O documento discute funções logarítmicas, definindo logaritmos, propriedades e exemplos de logaritmos com diferentes bases. Também apresenta gráficos das funções exponencial e logarítmica, equações e desigualdades logarítmicas.

1. Marcela Monteiro
FUNÇÃO LOGARÍTMICA

2. INTRODUÇÃO
O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático
escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo
inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos
deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os
cálculos excessivamente trabalhosos para a época,
principalmente na área da astronomia, entre outras. Através
dos logaritmos, pode-se transformar as operações de
multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras
transformações possíveis, facilitando sobremaneira os
cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e
pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação
para expoente, conforme veremos a seguir.

3. LOGARITMO
Dados os números reais b (positivo e diferente de
1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx =
N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto
é expresso simbolicamente da seguinte forma:
logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do
sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou
antilogaritmo e x é o logaritmo.

4. Exemplos:
152 = 225, logo: log15225 = 2
63 = 216, logo: log6216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0

5. NOTAS
1) Quando a base do sistema de logaritmos é igual a
10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na
representação simbólica escrevemos somente logN
ao invés de log10N. Assim é que quando
escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que
foi exposto, que 10x = N.
Ex: a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000

6. 2) Existe também um sistema de logaritmos
chamado neperiano (em homenagem a John
Napier - matemático escocês do século XVI,
inventor dos logaritmos), cuja base é o número
irracional e = 2,7183... e indicamos este
logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M.
Este sistema de logaritmos, também conhecido
como sistema de logaritmos naturais, tem grande
aplicação no estudo de diversos fenômenos da
natureza.
Ex: a) ln e = 1
b) ln 7 = loge7

7. CONSEQÜÊNCIAS
1) logb1 = 0
Ex: a) log21 = 0; b) log1ooo1 = 0;
2) logbb = 1
Ex: a) log1o10 = 1, b) log55 = 1
3) logaam = m
Ex: a) log225 = 5; b) log100010003 = 3

8. 4) alogab = b
Ex: a) 5log52 = 2; b)6log63 = 3
5) logab = logac ↔ b = c
Ex: a) log2x = log25 ↔ x= 5
b)log23= log2x ↔ x= 3

9. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
1)logb(A.B) = logbA+ logbB
Ex: log20 =log(2.10) = log2 + log10
2) logb(A/B) = logbA – logbB
Ex: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100

10. 3)logbAn = n.logbA
Ex: log5256 = 6.log525
4) logba= logc a / logc b
Ex: a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)

11. (UPE) Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771,
então:
a) log 14,4 = 1,1582 b) log 14,4 = 1,1882
c) log 14,4 = 1,4781 d) log 14,4 = 1,3071
e) log 14,4 = 1,1761
(COVEST) Sejam a e b números reias
positivos, tais que:
log2a – 2log2b = 2 Determine o valor da razão
√ a/ b²

12. (UNIRIO) O valor de 4log29 é:
a) 81 b) 64 c) 48 d) 36 e) 9
(PUC) se log 5 = x e log 3 = y, então log 375 é:
a) y + 3x b) y + 5x c) y – x + 3 d) y – 3x + 3
e) 3(y + x)
(UNIFOR) Se log52 = a e log35 = b, o valor
delog56 é:

13. (ITA) Aumentando 16 unidades a um número,
seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades.
Esse número é:

14. FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Considere a função y = ax , denominada função exponencial,
onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida
para todo x real.
Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para
todo x Є R, onde R é o conjunto dos números
reais.Denotando o conjunto dos números reais positivos
porR+* , poderemos escrever a função exponencial como
segue:
f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ≠ 1Esta função é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens
distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu
contradomínio.

15. Vamos determinar a função inversa da função y =
ax , onde 0 < a ≠ 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay y = logaxPortanto, a função logarítmica é
então:
f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a ¹ 1.Mostramos a seguir,
os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e
logarítmica ( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 <
a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os
seus gráficos são curvas simétricas em relação à
bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja,
simétricos em relação à reta y = x.

16. GRÁFICO

17. Para a > 1

18. Para 0 < a < 1

19. EQUAÇÕES
Equações logarítmicas são quaisquer equações que tenham a
incógnita (normalmente é x) dentro de um símbolo log.
Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral.
Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução
de uma equação logarítmica, é a seguinte:
Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação
ORIGINAL, a fim de verificar as condições de existência.
As soluções que não satisfizerem as condições de existência
devem ser DESCARTADAS!

20. a) log4(5x2 – 14x + 1) = log4(4x2 – 4x – 20)
b) log(x – 2)(2x2 – 11x + 16) = 2
c) 2(log2x)2 - 5 log2x + 2 = 0

21. (COVEST ) Considerando f(x) = 2x e g(x) = log2x, analise
as afirmações:
I II
0 0 f(x + y) = f(x) . f(y) para quaisquer x, y reais.
1 1 f(x)y = f(xy) para quaisquer x, y reais.
2 2 g(xy) = g(x) + g(y) se x, y são reais positivos.
3 3 g(x/y) = g(x) – g(y) se x e y são reais
positivos.
4 4 g(f(x)) = x para todo x real.

22. Sejam as funções f(x) = x² – x – 2 e g(x) = ex,
sendo e a base do sistema neperiano de
logaritmos. Então, se f(g(x)) = 0, podemos
afirmar que x é igual a:
a) 0 b) e² c) e d) 1 e)ln2
(UFRN) As soluções da equação 3x + 1 + 34 – x –
36 = 0 são a e b, sendo a < b. Encontre o valor da
expressão:log3(a + b) + log3(b – a).

23. Indique quantos dígitos possuí o número 264
(quando expresso no sistema de numeração
decimal). Use a aproximação: log 2 ≈ 0,30.
Sejam p, k e m números reais maiores que 1. Se a e
b são raízes da equação x² – px + km = 0, então
logkaa + logkbb + logkab + logkba é igual a:
a) m b) p c) mp d) -mp e) m/p

24. INEQUAÇÕES
a) log2x2 > log2(x + 2)
b) log2 (x +5) > 4
c) 3(log4x2) + 5(log4x) – 2 ≤ 0

25. Todos os dias Deus nos dá um momento em que é
possível mudar tudo que nos deixa infelizes. O
instante mágico é o momento que um SIM ou um
NÃO pode mudar toda a nossa existência."
(Paulo Coelho)