Matemática II - Caderno + Exercícios Resolvidos

1. CADERNO
Matemática II
2º semestre
Luan Guerra

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SUGESTÕES
cadernosppt@gmail.com.br

3. Aviso
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.
Observação
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.

4. LIVROSSUGERIDO
• Cálculo: Funções de
uma e Várias Variáveis
Pedro Alberto Morettin
Editora: Saraiva
Autor: PEDRO ALBERTO
MORETTIN & SAMUEL
HAZZAN & WILTON DE
OLIVEIRA BUSSAB
ISBN: 8502041215

5. CADERNO
+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

6. Revisão - 4
• 4.Um empresário deseja obter mensalmente um
lucro de pelo menos $12.000,00 na produção de
um determinado bem. O preço de venda unitário
é $4,00 e o break-even point (B.E.P.) se dá
quando a produção atinge 4.000 unidades/mês.
Qual a produção mensal mínima para que o
empresário alcance o lucro pretendido, sabendo
que o custo variável unitário de produção é
$2,00?

7. Resolução
Preço: $4 L=R-C
R=p.x L = 4 . x – (2x + CF)
R = 4 .x L = 4 . x – 2 . x - CF
C = 2 . x . CF L = 2 . x – CF

8. Resolução
R=C L = 2 . x – CF
L = 2 . x – 8000
4 . 4000 = 2 . 4000 + CF
L >= $12000
16000 = 8000 + CF
2 . x – 8000 >= 12000
CF = $8000 2 . x >= 20000
x >= 10000 unid.

9. Revisão - 5

10. Resolução
Demanda: Pd = ax + b
(0, $40)
(100, $0)
Oferta: Po = ax + b
(0, $20)
(80, $35)

11. Resolução
Oferta: a = 80/15
20 = a . 0 + b b = 20 a = 0,18
35 = a . 80 + b (Aproximado)
Po = 0,18 . x + 20
35 = a 80 + 20
15 = a 80

12. Resolução
40 = a . 0 + b b = 40
0 = a 100 + b
0 = a . 100 + 40 Pd = -0,4 . x + 40
-40 = a . 100
a = -0,4

13. Revisão 6
• .Um fabricante produz determinado produto ao custo
variável unitário de $2,00 e os vende a $5,00 cada. Com
este preço a demanda mensal do produto é de 4.000
unidades. Quando o fabricante eleva o preço do produto
em 20%, deixa de vender 800 unidades mensalmente.
a)Expresse o lucro mensal do fabricante em função da
quantidade vendida / produzida do produto, supondo
que o custo fixo de produção é zero,
b)Expresse a função lucro líquido mensal, sabendo-se
que o imposto de renda é 20% do lucro.

14. Resolução
Pd = - 0,0012 . x + 9,8
R = (-0,0012 . x + 9,8) . x
R = -0,0012 . x² + 9,8 . x
L=R–C

15. Resolução
L = - 0,0012 . x² + 9,8 . x – 2 . x
L = - 0,0012 . x² + 7,8 . x
L líquido = (100% - 20%)/80% . L
L líquido = 0,80 . (-0,0012 . x² + 7,8 . x)

16. Revisão 7
7. Certa máquina foi comprada por
R$3000,000 e vendida depois de 15 anos
por R$750,00. Expresse o valor V da
máquina como função do tempo, em anos

17. Resolução
Depreciação linear: V = -150 . t + 3000
t = tempo em anos
V = taxa de preciação . t + Va
Taxa de depreciação:
750-3000/15 = $-150/ano

18. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
∆y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
f ′( x0 ) = Lim = Lim
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x

19. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
∆X
Xo Xo + ∆ X

20. Mudança

21. Regra do Tombo Pág. 138
I – Se f(x) = xn então f(x) = n + xn-1
Regra do Tombo
Exemplos:
a) f(x) = x5 5x4
b) f(x) = x2 2x1

22. Outros exemplos
c) f(x) = x 1x0 =1
d) f(x) = x2,5 2,5x1,5
e) f(x) = x-2 -2x-3

23. f (x + ) =?
= x² + 2x + ²
f (x + ) – f (x)
x² + 2x - x² - ²

24. Resultado
= 2x +

25. Exercícios
Se f ( x ) = k . xn então f’ ( x ) = k . n . xn-1
Exercícios:
f ( x ) = 3x5 = 3 . 5 x4 = 15x4
f ( x ) = 5x-2 = 5 . -2 x-3 = -10x-3

26. DERIVADA
Se f(x) K então f’(x) = 0
Exercício 1
f(x) = 3
f’(x) = 0

27. DERIVADA
• Exercício 2
f(x)= 2/3
f’(x) = 0

28. DERIVADA
• Exercício 3
f(x)=
f’(x) = 0

29. Regra do Tombo
• Se f(x) = g(x) + h(x) ou f(x) = g(x) – h(x)
então f’(x) = g’(x) – h’(x) ou f(x) = g(x) –
h(x).
• Exercício 1
f(x) = x³ + x²
f’(x) = 3x² + 2x

30. Regra do Tombo
Exercício 2
f(x) = 2x³ - 5
f’(x) = 2. x² - 0
f’(x) = 2x²

31. Exercícios do livro
• Página 139
Exercícios 5 (a ao i, t e u)

32. Exercício 139 - Resolução
• a) f(x) = 10 f’(x) = 0
• b) f(x) = x5 f’(x) = 5x4
• c) f(x) = 10x5 f’(x) = 10.5x4 = 50x4
• d) f(x) = 1/2x² f’(x) = 1/2 . 2x = 1x
• e) f(x) = x² + x³ f’(x) = 2x + 3x²
• f) f(x) = 10x³ + 5x² f’(x) = 30x² + 10x
• g) f(x) = 2x + 1 f’(x) = 2.1x + 0 = 2

33. Resolução
• h) f(t) = 3t² - 6t – 10
f(t) = 3.2.t – 6.t – 0
f(t) = 6t – 6
• f(u) = 5u³ - 2u² + 6u + 7
f(u) = 5.3u² - 2.2u + 6.1 + 0
f(u) = 15u² - 4u + 6

34. Resolução
• t) f(x) = x 2/3
f(x) = 2/3x1/3

35. Função Logarítmica
Se f(x) = lnx então f’(x)= 1/x (x > 0)
a) f(x) = 3.ln.x
f’(x) = 3.1/x = 3/x
b) f(x) = lnx/3 = 1/3lnx
f’(x) = 1/3 . 1/x = 1/3x

36. Função Exponencial
Se f(x)= ax então f’(x)=ax. lna
(a>0; a diferente 1)
a) f(x) = 3x
f’(x) = 3x ln3
b) f(x) = 2x
f’(x) = 2x ln2

37. Exercícios
a) f(x) = 3x4 + 2.5x – lnx + 10
f’(x) = 3.4x3 + 2.5x ln5 – 1/x + 10
f’(x) = 12x3 + 2.5x ln5 – 1/x
b) f(x) = 3x + 4 + x²/5 + lnx/5 + 2.3x
f(x) = 3.1 + 0 + 1/5.2x + 1/5.1/x + 2.3xln3
f(x) = 3+2/3x +1/5x + 2. 3xln3

38. Exercício Casa
Página 139
Exercício 5 – j e k
Página 141
Exercício 6 – i, j e k

39. Regra do Produto
Se f(x) = g(x) . h(x)
então
f’(x) = g’(x). h(x) + g(x) . h’(x)

40. Exercício – Regra do Produto
f(x) = x² . (x + 3)
f’(x) = 2x . (x + 3) + x² . 1 + 0
Melhorando...
f’(x) = x² + 2x² + 6x
f’(x) = 3x² . 6x

41. Pela regra do tombo...
f(x) = x² . (x + 3)
realiza a distributiva...
f’(x) = x³ + 3x²
f’(x) = 3x² + 3.2x
f’(x) = 3x² + 6x

42. Exercício
f’(x) = x² . 3x
regra do produto...
f’(x) = 2x . 3x + x² . 3x ln 3
f’(x) = 2x . 3x + x² . 3x . 1,0986

43. CUSTO MARGINAL
LISTA - MOODLE

44. Custo Marginal
É a derivada da fração CUSTO
a) C = 0,3x³ - 2,5x² + 20x + 200
C = 0,3 . 3x² - 2,5 . 2x² + 20 + 0
Cmg = 0.9x² - 5x + 20

45. Continuação
b) Cmg (5) = 0,9 . 5² - 5 . 5² + 20
Cmg (5) = 0,9 . 25 - 5 . 25 + 20
Cmg (5) = $17,50
O custo aproximado de
Resposta:
produção da 6º unidade é
$17,50.

46. Continuação
c) Cmg (10) = 0,9 . 10² - 5 . 10 + 20
Cmg (10) = 0,9 . 100 - 5 . 10 + 20
Cmg (10) = 90 – 50 + 20
Cmg (10) = $60
O custo aproximado de
Resposta:
produção da 11º unidade é $60.

47. Exercício
O custo de fabricação de x canetas é dado
por:
C(x) = 250 + 50/x + x²/5
C(x) = 0 + 50x-1 + 2x/5
C(x) = 50 . -1 x-2 + 2x/5
C(x) = -50x-2 + 2x/5

48. Continuação
Cmg (10) = -50 10-2 + 2.10/5
Cmg (10) = -50.1/100 + 20/5
Cmg (10) = -0,5 + 4
Cmg (10) = $3,50
O custo aproximado de
Resposta:
produção da 11º unidade é
$3,50.

49. Continuação
Custo Real: ?
C(x) = 250 + 50/x + x²/5
C(11) = custo total de produção das onze primeiras
unidades é:
C(11) = 250 + 50/11 + 11²/5 = $278,8
C(10) custo total de produção das dez primeiras unidades.
C(10) = 250 + 50/11 + 10²/5 = $275

50. Exercício
• O custo de fabricação de x canetas é
dado por:
C(x) = 40 + 3x + 9 raiz de x
C(x) = 0 + 3 + 9 x1/2
Cmg(x) = 3 + 4,5x-1/2

51. Continuação
• a)Encontre o custo marginal da 26ª
unidade produzida.
Cmg(x) = 3 + 4,5x-1/2
Cmg(25) = 3 + 4,5 . 25-1/2
Cmg(25) = 3 + 4,5 . 0,20
Cmg(25) = 3 + 0,9
Cmg(25) = 3,9

52. Continuação
• b)Encontre o número de unidades
produzidas quando o custo marginal é
$4,50
?

53. Exercício
1. Seja C(x) = 1000 + 3x + 1/20x² a função
custo total associada à produção de um
bem, e na qual x representa a
quantidade produzida. Determinar:
C(x) = 1000 + 3x + 1/20x2
C(x) = 0 + 3.1 + 0,05x-2
C(x) = 3 + 0,05 . -2 . x-3
C(x) = 3 - 0,10.x-3

54. Continuação
• O custo marginal da 21ª unidade.
C(20) = 3 - 0,10 20-3
C(20) = 3 - 0,10.0,000125
C(20) = 3 - 0,000013
C(20) = $2,999988
O custo aproximado de
Resposta:
produção da 21º unidade é
$2,999988.

55. Continuação
• Os valores de x para os quais o custo
marginal é zero, caso existam.

56. RECEITA MARGINAL
Exercícios

57. Exercício
• Dada a função receita total: R(x) = -4x2 +
500x, obtenha:

58. Continuação
– A receita marginal:
R(x) = - 4x² + 500x
Rmg(x) = -4.2x +500.1
Rmg(x) = -8x + 500

59. a)
– A receita marginal quando x = 10 e interprete
o resultado,
– Rmg(10) = -8x + 500
– Rmg(10) = -8.10 + 500
– Rmg(10) = -80 + 500
– Rmg(10) = $420

60. b)
– A receita marginal quando x = 20 e interprete o
resultado.
– Rmg(20) = -8.20 + 500
– Rmg(20) = -160 + 500
– Rmg(20) = 340
O receita aproximado de
Resposta:
produção da 21º unidade é $340

61. Exercício
• Se a função de demanda for p = 20 – 2x, obtenha a
receita marginal para a 5ª unidade vendida.
R = pd . x
R = (20 – 2x) . X
R = 20x – 2x²
R = 20 . 1 – 2 . 2x
Rmg = 20 – 4x
Rmg = 20 – 16 = $ 4
A Receita aproximada obtida com a venda da 5º unidade é
de $4.

62. Exercício
Se R(x) = 600x – x³/20 é a função receita
total prevista para a venda de x
televisores, pede-se:

63. a)
– A função receita marginal,
R(x) = 600x – x³/20
Rmg(x) = 600 – 3x²/20

64. b)
– A receita marginal quando x = 30,
Rmg(30) = 600 – 3 30²/20
Rmg(30) = 600 – 3 . 900/20
Rmg(30) = 600 – 3 . 45
Rmg(30) = 600 – 135
Rmg(30) = $465

65. c)
– A receita efetiva da venda do 31º aparelho de
televisão.
Receita Real ou Efetiva
R(x) = 600x – x³/20
R(31) = 600.31 – 31³/20
R(31) = 18600 – 29791/20
R(31) = 18600 – 1489,55
R(31) = $17110,45

66. Continuação
R(x) = 600x – x³/20
R(30) = 600.30 – 30³/20
R(30) = 18000 – 27000/20
R(30) = 18000 – 1350
R(30) = $16650,00
R(31) – R(30) = x
$17110,45 - $16650,00 = x
X = $460,45

67. Exercício
• A receita R (em milhões de dólares) da
Dairy Queen de 1989 a 1993 admite
como modelo
R = 1,83t³ – 3,7t² + 37,97t+ 255,4
onde t = o representa 1989 (Fonte:
Intenational Dairy Queen).

68. Função Marginal
• R = 1,83t³ – 3,7t² + 37,97t+ 255,4
Rmg(x) = 1,83 . 3 t² - 3,7 . 2 t + 37,97 + 0
Rmg(x) = 5,49t² - 7,4t + 37,97

69. a)
• Ache a inclinação do gráfico em 1990 (t=1) e em
1992 (t=3),
Rmg(1) = 5,49 . 1² - 7,4 . 1 + 37,97
Rmg(1) = 5,49 – 7,4 + 37,97
Rmg(1) = 36,06 milhões de dólares
De 1990 para 1991, a receita da Empresa
aumentou aproximadamente em $36,06 milhões
de dólares

70. Continuação
• e em 1992 (t=3):
Rmg(3) = 5,49 . 3² - 7,4 . 3 + 37,97
Rmg(3) = 5,49 . 9 - 7,4 . 3 + 37,97
Rmg(3) = 49,41 – 22,23 + 37,97
Rmg(3) = 65,15 milhões de dólares

71. b)
• Quais são as unidades de inclinação do gráfico?
Interprete essa inclinação no contexto do
problema.
Unidades:
Milhões de dólares/ ano
De 1992 para 1993, a receita da Empresa
aumentou aproximadamente em $65,15 milhões
de dólares

72. Exercício
• Determine, pela definição, a derivada
das funções:
a) f(x) = x + 5

73. Resolução
a) f(x + Variação x) = x + variação x + 5
Taxa Média Variação
TMV = Variação y / Variação x
TMV = x + variação 0 + 5 – (x +5) / Variação x = 1
Portanto:
lim Ax = 0 Variação y / Variação x = Lim ax = 0 = 1

74. b)
f(x) = 1/x + 5
F(x + variação x) = 1/x + variação x + 5

75. Exercício 2
• Derive usando as regras:
F(x) = 3 . 5x + ln x / 5 + 3x . x²
F’(x) = 3 . 5x . ln5 + 1 / 5 . 1/x + 3x ln3 . X² + 3x . 2x

76. Exercícios – 20/09
Obtenha, pela definição, as derivadas
das funções:
a) f(x) = x + 5
TM V = x+ + 5 – (x+5) /

77. Resolução a)
• lim / = 1
=0

78. b)
Obtenha, pela definição, as derivadas das
funções:
b) f(x) = 1/x + 5

79. Resolução
b) f(x + ) = 1/x + 5
TMV = 1/x + 1/ + 5 - (1/x + 5) /
lim = /
=0

80. Exercício c)
c) f(x) = x² + 5
TMV = 2x + - (x² + 5)

81. Regra do Quociente
Se
f(x) = g(x) / h (x)
então
f’(x) = g’(x).h(x) – g(x).h’(x)/[h(x)]²

82. Exemplo
1) f(x) = 3x / x²
f’(x) = 3x ln 3. x² - 3x . 2x / (x²)²
3x ln 3. x² - 3x . 2x / x4

83. Exemplo
2) f(x) = ln.x / 3x
f’(x) = 1/x . 3x - ln.x . 3x ln 3 / (3x)²
melhorando...
f’(x) = 3x/x - ln.x . 3x ln.3 / 32x

84. Otimização de funções – Pág. 179
(Obter pontos de máximo ou de mínimo)
1º passo: Obter f’ (Obter a 1º derivada de f)
2º passo: Resolver a equação f’ = 0
3º passo: Obter f’’ (Obter a 2º derivada de f)
4º passo: Substituir a solução obtido no 2º passo em f’’
Se o resultado der + então a solução será ponto mínimo.
Se o resultado der - então a solução será ponto máximo.
Se o resultado der zero, o critério não se aplica.

85. Pág. 179 – Exemplo 6.10
Encontre os pon/2tos de máximo e mínimo
da função f(x) = x³/3 – 5/2x² + 4x + 3

86. Resolução
f(x) = x³/3 – 5/2x² + 4x + 3
1º passo:
f’ = 3x²/3 – 5/2 . 2x + 4.1 + 0
f’ = x² - 5x + 4

87. Continuação
2º passo:
f’ = x² - 5x + 4
x² - 5x + 4 = 0
báskara...
x’ = 1
x’’ = 4

88. Continuação
• 3 passo:
f’ = x² - 5x + 4
f’’ = 2x – 5
f’’(1) = 2.1 – 5 = -3
f’’(4) = 2.4 – 5= + 3

89. Definir:
4º passo:
f’’(1) = 2.1 – 5 = - 3 é ponto de máximo
f’’(4) = 2.4 – 5= + 3 é ponto de mínimo
OBS: É o inverso...

90. Pág. 180 - Exemplo 38
a) f(x) x² - 4x + 5
1º f’(x) = 2x - 4
2º f’’ = 0 2x – 4 = 0 x=2
3º f’’ = 2 (Não tem x; é uma função constante)
4º f’’ (2) = + 2 é ponto de máximo

91. Ponto de Inflexão
Aplicação Economia

92. Definição
O ponto (c; f(c)) é chamado, em economia,
de ponto de retorno decrescente. Uma
investimento além deste ponto é
considerado má aplicação de capital.
(O mesmo valor de c quando passa o
ponto de PI não é tão vantajoso caso ele
não ultrapasse esse mesmo ponto)

93. Exemplo
Sejam x o gasto com propaganda (em
milhares de dólares) e y as vendas (em
milhares de dólares) de um produto, de
acordo com o modelo.
Y = 1/10000 . (300x² - x³)
*com 0 <= x <=200

94. Ache o ponto de diminuição de
resultados:

95. Resolução
1º passo: y’ = 1/10000 . (300 2x - 3x²)
y’ = 1/10000 . (600x - 3x²)
2º passo y’’ = 1/10000 . (600 - 6x)
3º passo: Estudar o sinal de “y”

96. Resolução 3º passo
y’’ = 1/10000 . (600 – 6x) é uma reta
descrente, a = -6 < 0
Raiz: 1/10000 . (600 – 6x) = 0
600 = 6x
X = 100

97. Estudo do Caso

98. Resposta
INVESTIR mais de 100 milhões em
propaganda para aumentar as vendas é
considerado má aplicação de capital.

99. Exercícios
Para cada função, R é a receita e x é a
quantia gasta com propaganda.

100. A)
R = 1/50000 (600x² - x³)
0 <= x <=400

101. Resolução
1º passo: R’ = 1/50000 . (600x . 3x²)
2º passo: R’ = 1/50000 . (600 . 6x)
3º passo: Estudo do sinal “R”

102. Resolução – 3º passo
R’’ = 1/50000 . (600 – 6x)
(é uma reta decrescente; a = -6 < 0)
Raiz: 1/10000 . (600 – 6x) = 0
600 – 6x = 0
x = 100

103. Estudo do Caso

104. Resposta
Investir mais de 100 milhões em
propaganda para aumentar as vendas é
considerado má aplicação de capital.

105. b)
R’’ = -4/9 (x³ - 9x² - 27)
0<= x <=5

106. Resolução
1º passo: R’’ = -4/9 . (3x² - 18x - 0)
R’’ = -4/9 . (3x² - 18x)
2º passo: R’’ = -4/9 . (6x – 18)
3º passo: Estudo do sinal de “R”

107. Resolução – 3º passo
R’’ = -4/9 . (6x – 18)
(é uma reta crescente; a = 6 > 0)
Raiz: -4/9 . (6x – 18)
6x = 18
x = 18/6
x=3

108. Estudo do caso

109. Resposta
INVESTIR mais de 3 mil dólares em
propaganda dará maior retorno nas
vendas.

110. Exercícios
Otimização
Pág. 180
38 a) ao e)
51 a)
52
54 ao 63
Ponto de inflexão
Pág 182
64

111. Exercício
Função custo
C = 0,1x² + 5x + 20
Função demanda
Pd = 10 – x/20
Determine x para que o lucro seja máximo
e o valor do lucro máximo.

112. Resolução
R = pd . X
R = (10 – 0,05x).x = 10x – 0,05x²
L=R–C
L = 10x – 0,05x² - (0,1x² + 5x + 20)
L = 10x – 0,05x² - 0,1x² - 5x – 20
L = 5x – 0,15x² - 20

113. Passos
1º passo: L’ = 5 – 0,3x
2º passo:
5 – 0,3x
-0,3x = -5
0,3x = 5
x = 5/0,3 = 16,6

114. Passos
3º passo: L’’ = - 0,3 (Função constante)
4º passo: L’’(16,6) = -0,3 = -
x= 16,6 unidades maximiza o lucro
Valor do lucro máximo: L= 5.16,6 – 0,15 .
16,6² - 20 = $ 21,67

115. Construção de Gráfico
com auxílio das derivadas
Esboce o gráfico de f(x) = x4 – x3
1º passo: Obter as raízes de f(x)
x4 – x3 = 0
x3 (x – 1) = 0
x3 = 0
x=0
x - 1= 0
x=1

116. 2º passo:
Obter os P.M. e F.M. de f(x)
[isto é, otimizar f(x)]
f’ = 4x³ - 3x²
4x³ - 3x² = 0
x² (4x – 3) = 0
x² = 0
x=0
ou
4x – 3 = 0
x = ¾ = 0,75

117. Continuação
f’’ = 12x² - 6x
f’’(0) = 12 . 0² - 6.0 = 0 nada podemos afirmar sobre x = 0
f’’(0,75) = 12 .0,75² - 6 . 0,75 = + 2,25 = +
X = 0,75 é P.M.

118. Continuação
f’’ = 12x² - 6x
12x² - 6x = 0
x . (12x – 6) = 0
x=0
ou
12x – 6=0
X=6/12 =
x = 0,5

119. P.I.

120. Último passo
4º passo:
Construção do gráfico

121. Gráfico

122. Exercício 2
F(x) = x4 – 2x²

123. Resolução
1º passo: Raízes
x4 – 2x² = 0
x² . (x² - 2) = 0
x² = 0
Ou
x² - 2 = 0
x² = +- 1,41

124. 2º passo: OTIMIZAR
f’ = 4x³ - 4x
4x³ - 4x = 0
x . (4x² - 4) = 0
x=0
ou
x = +- 1

125. f’’ = 12x² - 4
f’’ (0) = -4 = - x=0 é P.M.
f’’ (1) = 8 = + x=1 é P.M.
f’’ (1) = 8 = + x = -1 é P.M.

126. 3º passo: PI
f’’ = 12x² - 4
12x² - 4 = 0
12x² = 4
x² = 1/3
x = +- 0,57

127. Gráfico

128. Explicação

129. 4º passo (Estudo do sinais)

130. Gráfico
Final

131. Exercício 3
F(x) = x³ + 3x² - 9x + 5
Sabendo-se que:
F(x) = (x-1)² . (x+5)

132. 1º passo
(x-1)² . (x+5)
(x – 1)² = 0
(x – 1) = 0
x =1
ou
x+5=0
X = -5

133. 2º passo OTIMIZAR
f’ = 3x² + 6x – 9
3x² + 6x – 9
Báskara
x = -6 + 12/ 2
x’ = 1
x’’ = -3

134. 3º passo PI
f’’ = 6x + 6
6x + 6 = 0
x = -1
f’’ = 6x + 6
f’’ (1) = + x = 1 é PIM
f’’ (3) = - x = -3 é PIM

135. 3º passo
f’’ = 6x + 6
6x + 6 = 0
x = -1

136. PI

137. 4º passo Estudo do Sinal

138. Gráfico

139. Exercício 4
F(x) = -3x5 + 5x³

140. Cap. 7 – Integrais
pág. 186
• Integral indefinida
Chamamos de integral indefinida de g(x), e
indicamos pelo símbolo.
g(x) dx, a uma função f(x) adicionada a
uma constante c

141. Exemplo
g(x) . dx = f(x) + c
Tal que f’(x) = g(x)

142. 1 - Exercícios
2x dx = x² + c
2
derivada

143. 2 - Exercícios
3x² dx = x³ + c
3x²
derivada

144. 3 - Exercícios
5dx = 5x + c
5
derivada

145. Regras
xn dx = xn + 1 / n + 1 + c n diferente de 1
1/x dx = ln x + c
[f(x) +- g(x)] dx = f(x) dx +- g(x) dx
K . f(x) dx = K . f(x) dx

146. 1º regra
Pág. 188
a) 2x³ dx
2 . x³ dx
2 . x4 / 4 + c
x4 / 2 + c

147. 1º regra
b)
(x² + 3x) dx
x³/3 + 3 . x²/2 + c

148. 1º regra
c)
(x³ - 3x) dx
x³/3 – 3.x²/2 + x

149. 2º regra
g)
5/x dx
5 . Ln x + c

150. p)
2 ex dx
2 . ex + c

151. d)
(5 – x) dx
5x – x²/2 + c

152. e)
5 dx
5x + c

153. f)
(3x³ - 2x² + 8x – 6) dx
3x4 / 4 – 2.x³ / 3 + 84 . x²/2 – 6x + c

154. h)
(x² + 6/x) dx
x³ / 3 + 6 . Ln x + c

155. j)
(x-3 + x² - 5x) dx
x-2 / 2 + x³ / 3 - 5x² / 2 + c

156. k)
x dx
x1,5 / 1,5 + c

157. L)
3
5 x dx
5 . x1/3 / 1/3 + 1 + c
5 . x1/3 / 4/3 + c
15.x4/3 / 4 + c

158. m)
5 + 3 dx
x1,5 / 1,5 + x4/3 / 4/3 + c

159. n)
(x² - 3x + 5/ x²) dx
(1 – 3/x + 5/x²) dx
x – 3lnx + 5.x-1/ 1 + c
x – 3lnx - 5.x-1/ 1 + c

160. q)
(3ex + x³) dx
3 ex + x4/4 + c

161. Integral Derivada
10/11

162. Exemplo
5 5
x² dx = x³/3 + c
2 2

163. 5
X=5
5³/3 + c = 125/3 + c

164. 2
X=5
2³/3 + c = 8/3 + c

165. Resultado
(125/3 + c) - (8/3 + c) = 117/3
*sempre será um número!

166. Aplicação
Cálculo das áreas

167. Exemplo

168. Área
2
Área = (2x - x²) dx
0

169. Resolução
2
Área = 2 x²/2 – x³/3 + c
0
2
Área = x² – x³/3 + c
0

170. 2
X=2
2² - 2³/3 + c = 4 - 8/3 + c = 12 – 8/3 + c
Resultado...
4/3 + c

171. 0
X=0
0² - 0³/3 + c
Resultado...
=0+c

172. Resultado
(4/3 + c) - (0 + c) = $4/3
*sempre será um número!

173. Demanda x Oferta

174. Aplicação econômica:
Excedente do Consumidor e do Produtor
E.C. E.P.
Página 202

175. 1º E.C. - pág. 201
X equi
EC = (Pd – Pequilíbrio) . dx
0

176. 2º E.P. - pág. 202
X equi
EC = (Pequilíbrio - Po) . dx
0

177. Exemplo

178. Determine E.C.
Resolução:
Obter o equilíbrio de mercado:
Po = Pd
x² + 10 = 30 – x
x² + 10 – 30 + x = 0

179. x² + x - 20
X’ = - 5 (Descartar)
X’’ = 4

180. Substituir
x = 4 em Po ou em PE
Pd = 30 – x
Pd = 30 – 26
Pd = $26
Po = x² + 10
Po = 4² + 10
Po = $26

181. E.C.
4
E.C. = (30 – x – 26) dx
0
Resolução...
4
= (4 - x) dx
0 4
= 4. x – x²/2 + x
0

182. 4
X=4
4.4 – 4²/2 + c = 16 - 8 + c =
Resultado...
8+c

183. 0
X=0
4.0 – 0²/2 + c
Resultado...
=0+c

184. Resultado
(8 + c) - (0 + c) = $8
*sempre será um número!

185. E.P.
4
E.P. = [26 – (x² + 10) dx]
0
Resolução...
4
= (16 – x²) dx dx = xn+1/n+1
0 4
= 16 . x – x³/3 + x
0

186. 4
X=4
16.4 – 4³/3 + c =
Resultado...
128 + c

187. 0
X=0
16.0 – 0³/3 + c
Resultado...
=0+c

188. Resultado
(126/3 + c) - (0 + c) = $126/3
O RESULTADO É QUANDO O PRODUTOR GANHA NO EQUILÍBRIO DE
MERCADO
*sempre será um número!

189. Exercícios
Revisão

190. As funções Demanda e Custo
para um bem são:
• Pd = 75 – x
• C = 0,5x² = 62x + 125

191. 1)
Determine o E.C. e E.P. Pd = 10 –
0,00001x² e Po = 5 + 0,005x

192. 1) Resolução
Equilíbrio de Mercado: Pd = Po
10 – 0,00001x² = 5 + 0,005x
- 0,00001x² - 0,005x + 5
0,000025 + 0,0002
0,000225

193. Continução
+ 0,005 +- 0,015 / - 0,00002
x’ = - 1000 (Descatar)
x’’ = +500 unidades

194. Substituir
Po = 5 + 0,005 x
Po = 5 + 0,005 . 500
Po = 5 + 2,5
Po = $7,5

195. E.C.
500
E.C. = Pd – Pequilíbrio
0
E.C. = (10 – 0,00001x² - 7,5) dx
= (-0,00001x² – 2,5)dx
500
= -0,00001x³/3 – 2,5x + c
0

196. Continuação
= - 0,00001 . 500³/3 + 2,5. 500
= - 0,00001 . 125.000.000/3 + 1250
= - 0,00001 . 41.666.666,7 + 1250
= - 416,667 + 1250
= + $833,33

197. E.P.
E.P. = (Pequílbrio – Po)
E.P. = [7,5 – (5 + 0,005x)] dx
E.P. = 2,5x – 0,005x²/2
E.P. = 2,5 . 500 – 0,005 . 500²/2 = $625

198. 2) Questões
a) b)
Que nível de Que nível de
produção (x) produção (x)
proporcionará lucro proporcionará custo
máximo? médio mínimo?

199. 2) Resolução
a) R = pd . X
R = (75 – x) . x = 75x – x²
L=R–C
L = 75x – x² - (0,5x² + 62x + 125)
L = -1,5x² + 13x - 125

200. Continuação
L = -1,5x² + 13x – 125
1º passo: Otimizar o Lucro
L’ = -3x + 13
2º passo:
L’ = 13/3
L’ = 4,33 unidades

201. Continuação
3º passo:
L’’ = -3 Função Constante
4º passo:
L’’(4,33) = -
(Negativo, logo x = 4,33 unidade maximizará o lucro.)

202. 2) Resolução
b) Custo Médio
Custo Médio / x
CMédio = 0,5x² + 62x + 125 / x
CMédio = 0,5x + 62 + 125 / x

203. Continuação
1º passo:
Otimizar o custo médio:
1º passo: C’Médio = 0,5 – 125 x-2
2º passo: 0,5 – 125 / x²

204. Continuação
0,5 – 125 / x² = 0
0,5x² = 125
x=
x = +- 15,81

205. Continuação
3º passo:
C’Médio = - 125 . -2-3
C’Médio = 250x-3
C’Médio (15,81) = 250 . 15,81-3
4º passo:
C’Médio (15,81) = +
(Portanto, logo x = 15,81 minimizará o Custo Médio)

206. 3) Questão

207. Determine o limite?
lim f(x) = + infinito
X – 5+

208. b)
lim f(x) = - infinito
X – 5-

209. c)
lim f(x) = não existe
X–5

210. OBS:
Só existiria se:
Lim f(x) = lim f(x)
X – 5- X – 5+

211. d)
lim f(x) = 0
X + infinito
Tende para o zero!

212. e)
lim f(x) = 0
X - infinito
Tende para o zero!

213. 3) Questão - Derive
a) f(x) = 3x . x² + x³ . ln x
Regra do Produto
f’(x) = (3x . ln 3 . x² + 3x . 2x)
+
(3x². ln x + x³. 1/x)
=
(3x . ln 3 . x² + 3x . 2x + 3x². ln x + x²)

214. b)
f(x) = 3x / x² + x³ / ln x
Regra do Quociente
f’(x) = 3x ln 3 - 3x. 2x / x4
+
3.x² . ln x – x³ . 1/x/ (ln x)²
f’(x) = 3x ln 3 - 3x. 2x / x4 + 3.x² . ln x – x² / (ln x)²