Notas de aulas de Geometria Analítica traz muitos exercícios resolvidos de conteúdos que são estudados no primeiro semestre dos cursos de Engenharia, além da teoria bem estruturada para apoiar os conceitos. Bons estudos e força sempre.
Resolução da lista 4 de Geometria Analítica, da Professora Cecília Chirenti, da UFABC.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Notas de aulas de Geometria Analítica traz muitos exercícios resolvidos de conteúdos que são estudados no primeiro semestre dos cursos de Engenharia, além da teoria bem estruturada para apoiar os conceitos. Bons estudos e força sempre.
Resolução da lista 4 de Geometria Analítica, da Professora Cecília Chirenti, da UFABC.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
Desenvolver o raciocínio lógico;
Familiarizar o aluno com o modelo sequencial de computação;
Apresentar técnicas e linguagens para representação e construção de algoritmos simples;
Apresentar conceitos básicos de linguagens de programação;
1. 60
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 8
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , definir uma
matriz que represente a transformação linear. Assim, ao invés de trabalharmos com a expressão da
transformação, passaremos a trabalhar com sua representação matricial.
Sejam U e V dois espaços vetoriais, sobre o mesmo corpo dos ℜ, de dimensão n e m,
respectivamente. Consideremos uma transformação linear VU:T → . Dadas as bases
}u,...,u,u{B n21= de U e }v,...,v,v{C m21= de V, então, os vetores )u(T),...,u(T),u(T n21
estão em V. Logo, se escrevem como combinação linear da base C. Assim:
+++=
+++=
+++=
mmn2n21n1n
m2m2221122
m1m2211111
va...vava)u(T
....................................................
va...vava)u(T
va...vava)u(T
Definição: A matriz mxn sobre ℜ, formada pelos escalares das combinações lineares acima, ou
seja,
=
mn2m1m
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P , é chamada matriz da transformação linear T em
relação às bases B e C, cuja notação será B
C]T[P = .
OBS: Note que, cada coluna da matriz P são as coordenadas dos vetores )u(T),...,u(T),u(T n21
em relação a base C, ou seja:
=
1m
21
11
1
a
...
a
a
)]u(T[ ,
=
2m
22
12
2
a
...
a
a
)]u(T[ ,...,
=
mn
n2
n1
n
a
...
a
a
)]u(T[
Exemplo (1): Seja )z2x,yx()z,y,x(T +−= uma transformação linear. Determine a matriz de T
em relação a base canônica do ℜ3
e a base )}1,1(),1,1{(C −= do ℜ2
.
2. 61
Solução: Seja )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B = a base canônica do ℜ3
. Aplicando a transformação nos
vetores da base B teremos:
=
−=
=
)2,0()1,0,0(T
)0,1()0,1,0(T
)1,1()0,0,1(T
. Escrevendo cada vetor como combinação linear da base C teremos:
−+=
−+=−
−+=
)1,1(f)1,1(e)2,0(
)1,1(d)1,1(c)0,1(
)1,1(b)1,1(a)1,1(
⇒
−−=
−−−=−
−+=
)1,1(1)1,1(1)2,0(
)1,1(
2
1
)1,1(
2
1
)0,1(
)1,1(0)1,1(1)1,1(
. Portanto, a matriz da
transformação é
−−
−
=
==
10
11
fdb
eca
]T[P
2
1
2
1
B
C .
Definição: Seja U um espaço vetorial sobre ℜ e B1 e B2 duas de suas bases. Seja Id o operador
identidade de U. As coordenadas de um vetor Uu ∈ , em relação as bases B1 e B2, estão
relacionadas por: 2
1
21 B
B
BB ]u[]Id[]u[ ⋅= . Onde, 1
2
B
B
]Id[ é a matriz de mudança da base B1
para a base B2.
Teorema (1): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C, bases de U e V,
respectivamente. Então: B
B
CC ]u[]T[)]u(T[ ⋅= .
Exemplo (2): Seja 2
t)yx(t)yx2()yx()y,x(T ++++−= . Sejam as bases )}0,2(),2,1{(B = do ℜ2
e }t2,t1,2{C 2
−+−= do P2(ℜ). Verificar o teorema (2) para )1,1(u −= .
Solução: Vamos determinar B]u[ que são as coordenadas do vetor um em relação a base B.
Fazendo: )0,2(b)2,1(a)1,1( +=− ⇒
=−
+=
a21
b2a1
⇒
−
=
4
3
2
1
B]u[ .
Determinando C)]u(T[ que são as coordenadas do vetor )u(T em relação a base C.
Então: 22
tt)22()t2()t1()2(t2)1,1(T γ−β+γ+β+α−=−γ++β+−α=+=− ⇒
=γ
=β
=γ+β+α−
0
1
222
⇒
−
=
0
1)]u(T[
2
1
C .
Determinando B
C]T[ que é a matriz de T em relação as bases B e C, teremos:
3. 62
−+++−=++=
−+++−=++−=
)t2(f)t1(e)2(dt2t42)0,2(T
)t2(c)t1(b)2(at3t41)2,1(T
22
22
⇒
−−
−−
=
23
44
1
]T[
2
1
B
C .
Verificando o teorema (2), fazemos:
−
=
−
⋅
−−
−−
=
0
1
23
44
1
)]u(T[
2
1
4
3
2
12
1
C
Teorema (3): Sejam VU:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B e C bases de U
e V, respectivamente. Então B
C
B
C
B
C ]S[]T[]ST[ +=+ .
Teorema (4): Sejam WV:SeVU:T →→ duas transformações lineares. Sejam B, C e D, bases
de U, V e W, respectivamente. Então: B
C
C
D
B
D ]T[]S[]TS[ ⋅=o .
Exemplo (3): Sejam )y2,yx()y,x(Se)zx,yx()z,y,x(T +=−+= duas transformações lineares.
Sejam )}1,1,1(),1,2,2(),1,0,1{(B −= , )}2,0(),1,1{(C = e )}2,1(),1,0{(D −= . Verificar
o teorema (4).
Solução: Determinando )z2x2,zyx2()zx,yx(S))z,y,x(T(S)z,y,x)(TS( −−+=−+==o .
Vamos calcular a matriz B
D]TS[ o .
−+==−
−+==
−+==
)2,1(f)1,0(e)0,0()1,1,1)(TS(
)2,1(d)1,0(c)2,5()1,2,2)(TS(
)2,1(b)1,0(a)0,1()1,0,1)(TS(
o
o
o
⇒
−−
=
051
0122
]TS[ B
Do
Calculando a matriz B
C]T[ :
+==−
+==
+==
)2,0(f)1,1(e)0,0()1,1,1(T
)2,0(d)1,1(c)1,4()1,2,2(T
)2,0(b)1,1(a)0,1()1,0,1(T
⇒
−−
=
0
041
]T[
2
3
2
1
B
C
Calculando a matriz C
D]S[ :
−+==
−+==
)2,1(d)1,0(c)4,2()2,0(S
)2,1(b)1,0(a)2,2()1,1(S
⇒
−−
=
22
86
]S[ C
D
Verificando o teorema (4), temos:
−−
=
−−
⋅
−−
=
051
0122
0
041
22
86
]TS[
2
3
2
1
B
Do
4. 63
Proposição (1): Se VU:T → é um isomorfismo e B e C são bases de U e V, respectivamente,
então ( ) 1B
C
C
B
1
]T[]T[
−−
= .
Proposição (2): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e V,
respectivamente. Então T é um isomorfismo (ou seja, T é inversível) se, e somente
se, ( ) 0]T[det B
C ≠ .
Proposição (3): Seja VU:T → uma transformação linear. Sejam B e C bases de U e D e E bases
de V. Então: B
C
C
E
E
D
B
D ]Id[]T[]Id[]T[ ⋅⋅= .
Teorema (5): Seja VV:T → um operador linear. Sejam B e C bases de V. Seja, ainda, B
C]M[P =
a matriz de mudança da base B para a base C. Então: P]T[P]T[ B
1
C ⋅⋅= −
.
OBS: A matriz B
BB ]T[]T[ = .
Exemplo (4): Determine o operador linear do ℜ2
cuja matriz em relação a base )}5,0(),2,1{(B = é
−12
13
.
Solução: Temos que
−
==
12
13
]T[]T[ B
BB . Esta matriz é formada pelos escalares da combinação
linear dos vetores, ou seja, T foi aplicada nos vetores da base B e esses vetores foram
escritos como combinação linear da própria base B. Então:
−=−=
=+=
)3,1()5,0(1)2,1(1)5,0(T
)16,3()5,0(2)2,1(3)2,1(T
. Determinando a expressão da T, fazemos:
)5,0(b)2,1(a)y,x( += ⇒
+−
=
=
5
yx2
b
xa
⇒ )5,0(T
5
yx2
)2,1(Tx)y,x(T ⋅
+−
+⋅= ⇒
)3,1(
5
yx2
)16,3(x)y,x(T −⋅
+−
+⋅= ⇒
−+
=
5
y3x86
,
5
yx13
)y,x(T
5. 64
Exercícios Propostos
1) Consideremos as transformações lineares 3232
:Ge:F ℜ→ℜℜ→ℜ , tais que a matriz de
F+G em relação as bases canônicas do ℜ2
e do ℜ3
seja
33
10
12
e que )y2,yx,x()y,x(F −= .
Determine a matriz de G em relação as bases canônicas do ℜ2
e do ℜ3
. Quem é )y,x(G ?
Resp:
−=
13
21
11
]G[ e )yx3,y2x,yx()y,x(G ++−+=
2) Seja ℜ→ℜ)(P:F 2 a transformação linear definida por ( ) ∫
−
=
1
1
dt)t(p)t(pF . Determine a matriz
de F em relação as bases )(Pde}t1,t1,1{B 2
2
ℜ+−+= de ℜ−= de}2{C . Resp:
−
−
−
=
3
1
B
C 1
1
]F[
3) Seja )(M:T 2x2
3
ℜ→ℜ a transformação linear, cuja matriz em relação as bases canônicas do
ℜ3
e do )(M 2x2 ℜ é
100
110
011
001
. Determine as coordenadas do vetor )u(T em relação a base
canônica do )(M 2x2 ℜ , onde )3,1,2(u −= . Quem é )z,y,x(T ?
Resp:
=
3
2
1
2
)]u(T[ e
+
+
=
zzy
yxx
)z,y,x(T
4) Seja F o operador linear do ℜ2
, cuja matriz em relação a base )}4,1(),0,1{(B = é
=
15
11
]F[ B
B .
Determine a matriz de F em relação a base canônica do ℜ2
. Resp:
−
−
=
420
16
]F[ C
C
5) Seja
−
−
−−
=
0031
0112
1211
]T[ B
C a matriz de uma transformação linear )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ .
Sejam B e C as bases canônicas de )(Pe)(M 22x2 ℜℜ , respectivamente. Sabendo que as
6. 65
coordenadas do vetor )(Mu 2x2 ℜ∈ em relação a base B é
−
3
1
1
2
, determine as coordenadas do
vetor )u(T em relação a base C. Que é )(P)(M:T 22x2 ℜ→ℜ ?
Resp:
=
5
2
2
)]u(T[ C e 2
t)b3a(t)cba2()dc2ba(
dc
ba
T −+−++−+−=