Apostila de calculo i

Apostila de Cálculo I
2
Limites
Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em
módulo de x-a tende a zero. ( ax ≠ ). Escreve-se: ax → ( x tende a a).
Exemplo : Se .1,2,3,4,..N,
N
1
x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero.
Definição:
f(x)lim
ax→
é igual a L se e somente se, dado 0εeax 〉→ , existe 0δ 〉 tal que se
εa-x0 〈〈 então δL-(x)f 〈 .
Propriedades:
constante)C(CC1. lim
ax
==
→
[ ] (x)g(x)f(x)g(x)f2. limlimlim
axaxax →→→
±=±
[ ] (x)g.(x)f(x)g.(x)f.3 limlimlim
axaxax →→→
=
[ ]
n
ax
n
ax
(x)f(x)f4. limlim 


=
→→
(x)g
(x)f
(x)g
(x)f
5.
lim
lim
lim
ax
ax
ax
→
→
→
=





n
ax
n
ax
(x)f(x)f.6 limlim →→
=

3
ConstanteC,
lim
CC.7
(x)f
(x)f
ax
ax
lim == →
→
(x)flog(x)flog.8 limlim
ax
bb
ax →→
=
polinomialfunçãoumaé(x)Ponde(a)P(x)P.9 lim
ax
=
→
L(x)hentão,(x)gL(x)feax,(x)g(x)h(x)fQuando.10 limlimlim
axaxax
===→∀≤≤
→→→
Exemplos:
1) ( ) 10423.43xlim
2x
=+=+
→
2) adoindetermin
0
0
22
42
2
4x 22
2x
lim =
−
−
=
−
−
→ x
( )( ) ( ) 42x
2x
2x2x
2
4x
limlimlim
2x2x
2
2x
=+=
−
−+
=
−
−
→→→ x
3)
( )
adoindetermin
0
0
0
22
0
220
x
2-2x
lim
0x
=
−
=
−+
=
+
→
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) 4
2
22
1
22
1
22x
1
22xx.
22
22xx.
22x.2-2x
x
2-2x
lim
limlimlim
0x
0x0x0x
==
+
=
++
=
++
−+
=








++
+++
=
+
→
→→→
x

4
Exercícios :
1) Calcular os limites:
a)
3
4x2
1x
lim +
+
→ x
b) 3
2
2x x1
x2x-8
lim
−
+
→
c)
2
8x3
2x
lim −
−
→ x
d)
( )
x
x-4-2
lim
0x→
e)
2y
8y3
2x
lim
+
+
−→
f)
2-2x
232
1x
lim
+−
→
xx
g)
6-x-2x
103
2
2
2x
lim
−+
→
xx
h)
5-x
23
lim
5x
−−
→
x
i)
3x-
2 23
1x
lim +
−
−→
xx
j)
x-4
7 3
2x
lim
xx −−
→
l)
3-x
273
3x
lim
−
→
x
m) ( )273x2
3x
lim +−
→
x
n) ( ) ( )[ ]13
1x
2.4xlim
−
−→
++ x
o)
2t
65tt2
2x
lim +
++
→
p)
2t
65tt2
2x
lim −
+−
→

5
3
x
3
1
-1
y
Limites Laterais
Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é, por valores
menores que a, f (x) tende ao número 1L . Este fato é indicado por:
1
ax
L(x)flim-
=
→
Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é, por valores maiores
que a, f (x) tende ao número 2L . Este fato é indicado por:
2
ax
L(x)flim =
+
→
Os números 1L e 2L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de
f em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a .
Exercícios :
1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:
a) (x)lim-
3x
f
→
b) (x)lim
3x
f
+
→
c) (x)lim
3x
f
→
d) (x)lim
x
f
∞→
e) (x)lim
x
f
−∞→
f) (x)lim
4x
f
∞

6
1
x
y
0,5
2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir:
a) (x)lim
1x
f
+
→
b) (x)lim
1x
f
−
→
c) (x)lim
1x
f
→
d) (x)lim
x
f
∞→
e) (x)lim
x
f
−∞→
.
3) Dada a função 31)( −+= xxf , determinar, se possível, (x)lim-
3x
f
→
e (x)lim
3x
f
+
→
.
4) Seja f(x) =





〉
=
〈+
2xparax-9
2xpara2
2xpara1
2
2
x
. Determinar: (x)lim-
2x
f
→
, (x)lim
2x
f
+
→
, (x)lim
2x
f
→
.
5) Seja f(x) =





〉
≤−
3xpara7-3x
3xpara1x
.. Determinar (x)lim-
3x
f
→
, (x)lim
3x
f
+
→
, (x)lim
3x
f
→
,
(x)lim-
5x
f
→
, (x)lim
5x
f
+
→
, (x)lim
5x
f
→
.

7
Limites Infinitos
Ao investigarmos (x)fou(x)f limlim
axax - +
→→
pode ocorrer que , ao tender x para
a, o valor f (x) da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites.
Por exemplo:
2
1
(x)f
−
=
x
.
Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite:
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite:
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000
Assim :
2-x
1
e
2-x
1
limlim
2x2x
−∞=∞=
−+
→→
.
São consideradas indeterminações: )()()(0.
0
0
±∞±±∞
∞±
∞±
±∞
Exemplos:
1) adoindetermin
1x
x2
x
lim ∞
∞
=
++∞→
∞==
+
=
+
=
+ +∞→+∞→+∞→ 0
1
x
1
x
1
1
x
1x
x
x
1x
x
2
x
2
2
2
x
2
x
limlimlim

8
2) adoindetermin
xx
32x
3
x
lim ∞
∞
=
+
+
+∞→
0
1
0
x
1
1
x
3
x
2
x
xx
x
32x
xx
32x
2
32
x
3
3
3
x
3
x
limlimlim ==
+
+
=
+
+
=
+
+
+∞→+∞→+∞→
Exercícios:
1) Seja
12x
3x5
(x)f
+
+
= . Determinar:
a) (x)flim
x +∞→
b) (x)flim
x −∞→
c) (x)flim
)
2
1
(x +
−→
d) (x)flim
)
2
1
(x −
−→
2) Calcular:
a) ( )2-x1lim
)2(x
+
+
→
b)
( )
3x
10-2x1
lim
)5(x +
+
+
→
c)
( )3
)4(x 4-x
1
lim−
→
d)
( )3
)4(x 4-x
1
lim+
→
e)
23
5x2
2
2
x
lim
++
−
−∞→ xx
f)
6xx
13xx
2
2
2x
lim
−+
++−
+
→
g)
6xx
13xx
2
2
2x
lim
−+
++−
−
→

9
y
x x
y
x
y
a a a
Continuidade
O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de
limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções
f(x), abaixo, são todas descontínuas:
f(x)f(x) limlim
axax - +
→→
≠ f(a)f(x)lim
ax
≠
→ −∞=
∞=
+
→
→
f(x)
f(x)
lim
lim
ax
ax -
Definição: Uma função é contínua em um ponto A se:
a) f (a) é definida
b) (x)flim
x a→
existe
c) (x)flim
x a→
= f (a)
A descontinuidade no gráficos (2) é chamada por ponto ou removível, a
descontinuidade em (1) é por salto e em (3) é uma descontinuidade infinita.
Exemplos:
Estudar analiticamente a descontinuidade das funções:

10
a)





〉
=
〈−
=
1xx-1
1x1
1xx1
f(x)
2
em x =1.
f(1) = 1 0x-1lim(x)flim
2
1x1x
==
−→−→
0x-1limx-1lim(x)flim
1x1x1x
===
+→+→+→
f é descontínua por ponto ou removível em x = 1. Para remover a descontinuidade
basta fazer f(x)=0 para x = 1.
b)





〉
=
〈−
=
2x8-3x
2x4
2x23
f(x)
2
x
no ponto x=2.
L142-3xlim(x)flim
2x2x
===
−→−→
L248-3xlim(x)flim
2
2x2x
===
+→+→
como L1 = L2 =f(2) então a função é contínua.
Exercícios:
Estudar analiticamente a descontinuidade das funções::
a)












〉
=
〈
−−
−
=
3x
3-x
1-2-x
3x2
3x
932
27x
f(x)
2
3
xx
em x =3.

10
b)







≠
−−
=
=
2x
2-x
253x
2x7
f(x)
2
x
c)











〉
+
=
〈
=
0x
x
2-4x
0x3
0x
f(x)
x
xsen
3) Determinar o(s) valor(es) de A para o(s) qual(is) existe (x)flim
1x→
:







〈
≥
−
−
=
1xA)-(x
1x1-
1
1x
f(x)
2
2
x

12
1x0x
x
∆y
∆x
)f(x1
P
Q
β
Derivada de uma Função
Acréscimo da variável independente
Dados 10 xex denominam incremento da variável x, à diferença:
01 xx∆x −=
Acréscimo de uma função
Seja y = f(x) contínua. Dados 10 xex podem-se obter )f(xe)f(x 10 . À
diferença )f(x)f(x∆y 01 −= chama-se acréscimo ou variação da função f(x).
Como
∆xxx 01 += , então: )f(x∆x)f(x∆y 00 −+=
Graficamente: βtg
∆x
∆y
=
y
)(xf 0
01 xx∆x −=
1x0x x

13
Razão Incremental
O quociente da variação da função ∆y pelo incremento da variável
independente ∆x é chamado razão incremental.
∆x
)f(x∆x)f(x
∆x
∆y 00 −+
=
Trocando 0
x por x (fixo momentaneamente), temos:
∆x
f(x)∆x)f(x
∆x
∆y −+
=
Observe que a razão incremental é o coeficiente angular ( βtg ) da reta secante s,
que passa por P e Q.
Derivada de uma função num ponto x:
eja y = f(x) contínua. Calculamos a razão incremental
∆x
∆y
. O limite da razão
incremental para o acréscimo ∆x tendendo a zero é definido como a derivada da
função f(x). Ela pode ser indicada como:
(x)fy ′=′ Lagrange
Dy = Df(x) Cauchy
dx
df
dx
dy
= Leibnitz
y& Newton

14
x
x
y∆
x∆
)xx(f ∆+
P
Q
β
α
f (x)
s
xx ∆+
t
α
Então:
∆x
∆y
0∆x
lim(x)f
→
=′ ou
∆x
f(x)-∆x)f(x
0∆x
lim(x)f
++++
→→→→
====′′′′
Quando 0∆x → , a reta secante s tende para a reta tangente t , αtgβtg →
e αtg(x)f =′ .
Geometricamente (x)f′ mede a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no
ponto P(x, f(x)).
Exemplo:
Sendo C uma constante e f(x) = C , calcular pela definição )(xf′ .
∆x
f(x)-∆x)f(x
0∆x
lim(x)f
+
→
=′
Cf(x) =
C∆x)f(x =+
y

15
∴ 0
∆x
0
0∆x
lim
∆x
C-C
0∆x
lim(x)f =
→
=
→
=′
Então se f(x) = C 0(x)f =′→ .
Propriedades
1. Propriedade f(x) = C 0(x)f ====′′′′→→→→ .
2. Propriedade 1-nn
xn(x)fxf(x) ====′′′′→→→→====
Exemplos:
a) 67
7x(x)fxf(x) =′→=
b)
x2
1
x
2
1
x
2
1
(x)fx(x)fxf(x) 2
11
2
1
2
1
===′→=∴=
−





−
Exercícios: Calcular a derivada das funções:
a) 3
4xf(x) =
b) 9
7xf(x) =
c) 4
3
xf(x) =
3. Propriedade (x)g(x)f(x)g)(f ′′′′++++′′′′====′′′′++++
4. Propriedade (x)g(x)f(x)g)(f ′′′′−−−−′′′′====′′′′−−−−
Exemplos:

16
a) 3x2xf(x) 74
+=
63
21x8x(x)f +=′
b) 10x3xf(x) 49
−=
38
40x27x(x)f −=′
c) 4x3xf(x) 5
2
3
1
−=
x
5
2
4.x
3
1
3.(x)f
1
5
2
1
3
1
=−=′






−





−
5
3
3
2
5x
8
x
1
−
5. Propriedade (x)g.f(x)g(x).(x)f(x)g)(f. ′′′′++++′′′′====′′′′
Exemplos:
a) 1).(xxF(x) 23
+=
2x(x)g1xg(x)
3x(x)fx(x)f
2
23
=′→+=
=′→=
24
322
3x5x(x)F
2x.x1)(x.3x(x)F
+=′
++=′
b) )2x2x).(x(xF(x) 23
2
3
++=
4xx
3
2
(x)g)2x(xg(x)
23x(x)f2x)(xf(x)
3
1
23
2
23
+=′→+=
+=′→+=
−

17
23
2
43
8
3
1
323
2
2
12xx
3
10
10xx
3
11
(x)F
4x)x
3
2
2x).((x)2x2).(x(3x(x)F
+++=′
+++++=′
−
c) )x4)(2(xF(x) 92
++=
4x36x11x(x)F
)4).(9x(x)x2x.(2(x)F
9x(x)gx2g(x)
2x(x)f4xf(x)
810
829
89
2
++=′
+++=′
=′→+=
=′→+=
6. Propriedade
(((( ))))2
g(x)
(x)g.f(x)g(x).(x)f
(x)g
(x)f ′′′′−−−−′′′′
====′′′′





Exemplos:
a) 2
x
x1
y
−
=
3
4
2
4
22
22
2
2
x
2x
y
x
x2x
x
x2xx
)(x
x).(2x)(1)(-1).(x
y
2x(x)gxg(x)
-1(x)fx1f(x)
−
=′
−
=
+−−
=
−−
=′
=′→=
=′→−=

18
b) 2
x1
3x
y
−
+
=
22
2
22
2
2
)x(1
16xx
y
)x(1
2x)3).((x)x-1.(1
y
-2x(x)gx-1g(x)
1(x)f3xf(x)
−
++
=′
−
−+−
=′
=′→=
=′→+=
a)
7x
65xx
y 2
2
−
+−
=
2x(x)g7-xg(x)
5-2x(x)f65x-xf(x)
2
2
=′→=
=′→+=
22
2
22
22
7)(x
3526x5x
y
7)(x
6).(2x)5x(x7)-5).(x-(2x
y
−
+−
=′
−
+−−
=′

19
Exercícios:
Calcular as derivadas das funções:
1) 42
t)t(1y −=
2) 5)1)(z2z(zy 23
−+−=
3) )2x2x)(x(xy 23
2
3
+−=
3)
x
2x
y
2
3
−
=
4) 1)3)(3x(xy 2
−+=
5)
9z2
3zz8
y
2
−
+−
=
6)
7
t
2
1t
5
3
y
2
+
−
=
7) 32
xxx1
1
y
+++
=
8)
( )
5xx
4
3
12x3x
y
2
24






+
+−
=
9) 32
111
1
xxx
y +++=
10) 2
13
xx
y −=

20
x
)x(f
T ))x(fa( ′=
β
N 





′
−=
)x(f
1
a
Significado Geométrico da Derivada
=′(x)f inclinação da tangente T no ponto P(x, f(x))
N = reta normal ao gráfico de y = f(x) no ponto P(x,f(x))
Exemplo:
Obter as equações das retas normal e tangente ao gráfico da função
2
x4f(x)y −== nos pontos 1P (2,0) e 2P (-1,3).
No ponto (2,0) 2a2(x)f =∴=′
2
1
−=na
2-2xy
2)-2(xyTdeEquação
=
=
equação de N ( )2-x
2
1
-=y → 1x
2
1
- +=y
No ponto (-1,3): 2a2(x)f =∴=′
x
y

21
52xy
1)2(x3yTdeEquação
+=
+=−
equação de N ( )1x
2
1
-3- +=y
2
5
x
2
1
- +=y
Exercícios:
1) Dada a função x2xy 2
−= e o ponto P(4,12), determine a equação das retas
normal e tangente ao gráfico da função no ponto P.
2) Achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa
dada:
a) 1x,52)( 2
=−= xxf
b) 2x,
1
)( ==
x
xf
3) Achar os pontos onde a reta tangente ao gráfico da função dada é paralela ao
eixo x:
a) x
xx
y 4
2
3
3
23
−−=
b) 103
+= xy
c) xxy 44
+=
4) Achar a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto de
abcissa dada:
a) -1x,12)( 3
=−+= xxxf

22
b) 4x, == xy
5) Determinar as abcissas dos pontos do gráfico 132 23
−+−= xxxy
nos quais a tangente é:
a) paralela à reta 3 y – 9 x – 4 = 0
b) perpendicular à reta 7 y = -x + 21
Derivadas de Ordem Superior
segundaderivada
dx
yd
dx
dy
dx
d
(x)f
primeiraderivaday
dx
dy
(x)f
f(x)y
''
2
2
y==





=′′
′==′
=
terceiraderivaday
dx
yd
dx
yd
dx
d
(x)f '''
3
3
2
2
==





=′′′
n
y== n
n
n
dx
yd
(x)f
geralmodoumDe
Exemplos: Calcular :yey,y ′′′′′′ :
a) xxxy 24 48
+−=
2168 37'
+−= xxy
26"
4856 xxy −=

23
xxy 96336 5'"
−=
b) xxxxy −+−= 32
4024
2
1
2'
2
1
12028
−
−+−= xxxy
2
3
''
4
1
2408
−
++= xxy
2
5
'''
8
3
240
−
−= xy
Exercícios: Calcular :yey,y ′′′′′′
113x5x4xy1) 6
1
57
−+−=
x
1x
y)2
2
−
=
3) 12
1
8
15xxxy −
−
++=
4) 2
3
4
x
x
y
−
=
5) ( )( )132
−+= xxy

24
Regra da Cadeia
Se y = f(x) e u = g(x) e as derivadas dy/du e du/dx existem, ambas, então a
função composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:
( ) ( )xguf
dx
du
du
dy
dx
dy ''
.. ==
Para derivar ( )22
1+= xy podemos expandir a função e depois
derivar, ou seja:
( )1444
12)(
23
24
+=+=′
++==
xxxxy
xxxfy
Se quisermos derivar a função ( )1002
1xy += só conseguiremos resolver
através da regra da cadeia.
Assim:
( ) ( )992992
2
99100
2
1xx200.2x1x100
dx
dy
2x
dx
du
1xu
100u
du
dy
uy
1xu
+=+=
=⇒+=
=⇒=
+=
Nesse caso a propriedade é:
'1'
.. uunyuy nn −−−−
====⇒⇒⇒⇒====

25
Exemplos:
1) 422
++= xxy = ( )2
1
2
42 ++ xx
( ) ( ) ( )
42
1
2242
2
1
2
2
1
2'
++
+
=+++=
−
xx
x
xxxy
( )204
108)2 −+= xxy
( ) ( ) ( ) ( )31943194'
2108804810820 xxxxxxy +−+=+−+=
Exercícios: Calcular y′para a s funções:
1)
5 4
1
1
+−
=
xx
y
2) 3
2
2
3
−
+
=
x
x
y
3)
1
12
+
−
=
x
x
y
4) ( )82
24 +−= xxy
5) 3 4
12 +−= xxy
6) ( ) 52.13
6
−+= xxy
7) ( ) 5
78xy
−
−=

26
8) ( )424
158 +−= wwy
9) ( ) ( )223
98.76 +−= xxy
3 3
278)10 += ry
11)
4-3s
1
y =
12)
94x
32x
y
2
+
+
=
13) 543
x
3
x
2
x
1
y ++=
14)
( )22
5x3x
1
y
++
=
15) ( )( )1x23x4y 2
+−=
16)
( )3
4x3
1x5
y
+
−
=
Derivada das Funções Trigonométricas
Derivada da função seno
x
dx
dy
yxsenxfySe cos)( ==⇒==

27
Pela Regra da Cadeia: uu
dx
dy
yusenySe cos''
========⇒⇒⇒⇒====
Derivada da função cosseno
( )2
1
22222
sen1xcossen1cos1cossen
cos)(
xxxxx
xxfy
−=→−=→=+
==
( )
( ) ( ) ( ) ( ) senxxsenxxxsenxxseny
xsenxy
−=−=−−=
−==
−−
cos.2cos
2
1
cos.21
2
1
1cos
2
1
22
1
2'
2
1
2
∴ xsen
dx
dy
yxxfySe cos)( −==⇒==
Pela Regra da Cadeia: usu
dx
dy
yuySe encos ''
−−−−========⇒⇒⇒⇒====
Exemplos:
Calcular as derivadas de:
( )1xseny1) 2
+=
( ).2x1xcos
dx
dy
y 2
+==′
( )1x2xcosy 2
+=′

28
2) xseny =
2
1
x
2
1
.xcosy
−
=
x
x
y cos
2
1
=′
( ) ( )21)3 3202
++= xsenxy
( )202
1+= xf ⇒ ( ) x2.1x20f
192
+=′
( )2sen 3
+= xg ⇒ ( )2xcos.x3g 32
+=′
( ) ( ) ( ) ( )2xcos1xx32xsen1xx40y 320223192
+++++=′
4) 2
cos
x
x
y =
xgxg
senxfxf
2
cos
'2
'
=⇒=
−=⇒=
3
cos2cos2
4
2
'
x
xxsenx
x
xxxsenx
y
−−
=
−−
=
Derivada da função tangente
xcos
en
)(
xs
yxtgxfySe =⇒==
xsengxg
xfxsenf
cos
cos
'
'
−=⇒=
=⇒=

29
x
xx
xsenx
y 2
22
22
'
sec
cos
1
cos
cos
==
+
=
dx
dy
yutgySe ec2''
========⇒⇒⇒⇒====
Derivada da função cotangente
xsen
os
cot)(
xc
yg xxfySe =⇒==
xgxseng
xsenfxf
cos
cos
'
'
=⇒=
−=⇒=
x
xsenxsen
xxsen
y 2
22
22
'
seccos
1cos
−=
−
=
−−
=
dx
dy
yugySe eccoscot 2''
−−−−========⇒⇒⇒⇒====
Derivada da função secante
x
x
xy 1
cos
cos
1
sec −
===
( ) tgx.xsec
xcos
xsen
xsenxcos1y
2
2
==−−=′ −

30
Pela Regra da Cadeia: Se uy sec==== ⇒ utguuy ′′′′====′′′′ ..sec
Derivada da função cossecante
xsen
xsen
1
xseccosy 1−
===
( ) ( ) xtgcossecx.co
xsen
cosx
cosxxsen1y
2
2
−=
−
=−=′ −
Pela Regra da Cadeia: Se ug.u .-yuy ′′′′====′′′′⇒⇒⇒⇒==== cotseccosseccos
Exemplos: Calcular as derivadas de:
( )1x2xtgy)1 2
++=
[ ] ( )1x2xsec2x2y 22
+++=′
2)
x
tgx
y
seccos
=
xgxgxg
xfxtgf
cot.seccosseccos
sec
1
2'
−=⇒=
=⇒=
x
gxtgxxxx
y 2
2
'
seccos
cot..seccosseccos.sec +
= =
x
x
seccos
1sec2
+

31
Exercícios:
( ) ( )1sec3cot)1 3
++= xxgy
( )x5seccos.xy)2 2
=
( )13xcotg3)y 53
+=
( )38xsen4)y +=
3
6x5tg5)y −=
( )35
5x3xcos6)y −=
( )58
xxtg7)y −=
xcos1
xsen
y)8
+
=
1x2tg
x2sec
y)9
−
=
10) )1x(tg.xsecy 2
+=
11)
xcotg.xcos
1
y =
12)
( ) xsen1-3xtg
xsec1
y 2
+
+
=
13) xtgxxgcotx2y 2
+=
14) ( ) ( )xcosxseny −+−=
15) ( ) ( )( )2
2xcos4xseny +=
16)
2xsen
3xcosx
y
+
=
17)
( ) 2xsenx-xtg1xy 2
−=
18) ( )( )1x2x2x-tgy 2
+−=
19) xtg.5xseccosy =
20) ( )12cos 22
+−= xxy
21)( )3
3xcosxsen +

32
du
dx
dy
du
dy
dx
dy
dx
dx
dy
dx
dx
= 1
Derivada da Função Inversa
Vimos a regra da cadeia para a composição de duas funções f (x) e g(x):
dx
du
du
dy
dx
dy
.=
Para a função inversa
-1
fg =
x u y
f
g
x y x
f
f -1

33
Portanto:
1
ou
1
dx
dydy
dx
dy
dxdx
dy
==
Derivada da Função Exponencial
Se aayay xx
ln'
=⇒=
Pela Regra da Cadeia: Se u
ay ==== ⇒ aauy u
ln.′′′′====′′′′
Exemplos: Derivar:
1) 2ln2y2y xx
=′⇒=
2) 2ln.2x.22xln2.2y2y
222
xxx
==′⇒=
Para 2,71828ea ≅=
x
ey = ⇒⇒⇒⇒ x
ey ====′′′′
Pela Regra da Cadeia: Se u
ey ==== ⇒ uey u
′′′′====′′′′
Exemplos: Derivar
1) 1x2
ey +
= ⇒ ( )x2.ey
12
x +
=′

34
2) x
ey = ⇒
x2
1
.ey x
=′
3) xsen
ey = ⇒ xcos.ey xsen
=′
4) x
1x2
ey
+
= ⇒⇒⇒⇒
( )







 −
=







 +−
=′
++
2
2
x
1x
2
2
x
1x
x
1x
.e
x
1x.1x.x2
.ey
22
Derivada da Função Logaritmo
alnx.aln.a
dy
dx
xaxlogy yy
a ==⇒=⇒=
Como:
alnx.
1
dx
dy
dy
dx
1
dx
dy
=⇒=
Se
alnx
1
yxlogy z =′⇒=
Pela Regra da Cadeia:
alnu
u
yulogySe a
′′′′
====′′′′⇒⇒⇒⇒====
Para a=e xlnxloga =⇒
Pela Regra da Cadeia: Se y = ln u
u
u
y
′′′′
====′′′′⇒⇒⇒⇒
Exemplos: Derivar

35
1)
x
2
x
2x
yxlny
2
2
==′⇒=
2)
x2
1
x
x2
1
yxlny ==′⇒=
3)
3ln2
1
3lnx
x2
1
yxlog3 ==′⇒
Lembrar que :
ln (p . q) = ln p + ln q
ln
q
p
= ln p – ln q
ln r
p = r . ln p
Exercícios: Derivar
1) ( )[ ]3
5x4.1-6xlny +=
2) 3
2
2
1x
1x
lny
+
−
=
3)
( )
( )2
32
5x
12xx
lny
+
−
=
4) 




 −+= 1xxlny 2
5) ( )4xtg.ey -2x
=

36
Derivadas de Funções na Forma Implícita
Considere a expressão:
49yx 22
=+
Podemos isolar y em função de x:
222
x-49yx-49y ±=⇒=
Ficam definidas duas funções:
x-49(x)fyex-49(x)fy 22
−====
Diz-se que 2
x-49(x)fy == e 2
x-49(x)fy −== são funções na forma
explícita (y em função de x) , enquanto 49yx 22
=+ é uma função na forma
implícita.
Seja 49yx 22
=+ . Usando a Regra da Cadeia :
( ) uun.u 1-nn ′=
′
, a derivada de 2
y com relação a x é 2.y. y′.
Na equação inicial se derivarmos todos os termos com relação a x,
temos:
y
x
-
2y
2x
-y0yy2x2 ==′⇒=′+

37
Exemplos: Calcular '
y para as funções abaixo:
1) 03yx 43
=+
3
2
3
2
32
y4
x
y12
x3-
y0yy12x3
−
==′⇒=′+
2) 4yyx 42
=+
ygyg
2xfxf 2
′=′⇒=
=′⇒=
32
32
y4x
x y2-
y
0yy4yxx y2
+
=′
=′+′+
3) x4
eycosxxsen =+
ysenx
ycosxcosxsen4e
y
eyy)(-senxycosxcosxsen4
3x
x3
++−
=′
=′++
4) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva
1
9
y
4
x 22
=+ no ponto 







2
27
,1 .
Derivando com relação a x , temos:

38
y
9
2
2
x-
y
0y.y
9
2
2
x
0y2y..
9
1
2x.
4
1
=′
=′+
=′+
No ponto 







2
27
,1 ⇒
9
272
272
9
=
−
=′= NP
aya
Reta Tangente T ⇒ y - ( )1x
272
9
2
27
−
−
=
Reta Normal N ⇒ y - ( )1x
9
272
2
27
−=
Exercícios:
1) Calcular '
y para:
a) 4xyx5x3 42
=−+ b) xtgyxysen 32
=+ c) ysenxy 2
=
2) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva
1543 34
+−=−+ xxyy no ponto ( )0,1 .

39
Diferenciais de uma Função
Dada uma função y= f (x), define-se diferencial de y = f(x) como:
x(x)fdy ∆′=
onde x∆ é o acréscimo da variável independente x e dy é o diferencial de
y.
Define-se então a diferencial da variável dependente como :
dx(x)fdy ′=
Lembrando o significado geométrico da derivada, temos:
x(x)f(x)f)(xf
x(x)f(x)f)(xf
(x)f-x)_(xf
∆′+≅∆+
∆′≅−∆+∴
∆+=∆
x
x
y
Exemplos:
1) Obter um valor aproximado para 37 .
37xx
1x
36x
x(x)f
=∆+
=∆
=
=escolhendo

40
x(x)f(x)fx)(xf
x2
1
(x)f
∆′+=∆+
=′
1.
362
1
3637 +=
6,08333
12
1
637 ≅+≅
2) Obter um valor aproximado para 0
31sen
180
1x
6
30x
xsen(x)f
0
0
π
==∆
π
==
=
0,5151131sen
180
.
6
cos
6
sen31sen
x(x)f(x)fx)(xf
0
0
≅
ππ
+
π
=
∆′+=∆+

41
Exercícios:
1) Obter um valor aproximado para
a) 3 63 b) ( )4
1,3 c) 4
15 d) ( )3
03,2 e) 0
44cos
2) Calcular os diferenciais de:
a) ( )423
2x5-xy +=
b) ( )2
x3seny =
c)
x
xsen
y =

42
y
x
Máximo
relativo
Mínimo
relativo
Máximo
absoluto
a 1x b
α
y
f(x)
x
2x
3x 4x 5x
Aplicações da Derivada
Máximos e Mínimos de uma Função
Considere a função cujo gráfico é:
f(x) é crescente nos intervalos ( )( )( )54321 .,.,, xxxxxa
f(x) é decrescente nos intervalos ( )( )4321 .,. xxxx
f(x) é constante no intervalo ( )bx ,5
Seja um trecho de f(x) crescente:
α)('
tgxf =
se f (x) é crescente, temos
2
0
π
α 〈〈
0(x)e0 '
〉〉∴ ftgα

43
Seja um trecho de f(x) decrescente:
α)('
tgxf =
se f (x) é decrescente, temos πα
π
2
〈〈
0(x)e0 '
〈〈∴ ftgα
Se f(x) é constante, 0(x)'
=f .
Exemplos:
1) Determinar os intervalos em que a função 2
4)( xxf −= é crescente e
onde é decrescente.
2
4)( xxf −=
0xparaedecrescentéf(x)0xse02x-
0xparacrescenteéf(x)0xse02x-
2)('
〉∴〉〈
〈∴〈〉
−= xxf
2) Determinar os intervalos em que a função 45)( 2
++= xxxf é
crescente e onde é decrescente.
45)( 2
++= xxxf
f(x)
x
α
y

44
2
5
-xparaedecrescentéf(x)
2
5
-xse052x
2
5
-xparacrescenteéf(x)
2
5
-xse052x
52)('
〈∴〈〈+
〉∴〉〉+
+= xxf
Máximos e Mínimos Relativos ou Locais
Seja f(x) definida no domínio D.
Dx0 ∈ é ponto de mínimo local de f (x) se (x)f)(xf 0 ≤ para x
pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.
Dx0 ∈ é ponto de máximo local de f (x) se (x)f)(xf 0 ≥ para x
pertencente a qualquer intervalo aberto que o contenha.
f(x0 )
x0
x
y
x0
f(x0 )
x
y

45
Resultado:
Se f (x) existe e é contínua , então num ponto de máximo ou
mínimo local temos 0)(xf 0
'
= . Esse ponto é chamado ponto crítico de
f(x).
Estudo do Sinal da Derivada Segunda
Para se caracterizar máximos e mínimos locais é necessário uma análise do
sinal da derivada segunda da função f (x).
Observe que para 0xx 〈 temos 0)x(f'
〉 .Para 0xx = temos
0)x(f'
= e para 0xx 〉 temos 0)x(f'
〈 . Logo )x(f'
é decrescente e
portanto sua derivada 0.)x(''f 〈
y
x0
x
′f (x) = 0
′ 〉f (x) 0
′ 〈f (x) 0

46
Conclusão:
Dada uma função f (x):
a) Calcular a derivada primeira )x(f'
.
b) Obter os pontos críticos 0x para os quais 0)x(f'
= .
c) Calcular a derivada segunda:
Se 0)x(''f 0 〈 temos que 0x é ponto de máximo relativo.
Se 0)x(''f 0 〉 temos que 0x é ponto de mínimo relativo
Exemplos:
1) Determinar os pontos de máximos e mínimos locais da função
2
x-4(x)f =
pontos críticos ( 0)x(f'
= )
0x0x2-x2-(x)f 0
'
===
0
''
x-2(x)f ∴= é ponto de máximo relativo
4(0)f)(xf 0 == é o valor máximo relativo de f (x).
2) Idem para 2x18x122x(x)fy 23
−+−== pontos críticos 0(x)f =′



=
=
=+−=′
3x
1x
018x24x6)x(f 2

47
24-x12x)(f ''
=
1x012-1)(f 0
''
=∴〈= é abcissa do ponto de máximo relativo
f (1) = 6 é o valor do máximo relativo
3x0123)(f 0
''
=∴〉= é abcissa do ponto de mínimo relativo
f (3) = -2 é o valor do mínimo relativo
Estudo da Concavidade de uma Função
A concavidade de uma curva f (x) é identificada pelo sinal da derivada segunda.
Se 0)x(''f 〉 num intervalo do domínio D temos concavidade voltada para cima.
Se 0)x(''f 〈 num intervalo do domínio D temos concavidade voltada
para baixo.
Um ponto do gráfico de y = f (x) onde há mudança no sinal da
derivada segunda )x(''f é chamado ponto de inflexão 0)x(''f = .
Exemplo:
Seja 2x6x
2
5
3
x
(x)fy 2
3
++−== . Determine:
a) o intervalo onde f(x) é crescente e onde é decrescente.
b) pontos de máximo e mínimo relativos.
c) Pontos de inflexão.
Solução:

48
a)



=
=
+−=
3x
2x
6x5x(x)f 2
Estudo do sinal:
1. linha : x – 2
2. linha : x – 3
3. linha : (x-2) (x-3)
2 3
- + +
- - +
+ - +
crescentef3xou2xpara0(x)f ⇒〉〈〉′∴
edecrescentf3x2para0(x)f ⇒〈〈〈′
b) pontos críticos



=
=
=′
3x
2x
0(x)f

49





















∴=
〉′′⇒=






∴=
〈′′⇒=
=′′
relativomínimodeé
2
13
3,ponto
2
13
(3)f
0(x)f3x
relativomáximodeé
3
20
2,ponto
3
20
(2)f
0(x)f2x
5-x2(x)f
c) inflexão
+∴
==
para-depassa(x)f
2
5
x5-x20(x)f ''
Máximos e Mínimos Absolutos
Se y = f (x) é contínua e definida num intervalo fechado [a,b], derivável em [a,b]
então existem pontos 10 xex tais que:
( ) [ ]
( ) [ ]ba,x,(x)fxf2)
eba,x,(x)fxf)1
1
0
∈∀≤
∈∀≥
0
x = ponto de mínimo absoluto de f(x)
1
x = ponto de máximo absoluto de f(x)
5
2
+

50
Para se obter os pontos de mínimo e máximo absoluto determina-se inicialmente os
pontos de mínimo e máximo relativos. Compara-se esses valores com os da função
no extremo do intervalo.
Exemplo:
Seja 2
x-16(x)fy == no intervalo [ -1, 4 ]
Pontos de máximo e mínimo relativos
[ ]41,-0x0x2-0(x)f'
∈=⇒=⇒=
0xentão0)x(fcomo2)x(f ''''
=〈−= é ponto de máximo local
e o valor máximo da função f (0)=16.
Calculando f (x) nos extremos f (-1)=15 e f (4) =0
Por comparação f (x) = 0 é ponto de máximo absoluto e x =4 é
ponto de mínimo absoluto.
Exercícios:
1) Dada a função 1x9x3
3
x
)x(fy 2
3
++−== verifique os intervalos
para os quais a função é crescente e decrescente. Determine os
pontos críticos, verificando se são de máximo ou mínimo.
Determine o ponto de inflexão, se houver.
2) Idem para x5x3
3
x
)x(fy 2
3
−+−==
3) Determinar números positivos x e y,cujo produto seja igual a 12 e
cuja soma seja a menor possível.
4) Determinar números positivos x e y,cuja soma seja igual a 12 e
cujo produto seja o maior possível.
5) Encontre os pontos críticos, indicando se são máximos ou mínimos
locais para ( )32
1xy −= .

51
6) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um
determinado artigo. Se o custo da produção é dado por
60x18x6x2C 23
+++= e o valor obtido na venda é dado por
2
x12x60V −= , determinar o número ótimo de unidades mensais
que maximiza o lucro L = V –C..
7) Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões
a e b, com um lado comum a. Se cada pasto deve medir 400 2
m de
área, determinar as dimensões a e b de forma que o comprimento
da cerca seja mínimo.
8) Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um
deles se fará um círculo e com o outro um quadrado. Como
devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas
compreendidas pela figura seja mínima?

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