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1
FatoraçãoFatoraçãoFatoraçãoFatoração
Fatorar uma expressão algébrica consiste em completar uma identidade usando uma expressão na
forma de um produto. Afinal, as somas são compostas de parcelas, e os produtos compostos de
fatores. Por exemplo, a expressão x+xy, que apresenta duas parcelas, é idêntica à expressão x(1+y),
que apresenta dois fatores. Por isso, dizemos que x(1+y) é a forma fatorada de x+xy.
Algumas das identidades algébricas apresentam expressões fatoradas em um de seus membros,
como em a2+2ab+b2 ≡ (a+b)(a+b), onde é possível notar que partindo de (a+b)(a+b) e efetuando-se a
propriedade distributiva chega-se em a2+ab+ab+b2 de uma forma bem mais simples do que encontrar
uma forma fatorada partindo-se de a2+2ab+b2.
Poderíamos dizer que fatorar é o mesmo que “desdistribuir”, se essa palavra existisse. Mas, devemos
encarar o fato de que fatorar é tarefa bem mais delicada do que efetuar a propriedade distributiva.
Técnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoração
Os principais casos de fatoração são apresentados de forma ordenada na intenção de facilitar os
processos que permitem obter formas completamente fatoradas de uma expressão. Por isso, se uma
expressão tiver características de dois casos diferentes, recomenda-se aplicar as técnicas descritas a
seguir de acordo com a ordem dos casos:
1º caso: Fator ComumFator ComumFator ComumFator Comum
AB + AC ≡ A ⋅ (B+C)
Se todos os termos de uma expressão apresentam fator comum, este fator comum pode ser
colocado em evidência multiplicando outro fator entre parênteses. Os termos do fator entre parênteses
serão os respectivos quocientes de cada termo da expressão original pelo fator em evidência.
Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:
xxxx2222 –––– 2xy + x2xy + x2xy + x2xy + x ≡ xxxx ⋅ (x(x(x(x –––– 2y + 1)2y + 1)2y + 1)2y + 1)
4x4x4x4x2222 + 40x + 100+ 40x + 100+ 40x + 100+ 40x + 100 ≡ 4444 ⋅ (x(x(x(x2222 + 10x + 25)+ 10x + 25)+ 10x + 25)+ 10x + 25)
Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:
1.1.1.1. Sabendo que uma fração algébrica ou
aritmética só pode ser simplificada se tanto o
numerador quanto o denominador estiverem
fatorados, simplifique as seguintes frações:
a)a)a)a)
2
x +ax
-x -a
bbbb))))
2
2
xy -x
xy - y
cccc))))
2 3+6
3+3
dddd))))
2+2
2
3333.... Encontre todas as soluções reais da equação
3x3 + 2x = 5x2.
2222.... Encontre todas as soluções naturais da
equação 8x2 – xy = 6.
4.4.4.4. Use a equivalência lógica do produto nulo
“x⋅y = 0 ⇔ x= 0 ou y = 0” para verificar que:
“a⋅b = a⋅c ⇔ a = 0 ou b = c”
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2
2º caso: Diferença de QuDiferença de QuDiferença de QuDiferença de Quadradosadradosadradosadrados
A2 − B2 ≡ (A + B) ⋅ (A − B)
A diferença de quadrados equivale ao produto entre a soma e a diferença de suas bases.
Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:
xxxx2222 – 1111 ≡ ((((xxxx + 1)1)1)1) ⋅ (x(x(x(x – 1)1)1)1) 4444 – 9x9x9x9x2222 ≡ (2(2(2(2 + 3x)3x)3x)3x) ⋅⋅⋅⋅ (2(2(2(2 – 3x)3x)3x)3x)
20132013201320132222 – 20112011201120112222 = (2013(2013(2013(2013 + 2011)2011)2011)2011) ⋅⋅⋅⋅ (2013(2013(2013(2013 – 2011)2011)2011)2011) = 4024402440244024 ⋅ 2222 = 8048804880488048
Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:
Muitos dos edifícios construídos na década
de 70 têm suas paredes exteriores decoradas
com mosaicos de pastilhas quadradas de
cerâmica dispostas em forma de contornos
quadrados cujos tamanhos e espessuras variam
de acordo com o número de pastilhas usadas.
As figuras a seguir apresentam exemplos
desses mosaicos:
1.1.1.1. As pastilhas de cerâmica
usadas para este tipo de
decoração são vendidas
presas a cartelas de
papelão.
Uma pessoa, que decidiu decorar os muros
de seu quintal com contornos quadrados,
comprou algumas dessas cartelas e cortou-as
em pedaços quadrados com 13 unidades de
lado. Depois, retirou algumas pastilhas de cada
pedaço, deixando um buraco quadrado, com 8
unidades de lado, no centro do quadrado maior,
obtendo os mosaicos prontos no papelão, antes
de fixa-los nos muros. Com quantas pastilhas
de cerâmica ficou cada mosaico?
A) 95 B) 105 C) 115 D) 125 E) 161
2.2.2.2. Sendo xxxx o número de pastilhas em cada lado
do quadrado maior de um mosaico desse tipo, e
yyyy o número de pastilhas em cada lado do
buraco quadrado em seu interior, qual das
alternativas expressa o número total de
pastilhas em cada mosaico?
A) x⋅(x–y)
B) y⋅(x–y)
C) (x+y)⋅(x–y)
D) x2 + 2xy + y2
E) x2 + y2 – xy
3333.... Outra pessoa montou um mosaico como
esse, usando exatamente 39 pastilhas de
cerâmica. Então, o número xxxx de pastilhas, em
cada lado do quadrado maior do mosaico que o
garoto montou, pode ser igual a:
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
4444 Mack.Mack.Mack.Mack. Se x e y são números inteiros e
positivos, tais que x2 – y2 = 17, então:
A) x e y são primos entre si
B) x = 2y
C) x⋅y = 30
D) x = 3y
E) x – y = 2
a
a
bb
b
(a – b)
(a – b)
b
a2222 ––––b2222
(a+b)⋅(a–b) (a – b)
a b
(a + b)
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3
3º caso: Trinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado Perfeito (TQP)(TQP)(TQP)(TQP)
A2 + 2AB + B2 ≡ (A + B)2
A2 − 2AB + B2 ≡ (A − B)2
Se dois termos de um trinômio puderem ser escritos como potências de expoente 2 e, além disso, o
termo restante for igual a mais ou menos o dobro do produto das bases dessas potências, então este
trinômio pode ser escrito, numa forma fatorada, como o quadrado da soma ou da diferença das bases
daqueles termos que são potências de expoente 2, dependendo do sinal do termo restante:
Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:
xxxx2222 + 2x2x2x2x + 1111 ≡ (x(x(x(x + 1)1)1)1)2222 9999 – 6x6x6x6x + xxxx2222 ≡ ((((3333 – xxxx))))2222 4444xxxx2222 + 1111 – 4x4x4x4x ≡ ((((2222xxxx – 1111))))2222
Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:
1.1.1.1. Fatore as seguintes expressões:
a)a)a)a) x2 – 12x + 36
b)b)b)b) 36 – 12x + x2
c)c)c)c) 9x2 + 30x + 100
d)d)d)d) x4 – 50x2 + 625
e)e)e)e) 4x2 + 8x + 16
f)f)f)f) x2 + x–2 + 2
2222.... Determine os valores das constantes k em
cada expressão de forma que elas caracterizem
trinômios quadrados perfeitos:
a)a)a)a) x2 – 2x + k
b)b)b)b) x2 + 10x + k
c)c)c)c) x2 + 80x + k
d)d)d)d) x2 – 5x + k
e)e)e)e) x2 + x + k
f)f)f)f) 4x2 + 6x + k
3333.... Determine os valores extremos das funções a
seguir, bem como os valores de x para os quais
essas funções assumem seus valores extremos:
a)a)a)a) y = x2 – 2x + 7
b)b)b)b) y = x2 + 10x + 2
c)c)c)c) y = x2 – x + 3
d)d)d)d) y = –x2 – 6x + 2
e)e)e)e) y = 2x2 + 4x + 5
f)f)f)f) y = 6x – 9x2
4.4.4.4. No estudo da geometria analítica, uma
circunferência de raio r > 0 e centro (a, b) pode
ser descrita por uma equação da forma:
(x(x(x(x – a)a)a)a)2222 + (y(y(y(y – b)b)b)b)2222 = rrrr2222
Verifique se as relações cartesianas a seguir
descrevem circunferências.
a)a)a)a) x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0
b)b)b)b) x2 + y2 – x – 7y = 0
c)c)c)c) x2 + y2 + 2x + 6y + 15 = 0
d)d)d)d) x2 + y2 + 12x – 4y + 40 = 0
5555 Unifesp.Unifesp.Unifesp.Unifesp. A equação x2+y2+6x+4y+12 = 0,
em coordenadas cartesianas, representa uma
circunferência de raio 1 e centro:
A) (–6,4)
B) (6,4)
C) (3,2)
D) (–3,–2)
E) (6,–4)
6666 FuvestFuvestFuvestFuvest.... Sabendo que x, y e z são números
reais e (2x + y – z)2 +(x – y)2 +(z – 3)2 = 0 então,
x+y+z é igual a
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

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Técnicas de-fatoração

  • 1. Curso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemática –––– Professor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato Tião 1 FatoraçãoFatoraçãoFatoraçãoFatoração Fatorar uma expressão algébrica consiste em completar uma identidade usando uma expressão na forma de um produto. Afinal, as somas são compostas de parcelas, e os produtos compostos de fatores. Por exemplo, a expressão x+xy, que apresenta duas parcelas, é idêntica à expressão x(1+y), que apresenta dois fatores. Por isso, dizemos que x(1+y) é a forma fatorada de x+xy. Algumas das identidades algébricas apresentam expressões fatoradas em um de seus membros, como em a2+2ab+b2 ≡ (a+b)(a+b), onde é possível notar que partindo de (a+b)(a+b) e efetuando-se a propriedade distributiva chega-se em a2+ab+ab+b2 de uma forma bem mais simples do que encontrar uma forma fatorada partindo-se de a2+2ab+b2. Poderíamos dizer que fatorar é o mesmo que “desdistribuir”, se essa palavra existisse. Mas, devemos encarar o fato de que fatorar é tarefa bem mais delicada do que efetuar a propriedade distributiva. Técnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoração Os principais casos de fatoração são apresentados de forma ordenada na intenção de facilitar os processos que permitem obter formas completamente fatoradas de uma expressão. Por isso, se uma expressão tiver características de dois casos diferentes, recomenda-se aplicar as técnicas descritas a seguir de acordo com a ordem dos casos: 1º caso: Fator ComumFator ComumFator ComumFator Comum AB + AC ≡ A ⋅ (B+C) Se todos os termos de uma expressão apresentam fator comum, este fator comum pode ser colocado em evidência multiplicando outro fator entre parênteses. Os termos do fator entre parênteses serão os respectivos quocientes de cada termo da expressão original pelo fator em evidência. Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos: xxxx2222 –––– 2xy + x2xy + x2xy + x2xy + x ≡ xxxx ⋅ (x(x(x(x –––– 2y + 1)2y + 1)2y + 1)2y + 1) 4x4x4x4x2222 + 40x + 100+ 40x + 100+ 40x + 100+ 40x + 100 ≡ 4444 ⋅ (x(x(x(x2222 + 10x + 25)+ 10x + 25)+ 10x + 25)+ 10x + 25) Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios: 1.1.1.1. Sabendo que uma fração algébrica ou aritmética só pode ser simplificada se tanto o numerador quanto o denominador estiverem fatorados, simplifique as seguintes frações: a)a)a)a) 2 x +ax -x -a bbbb)))) 2 2 xy -x xy - y cccc)))) 2 3+6 3+3 dddd)))) 2+2 2 3333.... Encontre todas as soluções reais da equação 3x3 + 2x = 5x2. 2222.... Encontre todas as soluções naturais da equação 8x2 – xy = 6. 4.4.4.4. Use a equivalência lógica do produto nulo “x⋅y = 0 ⇔ x= 0 ou y = 0” para verificar que: “a⋅b = a⋅c ⇔ a = 0 ou b = c”
  • 2. Curso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemática –––– Professor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato Tião 2 2º caso: Diferença de QuDiferença de QuDiferença de QuDiferença de Quadradosadradosadradosadrados A2 − B2 ≡ (A + B) ⋅ (A − B) A diferença de quadrados equivale ao produto entre a soma e a diferença de suas bases. Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos: xxxx2222 – 1111 ≡ ((((xxxx + 1)1)1)1) ⋅ (x(x(x(x – 1)1)1)1) 4444 – 9x9x9x9x2222 ≡ (2(2(2(2 + 3x)3x)3x)3x) ⋅⋅⋅⋅ (2(2(2(2 – 3x)3x)3x)3x) 20132013201320132222 – 20112011201120112222 = (2013(2013(2013(2013 + 2011)2011)2011)2011) ⋅⋅⋅⋅ (2013(2013(2013(2013 – 2011)2011)2011)2011) = 4024402440244024 ⋅ 2222 = 8048804880488048 Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios: Muitos dos edifícios construídos na década de 70 têm suas paredes exteriores decoradas com mosaicos de pastilhas quadradas de cerâmica dispostas em forma de contornos quadrados cujos tamanhos e espessuras variam de acordo com o número de pastilhas usadas. As figuras a seguir apresentam exemplos desses mosaicos: 1.1.1.1. As pastilhas de cerâmica usadas para este tipo de decoração são vendidas presas a cartelas de papelão. Uma pessoa, que decidiu decorar os muros de seu quintal com contornos quadrados, comprou algumas dessas cartelas e cortou-as em pedaços quadrados com 13 unidades de lado. Depois, retirou algumas pastilhas de cada pedaço, deixando um buraco quadrado, com 8 unidades de lado, no centro do quadrado maior, obtendo os mosaicos prontos no papelão, antes de fixa-los nos muros. Com quantas pastilhas de cerâmica ficou cada mosaico? A) 95 B) 105 C) 115 D) 125 E) 161 2.2.2.2. Sendo xxxx o número de pastilhas em cada lado do quadrado maior de um mosaico desse tipo, e yyyy o número de pastilhas em cada lado do buraco quadrado em seu interior, qual das alternativas expressa o número total de pastilhas em cada mosaico? A) x⋅(x–y) B) y⋅(x–y) C) (x+y)⋅(x–y) D) x2 + 2xy + y2 E) x2 + y2 – xy 3333.... Outra pessoa montou um mosaico como esse, usando exatamente 39 pastilhas de cerâmica. Então, o número xxxx de pastilhas, em cada lado do quadrado maior do mosaico que o garoto montou, pode ser igual a: A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 4444 Mack.Mack.Mack.Mack. Se x e y são números inteiros e positivos, tais que x2 – y2 = 17, então: A) x e y são primos entre si B) x = 2y C) x⋅y = 30 D) x = 3y E) x – y = 2 a a bb b (a – b) (a – b) b a2222 ––––b2222 (a+b)⋅(a–b) (a – b) a b (a + b)
  • 3. Curso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemática –––– Professor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato Tião 3 3º caso: Trinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado Perfeito (TQP)(TQP)(TQP)(TQP) A2 + 2AB + B2 ≡ (A + B)2 A2 − 2AB + B2 ≡ (A − B)2 Se dois termos de um trinômio puderem ser escritos como potências de expoente 2 e, além disso, o termo restante for igual a mais ou menos o dobro do produto das bases dessas potências, então este trinômio pode ser escrito, numa forma fatorada, como o quadrado da soma ou da diferença das bases daqueles termos que são potências de expoente 2, dependendo do sinal do termo restante: Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos: xxxx2222 + 2x2x2x2x + 1111 ≡ (x(x(x(x + 1)1)1)1)2222 9999 – 6x6x6x6x + xxxx2222 ≡ ((((3333 – xxxx))))2222 4444xxxx2222 + 1111 – 4x4x4x4x ≡ ((((2222xxxx – 1111))))2222 Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios: 1.1.1.1. Fatore as seguintes expressões: a)a)a)a) x2 – 12x + 36 b)b)b)b) 36 – 12x + x2 c)c)c)c) 9x2 + 30x + 100 d)d)d)d) x4 – 50x2 + 625 e)e)e)e) 4x2 + 8x + 16 f)f)f)f) x2 + x–2 + 2 2222.... Determine os valores das constantes k em cada expressão de forma que elas caracterizem trinômios quadrados perfeitos: a)a)a)a) x2 – 2x + k b)b)b)b) x2 + 10x + k c)c)c)c) x2 + 80x + k d)d)d)d) x2 – 5x + k e)e)e)e) x2 + x + k f)f)f)f) 4x2 + 6x + k 3333.... Determine os valores extremos das funções a seguir, bem como os valores de x para os quais essas funções assumem seus valores extremos: a)a)a)a) y = x2 – 2x + 7 b)b)b)b) y = x2 + 10x + 2 c)c)c)c) y = x2 – x + 3 d)d)d)d) y = –x2 – 6x + 2 e)e)e)e) y = 2x2 + 4x + 5 f)f)f)f) y = 6x – 9x2 4.4.4.4. No estudo da geometria analítica, uma circunferência de raio r > 0 e centro (a, b) pode ser descrita por uma equação da forma: (x(x(x(x – a)a)a)a)2222 + (y(y(y(y – b)b)b)b)2222 = rrrr2222 Verifique se as relações cartesianas a seguir descrevem circunferências. a)a)a)a) x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0 b)b)b)b) x2 + y2 – x – 7y = 0 c)c)c)c) x2 + y2 + 2x + 6y + 15 = 0 d)d)d)d) x2 + y2 + 12x – 4y + 40 = 0 5555 Unifesp.Unifesp.Unifesp.Unifesp. A equação x2+y2+6x+4y+12 = 0, em coordenadas cartesianas, representa uma circunferência de raio 1 e centro: A) (–6,4) B) (6,4) C) (3,2) D) (–3,–2) E) (6,–4) 6666 FuvestFuvestFuvestFuvest.... Sabendo que x, y e z são números reais e (2x + y – z)2 +(x – y)2 +(z – 3)2 = 0 então, x+y+z é igual a A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7