças e camisas
existentes no guarda-roupa é:
a) 32 b) 29 c) 28 d) 24
6) (Univ. Itaúna-MG) Se A n . 3 = 4C n . 2 , então o
valor de n ! é:
a) 3 b) 2 c) 6 d) 24
7) (PUC-MG) A expressão , quando
simplificada, resulta em:
a) n+1 b) n+2 c) n+3 d) n e) 2n
8) (UFLA-MG) Um banco adotou para os seus
clientes um sistema de senhas de quatro letras,
permitindo-se a repetição de letras (por exemplo:
gbbm, aaaa, ddde). Como o alfabeto tem 26
letras, o número de senhas diferentes neste
sistema é:
a) .
b) permutação de 26 elementos.
c) arranjo simples de 26 elementos tomados
quatro a quatro.
d) 264.
e) combinação de 26 elementos tomados quatro
a quatro.
9) (UFMG) Formam-se comissões de três
professores escolhidos entre os sete de uma
escola.
O número de comissões distintas que podem,
assim, ser formadas é:
a) 35 b) 45 c) 210 d) 73 e) 7 !
10) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana
de Cinema. Para isso, os organizadores
escolhem sete filmes, que serão exibidos um por
dia. Porém, ao elaborar a programação, eles
decidem que três desses filmes, que são de
ficção científica, devem ser exibidos em dias
consecutivos.
Nesse caso, o número de maneiras diferentes
de se fazer a programação dessa semana é:
a) 144
b) 576
c) 720
d) 1.040
11) (CEFET-MG)Aquantidade de números ímpares
de três algarismos distintos que se pode formar
com os números 2, 3, 5, 6, 7 e 8 é:
a) 15 b) 30 c) 60 d) 120 e) 360
12) (PUC-MG) Uma jarra cilíndrica deve ser pintada
com três faixas de cores diferentes usando as
tintas disponíveis verde, vermelha, amarela, azul
e preta. O número de jarras que se pode pintar,
com padronagens diferentes é:
a) 120
b) 100
c) 90
d) 70
e) 60
13) (UNI-BH) Em uma sala de aula há 20 alunos,
sendo 11 homens e 9 mulheres. Elegeu-se um
homem como representante de turma e uma
mulher para vice-representante. O número de
possíveis chapas vencedoras é:
a) menor que 100.
b) maior que 100 e menor que 1.000.
c) maior que 1.000 e menor que 10.000.
d) maior que 10.000.
14) (PUC-MG) Em um campeonato de futebol, cada
um dos 24 times disputantes joga contra todos
os outros uma única vez. O número total de jogos
desse campeonato é:
a) 48 b) 96 c) 164 d) 276
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5555555555Matemática - M2
15) (Fund. João Pinheiro) Uma escola de computação
oferece aos alunos seis cursos básicos e cinco
cursos de extensão. Pelo total cobrado, cada
aluno tem direito a fazer um pacote de sete
cursos, dos quais, no mínimo, quatro têm que
ser básicos.
Nesse caso, o número total de pacotes distintos
de cursos disponíveis aos alunos é:
a) 140 b) 168 c) 210 d) 215 e) 840
16) (Fac. Newton Paiva-MG) Seja
. O número de frações diferentes de
1 que se podem formar com os elementos de A
é:
a) 42 b) 56 c) 82 d) 84 e) 112
17) (FCMMG) Um laboratório dispõe de 5
camundongos machos e n fêmeas. Se existem
360 maneiras de selecionar dois machos e duas
fêmeas para uma experiência, o número n é
igual a:
a) 6 b) 9 c) 10 d) 12
18) (FMTM-MG) O primeiro robô resultado de filmes
de ficção científica chamava-se “TOBOR”, nome
este originado pela inversão da palavra “ROBOT”.
Seguindo os princípios da contagem, o número
de anagramas distintos, utilizando as cinco letras
que formam estas palavras, é:
a) 30 b) 40 c) 60 d) 120 e) 240
19) (FMTM-MG) Em uma festa de aniversário havia
n pessoas. Cada uma cumprimentou as outras
com um aperto de mão. Sabendo-se que houve
ao todo 45 apertos de mão, pode-se afirmar que:
a) n é um número primo.
b) n é um número ímpar.
c) n é divisor de 15.
d) n é divisor de 5.
e) n é múltiplo de 5.
20) (UFJF-MG) O conjunto X tem 4 elementos e o
conjunto Y tem 7 elementos. O número de
funções f : X ® Y que se pode definir é:
a) 24 c) 840 e) 16.384
b) 28 d) 2.401
BINÔMIO DE NEWTON
1) (IH-MG) No binômio , o termo
independente de x é:
a) –30240 c) 45 e) 30240
b) -252 d) 252
2) (UNI-BH) O termo central do binômio
é:
a) 20 b) 8x3 c) d) 540x-3
3) (UFU-MG) O termo racional no desenvolvimento
de é:
a) 350 c) 1.400 e) 54
b) 64 d) 700
4) (UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do
desenvolvimento do binômio de Newton
(x + a)11 igual a 1.386x5 , o valor de a deve ser:
a) c) e)
b) d) 3
5) (UNIFOR-CE) O número natural n que é solução
da equação é:
a) primo. d) quadrado perfeito.
b) divisível por 2. e) maior que 20.
c) múltiplo de 3.
6)(UNI-BH)Osvaloresdexqueverificamaidentidade
são:
a) 0 ou 10 d) 1
b) –2 ou –1/2 e) 1 ou 13/3
c) –2 ou 10/3
7) (PUC-MG) O 6º termo no desenvolvimento do
binômio segundo as potências
decrescentes de x, é se, e somente se, k
for igual a:
a) 6 b) 4 c) 2 d) 1/2 e) 1/4
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8) (UFV-MG) O coeficiente do termo independente de x, no desenvolvimento de para x ≠ 0, é:
a) 28 b) 56 c) 3 d) 0 e) 36
MATRIZ
1) (PUC-MG) Considere as matrizes .
O valor de n é:
a) 3 b) 4 c) 8 d) 14 e) 22
2) (PUC-MG)Considere as matrizes .
O valor de p é:
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
3) (UFLA-MG) Seja A={ a i j } uma matriz 3x3 dada por . A matriz pode ser escrita como:
a) b) c) d) e)
4) (Fac. M.Campos-MG) A soma dos elementos da segunda linha da matriz M = (a ij)3 x 2
definida por é igual a:
a) 4 b) 2 c) 0 d) –2
5) (PUC-MG) A matriz é quadrada de ordem 3 e . O valor de é:
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
6) (PUC-MG) Considere as matrizes e M = AB + 3C.
A matriz M é igual a:
a) b) c) d) e)
7) (PUC-MG) A matriz inversa de é:
a) b) c) d) e)
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8) (UNA-MG) Na matriz A2x2 temos que o elemento aij = i + 2j. A matriz A2 vale:
a) b) c) d)
9) (UNA-MG) Uma revendedora comercializa 4 produtos e possui 4 filiais. Na matriz
o elemento que está na linha i e coluna j representa o estoque do produto i na filial j , por exemplo , existem
14 unidades do produto 1 na filial 4. A filial que possui maior estoque do produto 2 é a:
a) filial 1 b) filial 2 c) filial 3 d) filial 4
10) (PUC-MG) A matriz é a inversa de .
O valor do número real b é:
a) –1 b) 1/4 c) 1/2 d) 1 e) 2
11) (PUC-MG) Se então xy é igual a:
a) –6 b) –5 c) –1 d) 1 e) 6
12) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere a matriz A = (aij) tal que a11 = -1, a12 = 1, a21= 1 e a22 = .
Nessas condições, a soma de todos os elementos da inversa da matriz A deve ser igual a:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
13) (UFJF-MG) Três vereadores foram designados para compor a Comissão de Orçamento do Município
para o ano de 1994. Eles devem escolher entre si o presidente para a referida comissão, sendo que cada
vereador pode votar em até dois nomes. Cada um recebeu um número de um a três e os votos foram
tabulados conforme a matriz A, dada a seguir.
Então, o número do candidato mais votado e o número de candidatos que votaram em si mesmos são,
respectivamente:
a) 1 e 3 b) 2 e 2 c) 3 e 1 d) 2 e 3 e) 3 e 2
14) (UFV-MG) Seja a equação matricial A.B + X = Ct onde Ct é a matriz transposta de C. Se A e B são
matrizes de tipos 3x4 e 4x2, respectivamente, então para que exista uma matriz X, solução da equação, a
matriz C deve ser do tipo:
a) 2x3 b) 2x4 c) 3x2 d) 3x3 e) 3x4
15) (UNA-MG) Sejam . Se AX = B, então X é:
a) b) c) d) e)
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DETERMINANTE
1) (CEFET-MG) O valor do determinante é:
a) –11 b) –1 c) 0 d) 1 e) 11
2) (UNI-BH) Sabendo-se que , o determinante da matriz é:
a) b) 3x c) 9x d) 27x
3) (PUC-MG) Considere o triângulo retângulo de vértices V1 , V2
, V3 da figura .
O determinante da matrizA= (aij)3x3 em que aij = distância Vi
Vj, é igual a:
a) 0 c) e)
b) d)
4) (UFJF-MG) Sendo , então podemos afirmar que:
a) X é uma matriz quadrada de ordem 4.
b) X é uma matriz diagonal.
c)
d) o determinante do dobro da matriz X é o dobro do determinante da matriz X.
e) a matriz inversa de X é .
5) (UFLA-MG) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 6, qual o valor de
x na equação det (2 A-1 . At) = 4x ?
a) 72 b) 18 c) 12 d) 2 e) 1/2
6) (UFOP-MG) Sendo a matriz , onde , podemos afirmar que o determinante
de M é:
a) xy b) 2xy c) d) e)
7) (UNI-BH) Se , então o determinante de A . Bt, onde Bt é a transposta de B, vale:
a) –16 b) –15 c) 15 d) 16
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8) (UFV-MG) Considerando a matriz , o valor do determinante da matriz B = A2 é:
a) (x2 + y2)2 b) y4 – x4 c) (y2 – x2)2 – 4x2y2 d) (y2 – x2)2 e) y4 + x4
9) (PUC-MG) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A = 5 e , então, podemos
afirmar que det B é:
a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10
10) (CEFET-MG) Sabendo-se que o valor do número real 2a – 3b2 será:
a) –89 b) –61 c) –81 d) –69 e) 81
SISTEMAS LINEARES
1) (CEFET-MG) Se o sistema tem solução única, então:
a) 2mn b) m - 2n c) m - 2n = 0 d) m + 2n = 0 e) m + 2n
2) (Fund. João Pinheiro – MG)
O sistema , nas variáveis x e y, é indeterminado.
Nesse caso, a diferença m – n é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3) (UNIMONTES-MG)
O sistema linear cujas equações são planos paralelos distintos, é classificado, quanto
ao número de soluções, como sendo:
a) inadequado para análise. c) possível e indeterminado.
b) possível e determinado. d) impossível.
4) (UFJF-MG) Faz-se um primeiro e um segundo lançamento consecutivo de um dado de forma a escolher,
respectivamente, os parâmetros a e b para o sistema .Aprobabilidade de o sistema obtido ser
indeterminado é:
a) 1/12 b) 1/6 c) 1/4 d) 2/3
5) (ESPCEX) O sistema
admite mais de uma solução se, e somente se:
a) k = 7/6 b) k = 7/5 ou k = 2 c) k = 7 ou k = - 2 d) k = 2/3 ou k = 1/2 e) k = 0
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6) (ESPCEX) A soma das soluções do sistema é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
7) (FDV-ES) Pedro, Maria e Rogério saíram pelo trânsito da cidade, arrecadando dinheiro para a festa de
formatura da turma. No final do dia, juntos, eles somaram R$ 150,00. Quando souberam que a festa estava
cancelada, os três resolveram dividir igualmente o dinheiro arrecadado. Dessa forma, Pedro ficou com o
dobro do que arrecadou, Maria com R$ 5,00 a menos do que arrecadou e Rogério com R$ 20,00 a menos
do que arrecadou. Pedro, Maria e Rogério arrecadaram, em reais, respectivamente:
a) 25, 45 e 80 b) 30, 50 e 70 c) 50, 25 e 75 d) 50, 45 e 55 e) 25, 55, e 70
8) (UERJ) Observe os pesos P1, P2 e P3 que possuem, cada um, uma quantidade inteira em kg.
Colocando-se um, dois ou os três pesos em um mesmo
prato de uma balança, pode-se equilibrar, no outro, 1, 2, 3,
4, 5, 6 ou, no máximo, 7 kg de batatas.
Entre P1, P2 e P3, o mais pesado mede, em kg:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 9
9) (MACK-SP) A soma de todos os valores de k, para os quais o sistema tem mais de uma
solução, é:
a) 10 b) 14 c) 18 d) 12 e) 20
10) (UFU-MG) Estudando o sistema linear verificamos que ele é:
a) homogêneo indeterminado. d) impossível e indeterminado.
b) possível e determinado. e) impossível e determinado.
c) possível e indeterminado.
11) (UFJF-MG) Um sistema linear homogêneo com m equações lineares e n incógnitas:
a) é sempre possível. d) nem sempre é possível.
b) é possível somente quando m < n. e) é possível somente quando m > n.
c) é possível somente quando m = n.
12) (PUC-MG) O par ordenado (a,b) é solução do sistema valor de é:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
13) (UNA-MG) O valor de m de modo que (2,-1) seja solução do sistema é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) d
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14) (PUC-MG) O sistema é indeterminado. O valor de a + b é:
a) –3 b) –2 c) –1 d) 1 e) 2
15) (Fac. Milton Campos) O sistema não tem solução quando m é igual a:
a) –2 b) 3 c) 1 d) 2 e) –3
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1) (PUC-MG) O centésimo primeiro termo da seqüência ( -3, -1, 1, 3, ...) é igual a:
a) 197 b) 203 c) 213 d) 215 e) 217
2) (Fund. João Pinheiro-MG) Paguei uma dívida durante 14 meses consecutivos, desta forma: no primeiro
mês, R$ 350,00; no segundo, R$ 400,00; no terceiro, R$ 450,00 e assim sucessivamente, ou seja, a cada
mês, paguei R$ 50,00 a mais do que no mês anterior.
Então, o valor total da dívida que paguei foi:
a) R$ 9.450,00 d) R$ 9.650,00
b) R$ 9.540,00 e) R$ 9.660,00
c) R$ 9.560,00
3) (N. Paiva – MG) Sabendo-se que, em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 1, o último termo é n2,
e são inseridos outros n termos, pode-se dizer que a razão da P.A será uma função de n, na forma:
a) n – 1 b) n2 + 1 c) n + 1 d) n2 – 1
4) (ITA-SP) O valor de n que torna a seqüência 2 + 3n, -5n, 1 – 4n, uma progressão aritmética pertence ao
intervalo:
a) [-2, -1] b) [-1, 0] c) [0,1] d) [1, 2] e) [2, 3]
5) (PUC-MG) O trigésimo primeiro termo da progressão geométrica é igual a 2k. O valor de k
é:
a) –14,0 b) –14,5 c) –15,0 d) –15,5 e) –16,0
6) (Provão) Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores da população a cada ano formam
uma progressão:
a) geométrica de razão 1,2. d) aritmética de razão 1,02.
b) geométrica de razão 1,02. e) aritmética de razão 0,02.
c) geométrica de razão 0,02.
7) (UFLA-MG) Sabendo-se que os números a0, a1, 75, a3 e 1875 estão em progressão geométrica, o valor de
a3 é:
a) 100 b) 1.500 c) 225 d) 375 e) 1.125
8) (PUC-MG) O valor de x que verifica a equação é:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 28
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6262626262 Matemática - M2
9) (UFOP-MG) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 – 5, que formam, por
sua vez, uma progressão aritmética, nessa ordem .O perímetro do triângulo mede:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 24
10) (FMTM-MG) Na progressão geométrica (3logx, 3logy, 3logz) , sendo x , y e z números reais positivos, o
valor de y é:
a) x + z d) x . z
b) x – z e)
c)
11) (Unimontes – MG) Uma Progressão Harmônica é uma seqüência de números tais que seus inversos
formam uma Progressão Aritmética. O segundo, terceiro e quarto termos de uma Progressão Harmônica
são 2, 3 e 6, respectivamente. A soma dos quatro primeiros termos da Progressão Harmônica é:
a) 11 b) 25 c) 5/3 d) 25/2
12) (N. Paiva – MG) Um professor de matemática que amava igualmente a literatura descobriu que reunia em
sua biblioteca particular 70 autores diversos, entre prosadores e poetas. Denotando por A o conjunto dos
poetas e por B o conjunto dos prosadores, ele verificou que as quantidades A – B , A Ç B e B – A
constituíam uma progressão geométrica. Sabendo-se que, do conjunto dos poetas, apenas 10 nunca
haviam escrito obra em prosa, quantos autores escreviam prosa e poesia?
a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 35
13) (UFV-MG) Usando-se um conta gotas , um produto químico é misturado a uma quantidade de água da
seguinte forma : a mistura é feita em intervalos regulares , sendo que no primeiro intervalo são colocadas
4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior.
Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à
água é:
a) 1100 c) 1600 e) 1200
b) 1300 d) 900
14) (UFOP-MG) Três polígonos têm o número de lados definidos em P.A de razão 3. Sabe-se que a soma de
todos os ângulos internos desses polígonos é 3240°. O número de lados de cada polígono é,
respectivamente:
a) 4 , 7 , 10
b) 9 , 12 , 15
c) 3 , 6 , 9
d) 5 , 8 , 11
e) 6 . 9 . 12
15) (UFOP) A figura mostra um triângulo retângulo cujos lados formam uma P.G. de razão q.
Então a razão q vale:
a) d)
b) e)
c)
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6363636363Matemática - M2
PRISMA
6) (PUC-MG) A figura representa uma caixa com
tampa e que tem a forma de um paralelepípedo
retângulo de base quadrada com lado medindo
x; a altura da caixa mede y, e sua área total mede
100 m2.Afunção que expressa o volume V dessa
caixa, em função de x, é:
a)
b)
c)
d)
e)
7) (ESPCEX) Uma piscina em forma de
paralelepípedo retângulo tem largura de 6 metros,
diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da
face que contém o comprimento igual a
metros. Para enchê-la com água será utilizado
um caminhão tanque com capacidade de 6 000
litros. O número de cargas completas , desse
mesmo caminhão , necessárias para que a
piscina fique completamente cheia é:
a) 24 b) 28 c) 32 d) 54 e) 80
8) (PUC-MG) Na figura , o cubo tem aresta de 4 cm
e BP = 2 cm está sobre o prolongamento da
aresta AB. A medida do segmento PG , em
centímetros , é:
a) 6
b)
c)
d)
e) 8
9) (UNA-MG) Uma piscina olímpica possui a forma
de um prisma reto de base retangular de 50 m de
comprimento, por 25 m de largura, por 2 m de
profundidade. O número de litros de água
necessários para enchê-la totalmente é:
a) 2,5 x 102 c) 2,5 x 105
b) 2,5 x 103 d) 2,5 x 106
1) (FMTM-MG) Se a área da base de um prisma
aumenta 20% e a altura diminui 10%, seu volume:
a) aumenta 8% d) diminui 8%
b) aumenta 10% e) diminui 10%
c) aumenta 108%
2) (CEFET-MG) Se as áreas das faces de um
paralelepípedo retângulo medem 6 cm2, 9 cm2
e 24 cm2 , então o volume desse paralelepípedo,
em cm3, é:
a) d) 39
b) e) 1296
c) 36
3) (CEFET-MG) Um tanque na forma de um
paralelepípedo retângulo tem por base um
retângulo de lados 0,8 m e 1,2 m. Se um objeto
é mergulhado totalmente nesse tanque e faz o
nível da água subir 0,075 m , então o volume do
objeto, em m3, é:
a) 0,066 d) 0,600
b) 0,072 e) 1,000
c) 0,096
4)(UNI-BH)Deumparalelepípedoconhecem-seduas
das suas dimensões, 3 cm e 4 cm , e a diagonal,
cm. A dimensão desconhecida é, em
centímetros:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
5) (UEMG) Uma piscina tem a forma do sólido,
conforme a figura. Sendo suas medidas dadas
em metros, pode-se afirmar que a capacidade
dessa piscina, em litros, é de:
a) 55.000 c) 72.000
b) 58.000 d) 92.000
MATEMÁTICA II
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6464646464 Matemática - M2
10) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1
são:
a) 1 e b) 1, e 2 c) 1, e d) 1, e 3
11) (UFLA-MG) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de
0,375 m3. A aresta, medida em metros, é igual à raiz cúbica de:
a) 1 b) 1/3 c) d) e) 1/2
12) (UFOP-MG) Uma caixa d’água, em forma de paralelepípedo retângulo, tem dimensões de 1,8m, 15 dm e 80
cm. Sua capacidade é:
a) 2,16 L
b) 21,6 L
c) 216 L
d) 1080 L
e) 2.160 L
13) (UbNESP) Se um tijolo, dos usados em construção, pesa 4 kg, então um tijolinho de brinquedo feito do
mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará:
a) 62,5 g
b) 250 g
c) 400 g
d) 500 g
e) 1.000 g
14) (UFPA) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta a. Se o volume do
cubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede:
a)
b)
c)
d)
e)
15) (UFLA-MG) De um prisma retangular reto recorta-se um outro prisma retangular reto, cujas dimensões
valem exatamente a metade das medidas das dimensões do sólido inicial. Assim o volume do prisma
menor representa uma porcentagem do volume do prisma maior. Essa porcentagem é de:
a) 12,5%
b) 0,125%
c) 1,25%
d) 50%
e) 5%
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Matemática - Módulo 02

  • 1. 1 cor preto Matemática Matemática I Função Exponencial .............................................. 3 Logaritmo ............................................................... 7 Polinômios ............................................................11 Análise Combinatória........................................... 15 Binômio de Newton.............................................. 19 Matriz ................................................................... 23 Determinante ....................................................... 27 Sistemas Lineares ............................................... 30 Progressão Aritmética e Progressão Geométrica....................................... 34 Matemática II Geometria Espacial ............................................. 38 I - Prisma.......................................................... 38 II - Pirâmide ...................................................... 40 III - Cilindro......................................................... 42 IV - Cone ............................................................ 43 V - Esfera .......................................................... 46 JOSÉ AUGUSTO DE MELO M2 Areproduçãoporqualquermeio,inteiraouemparte,venda, exposiçãoàvenda,aluguel,aquisição,ocultamento, empréstimo,trocaoumanutençãoemdepósitosem autorizaçãododetentordosdireitosautoraisécrimeprevisto noCódigoPenal,Artigo184,parágrafo1e2,com multaepenadereclusãode01a04anos.
  • 3. Tecnologia ITAPECURSOS 3 cor preto 33333Matemática - M2 FUNÇÃO EXPONENCIAL 1- DEFINIÇÃO Seja a um número real tal que a > 0 e a ≠ 1. Chamamos de função exponencial à função f : R → R+ definida por f(x) = ax Exemplos: a) f(x) = 3x b) f(x) = 2- GRÁFICO 1º caso: a > 1 ; a função é crescente * 2º caso: 0 < a < 1 ; a função é decrescente PROPRIEDADES P.1) Domínio = R Imagem = {y ∈ R : y > 0} P.2) A função exponencial, f(x) = ax não tem raiz. P.3) A interseção do gráfico de f(x) = ax com o eixo 0y é o ponto (0,1) P.4) A função exponencial é bijetora 1) (UFMG) A figura é um esboço do gráfico da função y = 2x. A ordenada do ponto P da abscissa é: Solução: Resp: e
  • 4. Tecnologia ITAPECURSOS 4 cor preto 44444 Matemática - M2 2) Uma colônia de bactérias tem, num certo instante (t0), 1500 bactérias. Observações subseqüentes revelaram que essa população dobrava sempre, em relação à observação imediatamente anterior. a) Qual a população de bactérias na 4ª observação após t0 ? b) Em que observação a colônia alcançou 375.255 bactérias? Solução: Não é difícil você concluir que o número de bactérias é dado por f(n) = 1500 . 2n , onde n é a observação realizada após t0 . a) Na 4ª observação, a população de bactérias é f(4) = 1500 . 24 ; f(4) = 24000. b) Queremos que f(n) = 375 . 255 ; 1500 . 2n = 375. 255 Resp: Na 53ª observação. 3- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS As condições impostas à base de uma função exponencial, a tornam uma função bijetora. Desse modo, se ax = ay , então x = y. Essa propriedade nos permite resolver uma série de equações cuja variável aparece no expoente, e por isso são chamadas de equações exponenciais. Para resolver uma equação exponencial, tente transformar a equação dada em uma outra eqüivalente, da forma ax = ay . Para isso use inicialmente as propriedades da potenciação. am . an = am+n am : an = am-n (am )n = am.n Caso isso não seja possível, utilize os artifícios dados nas questões comentadas a seguir. Observação: As equações redutíveis à forma ax = by com a ≠ b você aprenderá a resolver no capítulo sobre logaritmos. 1) Resolva a equação: 16x . 4x + 3 – 8x + 2 = 0 Solução: 16x . 4x + 3 - 8x + 2 ; 16x . 4x + 3 = 8x + 2 ( 24 )x . ( 22 )x + 3 = ( 23 )x + 2 ; 24x . 22x + 6 = 23x + 6 26x + 6 = 23x + 6 → 6x + 6 = 3x + 6 ; x = 0 Resp: x = 0 2) Resolva a equação: 2x + 2x + 1 – 2x + 2 + 2x – 1 = -8 Solução 2x + 2x . 2 – 2x . 22 + 2x . 2- 1 = - 8 ; 2x = 24 ; x = 4 Resp: x = 4
  • 5. Tecnologia ITAPECURSOS 5 cor preto 55555Matemática - M2 3) Resolva a equação: 32x + 1 + 5 . 3x = 2 Solução: 32x . 3 + 5 . 3x – 2 = 0; Como 32x = (3x)2 , se fizermos 3x = y obteremos: 3y2 + 5y – 2 = 0, cujas raízes são y = ou y = - 2 Para y = vem: 3x = 3- 1 ; x = -1 Para y = –2 vem: 3x = –2 (não admite solução) Resp: x = –1 4) Resolva a equação: 7x + 7x – 1 = 8x Solução: 7x + 7x 7- 1 = 8x ; 7x . ( 1 + ) = 8x ; x = 1 Resp: x = 1 5) (MACK–SP) O número de soluções distintas da equação 2x – 2–x = K, K real é: a) 2, qualquer que seja K d) 1, somente se K ≠ 0 b) 2, somente se K > 0 e) 0, somente se K < 0 c) 1, qualquer que seja K Solução: 2x – = K. Seja 2x = y . Então: y - = K ; y 2 – Ky – 1 = 0. Para essa equação ∆ = K2 + 4 > 0. Logo, ela tem duas raízes reais distintas. Além disso, o produto dessas raízes é –1 (relações de Girard). Então, uma delas é positiva e uma é negativa. Como a raiz negativa não fornece solução para x, a resposta correta é C. Resp: c 4- INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Nas condições impostas à base de uma função exponencial, temos: *Se a > 1, a função é crescente, portanto: ax > ay ↔ x > y ax < ay ↔ x < y *Se 0 < a < 1, a função é decrescente, e então: ax > ay ↔ x < y ax < ay ↔ x > y Resumindo: ao resolver uma inequação exponencial, proceda como nas equações, ou seja, iguale as ba- ses. Mas, ao comparar os expoentes, lembre–se: *Se a > 1, compare os expoentes, mantendo o sentido da desigualdade. *Se 0 < a < 1, ao comparar os expoentes, inverta o sentido da desigualdade.
  • 6. Tecnologia ITAPECURSOS 6 cor preto 66666 Matemática - M2 1) Resolva a inequação: Solução: Como a base é menor que 1, devemos ter: x2 + 2 ≤ 3x ; x2 – 3x + 2 ≤ 0 raízes: 1 e 2 diagrama: Solução: 1 ≤ x ≤ 2 2) Resolva a inequação: 3x + 2 + 3x + 1 – 3x > 33 Solução: 3x . 32 + 3x . 3 – 3x > 33 ; 3x . (9 + 3 – 1) > 33 3x . 11 > 33 ; 3x > 3 ; x > 1 Resp: x > 1 3) Resolva a inequação: x2x – 1 < x3 Solução: 1ª hipótese: x > 1 Nesse caso: 2x – 1 < 3 ; x < 2 A interseção com a condição x > 1 nos dá S1 = {x ∈ R : 1 < x < 2} 2ª hipótese: 0 < x < 1 Teremos 2x –1 > 3 ; x > 2 Como esses valores de x não pertencem a 0 < x < 1, nesse intervalo não temos nenhuma solução. Resp: S = {x ∈ R : 1 < x < 2} 4) (UF–VIÇOSA) Determine os valores de a para que a equação x2 + 2a . x + 1 = 0, admita raízes reais. Solução: Para a equação dada admitir raízes reais, D ≥ 0 . Logo 22a – 4 > 0 ; 22a ≥ 22 ; 2a ≥ 2 ; a ≥ 1
  • 7. Tecnologia ITAPECURSOS 7 cor preto 77777Matemática - M2 LOGARITMO 1- DEFINIÇÃO Seja a > 0 , a ≠ 1 e b > 0 . Chama–se logaritmo de b na base a ao número x = loga b tal que ax = b Em símbolos loga b = x ↔ ax = b Exemplos: a) log2 8 = 3, pois 23 = 8 b) log1/2 4 = –2, pois ( )–2 = 4 2- CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA a > 0 e a ≠ 1 Existe loga b se e somente se b > 0 3- BASES MAIS USADAS 3.1- LOGARITMO DECIMAL Utiliza a base 10. Convenciona-se que, ao omitir a base, seu valor é 10. Assim: log10 b = log b 3.2- LOGARITMO NATURAL Usa como base o número e (número de Euler). Anota–se por loge b ou l n b 4- PROPRIEDADES ELEMENTARES Decorrem imediatamente da definição as propriedades a seguir: a) loga a = 1 b) loga 1 = 0 c) loga am = m d) = b É claro que estamos admitindo a > 0, a ≠ 1 e b > 0. 5- PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Para a > 0, a ≠ 1 e b > 0, c > 0, temos P.1) loga (b . c) = loga b + loga c P.2) loga = loga b - loga c P.3) loga bm = m loga b , m ∈ R a → base b → logaritmando x → logaritmo
  • 8. Tecnologia ITAPECURSOS 8 cor preto 88888 Matemática - M2 1) Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule: a) log 18 b) log 15 Solução: a) log 18 = log (2.32 ) = log 2 + log32 = log 2 + 2 log 3 Portanto: log 18 = 0,30 + 2 . 0,47 log 18 = 1,24 b) log 15 = log (3.5) = log 3 + log 5 = log 3 + log ( ) Então: log 15 = log 3 + log 10 – log 2 log 15 = 0,47 + 1 – 0,30 ; log 15 = 1,17 2) (PUC–SP) São dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. Determine o número real x que satisfaz à equação: 4x - 1 = 1125 Solução: 4x - 1 = 1125 ; 22x – 2 = 32 . 53 e daí: log (22x – 2 ) = log (32 . 53 ) (2x – 2) . log 2 = 2 log 3 + 3 log 5 Mas log 5 = log ( ) = log 10 – log 2 = 1 – 0,30 = 0,70 Logo: (2x – 2) . 0,30 = 2 . 0,48 + 3 . 0,70 e daí: 2x – 2 = 10,2 ; x = 6,1 3) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log x. Sabe–se que AO = BC. Então, pode-se afirmar que: a) loga b = c b) a + b = c c) ac = b d) ab = c e) 10a + 10b = 10c Solução: Observe que: OA = log a ; OB = log b e OC = log c Mas BC = OC – OB ; logo BC = log c – log b. Como OA = BC, temos log a = log c – log b ; log a = log ; ab = c Resp: d
  • 9. Tecnologia ITAPECURSOS 9 cor preto 99999Matemática - M2 6 - MUDANÇA DE BASE Sejam a > 0 , a ≠ 1, c > 0 , c ≠ 1 e b > 0. Então loga b = Exemplos: a) log2 3 = b) log5 7 = ... Conseqüências: a) loga b = b) 7- EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Assim denominamos as equações que envolvem logaritmos. Para resolvê-las, tenha sempre em mente as condições de existência e procure reduzir a equação dada, usando as propriedades, à forma loga f(x) = loga g(x) ou à forma loga f(x) = b. No primeiro caso, lembre–se de que f(x) = g(x). E, no segundo caso, a definição dá que f(x) = ab . 1) Resolva a equação log(x – 2)(x + 4) = 2. Solução: Se você quiser, ache as condições de existência, depois resolva a equação e verifique quais raízes satisfa- zem às condições de existência. Aqui, no entanto, para economizar tempo, vamos resolver a equação e verificar por substituição direta quais raízes servem. log(x – 2) (x + 4) = 2 ↔ (x – 2)2 = x + 4 o que dá x2 – 5x = 0 cujas raízes são x = 0 e x = 5. Observe que o x = 0 faz a base valer –2, logo não serve. Já o 5 satisfaz às condições de existência e então: S = {5} 2) Resolva: log3(x2 – 1) = log3(x + 1). Solução: De log3 (x2 – 1) = log3 (x + 1) vem x2 – 1 = x + 1 ; x2 – x – 2 = 0, cujas raízes são 2 e -1. Dessas, apenas 2 serve. S = {2} 3) log2 2x – 3log2 x + 2 = 0 Solução: Observe que log2 2 x = (log2 x)2 . Seja então log2 x = y. A equação dada fica: y2 – 3y + 2 = 0, cujas raízes são y = 1 e y = 2. Se y = 1, vem : log2 x = 1 ; x = 2 Se y = 2, vem : log2 x = 2 ; x = 4 Como ambas as raízes servem, S = {2, 4}.
  • 10. Tecnologia ITAPECURSOS 10 cor preto 1010101010 Matemática - M2 4) Resolva a equação: log2 (3x –1) – log4 (x + 1) = Solução: Inicialmente, coloque todos os logaritmos numa mesma base. log2 (3x – 1) - log2 (3x – 1) - (tirando o m.m.c.) 2 log2 (3x – 1) – log2 (x + 1) = 1 ; log2 ; 9x2 – 8x – 1 = 0 cujas raízes são 1 e - . Porém – não convém. Logo, S = {1} 8- INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Se a > 1 Se 0 < a < 1 Atenção: Não se esqueça de calcular o domínio da inequação. 1) Resolva a inequação: log1/2 (x – 1) > log1/2 (2x + 3). Solução: a) Condição de existência b) Resolução da inequação log1/2 (x – 1) > log1/2 (2x + 3) → x – 1 < 2x + 3 ; x > - 4 c) Resposta final: é obtida fazendo–se a interseção entre os intervalos obtidos em a e b. Faça isso e você terá: S = {x ∈ R : x > 1}. 2) Resolva a inequação: log2x + 2log x – 3 > 0. Solução: a) Domínio: x > 0 b) Resolução: Faça log x = y. Então, y2 + 2y – 3 > 0, que resolvida dá y < –3 ou y > 1. Se y < –3, então log x < –3 ; x < 0,001 Se y > 1, então log x > 1 ; x > 10 c) Resposta: a interseção nos mostra que S = {x ∈ R : 0 < x < 0,001 ou x > 10}.
  • 11. Tecnologia ITAPECURSOS 11 cor preto 1111111111Matemática - M2 9 - A FUNÇÃO LOGARÍTMICA Como vimos, a função exponencial é bijetora e, portanto, admite inversa. Por outro lado, se loga y = x, temos que y = ax , ou seja, a inversa da exponencial é a função logarítmica que definiremos a seguir: Seja a > 0, a ≠ 1 e x > 0 números reais. Chama-se função logarítmica à função f: R*+ → R, definida por f(x) = loga x. Como os gráficos de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y = x, o gráfico da função logarítmica é: 1º caso: a > 1 2º caso: 0 < a < 1 POLINÔMIOS 1 - DEFINIÇÃO Chamaremos de polinômio em R, na variável x, a toda expressão da forma: P(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao, onde n é um número natural, e an ¹ 0. Exemplos: São polinômios: a) P(x) = 5x3 - 4x2 + x - 1 b) P(x) = x2 - c) P(x) = -5 Não são polinômios: a) + 3 b) Dado o polinômio P(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao com an ¹ 0, n é chamado de grau do polinômio. Assim: a) P(x) = 3x2 - 5x + 1, tem grau 2. c) P(x) = - 3x + 1, tem grau 1. b) P(x) = 2x - x3 + 4, tem grau 3. d) P(x) = 2, tem grau zero. O polinômio P(x) = 0 é chamado de polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo. Para ele, não se define o grau. 2 - VALOR NUMÉRICO Se K é um número real, chama-se valor numérico do polinômio P(x) para x = K ao número obtido substituindo- se x por K e efetuando as operações indicadas. Indicaremos o valor numérico por P(K). Caso P(K) = 0, diremos que K é a raiz ou zero do polinômio. Assim, se P(x) = 3x2 - x + 1 P(2) = 3 . 22 - 2 + 1 = 11 P(0) = 3 . 02 - 0 + 1 = 1
  • 12. Tecnologia ITAPECURSOS 12 cor preto 1212121212 Matemática - M2 3 - IGUALDADE DE POLINÔMIOS Sejam os polinômios: P1(x) = an . xn + an - 1 . xn - 1 + ... + a1 . x + ao e P2(x) = bn . xn + bn - 1 . xn - 1 + ... + b1 . x + bo Dizemos que P1(x) = P2(x) se: an = bn; an - 1 = bn - 1; ..., a1 = b1 e ao = bo 1) Determine a, b, c para que os polinômios P1(x) = (a - 2)x3 + 3x2 + b - 1 e P2(x) = (c + 5)x2 + 3 sejam idênticos. Solução: Queremos que: (a - 2)x3 + 3x2 + b - 1 = 0x3 + (c + 5)x2 +3 Logo: a - 2 = 0; a = 2 c + 5 = 3; c = -2 b - 1 = 3; b = 4 2) Calcule a e b, de modo que: Solução: 1º modo: e daí vem: 2º modo: Na igualdade: 2x - 6 = a(x + 3) + b (x - 1) faça: x = -3 Õ -12 = a . 0 - 4.b;b =3 x = 1 Õ -4 = 4a + b.0; a = -1 2x - 6 = a(x + 3) + b(x - 1) 2x - 6 = ax + 3a + bx - b 2x - 6 = (a + b)x +(3a + b) e então: cuja solução é a = -1 e b =3 a + b = 2 3a - b = -6 Atenção: escolha para x os valores que anulam os denominadores das frações dadas originalmente. 4 - DIVISÃO DE POLINÔMIOS Se A(x) e B(x) são dois polinômios, com B(x) ¹ 0, dividirApor B é encontrar dois outros polinômios Q(x) e R(x), tal que: I) A(x) = B(x) .Q(x) + R(x) II) Grau de R(x) < grau B(x) ou R(x) = 0 Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x). Observe que o grau de Q(x) é dado pela diferença entre o grau de A(x) e B(x).
  • 13. Tecnologia ITAPECURSOS 13 cor preto 1313131313Matemática - M2 Método da chave Seja efetuar a divisão (2x3 - x2 + 3) : (x2 -2x + 3) Solução: • Inicialmente, ordene o polinômio dividendo em ordem decrescente e complete-o. No caso do divisor, basta que ele esteja em ordem. 2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3 • Divida o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor para obter o primeiro termo do quociente (2x). • Multiplique o primeiro termo do quociente pelo divi- sor e subtraia o resultado do dividendo, para obter o resto parcial (3x2 -6x + 3). 2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3 -2x3 + 4x2 -6x 2x 3x2 - 6x +3 • Se o grau do resto parcial for menor que o grau do divisor, a divisão terminou. Caso contrário, repita as operações acima, usando o resto parcial como divi- dendo. 2x3 - x2 +0x + 3 x2 -2x + 3 -2x3 + 4x2 -6x 2x + 3 3x2 - 6x +3 -3x2 - 6x - 9 -6 Método de Descartes Façamos a mesma divisão: (2x3 - x2 + 3) : (x2 -2x + 3) Solução: • Inicialmente, determine o grau do quociente. Q(x) é do 1º grau, concorda? Logo Q(x) = ax + b. • O grau do resto, sendo menor que o grau do divisor será um polinômio cujo grau é no máximo 1. Seja então R(x) = cx + d. 2x3 - x2 + 3 x2 -2x + 3 cx + d ax + b Usando a identidade A = B . Q + R obtemos: 2x3 - x2 + 3 = (x2 -2x + 3)(ax + b) + cx + d Efetuando e reduzindo os termos semelhantes, teremos: 2x3 - x2 + 3 = ax3 + (b - 2a)x2 +(3a - 2b + c)x + 3b + d Portanto: a = 2 b - 2a = -1; b = 3 3a - 2b + c = 0; c = 0 3b + d = 3; d = -6 Então, finalmente: Q(x) = 2x + 3 R(x) = -6 5 - O DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI Se, numa divisão, o divisor for do 1º grau, além dos métodos dados anteriormente, existe um outro, cuja descrição será feita a seguir. Seja efetuar (2x3 - 3x + 1) : (x - 2) • Desenhe o esquema a seguir 2 2 0 -3 1 • À esquerda do primeiro traço vertical, colocamos a raiz do divisor (no nosso caso, 2). À direita desse traço, colocamos os coeficientes do dividendo (já ordenado), completando com zero os termos faltosos. Para efetuar a divisão entre dois polinômios, temos dois métodos:
  • 14. Tecnologia ITAPECURSOS 14 cor preto 1414141414 Matemática - M2 • Abaixamos o primeiro desses coeficientes e o multiplicamos pela raiz do divisor (2), somando o resultado obtido (4) ao próximo coeficiente (0) e encontramos 4. 4 2 2 0 -3 1 2 4 4 8 10 2 2 0 -3 1 2 4 5 11 Q(x) R(x) • Repita tudo isso, agora, para o 4. Continue até achar o último número (à direita do traço vertical tracejado). Observe que o resto será nulo, ou um polinômio de grau zero. No nosso exemplo, R(x) = 11. Como Q(x) é de grau 2, temos: Q(x) = 2x2 + 4x + 5 Atenção: Se o divisor for do tipo ax ± b, proceda como anteriormente. Contudo, na hora de dar a resposta, ao determinar Q(x), divida os coeficientes obtidos no dispositivo por a (apenas os coeficientes reservados a Q(x)). O resto fica inalterado. 6 - TEOREMA DO RESTO OU DE D’ALEMBERT O resto da divisão de um polinômio P(x) por x - a é P(a). Demonstração: Na divisão de P(x) por x - a, seja Q(x) o quociente e R(x) o resto. Observe que o grau de R é zero ou R(x) = 0. P(x) x - a R Q(x) P(x) = (x - a) . Q(x) + R Fazendo x = a, vem: P(a) = (a - a) . Q(a) + R e então P(a) = R 0 Como conseqüência dessa propriedade, um polinômio P(x) é divisível por x - a se e só se P(a) = 0. De modo semelhante, prova-se que: Se o divisor for x + a, o resto é P(-a). Se o divisor for ax - b, o resto é P(b/a). Se o divisor for ax + b, o resto é P(-b/a). 7 - DOIS TEOREMAS IMPORTANTES Daremos, sem demonstrar, dois teoremas que facilitam em muito nosso trabalho com polinômios. Teorema 1: O polinômio P(x) é divisível pelo produto (x - a)(x - b) com a ¹ b se e só se P(x) é divisível separadamente por x - a e por x - b. Teorema 2: Se P(x) é divisível por (x - a)(x - b), então P(x) é divisível por x - a, e o quociente dessa divisão é divisível por x - b.
  • 15. Tecnologia ITAPECURSOS 15 cor preto 1515151515Matemática - M2 ANÁLISE COMBINATÓRIA 1- PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM Consideremos o seguinte problema: • As cidades A e B são interligadas por 3 linhas de ônibus e por 4 companhias aéreas. De quantos modos uma pessoa pode ir de A a B, usando ônibus e voltando de avião? Solução: Observe que o evento, ir de A a B e retornar, pode ser decomposto em duas etapas: 1ª etapa: viagem de ida 2ª etapa: viagem de volta. Como a viagem de ida tem que ser de ônibus, existem três maneiras dessa viagem ser feita. Já para a viagem de volta, temos 4 possibilidades. Como para cada viagem de ida, existem 4 modos de a pessoa fazer a viagem de volta, é fácil ver que a pessoa fará as viagens de ida e volta de 4.3 = 12 modos diferentes. Esse problema ilustra o princípio fundamental de contagem ou Regra do Produto. Se um evento é formado por duas etapas sucessivas e independentes, de tal modo que a primeira etapa se realiza de p modos e a segunda de q modos, então o evento ocorre de p.q maneiras. Podemos estender essa regra a um evento formado por um número K de etapas. 1) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0,1,2,3,4,e 5 ? Solução: O evento, formar um número de três algarismos, pode ser decomposto em três etapas: 1ª etapa: escolha do algarismo das centenas. 2ª etapa: escolha do algarismo das dezenas. 3ª etapa: escolha do algarismo das unidades. Para a 1ª etapa existem 5 possibilidades (apenas o zero não pode ser escolhido). Para a 2ª etapa existem também 5 possibilidades, pois o número escolhido na 1ª etapa não pode ser repetido, porém o zero já pode ser usado. Para a 3ª etapa, existem 4 possibilidades (só não podemos escolher os dois algarismos que foram escolhidos na 1ª e 2ª etapas. Logo, pela regra do produto podemos formar 5.5.4 = 100 números. 2) Dispõe-se de 6 cores para pintar uma bandeira de 4 faixas. Cada faixa deve ser pintada de uma só cor e duas faixas consecutivas não podem ter a mesma cor. De quantos modos pode ser feita a pintura? Solução: O evento, pintar a bandeira, pode ser decomposto em 4 etapas. Para a 1ª etapa existem 6 possibilidades, pois podemos escolher qualquer uma das 6 cores. Para a 2ª etapa existem 5 possibilidades, pois a cor usada na faixa anterior não pode ser usada. O mesmo número de possibilidades teremos para a 3ª e 4ª etapas. Portanto, a pintura poderá ser feita de: 6.5.5.5 = 750 modos
  • 16. Tecnologia ITAPECURSOS 16 cor preto 1616161616 Matemática - M2 3) Quantos números de 5 algarismos distintos formados pelos dígitos 1,3,4,5 e 6 são maiores que 50000? Solução: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 1ª etapa: 2 possibilidades: 5 ou 6 (só assim o número será maior que 50000) 2ª etapa: 4 possibilidades (lembre-se: os algarismos devem ser distintos) 3ª etapa: 3 possibilidades 4ª etapa: 2 possibilidades 5ª etapa: 1 possibilidade Resposta: 2.4.3.2.1 = 48 2 - UMA NOVA ABORDAGEM Existem alguns problemas de análise combinatória cuja resolução, usando-se a regra do produto, é muito complicada. Para eles, daremos uma nova abordagem. Assim, se num determinado agrupamento cada elemento aparece uma única vez, o agrupamento é simples. Caso contrário, ou seja, se um elemento puder aparecer mais de uma vez, o agrupamento é dito com repetição. Desse modo, se queremos saber quantos números de 3 algarismos distintos existem no sistema decimal, devemos considerar cada número como um agrupamento simples. Caso não aparecesse a palavra distintos no problema, então deveríamos levar em conta todas as possibilidades e teríamos números com ou sem repetição. 3 - TIPOS DE AGRUPAMENTOS Basicamente os agrupamentos que se formam com elementos de um conjunto podem ser classificados em dois tipos. - Arranjos: agrupamentos que se distinguem um do outro pela natureza e pela ordem de seus elementos. - Combinações: agrupamentos que se diferenciam apenas pela natureza de seus elementos. Observação: Se em um agrupamento do tipo arranjo, usarmos todos os elementos do conjunto considerado, o agrupamento passa a ser chamado de permutação. Para fixarmos bem essas noções, vamos classificar os agrupamentos seguintes: a) números formados por 4 algarismos no sistema decimal. Solução: Seja 2315 um tal número. Se mudarmos a ordem de pelo menos dois de seus algarismos, o número muda de valor. Logo, cada número é um arranjo. b) Triângulos formados com os cinco pontos tomados sobre uma circunferência. Solução: Um triângulo é obtido unindo-se três pontos quaisquer dos 5 que foram dados. Como o triângulo ABC e o triângulo ACB ou BAC, etc. são o mesmo triângulo, a ordem dos elementos não muda o agrupamento e temos uma combinação. c) Filas que podemos formar com 4 pessoas Solução: Uma fila se diferencia de outra apenas pela ordem de seus elementos. Além disso, em cada fila todos os elementos à nossa disposição são usados. Logo, cada fila é uma permutação.
  • 17. Tecnologia ITAPECURSOS 17 cor preto 1717171717Matemática - M2 4- A NOÇÃO DE FATORIAL No próximo item, aprenderemos como calcular o número de agrupamentos que podemos formar com os elementos de um conjunto. Necessitaremos então definir a noção de fatorial. Definição: Seja n um número natural. Então: 0! = 0 1! = 1 n! = n . (n - 1) . ... . 2.1, se n ≥ 2, onde o símbolo n! lê-se fatorial do número n. Veja os exemplos: 3! = 3.2.1 = 6 5! = 5.4.3.2.1 = 120 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 Observe que: n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = etc. Assim teremos: 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5! = 7 . 6 . 5 . 4! = etc. 5- CÁLCULO COMBINATÓRIO - AGRUPAMENTOS SIMPLES 5.1 - Arranjos simples Considere o seguinte problema: quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1,2,3,4,5? Solução: Que cada número é um arranjo é óbvio, pois a ordem dos algarismos no número altera o agrupamento. Queremos então saber quantos arranjos tomados 3 a 3 podemos formar com 5 algarismos dados. Esse valor será representado por: .Usando a regra do produto, temos que: 5 4 3 Agora, observe: De um modo geral, 5.2 Permutação Simples Como já foi dito, o número de permutações de n elementos, (Pn), é igual ao número de arranjos de n elementos tomados n a n. Logo: ,ou seja 5.3 Combinações Simples Representando por o número de combinações simples de n elementos tomados p a p, teremos: Observe que:
  • 18. Tecnologia ITAPECURSOS 18 cor preto 1818181818 Matemática - M2 1.(MACK-SP) O total de números, formados com algarismos distintos, maiores que 50000 e menores que 90000 e que são divisíveis por 5 é: a) 1596 d) 2788 b) 2352 e) 4032 c) 2686 Solução: 1ª hipótese 5 0 ; =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2ª hipótese ; 3.2. = 2016 6,7 ou 8 0 ou 5 Resposta: 336 + 2016 = 2352 2.(FUVEST-SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 144 3. (UNESP) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8 pontos é: a) 26 b) 90 c) 25 d) 45 e) 42 Solução: Cada triângulo é uma combinação. Se não houvesse 3 pontos alinhados, os 8 pontos nos dariam triângulos. Os 3 pontos sobre a primeira reta deixam de determinar triângulos e os 5 outros pontos deixam de determinar triângulos. Logo a resposta final será: 6- CÁLCULO COMBINATÓRIO - AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO 6.1 - Arranjos com repetição Se representa a quantidade de agrupamentos do tipo arranjos com repetição, que podemos formar com os n elementos de um conjunto, tomados p a p, então: 6.2 - Permutação com repetição Uma permutação é dita com repetição se determinados elementos aparecem mais de uma vez. Assim, por exemplo, qualquer anagrama da palavra CASA é uma permutação com repetição, pois a letra A aparece 2 vezes. Prova-se que: n → total de elementos em cada permutação. n1, n2, ..., nk → quantidade de vezes em que os elementos que se repetem aparecem em cada agrupamento. 6.3 - Combinação com repetição Se representa o número de combinações com repetição de n elementos, tomados p a p, então: Solução: Existem duas possibilidades: U E E U _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2. p4 = 2.4! = 48
  • 19. Tecnologia ITAPECURSOS 19 cor preto 1919191919Matemática - M2 1. Quantos números de três algarismos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, se o algarismo 5 é sempre o algarismo da centena? Solução: Como o problema não diz que os algarismos do número formado são distintos, isso significa que as repetições são admitidas. Portanto, o total procurado será: 5 2. Quantos são os anagramas da palavra ARARA? Solução: Letras que se repetem: A: 3 vezes R: 2 vezes Logo, o número de anagramas será: 3. Podendo escolher entre os sabores hortelã, laranja e limão, de quantos modos uma criança pode comprar 5 balas? Solução: Cada grupo de 5 balas pode ser considerado como uma combinação de elementos repetidos, escolhidos entre os três sabores. Logo, a resposta será: BINÔMIO DE NEWTON 1 - NÚMERO BINOMIAL Sejam n e p números com p ≤ n. Chamamos de número binomial de numerador n e classe p ao número representado por definido por: Observe que 2 - PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS 2.1 - Propriedades Diretas ; ; Essas propriedades decorrem diretamente da definição de número binomial. 2.2 - Binomiais Complementares Dois binomiais são ditos complementares se tiverem o mesmo numerador e se a soma dos denominadores for igual ao numerador. Assim, são complementares os binomiais: ;
  • 20. Tecnologia ITAPECURSOS 20 cor preto 2020202020 Matemática - M2 Também são complementares: ; (p + n - p = n) ; (p - 1 + n - p + 2 = n + 1) Aplicando a definição de número binomial a dois binomiais complementares, conclui-se que: Dois números binomiais complementares são iguais. Desse modo: Como conseqüência dessa propriedade, temos que: ou p + q = n Exemplo: Resolva a equação: Solução: 1ª hipótese: 2x - 1 = 3 ; x = 2 2ª hipótese: 2x - 1 + 3 = 10 ; x = 4 Resposta: x = 2 ou x = 4 2.3 - Relação de Stifel Essa relação acontece entre dois binomiais consecutivos. Assim, são consecutivos: e assim por diante. A relação de Stifel nos permite somar dois binomiais consecutivos. Ela pode ser dada de várias formas; uma delas é: Exemplo: a) b) binomiais complementares 2.4 - Relação de Fermat É também uma relação entre binomiais consecutivos. Permite-nos calcular o valor de um binomial em função do binomial “antecedente”. Sua demostração é feita aplicando-se a definição de número binomial. Exemplos: a) b)
  • 21. Tecnologia ITAPECURSOS 21 cor preto 2121212121Matemática - M2 4 - O DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON Você sabe que: Agora, repare: - Os coeficientes obtidos ao desenvolver esses binômios coincidem com os números das linhas do Triângulo de Pascal. Assim, os coeficientes de (x + a)3, por exemplo, são achados na linha 3 do Triângulo de Pascal. Prova-se que os coeficientes de (x + a)n estão na linha n do Triângulo de Pascal. Além disso, os expoentes de x decrescem de n a 0, e os de a crescem de 0 a n. Essas observações nos permitem então escrever que: 3 - TRIÂNGULO DE PASCAL Para tornar nosso trabalho mais ameno, vamos dispor os números binomiais na forma seguinte: .............................................. Observe que os números binomiais de mesmo numerador estão na mesma linha, e os números binomiais de mesmo denominador estão na mesma coluna. Além disso, os binomiais da primeira coluna valem 1, pois têm o denominador igual a zero. O mesmo acontece com o último binomial de cada linha, que tem o numerador e denominador iguais. Além disso, a relação de Stifel nos permite calcular os demais elementos do triângulo. Veja no triângulo anterior, onde se mostra que: , e assim por diante. Usando essas propriedades chegamos facilmente aos valores associados ao triângulo, obtendo: linha 0 ; 1 linha 1 ; 1 1 linha 2 ; 1 2 1 linha 3 ; 1 3 3 1 linha 4 ; 1 4 6 4 1 linha 5 ; 1 5 10 10 5 1 ...................................... A partir daí, você pode, usando as mesmas propriedades, obter quantas linhas quiser. Assim, temos que: Usando a linha 4 do Triângulo de Pascal para obter os coeficientes binomiais, teremos: (x + a)4 = x4 - 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 Para desenvolver (x - a)n, use o mesmo procedimento, porém alterne os sinais + e –, começando sempre com o sinal de +. Assim: (x - a)4 = x4 - 4x3a + 6x2a2 - 4xa3 + a4
  • 22. Tecnologia ITAPECURSOS 23 cor preto 2323232323Matemática - M2 2- PRINCIPAIS TIPOS DE MATRIZES a) Matriz Linha É aquela que tem uma única linha. A = (-1 2 3), B = [ 1 1] b) Matriz coluna É aquela que tem uma única coluna. 3. Calcule o termo médio, no desenvolvimento de . Solução: No desenvolvimento de , obtemos n + 1 termos. Logo, o binômio dado tem 7 termos, e então o termo médio é o 4º termo. Portanto, p = 3 e teremos: 4. Calcule a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (2x2 - 3y)5. Solução: Para obtermos apenas os coeficientes, no desenvolvimento de um binômio, basta fazermos as variáveis que aparecem nele iguais a um. Então, fazendo x = y = 1 teremos: S = (2 . 12 + 3 . 1)5; S = 55; S = 3125 MATRIZ 1- DEFININDO MATRIZ Sejam m e n inteiros positivos. À tabela formada por m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas chamamos de matriz m x n (lê-se matriz m por n). ou M = (aij) m x n Observação: aij representa o elemento que está na linha i e coluna j. Exemplo: ; uma matriz 3 por 2 (3 linhas e 2 colunas) Para ela, temos: a12 = 1 ; a21 = 3 ; a31 = 0 ; Essa matriz pode também ser representada dos modos a seguir:
  • 23. Tecnologia ITAPECURSOS 24 cor preto 2424242424 Matemática - M2 d) Matriz Diagonal Matriz quadrada cujos elementos situados fora da diagonal principal são nulos. c) Matriz Quadrada Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de coluna. Exemplo: f) Matriz Triangular Matriz quadrada na qual todos os elementos colocados em um mesmo lado da diagonal principal são nulos. Os elementos aij de uma matriz quadrada com i = j formam a diagonal principal. A outra diagonal é a diagonal secundária. Assim, para a matriz anterior: diagonal principal: 1, 4 , 0 diagonal secundária: 2, 4, 5 e) Matriz Identidade É toda matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1. Uma matriz identidade de ordem n é representada por In. g) Matriz Nula Todos os seus elementos são nulos. 3 - IGUALDADE DE MATRIZES Definição Duas matrizes A e B são iguais (A=B) se forem de mesma ordem e se seus elementos correspondentes forem iguais. Observação: Elementos correspondentes são elementos de mesmo índice. Em símbolos: Se A = (aij)mxn e B = (bij)m xn, então: A = B ↔ aij = bij, para i ∈ { 1, 2, ..., m } e j ∈ { 1, 2, ..., n } Desse modo, temos que se e , então: A = B, porém A ≠ C (pois a23 ≠ c23) 4 - MATRIZ TRANSPOSTA Dada uma matriz A = (aij)m x n, chama-se transposta de A, à matriz At = (bij)n x m tal que bij = aji Exemplos: a) Se então
  • 24. Tecnologia ITAPECURSOS 22 cor preto 2222222222 Matemática - M2 5 - UM RESULTADO INTERESSANTE Já vimos que: Fazendo x = a = 1, obtemos: Isso significa que a soma dos elementos da linha n no Triângulo de Pascal é 2n. 6 - O TERMO GERAL É muito raro necessitarmos do desenvolvimento completo do Binômio. O que geralmente ocorre é precisarmos determinar um termo do Binômio que apresente alguma característica como, por exemplo, o termo em x7, ou o termo independente de x, e assim por diante. Para resolvermos um tal problema, não precisamos de todo o desenvolvimento, mas sim do termo genérico do Binômio. Se você observar mais uma vez a fórmula do Binômio de Newton, verá que cada termo é da forma: Além disso, se p = 0, temos o primeiro termo; se p = 1, temos o segundo termo; e assim sucessivamente. Logo: representa o termo que ocupa a posição (p+1), e é a fórmula do termo geral do binômio (x + a)n, segundo as potências decrescentes de x. Nessa fórmula, observe que: n: representa o expoente do binômio x: representa o primeiro termo do binômio a: representa o segundo termo do binômio p: número que é igual à posição do termo, menos um. Assim, se queremos Para o binômio (x - a)n, temos 1. Calcule o 10º termo no desenvolvimento de Solução: Como queremos o 10º termo (T10), p = 9. Além disso, o primeiro termo é 2x2, o segundo é x e n = 12. Logo, pela fórmula do termo geral temos: 2. Calcule, se existir, o termo independente de x, no desenvolvimento de: . Solução: Termo independente é o termo em x0. Logo, queremos que: - 8 + 3 p = 0; p = Como é natural, tal resposta não satisfaz, e então o binômiodadonãoapresentatermoindependentedex. Observação: Se fosse pedido, por exemplo, o termo em x7, o raciocínio seria semelhante, simplesmente colocaríamos - 8 + 3p = 7, teríamos p, e então bastaria substitui-lo na expressão do termo geral.
  • 25. Tecnologia ITAPECURSOS 25 cor preto 2525252525Matemática - M2 b) Se Uma matriz quadrada A se diz simétrica se At = A. Se A for simétrica, os elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal devem ser iguais. 5 - ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Definição 1 Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, soma de A e B é a matriz C = (cij)m x n , tal que cij = aij + bij. Definição 2 Se A = (aij)m x n, chama-se oposta de A, a matriz -A = (-aij)m x n Definição 3 Se A = (aij)m x n e B = (bij)m x n então A - B = A + (-B). As principais propriedades da adição são I) A + B = B + A II) (A + B) + C = A + (B + C) III) A + 0 = A IV) A + (-A) = 0 Observação: A e B são matrizes m x n e 0 é a matriz nula m x n Se A é matriz quadrada com At = -A, dizemos que A é anti-simétrica. 6 - MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL Definição Seja A = (ai j)m x n e K ∈ IR Então: K . A = (bi j)m x n tal que bi j = k . ai j Assim, se teremos e 7 - MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES a) Multiplicação de uma Matriz Linha por uma Matriz Coluna Seja A1 x m e Bm x 1 onde o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Definimos o produto de A por B como sendo a matriz C1 x 1, obtida multiplicando-se o 1º elemento da linha de A pelo 1º elemento da coluna de B, o 2º elemento da linha de A pelo 2º elemento da coluna de B e assim sucessivamente até o último, e somando-se os produtos assim obtidos. Exemplo: Seja A = ( 1 2 3 ) e Para achar A . B, calculamos: 1 . 4 + 2 . (-1) + 3 . (-2) = 4 - 2 - 6 = -4 , logo C = (-4)
  • 26. Tecnologia ITAPECURSOS 26 cor preto 2626262626 Matemática - M2 b) Multiplicação de Matrizes - Condição de existência: Se Am x p e Bq x n, só existe A . B se p = q. O produto será m x n. Para efetuar o produto, multiplicamos cada linha de A por cada coluna de B, como já mostrado no item A. Exemplo: Se e A x B será 2 x 2 e então C11 = 2 . 1 + 1 . 7 + (-3) . 0 = 9 C12 = 2 . (-2) + 1 . 1 + (-3) . 3 = -12 C21 = 0 . 1 + 4 . 7 + (-2) . 0 = 28 C22 = 0 . (-2) + 4 . 1 + (-2) . 3 = -2 Então: c) Propriedades da Multiplicação I) A multiplicação de matrizes não é comutativa. Se A . B = B . A, diremos que A e B comutam. II) (A .B) . C = A . (B . C); III) A . (B + C) = A . B + A . C IV) A . I = I . A = A V) Se A . B = 0 não se pode concluir que A = 0 ou B = 0 VI) Não vale a lei do corte, ou seja se A . B = A .C não se pode concluir que B = C. 8 - MATRIZ INVERSA Seja uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se inversa de A (se existir) à matriz representada por A-1 tal que A . A-1 = A-1 . A = In. Exemplo: Ache, se existir, a inversa de A = Solução: Se existir, Como queremos que A . A-1 = I, teremos: e então: Resolvendo esses sistemas, teremos: a = -3 , b = 2 , c = 2 , d = -1 e então
  • 27. Tecnologia ITAPECURSOS 27 cor preto 2727272727Matemática - M2 Exemplo: Calcule 9 - PROPRIEDADES DA INVERSA a) (A-1)-1 = A b) (At)-1 = (A-1)t c) (A . B)-1 = B-1 . A-1 d) (K . A)-1 = . A-1 10 - PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA a) (At)t = A b) (A + B)t = At + Bt c) (A . B)t = Bt . At DETERMINANTE 1- DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE Chamamos de determinante de uma matriz quadrada A ao número associado a A e definido a seguir. a) Determinante da 1ª ordem Se A = (a11), então o determinante de A, que indicaremos por det A ou |a11|, será: det A = a11 b) Determinante de 2ª ordem Se então det A = a11 . a22 - a21 . a12, ou seja, det A é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo: c) Determinante de 3ª ordem - Regra de Sarrus Repetimos a 1ª e a 2ª colunas. Multiplicamos os elementos da diagonal principal e os elementos das diagonais que lhe são paralelas e somamos. Multiplicamos os elementos da diagonal secundária e das diagonais que lhe são paralelas. Somamos esses produtos e subtraímos da soma achada anteriormente. Solução: 2 - DEFINIÇÃO GERAL DE DETERMINANTE Para definir determinante de ordem n qualquer, precisamos antes entender o que é cofator. - Cofator: seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento de A. Chama-se cofator de aij e representa-se porAij ao número definido por: Aij = (-1)i + j. Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida suprimindo-se de A, a linha i e a coluna j. Exemplo: Seja então:
  • 28. Tecnologia ITAPECURSOS 28 cor preto 2828282828 Matemática - M2 Solução: É vantajoso tomarmos uma fila que tenha o maior número possível de zeros. Usaremos então a 3ª coluna detA = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 = 3 . A 13 + 0 . A23 + 0 . A33 = 3 . A13 Como A13 = (-1)1 + 3 . = 17, teremos: det A = 3 . 17 = 51 Sugiro que você, utilizando o teorema de Laplace, prove que, seAé uma matriz triangular, seu determinante é obtido multiplicando-se os elementos da diagonal principal. 3- PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Os cálculos envolvendo determinantes ficam muito mais simples se usarmos as propriedades a seguir. P.1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta: det A = det At P.2) Se uma matriz quadrada tem uma linha ou coluna de zeros, seu determinante é nulo. P.3) Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Se a matriz B é obtida de A, trocando de posição duas linhas (ou duas colunas) quaisquer, então: det B = - det A P.4) Se uma matriz A possui duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0. P.5) Multiplicando-se uma linha (ou coluna) de uma matriz A, por um número real K, não nulo, seu determinante fica multiplicado por K. Conseqüência: det (K.A) = Kn . det A P.6) Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então det A = 0. P.7) Teorema de Cauchy A soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz pelos respectivos cofatores de outra linha (ou coluna) é igual a zero. P.8) Teorema de Jacobi Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de uma matriz A por um número diferente de zero e adicionarmos o resultado a outra linha (ou coluna), obtemos uma matriz B, tal que det A = det B. P.9) Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A . B) = det A . det B. Essa última propriedade tem uma conseqüência importante. Seja A uma matriz inversível. Então: A . A-1 = I. Logo: det (A . A-1) = det I e usando P.9 e lembrando que det I = 1, teremos: det A . det A-1 = 1 Portanto, se A admite inversa, det A ≠ 0, e nesse caso, det . Podemos agora definir o determinante de ordem n, o que é feito pelo: - Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadradaA, de ordem n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna), pelos respectivos cofatores. Exemplo: Calcule
  • 29. Tecnologia ITAPECURSOS 29 cor preto 2929292929Matemática - M2 4 - ABAIXAMENTO DA ORDEM - REGRA DE CHIÓ Seja A = (aij)n x n uma matriz quadrada, e apq um elemento de A, tal que apq = 1. Para calcular o det A, pela regra de Chió, procede-se do seguinte modo: - suprime-se a linha p e a coluna q. - dos elementos restantes subtraímos o produto dos elementos que se encontram nas perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas que foram suprimidas. - formamos uma matriz B com as diferenças assim obtidas. - det A = (-1) p+q . detB. Observação: Se na matriz A não houver nenhum elemento igual a 1, usando as propriedades é possível fazer tal elemento aparecer. Exemplo: Calcule, usando CHIÓ Solução: 5- MATRIZ DE VANDERMONDE Uma matriz quadrada, de ordem n, se diz matriz de Vandermonde se ela for da forma: - os elementos de uma mesma coluna formam uma P.G. - os elementos da 2ª linha são chamados de elementos característicos. Se x1 , x2, ..., xn são elementos característicos de uma matriz de Vandermonde, seu determinante é obtido multiplicando-se todas as diferenças xi - xj com i > j. Exemplo: Calcule Solução: Como as colunas formam uma P.G., trata-se de uma matriz de Vandermonde, de elementos característicos 2, -1, 3, 1. Então: D = (-1 - 2) (3 - 2) (3 + 1) (1 - 2) (1 + 1) (1 -3) = -48
  • 30. Tecnologia ITAPECURSOS 30 cor preto 3030303030 Matemática - M2 SISTEMAS LINEARES 1 - EQUAÇÃO LINEAR Chamamos de equação linear a toda equação da forma a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b Uma seqüência (a1, a2, ..., an) é uma solução da equação. Se a substituição de x1, por a1, x2 por a2, xn por an tornar a sentença verdadeira. Exemplo: Seja a equação linear x - 2y - z = 7 (1, 1, -8) é solução pois 1 - 2 . 1 - (-8) = 7. Já (0, -1, 3) não é solução pois 0 - 2 . (-1) - 3 = -1 e - 1 ¹ 7. Observe que: - a equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, com b ¹ 0 não admite solução. - a equação 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0, tem qualquer seqüência (a1, a2, ..., an) como solução. 2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Chamamos de sistema de equações lineares ou sistema linear a um conjunto de duas ou mais equações lineares. Exemplo: A seqüência (a1, a2, ..., an) é solução do sistema S, se for solução de todas as equações de S. Um sistema se classifica em: A) Sistema possível ou compatível: é aquele que possui solução. - se essa solução é única, o sistema é compatível determinado. - se tivermos mais de uma solução, o sistema é indeterminado. B) Sistema impossível ou incompatível: é aquele que não possui solução. - Se todos os termos independentes de um sistema (bj) forem nulos, o sistema se diz homogêneo. - Se um sistema é homogêneo, a seqüência (0, 0, ..., 0) é solução, chamada solução trivial. 3 - REGRA DE CRAMER A regra de Cramer é uma técnica que nos permite resolver apenas sistemas quadrados, ou seja, sistemas em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Seja o sistema: Chamaremos de D ao determinante formado pelos coeficientes de cada equação do sistema.
  • 31. Tecnologia ITAPECURSOS 31 cor preto 3131313131Matemática - M2 D(xi) é o determinante da matriz que se obtém, substituindo-se a coluna i de D, pela coluna dos termos independentes. A regra de Cramer afirma que, se D ¹ 0, então Exemplo: Resolver o sistema Solução: Como D ≠ 0, o sistema é compatível e determinado. Logo: Resposta: (1, -5, 2) 4 - O MÉTODO DO ESCALONAMENTO O método do escalonamento é um método geral de resolução de sistemas lineares, não apresentando as restrições da Regra de Cramer. Um sistema se diz escalonado quando aumenta de uma equação para a seguinte o número de coeficientes iniciais nulos, até que sobrem, eventualmente, equações onde todos os coeficientes iniciais são nulos. Num sistema escalonado, uma equação do tipo 0x1+ 0x2 + 0xn = 0 pode ser suprimida, pois qualquer seqüência (a1, a2, ..., an) é solução. Já se num sistema tivermos uma equação do tipo 0x1+ 0x2 +... + 0x = b, com b ¹ 0, o sistema é incompatível, pois tal equação não tem solução. Num sistema escalonado, as incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações são chamadas de variáveis livres, e a quantidade delas chama-se grau de indeterminação do sistema. Exemplo: Seja o sistema: Esse sistema está escalonado, x2 é variável livre, e o seu grau de indeterminação é 1. Dois sistemas S1 e S2 são equivalentes (S1 - S2) se possuem o mesmo conjunto solução. Para obtermos sistemas equivalentes, usamos as transformações elementares, que são operações efetuadas sobre as equações do sistema, que o transformam em outro equivalente. São elas: T.1) Trocar a ordem das equações. T.2) Trocar a ordem das incógnitas. T.3) Multiplicar uma das equações do sistema por um número não nulo. T.4) Substituir uma das equações do sistema, pela soma dela com uma outra, previamente multiplicada por um número não nulo.
  • 32. Tecnologia ITAPECURSOS 32 cor preto 3232323232 Matemática - M2 1. Resolva o sistema Solução: Inicialmente troque de posição a 1ª e a 3ª equações, pois assim o primeiro elemento da 1ª equação será 1. ; Agora, para zerar os termos em x na 2ª e 3ª equação, multiplicamos a 1ª equação por -4 e somamos com a 2ª e depois multiplicamos a 1ª equação por -2 e somamos com a 3ª equação. ; Daí vem: ; ; De 26z = 26 vem z = 1 e substituindo em y + 4z = 0, obtemos, y + 4 = 0, y = -4 e daí: x + y + z = 1; x - 4 + 1 = 1; x = 4 Resposta: (4, -4, 1) Solução: Trocando a 1ª e 3ª equação de posição vem: ; ; a última equação mostra que o sistema é incompatível. -4 -2 -2 -4 1 -1 7
  • 33. Tecnologia ITAPECURSOS 33 cor preto 3333333333Matemática - M2 3. Resolva: Solução: ; ; Logo, o sistema tem uma variável livre, que é z. Se fizermos z = a, teremos: -y + 2a = -2; y = 2 + 2a x + 2 . (2 + 2a) + 3a = 3; x = -1 - 7a Logo a solução é: (-1 - 7a, 2 + 2a, a) 5- DISCUSSÃO DE SISTEMAS LINEARES Discutir um sistema é classificá-lo em determinado, indeterminado ou incompatível, em função do(s) parâmetro(s) que aparece(m) nas equações do sistema. Para discutir um sistema, utilizaremos o escalonamento. Veja alguns exemplos: a) Discutir o sistema: Solução: Logo: Se 9 - m ¹ 0 ou seja, se m ¹ 9, o sistema é incompatível. Se 9 - m = 0, ou seja, se m = 9, o sistema terá uma variável livre e será compatível indeterminado. b) Discutir o sistema Solução: Como o sistema já está escalonado, temos: -2 -3 1 -2 -3 -1 -1 -2 • Para a - 2 ¹ 0, ou seja, para a ¹ 2, o sistema será compatível e determinado com z = e daí tira-se x e y. • Se a - 2 = 0, ou seja, se a = 2, a última equação se transforma em 0 = 4b - 8. Logo: Se 4b - 8 ¹ 0, ou seja, se b ¹ 2, o sistema é incompatível. Se 4b - 8 = 0, ou seja, se b = 2, o sistema é indeterminado. Em resumo: Se a ¹ 2, o sistema é compatível determinado. Se a = 2, e b = 2, o sistema é indeterminado. Se a = 2 e b ¹ 2, o sistema é incompatível.
  • 34. Tecnologia ITAPECURSOS 34 cor preto 3434343434 Matemática - M2 PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1 - SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS REAIS Informalmente falando, uma seqüência é um conjunto cujos elementos são considerados em ordem. Exemplo: a) (1, 3, 5, 7, 9...) ® seqüência dos números ímpares. b) (0, 2, 4, 6, 8, 10) ® seqüência dos números naturais pares menores que 12. 2 - REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA SEQÜÊNCIA (a1, a2, a3, ..., an) a1: indica o 1º termo. a2: indica o 2º termo. .. ... ... ... ... an: indica o enésimo termo. Exemplos: Seja a seqüência (-3, 5, 4, 11, 13, 0), temos que: a1 = -3; a4 = 11; a6 = 0 3 - TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS Dois termos de uma seqüência são eqüidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem o primeiro é igual ao número de termos que seguem o segundo. É fácil perceber que dois termos são eqüidistantes dos extremos se a soma de seus índices é igual à soma dos índices dos termos extremos. Exemplo: Seja a seqüência (a1, ..., a20) a5 e a16 são eqüidistantes dos extremos pois 5 + 16 = 1 + 20 a8 e a11 não são eqüidistantes dos extremos pois 8 + 11 ¹ 1 + 20 4 - REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA Uma seqüência pode ser dada através da fórmula do termo geral ou através de uma fórmula de recorrência. Veja: a) Escreva os três primeiros termos da seqüência, cujo termo geral é: an = 3n - 1 Solução: a1 = 3 . 1 - 1 = 2, a2 = 3 . 2 - 1 = 5 a3 = 3 . 3 - 1 = 8 Resposta: a1 = 2, a2 = 5, a3 = 8 b) Seja a seqüência tal que a1 = 2 e an = an-1 . 3. Escreva os três primeiros termos dela. Solução: a1 = 2 a2 = a1 . 3 = 2 . 3 = 6 a3 = a2 . 3 = 6 . 3 = 18 Resposta: a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18
  • 35. Tecnologia ITAPECURSOS 35 cor preto 3535353535Matemática - M2 5 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Definição Chamaremos de progressão aritmética (P.A.) à seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma constante, que denominaremos de razão (r) da P.A. Exemplos: a) (3, 7, 11, 15,...) P.A. de razão r = 4 b) (6, 4, 2, 0, -2,...) P.A. de razão r = -2 c) (2, 2, 2,...) P.A. de razão r = 0 Observe que, se (a1, a2, ..., an) é uma P.A., então: r = a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1 Além disso, pela definição dada, teremos: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r e de um modo geral: an = a1 + (n -1) . r ® fórmula do termo geral. Podemos achar uma outra fórmula mais geral. Seja (a1, a2, ..., ak, ..., an) uma P.A. de razão r. Pela fórmula do termo geral temos: Portanto: an - ak = a1 + nr - r - a1 - kr + r ou an = ak + (n - k) . r Exemplos: A primeira fórmula nos permite escrever: a7 = a1 +6r, a10 = a1 + 9r etc. A segunda nos permite escrever: a5 = a3 + 2r, a9 = a6 + 3r, a4 = a7 - 3r, etc. 6 - PROPRIEDADES DE UMA P.A. P.1) Dados três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio é média aritmética dos outros dois. Demonstração: Sejam x, y, z termos consecutivos de uma P.A. de razão r. Então, pela definição, teremos: y = x + r y = z - r Somando m.a.m. essas igualdades, encontramos: 2y = x + z ou y = P.2) A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos de uma P.A. Demonstração: Dada a P.A. (a1, ..., ap, ..., aq, ..., an) sejam ap e aq termos eqüidistantes dos extremos. Então, teremos p + q = 1 + n ou p - 1 = n - q (I). Além disso: ap = a1 + (p - 1) r an = aq + (n - q) r = aq + (p - 1) r, pois n - q = p - 1 Logo, subtraindo m.a.m., obteremos: an - ap = aq + (p - 1) r - a1 - (p - 1) r ou an - ap = aq - a1 e daí an + a1 = ap + aq
  • 36. Tecnologia ITAPECURSOS 36 cor preto 3636363636 Matemática - M2 Conseqüências dessas propriedades: 1ª) Se p + q = r + s então ap + aq = ar + as Assim, podemos escrever: a2 + a5 = a4 + a3 = a1 + a6 2ª) Numa P.A. finita, com um número ímpar de termos, o termo central é média aritmética entre os extremos, ou entre qualquer par de termos eqüidistantes dos extremos. 7 - SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. Seja a P.A. (a1, a1 + r, a1 + 2r, ..., an - 2r, an - r, an). Então: Sn = a1 + a1 + r + a1 + 2r + ... + an - 2r + an - r + an ou Sn = an + an - r + an - 2r + ... + a1 + 2r + a1 + r + a1 Somando m.a.m. obtemos: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) n parcelas Logo: 2Sn = (a1 + an) . n e então . 8 - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Definição Chama-se progressão geométrica (P.G.) a toda seqüência onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante, que chamaremos de razão (q) da P.G. Exemplos: (3, 6, 12, 24, ...), P.G. de razão q = 2. (1, -3, 9, -27, ...), P.G. de razão q = -3. (18, 6, 2, , ...), P.G. de razão q = . (2, 2, 2, ...) P.G. de razão q = 1. Observação: Para se achar a razão de uma P.G., basta dividir um termo qualquer pelo anterior. Se (a1, a2, ..., an) é uma P.G. temos: a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2 a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3 e notando que o expoente da razão é sempre uma unidade menor que o índice do termo em questão, teremos: an = a1 . qn-1 ® termo geral da P.G. De modo análogo ao que fizemos para a P.A., prova-se que: an = ak . qn-k . Veja: a7 = a1 . q6 , a5 = a1 . q4 a9 = a4 . q5 , a3 = a7 . q-4
  • 37. Tecnologia ITAPECURSOS 37 cor preto 3737373737Matemática - M2 9 - PROPRIEDADES DE UMA P.G. P.1) Dados três termos de uma P.G., o termo do meio é média geométrica entre os outros dois. Ou seja: Se a, b, c estão em P.G., b2 = ac. P.2) O produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos de uma P.G. Conseqüências de P.2. 1ª) Se p + r = s + t então ap . ar = as . at 2ª) Em uma P.G. de número ímpar de termos, o termo central é média geométrica entre os extremos, ou entre dois termos eqüidistantes dos extremos. Tente provar essas propriedades. As demonstrações são parecidas com o que fizemos para as P.As. 10- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA Seja (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) uma P.G. finita de razão q ¹ 1. Então: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an Multiplicando por q, obtemos: qSn = a1q + a2q + a3q + ... + an-2 . q + an-1 . q + an . q ou qSn = a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an + anq Portanto: qSn - Sn = anq - a1, e daí vem: Usando a fórmula an = a1 . qn-1, prova-se também que: 11- SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA Seja (a1, a2, ..., an, ...) uma P.G. infinita cuja razão q é tal que |q| < 1. Já sabemos que: . Fazendo n tender a infinito. qn tenderá a zero e Sn tende a: Lembre-se: essa fórmula só vale para P.Gs. onde |q| < 1.
  • 38. Tecnologia ITAPECURSOS 38 cor preto 3838383838 Matemática - M2 GEOMETRIA ESPACIAL I - PRISMA 1- DEFINIÇÃO Sejam α e β dois planos paralelos, R uma região poligonal em α, e r uma reta cuja interseção com α é um ponto exterior a R. Chama-se prisma, à reunião de todos os segmentos PP’ paralelos a r, com P em R e P’ em β. 2- ELEMENTOS DE UM PRISMA Elementos: ABC e A’B’C’: bases AB é uma aresta da base (quais são as outras?) AA’ é uma aresta lateral (quais são as outras?) AA’BB’ é uma face lateral (quais são as outras?) h é a altura do prisma (distância entre os planos da base) Obs.: Se as arestas laterais são oblíquas em relação aos planos da base, o prisma é um prisma oblíquo. Se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases o prisma é um prisma reto (h = aresta lateral) 3- CLASSIFICAÇÃO Prisma triangular: as bases são triângulos Prisma quadrangular: as bases são quadriláteros Prisma pentagonal: as bases são pentágonos e assim por diante. Prisma regular: é o prisma reto, cujas bases são polígonos regulares. Prisma regular triangular Prisma regular pentagonal 4- SECÇÕES - Secção transversal de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano paralelo às bases. - Secção reta de um prisma: é a interseção desse prisma com um plano perpendicular às suas arestas laterais. h C’ A’ B’ C A B h P’ P R r α β α β
  • 39. Tecnologia ITAPECURSOS 39 cor preto 3939393939Matemática - M2 5- PARALELEPÍPEDO - Paralelepípedo é o prisma cuja base é um paralelogramo. - Paralelepípedo retângulo (ou reto-retângulo ou ortoedro) é um prisma reto, cuja base é um retângulo. - Cubo é um paralelepípedo retângulo no qual todas as seis faces são quadrados. Exemplos: Paralelepípedo reto Faces laterais - retângulos bases: paralelogramos Cubo As seis faces são quadrados Paralelepípedo retângulo As seis faces são retâgulos Paralelepípedo oblíquo As seis faces são paralelogramos 6- DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO Sejam a, b, c as dimensões do paralelepípedo retângulo. No triângulo ABC, temos: d2 f = a2 + b2 No triângulo ACC’, temos: d2 = d2 f + c2 e substituindo: d2 = a2 + b2 + c2. Logo: 7- ÁREA TOTAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (St ) St é a área de 6 retângulos 2 com dimensões a, b 2 com dimensões a, c 2 com dimensões b, c Logo:
  • 40. Tecnologia ITAPECURSOS 40 cor preto 4040404040 Matemática - M2 8 - VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (V) Um paralelepípedo retâgulo de dimensões a, b, c, tem um volume dado por: V = a . b. c 9 - DIAGONAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DE UM CUBO Como um cubo é um caso especial de paralelepípedo retângulo, as fórmulas anteriores são válidas para ele, bastando fazer b = c = a. Teremos então: , , Obs.: a é a aresta do cubo. 10 - VOLUME DE UM PRISMA QUALQUER O volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área da base (B) pela altura (h) V = B . h 11 - LEMBRETES IMPORTANTES A) Altura e área de um triângulo equilátero B) Área de um hexágono regular A área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero de lado a , C)Apótema do hexágono regular (m) O apótema do hexágono regular coincide com a altura de um triângulo equilátero. II - PIRÂMIDE 1- DEFINIÇÃO E ELEMENTOS Definição: Seja α um plano, R uma região poligonal em α e V um ponto não pertencente a α. Chama-se pirâmide à reunião de todos os segmentos com uma das extremidades num ponto de R e a outra no ponto V. - Elementos Vértice: é o ponto V. Base: é o polígono ABCDE Arestas da base: são os lados da base: AB, BC, ... Arestas laterais: VA, VB, ...VE Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ... Altura: é a distância do vértice ao plano da base.
  • 41. Tecnologia ITAPECURSOS 41 cor preto 4141414141Matemática - M2 2- CLASSIFICAÇÃO Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo. Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero. Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante. Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base for o centro desse polígono, a pirâmide é uma pirâmide regular. Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. A altura de uma face lateral de uma pirâmide regu- lar em relação ao lado da base chama-se apótema da pirâmide. VO = altura (h) OM = apótema da base (n) VM = apótema da pirâmide (m) 3- VOLUME DE UMA PIRÂMIDE Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é: 4- SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE Chama-se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano paralelo à base. Sendo h a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal ao vértice V da pirâmide, temos: a) b) c) d) Observação: As relações acima são válidas para qualquer pirâmide. 5- TRONCO DE PIRÂMIDE A secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o vértice é uma nova pirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de tronco de pirâmide. Observe que: m2 = h2 + n2 Base maior: é a base da pirâmide original Representaremos sua área por B. Base menor: é a secção transversal. Sua área será representada por b. Altura do tronco: é a distância entre os planos das bases (h). O volume do tronco de cone é:
  • 42. Tecnologia ITAPECURSOS 42 cor preto 4242424242 Matemática - M2 6- TETRAEDRO REGULAR Chamamos de tetraedro regular à pirâmide regular na qual as quatro faces são triângulos equiláteros congruentes. - Área total do tetraedro regular ( St ) St = 4 vezes a área de um triângulo equilátero de lado a. Portanto ou - Altura do tetraedro regular (h) Seja a aresta do tetraedro. Como o tetraedro é regular, o ponto O é o baricentro do triângulo ABC, e como esse triângulo é equilátero teremos: No triângulo VOA, temos: e daí vem - Volume do tetraedro regular (V) , onde B é a área da base. Mas ; então III - CILINDRO 1- DEFINIÇÃO E ELEMENTOS - Definição: Sejam α e β planos paralelos, C um círculo contido em α e r uma reta que intercepta α em A e β em B. Chama-se cilindro à reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB, que têm uma extremidade no círculo C e outra no plano β. - Elementos de um cilindro Bases: são os círculos de centro O e O’. Altura (h): é a distância entre os planos das bases. Eixo: é a reta OO’ que contém os centros das bases. Geratriz: qualquer segmento paralelo ao eixo e com extremidades nas circunferências das bases. 2- CLASSIFICAÇÃO Cilindro reto: as geratrizes são perpen- diculares aos planos da base. Cilindro oblíquo: as geratrizes não são perpendiculares aos planos da base. Observação: O cilindro reto é também cha- mado de cilindro de revolução. Cilindro Cilindro Cilindro reto oblíquo equilátero g = 2 r = h
  • 43. Tecnologia ITAPECURSOS 43 cor preto 4343434343Matemática - M2 - Secção Meridiana É a interseção de um cilindro reto com um plano que contém o eixo. A secção meridiana geralmente é um retângulo. Se ela for um quadrado, o cilindro é chamado cilindro equilátero. 3- ÁREA LATERAL Se você “abrir” o cilindro obterá um retângulo de base 2πr e altura h. Logo, a área lateral do cilindro será SI = 2πr 4- ÁREA TOTAL É a área lateral acrescida da área das duas bases. Logo: St = 2πrh + 2πr2 ou: St = 2πr(h + r) 5- VOLUME DE UM CILINDRO É dado por: V = πr2 . h IV - CONE 1- DEFINIÇÃO - ELEMENTOS - Definição: Seja C um círculo de centro O e raio r, contido num plano α , e V um ponto fora desse plano. Chamamos de cone circular ou cone à reunião de todos os segmentos cujos extremos são o ponto V e um ponto do círculo. - Elementos: Vértice: ponto V Base: círculo de centro O Altura: distância de V ao plano da base Eixo: reta VO Geratriz: segmentos com extremos em V e num ponto da circunferência da base. o 2πr h
  • 44. Tecnologia ITAPECURSOS 44 cor preto 4444444444 Matemática - M2 2- CLASSIFICAÇÃO Cone oblíquo: o eixo é oblíquo à base Cone reto: o eixo é perpendicular à base Cone oblíquo Cone reto Observação: 1) O cone reto também é chamado de cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. - Secção meridiana: é a interseção do cone com um plano que contém o eixo. A secção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles. Observação: 2) Num cone reto temos: g2 = h2 + r2 Cone equilátero: é o cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero. Num cone equilátero g = 2r e h = r r 2πr 3- ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DE UM CONE - Área lateral Destacando a base de um cone, cortando-o na direção de uma geratriz, obtemos uma planificação do cone que será um setor circular de raio g e cujo arco tem comprimento 2πr. Da geometria plana, sabemos que a área de um setor circular de raio r e arco de comprimento l é Portanto, a área lateral do cone será: - Área total
  • 45. Tecnologia ITAPECURSOS 45 cor preto 4545454545Matemática - M2 4- VOLUME DO CONE , r = raio da base e h = altura 5- SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM CONE É a interseção de um cone com um plano paralelo ao plano de sua base. Uma secção transversal divide o cone em duas partes: um cone menor e um tronco de cone. São válidas as relações: a) b) c) onde: V1 = volume do cone de altura h V2 = volume do cone de altura H r 6- TRONCO DE CONE Como já dissemos anteriormente, é uma das partes em que o cone fica dividido por uma secção trans- versal. Se o cone original que foi seccionado for um cone reto, o tronco é chamado tronco de cone reto de bases paralelas. - Área lateral de um tronco de cone reto de bases paralelas Seja Sit a área lateral do tronco, Sl a área lateral do cone de geratriz G e S’l a área lateral do cone de raio da base r. Então: Slt = Sl - S’l Slt = π RG = π r(G - g) = π RG - π rG + πrg Slt = π(RG - rG + rg) = π[G(R - r) + rg] Da semelhança dos triângulos VAO’ e VBO, tiramos: ou e daí . Substituindo vem e então: - Área total de um tronco de cone reto de bases paralelas. Mostre você que: - Volume do tronco de cone reto de bases paralelas. secção A
  • 46. Tecnologia ITAPECURSOS 46 cor preto 4646464646 Matemática - M2 V - ESFERA 1- ESFERA É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância a um ponto dado O, é menor ou igual a R, onde R > O é o raio da esfera. 2 - SUPERFÍCIE ESFÉRICA É o conjunto dos pontos do espaço, cuja distância a um ponto dado O, é igual a R, sendo R > O, o seu raio. Observação: A superfície esférica é a “casca” da esfera. 3 - SECÇÃO - CÍRCULO MÁXIMO Secção da esfera: é a interseção da esfera com um plano secante. A secção de uma esfera é um círculo. Círculo máximo: é a interseção da esfera com um plano secante que passa pelo seu centro. Observe que: 4 - PÓLOS, EQUADOR, PARALELOS E MERIDIANOS Pólos: São as interseções da superfície esférica com o eixo (P1 e P2) Equador: é a secção perpendicular ao eixo que passa pelo centro da superfície esférica (circunferência máxima) Paralelo: é toda secção da superfície esférica paralela ao equador. Meridiano: é uma secção da superfície esférica, cujo plano passa pelo eixo (é também uma circunferência máxima) 5 - DISTÂNCIAS POLARES Chama-se distância polar à distância de um pólo a um ponto qualquer de um paralelo. Exemplo: P1A = p e P2A = p’ são distâncias polares. Cálculo da distância polar. Sejam: R: o raio da esfera d: distância do centro da esfera ao plano da secção. O triângulo P1AP2 é retângulo. Então, usando as relações métricas nos triângulos retângulos obtemos: d = distância do centro O ao plano secante R = raio da esfera r = raio da secção
  • 47. Tecnologia ITAPECURSOS 47 cor preto 4747474747Matemática - M2 6 - O VOLUME DA ESFERA O volume de uma esfera de raio R é: 7 - ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA A área da superfície esférica de raio R é: 8 - FUSO ESFÉRICO É a superfície obtida pelo giro de a graus (0º < a < 360º) em torno do eixo de uma semi- circunferência com extremidades nos pólos. - Área do fuso esférico Como o fuso é “uma parte” da superfície esférica, podemos calcular sua área por uma regra de três. Basta observar que, se a = 360º (ou a = 2πrad), o fuso se transforma na superfície esférica. A) a é dado em graus. 360º - 4pR2 a - S B) α é dado em radianos 2prad - 4pR2 a - S Observação: O fuso é a “casca” de um gomo de laranja. 9 - CUNHA ESFÉRICA Se na definição anterior, substituirmos a semi-circunferência por um semi-círculo obtemos um sólido que é chamado de cunha esférica (gomo de laranja). - Volume da cunha A) a é dado em graus. 360° - a - V B) a é dado em radianos 2πrad - a - V
  • 48. Tecnologia ITAPECURSOS 48 cor preto 4848484848 Matemática - M2 MATEMÁTICA I FUNÇÃO EXPONENCIAL 1) (PUC-MG) A exponencial (a + 3)x é função decrescente. O número real a + 2 pertence ao intervalo: a) ]0,1[ d) ]-2,0[ b) ]-2,-1[ e) ]-1,0[ c) ]-1,-1[ 2) (UNA-MG) O tempo necessário, em segundos, para um computador resolver um sistema linear de n equações a n incógnitas é T(n) = n + 2n. O tempo que essa máquina levará para resolver um sistema linear de 10 equações a 10 incógnitas será: a) menor que 5 minutos. b) maior que 5 minutos mas menor que 15 minutos. c) maior que 15 minutos mas menor que 1 hora. d) superior a 1 hora. 3) (PUC-MG) Sabe-se que a população de certa cidade cresce exponencialmente de acordo com a função p = f(t) do gráfico abaixo, onde t é o tempo em anos e p, a população em milhares de habitantes. De acordo com as informações desse gráfico, o valor aproximado de t, para que se tenha p = 160, é: a) 16 b) 20 c) 24 d) 28 e) 32 4) (PUC-MG)Apopulação de uma cidade é dada pela equação y = 250 . 1,02x, em que y é a população em milhares de habitantes e x é o tempo, em anos, contado a partir de janeiro de 1997.Onúmero prováveldehabitantesdessacidade, em janeiro do ano 2000, seria aproximadamente: a) 250.000 d) 265.000 b) 255.000 e) 270.000 c) 260.000 5) (PUC-MG) Considere as funções f( x ) = 3 x e g ( x ) = x2 + x . A soma das raízes da equação f( g(x) ) = 9 é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 6) (UFOP-MG) O valor de x que satisfaz a equação seguinte é um número: 4x - 15 . 2x - 16 = 0 a) ímpar d) primo b) irracional e) par c) negativo 7) (N.Paiva-MG) Considere a equação exponencial 2k + 2-k = 3k, onde k é um número real. Os valores de k para os quais a equação exponencial admite raízes reais são: a) b) c) d)
  • 49. Tecnologia ITAPECURSOS 49 cor preto 4949494949Matemática - M2 8) (Univ. Itaúna-MG) O par (x , y) é solução do sistema . O valor de é : a) 2/5 b) 1/5 c) 3/5 d) 4/5 9) (FAFEOD-MG) O domínio da função é: a) b) R_ c) R+ d) e) R 10) (UFJF-MG) O conjunto solução, em R, da inequação é: a) d) b) e) c) 11) (PUC-MG) O par ordenado (-1,5) pertence ao gráfico da função f(x)= a x. O valor de f (1) é: a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 12) (FMTM-MG) Seja a o menor número real que é solução da equação . Pode-se afirmar que é um número: a) natural d) complexo b) primo e) divisível por 5 c) irracional 13) (Fund. João Pinheiro-MG) Certo fenômeno é regido pela lei f(x) = a .10b.x. Sabe-se que f(0) = 0,01 e f(1) = 10.000. Nesse caso, o quociente b/a deve ser igual a: a) 400 b) 500 c) 600 d) 700 e) 800 14) (UFOP-MG) A soma das raízes da equação 9x + 81 = 3x . 30 é: a) 1 c) 27/28 e) 30 b) 81/28 d) 4 15) (FCMMG) Suponha que a temperatura de um corpo, colocado num instante t = 0 em um meio mais frio, obedeça à seguinte lei: T(t) - A = B.e -k.t, em que A é a temperatura do meio ambiente, T(t) é a temperatura do corpo no instante t, B e K são constantes e e é aproximadamente 2,7. Suponha ainda que no instante t = 0 o corpo tenha temperatura de 36,5 °C, e que este se encontre em uma sala mantida a 20 °C. O valor de B é: a) 16,5 °C c) 36,5 °C b) 28,25 °C d) 56,5 °C 16) (Fac. Milton Campos-MG) Se a é raiz da equação , então é igual a: a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 3/2 17) (Fund. João Pinheiro-MG) Uma população, a partir de 1995, tem a seguinte lei de formação: Estima-se que, em certo ano, essa mesma população será 32 vezes a de 1995. Assim sendo, esse ano seria: a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2002 e) 2004 18) (CEFET-MG) O ponto de interseção das curvas é: a) (-1,0) c) (0,1) e) (1,1) b) (0,-1) d) (1,0) 19) UFMG) Observe a figura. Nessa figura, está representado o gráfico da função f(x) = b x , b > 0. Se , a única afirmativa VERDA- DEIRA sobre o valor de b é: a) d) 1 < b < 4 b) e) 4 < b < 9 c) 20) (PUC-MG) O número de raízes reais da equação é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
  • 50. Tecnologia ITAPECURSOS 50 cor preto 5050505050 Matemática - M2 LOGARITMO 1) (UFMG) Seja . Nesse caso, o valor de y é: a) 35 b) 56 c) 49 d) 70 2) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, os pontos B e C estão sobre o gráfico da função ; os pontosAe D têm abscissas iguais a 8/3 e 12, respectivamente, e os segmentos AB e CD são paralelos ao eixo y. Então, a área do trapézio ABCD é: a) 64/3 b) 70/3 c) 74/3 d) 80/3 3) (UNA-MG) A calculadora de um aluno possui a tecla ln e não possui a tecla log. Ele deseja calcular log 2 em sua máquina. Para tal ele deve: a) calcular ln 2 , calcular ln 10 e somar o primeiro com o segundo. b) calcular ln 2 , calcular ln 10 e subtrair o primeiro do segundo . c) calcular ln 2 , calcular ln 10 e multiplicar o primeiro pelo segundo . d) calcular ln 2 , calcular ln 10 e dividir o primeiro pelo segundo. Fazendo a correspondência entre as funções e os gráficos, assinale, dentre as alternativas abaixo, a seqüência correta: a) I-B , II-D , III-A , IV-C b) I-A , II-D , III-C , IV-B c) I-A , II-B , III-C , IV-D d) I-C , II-B , III-A , IV-D e) I-B , II-C , III-D , IV-A 5) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere a,b,c, três números positivos tais que e . Nessas condições, log bc é igual a: a) –6,8 b) –2,2 c) –2,4 d) 2,5 e) 6,6 6) (PUC-MG) Se log4 (x + 2) + log2 (x + 2) = 3, o valor de x é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 7) (UNIMONTES-MG) Hoje, graças ao aprimoramento das técnicas de previsão, podemos responder a questões como: quantos habitantes há no nosso planeta ?; em que ano a população de um determi- nado estado, país ou continente estará duplicada?. A população de um continente cresce de acordo com a equação P(t) = P0 . eit, onde P0 é a população no instante em que se inicia a contagem, t é dado em anos e i é a taxa de crescimento anual da população. Sabendo que loge2 = 0,693 e que a população do nosso continente cresce à taxa de 3,5% ao ano, então ela se duplica depois de: a) 19,8 anos c) 0,198 anos b) 1,98 anos d) 0,0198 anos 8) (FAFEOD-MG) Na tabela abaixo, estão discriminados cinco números reais e seus respectivos logaritmos decimais: 4) (UNA-MG) Considere as seguintes funções reais e os seguintes gráficos: ( A ) ( C ) ( B ) ( D ) (I) f(x) = 5x (II) f(x) = (III) f(x) = (IV) f(x) = log x Analise as seguintes alternativas: I. a . b= 10 II. b2 – r = 0 III. os números a e r são menores que 1 IV. c > d V. 2,5 ≤ a . b . c . d . r ≤ 10 Número Logaritmo Decimal a 0,699 b 0,301 c 0,477 d 0,431 r 0,602
  • 51. Tecnologia ITAPECURSOS 51 cor preto 5151515151Matemática - M2 Assinale a alternativa CORRETA: a) todas as afirmativas são falsas. b) apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. c) apenas as afirmativas III e V são falsas. d) todas as afirmativas são verdadeiras. 9) (UNI-BH) O intervalo que NÃO está contido no con- junto solução da inequação log 2 x - 1 5 < log 2 x - 1 2 é: a) [ ,1 [ b) ] -1, ] c) ] 0,1 [ d) ] [ 10) (Fund. João Pinheiro-MG) O montante M de um capital C aplicado à taxa de i% ao mês, durante n meses consecutivos, é dado pela fórmula M = C (1 + i)n. A partir dessa fórmula e utilizando-se logaritmos, obtém-se para n a expressão: a) b) c) d) e) 11) (Itaúna-MG) Sendo e y = log3 = , o valor de –x2 y é: a) –3 b) –2 c) 4 d) 2 12) (PUC-MG) Se , o valor de p é: a) n b) 10n c) 10n d) n10 e) n/10 13) (CEFET-MG) Sabendo que loga3 = x, logb3-5 = y e que b = a4, pode-se afirmar que: a) 4x = -5y d) 5x = -4y b) x = -5y e) 20x = -y c) x = -20y 14) (PUC-MG) A raiz quadrada de é: a) p d) 4p b) 2p e) 5p c) 3p 15) (PUC-MG) O valor de N = log2 25 - log2 100 é: a) –6 b) –5 c) –4 d) –3 e) –2 16) (PUC-MG) Sabe-se que y é um número positivo e que . O valor de y é: a) b) c) d) 17) (UFLA-MG) O valor de x na expressão é: a) log 2 b) 0 c) 2 d) log 8 e) –3 18) (CEFET-MG) O valor de y que satisfaz a equação é: a) 3 b) 9 c) 18 d) 30 e) 54 19) (UFLA-MG) Sabendo-se que logx a = 2, logx b = 3 e logx c = 5, com a, b, c > 0 e 0 < x ≠ 1, então a expressão vale: a) 10 b) 5 c) 0 d) -5 e) -10 20) (PUC-MG) A raiz da equação é: a) b) c) d) e)
  • 52. Tecnologia ITAPECURSOS 52 cor preto 5252525252 Matemática - M2 POLINÔMIOS 1) (PUC-MG) A igualdade a ( x + 2 ) + b ( x – 1 ) = 3 é verificada para qualquer valor de x. O valor do número b é: a) –1 b) –1/2 c) 1/2 d) 1 e) 2 2) (IH-MG) Dada a igualdade , com , o valor de A – B é: a) –3 b) –2 c) 1 d) 3 e) 4 3) (UFMG) Considere os polinômios e , em que a, b, c e d são números reais. Sabe-se que P(x) = Q(x) para todo x Î R. Assim sendo, o número d é igual a: a) 1/8 b) 2/3 c) 4/5 d) 3 4) (UFJF-MG) Ao dividirmos um polinômio p(x) por outro polinômio q(x) encontramos um resto r(x) = x – 1. É CORRETO afirmar que: a) o grau de p(x) é igual a 2. c) o grau de q(x) é maior que 1. b) o grau de q(x) é igual a 2. d) o grau de p(x) é igual a1. 5) (PUC-MG) O polinômio P(x)= x 3 – 4x 2 + 5x + m – 3 , é divisível por x + 1. O valor de m é: a) 1 b) 13 c) 4 d) 14 e) 22 6) (FMTM-MG) Dividindo-se o polinômio P(x) por 3x – 2 obtém-se quociente Q(x)= x 2 – 2x + 5 e resto r. Se P(2) = 20 , então o valor de r é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 5 e) 20 7(PUC-MG) Sendo , nota-se que P ( 1 ) = Q ( 1 ) = 0. A forma mais simples da fração é: a) b) c) d) e) 8) (UFMG) Sejam , onde Q (2) = 0. O resto da divisão de Q( x ) por P( x ) é: a) –x –2 b) 9x – 18 c) x + 2 d) 0 e) –9x + 18 9) (FAFEOD-MG) Considere os polinômios, P(x) = 5x5 + ax3 + bx2 + 3x + 250, Q(x) = x-2 e T(x) = 5x4 +cx3 + dx2 + kx + 375, sendo a, b, c, d e k constantes reais. Se o quociente da divisão de P(x) por Q(x) é T(x), então o resto dessa divisão é igual a: a) –850 b) –500 c) 750 d) 1.000 10) (PUC-MG) O polinômio P ( x ) = x 3 + x 2 – 10x + 8 é tal que P ( a ) = P ( b ) = P ( 2 ) sendo a > b. O valor de a – b é: a) 3 b) 5 c) 6 d) 9 e) 11 11) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x + 4. O valor de a + b + c + d é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
  • 53. Tecnologia ITAPECURSOS 53 cor preto 5353535353Matemática - M2 12) (PUC-MG) O valor de B na identidade 4x + 1 = A (2x + 3) + B é: a) –5 b) –4 c) –3 d) –2 e) –1 13) (UFMG) Sejam A e B números reais que satisfazem à igualdade para todo valor de x que não anula nenhum dos denominadores. A soma A + B é: a) –1 b) c) 0 d) e) 14) (UFJF-MG) O polinômio p(x), quando dividido por x3 + 1, fornece o resto x2 – 2. O resto da divisão de p(x) por x + 1 é: a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 15) (Fac. N.Paiva-MG) Considere os polinômios A(x) = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + ax + b e B(x) = x 2 - 1. Suponha que A(x) seja divisível por B(x). Então, é correto afirmar: a) a + b = 6 b) A soma dos coeficientes de [B(x)]2 é 4. c) a – b = 4 d) a2 + b2 = 20 e) 2a + b = 0 ANÁLISE COMBINATÓRIA 1) (UNIMONTES-MG) Considere E={ 1,2,3 } e F={ 1,2,3,4,5 }.O número de funções injetoras de E em F é: a) 15 b) 60 c) 20 d) 125 2) (FCMMG) Observe a figura. Nela está representada a planta de um cômodo contendo 3 portas na primeira parede, 5 na segunda e 4 na terceira. Uma pessoa deseja chegar ao ponto B, partindo do ponto A, passando exatamente por três das portas indicadas na figura. O número de maneiras distintas que ela pode fazer isso é: a) 11 b) 23 c) 32 d) 60
  • 54. Tecnologia ITAPECURSOS 54 cor preto 5454545454 Matemática - M2 3) (FMTM-MG) Os clientes de um banco devem escolher uma senha, formada de 4 algarismos de 0 a 9 de maneira que não haja algarismos repetidos em duas posições consecutivas. As senhas 0780 e 1212, por exemplo, são possíveis, enquanto que as senhas 7228 e 1169 não são. O número de senhas válidas é: a) 5.040 c) 8.100 e) 10.000 b) 7.290 d) 9.000 4) (Fund. João Pinheiro-MG) Em um torneio de tênis de mesa, havia 11 participantes. Cada um deles jogou uma única vez com os demais. Portanto, ao final do torneio, foram disputados a) 11 jogos c) 44 jogos e) 66 jogos b) 22 jogos d) 55 jogos 5) (UEMG) Um homem, vistoriando seu guarda- roupa, percebeu que o número de calças é o triplo do número de camisas. Sabendo-se que, com as peças de roupas do guarda-roupa, ele consegue fazer 147 combinações do tipo calça e camisa, é CORRETO afirmar que o total de peças de roupas, entre calças e camisas existentes no guarda-roupa é: a) 32 b) 29 c) 28 d) 24 6) (Univ. Itaúna-MG) Se A n . 3 = 4C n . 2 , então o valor de n ! é: a) 3 b) 2 c) 6 d) 24 7) (PUC-MG) A expressão , quando simplificada, resulta em: a) n+1 b) n+2 c) n+3 d) n e) 2n 8) (UFLA-MG) Um banco adotou para os seus clientes um sistema de senhas de quatro letras, permitindo-se a repetição de letras (por exemplo: gbbm, aaaa, ddde). Como o alfabeto tem 26 letras, o número de senhas diferentes neste sistema é: a) . b) permutação de 26 elementos. c) arranjo simples de 26 elementos tomados quatro a quatro. d) 264. e) combinação de 26 elementos tomados quatro a quatro. 9) (UFMG) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é: a) 35 b) 45 c) 210 d) 73 e) 7 ! 10) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras diferentes de se fazer a programação dessa semana é: a) 144 b) 576 c) 720 d) 1.040 11) (CEFET-MG)Aquantidade de números ímpares de três algarismos distintos que se pode formar com os números 2, 3, 5, 6, 7 e 8 é: a) 15 b) 30 c) 60 d) 120 e) 360 12) (PUC-MG) Uma jarra cilíndrica deve ser pintada com três faixas de cores diferentes usando as tintas disponíveis verde, vermelha, amarela, azul e preta. O número de jarras que se pode pintar, com padronagens diferentes é: a) 120 b) 100 c) 90 d) 70 e) 60 13) (UNI-BH) Em uma sala de aula há 20 alunos, sendo 11 homens e 9 mulheres. Elegeu-se um homem como representante de turma e uma mulher para vice-representante. O número de possíveis chapas vencedoras é: a) menor que 100. b) maior que 100 e menor que 1.000. c) maior que 1.000 e menor que 10.000. d) maior que 10.000. 14) (PUC-MG) Em um campeonato de futebol, cada um dos 24 times disputantes joga contra todos os outros uma única vez. O número total de jogos desse campeonato é: a) 48 b) 96 c) 164 d) 276
  • 55. Tecnologia ITAPECURSOS 55 cor preto 5555555555Matemática - M2 15) (Fund. João Pinheiro) Uma escola de computação oferece aos alunos seis cursos básicos e cinco cursos de extensão. Pelo total cobrado, cada aluno tem direito a fazer um pacote de sete cursos, dos quais, no mínimo, quatro têm que ser básicos. Nesse caso, o número total de pacotes distintos de cursos disponíveis aos alunos é: a) 140 b) 168 c) 210 d) 215 e) 840 16) (Fac. Newton Paiva-MG) Seja . O número de frações diferentes de 1 que se podem formar com os elementos de A é: a) 42 b) 56 c) 82 d) 84 e) 112 17) (FCMMG) Um laboratório dispõe de 5 camundongos machos e n fêmeas. Se existem 360 maneiras de selecionar dois machos e duas fêmeas para uma experiência, o número n é igual a: a) 6 b) 9 c) 10 d) 12 18) (FMTM-MG) O primeiro robô resultado de filmes de ficção científica chamava-se “TOBOR”, nome este originado pela inversão da palavra “ROBOT”. Seguindo os princípios da contagem, o número de anagramas distintos, utilizando as cinco letras que formam estas palavras, é: a) 30 b) 40 c) 60 d) 120 e) 240 19) (FMTM-MG) Em uma festa de aniversário havia n pessoas. Cada uma cumprimentou as outras com um aperto de mão. Sabendo-se que houve ao todo 45 apertos de mão, pode-se afirmar que: a) n é um número primo. b) n é um número ímpar. c) n é divisor de 15. d) n é divisor de 5. e) n é múltiplo de 5. 20) (UFJF-MG) O conjunto X tem 4 elementos e o conjunto Y tem 7 elementos. O número de funções f : X ® Y que se pode definir é: a) 24 c) 840 e) 16.384 b) 28 d) 2.401 BINÔMIO DE NEWTON 1) (IH-MG) No binômio , o termo independente de x é: a) –30240 c) 45 e) 30240 b) -252 d) 252 2) (UNI-BH) O termo central do binômio é: a) 20 b) 8x3 c) d) 540x-3 3) (UFU-MG) O termo racional no desenvolvimento de é: a) 350 c) 1.400 e) 54 b) 64 d) 700 4) (UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do desenvolvimento do binômio de Newton (x + a)11 igual a 1.386x5 , o valor de a deve ser: a) c) e) b) d) 3 5) (UNIFOR-CE) O número natural n que é solução da equação é: a) primo. d) quadrado perfeito. b) divisível por 2. e) maior que 20. c) múltiplo de 3. 6)(UNI-BH)Osvaloresdexqueverificamaidentidade são: a) 0 ou 10 d) 1 b) –2 ou –1/2 e) 1 ou 13/3 c) –2 ou 10/3 7) (PUC-MG) O 6º termo no desenvolvimento do binômio segundo as potências decrescentes de x, é se, e somente se, k for igual a: a) 6 b) 4 c) 2 d) 1/2 e) 1/4
  • 56. Tecnologia ITAPECURSOS 56 cor preto 5656565656 Matemática - M2 8) (UFV-MG) O coeficiente do termo independente de x, no desenvolvimento de para x ≠ 0, é: a) 28 b) 56 c) 3 d) 0 e) 36 MATRIZ 1) (PUC-MG) Considere as matrizes . O valor de n é: a) 3 b) 4 c) 8 d) 14 e) 22 2) (PUC-MG)Considere as matrizes . O valor de p é: a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10 3) (UFLA-MG) Seja A={ a i j } uma matriz 3x3 dada por . A matriz pode ser escrita como: a) b) c) d) e) 4) (Fac. M.Campos-MG) A soma dos elementos da segunda linha da matriz M = (a ij)3 x 2 definida por é igual a: a) 4 b) 2 c) 0 d) –2 5) (PUC-MG) A matriz é quadrada de ordem 3 e . O valor de é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 6) (PUC-MG) Considere as matrizes e M = AB + 3C. A matriz M é igual a: a) b) c) d) e) 7) (PUC-MG) A matriz inversa de é: a) b) c) d) e)
  • 57. Tecnologia ITAPECURSOS 57 cor preto 5757575757Matemática - M2 8) (UNA-MG) Na matriz A2x2 temos que o elemento aij = i + 2j. A matriz A2 vale: a) b) c) d) 9) (UNA-MG) Uma revendedora comercializa 4 produtos e possui 4 filiais. Na matriz o elemento que está na linha i e coluna j representa o estoque do produto i na filial j , por exemplo , existem 14 unidades do produto 1 na filial 4. A filial que possui maior estoque do produto 2 é a: a) filial 1 b) filial 2 c) filial 3 d) filial 4 10) (PUC-MG) A matriz é a inversa de . O valor do número real b é: a) –1 b) 1/4 c) 1/2 d) 1 e) 2 11) (PUC-MG) Se então xy é igual a: a) –6 b) –5 c) –1 d) 1 e) 6 12) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere a matriz A = (aij) tal que a11 = -1, a12 = 1, a21= 1 e a22 = . Nessas condições, a soma de todos os elementos da inversa da matriz A deve ser igual a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 13) (UFJF-MG) Três vereadores foram designados para compor a Comissão de Orçamento do Município para o ano de 1994. Eles devem escolher entre si o presidente para a referida comissão, sendo que cada vereador pode votar em até dois nomes. Cada um recebeu um número de um a três e os votos foram tabulados conforme a matriz A, dada a seguir. Então, o número do candidato mais votado e o número de candidatos que votaram em si mesmos são, respectivamente: a) 1 e 3 b) 2 e 2 c) 3 e 1 d) 2 e 3 e) 3 e 2 14) (UFV-MG) Seja a equação matricial A.B + X = Ct onde Ct é a matriz transposta de C. Se A e B são matrizes de tipos 3x4 e 4x2, respectivamente, então para que exista uma matriz X, solução da equação, a matriz C deve ser do tipo: a) 2x3 b) 2x4 c) 3x2 d) 3x3 e) 3x4 15) (UNA-MG) Sejam . Se AX = B, então X é: a) b) c) d) e)
  • 58. Tecnologia ITAPECURSOS 58 cor preto 5858585858 Matemática - M2 DETERMINANTE 1) (CEFET-MG) O valor do determinante é: a) –11 b) –1 c) 0 d) 1 e) 11 2) (UNI-BH) Sabendo-se que , o determinante da matriz é: a) b) 3x c) 9x d) 27x 3) (PUC-MG) Considere o triângulo retângulo de vértices V1 , V2 , V3 da figura . O determinante da matrizA= (aij)3x3 em que aij = distância Vi Vj, é igual a: a) 0 c) e) b) d) 4) (UFJF-MG) Sendo , então podemos afirmar que: a) X é uma matriz quadrada de ordem 4. b) X é uma matriz diagonal. c) d) o determinante do dobro da matriz X é o dobro do determinante da matriz X. e) a matriz inversa de X é . 5) (UFLA-MG) Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 6, qual o valor de x na equação det (2 A-1 . At) = 4x ? a) 72 b) 18 c) 12 d) 2 e) 1/2 6) (UFOP-MG) Sendo a matriz , onde , podemos afirmar que o determinante de M é: a) xy b) 2xy c) d) e) 7) (UNI-BH) Se , então o determinante de A . Bt, onde Bt é a transposta de B, vale: a) –16 b) –15 c) 15 d) 16
  • 59. Tecnologia ITAPECURSOS 59 cor preto 5959595959Matemática - M2 8) (UFV-MG) Considerando a matriz , o valor do determinante da matriz B = A2 é: a) (x2 + y2)2 b) y4 – x4 c) (y2 – x2)2 – 4x2y2 d) (y2 – x2)2 e) y4 + x4 9) (PUC-MG) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2. Se det A = 5 e , então, podemos afirmar que det B é: a) –5 b) –2 c) 2 d) 5 e) 10 10) (CEFET-MG) Sabendo-se que o valor do número real 2a – 3b2 será: a) –89 b) –61 c) –81 d) –69 e) 81 SISTEMAS LINEARES 1) (CEFET-MG) Se o sistema tem solução única, então: a) 2mn b) m - 2n c) m - 2n = 0 d) m + 2n = 0 e) m + 2n 2) (Fund. João Pinheiro – MG) O sistema , nas variáveis x e y, é indeterminado. Nesse caso, a diferença m – n é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3) (UNIMONTES-MG) O sistema linear cujas equações são planos paralelos distintos, é classificado, quanto ao número de soluções, como sendo: a) inadequado para análise. c) possível e indeterminado. b) possível e determinado. d) impossível. 4) (UFJF-MG) Faz-se um primeiro e um segundo lançamento consecutivo de um dado de forma a escolher, respectivamente, os parâmetros a e b para o sistema .Aprobabilidade de o sistema obtido ser indeterminado é: a) 1/12 b) 1/6 c) 1/4 d) 2/3 5) (ESPCEX) O sistema admite mais de uma solução se, e somente se: a) k = 7/6 b) k = 7/5 ou k = 2 c) k = 7 ou k = - 2 d) k = 2/3 ou k = 1/2 e) k = 0
  • 60. Tecnologia ITAPECURSOS 60 cor preto 6060606060 Matemática - M2 6) (ESPCEX) A soma das soluções do sistema é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 7) (FDV-ES) Pedro, Maria e Rogério saíram pelo trânsito da cidade, arrecadando dinheiro para a festa de formatura da turma. No final do dia, juntos, eles somaram R$ 150,00. Quando souberam que a festa estava cancelada, os três resolveram dividir igualmente o dinheiro arrecadado. Dessa forma, Pedro ficou com o dobro do que arrecadou, Maria com R$ 5,00 a menos do que arrecadou e Rogério com R$ 20,00 a menos do que arrecadou. Pedro, Maria e Rogério arrecadaram, em reais, respectivamente: a) 25, 45 e 80 b) 30, 50 e 70 c) 50, 25 e 75 d) 50, 45 e 55 e) 25, 55, e 70 8) (UERJ) Observe os pesos P1, P2 e P3 que possuem, cada um, uma quantidade inteira em kg. Colocando-se um, dois ou os três pesos em um mesmo prato de uma balança, pode-se equilibrar, no outro, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou, no máximo, 7 kg de batatas. Entre P1, P2 e P3, o mais pesado mede, em kg: a) 3 b) 4 c) 5 d) 9 9) (MACK-SP) A soma de todos os valores de k, para os quais o sistema tem mais de uma solução, é: a) 10 b) 14 c) 18 d) 12 e) 20 10) (UFU-MG) Estudando o sistema linear verificamos que ele é: a) homogêneo indeterminado. d) impossível e indeterminado. b) possível e determinado. e) impossível e determinado. c) possível e indeterminado. 11) (UFJF-MG) Um sistema linear homogêneo com m equações lineares e n incógnitas: a) é sempre possível. d) nem sempre é possível. b) é possível somente quando m < n. e) é possível somente quando m > n. c) é possível somente quando m = n. 12) (PUC-MG) O par ordenado (a,b) é solução do sistema valor de é: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 13) (UNA-MG) O valor de m de modo que (2,-1) seja solução do sistema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) d
  • 61. Tecnologia ITAPECURSOS 61 cor preto 6161616161Matemática - M2 14) (PUC-MG) O sistema é indeterminado. O valor de a + b é: a) –3 b) –2 c) –1 d) 1 e) 2 15) (Fac. Milton Campos) O sistema não tem solução quando m é igual a: a) –2 b) 3 c) 1 d) 2 e) –3 PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 1) (PUC-MG) O centésimo primeiro termo da seqüência ( -3, -1, 1, 3, ...) é igual a: a) 197 b) 203 c) 213 d) 215 e) 217 2) (Fund. João Pinheiro-MG) Paguei uma dívida durante 14 meses consecutivos, desta forma: no primeiro mês, R$ 350,00; no segundo, R$ 400,00; no terceiro, R$ 450,00 e assim sucessivamente, ou seja, a cada mês, paguei R$ 50,00 a mais do que no mês anterior. Então, o valor total da dívida que paguei foi: a) R$ 9.450,00 d) R$ 9.650,00 b) R$ 9.540,00 e) R$ 9.660,00 c) R$ 9.560,00 3) (N. Paiva – MG) Sabendo-se que, em uma progressão aritmética, o primeiro termo é 1, o último termo é n2, e são inseridos outros n termos, pode-se dizer que a razão da P.A será uma função de n, na forma: a) n – 1 b) n2 + 1 c) n + 1 d) n2 – 1 4) (ITA-SP) O valor de n que torna a seqüência 2 + 3n, -5n, 1 – 4n, uma progressão aritmética pertence ao intervalo: a) [-2, -1] b) [-1, 0] c) [0,1] d) [1, 2] e) [2, 3] 5) (PUC-MG) O trigésimo primeiro termo da progressão geométrica é igual a 2k. O valor de k é: a) –14,0 b) –14,5 c) –15,0 d) –15,5 e) –16,0 6) (Provão) Se a população de certa cidade cresce 2% ao ano, os valores da população a cada ano formam uma progressão: a) geométrica de razão 1,2. d) aritmética de razão 1,02. b) geométrica de razão 1,02. e) aritmética de razão 0,02. c) geométrica de razão 0,02. 7) (UFLA-MG) Sabendo-se que os números a0, a1, 75, a3 e 1875 estão em progressão geométrica, o valor de a3 é: a) 100 b) 1.500 c) 225 d) 375 e) 1.125 8) (PUC-MG) O valor de x que verifica a equação é: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 28
  • 62. Tecnologia ITAPECURSOS 62 cor preto 6262626262 Matemática - M2 9) (UFOP-MG) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 – 5, que formam, por sua vez, uma progressão aritmética, nessa ordem .O perímetro do triângulo mede: a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 24 10) (FMTM-MG) Na progressão geométrica (3logx, 3logy, 3logz) , sendo x , y e z números reais positivos, o valor de y é: a) x + z d) x . z b) x – z e) c) 11) (Unimontes – MG) Uma Progressão Harmônica é uma seqüência de números tais que seus inversos formam uma Progressão Aritmética. O segundo, terceiro e quarto termos de uma Progressão Harmônica são 2, 3 e 6, respectivamente. A soma dos quatro primeiros termos da Progressão Harmônica é: a) 11 b) 25 c) 5/3 d) 25/2 12) (N. Paiva – MG) Um professor de matemática que amava igualmente a literatura descobriu que reunia em sua biblioteca particular 70 autores diversos, entre prosadores e poetas. Denotando por A o conjunto dos poetas e por B o conjunto dos prosadores, ele verificou que as quantidades A – B , A Ç B e B – A constituíam uma progressão geométrica. Sabendo-se que, do conjunto dos poetas, apenas 10 nunca haviam escrito obra em prosa, quantos autores escreviam prosa e poesia? a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 35 13) (UFV-MG) Usando-se um conta gotas , um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma : a mistura é feita em intervalos regulares , sendo que no primeiro intervalo são colocadas 4 gotas e nos intervalos seguintes são colocadas 4 gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é: a) 1100 c) 1600 e) 1200 b) 1300 d) 900 14) (UFOP-MG) Três polígonos têm o número de lados definidos em P.A de razão 3. Sabe-se que a soma de todos os ângulos internos desses polígonos é 3240°. O número de lados de cada polígono é, respectivamente: a) 4 , 7 , 10 b) 9 , 12 , 15 c) 3 , 6 , 9 d) 5 , 8 , 11 e) 6 . 9 . 12 15) (UFOP) A figura mostra um triângulo retângulo cujos lados formam uma P.G. de razão q. Então a razão q vale: a) d) b) e) c)
  • 63. Tecnologia ITAPECURSOS 63 cor preto 6363636363Matemática - M2 PRISMA 6) (PUC-MG) A figura representa uma caixa com tampa e que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada com lado medindo x; a altura da caixa mede y, e sua área total mede 100 m2.Afunção que expressa o volume V dessa caixa, em função de x, é: a) b) c) d) e) 7) (ESPCEX) Uma piscina em forma de paralelepípedo retângulo tem largura de 6 metros, diagonal do fundo com 10 metros e diagonal da face que contém o comprimento igual a metros. Para enchê-la com água será utilizado um caminhão tanque com capacidade de 6 000 litros. O número de cargas completas , desse mesmo caminhão , necessárias para que a piscina fique completamente cheia é: a) 24 b) 28 c) 32 d) 54 e) 80 8) (PUC-MG) Na figura , o cubo tem aresta de 4 cm e BP = 2 cm está sobre o prolongamento da aresta AB. A medida do segmento PG , em centímetros , é: a) 6 b) c) d) e) 8 9) (UNA-MG) Uma piscina olímpica possui a forma de um prisma reto de base retangular de 50 m de comprimento, por 25 m de largura, por 2 m de profundidade. O número de litros de água necessários para enchê-la totalmente é: a) 2,5 x 102 c) 2,5 x 105 b) 2,5 x 103 d) 2,5 x 106 1) (FMTM-MG) Se a área da base de um prisma aumenta 20% e a altura diminui 10%, seu volume: a) aumenta 8% d) diminui 8% b) aumenta 10% e) diminui 10% c) aumenta 108% 2) (CEFET-MG) Se as áreas das faces de um paralelepípedo retângulo medem 6 cm2, 9 cm2 e 24 cm2 , então o volume desse paralelepípedo, em cm3, é: a) d) 39 b) e) 1296 c) 36 3) (CEFET-MG) Um tanque na forma de um paralelepípedo retângulo tem por base um retângulo de lados 0,8 m e 1,2 m. Se um objeto é mergulhado totalmente nesse tanque e faz o nível da água subir 0,075 m , então o volume do objeto, em m3, é: a) 0,066 d) 0,600 b) 0,072 e) 1,000 c) 0,096 4)(UNI-BH)Deumparalelepípedoconhecem-seduas das suas dimensões, 3 cm e 4 cm , e a diagonal, cm. A dimensão desconhecida é, em centímetros: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 5) (UEMG) Uma piscina tem a forma do sólido, conforme a figura. Sendo suas medidas dadas em metros, pode-se afirmar que a capacidade dessa piscina, em litros, é de: a) 55.000 c) 72.000 b) 58.000 d) 92.000 MATEMÁTICA II
  • 64. Tecnologia ITAPECURSOS 64 cor preto 6464646464 Matemática - M2 10) (UFMG) Todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1 são: a) 1 e b) 1, e 2 c) 1, e d) 1, e 3 11) (UFLA-MG) Num prisma triangular, regular e reto, todas as arestas têm a mesma medida, e o volume é de 0,375 m3. A aresta, medida em metros, é igual à raiz cúbica de: a) 1 b) 1/3 c) d) e) 1/2 12) (UFOP-MG) Uma caixa d’água, em forma de paralelepípedo retângulo, tem dimensões de 1,8m, 15 dm e 80 cm. Sua capacidade é: a) 2,16 L b) 21,6 L c) 216 L d) 1080 L e) 2.160 L 13) (UbNESP) Se um tijolo, dos usados em construção, pesa 4 kg, então um tijolinho de brinquedo feito do mesmo material e cujas dimensões sejam 4 vezes menores, pesará: a) 62,5 g b) 250 g c) 400 g d) 500 g e) 1.000 g 14) (UFPA) Um prisma hexagonal regular tem para altura a diagonal de um cubo de aresta a. Se o volume do cubo é igual ao do prisma, a aresta da base do prisma mede: a) b) c) d) e) 15) (UFLA-MG) De um prisma retangular reto recorta-se um outro prisma retangular reto, cujas dimensões valem exatamente a metade das medidas das dimensões do sólido inicial. Assim o volume do prisma menor representa uma porcentagem do volume do prisma maior. Essa porcentagem é de: a) 12,5% b) 0,125% c) 1,25% d) 50% e) 5%