(1) O documento apresenta três limites e pede para determiná-los. (2) Pede para verificar se uma função é contínua ou descontínua em um ponto. (3) Pede para diferenciar três funções. (4) Pede para calcular três integrais definidas.

1. ˜
QUESTOES
1 Determine os limites.
9−t 1 4
(a) (1,0) lim √ . (b) (1,0) lim − 2 .
t→9 3− t x→2 x−2 x −4
sen 3y
(c) (1,0) lim .
y→0 sen 4y
Resolu¸˜o:
ca
(a) Uma vez que temos uma indetermina¸˜o do tipo 0 , ent˜o poderemos usar,
ca 0
a
nesse caso, a Regra de L’Hospital. Assim temos
9−t −1 1 √
lim √ . = lim 1 (−1/2) = lim 1 = lim 2 t = 6
t→9 3− t t→9 − t t→9 √ t→9
2 2 t
Outro m´todo de se resolver esta quest˜o ´ da seguinte forma:
e a e
√ √
9−t 9−t 3+ t (9 − t) × (3 + t)
lim √ = lim √ × √ = lim
t→9 3 − t t→9 3 − t 3+ t t→9 (9 − t)
9−t √
⇒ lim √ = lim(3 + t) = 6.
t→9 3 − t t→9
1

2. (b)
1 4 1 4
lim − 2 = lim −
x→2 x−2 x −4 x→2 x − 2 (x − 2)(x + 2)
(x + 2) − 4 (x − 2)
= lim = lim
x→2 (x − 2)(x + 2) x→2 (x − 2)(x + 2)
1 1
= lim = .
x→2 (x + 2) 4
(c)Uma vez que temos uma indetermina¸˜o do tipo 0 , ent˜o poderemos usar,
ca 0
a
nesse caso, a Regra de L’Hospital. Assim temos
3 × lim (cos 3y)
sen 3y (cos 3y) × 3 y→0 3
lim = lim = =
y→0 sen 4y y→0 (cos 4y) × 4 4 × lim (cos 4y) 4
y→0
Ou
sen 3y
3sen 3y 3 lim
sen 3y 3y y→0 3y 3
lim = lim 4sen 4y = =
y→0 sen 4y y→0 sen 4y 4
4y 4 lim
y→0 4y

 1 + x2 se x < 1
2 - (1,0) - Verifique se a fun¸˜o f (x) =
ca ´ cont´
e ınua ou descon-
 −5 se x ≥ 1
t´
ınua em a = 1.
Resolu¸˜o: Temos que
ca
lim f (x) = lim (−5) = −5 e lim f (x) = lim (1 + x2 ) = 2.
− −
x→1+ +
x→1 x→1 x→1
Uma vez que, lim f (x) = lim f (x) ⇒ lim f (x) n˜o existe. Logo, f ´ descont´
−
a e ınua
+
x→1 x→1 x→1
em a = 1.
3 Diferencie a fun¸˜o.
ca
(x2 + 1)4 1 + sen x
(a) (1,0) G(x) = . (b) (1,0) y = .
(2x + 1)3 (3x − 1)5 x + cos x
(c) (1,0) F (x) = (2x3 + x)4 .
Resolu¸˜o:
ca
(a) Para encontrarmos a derivada dessa fun¸˜o utilizaremos o m´todo da difer-
ca e
encia¸˜o logar´
ca ıtmica. Assim, temos:
2

3. (x2 + 1)4
G(x) =
(2x + 1)3 (3x − 1)5
Tomemos o logaritmo natural em ambos os lados desta equa¸˜o e usando as
ca
Leis do Logaritmo para simplificar temos
ln G(x) = 4ln (x2 + 1) − [3ln (2x + 1) + 5ln (3x − 1)]
Diferenciando-se implicitamente em rela¸˜o a x temos:
ca
1 1 1 1
G (x) = 4× × 2x − 3 × ×2 − 5× ×3
G(x) x2 +1 2x + 1 3x − 1
G (x) 8x 6 15 8x 6 15
⇒ = − − ⇒ G (x) = G(x)× − −
G(x) x2 + 1 2x + 1 3x − 1 x2+ 1 2x + 1 3x − 1
(x2 + 1)4 8x 6 15
⇒ G (x) = − −
(2x + 1)3 (3x − 1)5 x2 + 1 2x + 1 3x − 1
OBS.: Tamb´m podemos resolver esta quest˜o utilizando a Regra do Quociente.
e a
(x + cos x)cos x − (1 + sen x)(1 − sen x) xcos x + cos2 x − (1 − sen2 x)
(b) y = =
(x + cos x)2 (x + cos x)2
xcos x + cos2 x − 1 + sen2 x
⇒y = .
(x + cos x)2
Uma vez que sen2 x + cos2 x = 1. Assim temos,
xcos x − 1 + 1 xcos x
y = 2
=
(x + cos x) (x + cos x)2
(c) F (x) = 4(2x3 + x)3 (6x2 + 1)
4 Calcule as integrais:
1
(a) (1,0) ex + x3 + 2x2 + dx.
x
(b) (1,0) x cos x dx.
1 √
(c) (1,0) x 1 − x dx.
0
Resolu¸˜o:
ca
1 x4 2 3
(a) ex + x3 + 2x2 + dx = ex + + x + ln |x| + C
x 4 3
(b) x cos x dx.
3

4. Integraremos por partes. Sejam u = x e dv = cos x dx. Da´ temos que: du = dx
ı
e v = sen x. Segue que
x cos x dx = xsen x − sen x dx = xsen x + cos x + C
1 √
(c) x 1 − x dx.
0
Utilizaremos aqui a regra da substitui¸˜o. Seja u = 1 − x, da´ temos que
ca ı
du = −dx ⇒ dx = −du e x = 1 − u. Os novos limites de integra¸˜o s˜o:
ca a
quando x = 0 ⇒ u = 1 e quando x = 1 ⇒ u = 0.
Assim temos
1 √ 0 √ 1
1/2
1
x 1 − x dx = − (1 − u) u du = − − (1 − u)u du = (u1/2 −
0 1 0 0
3/2 5/2 1 1
u u 2 3/2 2 5/2 2 2 4
u3/2 ) du = − ] = u − u = − =
3/2 5/2 0 3 5 0 3 5 15
4