O documento define e explica funções polinomiais, incluindo sua forma geral, exemplos, comportamento para valores extremos de x, raízes, divisão longa de polinômios e teoremas sobre restos e fatoração.
1) O documento define funções inversas e explica que uma função inversa desfaz o que a função original fez.
2) Para uma função ter uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
3) Restrições no domínio de uma função podem fazê-la bijetora e, portanto, permitir a existência de uma função inversa.
1. O documento calcula limites no infinito e limites infinitos em pontos finitos para funções racionais. É encontrada uma assíntota vertical em x=3/2 para a função f(x)=x-1/(2x-3) e outra assíntota vertical em x=3 para a função f(x)=4x+4/(3+2x-x2). Ambas as funções têm uma única assíntota horizontal.
O documento apresenta três exemplos de funções racionais analisando suas assintotas e descontinuidades. O Exemplo 1 mostra uma função com assintota vertical em x=1/2 e horizontal em y=3/2. O Exemplo 2 apresenta duas assintotas verticais em x=-2 e x=2 e uma horizontal em y=-2. Já o Exemplo 3 simplifica a função para mostrar uma assintota vertical em x=2 e uma descontinuidade removível em x=-2.
1) Uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões.
2) Existem propriedades gerais de equações como reflexividade, simetria e transitividade.
3) Há diferentes tipos de equações como lineares, quadráticas e modulares que possuem métodos específicos para solucioná-las.
1) O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções.
2) Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos e encontrar o ponto médio de segmentos.
3) Também inclui encontrar o domínio de funções, valores de funções em pontos específicos e comparar imagens de funções com as respostas de um livro.
O documento apresenta as propriedades básicas da álgebra, incluindo propriedades de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Também aborda tópicos como valor absoluto, expoentes racionais e racionalização de frações.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
1) O documento apresenta exercícios de funções do 1o grau, modulares e polinomiais. Inclui estudar gráficos de funções e determinar domínios e conjuntos imagens.
2) Os exercícios pedem para: a) estudar a função f(x) = |1 - 3x| e esboçar seu gráfico; b) estudar a função f(x) = 4 - x2 e esboçar seu gráfico.
3) Também são listados exercícios de Demana páginas 81, 92 e 101 para s
1) O documento define funções inversas e explica que uma função inversa desfaz o que a função original fez.
2) Para uma função ter uma inversa, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora.
3) Restrições no domínio de uma função podem fazê-la bijetora e, portanto, permitir a existência de uma função inversa.
1. O documento calcula limites no infinito e limites infinitos em pontos finitos para funções racionais. É encontrada uma assíntota vertical em x=3/2 para a função f(x)=x-1/(2x-3) e outra assíntota vertical em x=3 para a função f(x)=4x+4/(3+2x-x2). Ambas as funções têm uma única assíntota horizontal.
O documento apresenta três exemplos de funções racionais analisando suas assintotas e descontinuidades. O Exemplo 1 mostra uma função com assintota vertical em x=1/2 e horizontal em y=3/2. O Exemplo 2 apresenta duas assintotas verticais em x=-2 e x=2 e uma horizontal em y=-2. Já o Exemplo 3 simplifica a função para mostrar uma assintota vertical em x=2 e uma descontinuidade removível em x=-2.
1) Uma equação é uma afirmativa de igualdade entre duas expressões.
2) Existem propriedades gerais de equações como reflexividade, simetria e transitividade.
3) Há diferentes tipos de equações como lineares, quadráticas e modulares que possuem métodos específicos para solucioná-las.
1) O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções.
2) Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos e encontrar o ponto médio de segmentos.
3) Também inclui encontrar o domínio de funções, valores de funções em pontos específicos e comparar imagens de funções com as respostas de um livro.
O documento apresenta as propriedades básicas da álgebra, incluindo propriedades de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Também aborda tópicos como valor absoluto, expoentes racionais e racionalização de frações.
O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.
1) O documento apresenta exercícios de funções do 1o grau, modulares e polinomiais. Inclui estudar gráficos de funções e determinar domínios e conjuntos imagens.
2) Os exercícios pedem para: a) estudar a função f(x) = |1 - 3x| e esboçar seu gráfico; b) estudar a função f(x) = 4 - x2 e esboçar seu gráfico.
3) Também são listados exercícios de Demana páginas 81, 92 e 101 para s
O documento apresenta definições e propriedades da função seno. Inclui a definição formal da função seno, suas propriedades fundamentais como período, gráfico e domínio/imagem. Também apresenta exemplos de outras funções trigonométricas definidas a partir da função seno e pede para determinar suas características.
1. A função H(x) não tem limite quando x tende a 0, pois seus limites laterais à esquerda e à direita são diferentes.
2. O limite de (1 - 4x^2) quando x tende a -1 é -3, enquanto o limite de 3/(1+x) quando x tende a 2 é 1.
3. O limite de x sen(1/x) quando x tende a 0 é 0, embora o limite de sen(1/x) isoladamente não exista na origem.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de funções exponenciais e logarítmicas. Na primeira seção, define-se a função exponencial de base a e discute-se seu domínio e imagem. A segunda seção trata da função logarítmica inversa da exponencial. A terceira seção apresenta exemplos de resolução de equações e desigualdades envolvendo essas funções.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
1. O documento discute equações modulares, definindo o módulo e propriedades, e apresentando métodos para resolver diferentes tipos de equações modulares.
2. As equações modulares podem ser reduzidas a equações sem módulo usando propriedades do módulo, e então resolvidas algebraicamente ou geometricamente.
3. O método de intervalos é útil para equações com dois ou mais módulos, dividindo o domínio em intervalos onde os sinais das expressões são preservados.
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar o sinal dos termos do numerador e denominador e analisar em quais intervalos esses sinais são iguais ou diferentes de acordo com a especificação da inequação original.
3. As soluções finais são expressas como união de intervalos na reta numérica.
1. O documento discute equações irracionais, definindo raízes de ordem ímpar e par e propriedades básicas delas. 2. Explica que muitas equações irracionais podem ser representadas na forma n√f(x) = g(x) e o método geral de resolução é reduzi-las a equações polinomiais. 3. Apresenta exemplos de resolução de equações irracionais usando este método.
1) O documento apresenta exercícios de funções para serem resolvidos, incluindo verificar se determinadas funções são pares, ímpares ou nenhuma das duas. 2) Fornece as definições de funções pares e ímpares. 3) Resolve os itens solicitados, concluindo que a função f(x)=x2 é par, f(x)=x2-2x+3 não é par nem ímpar e f(x)=√x não é par nem ímpar.
1) O documento apresenta 12 exercícios sobre conjuntos, números racionais e relações entre conjuntos. 2) Os conjuntos vazios são B e D. As igualdades verdadeiras são a), b) e c). 3) As proposições verdadeiras sobre subconjuntos são a), c), d) e e).
O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases:
1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente.
2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.
1) A função é contínua em alguns pontos e descontínua em outros, com diferentes tipos de descontinuidade como salto e essencial. 2) A função é limitada em alguns intervalos fechados e não limitada em outros intervalos abertos ou sem limite superior. 3) Os extremos são encontrados quando a função é decrescente ou crescente e o intervalo é fechado.
1) O documento descreve as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, definindo-as geometricamente em relação a um círculo unitário e apresentando suas propriedades fundamentais.
2) É apresentada a conversão entre graus e radianos, assim como os valores de seno, cosseno e tangente para alguns ângulos específicos como 30°, 45° e 60°.
3) São mostradas as definições, gráficos e propriedades das funções seno, cosseno e tangente, incluindo a relação fundamental entre elas
1) O documento discute transformações de funções e seus gráficos, incluindo translações horizontais e verticais, extensões e compressões horizontais e verticais, e combinações de transformações.
2) Exemplos detalhados são fornecidos para transformar gráficos de funções originais em gráficos de novas funções usando essas técnicas.
3) Figuras ilustram as etapas das transformações de funções para chegar aos gráficos solicitados.
1) O documento discute definições e propriedades de funções, incluindo domínio, imagem e modos de definição como analítico, geométrico e numérico.
2) Uma função é definida como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do domínio corresponde a exatamente um elemento da imagem. Funções podem ser definidas analiticamente por fórmulas explícitas ou implícitas.
3) A imagem de uma função é o subconjunto do contradomínio onde cada elemento tem pelo menos um correspondente no domínio
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar as raízes dos polinômios no numerador e denominador e analisar o sinal de cada termo em diferentes intervalos de x.
3. Os resultados são expressos como a união de intervalos na reta numérica ou por meio de tabelas de sinais.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
O documento apresenta exercícios sobre funções e suas transformações. Inclui questões sobre encontrar gráficos de funções a partir de transformações de funções originais, como translações, extensões e compressões. Também pede para analisar propriedades e esboçar gráficos de funções como f(x) = |1 − 3x| e f(x) = 4 − x2.
1) A função f(x) = x2/(x2-1) é analisada em detalhe. Seu domínio é R\{-1,1} e sua imagem é (-∞,0] ∪ (1,∞).
2) A função é par e não é periódica. Tem um máximo local em (0,0) e assíntotas horizontais em y=1 e verticais em x=-1 e x=1.
3) Com base nas propriedades, o gráfico da função é esboçado, mostrando sua decrescência estrita em
1. O documento fornece exemplos resolvidos de funções compostas, sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
2. As funções compostas são analisadas determinando seus domínios e imagens para garantir que uma função esteja contida no domínio da outra antes de compor.
3. Exemplos mostram como determinar o menor valor para que uma função seja sobrejetora ou injetora entre dois conjuntos, analisando quando seus valores se repetem.
O documento explica o conceito de composição de funções, definindo-a como g(f(x)) e discutindo seu domínio. Ele fornece exemplos detalhados de como calcular o domínio da composição de diferentes funções, ilustrando com diagramas conceituais.
O documento discute limites de funções. Apresenta a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites à direita, esquerda e bilateral. Também aborda limites infinitos e casos em que o limite não existe devido a limites laterais diferentes.
1) A função f(x) = 8x - x^2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em (4,16). Seu domínio é R e imagem é (-∞,16]. É crescente em (-∞,4) e decrescente em (4,+∞).
2) A função f(x) = |3-x| é modular com vértice em (3,0). Seu domínio é R e imagem é [0,+∞). É decrescente em (-∞,3) e crescente em (3,+∞).
O documento apresenta definições e propriedades da função seno. Inclui a definição formal da função seno, suas propriedades fundamentais como período, gráfico e domínio/imagem. Também apresenta exemplos de outras funções trigonométricas definidas a partir da função seno e pede para determinar suas características.
1. A função H(x) não tem limite quando x tende a 0, pois seus limites laterais à esquerda e à direita são diferentes.
2. O limite de (1 - 4x^2) quando x tende a -1 é -3, enquanto o limite de 3/(1+x) quando x tende a 2 é 1.
3. O limite de x sen(1/x) quando x tende a 0 é 0, embora o limite de sen(1/x) isoladamente não exista na origem.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de funções exponenciais e logarítmicas. Na primeira seção, define-se a função exponencial de base a e discute-se seu domínio e imagem. A segunda seção trata da função logarítmica inversa da exponencial. A terceira seção apresenta exemplos de resolução de equações e desigualdades envolvendo essas funções.
1. O documento discute propriedades de funções como domínio, valores em pontos específicos, limites superior e inferior, monotonia e periodicidade.
2. Exemplos de funções analisadas incluem f(x) = 1/x2-x, f(x) = √9-x2 e f(x) = cos 2x.
3. As respostas fornecem desenvolvimentos lógicos completos com conclusões sobre o domínio, valores, limites e propriedades de cada função analisada.
1. O documento discute equações modulares, definindo o módulo e propriedades, e apresentando métodos para resolver diferentes tipos de equações modulares.
2. As equações modulares podem ser reduzidas a equações sem módulo usando propriedades do módulo, e então resolvidas algebraicamente ou geometricamente.
3. O método de intervalos é útil para equações com dois ou mais módulos, dividindo o domínio em intervalos onde os sinais das expressões são preservados.
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar o sinal dos termos do numerador e denominador e analisar em quais intervalos esses sinais são iguais ou diferentes de acordo com a especificação da inequação original.
3. As soluções finais são expressas como união de intervalos na reta numérica.
1. O documento discute equações irracionais, definindo raízes de ordem ímpar e par e propriedades básicas delas. 2. Explica que muitas equações irracionais podem ser representadas na forma n√f(x) = g(x) e o método geral de resolução é reduzi-las a equações polinomiais. 3. Apresenta exemplos de resolução de equações irracionais usando este método.
1) O documento apresenta exercícios de funções para serem resolvidos, incluindo verificar se determinadas funções são pares, ímpares ou nenhuma das duas. 2) Fornece as definições de funções pares e ímpares. 3) Resolve os itens solicitados, concluindo que a função f(x)=x2 é par, f(x)=x2-2x+3 não é par nem ímpar e f(x)=√x não é par nem ímpar.
1) O documento apresenta 12 exercícios sobre conjuntos, números racionais e relações entre conjuntos. 2) Os conjuntos vazios são B e D. As igualdades verdadeiras são a), b) e c). 3) As proposições verdadeiras sobre subconjuntos são a), c), d) e e).
O documento discute propriedades de funções e resolução de exercícios relacionados. Em três frases:
1. O documento analisa propriedades de monotonia de funções como f(x) = x2, f(x) = √x + 1 e f(x) = cos x, encontrando os maiores intervalos onde cada função é crescente ou decrescente.
2. Também verifica a presença de extremos globais e locais em funções como f(x) = 1 − 2x e f(x) = |1 − 2x| em diferentes intervalos.
1) A função é contínua em alguns pontos e descontínua em outros, com diferentes tipos de descontinuidade como salto e essencial. 2) A função é limitada em alguns intervalos fechados e não limitada em outros intervalos abertos ou sem limite superior. 3) Os extremos são encontrados quando a função é decrescente ou crescente e o intervalo é fechado.
1) O documento descreve as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente, definindo-as geometricamente em relação a um círculo unitário e apresentando suas propriedades fundamentais.
2) É apresentada a conversão entre graus e radianos, assim como os valores de seno, cosseno e tangente para alguns ângulos específicos como 30°, 45° e 60°.
3) São mostradas as definições, gráficos e propriedades das funções seno, cosseno e tangente, incluindo a relação fundamental entre elas
1) O documento discute transformações de funções e seus gráficos, incluindo translações horizontais e verticais, extensões e compressões horizontais e verticais, e combinações de transformações.
2) Exemplos detalhados são fornecidos para transformar gráficos de funções originais em gráficos de novas funções usando essas técnicas.
3) Figuras ilustram as etapas das transformações de funções para chegar aos gráficos solicitados.
1) O documento discute definições e propriedades de funções, incluindo domínio, imagem e modos de definição como analítico, geométrico e numérico.
2) Uma função é definida como uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do domínio corresponde a exatamente um elemento da imagem. Funções podem ser definidas analiticamente por fórmulas explícitas ou implícitas.
3) A imagem de uma função é o subconjunto do contradomínio onde cada elemento tem pelo menos um correspondente no domínio
1. O documento apresenta exercícios de resolução de inequações com frações de termos lineares e quadráticos.
2. As soluções envolvem encontrar as raízes dos polinômios no numerador e denominador e analisar o sinal de cada termo em diferentes intervalos de x.
3. Os resultados são expressos como a união de intervalos na reta numérica ou por meio de tabelas de sinais.
1) O documento descreve diferentes tipos de funções elementares, incluindo funções constantes, identidade, lineares, do primeiro grau, módulo, quadráticas e racionais.
2) As funções constantes, identidade e lineares têm domínio R, enquanto funções do primeiro grau e quadráticas mapeiam R para R.
3) A função módulo mapeia R para [0, +∞) e funções racionais têm domínio excluindo valores que tornam o denominador zero.
O documento apresenta exercícios sobre funções e suas transformações. Inclui questões sobre encontrar gráficos de funções a partir de transformações de funções originais, como translações, extensões e compressões. Também pede para analisar propriedades e esboçar gráficos de funções como f(x) = |1 − 3x| e f(x) = 4 − x2.
1) A função f(x) = x2/(x2-1) é analisada em detalhe. Seu domínio é R\{-1,1} e sua imagem é (-∞,0] ∪ (1,∞).
2) A função é par e não é periódica. Tem um máximo local em (0,0) e assíntotas horizontais em y=1 e verticais em x=-1 e x=1.
3) Com base nas propriedades, o gráfico da função é esboçado, mostrando sua decrescência estrita em
1. O documento fornece exemplos resolvidos de funções compostas, sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
2. As funções compostas são analisadas determinando seus domínios e imagens para garantir que uma função esteja contida no domínio da outra antes de compor.
3. Exemplos mostram como determinar o menor valor para que uma função seja sobrejetora ou injetora entre dois conjuntos, analisando quando seus valores se repetem.
O documento explica o conceito de composição de funções, definindo-a como g(f(x)) e discutindo seu domínio. Ele fornece exemplos detalhados de como calcular o domínio da composição de diferentes funções, ilustrando com diagramas conceituais.
O documento discute limites de funções. Apresenta a definição formal de limite e exemplos de cálculo de limites à direita, esquerda e bilateral. Também aborda limites infinitos e casos em que o limite não existe devido a limites laterais diferentes.
1) A função f(x) = 8x - x^2 é uma parábola voltada para baixo com vértice em (4,16). Seu domínio é R e imagem é (-∞,16]. É crescente em (-∞,4) e decrescente em (4,+∞).
2) A função f(x) = |3-x| é modular com vértice em (3,0). Seu domínio é R e imagem é [0,+∞). É decrescente em (-∞,3) e crescente em (3,+∞).
1) O documento discute limites de sequências e funções, introduzindo conceitos como limite à esquerda, direita e geral.
2) É apresentado o paradoxo de Zenão sobre a corrida de Aquiles e a tartaruga, ilustrando o conceito de limite de uma sequência.
3) Definições formais de limite são fornecidas, incluindo limites laterais e unicidade do limite. Exemplos ilustram como calcular limites.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
Este documento descreve os conceitos fundamentais da interpolação polinomial. Apresenta as fórmulas para interpolação linear e quadrática, bem como a fórmula geral de Lagrange para interpolação polinomial de grau n. Explica também como calcular o erro de truncatura cometido ao aproximar uma função por um polinômio interpolador.
O documento descreve conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) definição de polinômio; 2) grau de um polinômio; 3) valor numérico de um polinômio; 4) divisão de polinômios. Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos na resolução de exercícios.
O documento explica operações com polinômios, incluindo a divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) e como determinar o resto da divisão. Também aborda a divisão de P(x) por um produto de binômios (x - a)(x - b) e como determinar os valores de m e n para que um polinômio P(x) seja divisível por tal produto.
O documento explica a divisão de polinômios por binômios e como encontrar o resto da divisão usando o Teorema do Resto. Também mostra como determinar se um polinômio é divisível por um produto de binômios e como encontrar os coeficientes de um polinômio para que ele seja divisível por um produto de binômios.
O documento apresenta os conceitos básicos de polinômios, incluindo: (1) definição de polinômio como uma soma de monômios; (2) operações com monômios e polinômios como adição, subtração, multiplicação e divisão; (3) grau de um polinômio; (4) raízes de equações polinomiais.
O documento discute conceitos fundamentais sobre polinômios, incluindo:
1) Definição de polinômio, monômio e operações entre eles como adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) Grau de um polinômio e identidade polinomial.
3) Resolução de equações polinomiais e propriedades das raízes.
O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
O documento descreve uma aula sobre cálculo I. Nela, o professor revisa teoremas como o teorema do confronto e do anulamento e resolve exercícios, incluindo o estudo do limite quando x tende a 0 de funções como x4cos(2x) e √x2sen(π/x). Ele também discute a motivação para a definição formal de limite e visualiza elementos da definição no GeoGebra.
O documento fornece uma introdução sobre polinômios, definindo-os como funções algébricas e discutindo seus conceitos básicos como grau, valor numérico e igualdade. Exemplos ilustram como calcular esses conceitos e resolver problemas envolvendo polinômios.
O documento fornece uma introdução sobre polinômios, definindo-os como funções algébricas e discutindo seus conceitos básicos como grau, valor numérico e igualdade. Exemplos ilustram como calcular esses conceitos e resolver problemas envolvendo polinômios.
1) O documento discute cálculo aproximado de integrais numéricas usando interpolação polinomial.
2) Métodos como a regra dos trapézios, regra de Simpson 1/3 e regra de Simpson 3/8 aproximam a integral de uma função através de um polinômio de interpolação.
3) Erros ocorrem na interpolação e integração numérica devido à diferença entre a função real e seu polinômio de aproximação.
1) O documento discute cálculo aproximado de integrais numéricas usando interpolação polinomial.
2) Métodos como a regra dos trapézios, regra de Simpson 1/3 e regra de Simpson 3/8 aproximam a integral de uma função através de um polinômio de interpolação.
3) Erros ocorrem na interpolação polinomial e na integração numérica, e a fórmula do resto de Lagrange fornece uma estimativa do erro de interpolação.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de cálculo, como:
1) Limites, definidos como a aproximação de uma função quando sua variável independente tende a um valor;
2) Derivadas, definidas como a razão entre o incremento da função e o incremento da variável independente, representando a taxa de variação da função;
3) Continuidade, relacionada à ausência de descontinuidades no gráfico da função.
aula sobre polinomios matematica basica1RobertaArago2
1) O documento discute polinômios, que são expressões algébricas formadas por números e letras. Os polinômios podem representar valores desconhecidos e têm aplicações como previsão do tempo e cálculo de áreas e vendas.
2) Exemplos de polinômios incluem termos com coeficientes e variáveis elevadas a diferentes potências.
3) Polinômios podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos usando regras algébricas.
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
O documento discute conceitos fundamentais sobre limites de funções, incluindo: (1) a definição formal de limite de funções, (2) a relação entre limites e sequências, (3) propriedades aritméticas dos limites e (4) limites laterais e no infinito.
(1) O documento descreve técnicas de integração por partes, incluindo a fórmula geral e exemplos de sua aplicação. (2) A integração por partes permite transformar uma integral desconhecida em outra mais simples. (3) Os exemplos ilustram como a técnica pode ser usada repetidamente para resolver integrais mais complexas.
Este documento fornece uma lista de exercícios de cálculo de Stewart sobre várias técnicas de integração, incluindo integração por partes, integrais trigonométricas, frações parciais e integrais impróprias, com referências às páginas e exercícios específicos no livro de Stewart para cada tópico.
El documento lista ejercicios de cálculo de varias aplicaciones de la integración, incluyendo áreas entre curvas, volúmenes de sólidos, trabajo y longitud de arco. Los ejercicios provienen del libro de texto Stewart Cálculo, Volumen 1 y cubren páginas 386, 397, 407 y 493.
1) O documento descreve como calcular a área entre curvas e o volume de sólidos de revolução usando integrais.
2) A área entre duas curvas f(x) e g(x) é calculada como a integral de |f(x)-g(x)| no intervalo considerado.
3) O volume de um sólido de revolução é calculado como a integral da área da seção transversal A(x) em relação ao eixo de rotação.
Este documento contiene una lista de ejercicios sobre integrales de varios capítulos del libro Cálculo de Stewart. La lista incluye ejercicios sobre sumas de Riemann, integrales definidas, integrales indefinidas y la regla de sustitución, con referencias a las páginas y ejercicios específicos del libro de texto.
O documento discute as propriedades de relações em conjuntos, incluindo: (1) relações de equivalência, que são reflexivas, simétricas e transitivas; (2) relações de ordem, que são reflexivas, antissimétricas e transitivas; e (3) exemplos de relações que satisfazem essas propriedades, como igualdade e divisibilidade.
O documento discute relações binárias, definindo-as como uma terna ordenada composta por um grafo e dois conjuntos. Ele também define domínio e imagem de uma relação, relação recíproca, operações com relações e imagem de conjuntos por uma relação.
O documento discute grafos e suas propriedades. Em três frases ou menos:
1) Grafos são conjuntos de pares ordenados e exemplos incluem {(a,1), (3,(3,4))} e {(1,2), (2,3), (1,4)}. 2) As projeções de um grafo G são os conjuntos pr1G e pr2G de seus primeiros e segundos elementos. 3) A composição de grafos G e H é o grafo G ◦ H cujos elementos são pares (x,y) tal que existe z com (x,z) em H
O documento discute operações com conjuntos, incluindo:
1) A definição e propriedades da interseção de conjuntos;
2) A definição e propriedades de conjuntos disjuntos;
3) A definição e propriedades da união de conjuntos.
O documento discute conjuntos, incluindo:
1) Igualdade de conjuntos e suas propriedades como reflexividade e transitividade.
2) Relação de inclusão entre conjuntos e suas propriedades.
3) Noções de subconjuntos e conjunto de partes de um conjunto.
O documento discute os conceitos básicos de conjuntos, incluindo: (1) Definições de conjunto segundo Bourbaki e Cantor; (2) Exemplos de conjuntos; (3) Relação de pertinência; (4) Conjunto universo; (5) Conjunto unitário e conjunto vazio.
1. O documento apresenta uma análise completa de três funções, estudando seu domínio, imagem, pontos de interseção com os eixos, intervalos de monotonia, continuidade e comportamento assintótico.
2. A primeira função é f(x) = x3 - 3x + 2, que é crescente nos intervalos (-∞, -2) e (1, +∞) e decrescente nos intervalos (-2, 1) e (1, 0). Sua imagem é R.
3. A segunda função é f(x) = x2/(x2
O documento discute propriedades de funções, incluindo continuidade, limites, funções pares e ímpares, períodicidade, intervalos de monotonia e extremos. Apresenta exemplos para ilustrar cada conceito.
1) Explica como resolver equações polinomiais de 1o e 2o grau, e que equações de grau superior a 2 são mais complexas de resolver;
2) Diz que o Teorema Fundamental da Álgebra afirma que toda equação polinomial tem exatamente n raízes complexas, mas o número de raízes reais depende da forma da equação;
3) Explica que para graus maiores que 4 não há fórmulas gerais, mas podemos tentar reduzir o grau encontrando um fator que divida o polinômio.
1) O documento descreve três métodos de prova matemática: prova direta, prova de bicondicional e prova por redução ao absurdo.
2) Na prova direta, parte-se de uma hipótese P para deduzir uma conclusão Q. Na prova de bicondicional, provam-se as implicações P→Q e Q→P.
3) A prova por redução ao absurdo parte da negação de uma afirmação P para deduzir uma contradição e provar P.
A Maçonaria é uma fraternidade universal que busca o autoconhecimento e o aprimoramento moral por meio de símbolos e alegorias, sem envolver-se em política ou religião. Ela trabalha pelo desenvolvimento espiritual da humanidade de forma discreta e através de atividades filantrópicas e culturais.
O documento discute arcos e ângulos de circunferência. Explica que um arco de circunferência é uma parte da circunferência entre duas pontas e que pode ser medido em graus ou radianos. Também define ângulos centrais e como medir seus tamanhos em radianos.
O documento apresenta três exemplos de indução finita para provar as seguintes propriedades: (1) 2n ≥ n + 1 para todo n natural; (2) a soma de todos os ímpares até 2n - 1 é igual a n2; (3) 2n > n para todo n natural.
1. FUNC¸ ˜AO POLINOMIAL
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
DEFINIC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO POLINOMIAL
f(x) = a0xn
+ a1xn−1
+ a2xn−2
+ · · · + an−1x + an com dom(f) = R
Onde: a0, a1, . . . an ∈ R s˜ao chamados de coeficientes do polinˆomio, com
a0 = 0, e n ´e o grau do polinˆomio. As express˜oes a0xn
, a1xn−1
, a2xn−2
, . . . s˜ao
chamadas de termos, a0xn
´e chamado de termo principal e a0 ´e o coeficiente
principal. O termo an ´e chamado de termo constante ou termo independente.
EXEMPLOS
f(x) = x2
− 1 com n = 2 f(x) = x3
− 2x + 1 com n = 3
1
2. COMPORTAMENTO NOS EXTREMOS DO EIXO X
O comportamento da fun¸c˜ao polinomial para x → −∞ e x → +∞ ´e
totalmente determinado pelo seu termo principal.
Exemplo:
f(x) = x3
f(x) = x3
− 2x + 1
Vejamos isso nos seguintes gr´aficos que est˜ao em escalas progressivamente
maiores:
Escala 1 Escala 2 Escala 3
Isso significa que para valores muito grandes de x, tanto positivos quanto
negativos, x3
− 2x + 1 se aproxima de x3
, x3
− 2x + 1 ≈ x3
, ou seja:
lim
x→±∞
(x3
− 2x + 1) ≈ lim
x→±∞
x3
Os termos de menor grau s˜ao “absorvidos” pelo de maior grau, para
valores grandes de x, porque o de maior grau cresce muito mais r´apido.
2
3. A determina¸c˜ao dos limites para x → −∞ e x → +∞ pode ser resolvida
pela an´alise do grau n do polinˆomio e pelo sinal do coeficiente principal a0:
a0 > 0 e n ´ımpar a0 < 0 e n ´ımpar
limx→+∞ f(x) = +∞ limx→+∞ f(x) = −∞
limx→−∞ f(x) = −∞ limx→−∞ f(x) = +∞
a0 > 0 e n par a0 < 0 e n par
limx→+∞ f(x) = +∞ limx→+∞ f(x) = −∞
limx→−∞ f(x) = +∞ limx→−∞ f(x) = −∞
RA´IZES DAS FUNC¸ ˜OES POLINOMIAIS
As ra´ızes ou zeros da fun¸c˜ao polinomial correspondem aos pontos em que
a curva da fun¸c˜ao intercepta o eixo x.
3
4. Exemplo:
f(x) = x3
− x2
− 6x
Resolvendo a equa¸c˜ao f(x) = 0 ou x3
− x2
− 6x = 0:
1. x3
− x2
− 6x = 0
2. x(x2
− x − 6) = 0
3. x(x − 3)(x + 2) = 0 [pois as ra´ızes de x2
− x − 6 s˜ao x = 3 e x = −2]
4. x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = −2
Assim, as ra´ızes de f s˜ao 0, 3 e −2.
A determina¸c˜ao dos zeros da fun¸c˜ao foi feita por fatora¸c˜ao do polinˆomio,
onde cada fator (x − k) determina uma raiz x = k.
Tomemos como exemplo a fun¸c˜ao f(x) = x3
− x2
− 5x − 3, que pode ser
fatorada como f(x) = (x − 3)(x + 1)2
, onde as ra´ızes s˜ao x = 3 e x = −1, e
a segunda ra´ız ´e repetida, ou seja, ´e uma raiz com duplicidade.
4
5. DIVIS˜AO LONGA DE POLINˆOMIOS
Usamos, para a divis˜ao de polinˆomios, o mesmo sistema usado com n´ume-
ros. Na divis˜ao, os n´umeros s˜ao analisados do d´ıgito mais significativo para
o menos.
Exemplo: 6696 ÷ 31
6696 ÷ 31
−62 2
49
−31 21
186
−186 216
0
Logo, 6696 ÷ 31 = 216 com resto zero (divis˜ao exata).
Sejam os polinˆomios d(x), q(x), r(x) e f(x). Podemos escrever
f(x) = d(x) × q(x) + r(x)
Ou seja:
f(x)
d(x)
= q(x) +
r(x)
d(x)
Onde:
• f(x) - dividendo
• d(x) - divisor
• q(x) - quociente
• r(x) - resto
Se r(x) = 0 ent˜ao se diz que a divis˜ao ´e exata.
Da mesma forma que com os n´umeros, posto na forma canˆonica, o po-
linˆomio ser´a dividido, na divis˜ao longa, do termo de maior grau para o de
menor grau.
5
6. Exemplo: (x3
+ 4x2
+ 2x − 1) ÷ (x + 1)
x3
+ 4x2
+ 2x − 1 ÷ x + 1
−x3
− x2
x2
0 + 3x2
+ 2x
−3x2
− 3x x2
+ 3x
0 − x − 1
x + 1 x2
+ 3x − 1
0
DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI
Suponha um polinˆomio p(x). Queremos dividir p(x) por (x − k), para
k ∈ R.
k coeficientes do dividendo termo constante do dividendo
coeficientes do quociente resto da divis˜ao
Exemplo: (x2
+ 4x + 3) ÷ (x + 1)
−1
!!
00
1
4 3
1 −1 + 4 = 3
−3 + 3 = 0
1 × (−1) = −1
55
3 0
3 × (−1) = −3
;;
Ao dividir um polinˆomio de grau n por um de grau m, o grau do polinˆomio
resultante ´e n − m. Assim, para o caso do exemplo, 2 − 1 = 1 e o resultado
ser´a um polinˆomio do 1o
grau:
(x2
+ 4x + 3) ÷ (x + 1) = (x + 3) com resto zero (divis˜ao exata)
6
7. TEOREMA DO RESTO
Se um polinˆomio f(x) ´e dividido por x − k, ent˜ao o resto ´e r = f(k).
Exemplo: Tomando o polinˆomio f(x) = x3
+ 4x2
+ 2x − 1, que ´e divis´ıvel
por x + 1, como j´a vimos, ent˜ao k = −1 e:
f(−1) = (−1)3
+ 4(−1)2
+ 2(−1) − 1 = 0
Exemplo: Seja o polinˆomio f(x) = x3
− 2x + 5 que, ao ser dividido por
d(x) = x + 1, resulta em q(x) = x2
− x − 1 com resto r(x) = 6. Basta ver
pelo teorema que f(−1) = (−1)3
− 2(−1) + 5 = 6.
TEOREMA DE D’ALEMBERT
Uma fun¸c˜ao polinomial f(x) tem um fator x − k se e somente se f(k) = 0.
APLICAC¸ ˜AO DOS TEOREMAS EM FATORAC¸ ˜AO
Exemplo: Fatorar f(x) = 3x2
+ 7x − 20.
Determinamos se f(x) ´e divis´ıvel por:
• x − 2 : r = f(2) = 3(2)2
+ 7(2) − 20 = 6 e portanto a divis˜ao n˜ao ´e
exata.
• x + 1 : r = f(−1) = 3(−1)2
+ 7(−1) − 20 = −24 e portanto a divis˜ao
n˜ao ´e exata.
• x + 4 : r = f(−4) = 3(−4)2
+ 7(−4) − 20 = 0 e portanto o polinˆomio
´e divis´ıvel por x + 4.
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