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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
ESTUDO DAS DERIVADAS 
Vamos considerar y = f(x) uma função real de variável real x, definida e limitada, 
1 
num intervalo ]a, b [. 
Agora seja 0 x um ponto desse intervalo e x ( ) 0 x ¹ x um segundo ponto do mesmo in-tervalo. 
Vamos formar a diferença ( ) ( ) 0 Dy = f x - f x que chamaremos acréscimo ou 
incremento da função, e compará-la com a diferença 0 Dx = x - x que chamaremos a-créscimo 
ou incremento da variável independente x, a partir de 0 x . 
A razão entre essas diferenças será chamada razão incremental e representada 
por 
- 
0 ( ) ( ) 
x x 
f x f x 
0 
D 
y 
x 
- 
= 
D 
. 
x 
y 
a b 
y = f (x) 
a x0 x b x 
y 
y = f (x) 
f (x) 
f (x0 )
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
Se existe o limite desta razão incremental para Dx tendendo a zero, temos que: 
lim será chamada derivada ou coeficiente diferencial de f(x) no ponto 0 x e será 
f x f x 
D 
x x x - 
2 
y 
x D 
x 
D 
D ®0 
representada por 
= D 
y 
lim . 
x 
dy 
dx 
x D 
D ® 0 
Observe que: 
Se Dx ®0 e 0 Dx = x - x , então 0 0 x - x ® , o que nos leva a concluir que 0 x ® x 
Assim, podemos escrever que o limite da razão incremental também pode ser represen-tada 
por: 
0 
0 
0 
( ) ( ) 
y 
lim lim 
0 x x 
x 
- 
= 
D 
D ® ® 
e finalmente que a derivada será: 
- 
0 ( ) ( ) 
f x f x 
0 
lim 
0 x x 
dy 
dx 
x x - 
= 
® 
ou 
- 
f x f x 
0 
0 
0 
( ) ( ) 
( ) lim 
0 x x 
f x 
x x - 
¢ = 
® 
Se existe ( ) 0 f ¢ x , então dizemos que f é derivável no ponto 0 x . 
O símbolo 
d y 
d x 
se deve a Leibniz (Gottifried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716); a 
última notação ( ) 0 f ¢ x foi introduzida por Lagrange (Joseph Louis Lagrange, 1736 – 
1813). 
Se não houver ambigüidade quanto à variável independente, escrevemos simplesmente 
y¢ para indicar a derivada de y. 
Outro símbolo para exprimir a derivada de uma função, é D y = D f (x) = f ¢ (x) 
que é a notação de Cauchy (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857). 
Quando houver dúvida quanto à variável em relação à qual se deriva, atribuímos 
ao símbolo D um índice indicativo dessa variável. 
D f D f (x) x = , D u Du (x) x = ou D v Dv (t) t = 
Observação importante 
Lembre-se sempre desta distinção: 
· A derivada de uma função f(x) num ponto x0 do seu domínio é um número real 
( ) 0 f ¢ x 
· A função derivada de uma função f(x) é uma função dada por f ¢(x) = y¢
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
- 
- 
0 ( ) ( ) 4 4 
f x f x 
- 
4 x 4 
x 
0 x x - 
f x = x + x + 
0 0 f ( x ) - f ( x ) = x + 3 x + 1 - [( x ) + 3 x + 1) = x + 3 x + 1 - ( x ) - 3 x - 
1 0 0 
0 f (x) - f (x ) = x + 3x - (x ) - 3x = x - (x ) + 3x - 3x 
= + + = + + = + 
3 
EXEMPLOS 
1. Ache a derivada de y = 4x +1 
Resolução 
Vamos calcular ( ) 0 f x , para isso, basta substituir assim ( ) 4 1 0 0 f x = x + 
agora, calculamos a diferença ( ) ( ) 4 1 (4 1) 0 0 f x - f x = x + - x + 
0 0 0 f (x) - f (x ) = 4x +1- 4x -1 = 4x - 4x 
calculamos a razão incremental 
x x 
0 
0 
0 
x x 
x x 
- 
= 
- 
e finalmente o limite dessa razão 
0 
lim 
0 x x 
® 
lim 4 4 
- 
4( ) 
lim 
- 
4 4 
lim 
0 
x x 
x x 
0 0 
0 0 
0 0 = = 
- 
= 
- 
x®x x x 
x®x x x x®x 
dy 
logo, a derivada de y = 4x +1 é = 4 
dx 
ou f ¢(x) = 4 
2. Calcule a derivada de f (x) = x2 + 3x +1 
Resolução 
( ) ( ) 2 
3 1 0 
2 
0 
2 2 
0 
2 
0 
2 
0 
2 
0 
2 
0 
2 
- + - 
- 
0 ( ) ( ) ( ) 3 3 
x x x x 
0 
0 
2 
0 
2 
f x f x 
0 
x x 
x x 
- 
= 
- 
+ - + - 
x x x x x x 
0 0 0 
0 
- + - 
x x x x 
0 
0 
2 
0 
2 
0 
( )( ) 3( ) 
lim 
( ) 3 3 
( ) lim 
= 
0 x x 
0 x x 
f x 
x x - 
x x - 
¢ = 
® ® 
lim ( 3) 3 2 3 
- + + 
( x x )( x x 
3) 
0 0 
( ) lim 0 0 0 0 
0 
0 
- 
0 0 
¢ = 
® ® 
x x x x x 
x x 
f x 
x x x x 
ou simplesmente f ¢(x) = 2x + 3 , pois o que queremos é a função derivada 
EXERCÍCIOS 
Ache a derivada de: 
a) f (x) = 1 
5x - 7 e) ( ) 
2 
x 
f x = 
b) f (x) = x2 - x +1 f) 
y x 
= 2 + 1 
x 
c) f (x) = 6 - 2x3 g) f (x) = 5x4 - 2 
d) y = x3 -12x +13 h) f (x) = 2x
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REGRAS DE DERIVAÇÃO 
O processo que usamos para calcular derivadas é muito trabalhoso, contudo po-demos 
nos valer de algumas regras e fórmulas que podem facilitar o nosso trabalho. 
Regra 1: A derivada de uma função constante é zero. 
Se f (x) = k , então = 0 
4 
d y 
d x 
ou f ¢ (x) = 0 
Exemplos: 
a) f (x) = 12⇒ f ¢(x) = 0 
3 
b) ( ) 0 
f (x) = ⇒ f ¢ x = 
5 
c) f (x) = 3 17 ⇒ f ¢(x) = 0 
Regra 2: A derivada da n-ésima potência de uma variável x é igual ao produto de n por 
x elevado a (n - 1)-ésima potência. 
Se f (x) = xn , então: 
= n × xn - 1 
d y 
d x 
ou f ¢(x) = n × xn - 1 . 
Exemplos: 
a) f (x) = x2 ⇒ f ¢(x) = 2x2 -1 = 2x1 ⇒ f ¢(x) = 2x 
1 
3 
b) 4 
- f x = x 4 
⇒ f ¢ x = × x 
1 
4 
( ) ( ) 
4 5 4 
c) ( ) ( ) 4 
5 
x 
f x = x - ⇒ f ¢ x = - x - = - 
Regra 3: A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da 
constante pela derivada da função. 
Se y = k u , onde u = f (x) é uma função diferenciável de x, então: 
d y = × d u 
ou y¢ = k ×u¢ 
d x 
k 
d x 
Exemplos: 
a) f (x) = 10x ⇒ f ¢(x) = 10 
b) f (x) = 3x2 ⇒ f ¢(x) = 2 × 3x2 -1 = 6x1 ⇒ f ¢(x) = 6x 
4 
1 
c) 3 
f (x) = -2x 3 
⇒ f ¢(x) = - x 
8 
3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
Regra 4: A derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma 
das suas derivadas. 
Se y = u + v , onde u = f (x) e v = g (x) são funções diferenciáveis de x, então: 
f x = b) f (x) = 7x2 c) f (x) = -4x 
3 
f (x) = - x- f) f (x) = 6x-3 
f (x) = x e) 5 
y = x d) y = 5 10 x 
= - 1 - y x e) 3 2 
f x = , no ponto x = -2? 
5 
d y = + d v 
. 
d x 
d u 
d x 
d x 
Exemplos: 
a) y = x2 + 3⇒ y¢ = (x2 )¢ + (3)¢ = 2x + 0 ⇒ y¢ = 2x 
b) f (x) = 3x2 + 4x + 2⇒ f ¢(x) = (3x2 )¢ + (4x)¢ + (2)¢ = 6x + 4 + 0 
f (x) = 3x2 + 4x + 2⇒ f ¢(x) = 6x + 4 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Dar a derivada das seguintes funções: 
1 
a) f (x) = 8 e) f (x) = x 
2 
b) f (x) = -5 1 f) f (x) = 6 x5 
c) f (x) = x6 g) f (x) = 4 x 
d) f (x) = x- 5 
Questão 02 
Determine f ¢(x) em cada caso: 
1 
a) ( ) 
4 
x 
1 
d) 7 
7 
5 
Questão 03 
Ache a derivada das seguintes funções: 
3 
a) 10 
5 
b) 4 
2 
3 
y = x 
2 
c) y = 2 x 
Questão 04 
2 
Qual é a derivada da função ( ) 
3 
x 
Questão 05 
Se f (x) = 2x3 , calcule f ¢(2) . 
Questão 06 
Dada a função f (x) = 3 x2 , calcule a derivada de f(x) no ponto x = 8.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
Questão 07 
Sejam as funções f (x) = 10x2 e g(x) = 4x , calcule f ¢(x) + g¢(x) 
Questão 08 
Dadas as funções a seguir, calcule f ¢(x) 
a) f (x) = 7x3 - 2x2 + x -1 c) f (x) = 10x4 - 5x3 - 2x2 
b) f (x) = 3x2 - 7x + 4 d) f (x) = 6x3 - 4x2 - 7x 
1 
3 
2 
f (x) = - x4 + x3 - x2 + c) 7 8 5 
( ) d) 
= + f) y = 3x500 +15x100 
1 
1 - = x 
d y ( ) = × + × ⇒ 2 
d y 
= + + - 
6 
Questão 09 
Ache a derivada de cada função: 
a) 
1 
4 
1 
2 
2 
3 
1 
2 
f (x) = x + x + x 
5 
8 
7 
1 
1 
1 
1 
b) f x = x5 + x4 + x3 + x2 + x 
2 
3 
4 
5 
157 
419 
7 
3 
3 
5 
4 
( ) 
4 5 7 3 
= + + + x x x 
f x 
Questão 10 
Calcule a derivada de: 
1 
a) 3 3 2 
1 
= 2 + + - 
y = x2 - x + d) y 7 x x 
2 2 
1 
= + - 
b) 5 3 5 
1 
= + - y 9 x 3 5 
x 
y x e) 4 
3 
c) y 5x5 6x 
Regra 5: A derivada de um produto de duas funções é igual a derivada da primeira ve-zes 
a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. 
Sendo u e v funções, temos: 
f (x) = u × v ⇒ f ¢(x) = u¢v + uv¢ 
Exemplos: 
a) y = (x3 + 4)(x + 3) ⇒ y¢ = (x3 + 4)¢ × (x + 3) + (x3 + 4)(x + 3)¢ 
y¢ = 3x2 × (x + 3) + (x3 + 4) ×1 ⇒ y¢ = 3x3 + 9x2 + x3 + 4 ⇒ y¢ = 4x3 + 9x2 + 4 
b) f (x) = ( x + 3)(x2 + 6) ⇒ f ( x ) = ( x 2 + 3)( x 2 + 
6) 
u 
d v 
d x 
v 
d u 
d x 
uv 
d x 
1 
2 
d u 
d x 
d v 
e x 
d x 
= 2 
1 2 2 
x x x x 
d y 
d x 
( 6) ( 3) 2 
2 
1 
= + + + × - 
d y 
1 
3 
1 2 
= + + + × - 
⇒ x x x x 
d x 
3 ( 3) 2 
2 
1 
2 
2 
1 
3 
1 2 
= + + + - 
x x x x 
d y 
d x 
3 2 6 
2 
3 
2 
2 
3 
5 2 
⇒ x x x 
d x 
3 6 
2 
1 
2
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u v u v 
f (x) = com v ¹ 0 , então: 2 ( ) 
¢ = - + 
y 
= + , fazemos = +1⇒ ¢ = 1 u x u , v = x2 ⇒ v¢ = 2x 
e v2 = (x2 )2 = x4 
derivando, temos v 2 
y 
¢ = × - + × 
y 
¢ = - + ⇒ 4 
x - x - x 
y 
¢ = ⇒ 4 
7 
c) f (x) = (3x + 7)(x- 2 + 8) 
(3x + 7) = 3 
d 
d x 
d 
⇒ (x - 2 + 8) = -2x -3 
d x 
= 3× (x - 2 + 8) + (3x + 7) × (-2x -3 ) 
d y 
d x 
d y 
⇒ = 3x - 2 + 24 - 6x - 2 -14x -3 
d x 
= -3x - 2 -14x - 3 + 24 
d y 
d x 
Regra 6: A derivada de um quociente é igual ao quociente da derivada do numerador 
vezes a função do denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, 
sobre o quadrado do denominador. 
u 
Sendo 
v 
v 
f x 
¢× - × ¢ 
¢ = . 
Exemplos: 
a) 
2 -1 
= 
x 
x 
y , fazemos u = x ⇒u¢ = 1 , v = x2 -1⇒v¢ = 2x 
e v2 = (x2 -1)2 = x4 - 2x2 +1 
derivando, temos y 
¢ = u ¢× v - u × v 
¢ 
⇒ 
v 2 
¢ = × - - × 
2 
- + 
1 ( 1) 2 
x x x 
4 2 
2 1 
x x 
y 
1 
= - x 
2 
- 
y ⇒ 
2 1 
¢ = - - 
2 2 
1 2 
x x 
2 1 
4 2 
4 2 
- + 
- + 
x x 
x x 
x 
2 
1 
- + 
4 3 
2 1 
x x 
y 
1 
x 
x 
b) 2 
u v u v 
y 
¢× - × ¢ 
1 2 ( 1) 2 
x x x 
¢ = ⇒ 4 
x 
2 (2 2 2 ) 
x x x 
4 
x 
2 2 2 2 
x 
y 
¢ = - - 
2 2 
x 
x x 
y 
¢ = - + ⇒ 3 
( 2) 
x 
x x 
4 
y 
¢ = - + 
2 
x 
x 
Regra 7: Função seno 
Se f (x) = sen x , então f ¢(x) = cos x 
Regra 8: Função cosseno 
Se f (x) = cos x , então f ¢(x) = -sen x 
Regra 9: Função exponencial 
Se f (x) = a x , então f ¢(x) = a x × ln a
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
Regra 10: 
Este é um caso particular em que a base é o número e. 
Se f (x) = ex , então f ¢(x) = ex 
Nota: o número e, definido com freqüência pelo limite  
y = (3x2 + 2x +1) , fazemos u = 3x2 + 2x +1⇒u¢ = 6x + 2 
f (u) = u ⇒ f ¢(u) = u ⇒ y¢ = u¢ × f ¢(u) 
y¢ = (6x + 2) × x + x + ⇒ 2 
8 
 
 = + 
 
®¥ n 
e 
n 
1 
lim 1 , vale, aproxi-madamente 
e = 2, 71 
Regra 11: Função logaritmo 
Se f x x a ( ) = log , então 
1 
x a 
f x 
ln 
( ) 
× 
¢ = 
Regra 12: Função logaritmo neperiano 
Se f (x) = ln x , então 
x 
f x 
1 
¢( ) = 
Regra 13: Derivada da função composta 
É muito comum trabalharmos com uma função composta, isto é, funções do tipo 
f (x) = sen (x2 ) , que é uma composição de g (x) = sen x com h(x) = x2 . Nesse caso, 
para obter a derivada, aplicamos a seguinte regra, conhecida como regra da cadeia: 
f (x) = g [h (x)]⇒ f ¢(x) = g¢[h (x)] × h¢(x) 
Regra 14: Derivada da função inversa 
Se f é uma função que admite inversa e é derivável no ponto x, com f (x) ¹ 0, 
então 
1 
- ¢ = ou 
( ) 
( 1 ) ( ( )) 
f x 
f f x 
¢ 
¢ = 1 
y 
x x 
y 
¢ 
. 
Exemplos: 
a) f (x) = sen (x2 ) ⇒ f (u) = sen u ⇒ f ¢(u) = u¢ × (sen u)¢ 
u = x2 ⇒u¢ = 2x ⇒ f (u) = sen u ⇒ f ¢(u) = cos u ⇒ f ¢(x) = 2x × cos (x2 ) 
b) f (x) = e2x ⇒ f (x) = eu ⇒ f ¢(x) = u¢ × (eu )¢ 
u = 2x ⇒u¢ = 2 
f (u) = eu ⇒ f ¢(u) = eu 
f ¢(x) = 2 × e2x 
3 
c) 2 
1 
2 
3 
2 
3 
2 
1 
2 
3 
(3 2 2 1) 
2 
1 
y¢ = (9x + 3)(3x2 + 2x +1)
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
1 ¢ = , mas sen2 y + cos2 y =1, daí cos2 y =1- sen2 y ⇒cos y = 1- sen2 y 
9 
d) 
2 
1 
2 1 
 
 
 
 
+ 
= 
x 
y 
2 
2 1 
( 2 1)2 
1 
+ 
⇒ ¢ = - 
+ 
= 
x 
x 
u 
x 
u 
f (u) = u 2 ⇒ f ¢(u) = 2u 
y¢ = u¢ × f ¢(u) 
1 
2 
x 
1 
2 
2 2 2 + 
( 1) 
× × 
+ 
¢ = - 
x x 
y 
4 
+ 
¢ = - 
( x 
2 1)3 
x 
y 
e) f (x) = ln (sen x) 
u = sen x⇒u¢ = cos x 
u 
f u u f u 
1 
( ) = ln ⇒ ¢( ) = 
f ¢(u) = u¢ × f ¢(u) 
x 
sen x 
senx 
f x x 
1 cos 
¢( ) = cos × = 
f ¢(x) = ctg x 
f) f x x 2 2x ( ) = 10 - 
u = x2 - 2x⇒u¢ = 2x - 2 
f (u) = 10 u ⇒ f ¢(u) = 10 u × ln 10 
f ¢(u) = u¢ × f ¢(u) 
( ) (2 2) 10 2 2 ln 10 f ¢ x = x - × x - x × 
( ) 10 2 2 (2 2) ln 10 f ¢ x = x - x × x - × 
g) y = arc sen x 
Sua inversa é x = sen y 
¢ = 1 
y 
x x 
y 
¢ 
x y y ¢ = cos 
y 
yx cos 
Como x = sen y , temos cos y = 1- x2 
1 
Logo: 
1 2 
( ) 
x 
arc sen x 
- 
¢ =
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y b) 
= 2 + 5 d) 
10 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Ache a derivada das funções: 
a) f (x) = 4sen x 
2 
b) f x sen x 
3 
( ) = 
c) f (x) = -5cos x 
d) f (x) = 3cos x 
1 
e) f x cos x 
3 
( ) = - 
Questão 02 
Dadas f (x) = sen x e g(x) = cos x , calcule f ¢(0) + g¢(0) . 
Questão 03 
Determine a derivada das funções: 
a) f (x) = 2x - 3cos x b) f (x) = sen x + cos x + x 
c) f (x) = 2 sen x - cos x + x2 d) f (x) = sen x - 2cos x - 3x 
Questão 04 
Se f (x) = 3sen x + 2cos x , calcular f ¢(p) 
Questão 05 
Calcular a derivada de: 
a) y = (2 + 5x)(7 - 3x) 
b) y = x3 × cos x 
c) y = x × (3x -1)(x + 2) 
d) y = 3x × sen x 
e) y = sen x × cos x 
Questão 06 
Calcular a derivada de: 
a) 
= + 
2 1 
- 
3 
x 
x 
2 
- 
2 1 
= 
x 
x 
y 
c) 
x 
x 
y 
4 
4 
1 
2 - 
= 
x 
y 
Questão 07 
Aplicando a derivada do quociente, demonstre que: 
a) se f (x) = tg x , então f ¢(x) = sec2 x 
b) se f (x) = cot g x , então f ¢(x) = -csc2 x 
c) se f (x) = sec x , então f ¢(x) = tg x × sec x 
d) se f (x) = csc x , então f ¢(x) = -ctg x × csc x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
Questão 08 
Calcule a derivada de: 
a) f (x) = (x2 -1)3 b) f (x) = (x3 - 2x)2 c) f (x) = (2x +1)4 
Questão 09 
Calcule a derivada de: 
a) f (x) = x - 2 b) f (x) = 3 4x +1 c) f (x) = x2 -1 
Questão 10 
Determine a derivada de: 
a) f (x) = 3x d) 2 1 f (x) = 10x - 
( ) e) f (x) = ex 
( ) = f) f (x) = (ln x) × x4 
11 
b) 
x 
 
 = 
1 
x f  
 
2 
c) f (x) = 33x + 1 f) f (x) = 10 × ex 
d) f (x) = 5× 2x g) f (x) = ecos x 
Questão 11 
Calcule a derivada de: 
a) f (x) = ln x d) f (x) = (log x)2 
b) f (x) = (ln x)2 e) 
x 
x 
f x 
ln 
( ) 
2 
= 
1 
c) f x ln x 
2 
d) f x x 2 ( ) = 3log 
Questão 12 
Calcule a derivada de: 
a) f (x) = sen 3x b) f (x) = cos 6x c) f (x) = sen (3x +1) 
Questão 13 
Calcule a derivada de: 
a) f (x) = ln (sen x) 
b) f (x) = ln (x2 - 5x + 6) 
c) f (x) = log (x2 - 3x) 
Questão 14 
Calcule f ¢(x) , sendo f (x) = log (3x2 + 2)5 . 
Questão 15 
Calcule a derivada de: 
a) f (x) = sen 3x - cos 2x b) f (x) = sen 2x + cos 4x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
REGRA DE L’HOSPITAL 
Ao estudarmos o cálculo de limites, vimos que ao tentarmos calcular um limite 
0 
, que chamamos de indeterminação. Neste caso, frequente-mente 
= - 
2 4 
12 
do tipo 
( ) 
f x 
( ) 
lim 
g x 
x ® a 
, às vezes ocorre que lim ( ) = 0 
® 
f x 
x a 
e lim ( ) = 0 
® 
g x 
x a 
e assim, o 
( ) 
f x 
( ) 
lim 
g x 
x ®a 
toma a forma 
0 
era necessário executarmos alguns artifícios para calcular o limite. 
Teorema (Regra de L’Hospital) 
Se lim ( ) = 0 
® 
f x 
x a 
e lim ( ) = 0 
® 
g x 
x a 
e se existe 
¢ 
( ) 
f x 
x a ¢ 
( ) 
lim 
g x 
® 
, então existe 
( ) 
f x 
( ) 
lim 
g x 
x ® a 
e en-tão 
temos: 
( ) 
f x 
x a x a ¢ 
( ) 
lim 
( ) 
f x 
( ) 
lim 
g x 
g x 
¢ 
= 
® ® 
Exemplo: 
Resolva 
4 
- 
2 
lim 
2 
x 
2 - 
® x 
x 
Resolução 
Calculando o limite temos 
0 
0 
4 4 
0 
2 2 
4 
- 
2 
lim 
2 2 
2 
= - = 
- 
- 
x 
® x 
x 
(indeterminado) 
Seja f (x) = x2 - 4 e g (x) = x - 2 
Derivando cada uma dessas funções, temos: 
f ¢(x) = 2x e g¢(x) = 1 
Logo, pela regra de L´Hospital, temos: 
lim 2 2 2 4 
2 
1 
lim 
4 
- 
2 
lim 
2 2 
2 
2 
= = = × = 
- 
x 
® ® ® 
x 
x 
x 
x x x 
EXERCÍCIOS 
Calcule os limites: (usando a regra de L´Hospital) 
- 
9 
a) 
3 
lim 
2 
x 
3 - 
® x 
x 
b) 
2 
8 
- 
x 
lim ® 2 x 
3 - 
x 
ex 
c) 0 2 
1 
lim 
x 
x 
- 
® 
1 cos 
d) lim 
0 2 
x 
x 
x 
- 
® 
e) 
+ - 
4 x 
1 3 
3 2 2 
lim 
2 - - 
® x 
x
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
APLICAÇÕES DA DERIVADA NA 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
Interpretação geométrica: A derivada de uma função f(x) num ponto a é o valor da 
inclinação da reta tangente à função f(x) no ponto [a, f(a)]. 
reta tangente 
13 
f ¢(a) = tg q , ou ainda, a derivada no 
ponto a é o coeficiente angular da 
reta r, tangente à função f(x). 
y 
f (a) 
a x 
q 
f (x) 
EXEMPLOS: 
1. Dada a função f (x) = x2 - 2x , determinar a equação da reta tangente ao gráfico da 
curva de f no ponto de abscissa 3. 
Resolução 
para escrever a equação de uma reta, precisamos de um ponto e do coeficiente an-gular 
da reta. 
Assim, se a abscissa é 3, temos f (x) = x2 - 2x ⇒ f (3) = 32 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3, ou 
seja, a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3) 
Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de 
abscissa 3, assim: 
f (x) = x2 - 2x ⇒ f ¢(x) = 2x - 2 ⇒ f ¢(3) = 2 × 3 - 2 = 6 - 2 = 4 , isto é, m = 4 
Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular m = 4 
Usando a equação da reta, temos: 
( ) 3 4 ( 3) 3 4 12 0 0 y - y = m x - x ⇒ y - = × x - ⇒ y - = x - , onde finalmente 
temos que y = 4x - 9
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
2. Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 2x2 -3x + 4 e que seja 
paralela à reta y = 2x - 3. 
Resolução 
Se duas retas são paralelas, então os seus coeficientes angulares são iguais 
Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: 
= 2 r m e f ¢(x) = 4x - 3. 
No ponto 0 x , temos ( ) 0 m f x s = ¢ , logo: ( ) 4 3 0 0 m = f ¢ x = x - s 
mas 
5 
 
27 
27 
, 
4 
 
f , logo o ponto é  
y - y =  m ( x - x ) ⇒ y - = × x - = y - = x 
- 0 0  
8y - 27 = 16x - 20 ⇒ 16x - 8y + 7 = 0 (forma geral da reta) 
( ) 3 0 0 y - y = m x - x ⇒ y - = - × x - ⇒ y - = - x - 
4y -12 = -x + 3 ⇒ x + 4y -15 = 0 
14 
5 
4 
2 4 3 4 5 0 0 0 m = m ⇒ = x - ⇒ x = ⇒ x = r s 
Note que agora já temos a abscissa, resta encontrar a ordenada, que faremos assim 
4 
15 
4 
25 
16 
4 2 
5 
3 
4 
4 
 
=  2 
× 5 
4 
( ) 2 3 4 
2 
 
2 + - × = + × -  
 
 
 
f x = x - x + ⇒ f 
8 
5 =  
- + = 25 - 30 + 32 
= 8 
4 
15 
4 
25 
8 
4 
 
 
 
 
 
8 
5 
E a equação da reta será: 
5 
2 
2 
27 
8 
5 
4 
2 
27 
8 
 
 
3. Dada a função f (x) = x2 - 2x , determinar a equação da reta normal, no ponto de 
abscissa 3. 
Resolução 
A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função. 
Se duas retas são perpendiculares, então o coeficiente angular de uma é igual a 
menos o inverso do coeficiente angular da outra 
Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: 
Se a abscissa é 3, temos f (x) = x2 - 2x ⇒ f (3) = 32 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3, ou seja, 
a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3) 
Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de 
abscissa 3, assim: 
f (x) = x2 - 2x ⇒ f ¢(x) = 2x - 2 ⇒ f ¢(3) = 2 × 3 - 2 = 6 - 2 = 4 , isto é, m = 4 
mas, como 
r 
s m 
m 
1 = - , então 
1 = - s m 
4 
Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular 
1 = - s m 
4 
Usando a equação da reta, temos: 
1 
( 3) 4 12 ( 3) 
4
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EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f (x) = x2 - 4x +1 no 
ponto P(1, -2). 
Questão 02 
Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = x2 + 5x no ponto de 
abscissa -1. 
Questão 03 
Seja a curva de equação y = x3 -12x . Determine a equação da reta tangente à curva no 
ponto de abscissa x = 4. 
Questão 04 
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = x2 - 4 e que seja pa-ralela 
15 
à reta de equação y = 2x -1. 
Questão 05 
Dê a equação da reta normal à curva dada por f (x) = x2 + 5x - 2 , no ponto x = 2. 
DERIVADAS SUCESSIVAS 
Questão 01 
Dada a função f (x) = x3 - 6x2 + 5x - 2 , calcular f ¢(x) , f ¢¢(x) , f ¢¢¢(x) e f ¢¢¢¢(x) 
Questão 02 
Dada a função f (x) = 1- 4x3 - x4 , resolver a equação f ¢¢¢(x) = 0 
Questão 03 
Determine a derivada segunda da função f (x) = 4x3 - 5x2 + 2x -1 no ponto x = 0. 
Questão 04 
Calcule a derivada terceira de 
x 
f x 
1 
( ) = 
Questão 05 
Seja a função f (x) = 4x3 + 2x2 - 5x + 2 , calcule f ¢(0) + f ¢¢(0) + f ¢¢¢(0) . 
 
Questão 06 
=  
Se f ( x ) cos x , calcule ¢¢ p 
6 
 
f
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA 
Se f é uma função derivável num intervalo aberto A e: 
1. f é crescente em A, então f ¢(x) > 0 
2. f é decrescente em A, então f ¢(x) < 0 
3. f é constante em A, então f ¢(x) = 0 
PONTOS CRÍTICOS 
Como uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua 
derivada é negativa, então ela apresenta pontos de máximo ou mínimos relativos quando 
f ¢(x) = 0 . Chamamos de ponto crítico ao ponto do domínio da função onde f ¢(x) = 0 . 
EXEMPLOS: 
1. Determinar os possíveis pontos de máximo ou mínimo da função f (x) = x2 - 3x 
f ¢(x) = 2x - 3 ⇒ f ¢(x) = 0 ⇒ 2x - 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 
Observe que, como a função é de 2º grau, então a sua curva é uma parábola, que 
admite concavidade voltada para cima, pois o termo a é positivo. 
Já temos o V x , agora, é só encontrar o V y , que determinamos substituindo V x na 
3 
 =  
x x 
16 
Resolução 
3 
2 
função, assim 
9 
4 
9 18 
4 
9 
2 
9 
4 
3 
3 
2 
3 
2 
2 
( ) 3 
2 
 
 
- 2 - × = - = = -  
 
 
 
f x = x - x ⇒ f 
9 
3 
   
Logo, o vértice que é o ponto de mínimo dessa função é - 
 
4 
, 
2 
2. Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de 
uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro 
como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área 
seja máxima. 
y 
Resolução 
y + 2x = 16⇒ y = 16 - 2x 
A = x × y ⇒ A(x) = x × (16 - 2x) ⇒ A(x) = 16x - 2x2 ⇒ A¢(x) = 16 - 4x 
16 - 4x = 0 ⇒ 4x =16 ⇒ x = 4 e y =16 - 2 × 4 = 16 - 8 ⇒ y = 8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
3. A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um 
semi-círculo. Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm, calcule as dimensões 
x e y que permitam uma maior entrada de luz. (Use p = 3,14). 
x 
y 
x 
Resolução 
Haverá uma maior entrada de luz, se a área da janela for máxima, logo: 
= + 1 ⇒ A = × 1 
2x y + × p x 
2 
2 2 ⇒ p = 2x + 2y + p x e como o períme-tro 
1 
A = 2x × y + × p x ⇒ 2 
A = 2y × x + × p x , e calculando em função de x, vem 
1 
A(x) = (714 - 2x - p x) × x + × p x ⇒ A(x) = 714x - 2x 2 - p x 2 + × p x 
2 
A(x) = 714x - 2x - × p x , e derivando, temos: A¢(x) = 714 - 4x - p x 
714 - 4x - p x = 0 ⇒ 714 = 4x + p x ⇒ 4x + p x = 714 ⇒ x (4 + p) = 714 
x = ⇒ x =100 cm 
17 
Janela retângulo círculo A A A 
2 
2 
1 
O perímetro da janela é p = x + y + × 2p x 
2 
é 714, temos: 2x + 2y + p x = 714 ⇒ 2y = 714 - 2x - p x 
e voltando a área, temos: 
2 
1 
2 
2 
2 
1 
2 
2 
1 
2 2 
2 
714 
7,14 
714 714 
= 
4 3,14 
4 
+ 
= 
+ p 
E para achar o valor de y, basta substituir em 2y = 714 - 2x - p x 
2y = 714 - 2×100 - 3,14×100 = 714 - 200 - 314 ⇒ y = 100 cm
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
4. A empresa “X” produz um determinado produto, com um custo mensal dado pela 
 L = R - C = x - x - x + x + x x x x 
31 2 3 2 3 - - + - =  
= - 1 L x 3 + x 2 + x - ou ainda L(x) = - x3 + 2 x2 + 21 x - 
20 
18 
1 
C(x) = x3 - x2 + x + . 
função 2 10 20 
3 
Cada unidade deste produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que 
deve ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal. 
Resolução 
Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal 
O lucro mensal é dado por: 
Lucro (L) = Receita (R) - Custo (C) 
assim 
2 10 20 
1 
3 
2 10 20 31 
1 
3 
 
 
2 21 20 
3 
1 
3 
Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x, temos: 
L¢(x) = -x2 + 4x + 21 
e calculando a derivada segunda, vem 
L¢¢(x) = -2x + 4 
Para achar os pontos críticos, é só igualar L¢(x) a zero, ou L¢(x) = 0 
- x2 + 4x + 21 = 0 e resolvendo pela fórmula de Bháskara, 
temos as raízes x = -3 e x = 7 que são os pontos críticos 
Agora, vamos determinar os extremos relativos de L 
Para x = -3 , temos L¢¢(-3) = -2(-3) + 4 = 6 + 4 = 10 > 0 , logo é um ponto de míni-mo 
relativo de L. 
Para x = 7 , temos L¢¢(7) = -2 × 7 + 4 = -14 + 4 = -10 < 0 , logo é um ponto de má-ximo 
relativo de L. 
Portanto a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal é 
x = 7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
5. Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine: 
a) a variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia 
D = A - 
A 
x 
(3) (2,5) = - = = 
125 
 - - - =   
 
4 
f (5) - f (4) = 320 - - + = - + = @ 
Obs.: No item (a) vimos que o tempo t = 4 (início do 5º dia), a epidemia se alastra a 
uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5º dia, 43 
pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da 
moléstia se modificou no decorrer do dia. 
19 
de 2,5 a 3,0m; 
b) a taxa de variação da área, em relação ao lado, quando este mede 4m. 
Resolução 
Sejam A a área do quadrado e x seu lado. Sabemos, então que A = x2 
a) A variação média de A em relação a x, quando x varia de 2,5m a 3,0m é dada 
2,75 
9 6,25 
por 5,5 
0,5 
0,5 
- 
3 2,5 
D 
A 
d 
dA 
b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por x x 
dx 
dx 
= ( 2 ) = 2 
d 
Portanto, quando x = 4 , , temos A(4) = 2 × 4 = 8 
dx 
Assim, quando x = 4 , a taxa de variação da área do quadrado será de 8m2 pa-ra 
cada metro que varia no comprimento do lado. 
6. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam 
que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em 
dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente por: 
3 
( ) 64 
t 3 
f t = t - . 
a) Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias? 
b) Qual a taxa de expansão da epidemia após 8 dias? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 
Resolução 
A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela variação da função f (t) em re-lação 
a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por f ¢(t) = 64 - t 2 . 
Assim: 
a) no tempo t = 4, temos f ¢(4) = 64 -16 = 48 , ou seja, após 4 dias a moléstia esta-rá 
se alastrando à razão de 48 pessoas por dia. 
b) no tempo t = 8, temos f ¢(8) = 64 - 64 = 0 , ou seja, após 8 dias a epidemia esta-rá 
totalmente controlada. 
c) como o tempo foi contado em dias, a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia cor-responde 
à variação de t de 4 para 5. O número de pessoas atingidas durante o 
5º dia será dado, então por f (5) - f (4) , ou seja: 
 
 
 
 
 
- × -   
 
  
 
 
 
- = × - 
  
 
64 
3 
256 
3 
320 
3 
64 4 
5 
3 
(5) (4) 64 5 
3 3 
f f 
64 41,67 21,33 43,66 43 
64 
3 
256 
125 
3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
EXERCÍCIOS 
Questão 01 
Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância d(t) 
ao solo durante os primeiros 10 segundos de vôo é dada por d(t) = 6 + 2t + t 2 , na qual 
d(t) é medido em metros e t em segundos. 
a) Determine a velocidade média do balão durante o 1º segundo de vôo. 
b) Determine a velocidade instantânea do balão quando t = 1 segundo 
c) Entre quais instantes o balão esteve a uma altura superior a 20 metros? 
Questão 02 
A área A de uma pele, afetada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros 10 dias 
após o início de um tratamento, é dada pela função 
20 
1 
5 
= + 
( ) 6 t 
2 + 
t 
A t , com t expresso em 
dias e a área em cm2. O tratamento iniciou-se à 0 hora do dia 15 de fevereiro. 
a) Qual era a área da infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do 1º dia? 
b) Compare a rapidez no aumento da infecção durante o 1º dia, com a rapidez na sua 
redução durante o 2º dia. O que se pode concluir? E o que aconteceu durante o 3º dia 
c) Qual foi a taxa de variação inicial da propagação da infecção? 
Questão 03 
Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registran-do 
a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mos-tram 
que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada por aproxi-madamente 
v(t) = t 3 -10,5t 2 + 30t + 20 km/ h , onde t é o número de horas após o meio 
dia. Qual o instante entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o ins-tante 
em que ele é mais lento? 
Questão 04 
Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de maior volume 
possível, cortando um quadrado em cada canto. As dimensões da folha são 60 cm e 40 
cm. Calcular o volume máximo da caixa. 
Questão 05 
Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4, 00. Ao vendê-lo a x reais o 
fabricante espera vender (30 - 2x) unidades. A que preço deve ser vendido o produto 
para que haja lucro máximo? 
Questão 06 
Uma partícula move-se ao longo da curva v (t) = t 3 - 5t 2 + 7t - 3. Calcule a aceleração 
no instante em que a velocidade é nula. 
Questão 07 
Uma sonda é lançada para cima, verticalmente, sendo a distância acima do solo no ins-tante 
t dada por s (t) = t (1.000 - t) . 
a) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo. 
b) Qual é a altura máxima que a sonda atinge?
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
Questão 08 
Se um ponto se move ao longo do gráfico de y = x2 +1 de tal modo que sua abscissa x 
varia com uma velocidade constante de 3 cm/s, qual é a velocidade da ordenada y quan-do 
1 = . Determine a taxa instantânea à qual o es-forço 
21 
x = 4cm? 
Questão 09 
Um homem de 1,80m de altura afasta-se de um farol com uma lâmpada situada a 4,50m 
do solo, com uma velocidade de 1,5 m/s. Quando ele estiver a 6m do farol, com que ve-locidade 
sua sombra estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra? 
Questão 10 
Uma partícula move-se ao longo da curva y = x . Quando a partícula passa pelo ponto 
(4,2), sua abscissa cresce à razão de 3 cm/s. Com que velocidade está variando a distân-cia 
da partícula à origem nesse instante? 
Questão 11 
O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico e cresce à razão de 0,25 cm / ano e sua 
altura cresce à razão de 1 m / ano (m = metros). Determine a taxa de variação do volume 
do tronco quando o diâmetro é 3 cm e sua altura for 50 m. 
Questão 12 
O esforço de um trabalhador solicitado por uma indústria para fabricar x unidades de um 
certo produto é dado pela equação y x 
2 
do trabalhador seria crescente se, no mesmo momento, existe uma demanda de 
40.000 unidades do produto, mas esta é crescente a uma razão de 10.000 unidades por 
ano. 
Questão 13 
Um fazendeiro possui 2.400 m de arame farpado e quer cercar um campo retangular que 
está à margem de um canal reto. Ele não precisa cercar a lateral do canal. Quais são as 
dimensões do campo que tem a maior área? 
Questão 14 
Um vasilhame cilíndrico é fabricado para conter 1 litro de óleo. Encontre as dimensões 
que irão minimizar o custo do material para produzir este vasilhame. 
Questão 15 
Achar o retângulo de maior área de corte, correspondentes à altura e base de um cômo-do, 
inscrito dentro de um triângulo isósceles de base AB = 10 m e altura h = 6 m, cor-respondentes 
à base e altura de um chalé, respectivamente. 
Questão 16 
Quais são as dimensões de um cercado, de área máxima que se pode construir com 
1.000 m de tela?
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
Questão 17 
Uma avaria numa central atômica fez disparar o sistema de alarme. Os técnicos ativa-ram 
imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe-se que a temperatura T da 
água (em graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir 
daí durante 12 horas, de acordo com a função 
= + - + 
30 225 
f t , com f em graus e t em horas. 
T(2) - T(0) 
r t 
Calcule r(0) e diga qual é o significado físico desse valor. 
22 
= + + 
5 x 2 x 
128 
T x , em que x é o tem-po 
2 
( ) 
2 
+ 
x 
(em horas) decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou. 
a) Calcule a taxa de variação de T quando x = 1 h. Interprete o resultado no contexto do 
problema. 
b) A sirene de alarme dispara se a temperatura for superior a 43º C. Quando é que a si-rene 
tocou? 
Questão 18 
A temperatura F (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia, a partir do mo-mento 
em que é ligado, de acordo com a função 
= + 
190 44 
2 
( ) 
+ 
t 
t 
F t , com t em minutos. 
a) A que temperatura está o forno quando é ligado? 
b) Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender a estabilizar essa temperatura? 
c) Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado? 
d) E aos 10 minutos? 
Questão 19 
A evolução da temperatura do ar na relva, entre as 0 e 24 horas do dia 1º de fevereiro foi 
t t 
dada pela função 
45 
( ) 17 
2 
- 
t 
a) Qual foi a temperatura máxima nesse dia? 
b) E a temperatura mínima? 
c) Qual era a taxa de aquecimento do ar às 10 horas da manhã? 
Questão 20 
A equação 
250 
10 
= + 
( ) 30 t 
2 + 
t 
T t relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma 
reação química com tempo t da experiência (em minutos). Sabendo que a experiência 
durou 60 minutos: 
a) calcule e explique o quociente 
2 
b) o que significa 
- 
(2) (0) 
T T 
2 
lim2 
- 
® t 
t 
c) determine, analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se Re-gistrou 
a temperatura máxima 
Questão 21 
Uma mancha circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centí-metros, 
do raio dessa mancha, t segundos após ter sido detectada, é dado por: 
= + t 
t 
( ) ³ 
( 0) 
1 4 
2 
+ 
t
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 
Questão 22 
Um chá, acabado de fazer, foi colocado num refrigerador a 100º C. Passados 5 minutos, 
o chá estava a 60º C. A temperatura do chá evolui de acordo com a lei T(t) = ea-b t , em 
que T é a temperatura do chá e t é o tempo decorrido em minutos. 
a) Determine os valores de a e b. 
b) Qual é a velocidade do arrefecimento do chá quando é colocado no refrigerador? E 
C(x) 
23 
um minuto depois? 
c) Quem prefere tomar o chá frio, a 8º C, quanto tempo terá de esperar? 
Questão 23 
Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A 
concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após 
ter sido administrado, é dada por C(t) = 2t e- 0,3t . Recorrendo à derivada da função C, 
determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi 
máxima. 
Questão 24 
Injetou-se no instante t = 0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t > 0, 
em segundos), a concentração C da substância injetada é dada por C(t) = 8(e-t - e-2 t ) . 
7 
a) calcule o instante para o qual o valor da concentração é igual a 
8 
( ) 
¢ = - 
8(2 ) 
b) Mostre que t 
t 
e 
e 
C t 2 
Questão 25 
Um fabricante de pequenos motores, estima que o custo da produção de x motores por 
dia é dado por 
x 
C x x 
50 
( ) = 100 + 60 + (reais). 
a) Preencha as tabelas abaixo: 
No de motores Custo Custo médio Custo marginal 
X 
C(x) 
x 
C¢(x) 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
b) Compare o custo marginal da produção de 5 motores com o custo da produção do 6º 
motor.

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08 derivadas

  • 1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues ESTUDO DAS DERIVADAS Vamos considerar y = f(x) uma função real de variável real x, definida e limitada, 1 num intervalo ]a, b [. Agora seja 0 x um ponto desse intervalo e x ( ) 0 x ¹ x um segundo ponto do mesmo in-tervalo. Vamos formar a diferença ( ) ( ) 0 Dy = f x - f x que chamaremos acréscimo ou incremento da função, e compará-la com a diferença 0 Dx = x - x que chamaremos a-créscimo ou incremento da variável independente x, a partir de 0 x . A razão entre essas diferenças será chamada razão incremental e representada por - 0 ( ) ( ) x x f x f x 0 D y x - = D . x y a b y = f (x) a x0 x b x y y = f (x) f (x) f (x0 )
  • 2. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues Se existe o limite desta razão incremental para Dx tendendo a zero, temos que: lim será chamada derivada ou coeficiente diferencial de f(x) no ponto 0 x e será f x f x D x x x - 2 y x D x D D ®0 representada por = D y lim . x dy dx x D D ® 0 Observe que: Se Dx ®0 e 0 Dx = x - x , então 0 0 x - x ® , o que nos leva a concluir que 0 x ® x Assim, podemos escrever que o limite da razão incremental também pode ser represen-tada por: 0 0 0 ( ) ( ) y lim lim 0 x x x - = D D ® ® e finalmente que a derivada será: - 0 ( ) ( ) f x f x 0 lim 0 x x dy dx x x - = ® ou - f x f x 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x x x - ¢ = ® Se existe ( ) 0 f ¢ x , então dizemos que f é derivável no ponto 0 x . O símbolo d y d x se deve a Leibniz (Gottifried Wilhelm Leibniz, 1646 – 1716); a última notação ( ) 0 f ¢ x foi introduzida por Lagrange (Joseph Louis Lagrange, 1736 – 1813). Se não houver ambigüidade quanto à variável independente, escrevemos simplesmente y¢ para indicar a derivada de y. Outro símbolo para exprimir a derivada de uma função, é D y = D f (x) = f ¢ (x) que é a notação de Cauchy (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857). Quando houver dúvida quanto à variável em relação à qual se deriva, atribuímos ao símbolo D um índice indicativo dessa variável. D f D f (x) x = , D u Du (x) x = ou D v Dv (t) t = Observação importante Lembre-se sempre desta distinção: · A derivada de uma função f(x) num ponto x0 do seu domínio é um número real ( ) 0 f ¢ x · A função derivada de uma função f(x) é uma função dada por f ¢(x) = y¢
  • 3. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues - - 0 ( ) ( ) 4 4 f x f x - 4 x 4 x 0 x x - f x = x + x + 0 0 f ( x ) - f ( x ) = x + 3 x + 1 - [( x ) + 3 x + 1) = x + 3 x + 1 - ( x ) - 3 x - 1 0 0 0 f (x) - f (x ) = x + 3x - (x ) - 3x = x - (x ) + 3x - 3x = + + = + + = + 3 EXEMPLOS 1. Ache a derivada de y = 4x +1 Resolução Vamos calcular ( ) 0 f x , para isso, basta substituir assim ( ) 4 1 0 0 f x = x + agora, calculamos a diferença ( ) ( ) 4 1 (4 1) 0 0 f x - f x = x + - x + 0 0 0 f (x) - f (x ) = 4x +1- 4x -1 = 4x - 4x calculamos a razão incremental x x 0 0 0 x x x x - = - e finalmente o limite dessa razão 0 lim 0 x x ® lim 4 4 - 4( ) lim - 4 4 lim 0 x x x x 0 0 0 0 0 0 = = - = - x®x x x x®x x x x®x dy logo, a derivada de y = 4x +1 é = 4 dx ou f ¢(x) = 4 2. Calcule a derivada de f (x) = x2 + 3x +1 Resolução ( ) ( ) 2 3 1 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 - + - - 0 ( ) ( ) ( ) 3 3 x x x x 0 0 2 0 2 f x f x 0 x x x x - = - + - + - x x x x x x 0 0 0 0 - + - x x x x 0 0 2 0 2 0 ( )( ) 3( ) lim ( ) 3 3 ( ) lim = 0 x x 0 x x f x x x - x x - ¢ = ® ® lim ( 3) 3 2 3 - + + ( x x )( x x 3) 0 0 ( ) lim 0 0 0 0 0 0 - 0 0 ¢ = ® ® x x x x x x x f x x x x x ou simplesmente f ¢(x) = 2x + 3 , pois o que queremos é a função derivada EXERCÍCIOS Ache a derivada de: a) f (x) = 1 5x - 7 e) ( ) 2 x f x = b) f (x) = x2 - x +1 f) y x = 2 + 1 x c) f (x) = 6 - 2x3 g) f (x) = 5x4 - 2 d) y = x3 -12x +13 h) f (x) = 2x
  • 4. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues REGRAS DE DERIVAÇÃO O processo que usamos para calcular derivadas é muito trabalhoso, contudo po-demos nos valer de algumas regras e fórmulas que podem facilitar o nosso trabalho. Regra 1: A derivada de uma função constante é zero. Se f (x) = k , então = 0 4 d y d x ou f ¢ (x) = 0 Exemplos: a) f (x) = 12⇒ f ¢(x) = 0 3 b) ( ) 0 f (x) = ⇒ f ¢ x = 5 c) f (x) = 3 17 ⇒ f ¢(x) = 0 Regra 2: A derivada da n-ésima potência de uma variável x é igual ao produto de n por x elevado a (n - 1)-ésima potência. Se f (x) = xn , então: = n × xn - 1 d y d x ou f ¢(x) = n × xn - 1 . Exemplos: a) f (x) = x2 ⇒ f ¢(x) = 2x2 -1 = 2x1 ⇒ f ¢(x) = 2x 1 3 b) 4 - f x = x 4 ⇒ f ¢ x = × x 1 4 ( ) ( ) 4 5 4 c) ( ) ( ) 4 5 x f x = x - ⇒ f ¢ x = - x - = - Regra 3: A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função. Se y = k u , onde u = f (x) é uma função diferenciável de x, então: d y = × d u ou y¢ = k ×u¢ d x k d x Exemplos: a) f (x) = 10x ⇒ f ¢(x) = 10 b) f (x) = 3x2 ⇒ f ¢(x) = 2 × 3x2 -1 = 6x1 ⇒ f ¢(x) = 6x 4 1 c) 3 f (x) = -2x 3 ⇒ f ¢(x) = - x 8 3
  • 5. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues Regra 4: A derivada da soma de um número finito de funções deriváveis é igual à soma das suas derivadas. Se y = u + v , onde u = f (x) e v = g (x) são funções diferenciáveis de x, então: f x = b) f (x) = 7x2 c) f (x) = -4x 3 f (x) = - x- f) f (x) = 6x-3 f (x) = x e) 5 y = x d) y = 5 10 x = - 1 - y x e) 3 2 f x = , no ponto x = -2? 5 d y = + d v . d x d u d x d x Exemplos: a) y = x2 + 3⇒ y¢ = (x2 )¢ + (3)¢ = 2x + 0 ⇒ y¢ = 2x b) f (x) = 3x2 + 4x + 2⇒ f ¢(x) = (3x2 )¢ + (4x)¢ + (2)¢ = 6x + 4 + 0 f (x) = 3x2 + 4x + 2⇒ f ¢(x) = 6x + 4 EXERCÍCIOS Questão 01 Dar a derivada das seguintes funções: 1 a) f (x) = 8 e) f (x) = x 2 b) f (x) = -5 1 f) f (x) = 6 x5 c) f (x) = x6 g) f (x) = 4 x d) f (x) = x- 5 Questão 02 Determine f ¢(x) em cada caso: 1 a) ( ) 4 x 1 d) 7 7 5 Questão 03 Ache a derivada das seguintes funções: 3 a) 10 5 b) 4 2 3 y = x 2 c) y = 2 x Questão 04 2 Qual é a derivada da função ( ) 3 x Questão 05 Se f (x) = 2x3 , calcule f ¢(2) . Questão 06 Dada a função f (x) = 3 x2 , calcule a derivada de f(x) no ponto x = 8.
  • 6. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues Questão 07 Sejam as funções f (x) = 10x2 e g(x) = 4x , calcule f ¢(x) + g¢(x) Questão 08 Dadas as funções a seguir, calcule f ¢(x) a) f (x) = 7x3 - 2x2 + x -1 c) f (x) = 10x4 - 5x3 - 2x2 b) f (x) = 3x2 - 7x + 4 d) f (x) = 6x3 - 4x2 - 7x 1 3 2 f (x) = - x4 + x3 - x2 + c) 7 8 5 ( ) d) = + f) y = 3x500 +15x100 1 1 - = x d y ( ) = × + × ⇒ 2 d y = + + - 6 Questão 09 Ache a derivada de cada função: a) 1 4 1 2 2 3 1 2 f (x) = x + x + x 5 8 7 1 1 1 1 b) f x = x5 + x4 + x3 + x2 + x 2 3 4 5 157 419 7 3 3 5 4 ( ) 4 5 7 3 = + + + x x x f x Questão 10 Calcule a derivada de: 1 a) 3 3 2 1 = 2 + + - y = x2 - x + d) y 7 x x 2 2 1 = + - b) 5 3 5 1 = + - y 9 x 3 5 x y x e) 4 3 c) y 5x5 6x Regra 5: A derivada de um produto de duas funções é igual a derivada da primeira ve-zes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Sendo u e v funções, temos: f (x) = u × v ⇒ f ¢(x) = u¢v + uv¢ Exemplos: a) y = (x3 + 4)(x + 3) ⇒ y¢ = (x3 + 4)¢ × (x + 3) + (x3 + 4)(x + 3)¢ y¢ = 3x2 × (x + 3) + (x3 + 4) ×1 ⇒ y¢ = 3x3 + 9x2 + x3 + 4 ⇒ y¢ = 4x3 + 9x2 + 4 b) f (x) = ( x + 3)(x2 + 6) ⇒ f ( x ) = ( x 2 + 3)( x 2 + 6) u d v d x v d u d x uv d x 1 2 d u d x d v e x d x = 2 1 2 2 x x x x d y d x ( 6) ( 3) 2 2 1 = + + + × - d y 1 3 1 2 = + + + × - ⇒ x x x x d x 3 ( 3) 2 2 1 2 2 1 3 1 2 = + + + - x x x x d y d x 3 2 6 2 3 2 2 3 5 2 ⇒ x x x d x 3 6 2 1 2
  • 7. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues u v u v f (x) = com v ¹ 0 , então: 2 ( ) ¢ = - + y = + , fazemos = +1⇒ ¢ = 1 u x u , v = x2 ⇒ v¢ = 2x e v2 = (x2 )2 = x4 derivando, temos v 2 y ¢ = × - + × y ¢ = - + ⇒ 4 x - x - x y ¢ = ⇒ 4 7 c) f (x) = (3x + 7)(x- 2 + 8) (3x + 7) = 3 d d x d ⇒ (x - 2 + 8) = -2x -3 d x = 3× (x - 2 + 8) + (3x + 7) × (-2x -3 ) d y d x d y ⇒ = 3x - 2 + 24 - 6x - 2 -14x -3 d x = -3x - 2 -14x - 3 + 24 d y d x Regra 6: A derivada de um quociente é igual ao quociente da derivada do numerador vezes a função do denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, sobre o quadrado do denominador. u Sendo v v f x ¢× - × ¢ ¢ = . Exemplos: a) 2 -1 = x x y , fazemos u = x ⇒u¢ = 1 , v = x2 -1⇒v¢ = 2x e v2 = (x2 -1)2 = x4 - 2x2 +1 derivando, temos y ¢ = u ¢× v - u × v ¢ ⇒ v 2 ¢ = × - - × 2 - + 1 ( 1) 2 x x x 4 2 2 1 x x y 1 = - x 2 - y ⇒ 2 1 ¢ = - - 2 2 1 2 x x 2 1 4 2 4 2 - + - + x x x x x 2 1 - + 4 3 2 1 x x y 1 x x b) 2 u v u v y ¢× - × ¢ 1 2 ( 1) 2 x x x ¢ = ⇒ 4 x 2 (2 2 2 ) x x x 4 x 2 2 2 2 x y ¢ = - - 2 2 x x x y ¢ = - + ⇒ 3 ( 2) x x x 4 y ¢ = - + 2 x x Regra 7: Função seno Se f (x) = sen x , então f ¢(x) = cos x Regra 8: Função cosseno Se f (x) = cos x , então f ¢(x) = -sen x Regra 9: Função exponencial Se f (x) = a x , então f ¢(x) = a x × ln a
  • 8. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues Regra 10: Este é um caso particular em que a base é o número e. Se f (x) = ex , então f ¢(x) = ex Nota: o número e, definido com freqüência pelo limite  y = (3x2 + 2x +1) , fazemos u = 3x2 + 2x +1⇒u¢ = 6x + 2 f (u) = u ⇒ f ¢(u) = u ⇒ y¢ = u¢ × f ¢(u) y¢ = (6x + 2) × x + x + ⇒ 2 8   = +  ®¥ n e n 1 lim 1 , vale, aproxi-madamente e = 2, 71 Regra 11: Função logaritmo Se f x x a ( ) = log , então 1 x a f x ln ( ) × ¢ = Regra 12: Função logaritmo neperiano Se f (x) = ln x , então x f x 1 ¢( ) = Regra 13: Derivada da função composta É muito comum trabalharmos com uma função composta, isto é, funções do tipo f (x) = sen (x2 ) , que é uma composição de g (x) = sen x com h(x) = x2 . Nesse caso, para obter a derivada, aplicamos a seguinte regra, conhecida como regra da cadeia: f (x) = g [h (x)]⇒ f ¢(x) = g¢[h (x)] × h¢(x) Regra 14: Derivada da função inversa Se f é uma função que admite inversa e é derivável no ponto x, com f (x) ¹ 0, então 1 - ¢ = ou ( ) ( 1 ) ( ( )) f x f f x ¢ ¢ = 1 y x x y ¢ . Exemplos: a) f (x) = sen (x2 ) ⇒ f (u) = sen u ⇒ f ¢(u) = u¢ × (sen u)¢ u = x2 ⇒u¢ = 2x ⇒ f (u) = sen u ⇒ f ¢(u) = cos u ⇒ f ¢(x) = 2x × cos (x2 ) b) f (x) = e2x ⇒ f (x) = eu ⇒ f ¢(x) = u¢ × (eu )¢ u = 2x ⇒u¢ = 2 f (u) = eu ⇒ f ¢(u) = eu f ¢(x) = 2 × e2x 3 c) 2 1 2 3 2 3 2 1 2 3 (3 2 2 1) 2 1 y¢ = (9x + 3)(3x2 + 2x +1)
  • 9. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 1 ¢ = , mas sen2 y + cos2 y =1, daí cos2 y =1- sen2 y ⇒cos y = 1- sen2 y 9 d) 2 1 2 1     + = x y 2 2 1 ( 2 1)2 1 + ⇒ ¢ = - + = x x u x u f (u) = u 2 ⇒ f ¢(u) = 2u y¢ = u¢ × f ¢(u) 1 2 x 1 2 2 2 2 + ( 1) × × + ¢ = - x x y 4 + ¢ = - ( x 2 1)3 x y e) f (x) = ln (sen x) u = sen x⇒u¢ = cos x u f u u f u 1 ( ) = ln ⇒ ¢( ) = f ¢(u) = u¢ × f ¢(u) x sen x senx f x x 1 cos ¢( ) = cos × = f ¢(x) = ctg x f) f x x 2 2x ( ) = 10 - u = x2 - 2x⇒u¢ = 2x - 2 f (u) = 10 u ⇒ f ¢(u) = 10 u × ln 10 f ¢(u) = u¢ × f ¢(u) ( ) (2 2) 10 2 2 ln 10 f ¢ x = x - × x - x × ( ) 10 2 2 (2 2) ln 10 f ¢ x = x - x × x - × g) y = arc sen x Sua inversa é x = sen y ¢ = 1 y x x y ¢ x y y ¢ = cos y yx cos Como x = sen y , temos cos y = 1- x2 1 Logo: 1 2 ( ) x arc sen x - ¢ =
  • 10. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues y b) = 2 + 5 d) 10 EXERCÍCIOS Questão 01 Ache a derivada das funções: a) f (x) = 4sen x 2 b) f x sen x 3 ( ) = c) f (x) = -5cos x d) f (x) = 3cos x 1 e) f x cos x 3 ( ) = - Questão 02 Dadas f (x) = sen x e g(x) = cos x , calcule f ¢(0) + g¢(0) . Questão 03 Determine a derivada das funções: a) f (x) = 2x - 3cos x b) f (x) = sen x + cos x + x c) f (x) = 2 sen x - cos x + x2 d) f (x) = sen x - 2cos x - 3x Questão 04 Se f (x) = 3sen x + 2cos x , calcular f ¢(p) Questão 05 Calcular a derivada de: a) y = (2 + 5x)(7 - 3x) b) y = x3 × cos x c) y = x × (3x -1)(x + 2) d) y = 3x × sen x e) y = sen x × cos x Questão 06 Calcular a derivada de: a) = + 2 1 - 3 x x 2 - 2 1 = x x y c) x x y 4 4 1 2 - = x y Questão 07 Aplicando a derivada do quociente, demonstre que: a) se f (x) = tg x , então f ¢(x) = sec2 x b) se f (x) = cot g x , então f ¢(x) = -csc2 x c) se f (x) = sec x , então f ¢(x) = tg x × sec x d) se f (x) = csc x , então f ¢(x) = -ctg x × csc x
  • 11. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues Questão 08 Calcule a derivada de: a) f (x) = (x2 -1)3 b) f (x) = (x3 - 2x)2 c) f (x) = (2x +1)4 Questão 09 Calcule a derivada de: a) f (x) = x - 2 b) f (x) = 3 4x +1 c) f (x) = x2 -1 Questão 10 Determine a derivada de: a) f (x) = 3x d) 2 1 f (x) = 10x - ( ) e) f (x) = ex ( ) = f) f (x) = (ln x) × x4 11 b) x   = 1 x f   2 c) f (x) = 33x + 1 f) f (x) = 10 × ex d) f (x) = 5× 2x g) f (x) = ecos x Questão 11 Calcule a derivada de: a) f (x) = ln x d) f (x) = (log x)2 b) f (x) = (ln x)2 e) x x f x ln ( ) 2 = 1 c) f x ln x 2 d) f x x 2 ( ) = 3log Questão 12 Calcule a derivada de: a) f (x) = sen 3x b) f (x) = cos 6x c) f (x) = sen (3x +1) Questão 13 Calcule a derivada de: a) f (x) = ln (sen x) b) f (x) = ln (x2 - 5x + 6) c) f (x) = log (x2 - 3x) Questão 14 Calcule f ¢(x) , sendo f (x) = log (3x2 + 2)5 . Questão 15 Calcule a derivada de: a) f (x) = sen 3x - cos 2x b) f (x) = sen 2x + cos 4x
  • 12. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues REGRA DE L’HOSPITAL Ao estudarmos o cálculo de limites, vimos que ao tentarmos calcular um limite 0 , que chamamos de indeterminação. Neste caso, frequente-mente = - 2 4 12 do tipo ( ) f x ( ) lim g x x ® a , às vezes ocorre que lim ( ) = 0 ® f x x a e lim ( ) = 0 ® g x x a e assim, o ( ) f x ( ) lim g x x ®a toma a forma 0 era necessário executarmos alguns artifícios para calcular o limite. Teorema (Regra de L’Hospital) Se lim ( ) = 0 ® f x x a e lim ( ) = 0 ® g x x a e se existe ¢ ( ) f x x a ¢ ( ) lim g x ® , então existe ( ) f x ( ) lim g x x ® a e en-tão temos: ( ) f x x a x a ¢ ( ) lim ( ) f x ( ) lim g x g x ¢ = ® ® Exemplo: Resolva 4 - 2 lim 2 x 2 - ® x x Resolução Calculando o limite temos 0 0 4 4 0 2 2 4 - 2 lim 2 2 2 = - = - - x ® x x (indeterminado) Seja f (x) = x2 - 4 e g (x) = x - 2 Derivando cada uma dessas funções, temos: f ¢(x) = 2x e g¢(x) = 1 Logo, pela regra de L´Hospital, temos: lim 2 2 2 4 2 1 lim 4 - 2 lim 2 2 2 2 = = = × = - x ® ® ® x x x x x x EXERCÍCIOS Calcule os limites: (usando a regra de L´Hospital) - 9 a) 3 lim 2 x 3 - ® x x b) 2 8 - x lim ® 2 x 3 - x ex c) 0 2 1 lim x x - ® 1 cos d) lim 0 2 x x x - ® e) + - 4 x 1 3 3 2 2 lim 2 - - ® x x
  • 13. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues APLICAÇÕES DA DERIVADA NA GEOMETRIA ANALÍTICA Interpretação geométrica: A derivada de uma função f(x) num ponto a é o valor da inclinação da reta tangente à função f(x) no ponto [a, f(a)]. reta tangente 13 f ¢(a) = tg q , ou ainda, a derivada no ponto a é o coeficiente angular da reta r, tangente à função f(x). y f (a) a x q f (x) EXEMPLOS: 1. Dada a função f (x) = x2 - 2x , determinar a equação da reta tangente ao gráfico da curva de f no ponto de abscissa 3. Resolução para escrever a equação de uma reta, precisamos de um ponto e do coeficiente an-gular da reta. Assim, se a abscissa é 3, temos f (x) = x2 - 2x ⇒ f (3) = 32 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3, ou seja, a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3) Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de abscissa 3, assim: f (x) = x2 - 2x ⇒ f ¢(x) = 2x - 2 ⇒ f ¢(3) = 2 × 3 - 2 = 6 - 2 = 4 , isto é, m = 4 Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular m = 4 Usando a equação da reta, temos: ( ) 3 4 ( 3) 3 4 12 0 0 y - y = m x - x ⇒ y - = × x - ⇒ y - = x - , onde finalmente temos que y = 4x - 9
  • 14. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 2. Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = 2x2 -3x + 4 e que seja paralela à reta y = 2x - 3. Resolução Se duas retas são paralelas, então os seus coeficientes angulares são iguais Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: = 2 r m e f ¢(x) = 4x - 3. No ponto 0 x , temos ( ) 0 m f x s = ¢ , logo: ( ) 4 3 0 0 m = f ¢ x = x - s mas 5  27 27 , 4  f , logo o ponto é  y - y =  m ( x - x ) ⇒ y - = × x - = y - = x - 0 0  8y - 27 = 16x - 20 ⇒ 16x - 8y + 7 = 0 (forma geral da reta) ( ) 3 0 0 y - y = m x - x ⇒ y - = - × x - ⇒ y - = - x - 4y -12 = -x + 3 ⇒ x + 4y -15 = 0 14 5 4 2 4 3 4 5 0 0 0 m = m ⇒ = x - ⇒ x = ⇒ x = r s Note que agora já temos a abscissa, resta encontrar a ordenada, que faremos assim 4 15 4 25 16 4 2 5 3 4 4  =  2 × 5 4 ( ) 2 3 4 2  2 + - × = + × -     f x = x - x + ⇒ f 8 5 =  - + = 25 - 30 + 32 = 8 4 15 4 25 8 4      8 5 E a equação da reta será: 5 2 2 27 8 5 4 2 27 8   3. Dada a função f (x) = x2 - 2x , determinar a equação da reta normal, no ponto de abscissa 3. Resolução A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente ao gráfico da função. Se duas retas são perpendiculares, então o coeficiente angular de uma é igual a menos o inverso do coeficiente angular da outra Vamos chamar de r a reta dada e de s a reta procurada, assim, temos que: Se a abscissa é 3, temos f (x) = x2 - 2x ⇒ f (3) = 32 - 2 × 3 = 9 - 6 = 3, ou seja, a ordenada também é 3, logo o ponto será (3, 3) Para calcular o coeficiente angular da reta, basta encontrar a derivada no ponto de abscissa 3, assim: f (x) = x2 - 2x ⇒ f ¢(x) = 2x - 2 ⇒ f ¢(3) = 2 × 3 - 2 = 6 - 2 = 4 , isto é, m = 4 mas, como r s m m 1 = - , então 1 = - s m 4 Agora, já temos o ponto (3, 3) e o coeficiente angular 1 = - s m 4 Usando a equação da reta, temos: 1 ( 3) 4 12 ( 3) 4
  • 15. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues EXERCÍCIOS Questão 01 Determinar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f (x) = x2 - 4x +1 no ponto P(1, -2). Questão 02 Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = x2 + 5x no ponto de abscissa -1. Questão 03 Seja a curva de equação y = x3 -12x . Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa x = 4. Questão 04 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f (x) = x2 - 4 e que seja pa-ralela 15 à reta de equação y = 2x -1. Questão 05 Dê a equação da reta normal à curva dada por f (x) = x2 + 5x - 2 , no ponto x = 2. DERIVADAS SUCESSIVAS Questão 01 Dada a função f (x) = x3 - 6x2 + 5x - 2 , calcular f ¢(x) , f ¢¢(x) , f ¢¢¢(x) e f ¢¢¢¢(x) Questão 02 Dada a função f (x) = 1- 4x3 - x4 , resolver a equação f ¢¢¢(x) = 0 Questão 03 Determine a derivada segunda da função f (x) = 4x3 - 5x2 + 2x -1 no ponto x = 0. Questão 04 Calcule a derivada terceira de x f x 1 ( ) = Questão 05 Seja a função f (x) = 4x3 + 2x2 - 5x + 2 , calcule f ¢(0) + f ¢¢(0) + f ¢¢¢(0) .  Questão 06 =  Se f ( x ) cos x , calcule ¢¢ p 6  f
  • 16. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA Se f é uma função derivável num intervalo aberto A e: 1. f é crescente em A, então f ¢(x) > 0 2. f é decrescente em A, então f ¢(x) < 0 3. f é constante em A, então f ¢(x) = 0 PONTOS CRÍTICOS Como uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, então ela apresenta pontos de máximo ou mínimos relativos quando f ¢(x) = 0 . Chamamos de ponto crítico ao ponto do domínio da função onde f ¢(x) = 0 . EXEMPLOS: 1. Determinar os possíveis pontos de máximo ou mínimo da função f (x) = x2 - 3x f ¢(x) = 2x - 3 ⇒ f ¢(x) = 0 ⇒ 2x - 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = Observe que, como a função é de 2º grau, então a sua curva é uma parábola, que admite concavidade voltada para cima, pois o termo a é positivo. Já temos o V x , agora, é só encontrar o V y , que determinamos substituindo V x na 3  =  x x 16 Resolução 3 2 função, assim 9 4 9 18 4 9 2 9 4 3 3 2 3 2 2 ( ) 3 2   - 2 - × = - = = -     f x = x - x ⇒ f 9 3    Logo, o vértice que é o ponto de mínimo dessa função é -  4 , 2 2. Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máxima. y Resolução y + 2x = 16⇒ y = 16 - 2x A = x × y ⇒ A(x) = x × (16 - 2x) ⇒ A(x) = 16x - 2x2 ⇒ A¢(x) = 16 - 4x 16 - 4x = 0 ⇒ 4x =16 ⇒ x = 4 e y =16 - 2 × 4 = 16 - 8 ⇒ y = 8
  • 17. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 3. A janela de uma casa tem a forma da figura abaixo: um retângulo sobreposto por um semi-círculo. Sabendo que o perímetro da janela é de 714 cm, calcule as dimensões x e y que permitam uma maior entrada de luz. (Use p = 3,14). x y x Resolução Haverá uma maior entrada de luz, se a área da janela for máxima, logo: = + 1 ⇒ A = × 1 2x y + × p x 2 2 2 ⇒ p = 2x + 2y + p x e como o períme-tro 1 A = 2x × y + × p x ⇒ 2 A = 2y × x + × p x , e calculando em função de x, vem 1 A(x) = (714 - 2x - p x) × x + × p x ⇒ A(x) = 714x - 2x 2 - p x 2 + × p x 2 A(x) = 714x - 2x - × p x , e derivando, temos: A¢(x) = 714 - 4x - p x 714 - 4x - p x = 0 ⇒ 714 = 4x + p x ⇒ 4x + p x = 714 ⇒ x (4 + p) = 714 x = ⇒ x =100 cm 17 Janela retângulo círculo A A A 2 2 1 O perímetro da janela é p = x + y + × 2p x 2 é 714, temos: 2x + 2y + p x = 714 ⇒ 2y = 714 - 2x - p x e voltando a área, temos: 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 714 7,14 714 714 = 4 3,14 4 + = + p E para achar o valor de y, basta substituir em 2y = 714 - 2x - p x 2y = 714 - 2×100 - 3,14×100 = 714 - 200 - 314 ⇒ y = 100 cm
  • 18. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 4. A empresa “X” produz um determinado produto, com um custo mensal dado pela  L = R - C = x - x - x + x + x x x x 31 2 3 2 3 - - + - =  = - 1 L x 3 + x 2 + x - ou ainda L(x) = - x3 + 2 x2 + 21 x - 20 18 1 C(x) = x3 - x2 + x + . função 2 10 20 3 Cada unidade deste produto é vendida por R$31,00. Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal. Resolução Seja x a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal O lucro mensal é dado por: Lucro (L) = Receita (R) - Custo (C) assim 2 10 20 1 3 2 10 20 31 1 3   2 21 20 3 1 3 Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a x, temos: L¢(x) = -x2 + 4x + 21 e calculando a derivada segunda, vem L¢¢(x) = -2x + 4 Para achar os pontos críticos, é só igualar L¢(x) a zero, ou L¢(x) = 0 - x2 + 4x + 21 = 0 e resolvendo pela fórmula de Bháskara, temos as raízes x = -3 e x = 7 que são os pontos críticos Agora, vamos determinar os extremos relativos de L Para x = -3 , temos L¢¢(-3) = -2(-3) + 4 = 6 + 4 = 10 > 0 , logo é um ponto de míni-mo relativo de L. Para x = 7 , temos L¢¢(7) = -2 × 7 + 4 = -14 + 4 = -10 < 0 , logo é um ponto de má-ximo relativo de L. Portanto a quantidade a ser produzida e vendida para dar o maior lucro mensal é x = 7
  • 19. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues 5. Sabendo que a área de um quadrado é função de seu lado, determine: a) a variação média da área de um quadrado, em relação ao lado, quando este varia D = A - A x (3) (2,5) = - = = 125  - - - =    4 f (5) - f (4) = 320 - - + = - + = @ Obs.: No item (a) vimos que o tempo t = 4 (início do 5º dia), a epidemia se alastra a uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5º dia, 43 pessoas serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se modificou no decorrer do dia. 19 de 2,5 a 3,0m; b) a taxa de variação da área, em relação ao lado, quando este mede 4m. Resolução Sejam A a área do quadrado e x seu lado. Sabemos, então que A = x2 a) A variação média de A em relação a x, quando x varia de 2,5m a 3,0m é dada 2,75 9 6,25 por 5,5 0,5 0,5 - 3 2,5 D A d dA b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por x x dx dx = ( 2 ) = 2 d Portanto, quando x = 4 , , temos A(4) = 2 × 4 = 8 dx Assim, quando x = 4 , a taxa de variação da área do quadrado será de 8m2 pa-ra cada metro que varia no comprimento do lado. 6. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente por: 3 ( ) 64 t 3 f t = t - . a) Qual a taxa de expansão da epidemia após 4 dias? b) Qual a taxa de expansão da epidemia após 8 dias? c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? Resolução A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela variação da função f (t) em re-lação a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por f ¢(t) = 64 - t 2 . Assim: a) no tempo t = 4, temos f ¢(4) = 64 -16 = 48 , ou seja, após 4 dias a moléstia esta-rá se alastrando à razão de 48 pessoas por dia. b) no tempo t = 8, temos f ¢(8) = 64 - 64 = 0 , ou seja, após 8 dias a epidemia esta-rá totalmente controlada. c) como o tempo foi contado em dias, a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia cor-responde à variação de t de 4 para 5. O número de pessoas atingidas durante o 5º dia será dado, então por f (5) - f (4) , ou seja:      - × -         - = × -    64 3 256 3 320 3 64 4 5 3 (5) (4) 64 5 3 3 f f 64 41,67 21,33 43,66 43 64 3 256 125 3
  • 20. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues EXERCÍCIOS Questão 01 Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância d(t) ao solo durante os primeiros 10 segundos de vôo é dada por d(t) = 6 + 2t + t 2 , na qual d(t) é medido em metros e t em segundos. a) Determine a velocidade média do balão durante o 1º segundo de vôo. b) Determine a velocidade instantânea do balão quando t = 1 segundo c) Entre quais instantes o balão esteve a uma altura superior a 20 metros? Questão 02 A área A de uma pele, afetada por uma infecção cutânea, ao longo dos primeiros 10 dias após o início de um tratamento, é dada pela função 20 1 5 = + ( ) 6 t 2 + t A t , com t expresso em dias e a área em cm2. O tratamento iniciou-se à 0 hora do dia 15 de fevereiro. a) Qual era a área da infecção quando foi iniciado o tratamento? E ao fim do 1º dia? b) Compare a rapidez no aumento da infecção durante o 1º dia, com a rapidez na sua redução durante o 2º dia. O que se pode concluir? E o que aconteceu durante o 3º dia c) Qual foi a taxa de variação inicial da propagação da infecção? Questão 03 Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registran-do a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mos-tram que entre 13 e 18 horas, a velocidade média neste cruzamento é dada por aproxi-madamente v(t) = t 3 -10,5t 2 + 30t + 20 km/ h , onde t é o número de horas após o meio dia. Qual o instante entre 13 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? E qual o ins-tante em que ele é mais lento? Questão 04 Com uma folha retangular de cartolina se quer construir uma caixa de maior volume possível, cortando um quadrado em cada canto. As dimensões da folha são 60 cm e 40 cm. Calcular o volume máximo da caixa. Questão 05 Um determinado produto tem preço de produção de R$ 4, 00. Ao vendê-lo a x reais o fabricante espera vender (30 - 2x) unidades. A que preço deve ser vendido o produto para que haja lucro máximo? Questão 06 Uma partícula move-se ao longo da curva v (t) = t 3 - 5t 2 + 7t - 3. Calcule a aceleração no instante em que a velocidade é nula. Questão 07 Uma sonda é lançada para cima, verticalmente, sendo a distância acima do solo no ins-tante t dada por s (t) = t (1.000 - t) . a) Determine em que instante e com que velocidade a sonda atinge o solo. b) Qual é a altura máxima que a sonda atinge?
  • 21. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues Questão 08 Se um ponto se move ao longo do gráfico de y = x2 +1 de tal modo que sua abscissa x varia com uma velocidade constante de 3 cm/s, qual é a velocidade da ordenada y quan-do 1 = . Determine a taxa instantânea à qual o es-forço 21 x = 4cm? Questão 09 Um homem de 1,80m de altura afasta-se de um farol com uma lâmpada situada a 4,50m do solo, com uma velocidade de 1,5 m/s. Quando ele estiver a 6m do farol, com que ve-locidade sua sombra estará crescendo neste ponto e qual o comprimento da sombra? Questão 10 Uma partícula move-se ao longo da curva y = x . Quando a partícula passa pelo ponto (4,2), sua abscissa cresce à razão de 3 cm/s. Com que velocidade está variando a distân-cia da partícula à origem nesse instante? Questão 11 O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico e cresce à razão de 0,25 cm / ano e sua altura cresce à razão de 1 m / ano (m = metros). Determine a taxa de variação do volume do tronco quando o diâmetro é 3 cm e sua altura for 50 m. Questão 12 O esforço de um trabalhador solicitado por uma indústria para fabricar x unidades de um certo produto é dado pela equação y x 2 do trabalhador seria crescente se, no mesmo momento, existe uma demanda de 40.000 unidades do produto, mas esta é crescente a uma razão de 10.000 unidades por ano. Questão 13 Um fazendeiro possui 2.400 m de arame farpado e quer cercar um campo retangular que está à margem de um canal reto. Ele não precisa cercar a lateral do canal. Quais são as dimensões do campo que tem a maior área? Questão 14 Um vasilhame cilíndrico é fabricado para conter 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que irão minimizar o custo do material para produzir este vasilhame. Questão 15 Achar o retângulo de maior área de corte, correspondentes à altura e base de um cômo-do, inscrito dentro de um triângulo isósceles de base AB = 10 m e altura h = 6 m, cor-respondentes à base e altura de um chalé, respectivamente. Questão 16 Quais são as dimensões de um cercado, de área máxima que se pode construir com 1.000 m de tela?
  • 22. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues Questão 17 Uma avaria numa central atômica fez disparar o sistema de alarme. Os técnicos ativa-ram imediatamente os procedimentos de emergência. Supõe-se que a temperatura T da água (em graus Celsius) do sistema de refrigeração do núcleo da central evolui a partir daí durante 12 horas, de acordo com a função = + - + 30 225 f t , com f em graus e t em horas. T(2) - T(0) r t Calcule r(0) e diga qual é o significado físico desse valor. 22 = + + 5 x 2 x 128 T x , em que x é o tem-po 2 ( ) 2 + x (em horas) decorrido a partir do momento em que o sistema de alarme disparou. a) Calcule a taxa de variação de T quando x = 1 h. Interprete o resultado no contexto do problema. b) A sirene de alarme dispara se a temperatura for superior a 43º C. Quando é que a si-rene tocou? Questão 18 A temperatura F (em graus centígrados) do forno de uma padaria varia, a partir do mo-mento em que é ligado, de acordo com a função = + 190 44 2 ( ) + t t F t , com t em minutos. a) A que temperatura está o forno quando é ligado? b) Com o decorrer do tempo, para que valor vai tender a estabilizar essa temperatura? c) Qual é a velocidade de aquecimento do forno no momento em que é ligado? d) E aos 10 minutos? Questão 19 A evolução da temperatura do ar na relva, entre as 0 e 24 horas do dia 1º de fevereiro foi t t dada pela função 45 ( ) 17 2 - t a) Qual foi a temperatura máxima nesse dia? b) E a temperatura mínima? c) Qual era a taxa de aquecimento do ar às 10 horas da manhã? Questão 20 A equação 250 10 = + ( ) 30 t 2 + t T t relaciona a temperatura T (em graus Celsius) de uma reação química com tempo t da experiência (em minutos). Sabendo que a experiência durou 60 minutos: a) calcule e explique o quociente 2 b) o que significa - (2) (0) T T 2 lim2 - ® t t c) determine, analiticamente, o valor de t correspondente ao momento em que se Re-gistrou a temperatura máxima Questão 21 Uma mancha circular de tinta é detectada sobre um tecido. O comprimento, em centí-metros, do raio dessa mancha, t segundos após ter sido detectada, é dado por: = + t t ( ) ³ ( 0) 1 4 2 + t
  • 23. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.: Joaquim Rodrigues Questão 22 Um chá, acabado de fazer, foi colocado num refrigerador a 100º C. Passados 5 minutos, o chá estava a 60º C. A temperatura do chá evolui de acordo com a lei T(t) = ea-b t , em que T é a temperatura do chá e t é o tempo decorrido em minutos. a) Determine os valores de a e b. b) Qual é a velocidade do arrefecimento do chá quando é colocado no refrigerador? E C(x) 23 um minuto depois? c) Quem prefere tomar o chá frio, a 8º C, quanto tempo terá de esperar? Questão 23 Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia. A concentração desse medicamento, em miligramas por mililitro de sangue, t horas após ter sido administrado, é dada por C(t) = 2t e- 0,3t . Recorrendo à derivada da função C, determine o instante em que a concentração de medicamento no sangue do doente foi máxima. Questão 24 Injetou-se no instante t = 0 uma substância no sangue de um animal. No instante t (t > 0, em segundos), a concentração C da substância injetada é dada por C(t) = 8(e-t - e-2 t ) . 7 a) calcule o instante para o qual o valor da concentração é igual a 8 ( ) ¢ = - 8(2 ) b) Mostre que t t e e C t 2 Questão 25 Um fabricante de pequenos motores, estima que o custo da produção de x motores por dia é dado por x C x x 50 ( ) = 100 + 60 + (reais). a) Preencha as tabelas abaixo: No de motores Custo Custo médio Custo marginal X C(x) x C¢(x) 1 2 3 4 5 6 b) Compare o custo marginal da produção de 5 motores com o custo da produção do 6º motor.