O documento fornece 5 questões de matemática sobre porcentagem, conjuntos, probabilidade e outras operações matemáticas. As questões variam de nível de dificuldade e abordam tópicos como porcentagem de conjuntos, probabilidade, consumo de combustível, entre outros.
Grandezas inversamente e diretamente proporcionaisLeandro Marin
O documento contém uma série de exercícios de matemática sobre grandezas direta e inversamente proporcionais, razões, escalas e operações com frações. Os exercícios incluem cálculos envolvendo velocidade, tempo, volumes, distâncias, porcentagens e conversões de unidades.
O documento contém 10 exercícios sobre razão e proporção, incluindo encontrar valores desconhecidos, dividir quantidades em partes proporcionais e calcular lucros divididos proporcionalmente ao capital aplicado. Os exercícios envolvem proporcionalidade direta, inversa e partilha de herança.
1) O documento é um teste sobre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Ele contém 7 questões sobre ângulos correspondentes, alternos internos e externos, e colaterais internos e externos.
2) As questões 1-3 pedem para identificar medidas de ângulos em figuras geométricas. As questões 4-5 pedem para calcular valores de ângulos. A questão 6 pede para nomear pares de ângulos. A questão 7 classifica afirmações sobre ângulos como verdadeiras ou falsas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de álgebra que envolvem fatoração, determinação de números perfeitos, extração de raízes quadradas e cálculo de raízes. Os alunos devem fatorar valores numéricos, identificar quais são quadrados perfeitos, extrair raízes quadradas desses números e calcular raízes de outros valores.
Lista (3) de exercícios números inteiros ( gabaritada)Olicio Silva
1) O documento é uma prova de matemática com exercícios sobre números inteiros, incluindo adição, subtração, antecessores e sucessores.
2) Os alunos deveriam representar números na reta numérica, escrever sentenças matemáticas com operações e calcular saldos financeiros com depósitos e cheques.
3) No final, calcula-se que o saldo final do pai será de R$-290,00 devido aos depósitos e pagamentos feitos.
1) Os números inteiros relativos incluem todos os números inteiros negativos, o zero e todos os positivos.
2) Uma temperatura foi registrada como 10°C acima de zero durante o dia e 3°C abaixo de zero à noite, relacionando os valores a números positivos e negativos.
3) Os números inteiros relativos podem ser representados em uma reta numérica, onde números mais à direita são maiores.
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exerciciostrigono_metria
O documento é um conjunto de exercícios de matemática sobre produtos notáveis e fatoração ministrado por Paulo Roberto Martins Berndt em um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 19 de maio de 2011, contendo 30 exercícios e testes com as respostas.
Grandezas inversamente e diretamente proporcionaisLeandro Marin
O documento contém uma série de exercícios de matemática sobre grandezas direta e inversamente proporcionais, razões, escalas e operações com frações. Os exercícios incluem cálculos envolvendo velocidade, tempo, volumes, distâncias, porcentagens e conversões de unidades.
O documento contém 10 exercícios sobre razão e proporção, incluindo encontrar valores desconhecidos, dividir quantidades em partes proporcionais e calcular lucros divididos proporcionalmente ao capital aplicado. Os exercícios envolvem proporcionalidade direta, inversa e partilha de herança.
1) O documento é um teste sobre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Ele contém 7 questões sobre ângulos correspondentes, alternos internos e externos, e colaterais internos e externos.
2) As questões 1-3 pedem para identificar medidas de ângulos em figuras geométricas. As questões 4-5 pedem para calcular valores de ângulos. A questão 6 pede para nomear pares de ângulos. A questão 7 classifica afirmações sobre ângulos como verdadeiras ou falsas.
O documento apresenta uma lista de exercícios de álgebra que envolvem fatoração, determinação de números perfeitos, extração de raízes quadradas e cálculo de raízes. Os alunos devem fatorar valores numéricos, identificar quais são quadrados perfeitos, extrair raízes quadradas desses números e calcular raízes de outros valores.
Lista (3) de exercícios números inteiros ( gabaritada)Olicio Silva
1) O documento é uma prova de matemática com exercícios sobre números inteiros, incluindo adição, subtração, antecessores e sucessores.
2) Os alunos deveriam representar números na reta numérica, escrever sentenças matemáticas com operações e calcular saldos financeiros com depósitos e cheques.
3) No final, calcula-se que o saldo final do pai será de R$-290,00 devido aos depósitos e pagamentos feitos.
1) Os números inteiros relativos incluem todos os números inteiros negativos, o zero e todos os positivos.
2) Uma temperatura foi registrada como 10°C acima de zero durante o dia e 3°C abaixo de zero à noite, relacionando os valores a números positivos e negativos.
3) Os números inteiros relativos podem ser representados em uma reta numérica, onde números mais à direita são maiores.
Mat utfrs 10. produtos notaveis e fatoracao exerciciostrigono_metria
O documento é um conjunto de exercícios de matemática sobre produtos notáveis e fatoração ministrado por Paulo Roberto Martins Berndt em um curso preparatório de matemática no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 19 de maio de 2011, contendo 30 exercícios e testes com as respostas.
Mat utfrs 06. razao e proporcao exerciciostrigono_metria
O documento apresenta 20 exercícios de razão e proporção sobre diversos temas como escalas em mapas, velocidade média, misturas e proporções. Os exercícios devem ser resolvidos utilizando conceitos como razão, proporção, escala e regra de três. As respostas são fornecidas no final.
The document is a list of math expression problems involving numbers, operations like addition, subtraction, multiplication, division, and exponents. It contains 15 questions with multiple parts each, asking to solve expressions like 300 - (120 - [80 - (20 - 10)]). It then provides the answers in a key at the bottom.
Este documento presenta una lista de ejercicios de matemáticas para un estudiante de 8o grado. Incluye ejercicios de reducción de términos semejantes sin paréntesis, corchetes o llaves y con paréntesis, corchetes o llaves. El documento enumera más de 50 ejercicios de este tipo para que el estudiante complete.
O documento apresenta uma atividade sobre o sistema cartesiano ortogonal para alunos do 3o ano. A atividade inclui identificar pares ordenados de pontos em planos cartesianos, determinar coordenadas de extremidades de segmentos e pontos de interseção de retas, traçar segmentos com coordenadas dadas e determinar vértices, área, perímetro e comprimentos de lados de figuras geométricas em planos cartesianos.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
1) O documento apresenta 10 exercícios de logaritmos para serem resolvidos. Os exercícios envolvem cálculos de logaritmos, equações logarítmicas e aplicações de logaritmos em química e biologia.
Lista de exercícios 2 - 8° ANO - unidade iiRodrigo Borges
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de revisão sobre fatoração de polinômios e produtos notáveis do 8o ano. 2) A lista inclui exercícios de fatoração de polinômios, identificação de igualdades trigonométricas, resolução de equações e obtenção de produtos notáveis. 3) As questões variam em nível de dificuldade e abordam diferentes técnicas matemáticas relacionadas ao conteúdo.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Os exercícios envolvem calcular potências com diferentes bases e expoentes, simplificar expressões usando propriedades de potenciação, e transformar expressões em radiciais.
1) O documento explica como transformar números decimais periódicos simples e compostos em frações irredutíveis. Fornece exemplos de como calcular a fração geratriz para vários decimais periódicos.
2) Apresenta exercícios para transformar decimais periódicos em frações irredutíveis e localizar frações na reta numérica.
Física 1º ano prof. pedro ivo - (função horária da velocidade do muv )Pedro Ivo Andrade Sousa
1) O documento apresenta conceitos e fórmulas sobre movimento uniformemente variado (MUV), incluindo velocidade em função do tempo, aceleração escalar positiva e negativa, e exercícios sobre MUV.
2) Os exercícios envolvem calcular velocidades, acelerações, tempos e distâncias percorridas para objetos em MUV usando as fórmulas apresentadas.
3) As respostas são apresentadas em tabela com as soluções para cada exercício proposto.
O documento discute sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Apresenta exemplos de funções f:R→[-3,∞[ e f:R→[-4,∞[ para ilustrar essas classificações. Em seguida, fornece dois exercícios para classificar funções como injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
Este documento fornece informações sobre duas organizações educacionais e apresenta uma série de exercícios de regra de três para serem resolvidos. As organizações são a FORMANCIPA, que oferece formação integrada e emancipatória para o acesso ao ensino superior, e a Faculdade de Educação da Universidade de Brasília. Os exercícios de regra de três fornecem problemas em diversas áreas para serem resolvidos usando proporcionalidade direta.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
1) Os números são 390, 391 e 392.
2) O documento apresenta várias equações de 1o grau para serem resolvidas.
3) A equação é resolvida para encontrar o valor real de "a" que iguala as expressões dadas.
1) O documento é uma prova de matemática do 8o ano com 12 questões objetivas e 4 questões subjetivas.
2) As instruções pedem para não raspurar as questões e marcar as respostas objetivas no gabarito no final.
3) As questões objetivas cobram conteúdos como números perfeitos, raízes quadradas, frações, monômios e expressões algébricas.
Lista 01 exercícios de função do 1º grauManoel Silva
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, incluindo identificar funções do 1o grau, especificar coeficientes angulares e lineares, classificar funções como crescentes, decrescentes ou constantes, calcular raízes e zeros de funções, determinar valores de funções, calcular preços que sofrem alterações lineares no tempo, e resolver problemas envolvendo funções do 1o grau aplicadas a situações reais.
2) A lista inclui 15 exercícios que abordam diferentes conceitos e cálculos rel
1. The document contains exercises involving factorials and simplifying expressions. It asks the reader to calculate factorials, simplify expressions, solve equations, and find values of n.
2. Several exercises involve calculating factorials, adding and subtracting factorials, and simplifying expressions with factorials.
3. Other exercises ask the reader to solve equations involving factorials and exponentials in order to find the value of n. The reader must use properties of exponents and factorials to solve for n in each equation.
Este documento contém um teste de matemática com questões sobre potências, raízes quadradas, conversão de unidades de medida e preenchimento de palavras cruzadas. O teste inclui questões como escrever números em forma de potência, representar populações mundiais usando potências de 10, determinar raízes quadradas e resolver palavras cruzadas usando potências.
04 eac proj vest mat módulo 1 função logarítmicacon_seguir
1) O documento apresenta as propriedades e definições básicas de funções logarítmicas, incluindo logaritmos, mudança de base, propriedades do logaritmo de produtos, quocientes e potências.
2) São fornecidos exemplos para calcular logaritmos pela definição e exercícios para fixação e aplicação de conceitos sobre funções logarítmicas.
3) As propriedades das funções logarítmicas são importantes para resolver problemas envolvendo escalas de intensidade e energia, como em terrem
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
1) Documento contendo 13 questões de matemática para vestibulares do Colégio Naval e EPCAr. As questões abrangem tópicos como álgebra, aritmética e geometria.
2) O documento fornece os contatos de uma equipe de professores de matemática para tirar dúvidas sobre os assuntos cobrados nas questões.
3) É apresentada uma lista de 13 questões com múltipla escolha para testar os conhecimentos dos candidatos.
Mat utfrs 06. razao e proporcao exerciciostrigono_metria
O documento apresenta 20 exercícios de razão e proporção sobre diversos temas como escalas em mapas, velocidade média, misturas e proporções. Os exercícios devem ser resolvidos utilizando conceitos como razão, proporção, escala e regra de três. As respostas são fornecidas no final.
The document is a list of math expression problems involving numbers, operations like addition, subtraction, multiplication, division, and exponents. It contains 15 questions with multiple parts each, asking to solve expressions like 300 - (120 - [80 - (20 - 10)]). It then provides the answers in a key at the bottom.
Este documento presenta una lista de ejercicios de matemáticas para un estudiante de 8o grado. Incluye ejercicios de reducción de términos semejantes sin paréntesis, corchetes o llaves y con paréntesis, corchetes o llaves. El documento enumera más de 50 ejercicios de este tipo para que el estudiante complete.
O documento apresenta uma atividade sobre o sistema cartesiano ortogonal para alunos do 3o ano. A atividade inclui identificar pares ordenados de pontos em planos cartesianos, determinar coordenadas de extremidades de segmentos e pontos de interseção de retas, traçar segmentos com coordenadas dadas e determinar vértices, área, perímetro e comprimentos de lados de figuras geométricas em planos cartesianos.
The document discusses quadratic functions f(x) = ax^2 + bx + c. It defines quadratic functions and discusses their graphs, concavity, zeros (roots), vertex, axis of symmetry, and examples of sketching graphs of specific quadratic functions. It provides formulas for determining the vertex coordinates and zeros. Examples are worked out finding the domain, image, zeros, y-intercept, and sketching the graph for functions like f(x) = x^2 - 4x + 3.
1) O documento apresenta 10 exercícios de logaritmos para serem resolvidos. Os exercícios envolvem cálculos de logaritmos, equações logarítmicas e aplicações de logaritmos em química e biologia.
Lista de exercícios 2 - 8° ANO - unidade iiRodrigo Borges
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de revisão sobre fatoração de polinômios e produtos notáveis do 8o ano. 2) A lista inclui exercícios de fatoração de polinômios, identificação de igualdades trigonométricas, resolução de equações e obtenção de produtos notáveis. 3) As questões variam em nível de dificuldade e abordam diferentes técnicas matemáticas relacionadas ao conteúdo.
O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Os exercícios envolvem calcular potências com diferentes bases e expoentes, simplificar expressões usando propriedades de potenciação, e transformar expressões em radiciais.
1) O documento explica como transformar números decimais periódicos simples e compostos em frações irredutíveis. Fornece exemplos de como calcular a fração geratriz para vários decimais periódicos.
2) Apresenta exercícios para transformar decimais periódicos em frações irredutíveis e localizar frações na reta numérica.
Física 1º ano prof. pedro ivo - (função horária da velocidade do muv )Pedro Ivo Andrade Sousa
1) O documento apresenta conceitos e fórmulas sobre movimento uniformemente variado (MUV), incluindo velocidade em função do tempo, aceleração escalar positiva e negativa, e exercícios sobre MUV.
2) Os exercícios envolvem calcular velocidades, acelerações, tempos e distâncias percorridas para objetos em MUV usando as fórmulas apresentadas.
3) As respostas são apresentadas em tabela com as soluções para cada exercício proposto.
O documento discute sobre funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Apresenta exemplos de funções f:R→[-3,∞[ e f:R→[-4,∞[ para ilustrar essas classificações. Em seguida, fornece dois exercícios para classificar funções como injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
Este documento fornece informações sobre duas organizações educacionais e apresenta uma série de exercícios de regra de três para serem resolvidos. As organizações são a FORMANCIPA, que oferece formação integrada e emancipatória para o acesso ao ensino superior, e a Faculdade de Educação da Universidade de Brasília. Os exercícios de regra de três fornecem problemas em diversas áreas para serem resolvidos usando proporcionalidade direta.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
1) Os números são 390, 391 e 392.
2) O documento apresenta várias equações de 1o grau para serem resolvidas.
3) A equação é resolvida para encontrar o valor real de "a" que iguala as expressões dadas.
1) O documento é uma prova de matemática do 8o ano com 12 questões objetivas e 4 questões subjetivas.
2) As instruções pedem para não raspurar as questões e marcar as respostas objetivas no gabarito no final.
3) As questões objetivas cobram conteúdos como números perfeitos, raízes quadradas, frações, monômios e expressões algébricas.
Lista 01 exercícios de função do 1º grauManoel Silva
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre funções do 1o grau, incluindo identificar funções do 1o grau, especificar coeficientes angulares e lineares, classificar funções como crescentes, decrescentes ou constantes, calcular raízes e zeros de funções, determinar valores de funções, calcular preços que sofrem alterações lineares no tempo, e resolver problemas envolvendo funções do 1o grau aplicadas a situações reais.
2) A lista inclui 15 exercícios que abordam diferentes conceitos e cálculos rel
1. The document contains exercises involving factorials and simplifying expressions. It asks the reader to calculate factorials, simplify expressions, solve equations, and find values of n.
2. Several exercises involve calculating factorials, adding and subtracting factorials, and simplifying expressions with factorials.
3. Other exercises ask the reader to solve equations involving factorials and exponentials in order to find the value of n. The reader must use properties of exponents and factorials to solve for n in each equation.
Este documento contém um teste de matemática com questões sobre potências, raízes quadradas, conversão de unidades de medida e preenchimento de palavras cruzadas. O teste inclui questões como escrever números em forma de potência, representar populações mundiais usando potências de 10, determinar raízes quadradas e resolver palavras cruzadas usando potências.
04 eac proj vest mat módulo 1 função logarítmicacon_seguir
1) O documento apresenta as propriedades e definições básicas de funções logarítmicas, incluindo logaritmos, mudança de base, propriedades do logaritmo de produtos, quocientes e potências.
2) São fornecidos exemplos para calcular logaritmos pela definição e exercícios para fixação e aplicação de conceitos sobre funções logarítmicas.
3) As propriedades das funções logarítmicas são importantes para resolver problemas envolvendo escalas de intensidade e energia, como em terrem
1. O documento anuncia um aulão gratuito de matemática da EsPCEx que ocorrerá nas terças e quintas-feiras das 19h às 22h nos dias 20 e 22 de setembro.
2. Ele lista as equipes responsáveis pela resolução de questões e diagramação do aulão.
3. Os interessados são convidados a participarem do evento nas datas informadas.
1) Documento contendo 13 questões de matemática para vestibulares do Colégio Naval e EPCAr. As questões abrangem tópicos como álgebra, aritmética e geometria.
2) O documento fornece os contatos de uma equipe de professores de matemática para tirar dúvidas sobre os assuntos cobrados nas questões.
3) É apresentada uma lista de 13 questões com múltipla escolha para testar os conhecimentos dos candidatos.
Dois clubes do Rio de Janeiro somaram 8 pontos no campeonato. Cada um dos outros clubes alcançou a mesma quantidade k de pontos. A quantidade de clubes é maior que 10.
Este documento contém 10 questões sobre números complexos. As questões abordam tópicos como operações com números complexos, raízes de polinômios, conjuntos solução de equações e representação geométrica de números complexos no plano.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, trigonometria, logaritmos e progressões.
Este documento contém 28 questões de raciocínio lógico sobre proposições, negações, equivalências lógicas e conclusões válidas a partir de premissas. As questões abordam tópicos como silogismos, conjuntos e lógica proposicional.
Vigas inclinadas exemplo - viga engastada e livre submetida a uma forca ver...Charles Lima
1) O documento apresenta um exemplo de cálculo de esforços internos em uma viga inclinada submetida a uma força vertical uniformemente distribuída e um momento.
2) São mostrados os cálculos das reações de apoio e dos esforços internos (momento fletor, cortante e axial) ao longo da viga.
3) São apresentados os diagramas dos esforços internos solicitantes da viga inclinada.
Resolução da prova do colégio naval de 20082marrow
[1] O documento apresenta 6 questões de um exame de matemática para o Colégio Naval.
[2] As questões envolvem tópicos como triângulos, circunferências, equações do 2o grau, paralelogramos e decomposição em fatores primos.
[3] Cada questão é resolvida detalhadamente com figuras geométricas quando necessário.
O documento discute o conceito de derivada de funções. Apresenta a definição formal de derivada como o limite da razão incremental de uma função quando o incremento da variável independente tende a zero. Fornece exemplos de cálculo de derivadas de funções simples e introduz regras básicas para derivação de funções algébricas.
SSA UPE 2013/2014 - Questões de matemática resolvidaEudes Martins
O documento descreve o processo de ingresso na Universidade de Pernambuco, com as disciplinas avaliadas no sistema seriado e os dados de identificação necessários. Ele também apresenta um texto sobre estratégias para combater a fome no Brasil, discutindo a viabilidade do consumo de insetos e a integração de florestas e agricultura de forma sustentável.
1. O documento contém vários exercícios sobre ângulos, triângulos e polígonos regulares. Inclui cálculos de medidas de ângulos, classificação de triângulos, casos de congruência e propriedades de polígonos.
Este problema envolve a formação de números com algarismos x, y e z, onde os números de dois algarismos xy e yx somados resultam no número de três algarismos 1x1. Isso implica que x, y e z devem ser iguais a 1.
1) O documento descreve um CD contendo 302 questões de matemática sobre álgebra, porcentagem, trigonometria e estatística.
2) As questões são divididas em 6 unidades sobre esses conteúdos.
3) O CD é destinado a professores para elaboração de revisões e avaliações.
O documento apresenta um teste de inglês da 2a unidade com 5 questões: 1) Encontrar letras faltantes, 2) Preencher uma cruzadinha com partes da casa em inglês, 3) Colocar as partes da casa em ordem, 4) Relacionar partes da casa em inglês e português, 5) Descrever a própria casa.
Este documento é uma apostila sobre geometria plana produzida pelo Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas (Pró-ExaCTa) da Universidade Federal do Ceará. A apostila contém definições e conceitos básicos de geometria como pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos, ilustrados com exemplos resolvidos. O documento fornece um guia estruturado para o estudo destes importantes tópicos da geometria.
O documento apresenta 10 problemas de matemática resolvidos. Os problemas envolvem cálculos com proporções, regra de três, razão e proporção e outras operações matemáticas. As soluções são apresentadas de forma detalhada, mostrando cada etapa do raciocínio e cálculo para chegar ao resultado.
Este documento contém uma prova de matemática para alunos do 5o ano. A prova inclui questões de escolha múltipla, cálculos, frações, e expressões numéricas. As instruções pedem aos alunos para preencher os seus nomes e responder a todas as perguntas com atenção, mostrando os cálculos quando necessário.
1) O documento apresenta 5 questões de matemática retiradas de provas de olimpíadas brasileiras. As questões envolvem cálculos numéricos, divisão de grupos e análise de padrões.
1) O documento é uma prova de matemática do 5o ano com 11 questões sobre vários tópicos matemáticos como cálculos numéricos, porcentagens, decomposição em fatores primos e interpretação de dados.
2) A prova pede aos alunos para mostrarem todos os cálculos realizados nas respostas.
3) Uma das questões envolve o cálculo do número de sacos de adubo necessários para tratar um terreno, quanto cada saco custa e quanto o lavrador gastará no total.
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
1) O documento apresenta 5 questões de matemática resolvidas, com explicações detalhadas.
2) A questão 2 pede para calcular quantas bolinhas há em um pote com menos de 100 bolinhas. A resposta é que há 91 bolinhas no pote.
3) Na questão 4, afirma-se que 234 é divisor de 3.978.
Este documento contém 36 questões de matemática sobre vários tópicos como números, álgebra, geometria e estatística. As questões abordam conceitos como divisibilidade, múltiplos, primos, equações, figuras geométricas, medidas, tabelas e gráficos estatísticos.
O documento apresenta 8 questões de matemática sobre diferentes tópicos como: estatística, razão e proporção, equações, entre outros. As questões contêm enunciados, alternativas de resposta e soluções detalhadas.
[1] O documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012 contendo as respostas corretas para 20 questões e informações sobre a pontuação e uma questão anulada.
[2] As soluções para duas das questões são apresentadas, mostrando os raciocínios matemáticos utilizados para chegar às respostas corretas.
[3] A questão 9 traz o desenho de um eneágono regular com informações angulares que permitem identificar qual tipo de triângulo é
prof.Calazans(Mat. e suas tecnologias)-Simulado comentado 01ProfCalazans
1) Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região da caatinga de quase 800 mil km2.
2) A densidade demográfica da região da caatinga é de aproximadamente 25 habitantes por km2.
3) A irregularidade climática é um dos principais fatores que afetam a vida dos habitantes da região da caatinga.
1) O documento fornece instruções para ensinar frações e decimais para crianças. Inclui exercícios sobre dividir objetos e quantidades em partes iguais e representar frações.
2) Pede aos alunos para resolver problemas envolvendo dividir alimentos como bananas e crepes entre pessoas e representar as quantidades restantes como frações.
3) Apresenta um problema sobre uma família de ursos que come bolinhos deixados por uma avó, com instruções para calcular a quantidade inicial de bolinhos no cesto.
Este documento contém 10 questões de um teste intermédio de matemática para o 9o ano de escolaridade. As questões abordam tópicos como probabilidade, sistemas de equações, geometria e finanças pessoais.
O documento apresenta exercícios de matemática sobre proporcionalidade, escalas e consumo de energia. Inclui questões sobre produção de biodiesel, consumo de lâmpadas, investimentos financeiros e proporções.
Lista af2 - 3° bimestre - 7° ano - 2015proffelipemat
Este documento é uma lista de exercícios de matemática do 7o ano que inclui expressões algébricas, fórmulas e equações. A lista contém 19 exercícios sobre esses tópicos matemáticos e foi elaborada pelo professor Marcos Vinícius.
O documento apresenta 14 questões de um simulado com respostas e soluções. A maioria das questões envolvem cálculos matemáticos como proporcionalidade, porcentagem e operações com frações.
Este documento contém 20 questões de múltipla escolha sobre matemática e raciocínio lógico para alunos do 8o e 9o ano do ensino fundamental. As instruções orientam os alunos a preencher o cartão de respostas com seus dados e informam que a prova terá duração de 2 horas e 30 minutos.
1) O documento contém uma preparação para um teste de matemática do 6o ano com questões sobre áreas, perímetros, volumes, números racionais e fracções. 2) Inclui questões de escolha múltipla e questões abertas que requerem cálculos e raciocínio matemático. 3) Aborda tópicos como geometria plana e espacial, operações com números racionais e resolução de problemas.
Este documento apresenta uma aula sobre o Teorema de Pitágoras para o 9o ano do Ensino Fundamental. A aula inclui exemplos de aplicações do teorema, resolução de exercícios, elaboração de problemas e uma atividade final para os alunos.
Este documento apresenta exercícios sobre o uso do mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre números naturais para resolver problemas. Os exercícios abordam cálculos envolvendo MMC e MDC para determinar quantidades de embalagens, pessoas ou arranjos de flores necessários.
www-destruidordeep-com-br-oficial--mcr-AEP15726298 (1).pdfJorge Pedro
O documento promove um método caseiro para eliminar a ejaculação precoce de forma natural em poucos dias. Os comentários sugerem que o método funciona, aumentando o tempo de duração na cama. O anúncio oferece 47 dias de garantia de dinheiro de volta se o método não surtir efeito.
Este documento contém 28 questões de múltipla escolha sobre vários tópicos matemáticos como porcentagem, juros, média, razão e proporção. As questões variam de nível de dificuldade.
Este documento contém 28 questões de múltipla escolha sobre vários tópicos matemáticos como porcentagem, juros, média, razão e proporção. As questões variam de nível de dificuldade.
A tipicidade do extermínio ou o extermínio da tipicidade luciano filizolaJorge Pedro
O documento analisa a Lei 12.720/2012 que criou penas maiores para homicídio e lesão corporal praticados por grupos de extermínio ou milícias privadas. O autor argumenta que a lei define esses grupos de forma vaga e ampla, violando a legalidade e possibilitando a criminalização de qualquer concurso de pessoas. Além disso, a lei tipifica de forma genérica a organização de grupos paramilitares ou milícias privadas, criminalizando atos preparatórios e violando o princípio da lesividade.
A carta pede desculpas por um erro na numeração das questões de um documento, e promete corrigir o problema para evitar confusão no futuro. O remetente reconhece que a falta de organização pode dificultar a compreensão do leitor e se compromete a melhorar a formatação dos próximos documentos.
1. O documento apresenta um mapa de correntes em uma desembocadura de rio e uma pergunta sobre a causa do fenômeno de fluência das águas para o interior do continente.
2. O documento mostra um corpo abandonado em um plano inclinado e pergunta sobre a velocidade que ele atinge o solo.
3. O documento descreve a quantidade de energia gasta por uma pessoa em uma atividade física e pergunta qual a quantidade de porções de diferentes alimentos seria necessária para repor essa energia.
Este documento contém 10 questões de matemática selecionadas de provas de vestibulares entre 2012 e 1992. As questões abordam tópicos como conjuntos, combinatória, probabilidade e lógica.
1. O polinômio P(x) é dado e sua avaliação em um ponto é fornecida. Isso permite determinar o valor de P no ponto (1+i)/2.
2. O gráfico de um polinômio de terceiro grau é dado. Isso permite determinar o resto da divisão desse polinômio por um binômio.
3. Uma condição é dada sobre uma função quadrática. Isso permite determinar o coeficiente b dessa função.
1. Uma pessoa sobe uma escada rolante de andar térreo para andar superior. A energia transferida à pessoa pela escada foi de 2,4 x 10^2 J/s.
2. Dois fluidos não miscíveis estão em um tubo curvo. A razão entre as massas específicas dos fluidos é 0,8.
3. Um gráfico mostra a variação da pressão em um reservatório de líquido em função da profundidade. A pressão atmosférica é de 5,0x10^4 N/m2 e a dens
1. Um ciclista se movimenta a 18 km/h. As rodas dentadas da bicicleta giram em movimento circular uniforme. A velocidade dos pedais é de 2,5 rpm.
2. Um bloco desce um plano inclinado a diferentes velocidades. A energia dissipada pelo atrito entre os instantes mostrados é de 2,1 J.
3. Forneço resumos concisos em 3 frases ou menos que fornecem as informações de alto nível e essenciais do documento.
1) Para que um bloco de 2 kg atinja uma velocidade de 1 m/s após ser comprimido contra uma mola de constante elástica de 200 N/m, é necessário comprimir a mola em 0,9 cm.
2) Quando um corpo é abandonado do alto de um plano inclinado com uma velocidade aproximada de 10 m/s ao atingir o solo.
3) Quando um barco reboca um paraquedista preso a um parapente, a resultante das forças sobre o paraquedista é nula.
Este documento contém 7 questões sobre mecânica newtoniana. A primeira pergunta calcula a velocidade média de um trem atravessando um túnel. A segunda calcula a velocidade média de carros em uma rodovia baseado no tempo estimado para chegar a um posto de serviço. A terceira identifica as forças agindo em um bloco de madeira parado em uma mesa.
1. O documento apresenta 19 questões sobre álgebra, conjuntos e geometria envolvendo equações exponenciais, conjuntos, probabilidade e áreas de figuras geométricas.
2. As questões 1-10 envolvem resolução de equações exponenciais, operações com conjuntos e probabilidade.
3. As questões 11-19 envolvem cálculos de áreas de figuras geométricas como retângulos e expressões algébricas representando perímetros e áreas.
1. O documento apresenta 19 questões sobre álgebra, conjuntos e geometria envolvendo equações exponenciais, conjuntos, probabilidade e áreas de figuras geométricas.
2. As questões 1-10 envolvem resolução de equações exponenciais, operações com conjuntos e probabilidade.
3. As questões 11-19 tratam de áreas de figuras geométricas como retângulos e caixas, expressando as áreas e perímetros em função de variáveis.
1) Um corpo está em repouso quando a distância entre ele e o referencial não varia com o tempo, e está em movimento quando essa distância varia com o tempo.
2) Para transformar velocidades entre km/h e m/s, divide-se ou multiplica-se a velocidade por 3,6.
3) Para calcular a velocidade média de um corpo, divide-se o deslocamento pelo tempo gasto.
O documento apresenta 22 problemas de trigonometria e conjuntos. Os problemas envolvem cálculos em triângulos retângulos, ângulos formados por objetos vistos de diferentes pontos, conjuntos de pessoas que praticam esportes ou consomem produtos. As respostas para cada problema são fornecidas no final em formato de tabela.
O documento apresenta 15 questões sobre movimento vertical e projetil. As questões abordam conceitos como velocidade e aceleração no ponto mais alto da trajetória de um objeto lançado verticalmente, tempo de subida, altura máxima, velocidade inicial de lançamento e tempo para retornar ao solo.
1. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO PARA O CLÉGIO NAVAL E EPCAr
QUESTÃO 1
Numa escola, 82% dos alunos gostam de pizza, 78% de chocolate e 75% de pastel. Quantos alunos,
no mínimo, gostam dos três ao mesmo tempo?
a) 15%
b) 18%
c) 30%
d) 35%
e) 40%
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
Sejam os conjuntos A, B e C o conjunto dos alunos que gostam de pizza, pastel e chocolate,
respectivamente.
Seja X o complementar do conjunto X em relação ao universo.
n ( A ) = 82% Þ n ( A ) = 100% - 82% = 18%
n ( B) = 75% Þ n ( B) = 100% - 75% = 25%
n ( C) = 78% Þ n ( C ) = 100% - 78% = 22%
( )
n ( A Ç B Ç C ) = n A È B È C = 100% - n ( A È B È C )
n ( A È B È C ) £ n ( A ) + n ( B) + n ( C ) = 18% + 25% + 22% = 65%
n ( A Ç B Ç C ) = 100% - n ( A È B È C ) ³ 100% - 65% = 35%
n ( A Ç B Ç C )MIN = 35%
2ª RESOLUÇÃO:
Usando a desigualdade de Bonferroni:
n ( A1 Ç A2 Ç Ç Ak ) ³ n ( A1 ) + n ( A2 ) + + n ( Ak ) - ( k -1) × n ( A1 È A2 È È Ak )
para n = 3 ,temos:
n ( A Ç B Ç C ) ³ n ( A ) + n ( B) + n ( C ) - ( 3 - 1) × n ( A È B È C )
Û n ( A Ç B Ç C ) ³ 82% + 78% + 75% - 2 ×100% = 35%
Logo, o valor mínimo de n ( A Ç B Ç C) = 35% .
QUESTÃO 2
Em uma pesquisa realizada com um grupo de 100 turistas, constatou-se que 42 falam inglês, 12
falam inglês e italiano, 18 falam espanhol e inglês e 16 falam espanhol e italiano. O número de
turistas que falam espanhol é, precisamente, 50% maior que o número daqueles que falam italiano.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
2
(I) O número de turistas que falam italiano é igual a do número dos que falam espanhol.
3
(II) Se 9 dos turistas consultados falam as três línguas, espanhol, inglês e italiano, enquanto 5 deles
não falam nenhuma dessas línguas, então, mais da metade dos turistas falam espanhol.
madematica.blogspot.com
Página 1 de 25
2. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
(III) Se 9 dos turistas consultados falam as três línguas, espanhol, inglês e italiano, enquanto 5 deles
não falam nenhuma dessas línguas, então, exatamente 24 desses turistas falam apenas inglês.
(IV) Se todos os turistas falam pelo menos uma das três línguas, então, escolhendo-se aleatoriamente
um dos turistas, a chance de ele falar italiano será maior que 30%.
Agora marque a alternativa que apresenta a seqüência obtida.
a) Certo- Certo – Certo – Certo
b) Certo – Certo – Errado –Errado
c) Certo – Certo – Errado – Certo
d) Errado – Certo – Errado – Certo
e) Errado – Errado – Errado – Errado
RESPOSTA: c
RESOLUÇÃO:
(1) Certo
3 2
n ( espanhol ) = n ( italiano ) × (1 + 50% ) = × n ( italiano ) Û n ( italiano ) = × n ( espanhol )
2 3
(2) Certo
Nas condições conclui-se que 21 turistas falam somente inglês. Em conseqüência, 100 - 21 - 5 = 74
falam espanhol ou italiano.
74 = n ( espanhol ) + n ( italiano ) - 16 Û 90 = 1,5 × n ( italiano ) + n ( italiano ) Û n ( italiano ) = 36
Þ n ( espanhol ) = 1,5 × 36 = 54
(3) Errado
Considerando que x turistas falam as três línguas e fazendo a diagramação segundo o texto temos:
Sendo x = 9 , então 21 turistas falam somente a língua inglesa.
(4) Certo
n ( ita È ing È esp ) = n ( ing ) + n ( ita ) + n ( esp ) - n (ing Ç ita ) - n (ing Ç esp ) - n (ita Ç esp ) + n ( ing Ç ita Ç esp )
x
100 = 42 + n ( ita ) + 1,5 × n ( ita ) - 12 - 18 - 16 + x Û 2,5 × n ( ita ) = 104 - x Û n ( ita ) = 41, 6 -
2,5
O menor valor de n ( ita ) ocorre para o maior valor de x . Como x £ 12 , temos n ( ita ) > 36,8 , ou
seja, a chance de um turista escolhido aleatoriamente falar italiano é maior que 36,8%.
REFERÊNCIA: UNB 2000
madematica.blogspot.com
Página 2 de 25
3. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
QUESTÃO 3
(AFA 2008) Um fabricante de camisetas que pretendia vender seu estoque no prazo de 4 meses,
mantendo o preço de cada camiseta, obteve o seguinte resultado:
· no primeiro mês, vendeu 10% de seu estoque;
· no segundo, 20% do restante das mercadorias; e
· no terceiro, 50% do que sobrou.
Ao ver que sobraram 3.600 camisetas, no quarto mês, o fabricante reduziu o preço de cada uma em
1
33 % , conseguiu assim liquidar todo seu estoque e recebendo R$21.600,00 pelas vendas deste mês.
3
É correto afirmar que o fabricante
a) no terceiro mês, vendeu uma quantidade de camisetas 200% a mais que no segundo mês.
b) no primeiro mês, recebeu mais de R$ 9.000,00.
c) arrecadaria a mesma importância total, durante os 4 meses, se cada camiseta fosse vendida por x
reais, x Î [7,8] .
d) tinha um estoque que superava 834 dúzias de camisetas.
e) O preço original da camiseta era um número primo.
RESPOSTA: c
RESOLUÇÃO:
Seja N a quantidade de camisetas inicialmente no estoque.
No primeiro mês foram vendidas 10% × N = 0,1N .
No segundo mês foram vendidas 20% × 0,9N = 0,18N
No terceiro mês foram vendidas 50% × 0,72N = 0,36N
Ao final do terceiro mês ainda sobravam N - ( 0,1N + 0,18N + 0,36N ) = 0,36N = 3600 Û N = 10.000
21600, 00
As camisetas no quarto mês foram vendidas por = 6 reais.
3600
1 æ 100 ö 2
Esse valor é 33 % menor que o preço P original, então P ç1 - % ÷ = 6 Û P = 6 Û P = 9 reais.
3 è 3 ø 3
O total arrecadado com a venda das camisetas foi 6400 × 9 + 21600 = 79200 reais e o preço médio foi
79200
= 7,92 reais.
10000
0,36N - 0,18N
a) = 100% (errada)
0,18N
b) No primeiro mês recebeu 0,1×10000 × 9 = 9000 reais (errada)
c) Se cada camiseta fosse vendida pelo preço médio 7,92, a importância arrecadada seria a mesma.
(correta)
10000 1
d) O estoque em dúzias era = 833 < 834 (errada)
12 3
e) O preço original da camiseta era 9 que não é primo. (errada)
QUESTÃO 4
(AFA 2009) Perguntaram a Gabriel qual era seu horário de trabalho e ele respondeu:
madematica.blogspot.com
Página 3 de 25
4. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
“Habitualmente começo às 6 horas da manhã minha jornada de trabalho que é de 8 horas diárias,
3
dividida em dois expedientes. Cumpro no primeiro expediente dessa jornada, tenho um intervalo
4
de almoço de 1 hora e 45 minutos e retorno para cumprir o tempo que falta, ou seja, o segundo
expediente.
Hoje, excepcionalmente, quando cheguei, o relógio de ponto registrou um horário tal que o tempo
4
transcorrido do dia era igual aos do tempo restante do dia e eu fui, então, alertado que estava
11
atrasado. Acertei meu relógio pelo relógio de ponto e, para compensar meu atraso, pretendo cumprir
3 1
os de minha jornada e sair para almoçar reduzindo o tempo de meu intervalo de almoço em .
4 5
Imediatamente retornarei para o trabalho e sairei no meu horário habitual.”
Considerando que o relógio de ponto estivesse certo e em perfeito funcionamento, é correto afirmar
que, nesse dia, Gabriel, com sua pretensão
a) sairá para o almoço antes de 12 horas e 23 minutos.
b) retornará após o intervalo de almoço, exatamente, às 13 horas e 50 minutos.
c) cumprirá sua jornada diária na íntegra e ainda sobrarão dois minutos.
1
d) ficará devendo de sua jornada diária.
160
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
3
Gabriel habitualmente chega às 6 h e cumpre um primeiro expediente de ×8 h = 6 h .
4
Sai para almoçar às 12 h e demora no almoço 1 h 45 min , retornando às 13 h 45 min .
Cumpre um segundo expediente de 2 h e sai às 15 h 45 min .
Designando por T o horário no qual Gabriel chegou hoje, então
4
T = × ( 24 - T ) Û T = 6, 4 h = 6 h 24 min
11
Como Gabriel chegou às 6 h 24 min e cumprirá o primeiro expediente normalmente, ele sairá para
almoçar às 12 h 24 min .
4
O intervalo de almoço será ×1h 45min = 1 h 24 min e ele retornará para o segundo expediente às
5
13 h 48 min .
Gabriel sairá normalmente às 15 h 45 min , logo cumprirá apenas 1h 57 min no segundo expediente.
1
Dessa forma ficará devendo 3 min , ou seja, de sua jornada diária, visto que
160
1 1
×8 h = × 480 min = 3 min .
160 160
QUESTÃO 5
(AFA 2012) Três carros, a , b , c , com diferentes taxas de consumo de combustível, percorrerão,
cada um, 600 km por um mesmo caminho. No ponto de partida, os três estão com tanque cheio.
madematica.blogspot.com
Página 4 de 25
5. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
1
Após terem percorrido, cada um, do total previsto, os carros b e c foram abastecidos
5
completando novamente seus tanques e gastaram, juntos, R$ 66,00 .
Ao final dos 600 km , os três carros foram abastecidos, completando seus tanques, e, nesse
abastecimento, juntos, gastaram R$ 384,00 . Considerando o preço do litro do combustível usado
pelos três carros a R$ 3,00 , a distância que o carro a percorre, em média, com um litro de
combustível é
a) 12 km .
b) 15 km .
c) 16 km .
d) 18 km .
RESPOSTA: b
RESOLUÇÃO:
Supondo que os carros a , b e c tenham taxas de consumo de combustível iguais a A , B e C
km / , respectivamente.
1 1 120 120
Como do percurso é × 600 = 120 km , os carros b e c consumiram e litros de
5 5 B C
æ 120 120 ö 1 1 22
combustível e o custo foi ç + ÷ × 3 = 66 Û + = (*).
è B C ø B C 120
600
Ao final dos 600 km , os carros a , b e c , para completar o tanque de combustível, receberam ,
A
480 480 æ 600 480 480 ö 5 æ 1 1 ö 128
e litros e o custo foi ç + + ÷ × 3 = 384 Û + 4 × ç + ÷ = .
B C è A B C ø A è B C ø 120
5 22 128 5 40
Substituindo (*) na expressão acima, temos: + 4 × = Û = Û A = 15 km .
A 120 120 A 120
Logo, o carro a percorre, em média, 15 km com um litro de combustível.
QUESTÃO 6
Um colecionador possui N pedras preciosas. Se ele retira as três pedras mais pesadas, então o peso
total das pedras diminui 35% . Das pedras restantes, se ele retira as três mais leves, o peso total
5
diminui mais . O valor de N é
13
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
RESPOSTA: c
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 5 de 25
6. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
Seja 100k o peso total das pedras. Então o peso das três mais pesadas é 35k e o peso das três mais
5
leves (100k - 35k ) × = 25k .
13
As ( N - 6 ) pedras restantes possuíam peso total 100k - 35k - 25k = 40k e seu peso médio deve
25k 35k
estar entre e , então
3 3
25k 40k 35k 5 8 7 66 54
< < Û < < Û 5N - 30 < 24 < 7N - 42 Û 9 < <N< < 11 Þ N = 10
3 N-6 3 3 N-6 3 7 5
REFERÊNCIA: Hong Kong Preliminary Selection Contest 2005
QUESTÃO 7
Ordenando todos os números positivos que podem ser expressos como uma soma de 2005 inteiros
consecutivos, não necessariamente positivos, aquele que ocupa a posição 2005 é:
a) 4016015
b) 4018020
c) 4020025
d) 4022030
e) 4024035
RESPOSTA: c
RESOLUÇÃO:
Qualquer sucessão de 2005 inteiros consecutivos é da forma:
n -1002 , n -1001, , n -1, n , n +1 , n +1001 n +1002
1 1, 1001,
onde denotamos por n o inteiro que ocupa a posição central.
A soma desses 2005 inteiros consecutivos é 2005n.
Por tanto, o conjunto dos números positivos expressáveis como a soma de 2005 inteiros consecutivos
é {2005n | n Î * } , ou seja, é o conjunto dos múltiplos inteiros de 2005.
+
Assim, o número que ocupa a posição 2005 na sucessão é 2005 × 2005 = 4020025 .
REFERÊNCIA: REVISTA OIM N° 23
QUESTÃO 8
Os números naturais a e b são tais que a + b = 2007 , b ¹ 0 e na divisão de a por b obtém-se resto
igual ao quociente. A soma de todos os valores possíveis de a é:
a) 4261
b) 4263
c) 4265
d) 4267
e) 4269
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 6 de 25
7. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
a = b × q + q , 0 £ q < b Þ a = ( b + 1) q Þ ( b + 1) | a Þ ( b + 1) | ( 2007 - b )
Þ ( b + 1) | ( 2008 - ( b + 1) ) Þ ( b + 1) | 2008 = 23 × 251
( b + 1) | ( 2007 - b ) Þ b + 1 £ 2007 - b Û 2b £ 2006 Û b £ 1003
0 £ q < b e a = ( b + 1) q Þ a < ( b + 1) × b Þ 2007 - b < b 2 + b Þ b 2 + 2b - 2007 > 0
Û b < -1 - 2 502 (não convém) ou b > -1 + 2 502 Þ b ³ 44
Þ b + 1 = 251 Þ b = 250 Þ a = 1757
Þ b + 1 = 502 Þ b = 501 Þ a = 1506
Þ b + 1 = 1004 Þ b = 1003 Þ a = 1004
A soma de todos os possíveis valores de a é 1757 +1506 +1004 = 4267 .
QUESTÃO 9
(IME 2012) Um curso oferece as disciplinas A , B , C e D . Foram feitas as matrículas dos alunos
da seguinte forma:
· 6 alunos se matricularam na disciplina A ;
· 5 alunos se matricularam na disciplina B ;
· 5 alunos se matricularam na disciplina C ; e
· 4 alunos se matricularam na disciplina D .
Sabe-se que cada aluno se matriculou em, no mínimo, 3 disciplinas. Determine a quantidade mínima
de alunos que se matricularam nas 4 disciplinas.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESPOSTA: c
RESOLUÇÃO:
Seja n a quantidade de alunos. Como cada aluno está inscrito em no mínimo 3 disciplinas, então a
quantidade de inscritos é maior ou igual ao triplo da quantidade de alunos. Por outro lado, a
quantidade de inscrições é menor ou igual ao quádruplo da quantidade de alunos, número máximo de
inscrições. Assim, temos: 3n £ n ( A ) + n ( B) + n ( C) + n ( D ) £ 4n Û 3n £ 20 £ 4n Û 5 £ n £ 6 .
Portanto, a quantidade de alunos é n = 5 ou n = 6 , mas como há 6 inscritos na disciplina A ,
conclui-se que n = 6 .
Considerando que o total de inscrições é 20 e a quantidade de alunos é 6 , conclui-se que 4 alunos
matricularam-se em 3 disciplinas e 2 alunos matricularam-se em 4 disciplinas.
QUESTÃO 10
n +8
n + 2n + 3
n n +1
Se n n = 4 , então n é igual a:
a) 1
b) 16
c) 256
d) 400
madematica.blogspot.com
Página 7 de 25
8. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
e) maior que 1.000.000
RESPOSTA: c
RESOLUÇÃO:
n +8
n + 2n +3 ( nn )
n n +1 n +1
= ( nn )
n ×n
n = nn = nn = 44 = 256
REFERÊNCIA: Compêndio Acadêmico de Matemática – Lumbreras Editores – pg. 170.
QUESTÃO 11
Sendo x < y < z números naturais que satisfazem a equação 3x + 3y + 3z = 179415 , o valor de
x + y + z é:
a) 15
b) 17
c) 19
d) 20
e) 22
RESPOSTA: e
RESOLUÇÃO:
3x + 3y + 3z = 179415 Û 3x (1 + 3y- x + 3z - x ) = 34 × 2215
Û 3x = 34 Ù 1 + 3y- x + 3z - x = 2215 Û x = 4 Ù 3y- x (1 + 3z - y ) = 2214 = 33 × 82
Û x = 4 Ù 3y-4 = 33 Ù 1 + 3z - y = 82 Û x = 4 Ù y = 7 Ù 3z -7 = 81 = 34
Û x = 4 Ù y = 7 Ù z = 11 Þ x + y + z = 22
REFERÊNCIA: KöMaL – maio 2009
QUESTÃO 12
Quantos são os valores reais z tais que: ( 3z + 1) × ( 4z + 1) × ( 6z + 1) × (12z + 1) = 2 ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESPOSTA: c
RESOLUÇÃO:
8(3z+1)6(4z+1)4(6z+1)2(12z+1)=768 Û (24z+8)(24z+6)(24z+4)(24z+2)=768
u=24z+5 Þ (u+3).(u+1).(u-1).(u-3)=768 Û(u2-1).(u2-9)=768 Û u4-10u2-759=0
madematica.blogspot.com
Página 8 de 25
9. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
± 33 - 5
u2=33 ou u 2 = -23 Þ z =
24
QUESTÃO 13
(IME 2007) Sejam x1 e x 2 as raízes da equação x 2 + (m - 15)x + m = 0. Sabendo que x1 e x 2 são
números inteiros, determine a quantidade de elementos do conjunto de valores possíveis para m.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6
RESPOSTA: e
RESOLUÇÃO:
Devemos determinar os valores de m para os quais existem dois números inteiros x1 e x 2 tais que
ì x1 + x 2 = -(m - 15) ì x1 + x 2 = - x1 x 2 + 15 ì(x + 1)(x 2 + 1) = 16
í Ûí Û í 1
î x1 x 2 = m î x1 x 2 = m î x1 x 2 = m
Como os divisores de 16 são + 1, + 2, + 4, + 8, + 16, supondo sem perda de generalidade que
x1 £ x 2 , a tabela a seguir reúne todos os possíveis valores para x1 , x 2 e m .
x1 + 1 x2 +1 x1 x2 m
1 16 0 15 0
2 8 1 7 7
4 4 3 3 9
– 16 –1 – 17 –2 34
–8 –2 –9 –3 27
–4 –4 –5 –5 25
ou seja, o conjunto de todos os valores possíveis de m é {0, 7, 9, 25, 27, 34}.
QUESTÃO 14
O menor valor possível de 2x 2 + 2xy + 4y + 5y2 - x , para x e y números reais é:
a) 0
1
b) -
4
c) -1
5
d) -
4
3
e) -
2
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 9 de 25
10. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
2x 2 + 2xy + 4y + 5y 2 - x = ( x 2 + 2xy + y 2 ) + ç x 2 - x + ÷ + ( 4y 2 + 4y + 1) - ç + 1 ÷ =
æ 1ö æ1 ö
è 4ø è4 ø
2
æ 1ö 2 5
= ( x + y ) + ç x + ÷ + ( 2y + 1) -
2
è 2ø 4
1 1 5
Logo, para x = e y = - atingimos o valor mínimo - .
2 2 4
REFERÊNCIA: Stanford Mathematical Tournament 2009.
QUESTÃO 15
Dado a 4 + a 3 + a 2 + a + 1 = 0 , o valor de a 2000 + a 2010 + 1 é igual a
a) 0
b) 1
c) -1
d) 3
e) 5
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
Note que a = 1 não é raiz de a 4 + a 3 + a 2 + a + 1 = 0 , ou seja, a - 1 ¹ 0 .
a 4 + a 3 + a 2 + a + 1 = 0 Û ( a - 1) ( a 4 + a 3 + a 2 + a + 1) = 0 Û a 5 - 1 = 0 Û a 5 = 1
a 2000 + a 2010 + 1 = ( a 5 ) + ( a5 )
400 402
+1 = 3
REFERÊNCIA: Jiagu, X. – Lecture Notes on Mathematical Olympiad Courses - pg. 12.
QUESTÃO 16
Simplificando a expressão
x 4 + 4y4 ( x + y ) ( x 2011 + y2011 )
-
x 2 - 2xy + 2y2 x 2010 - x 2009 y + x 2008 y 2 - + x 2 y 20 - xy 2009 + y 2010
2008
obtemos:
a) x 2 + y2
b) 2x 2 + y2
c) x 2 + 2y2
d) x 2
e) y 2
RESPOSTA: e
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 10 de 25
11. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
x 4 + 4y 4 ( x + y ) ( x 2011 + y2011 )
- =
x 2 - 2xy + 2y 2 x 2010 - x 2009 y + x 2008 y 2 - + x 2 y 20 - xy2009 + y2010
2008
( x 2 + 2y2 + 2xy )( x 2 + 2y2 - 2xy ) - ( x + y )( x + y ) ( x 2010 - x 2009 y + - xy 2009 + y2010 )
= =
x 2 - 2xy + 2y 2 x 2010 - x 2009 y + x 2008 y 2 - + x 2 y 20 - xy2009 + y2010
2008
= ( x 2 + 2y 2 + 2xy ) - ( x + y ) = x 2 + 2y 2 + 2xy - x 2 - 2xy - y 2 = y 2
2
QUESTÃO 17
Analise as afirmações abaixo:
40213 - 20113 - 20103
(I) =3
4021× 2011× 2010
(II) 1 + x + x 2 + x3 + + x1023 = (1 + x ) (1 + x 2 )(1 + x 4 ) × × (1 + x 256 )(1 + x 512 )
5
(III) (1.000.000) × (1.000.001) × (1.000.002) × (1.000.003) + 1 = 1.000.030.000.001
(IV) 1 + 3 4 + 3 16 Î ù 2, 1 + 2 é
û ë
A quantidade de afirmações FALSAS é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESPOSTA: b
RESOLUÇÃO:
(I) VERDADEIRA
Considerando a identidade de Gauss: a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b2 + c2 - ab - ac - bc ) .
Como 4021 + ( -2011) + ( -2010) = 0 , então
( 4021)3 + ( -2011)3 + ( -2010)3 - 3 × 4021× ( -2011) × ( -2010) = 0
Û 40213 - 20113 - 20103 = 3 × 4021× 2011× 2010
40213 - 20113 - 20103
Û =3
4021× 2011× 2010
(II) VERDADEIRA
Se x = 1 , a igualdade se reduz a 1024 = 210 , que é verdadeira.
Se x ¹ 1, fazemos então
madematica.blogspot.com
Página 11 de 25
12. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
y = (1 + x ) (1 + x 2 )(1 + x 4 ) × × (1 + x 256 )(1 + x 512 )
25
Û (1 - x ) × y = (1 - x 2 )(1 + x 2 )(1 + x 4 ) × × (1 + x 256 )(1 + x 512 )
2
Û (1 - x ) × y = (1 - x 4 )(1 + x 4 ) × × (1 + x 256 )(1 + x 512 )
25
Û (1 - x ) × y = 1 - x1024 = (1 - x ) (1 + x + x 2 + x 3 + + x1023 )
Û y = 1 + x + x 2 + x3 + + x1023
(III) FALSA
Seja x = 1.000.000 = 106 , então
R = (1.000.000 ) × (1.000.001) × (1.000.002 ) × (1.000.003) + 1 =
= x ( x + 1)( x + 2 ) ( x + 3) + 1 = ( x 2 + 3x )( x 2 + 3x + 2 ) + 1
Fazendo y = x 2 + 3x , temos:
R = y ( y + 2 ) + 1 = y2 + 2y + 1 = ( y + 1)2 = y +1
Como y = x 2 + 3x = (106 ) + 3 ×106 = 1012 + 3 ×106 = 1.000.003.000.000 , então
2
R = y + 1 = 1.000.003.000.001 ¹ 1.000.030.000.001
(IV) VERDADEIRA
3 3
1 + 3 4 + 3 16 = 1 + 22 + 24 = 1 + 22 + 2 3 2 =
3 (1 + 3 2 )2 = 1 + 3 2
2 = 1+1 < 1+ 3 2 < 1+ 2
REFERÊNCIA: Gomes, C. e Gomes J. – Tópicos de Matemática IME – ITA – Olimpíadas – Volume
1 (adaptado) e CN 2000.
QUESTÃO 18
x y z x y z
Se + + = 0 , então o valor de + + é:
y-z z-x x-y (y - z) 2
(z - x) 2
(x - y) 2
a) 0
b) x + y
c) 1
d) x + y + z
e) 3
RESPOSTA: a
RESOLUÇÃO:
1ª RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 12 de 25
13. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
æ 1 1 1 ö æ x y z ö
ç + + ÷×ç + + ÷=0
è y-z z-x x-yø è y-z z-x x-yø
x y z x y z
Û + + + + + +
( y - z ) ( y - z )( z - x ) ( y - z )( x - y ) ( z - x )( y - z ) ( z - x ) ( z - x )( x - y )
2 2
x y z
+ + + =0
( x - y )( y - z ) ( x - y )( z - x ) ( x - y )2
x y z x+y x+z y+z
Û + + + + + =0
( y - z) 2
(z - x) 2
( x - y) 2
( y - z )( z - x ) ( y - z )( x - y ) ( z - x )( x - y )
Û
x
+
y
+
z
+
( x + y )( x - y ) + ( x + z )( z - x ) + ( y + z ) ( y - z ) = 0
( y - z) 2
(z - x) 2
( x - y) 2
( x - y )( y - z )( z - x )
x y z x 2 - y2 + z 2 - x 2 + y2 -z 2
Û + + + =0
( y - z )2 ( z - x )2 ( x - y )2 ( x - y )( y - z )( z - x )
x y z
Û + + =0
( y - z) 2
(z - x) 2
( x - y )2
2ª RESOLUÇÃO:
x y z x y z
=- - Û =- -
y-z z-x x-y ( y - z) 2 ( z - x ) ( y - z ) ( x - y )( y - z )
y x z y x z
=- - Û =- -
z-x y-z x -y (z - x) 2
( y - z) (z - x ) ( x - y) (z - x )
z x y z x y
=- - Û =- -
x-y y-z z-x ( x - y) 2
( y - z )( x - y ) ( z - x ) ( x - y )
Somando as três igualdades, temos:
x y z æ x+y x+z y+z ö
+ + = -ç + + ÷=
(y - z) 2
(z - x) 2
(x - y) 2
è ( z - x ) ( y - z ) ( x - y )( y - z ) ( x - y ) ( z - x ) ø
æ x 2 - y2 + z 2 - x 2 + y2 - z 2 ö
= -ç
ç
÷=0
÷
è ( x - y )( y - z ) ( z - x ) ø
QUESTÃO 19
1 1 1
Sendo z tal que z7 = 1 e z ¹ 1 , então o valor numérico de z10 + 10 + z30 + 30 + z50 + 50 é:
z z z
a) 0
b) -1
c) 1
3
d)
2
5
e)
2
madematica.blogspot.com
Página 13 de 25
14. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
RESPOSTA: b
RESOLUÇÃO:
z7 = 1 e z ¹ 1 Þ z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 .
1 1 1
Dividindo a última equação por z3 , vem: z3 + z 2 + z + 1 + + 2 + 3 = 0
z z z
( ) ( )
4 7
Usando que z7 = 1 , z 28 = z7 = 1 e z 49 = z7 = 1 , temos:
1 1 1
z10 + 10
+ z30 + 30
+ z50 + =
z z z50
1 1 1
= z3 + 3
+ z2 + 2
+z+ = -1
z z z
Referência: ARML-NYSL Contests 1989-1994 - L. Zimmerman e G. Kessler - pág. 45.
QUESTÃO 20
Se x 2 + x + 1 = 0 , calcule o valor numérico de:
2 2 2 2
æ 1ö æ 2 1 ö æ 3 1 ö æ 1 ö
çx + ÷ +çx + 2 ÷ +çx + 3 ÷ + + ç x 2007 + 2007 ÷
è xø è x ø è x ø è x ø
a) 0
b) 1
c) 2007
d) 4014
e) 1004 ´ 2007
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 14 de 25
15. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
ìx 2 + x + 1 = 0 Û x 2 = -x - 1
ï
ï 3
í x = x ( - x - 1) = - x 2 - x = x + 1 - x = 1
ï 4
ïx = x
î
2 2 2
æ 1ö æ 4 1 ö æ 200 1 ö
çx + ÷ = çx + 4 ÷ =
2005
= ç x2 + 2 ÷
è xø è x ø è x 2005 ø
2 2 2
æ 2 1 ö æ 5 1 ö æ 1 ö
çx + 2 ÷ = çx + 5 ÷ = = ç x 2006 + 2006 ÷
è x ø è x ø è x ø
2 2 2
æ 3 1 ö æ 6 1 ö æ 2007 1 ö
çx + 3 ÷ = çx + 6 ÷ = = çx + 2007 ÷
è x ø è x ø è x ø
1 1 1
x 2 + x + 1 = 0 Þ x + = 1 Þ x 2 + 2 + 2 = 1 Û x 2 + 2 = -1
x x x
1 æ 1 öæ 1 ö
Þ x 3 + 3 = ç x + ÷ ç x 2 - 1 + 2 ÷ = 1 × ( -1 - 1) = -2
x è x øè x ø
2 2 2
æ 1ö æ 2 1 ö æ 3 1 ö 2 2
ç x + ÷ + ç x + 2 ÷ + ç x + 3 ÷ = 1 + ( -1) + ( -2 ) = 6
2
è xø è x ø è x ø
2 2 2 2
æ 1ö æ 2 1 ö æ 3 1 ö æ 1 ö 2007
çx + ÷ +çx + 2 ÷ +çx + 3 ÷ + + ç x 2007 + 2007 ÷ = × 6 = 4014
è xø è x ø è x ø è x ø 3
QUESTÃO 21
Sejam a , b e c os lados de um triângulo escaleno e l um número real. Se as raízes da equação
x 2 + 2 ( a + b + c ) x + 3l ( ab + bc + ca ) = 0 são reais, então
4
a) l <
3
5
b) l >
3
æ 4 5ö
c) l Î ç , ÷
è 3 3ø
5
d) l =
3
e) não existe l .
RESPOSTA: a
RESOLUÇÃO:
2 2
D ³ 0 Û 4 ( a + b + c ) - 4 × 3l ( ab + bc + ac ) ³ 0 Û ( a + b + c ) ³ 3l ( ab + bc + ac )
(a + b + c)2 a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ac ) a 2 + b2 + c2 2
Como a, b,c > 0 , então l £ = = + .
3 ( ab + bc + ac ) 3 ( ab + bc + ac ) 3 ( ab + bc + ac ) 3
Pela desigualdade triangular, temos:
madematica.blogspot.com
Página 15 de 25
16. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
a - b < c Û a 2 + b 2 - 2ab < c 2 ü
ï
ï a 2 + b2 + c2
b - c < a Û b 2 + c 2 - 2bc < a 2 ý Þ a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ac ) Û <2
ï ab + bc + ac
c - a < b Û c 2 + a 2 - 2ac < b 2 ï
þ
a 2 + b2 + c2 2 1 2 4 4
Þl£ + < ×2+ = Û l <
3 ( ab + bc + ac ) 3 3 3 3 3
REFERÊNCIA: IIT – JEE 2006
QUESTÃO 22
ˆ ˆ
Na figura abaixo, sabe-se que BM = MC , BAC = CAD e AD = 4 × AL . Sabendo que
ˆ
AD + 2 × AB = 16 cm e que o ângulo ACD é reto, podemos afirmar que o comprimento de LM e:
a) 10 cm
b) 8 cm
c) 6 cm
d) 4 cm
e) 2 cm
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 16 de 25
17. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
Seja AL = k .
AD = 4 × AL Þ AD = 4k
Seja N o ponto médio de AD , então CN é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo
AD 4k
ACD , donde CN = = = 2k .
2 2
ˆ ˆ ˆ
AN = CN = 2k Þ NCA = NAC = CAB Þ AB CN
Como AL = AN = k e BM = MC , então ML AB CN .
Assim, o #ABCN é um trapézio e ML é base média do trapézio, logo
AB + CN AB + 2k 8
ML = = = = 4 cm
2 2 2
onde foi usado que AD + 2 × AB = 16 Û 4k + 2 × AB = 16 Û AB + 2k = 8 .
REFERÊNCIA: Prof. Eduardo Brito.
QUESTÃO 23
ˆ
Em um triângulo escaleno KLM , a bissetriz do ângulo KLM corta o lado KM no ponto N . Pelo
ponto N traça-se uma reta que corta o lado LM em um ponto A tal que MN = AM . Sabe-se que
LN = a e KL + KN = b . A medida do segmento AL é igual a:
a2
a)
b
b2
b)
a
a 2 + b2
c)
a+b
a 2 + b2
d)
a
a 2 + b2
e)
b
RESPOSTA: a
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 17 de 25
18. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
ˆ ˆ ˆ
Sejam KLN = NLM = a e LNA = b . Sejam ainda o ponto C sobre o prolongamento de LK tal que
LC = b , ou seja, KC = KN .
Þ NAM = a + b = ANM Þ AMN = 180 - 2 ( a + b ) Þ MKL = 2b Þ KNC = KCN = b
ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ
LN LC LN 2 a 2
DLCN ~ DLNA ( A.A.A.) Þ = Û LA = =
LA LN LC b
REFERÊNCIA: Medviédev, G. N. – Problemas de Matemática - Facultad de Física de la
Universidad Lomonósov de Moscú – pg. 15.
QUESTÃO 24
ˆ ˆ
Considere um triângulo ABC com BAC = 45 e ACB = 30 . Se M é o ponto médio do lado BC e
D um ponto em AC tal que BD ^ AC , analise as afirmativas abaixo:
(I) O triângulo DMA é isósceles.
ˆ
(II) AMB = 45 .
(III) BC × AC = 2 × AM × AB .
Podemos afirmar que:
a) Todas são falsas.
b) Apenas (I) é falsa.
c) Apenas (II) é falsa.
d) Apenas (III) é falsa.
e) Todas são verdadeiras.
RESPOSTA: e
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 18 de 25
19. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
Seja D o ponto de AC tal que BD ^ AC .
ˆ ˆ
DBA = 90 - DAB = 90 - 45 = 45 Þ DBDA é retângulo isósceles e AD = BD .
B
Como o DCDB é retângulo, DM é mediana relativa à hipotenusa, então DM = MC = MB e
ˆ ˆ
CDM = DCM = 30 .
ˆ ˆ ˆ
BMD = MCD + MDC = 30 + 30 = 60
ˆ
Como DM = MB e BMD = 60 , então o DBMD é equilátero e BD = DM = MB .
ˆ
CDM 30
ˆ ˆ
Como DM = BD = DA , então o DADM é isósceles e DMA = DAM = = = 15 .
2 2
ˆ ˆ ˆ
Logo, AMB = BMD - DMA = 60 - 15 = 45 .
ˆ ˆ ˆ
BAM = BAC - DAM = 45 - 15 = 30
ˆ ˆ ˆ ˆ
Como BAM = ACB = 30 e AMB = BAC = 45 , então DBAM ~ DABC . Daí, vem:
AB BM AM BC
= = Û BM × AC = AM × AB Û × AC = AM × AB Û BC × AC = 2 × AM × AB .
BC AB AC 2
REFERÊNCIA: Olimpíada Espanhola de Matemática – 2005.
QUESTÃO 25
Um turista faz uma viagem pela cidade em etapas. Em cada etapa o turista percorre 3 segmentos de
comprimento 100 metros separados por curvas à direita de 60°. Entre o último segmento de uma
etapa e o primeiro segmento da próxima etapa, o turista faz uma curva à esquerda de 60°. A que
distância o turista estará da sua posição inicial, após 1997 etapas?
a) 0
b) 50 metros
c) 85 metros
d) 100 metros
e) 200 metros
RESPOSTA: e
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 19 de 25
20. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
Cada etapa forma um trapézio isósceles.
A distância entre o ponto inicial e final de cada etapa é 200 metros.
Após 6 etapas, o turista retorna ao ponto inicial, formando um hexágono.
Como 1997 = 6 ´ 332 + 5 , o turista percorre 332 hexágonos completos e mais 5 etapas.
Logo, se o turista inicia a viagem no ponto A, terminará no ponto B, a uma distância de 200 metros
de A.
QUESTÃO 26
No triângulo ABC , AB = 20 , AC = 21 e BC = 29 . Os pontos D e E sobre o lado BC são tais que
ˆ
BD = 8 e EC = 9 . A medida do ângulo DAE , em graus, é igual a:
a) 30
b) 40
c) 45
d) 60
e) 75
RESPOSTA: c
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 20 de 25
21. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
BC2 = AB2 + AC2 Þ DABC é retângulo em A Þ x + q + y = 90
DE = BC - BD - EC = 29 - 8 - 9 = 12
ˆ
BE = BA = 20 Þ DABE é isósceles de vértice B Þ BEA = BAE = q + x ˆ
ˆ
CD = CA = 21 Þ DACD é isósceles de vértice C Þ CDA = CAD = q + y ˆ
DADE : q + ( q + y ) + ( q + x ) = 180 Þ 2q + ( q + x + y ) = 180 Þ 2q + 90 = 180 Û q = 45
0
QUESTÃO 27
ˆ
Na figura abaixo, sabe-se que AB = AC . O valor do ângulo BDE é:
a) 12º
b) 14º
c) 21º
d) 24º
e) 30º
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 21 de 25
22. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
Seja X o ponto de interseção de BD e CE .Temos XCD = XDC = 54o , assim XC = XD .
ˆ ˆ
Trace perpendiculares XY e XZ a BC e BE , respectivamente.
Sejam P e Q os pontos médios de XC e XD , respectivamente. Seja R a interseção de XE e QZ .
XC
XY = XC × sen 30º = = XP = PC
2
ˆ
BD é bissetriz de ABD Þ XY = XZ
Logo, XQ = XP = XY = XZ , ou seja, XQ = XZ e, portanto o triângulo XQZ é isósceles.
Como BXZ = 48o é ângulo externo do DXQZ , temos XQZ = XZQ = 24o .
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
Mas, BEC = 180º -84º -30º = 66º e EXZ = 90º -BEC = 90º -66º = 24º , donde o triângulo RXZ é
ˆ
isósceles e, como EZX = 90º , R é o centro do círculo EXZ .
Assim, R é o ponto médio de EX e, como Q é ponto médio de XD , então DE é paralela a QZ e
daí, BDE = XQZ = 24o .
ˆ ˆ
QUESTÃO 28
ˆ
Em um triângulo ABC , tem-se AB = BC e B = 20 . Sobre AB toma-se o ponto M tal que
ˆ ˆ ˆ
MCA = 60 e sobre BC , o ponto N tal que NAC = 50 . O ângulo NMC mede:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
RESPOSTA: c
madematica.blogspot.com
Página 22 de 25
23. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
RESOLUÇÃO:
ˆ ˆ ˆ ˆ
AB = AC Þ BAC = BCA = 80 Þ BAN = 30 Ù BCM = 20
0
ˆ
Seja CP tal que ACP = 20 .
ˆ ˆ
Þ APC = 180 - 80 - 20 = 80 = PAC Þ AC = CP
0
ˆ ˆ
ANC = 180 - 80 - 50 = 50 = NAC Þ AC = CN
NA
CN = CP Ù PCN = 60 Þ DPCN é equilátero Þ PN = PC = CN
ˆ 0 P
PC
ˆ
Þ CPN = 60
ˆ
DAMC Þ PMC = 180 - 80 - 60 = 40
0
ˆ ˆ
Þ PMC = 40 = PCM Þ DMPC é isósceles Þ PM = PC = PN
0 PC
ˆ
MPC = 180 - 40 - 40 = 100
0
ˆ = MPC - CPN = 100 - 60 = 40
MPN ˆ ˆ 0
ˆ ˆ 180 - 40
0
Como PM = PN , então NMP = MNP = = 70 .
2
ˆ ˆ ˆ
Þ NMC = NMP - PMC = 70 - 40 = 30
0
QUESTÃO 29
ˆ ˆ ˆ
Em um triângulo ABC , B = 100 e C = 65 . Sobre AB se toma o ponto M tal que MCB = 55 e
ˆ ˆ
sobre AC , o ponto N tal que NBC = 80 . A medida do ângulo NMC é
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
madematica.blogspot.com
Página 23 de 25
24. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
Consideremos a circunferência circunscrita ao DMCB .
Seja M1 a interseção da circunferência com o
prolongamento de BN .
CM = CM1 , pois ambos são cordas que determinam
arcos de 160 .
ˆ ˆ ˆ
M1CM = M1BM = 20 Þ M1CN = 10
0
ˆ
Þ NC é bissetriz de M CM
1
CM1 = CM ü
ï ( L.A.L.)
ˆ ˆ
M1CN = NCM = 10 ý Þ DM1CN º DMCN
0
ï
CN comum þ
ˆ ˆ ˆ
Þ NMC = NM C = CMB = 180 - 100 - 55 = 25
0
1
REFERÊNCIA: Shariguin, I. – Problemas de Geometría – Planimetría – pg. 54.
QUESTÃO 30
ˆ ˆ ˆ
O ponto D está no interior do triângulo ABC . O ângulo BAC = 50 , DAB = 10 , DCA = 30 e
ˆ
DBA = 20 . O valor do ângulo DBC é:
0 ˆ
a) 20
b) 30
c) 45
d) 60
e) 75
RESPOSTA: d
RESOLUÇÃO:
Vamos refletir A em relação à reta BD, obtendo A'.
BDÇAA' = {Z}
BA'ÇAC = {X}
BXÇCD = {Y}
madematica.blogspot.com
Página 24 de 25
25. Elaborado pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
ˆ ˆ ˆ ˆ
ABX = 2 × ABD = 40 Þ BAA' = BA'A = 70
ˆ ˆ
BAX = 50 Þ BXA = 90 .
ˆ ˆ ˆ
DAA' = BAA'- DAB = 70 -10 = 60
0
ˆ ˆ ˆ
DYX = YXC + DCX = 90 + 30 = 120
0
ˆ + DYA' = 180 Þ #DAA'Y é inscritível
DAA' ˆ
ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ )
A 'YA = A 'DA = 2 × ZDA = 2 × DBA + DAB = 60
ˆ ˆ ˆ
XYC = 90 - DCA = 60 = XYA , então C é a reflexão de A em relação a BX.
0
ˆ ˆ
Þ BC = BA e ACB = BAC = 50
ˆ ˆ ˆ
Þ ABC = 80 Þ DBC = 80 - DBA = 60
0
REFERÊNCIA: USAMO 1996
madematica.blogspot.com
Página 25 de 25