www.AulasDeMatematicaApoio.com.br - Matemática - Exercícios Resolvidos de Fa...Beatriz Góes
Matemática - VideoAulas Sobre Exercícios Resolvidos de Fatoração – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicaApoio.com.br
Instituto Técnico de Barueri Professora Maria Sylvia Chaluppe Mello.
Turma: ACL2AM Ano: 2015
Criado por : Fernanda Clara
- Explicação
- Exercícios
- Respostas
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plantear esta capacitación en formato de postitulo de actualización académica en informática se hace necesario ambientar a los equipos directivos y a los docentes a los nuevos escenarios de aprendizaje que se producen en el marco de los procesos de integración de las TIC en la escuela, para encarar la nivel institucional y áulico una mirada pedagógica, social y comunitaria de su implementación.
Apostila de Introdução aos Algoritmos - usando o VisualgRegis Magalhães
O Visualg é uma excelente ferramenta para o aprendizado de algoritmos, tendo sido criada por Cláudio Morgado de Souza da Apoio Informática Ltda.
As apostilas foram elaboradas por Bruno Tonet e Cristian Koliver do Núcleo de Apoio à Aprendizagem de Programação (NAPRO) da Universidade de Caxias do Sul (UCS).
Atividade - Letra da música "Tem Que Sorrir" - Jorge e MateusMary Alvarenga
A música 'Tem Que Sorrir', da dupla sertaneja Jorge & Mateus, é um apelo à reflexão sobre a simplicidade e a importância dos sentimentos positivos na vida. A letra transmite uma mensagem de superação, esperança e otimismo. Ela destaca a importância de enfrentar as adversidades da vida com um sorriso no rosto, mesmo quando a jornada é difícil.
Na sequência das Eleições Europeias realizadas em 26 de maio de 2019, Portugal elegeu 21 eurodeputados ao Parlamento Europeu para um mandato de cinco ano (2019-2024).
Desde essa data, alguns eurodeputados saíram e foram substituídos, pelo que esta é a nova lista atualizada em maio de 2024.
Para mais informações, consulte o dossiê temático Eleições Europeias no portal Eurocid:
https://eurocid.mne.gov.pt/eleicoes-europeias
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=52295&img=11583
Data de conceção: maio 2019.
Data de atualização: maio 2024.
Projeto de articulação curricular:
"aLeR+ o Ambiente - Os animais são nossos amigos" - Seleção de poemas da obra «Bicho em perigo», de Maria Teresa Maia Gonzalez
Slides Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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proposta curricular para educação de jovens e adultos- Língua portuguesa- anos finais do ensino fundamental (6º ao 9º ano). Planejamento de unidades letivas para professores da EJA da disciplina língua portuguesa- pode ser trabalhado nos dois segmentos - proposta para trabalhar com alunos da EJA com a disciplina língua portuguesa.Sugestão de proposta curricular da disciplina português para turmas de educação de jovens e adultos - ensino fundamental. A proposta curricular da EJa lingua portuguesa traz sugestões para professores dos anos finais (6º ao 9º ano), sabendo que essa modalidade deve ser trabalhada com metodologias diversificadas para que o aluno não desista de estudar.
CIDADANIA E PROFISSIONALIDADE 4 - PROCESSOS IDENTITÁRIOS.pptxMariaSantos298247
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América Latina: Da Independência à Consolidação dos Estados NacionaisValéria Shoujofan
Aula voltada para alunos do Ensino Médio focando nos processos de Independência da América Latina a partir dos antecedentes até a consolidação dos Estados Nacionais.
1. Curso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemática –––– Professor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato Tião
1
FatoraçãoFatoraçãoFatoraçãoFatoração
Fatorar uma expressão algébrica consiste em completar uma identidade usando uma expressão na
forma de um produto. Afinal, as somas são compostas de parcelas, e os produtos compostos de
fatores. Por exemplo, a expressão x+xy, que apresenta duas parcelas, é idêntica à expressão x(1+y),
que apresenta dois fatores. Por isso, dizemos que x(1+y) é a forma fatorada de x+xy.
Algumas das identidades algébricas apresentam expressões fatoradas em um de seus membros,
como em a2+2ab+b2 ≡ (a+b)(a+b), onde é possível notar que partindo de (a+b)(a+b) e efetuando-se a
propriedade distributiva chega-se em a2+ab+ab+b2 de uma forma bem mais simples do que encontrar
uma forma fatorada partindo-se de a2+2ab+b2.
Poderíamos dizer que fatorar é o mesmo que “desdistribuir”, se essa palavra existisse. Mas, devemos
encarar o fato de que fatorar é tarefa bem mais delicada do que efetuar a propriedade distributiva.
Técnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoraçãoTécnicas de fatoração
Os principais casos de fatoração são apresentados de forma ordenada na intenção de facilitar os
processos que permitem obter formas completamente fatoradas de uma expressão. Por isso, se uma
expressão tiver características de dois casos diferentes, recomenda-se aplicar as técnicas descritas a
seguir de acordo com a ordem dos casos:
1º caso: Fator ComumFator ComumFator ComumFator Comum
AB + AC ≡ A ⋅ (B+C)
Se todos os termos de uma expressão apresentam fator comum, este fator comum pode ser
colocado em evidência multiplicando outro fator entre parênteses. Os termos do fator entre parênteses
serão os respectivos quocientes de cada termo da expressão original pelo fator em evidência.
Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:
xxxx2222 –––– 2xy + x2xy + x2xy + x2xy + x ≡ xxxx ⋅ (x(x(x(x –––– 2y + 1)2y + 1)2y + 1)2y + 1)
4x4x4x4x2222 + 40x + 100+ 40x + 100+ 40x + 100+ 40x + 100 ≡ 4444 ⋅ (x(x(x(x2222 + 10x + 25)+ 10x + 25)+ 10x + 25)+ 10x + 25)
Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:
1.1.1.1. Sabendo que uma fração algébrica ou
aritmética só pode ser simplificada se tanto o
numerador quanto o denominador estiverem
fatorados, simplifique as seguintes frações:
a)a)a)a)
2
x +ax
-x -a
bbbb))))
2
2
xy -x
xy - y
cccc))))
2 3+6
3+3
dddd))))
2+2
2
3333.... Encontre todas as soluções reais da equação
3x3 + 2x = 5x2.
2222.... Encontre todas as soluções naturais da
equação 8x2 – xy = 6.
4.4.4.4. Use a equivalência lógica do produto nulo
“x⋅y = 0 ⇔ x= 0 ou y = 0” para verificar que:
“a⋅b = a⋅c ⇔ a = 0 ou b = c”
2. Curso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemática –––– Professor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato Tião
2
2º caso: Diferença de QuDiferença de QuDiferença de QuDiferença de Quadradosadradosadradosadrados
A2 − B2 ≡ (A + B) ⋅ (A − B)
A diferença de quadrados equivale ao produto entre a soma e a diferença de suas bases.
Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:
xxxx2222 – 1111 ≡ ((((xxxx + 1)1)1)1) ⋅ (x(x(x(x – 1)1)1)1) 4444 – 9x9x9x9x2222 ≡ (2(2(2(2 + 3x)3x)3x)3x) ⋅⋅⋅⋅ (2(2(2(2 – 3x)3x)3x)3x)
20132013201320132222 – 20112011201120112222 = (2013(2013(2013(2013 + 2011)2011)2011)2011) ⋅⋅⋅⋅ (2013(2013(2013(2013 – 2011)2011)2011)2011) = 4024402440244024 ⋅ 2222 = 8048804880488048
Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:
Muitos dos edifícios construídos na década
de 70 têm suas paredes exteriores decoradas
com mosaicos de pastilhas quadradas de
cerâmica dispostas em forma de contornos
quadrados cujos tamanhos e espessuras variam
de acordo com o número de pastilhas usadas.
As figuras a seguir apresentam exemplos
desses mosaicos:
1.1.1.1. As pastilhas de cerâmica
usadas para este tipo de
decoração são vendidas
presas a cartelas de
papelão.
Uma pessoa, que decidiu decorar os muros
de seu quintal com contornos quadrados,
comprou algumas dessas cartelas e cortou-as
em pedaços quadrados com 13 unidades de
lado. Depois, retirou algumas pastilhas de cada
pedaço, deixando um buraco quadrado, com 8
unidades de lado, no centro do quadrado maior,
obtendo os mosaicos prontos no papelão, antes
de fixa-los nos muros. Com quantas pastilhas
de cerâmica ficou cada mosaico?
A) 95 B) 105 C) 115 D) 125 E) 161
2.2.2.2. Sendo xxxx o número de pastilhas em cada lado
do quadrado maior de um mosaico desse tipo, e
yyyy o número de pastilhas em cada lado do
buraco quadrado em seu interior, qual das
alternativas expressa o número total de
pastilhas em cada mosaico?
A) x⋅(x–y)
B) y⋅(x–y)
C) (x+y)⋅(x–y)
D) x2 + 2xy + y2
E) x2 + y2 – xy
3333.... Outra pessoa montou um mosaico como
esse, usando exatamente 39 pastilhas de
cerâmica. Então, o número xxxx de pastilhas, em
cada lado do quadrado maior do mosaico que o
garoto montou, pode ser igual a:
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
4444 Mack.Mack.Mack.Mack. Se x e y são números inteiros e
positivos, tais que x2 – y2 = 17, então:
A) x e y são primos entre si
B) x = 2y
C) x⋅y = 30
D) x = 3y
E) x – y = 2
a
a
bb
b
(a – b)
(a – b)
b
a2222 ––––b2222
(a+b)⋅(a–b) (a – b)
a b
(a + b)
3. Curso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemáticaCurso de linguagem matemática –––– Professor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato TiãoProfessor Renato Tião
3
3º caso: Trinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado PerfeitoTrinômio Quadrado Perfeito (TQP)(TQP)(TQP)(TQP)
A2 + 2AB + B2 ≡ (A + B)2
A2 − 2AB + B2 ≡ (A − B)2
Se dois termos de um trinômio puderem ser escritos como potências de expoente 2 e, além disso, o
termo restante for igual a mais ou menos o dobro do produto das bases dessas potências, então este
trinômio pode ser escrito, numa forma fatorada, como o quadrado da soma ou da diferença das bases
daqueles termos que são potências de expoente 2, dependendo do sinal do termo restante:
Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:
xxxx2222 + 2x2x2x2x + 1111 ≡ (x(x(x(x + 1)1)1)1)2222 9999 – 6x6x6x6x + xxxx2222 ≡ ((((3333 – xxxx))))2222 4444xxxx2222 + 1111 – 4x4x4x4x ≡ ((((2222xxxx – 1111))))2222
Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:
1.1.1.1. Fatore as seguintes expressões:
a)a)a)a) x2 – 12x + 36
b)b)b)b) 36 – 12x + x2
c)c)c)c) 9x2 + 30x + 100
d)d)d)d) x4 – 50x2 + 625
e)e)e)e) 4x2 + 8x + 16
f)f)f)f) x2 + x–2 + 2
2222.... Determine os valores das constantes k em
cada expressão de forma que elas caracterizem
trinômios quadrados perfeitos:
a)a)a)a) x2 – 2x + k
b)b)b)b) x2 + 10x + k
c)c)c)c) x2 + 80x + k
d)d)d)d) x2 – 5x + k
e)e)e)e) x2 + x + k
f)f)f)f) 4x2 + 6x + k
3333.... Determine os valores extremos das funções a
seguir, bem como os valores de x para os quais
essas funções assumem seus valores extremos:
a)a)a)a) y = x2 – 2x + 7
b)b)b)b) y = x2 + 10x + 2
c)c)c)c) y = x2 – x + 3
d)d)d)d) y = –x2 – 6x + 2
e)e)e)e) y = 2x2 + 4x + 5
f)f)f)f) y = 6x – 9x2
4.4.4.4. No estudo da geometria analítica, uma
circunferência de raio r > 0 e centro (a, b) pode
ser descrita por uma equação da forma:
(x(x(x(x – a)a)a)a)2222 + (y(y(y(y – b)b)b)b)2222 = rrrr2222
Verifique se as relações cartesianas a seguir
descrevem circunferências.
a)a)a)a) x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0
b)b)b)b) x2 + y2 – x – 7y = 0
c)c)c)c) x2 + y2 + 2x + 6y + 15 = 0
d)d)d)d) x2 + y2 + 12x – 4y + 40 = 0
5555 Unifesp.Unifesp.Unifesp.Unifesp. A equação x2+y2+6x+4y+12 = 0,
em coordenadas cartesianas, representa uma
circunferência de raio 1 e centro:
A) (–6,4)
B) (6,4)
C) (3,2)
D) (–3,–2)
E) (6,–4)
6666 FuvestFuvestFuvestFuvest.... Sabendo que x, y e z são números
reais e (2x + y – z)2 +(x – y)2 +(z – 3)2 = 0 então,
x+y+z é igual a
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7