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Matemática Básica
9ª Lista de Exercícios – Equação e Função do 1º e 2º graus
Equação do 1º Grau
Exercício 1
Resolva as equações:
a) 4x + 8 = 3x - 5
b) 3a - 4 = a + 1
c) 9y - 11 = - 2
d) 5x - 1 = 8x + 5
Exercício 2
Verifique se - 7 é raiz da equação: 2(x + 4) – x/3 = x - 1
Exercício 3
Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: 2x - 3 = 16
Exercício 4
Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5
anos mais nova?
Exercício 5
Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6?
Exercício 6
Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3?
Exercício 7
Qual é o número que somado com 5 é igual a 11?
Exercício 8
Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13?
Exercício 9
Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção
representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano
anterior?
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Equação do 2º Grau
1) Resolva as seguintes equações do 2° grau, em ℜ:

a) 2 x 2 − 50 = 0
e) 1 +

x2 5
=
4 2

b) 3 x 2 − 8 x = 0
f)

c) x 2 + 9 = 0

d ) (2 x + 1) 2 − 5 (2 x + 1) + 4 = 0

x− 3
1
+1=
2
x −4
x− 2

2) Considere as expressões: A = 5 (x - 3) – 2x (x - 3) e B = 4 – (3x + 1)2. Resolva a equação A = B – 18.
3) Determine, em ℜ, o conjunto solução das equações:
a) x 2 − x − 6 = 0

b) 2 x 2 + 2 x = −1

c) 5 x 2 + 6 x + 1 = 0

e) 4 x 2 + 9 = 12 x

d ) 3x ( x + 1) − x = 33 − ( x − 3) 2

1

 1
f ) 2  x −  − 3 1 −  = 0
x

 x

4) Determine o domínio de validade e resolva as seguintes equações:

3
6
3x
3
− 4= x+
b)
− 2 =2
x
2x
x+ 2 x − 4
x
3
3
d)
−
=
x − 2 x − 1 x 2 − 3x + 2
a)

c)

3x − 1 3x + 2
1
+
= 3− 2
2x − 1 2x + 1
4x − 1

5) Resolva os seguintes sistemas de equações:

1 7
x+ y= 2 x+ y= 9 (3+ ).(4+ yx )= 20  + =
a)  22 b) 22 c) d)x y 12
x + y = 10 x+ y − 2x y= 23 x+ y= 2 
x y= 12
6) Resolva, em ℜ, a seguinte equação literal do 2° grau na variável x:

2 x 2 − 3ax + a 2 = 0
7) Resolva as equações biquadradas em ℜ:

a) x 4 + x 2 − 2 = 0
d)

x2 − 2
+ 2 = x2
x2 − 4

b) x 4 − 5 x 2 + 10 = 0

c) 6 x 4 + (2 x 2 − 3) 2 = (2 x 2 + 1) 2 + 14
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8) Resolva, em ℜ, as equações irracionais:
a)

x 2 − 5 x − 20 = 2

b)

2x2 + x − 6 = x + 2

c) x + x − 1 = 13

d) 1+ x + 1− x = 2

9) Ache dois números inteiros positivos e consecutivos sabendo que a soma de seus quadrados é 481.
10) O produto dos dois termos de uma fração é 224. Subtraindo 1 do denominador e adicionando 1 ao
numerador, os dois termos ficam iguais. Determine essa fração.
11) Um jardim de forma retangular tem 96m 2 de área. Se aumentarmos o comprimento desse jardim em 3m e
a largura em 2m, a área do jardim passa a Ter 150 m2 . Calcule as dimensões originais do jardim.

12) Uma das raízes da equação ax – x2 = 0 é a média aritmética das raízes da equação x2 – 6x + 4 = 0.
O valor de a é
A)
B)
C)
D)
E)

3
6
33+
7

5
5

13) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são
roubados, em média, 150 carros por ano.
O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as
marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados.
O número esperado de carros roubados da marca Y é:
C) 20.
D) 30.
E) 40.
F) 50.
G) 60.

Exercícios Complementares – Função do 1º Grau
1) Escrever a equação da reta que passa pelo ponto P com coeficiente angular a.
a) P(1, 1); a = 1
b) P(-1, 1); a = -1
2) Escrever a equação da reta que passa pelos dois pontos dados.
a) P(0, 0) e Q(2, 3)
b) P(1, 1) e Q(2, 1)
3) O gráfico representa a função y = f(x) = ax + b
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y
50

20
y
x

10

0

70

x

a) Calcule a e b.
b) Determine as coordenadas dos pontos x e y, em que a reta corta os eixos coordenados.

4) Calcule as raízes e esboce os gráficos das seguintes funções:
a) y = 3 x −1
e) y = −x 2 + x + 6

b) y = −x + 5

c) y =

3
x+4
2

d) y = 2 x 2 − 5 x + 3

f) y = 25 +10 x + x 2

5) Determine os valores da função f(x), definida por duas partes, para x = -1, x = 0, x = 3 e x = 20.
f(x) =

1
se x < 1
x −1
3x2+1 se x > 1

6) Faça o gráfico da função linear por partes:
y = f(x) = 2x +1
y = f(x) = x

para x < 1
para x > 1

e

7) Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = – 3x ² + 60x onde x é a
distância e y é a altura atingida pela bala do canhão. Determine:
a) a altura máxima atingida pela bala;
b) o alcance do disparo.
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Respostas:
1) a) y = x

b) y = -x

2) a) y = 3x/2

b) y = 1

7) a) 300 m

b) 20 m

Exercícios Complementares – Função do 2º Grau
1. (ANGLO) O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto
a) (2, 5)
b) ( −1, 11) c) (-1, 11)
d) (1, 3 )
e) (1, 3)
2. (ANGLO) A função f(x) = x2 - 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
3. (ANGLO) Se o vértice da parábola dada por y = x² - 4x + m é o ponto (2, 5), então o valor de m é:
a) 0
b) 5
c) -5
d) 9
e) -9
4. (VUNESP) A parábola de equação y = ax², passa pelo vértice da parábola y = 4x - x².
Ache o valor de a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) -1
e) nda
5. (METODISTA) O valor mínimo da função f(x) x2 - kx + 15 é -1. O valor de k, sabendo que k < 0 é:
a) -10
b) -8
c) -6
d) -1/2
e) -1/8
6. (ANGLO) A parábola definida por y = x2 + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente se:
a) m = 6 ou m = -6 b) -6< m < 6
c) − 6 ≤ m ≤ 6
d) m ≥ 6
e) m ≤ −6
7. (ANGLO) Considere a parábola de equação y = x² - 4x + m. Para que a abscissa e a ordenada do vértice
dessa parábola sejam iguais, então m deve ser igual a:
a) -14
b) -10
c) 2
d) 4
e) 6
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8. (VUNESP) O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + (m - 1), onde m ∈ R, tem um único
ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
9. (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na
região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = -x² + 10x e da reta y =
4x + 5, com 2 ≤ x ≤ 8. Qual a soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas?
a) 20
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40
10. (FATEC) A distância do vértice da parábola y= -x²+ 8x - 17 ao eixo das abscissas é :
a) 1
b) 4
c) 8
d) 17
e) 34
11. (MACK) O gráfico da função real definida por y = x² + mx + ( 15-m ) tangencia o eixo das abscissas e
corta o eixo das ordenadas no ponto (0,k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale :
a) 25
b) 18
c) 12
d) 9
e) 6
12. (FUVEST) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é
assumido no ponto de abscissa x = - 1/ 4. Logo, o valor de f(1) é:
a) 1/10
b) 2/10
c) 3/10
d) 4/10
e) 5/10
13. (FATEC) O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O
ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x) = (2/9)x²
- (4/3)x + 6. A função f pode ser definida por
a) y = - x² + 6x + 5
b) y = - x² - 6x + 5
c) y = - x² - 6x - 5
d) y = - x² + 6x – 5
e) y = x² - 6x + 5

14. (UFPE) O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 - x²
com relação à reta de equação cartesiana y = -2. Determine o valor de 8a + b + c.
a) – 4
b) 1/2
c) 2
d) 1
e) 4
15. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x² + 12x + 20, tem um valor
a) mínimo, igual a -16, para x = 6
b) mínimo, igual a 16, para x = -12
c) máximo, igual a 56, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
16. (UFMG) Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja
expressão é

a) y = (x² /5) - 2x

b) y = x² - 10x

c) y = x² + 10x

d) y = (x²/5) - 10x

e) y = (x² /5) + 10x

17. (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de
f(x), é igual a 8.
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A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é
a) f(x) = -2(x-1)(x+3)
b) f(x) = -(x-1)(x+3)
d) f(x) = (x-1)(x+3)
e) f(x) = 2(x+1)(x-3)

c) f(x) = -2(x+1)(x-3)

18. (UFMG) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).

a) Determine a equação da reta r.
b) Determine a equação dessa parábola.
c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a
parábola e o outro sobre a reta r.
Determine x para que f(x) seja a maior possível.
19. (MACK) Se a função real definida por f(x) = - x² + (4 – k²) possui um máximo positivo, então a soma dos
possíveis valores inteiros do real k é:
a) - 2.
b) - 1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

20. (GV) A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² - 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais
e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a
a) 4
b) 2
c) 0
d) - 1/2
e) – 2
21. (UFPE) O gráfico da função y =ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são,
respectivamente:
a) 1, -6 e 0
b) - 5, 30 e 0
c) -1, 3 e 0
d) -1, 6 e 0
e) -2, 9 e 0

22. (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
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A equação da reta r é: a) y = -2x + 2

b) y = x + 2.

c) y = 2x + 1 d) y = 2x + 2. e) y = -2x – 2

23. (UFPE) Qual o maior valor assumido pela função f:[-7.10] → R definida por f(x) = x² - 5x + 9?
24. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x² + bx +c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2).
Então f(-2/3) vale
a) - 2/9
b) 2/9
c) - 1/4
d) 1/4
e) 4
25. (PUCMG) Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
26. (UFMG) O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do
vértice dessa parábola é:
a) 1/2
b) 1
c) 3/2
d) 2
27. (UEL) Uma função f, do 2°grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; -4).
É correto afirmar que o valor
a) mínimo de f é -5/6
b) máximo de f é -5/6
c) mínimo de f é -13/3 d) máximo de f é -49/9
e) mínimo de f é -49/6
28. (CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x - 1)
(3 - x), é o par ordenado (a, b). Então a - b é igual a:
a) -39/8
b) -11/8
c) 3/8
d) 11/8
e) 39/8
29. (UEL) Seja x um número real estritamente positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o
comprimento da circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x
centímetros. Nessas condições, é verdade que
a) f(x) > g(x) para 0 < x < 2.
b) f(x) = g(x) para x = 4.
c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1.
d) f(x) > g(x) para x > 10.
e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x.
30. (PUCCAMP) A soma e o produto das raízes de uma função do 2° grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o
valor mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o ponto
a) (3, -4)
b) (11/2, -4)
c) (0, -4)
d) (-4; 3)
e) (-4, 6)
31. (PUCRIO) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² - 1 é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
32-(UFV) O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (-1, 10) e
(0, 5). Logo o conjunto de todos os valores possíveis de b é:
a) {b ∈IR | b ≤ -4}
b) {b ∈ IR | b < -5}
c) {b ∈ IR | b ≤ -3}
d) {b ∈IR | b ≤-2} e) {b ∈ IR | b ≤ -1}
33. ( UFMG) Nessa figura, estão representados os gráficos das funções
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f(x) = x²/2 e g(x) = 3x - 5.
Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a
outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor
comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é
a) 1/2
b) 3/4
c) 1
d) 5/4
34. (UNIFESP) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (-1, -1), (0, -3)
e (1, -1).
O valor de b é:
a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1
e) 2.
35. (PUCCAMP) Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de
um móvel, no instante t, em segundos.
O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
36. (PUCCAMP) (Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de
um móvel, no instante t, em segundos.
O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que
a) a velocidade do móvel é nula.
b) a velocidade assume valor máximo.
c) a aceleração é nula.
d) a aceleração assume valor máximo.
e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem.

37. (PUCPR) O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx + cos 8π /7, x ∈ R
a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos.
b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos.
c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes.
d) intercepta o eixo das abscissas na origem.
e) não intercepta o eixo das abscissas.
38- (UFAL) O gráfico da função quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e
intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é
a) 27/8
b) 27/16
c) 27/32
d) 27/64
e) 27/128
39. (UFES-00) O gráfico da função y = x² - 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de
1 unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o
gráfico da função
a) y = -(x + 3)²
b) y = -(x - 3)²
c) y = -(x + 3)² - 2
d) y = (x - 3)² - 2
e) y = (x + 3)²
40. (PUCPR-04) O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma
raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, então seu conjunto imagem é:
a) [-20,

∞[

b) [20,

∞[

c) ]-

∞ , -20]

d) ]-

∞ , 20]

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e) ]-

∞ , 25]

41. (UFMG-04) O intervalo no qual a função f(x) = x2 - 6x + 5 é crescente é:
a) x < 5
b) 1 < x < 5
c) x > 1
d) x > 3
42. (UFSM-03) A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática f. Se y = g(x) for
outra função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico
ao vértice de P com relação ao eixo 0x, então g(-1) vale
a) – 8
b) – 6
c) 0
d) 6
e) 8

43. (MACK-03) Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax² + 2bx + c, então os números a, b e c
sempre são:

a) nessa ordem, termos de uma PA
d) tais que a < b < c.

b) nessa ordem, termos de uma PG
e) tais que a > b > c.

c) números inteiros.

GABARITO
1) E 2) C 3) D 4) A 5)B 6) A
7) E
8)D 9)C 10)A 11)D 12) C 13)D 14)C 15)C 16)A
17)A
18) a) 4x + y + 8 = 0
b) y = - x² + 2x c) x = -1
19)D 20)D 21)C 22)E
23) 93 24)A
25)A
26)C 27)E 28)B 29) A 30)A 31)C 32)B 33) A 34)C 35)D 36)A 37)C 38)E
39)B
40)A
41)D
42)A 43)B

44. Construa o gráfico das seguintes funções f(x) = ax 2 + bx + c, observando valores de a,b,c, ∆, raízes,
vértice, ponto de máximo ou mínimo, o conjunto imagem:
a) f(x) = x2 + 6x + 5
b) f(x) = -x2 + 2x + 8
c) f(x) = x2 + 4x + 4
d) f(x) = x2 - 4x + 5
45. Faça o estudo do sinal das funções do 2º grau:
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2

a) f(x) = x - 2x - 3
b) f(x) = - x2 + 4x
c) f(x) = x2 - 4x + 5
d) f(x) = x2 - 6x +5
e) f(x) = -x2 + 4x -3
f) f(x) = x2 - x + 2
46. Sabe-se que o custo C para produzir x peças de um carro é dado por C = x 2 - 40x + 200. Nessas
condições, calcule a quantidade de peças a serem produzidas para que o custo seja mínimo. Calcule
também qual será o valor deste custo mínimo. R= 20, 1600
47. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento,
seja h(t) = - t2 + 8t +10. Calcule a altura máxima atingida pela bola e em que instante ela alcança esta
altura.
R = 4 seg., 26m
48. O lucro de uma empresa é dado por L = F - C, onde L é o lucro, F o faturamento e C o custo. Sabe-se
que, para produzir x unidades, o faturamento e o custo variam de acordo com as equações: F(x) = 1500x
- x2 e C(x) = x2 - 500x. Nessas condições, qual será o lucro máximo dessa empresa e quantas peças deverá
produzir?
R = 500 peças, R$ 500.000,00

Exercícios Complementares
1) Maria Helena comprou, no primeiro domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes de
carvão, pagando R$ 34,60. No domingo seguinte, ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5
quilos de carne e um pacote de carvão, pagando R$ 23,10. Se os preços não sofreram
alterações no período em que Maria Helena fez as compras, determine o preço do quilo da carne
que ela comprou.
2) Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro
para o pagamento de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de
R$ 25,00, e a Pousada B, com diária de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da
Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse caso determine quanto este
estudante reservou para o pagamento de diárias.
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3) O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função C(n) = n 330n2 + 500n + 200. Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto.
4) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em
material, por unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade
será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que
R$ 800,00?
5) Um restaurante vende dois tipos de refeição:
- P.F. ( Prato Feito)→ R$ 4,00.
- Self-Service (Sem Balança)→ R$ 7,00.
Num determinado dia, foram vendidas 80 refeições e arrecadou-se R$ 470,00. Determine a
quantidade de PF e Self-Service que foram vendidas.
6) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é
dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a
equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o
custo C. Então, determine o número mínimo de unidades desse produto que deverá ser vendido
para que essa empresa tenha lucro.
7) Um motorista de táxi, cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado.
Determine:
a) o preço da corrida em função da distância;
b) o preço de uma corrida de 8 km;
c) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida.
8) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma
assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um
valor fixo de R$ 39,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,30. Nessas condições,
determine o número de minutos que tornam o plano B menos vantajoso do que o plano A.
9) Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo
fixo de produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço
mínimo que deverá ser cobrado por DVD, para não haver prejuízo?

10) Calcule as raízes e esboce os gráficos das seguintes funções:

a)
b)
c)
d)
e)

y = 3 x −1
y = −x + 5
y = 2 x 2 −5x + 3
y = −x 2 + x + 6

y = x 2 +10 x + 25

Respostas:
1) R$ 5,80
2) R$ 450,00
3) a) R$ 3.200,00
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4) x ≥ 21
5) 30 PF e 50 Self-service.
6) 31
7) a) P = 3,70 + 1,20d
8) 221 minutos
9) R$ 24,00

b) R$ 13,30

c) 12,5 km

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  • 1. www.matematiques.com.br Matemática Básica 9ª Lista de Exercícios – Equação e Função do 1º e 2º graus Equação do 1º Grau Exercício 1 Resolva as equações: a) 4x + 8 = 3x - 5 b) 3a - 4 = a + 1 c) 9y - 11 = - 2 d) 5x - 1 = 8x + 5 Exercício 2 Verifique se - 7 é raiz da equação: 2(x + 4) – x/3 = x - 1 Exercício 3 Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: 2x - 3 = 16 Exercício 4 Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova? Exercício 5 Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6? Exercício 6 Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 3? Exercício 7 Qual é o número que somado com 5 é igual a 11? Exercício 8 Qual é o número que somado com 6 é igual a - 13? Exercício 9 Uma indústria produziu este ano 600.000 unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 20%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior?
  • 2. www.matematiques.com.br Equação do 2º Grau 1) Resolva as seguintes equações do 2° grau, em ℜ: a) 2 x 2 − 50 = 0 e) 1 + x2 5 = 4 2 b) 3 x 2 − 8 x = 0 f) c) x 2 + 9 = 0 d ) (2 x + 1) 2 − 5 (2 x + 1) + 4 = 0 x− 3 1 +1= 2 x −4 x− 2 2) Considere as expressões: A = 5 (x - 3) – 2x (x - 3) e B = 4 – (3x + 1)2. Resolva a equação A = B – 18. 3) Determine, em ℜ, o conjunto solução das equações: a) x 2 − x − 6 = 0 b) 2 x 2 + 2 x = −1 c) 5 x 2 + 6 x + 1 = 0 e) 4 x 2 + 9 = 12 x d ) 3x ( x + 1) − x = 33 − ( x − 3) 2 1   1 f ) 2  x −  − 3 1 −  = 0 x   x 4) Determine o domínio de validade e resolva as seguintes equações: 3 6 3x 3 − 4= x+ b) − 2 =2 x 2x x+ 2 x − 4 x 3 3 d) − = x − 2 x − 1 x 2 − 3x + 2 a) c) 3x − 1 3x + 2 1 + = 3− 2 2x − 1 2x + 1 4x − 1 5) Resolva os seguintes sistemas de equações: 1 7 x+ y= 2 x+ y= 9 (3+ ).(4+ yx )= 20  + = a)  22 b) 22 c) d)x y 12 x + y = 10 x+ y − 2x y= 23 x+ y= 2  x y= 12 6) Resolva, em ℜ, a seguinte equação literal do 2° grau na variável x: 2 x 2 − 3ax + a 2 = 0 7) Resolva as equações biquadradas em ℜ: a) x 4 + x 2 − 2 = 0 d) x2 − 2 + 2 = x2 x2 − 4 b) x 4 − 5 x 2 + 10 = 0 c) 6 x 4 + (2 x 2 − 3) 2 = (2 x 2 + 1) 2 + 14
  • 3. www.matematiques.com.br 8) Resolva, em ℜ, as equações irracionais: a) x 2 − 5 x − 20 = 2 b) 2x2 + x − 6 = x + 2 c) x + x − 1 = 13 d) 1+ x + 1− x = 2 9) Ache dois números inteiros positivos e consecutivos sabendo que a soma de seus quadrados é 481. 10) O produto dos dois termos de uma fração é 224. Subtraindo 1 do denominador e adicionando 1 ao numerador, os dois termos ficam iguais. Determine essa fração. 11) Um jardim de forma retangular tem 96m 2 de área. Se aumentarmos o comprimento desse jardim em 3m e a largura em 2m, a área do jardim passa a Ter 150 m2 . Calcule as dimensões originais do jardim. 12) Uma das raízes da equação ax – x2 = 0 é a média aritmética das raízes da equação x2 – 6x + 4 = 0. O valor de a é A) B) C) D) E) 3 6 33+ 7 5 5 13) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: C) 20. D) 30. E) 40. F) 50. G) 60. Exercícios Complementares – Função do 1º Grau 1) Escrever a equação da reta que passa pelo ponto P com coeficiente angular a. a) P(1, 1); a = 1 b) P(-1, 1); a = -1 2) Escrever a equação da reta que passa pelos dois pontos dados. a) P(0, 0) e Q(2, 3) b) P(1, 1) e Q(2, 1) 3) O gráfico representa a função y = f(x) = ax + b
  • 4. www.matematiques.com.br y 50 20 y x 10 0 70 x a) Calcule a e b. b) Determine as coordenadas dos pontos x e y, em que a reta corta os eixos coordenados. 4) Calcule as raízes e esboce os gráficos das seguintes funções: a) y = 3 x −1 e) y = −x 2 + x + 6 b) y = −x + 5 c) y = 3 x+4 2 d) y = 2 x 2 − 5 x + 3 f) y = 25 +10 x + x 2 5) Determine os valores da função f(x), definida por duas partes, para x = -1, x = 0, x = 3 e x = 20. f(x) = 1 se x < 1 x −1 3x2+1 se x > 1 6) Faça o gráfico da função linear por partes: y = f(x) = 2x +1 y = f(x) = x para x < 1 para x > 1 e 7) Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = – 3x ² + 60x onde x é a distância e y é a altura atingida pela bala do canhão. Determine: a) a altura máxima atingida pela bala; b) o alcance do disparo.
  • 5. www.matematiques.com.br Respostas: 1) a) y = x b) y = -x 2) a) y = 3x/2 b) y = 1 7) a) 300 m b) 20 m Exercícios Complementares – Função do 2º Grau 1. (ANGLO) O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto a) (2, 5) b) ( −1, 11) c) (-1, 11) d) (1, 3 ) e) (1, 3) 2. (ANGLO) A função f(x) = x2 - 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 3. (ANGLO) Se o vértice da parábola dada por y = x² - 4x + m é o ponto (2, 5), então o valor de m é: a) 0 b) 5 c) -5 d) 9 e) -9 4. (VUNESP) A parábola de equação y = ax², passa pelo vértice da parábola y = 4x - x². Ache o valor de a: a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) nda 5. (METODISTA) O valor mínimo da função f(x) x2 - kx + 15 é -1. O valor de k, sabendo que k < 0 é: a) -10 b) -8 c) -6 d) -1/2 e) -1/8 6. (ANGLO) A parábola definida por y = x2 + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente se: a) m = 6 ou m = -6 b) -6< m < 6 c) − 6 ≤ m ≤ 6 d) m ≥ 6 e) m ≤ −6 7. (ANGLO) Considere a parábola de equação y = x² - 4x + m. Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então m deve ser igual a: a) -14 b) -10 c) 2 d) 4 e) 6
  • 6. www.matematiques.com.br 8. (VUNESP) O gráfico da função quadrática definida por y = x² - mx + (m - 1), onde m ∈ R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 9. (UFPE) Planeja-se construir duas estradas em uma região plana. Colocando coordenadas cartesianas na região, as estradas ficam representadas pelas partes dos gráficos da parábola y = -x² + 10x e da reta y = 4x + 5, com 2 ≤ x ≤ 8. Qual a soma das coordenadas do ponto representando a interseção das estradas? a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40 10. (FATEC) A distância do vértice da parábola y= -x²+ 8x - 17 ao eixo das abscissas é : a) 1 b) 4 c) 8 d) 17 e) 34 11. (MACK) O gráfico da função real definida por y = x² + mx + ( 15-m ) tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto (0,k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale : a) 25 b) 18 c) 12 d) 9 e) 6 12. (FUVEST) Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = - 1/ 4. Logo, o valor de f(1) é: a) 1/10 b) 2/10 c) 3/10 d) 4/10 e) 5/10 13. (FATEC) O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abscissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x) = (2/9)x² - (4/3)x + 6. A função f pode ser definida por a) y = - x² + 6x + 5 b) y = - x² - 6x + 5 c) y = - x² - 6x - 5 d) y = - x² + 6x – 5 e) y = x² - 6x + 5 14. (UFPE) O gráfico da função quadrática y = ax² + bx + c, x real, é simétrico ao gráfico da parábola y = 2 - x² com relação à reta de equação cartesiana y = -2. Determine o valor de 8a + b + c. a) – 4 b) 1/2 c) 2 d) 1 e) 4 15. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x² + 12x + 20, tem um valor a) mínimo, igual a -16, para x = 6 b) mínimo, igual a 16, para x = -12 c) máximo, igual a 56, para x = 6 d) máximo, igual a 72, para x = 12 e) máximo, igual a 240, para x = 20 16. (UFMG) Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é a) y = (x² /5) - 2x b) y = x² - 10x c) y = x² + 10x d) y = (x²/5) - 10x e) y = (x² /5) + 10x 17. (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8.
  • 7. www.matematiques.com.br A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é a) f(x) = -2(x-1)(x+3) b) f(x) = -(x-1)(x+3) d) f(x) = (x-1)(x+3) e) f(x) = 2(x+1)(x-3) c) f(x) = -2(x+1)(x-3) 18. (UFMG) Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0). a) Determine a equação da reta r. b) Determine a equação dessa parábola. c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola e o outro sobre a reta r. Determine x para que f(x) seja a maior possível. 19. (MACK) Se a função real definida por f(x) = - x² + (4 – k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores inteiros do real k é: a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2. 20. (GV) A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² - 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a a) 4 b) 2 c) 0 d) - 1/2 e) – 2 21. (UFPE) O gráfico da função y =ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente: a) 1, -6 e 0 b) - 5, 30 e 0 c) -1, 3 e 0 d) -1, 6 e 0 e) -2, 9 e 0 22. (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
  • 8. www.matematiques.com.br A equação da reta r é: a) y = -2x + 2 b) y = x + 2. c) y = 2x + 1 d) y = 2x + 2. e) y = -2x – 2 23. (UFPE) Qual o maior valor assumido pela função f:[-7.10] → R definida por f(x) = x² - 5x + 9? 24. (FUVEST) O gráfico de f(x) = x² + bx +c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Então f(-2/3) vale a) - 2/9 b) 2/9 c) - 1/4 d) 1/4 e) 4 25. (PUCMG) Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 26. (UFMG) O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é: a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 27. (UEL) Uma função f, do 2°grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; -4). É correto afirmar que o valor a) mínimo de f é -5/6 b) máximo de f é -5/6 c) mínimo de f é -13/3 d) máximo de f é -49/9 e) mínimo de f é -49/6 28. (CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x - 1) (3 - x), é o par ordenado (a, b). Então a - b é igual a: a) -39/8 b) -11/8 c) 3/8 d) 11/8 e) 39/8 29. (UEL) Seja x um número real estritamente positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. Nessas condições, é verdade que a) f(x) > g(x) para 0 < x < 2. b) f(x) = g(x) para x = 4. c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1. d) f(x) > g(x) para x > 10. e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x. 30. (PUCCAMP) A soma e o produto das raízes de uma função do 2° grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o ponto a) (3, -4) b) (11/2, -4) c) (0, -4) d) (-4; 3) e) (-4, 6) 31. (PUCRIO) O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² - 1 é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 32-(UFV) O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (-1, 10) e (0, 5). Logo o conjunto de todos os valores possíveis de b é: a) {b ∈IR | b ≤ -4} b) {b ∈ IR | b < -5} c) {b ∈ IR | b ≤ -3} d) {b ∈IR | b ≤-2} e) {b ∈ IR | b ≤ -1} 33. ( UFMG) Nessa figura, estão representados os gráficos das funções
  • 9. www.matematiques.com.br f(x) = x²/2 e g(x) = 3x - 5. Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é a) 1/2 b) 3/4 c) 1 d) 5/4 34. (UNIFESP) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (-1, -1), (0, -3) e (1, -1). O valor de b é: a) -2. b) -1. c) 0. d) 1 e) 2. 35. (PUCCAMP) Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos. O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 36. (PUCCAMP) (Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos. O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que a) a velocidade do móvel é nula. b) a velocidade assume valor máximo. c) a aceleração é nula. d) a aceleração assume valor máximo. e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem. 37. (PUCPR) O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx + cos 8π /7, x ∈ R a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos. b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos. c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes. d) intercepta o eixo das abscissas na origem. e) não intercepta o eixo das abscissas. 38- (UFAL) O gráfico da função quadrática definida por f(x) = 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é a) 27/8 b) 27/16 c) 27/32 d) 27/64 e) 27/128 39. (UFES-00) O gráfico da função y = x² - 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de 1 unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico da função a) y = -(x + 3)² b) y = -(x - 3)² c) y = -(x + 3)² - 2 d) y = (x - 3)² - 2 e) y = (x + 3)² 40. (PUCPR-04) O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, então seu conjunto imagem é:
  • 10. a) [-20, ∞[ b) [20, ∞[ c) ]- ∞ , -20] d) ]- ∞ , 20] www.matematiques.com.br e) ]- ∞ , 25] 41. (UFMG-04) O intervalo no qual a função f(x) = x2 - 6x + 5 é crescente é: a) x < 5 b) 1 < x < 5 c) x > 1 d) x > 3 42. (UFSM-03) A parábola P representada na figura é o gráfico de uma função quadrática f. Se y = g(x) for outra função quadrática cujas raízes sejam as mesmas de f e se o vértice do gráfico dessa g for simétrico ao vértice de P com relação ao eixo 0x, então g(-1) vale a) – 8 b) – 6 c) 0 d) 6 e) 8 43. (MACK-03) Se a figura mostra o esboço do gráfico de f(x)= ax² + 2bx + c, então os números a, b e c sempre são: a) nessa ordem, termos de uma PA d) tais que a < b < c. b) nessa ordem, termos de uma PG e) tais que a > b > c. c) números inteiros. GABARITO 1) E 2) C 3) D 4) A 5)B 6) A 7) E 8)D 9)C 10)A 11)D 12) C 13)D 14)C 15)C 16)A 17)A 18) a) 4x + y + 8 = 0 b) y = - x² + 2x c) x = -1 19)D 20)D 21)C 22)E 23) 93 24)A 25)A 26)C 27)E 28)B 29) A 30)A 31)C 32)B 33) A 34)C 35)D 36)A 37)C 38)E 39)B 40)A 41)D 42)A 43)B 44. Construa o gráfico das seguintes funções f(x) = ax 2 + bx + c, observando valores de a,b,c, ∆, raízes, vértice, ponto de máximo ou mínimo, o conjunto imagem: a) f(x) = x2 + 6x + 5 b) f(x) = -x2 + 2x + 8 c) f(x) = x2 + 4x + 4 d) f(x) = x2 - 4x + 5 45. Faça o estudo do sinal das funções do 2º grau:
  • 11. www.matematiques.com.br 2 a) f(x) = x - 2x - 3 b) f(x) = - x2 + 4x c) f(x) = x2 - 4x + 5 d) f(x) = x2 - 6x +5 e) f(x) = -x2 + 4x -3 f) f(x) = x2 - x + 2 46. Sabe-se que o custo C para produzir x peças de um carro é dado por C = x 2 - 40x + 200. Nessas condições, calcule a quantidade de peças a serem produzidas para que o custo seja mínimo. Calcule também qual será o valor deste custo mínimo. R= 20, 1600 47. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h(t) = - t2 + 8t +10. Calcule a altura máxima atingida pela bola e em que instante ela alcança esta altura. R = 4 seg., 26m 48. O lucro de uma empresa é dado por L = F - C, onde L é o lucro, F o faturamento e C o custo. Sabe-se que, para produzir x unidades, o faturamento e o custo variam de acordo com as equações: F(x) = 1500x - x2 e C(x) = x2 - 500x. Nessas condições, qual será o lucro máximo dessa empresa e quantas peças deverá produzir? R = 500 peças, R$ 500.000,00 Exercícios Complementares 1) Maria Helena comprou, no primeiro domingo de junho, cinco quilos de carne e dois pacotes de carvão, pagando R$ 34,60. No domingo seguinte, ela retornou ao açougue e comprou apenas 3,5 quilos de carne e um pacote de carvão, pagando R$ 23,10. Se os preços não sofreram alterações no período em que Maria Helena fez as compras, determine o preço do quilo da carne que ela comprou. 2) Um estudante planejou fazer uma viagem de férias e reservou uma certa quantia em dinheiro para o pagamento de diárias. Ele tem duas opções de hospedagem: a Pousada A, com diária de R$ 25,00, e a Pousada B, com diária de R$ 30,00. Se escolher a Pousada A, em vez da Pousada B, ele poderá ficar três dias a mais de férias. Nesse caso determine quanto este estudante reservou para o pagamento de diárias.
  • 12. www.matematiques.com.br 3) O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função C(n) = n 330n2 + 500n + 200. Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. 4) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade produzida e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de vender para obterem um lucro maior que R$ 800,00? 5) Um restaurante vende dois tipos de refeição: - P.F. ( Prato Feito)→ R$ 4,00. - Self-Service (Sem Balança)→ R$ 7,00. Num determinado dia, foram vendidas 80 refeições e arrecadou-se R$ 470,00. Determine a quantidade de PF e Self-Service que foram vendidas. 6) A receita R, em reais, obtida por uma empresa com a venda de q unidades de certo produto, é dada por R(q) = 115q, e o custo C, em reais, para produzir q dessas unidades, satisfaz a equação C(q) = 90q + 760. Para que haja lucro, é necessário que a receita R seja maior que o custo C. Então, determine o número mínimo de unidades desse produto que deverá ser vendido para que essa empresa tenha lucro. 7) Um motorista de táxi, cobra R$ 3,70 a bandeirada (tarifa fixa) e R$ 1,20 por quilômetro rodado. Determine: a) o preço da corrida em função da distância; b) o preço de uma corrida de 8 km; c) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 18,70 pela corrida. 8) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago. No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00, e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 39,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,30. Nessas condições, determine o número de minutos que tornam o plano B menos vantajoso do que o plano A. 9) Uma produtora pretende lançar um filme em DVD e prevê uma venda de 20.000 cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ 120.000,00 e o custo por unidade foi de R$ 18,00. Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por DVD, para não haver prejuízo? 10) Calcule as raízes e esboce os gráficos das seguintes funções: a) b) c) d) e) y = 3 x −1 y = −x + 5 y = 2 x 2 −5x + 3 y = −x 2 + x + 6 y = x 2 +10 x + 25 Respostas: 1) R$ 5,80 2) R$ 450,00 3) a) R$ 3.200,00
  • 13. www.matematiques.com.br 4) x ≥ 21 5) 30 PF e 50 Self-service. 6) 31 7) a) P = 3,70 + 1,20d 8) 221 minutos 9) R$ 24,00 b) R$ 13,30 c) 12,5 km