O documento descreve produtos notáveis e fatoração de expressões algébricas. Ele lista produtos notáveis como o quadrado de uma soma ou diferença e o cubo de uma soma ou diferença. Também explica como fatorar expressões com um fator comum, por agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômio do quadrado perfeito.

1. Produtos Notáveis
Ângelo Moreira dos Reis

2. Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem
alguns produtos muito usuais. É recomendado então
sabê-los “de cor”.

3. • QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
•SOMA PELA DIFERENÇA:
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
• CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

4. Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma
multiplicação de fatores. Fatoração é o processo
inverso dos produtos notáveis.

5. Veja os retângulos e suas respectivas áreas:
•O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax.
•O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay.
•O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az.
Qual polinômio representa a área total?
AT = ax + ay + az = a (x + y + z)
Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto
a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.

6. Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoração
muito importantes para o desenvolvimento do cálculo
algébrico.
•Fator comum em evidência;
•Fatoração por agrupamento;
•Diferença de dois quadrados;
•Trinômio do Quadrado Perfeito;
•Soma ou diferença de dois cubos.

7. Como já foi dito fatorar significa transformar uma
soma em produto de dois ou mais termos.
Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam
um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.
Por exemplo:
•Na expressão ab + ac, o fator a aparece nos dois
termos, este é o fator comum.
A forma fatorada é o produto do fator comum por uma
expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo
fator comum.

9. É UMA RECORRÊNCIA DO FATOR
COMUM EM EVIDÊNCIA.
Exemplos:
•x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y)
•ax + bx +2a + 2b = x(a + b) + 2(a + b) = (a + b)(x + 2)
•y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)

10. Neste processo verificamos que:
a2 – b2 = (a + b).(a – b)

11. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Para reconhecer se um trinômio é um quadrado
perfeito, proceda da seguinte forma:
• Verifique se a expressão tem dois termos que são
quadrados perfeitos (a2 e b2);
• Determine as raízes desses quadrados (a e b);
• Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas
raízes (+2ab ou –2ab).

13. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

14. FIM!