O documento apresenta exercícios sobre coordenadas cartesianas e funções. Os exercícios incluem marcar pontos no plano cartesiano, desenhar regiões definidas por fórmulas, calcular distâncias entre pontos, encontrar domínios de funções, avaliar funções em pontos específicos, verificar se funções são limitadas ou periódicas. As respostas devem conter todo o raciocínio lógico desenvolvido.

1. 1
Coordenadas cartesianas. Funções e suas propriedades.
Lista 8a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
1. Marcar os pontos dados no plano cartesiano:
O = (0, 0), A = (−3, 4), B = (1, 4), C = (−3, −2).
Solução.
Figura 1: Exercício 1.
2. Desenhar as regiões no plano cartesiano denidas pelas fórmulas:
a) P = (x, y): y = 1; b) P = (x, y): x ≥ −2; c) P = (x, y): |x| 1, y 0.
Solução.
Figura 2: Exercício 2a).

2. 2
Figura 3: Exercício 2b).
Figura 4: Exercício 2c).
3. Marcar os pontos A e B no plano cartesiano e encontrar a distância entre eles:
a) A = (0, 0), B = (0, 1);
b) A = (1, 2), B = (0, 1);
c) A = (−1, 2), B = (−3, −2);
d) A = (3, −1), B = (−2, 3).
Encontrar o ponto médio do segmento AB.
Solução de 3c):
Usando a fórmula-padrão da distância entre dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB): d(A, B) =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2, obtemos d(A, B) =
√
(−1 − (−3))2 + (2 − (−2))2 =
√
20.
Usando a fórmula-padrão do ponto médio C do segmento AB, onde A = (xA, yA) e B = (xB, yB):
C = (xA+xB
2
, yA+yB
2
), obtemos C = (−1+(−3
2
), 2+(−2)
2
) = (−2, 0).
4. Encontrar o domínio da função:
a) f(x) = 1
x2−x
;
b) f(x) =
√
9 − x2 .
Solução.

3. 3
a) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior
conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a única
restrição é que o denominador deve ser diferente de 0, de onde vem x(x − 1) ̸= 0, isto é, x ̸= 0,
x ̸= 1. Sem outras restrições, concluímos que o domínio é X = (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞).
b) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior
conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a
denição da raiz leva a restrição 9 − x2
≥ 0, ou x2
≤ 9, cuja solução −3 ≤ x ≤ 3. Sem outras
restrições, concluímos que o domínio é X = [−3, 3].
5. Encontrar a) f(0), b) f(−3), c) f(x + 3), d) f(x
2
), e) f( 1
x2 ) para f(x) =
√
x2 − 9.
Solução.
a) a função não é denida no ponto 0, b) f(−3) =
√
(−3)2 − 9 =
√
9 − 9 = 0,
c) f(x + 3) =
√
(x + 3)2 − 9 =
√
x2 + 6x, d) f(x
2
) =
√(x
2
)2
− 9 =
√
x2
4
− 9 = 1
2
√
x2 − 36,
e) f( 1
x2 ) =
√( 1
x2
)2
− 9 =
√
1
x4 − 9 = 1
x2
√
1 − 9x4.
6. Vericar se a função é limitada, limitada superiormente, inferiormente ou ilimitada no con-
junto indicado:
a) f(x) = 4x − x2
− 3, S = R;
b) f(x) = 4x − x2
− 3, S = [−1, 1];
c) f(x) =
√
x + 1, S = [−1, +∞).
Solução.
Lembremos que uma função y = f(x) é limitada superiormente/inferiormente num subconjunto
S do seu domínio X, se existe constante M/m tal que para qualquer x ∈ S temos f(x) ≤ M/f(x) ≥
m. A função é limitada em S se ela é limitada superiormente e inferiormente em S.
a,b) Para simplicar raciocínio, representamos a função quadrática na forma canônica, formando
um quadrado que absorve o termo linear: f(x) = 1 − (x − 2)2
. Nessa forma, ca claro que qualquer
valor da função é menor ou igual a 1: f(x) f(2) = 1, ∀x ̸= 2. Logo, a função é limitada
superiormente em qualquer conjunto S e uma das cotas superiores é M = 1 = f(2). No conjunto
R a função é ilimitada inferiormente, porque sempre existem x tais que f(x) m qualquer que for
constante m. Realemnte, consideremos um valor arbitrário e negativo de m (para m não negativo
basta pegar x = 0) e resolvemos a desigualdade f(x) = 1 − (x − 2)2
m. A última equivale a
(x − 2)2
1 − m e, para x 2, temos x 2 +
√
1 − m. Dessa maneira, encontramos os valores
procurados de x. Por outro lado, no conjunto S = [−1, 1] a função é limitada inferiormente, uma
vez que f(x) f(−1), ∀x ∈ [−1, 1] e, portanto, uma das cotas inferiores pode ser m = f(−1) = −8.
Logo, em S = [−1, 1], a função é limitada.
c) Pela denição da raiz quadrada, f(x) =
√
x + 1 ≥ 0 em todo o seu domínio (que é S =
[−1, +∞)). Logo, f(x) é limitada inferiormente, com uma das cotas inferiores m = f(−1) = 0.
Mas f(x) não é limitada superiormente uma vez que a desigualdade f(x) =
√
x + 1 M tem
soluções para qualquer valor de M. De fato, considerando M 0 (para M ≤ 0 podemos tomar
qualquer x −1), transformamos a desigualdade para f(x) na forma equivalente x M2
− 1,
que mostra um conjunto innito dos valores de x para os quais f(x) M. Assim, a função não é
limitada superiormente.
7. Vericar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas:
a) f(x) = x2
;
b) f(x) = x2
− 2x + 3;
c) f(x) =
√
x.
Solução.
Recordamos que, pela denição, uma função f(x) é chamada par se, para qualquer x do seu
domínio X é válida a seguinte relação: f(−x) = f(x). Dessa relação segue imediatamente que

4. 4
o domínio de uma função par deve ser simétrico em relação a origem (se x pertence a X, então
−x também) e que o gráco de uma função par é simétrico em relação ao eixo y (se o ponto de
coordenadas (x, f(x)) pertence ao gráco, então o ponto de coordenadas (−x, f(−x)) = (−x, f(x))
também pertence).
Recordamos também que, pela denição, uma função f(x) é chamada ímpar se, para qualquer x
do seu domínio X é válida a seguinte relação: f(−x) = −f(x). Dessa relação segue imediatamente
que o domínio de uma função ímpar deve ser simétrico em relação a origem (se x pertence a
X, então −x também) e que o gráco de uma função ímpar é simétrico em relação a origem das
coordenadas (se o ponto de coordenadas (x, f(x)) pertence ao gráco, então o ponto de coordenadas
(−x, f(−x)) = (−x, −f(x)) também pertence).
a) Para função f(x) = x2
temos: f(−x) = (−x)2
= x2
= f(x), para qualquer x dos reais.
Portanto, a função é par.
b) Para função f(x) = x2
− 2x + 3 temos: f(−x) = (−x)2
− 2 · (−x) + 3 = x2
+ 2x + 3. Então,
aparentemente, f(−x) ̸= f(x) e f(−x) ̸= −f(x). Para ver melhor, escolhemos um valor especíco,
por exemplo, x = 1. Então, f(1) = 1 − 2 + 3 = 2, enquanto f(−1) = 1 + 2 + 3 = 6. Obviamente,
f(−1) ̸= f(1) e f(−1) ̸= −f(1). Portanto, a função não é par nem ímpar.
c) Para função f(x) =
√
x notamos que o seu domínio é X = [0, +∞), ou seja, não é simétrico
em relação a origem. Portanto, não há necessidade de vericar a propriedade principal, já podemos
concluir que a função não é par nem ímpar.
8. Vericar se a função é periódica:
a) f(x) = cos 2x;
b) f(x) = x2
+ 3;
c) f(x) =
√
x + 1.
Solução.
Recordamos que f(x) é periódica se existe uma constante T ̸= 0 (chamada de período) tal que
para qualquer x do domínio dessa função é válida a seguinte propriedade: f(x + T) = f(x).
a) Como a função cos x é periódica, podemos supor que a dada também é. Testando o período
mínimo T = 2π de cos x, obtemos f(x + 2π) = cos 2(x + 2π) = cos(4x + 4π) = cos 2x. Podemos
até precisar o resultado: notando que o acrescimo de T para x resulta em acrescimo de 2T para
2x, podemos sugerir que T0 = π também é período de f(x) e comprovamos isso de modo simples:
f(x + π) = cos 2(x + π) = cos(2x + 2π) = cos 2x. Na realidade, T0 = π é o período mínimo de f(x).
b) Faremos demonstração do contrário: vamos supor, por absurdo, que f(x) é uma função
periódica e, então, para algum T ̸= 0 deve ser satisfeita a relação f(x + T) = f(x) para ∀x ∈ R.
Vamos ver aonde leva essa suposição. Temos f(x + T) = (x + T)2
+ 3 = x2
+ 3 = f(x), ou
simplicando, 2xT + T2
= 0 ou ainda T(2x + T) = 0. Como T ̸= 0, então resta a opção T = −2x,
mas T é uma constante, cujo valor não depende de x. Assim chegamos a contradição e, portanto,
f(x) não é periódica.
c) A avaliação de f(x) =
√
x + 1 ca simples se lembramos que o domínio de uma função
periódica é ilimitada tanto à esquerda como à direita. Ao contrário disso, o domínio da função dada
é limitado à esquerda: x ≥ −1, o que signica que a função não é periódica.
7. Demana, p.80-81:
N 1, 2, 5, 6, 10, 14, 17, 19 , 36, 39, 48, 49, 51, 53
Soluções complementares para exercícios de Demana.
Encontrar a imagem da função e comparar a resposta com a de Demana p.283:
a) N17: f(x) = 10 − x2
. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = 10 − x2
são
todos os reais (X = R). Segundo, como x2
≥ 0, ∀x e x2
0, ∀x ̸= 0, então y = 10 − x2
≤ 10, ∀x
e 10 − x2
10, ∀x ̸= 0 (lembramos que o símbolo ∀ signica para qualquer, qualquer). Logo,
a imagem Y é contida em (−∞, 10]. Vamos ver que qualquer número do último intervalo entra em

5. 5
Y . Pela denição, temos que tomar ∀y ∈ (−∞, 10] e mostrar que ele pertence ao conjunto imagem.
Então, de acordo com a denição, se y ≤ 10, deve existir pelo menos um número x do domínio tal
que y = 10 − x2
, ou, em outras palavras, a equação y = 10 − x2
deve ter pelo menos uma solução
real para incógnita x. Isso realmente se observa, porque a solução dessa equação se encontra na
forma x = ±
√
10 − y para qualquer y ≤ 10.
b) N19: f(x) = x2
1−x2 . Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = x2
1−x2 consiste de
todos x que não anulam o denominador, isto é, x ̸= ±1. Agora, para descobrir a imagem, temos
que ver para os quais valores de y a equação y = x2
1−x2 em relação a incógnita x tem pelo menos uma
solução. Para resolver, reescrevemos ela na forma (1 − x2
)y = x2
e depois x2
(1 + y) = y. Supondo,
no momento, que y ̸= −1, temos ainda x2
= y
1+y
. A última equação tem soluções quando a parte
direita não é negativa: y
1+y
≥ 0, o que ocorre quando y ≥ 0 e 1+y 0, ou quando y ≤ 0 e 1+y 0.
Das primeiras duas restrições temos y ≥ 0 e das segundas duas: y −1. Restou ainda vericar se
y = −1 faz parte da imagem: neste caso temos x2
1−x2 = −1 ou x2
= x2
− 1 ou 0 = −1 o que é uma
armação falsa. Assim a imagem é Y = (−∞, −1) ∪ [0, +∞).
Veja também vários exercícios, ligados a denição de uma função, sua limitação e diferentes
tipos de simetria, resolvidos no texto PropriedadesFuncoes.pdf, páginas 1-13.