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Coordenadas cartesianas. Funções e suas propriedades.
Lista 8a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento.
Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido.
Somente conclusões nais não serão aceitas.
1. Marcar os pontos dados no plano cartesiano:
O = (0, 0), A = (−3, 4), B = (1, 4), C = (−3, −2).
Solução.
Figura 1: Exercício 1.
2. Desenhar as regiões no plano cartesiano denidas pelas fórmulas:
a) P = (x, y): y = 1; b) P = (x, y): x ≥ −2; c) P = (x, y): |x|  1, y  0.
Solução.
Figura 2: Exercício 2a).
2
Figura 3: Exercício 2b).
Figura 4: Exercício 2c).
3. Marcar os pontos A e B no plano cartesiano e encontrar a distância entre eles:
a) A = (0, 0), B = (0, 1);
b) A = (1, 2), B = (0, 1);
c) A = (−1, 2), B = (−3, −2);
d) A = (3, −1), B = (−2, 3).
Encontrar o ponto médio do segmento AB.
Solução de 3c):
Usando a fórmula-padrão da distância entre dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB): d(A, B) =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2, obtemos d(A, B) =
√
(−1 − (−3))2 + (2 − (−2))2 =
√
20.
Usando a fórmula-padrão do ponto médio C do segmento AB, onde A = (xA, yA) e B = (xB, yB):
C = (xA+xB
2
, yA+yB
2
), obtemos C = (−1+(−3
2
), 2+(−2)
2
) = (−2, 0).
4. Encontrar o domínio da função:
a) f(x) = 1
x2−x
;
b) f(x) =
√
9 − x2 .
Solução.
3
a) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior
conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a única
restrição é que o denominador deve ser diferente de 0, de onde vem x(x − 1) ̸= 0, isto é, x ̸= 0,
x ̸= 1. Sem outras restrições, concluímos que o domínio é X = (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞).
b) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior
conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a
denição da raiz leva a restrição 9 − x2
≥ 0, ou x2
≤ 9, cuja solução −3 ≤ x ≤ 3. Sem outras
restrições, concluímos que o domínio é X = [−3, 3].
5. Encontrar a) f(0), b) f(−3), c) f(x + 3), d) f(x
2
), e) f( 1
x2 ) para f(x) =
√
x2 − 9.
Solução.
a) a função não é denida no ponto 0, b) f(−3) =
√
(−3)2 − 9 =
√
9 − 9 = 0,
c) f(x + 3) =
√
(x + 3)2 − 9 =
√
x2 + 6x, d) f(x
2
) =
√(x
2
)2
− 9 =
√
x2
4
− 9 = 1
2
√
x2 − 36,
e) f( 1
x2 ) =
√( 1
x2
)2
− 9 =
√
1
x4 − 9 = 1
x2
√
1 − 9x4.
6. Vericar se a função é limitada, limitada superiormente, inferiormente ou ilimitada no con-
junto indicado:
a) f(x) = 4x − x2
− 3, S = R;
b) f(x) = 4x − x2
− 3, S = [−1, 1];
c) f(x) =
√
x + 1, S = [−1, +∞).
Solução.
Lembremos que uma função y = f(x) é limitada superiormente/inferiormente num subconjunto
S do seu domínio X, se existe constante M/m tal que para qualquer x ∈ S temos f(x) ≤ M/f(x) ≥
m. A função é limitada em S se ela é limitada superiormente e inferiormente em S.
a,b) Para simplicar raciocínio, representamos a função quadrática na forma canônica, formando
um quadrado que absorve o termo linear: f(x) = 1 − (x − 2)2
. Nessa forma, ca claro que qualquer
valor da função é menor ou igual a 1: f(x)  f(2) = 1, ∀x ̸= 2. Logo, a função é limitada
superiormente em qualquer conjunto S e uma das cotas superiores é M = 1 = f(2). No conjunto
R a função é ilimitada inferiormente, porque sempre existem x tais que f(x)  m qualquer que for
constante m. Realemnte, consideremos um valor arbitrário e negativo de m (para m não negativo
basta pegar x = 0) e resolvemos a desigualdade f(x) = 1 − (x − 2)2
 m. A última equivale a
(x − 2)2
 1 − m e, para x  2, temos x  2 +
√
1 − m. Dessa maneira, encontramos os valores
procurados de x. Por outro lado, no conjunto S = [−1, 1] a função é limitada inferiormente, uma
vez que f(x)  f(−1), ∀x ∈ [−1, 1] e, portanto, uma das cotas inferiores pode ser m = f(−1) = −8.
Logo, em S = [−1, 1], a função é limitada.
c) Pela denição da raiz quadrada, f(x) =
√
x + 1 ≥ 0 em todo o seu domínio (que é S =
[−1, +∞)). Logo, f(x) é limitada inferiormente, com uma das cotas inferiores m = f(−1) = 0.
Mas f(x) não é limitada superiormente uma vez que a desigualdade f(x) =
√
x + 1  M tem
soluções para qualquer valor de M. De fato, considerando M  0 (para M ≤ 0 podemos tomar
qualquer x  −1), transformamos a desigualdade para f(x) na forma equivalente x  M2
− 1,
que mostra um conjunto innito dos valores de x para os quais f(x)  M. Assim, a função não é
limitada superiormente.
7. Vericar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas:
a) f(x) = x2
;
b) f(x) = x2
− 2x + 3;
c) f(x) =
√
x.
Solução.
Recordamos que, pela denição, uma função f(x) é chamada par se, para qualquer x do seu
domínio X é válida a seguinte relação: f(−x) = f(x). Dessa relação segue imediatamente que
4
o domínio de uma função par deve ser simétrico em relação a origem (se x pertence a X, então
−x também) e que o gráco de uma função par é simétrico em relação ao eixo y (se o ponto de
coordenadas (x, f(x)) pertence ao gráco, então o ponto de coordenadas (−x, f(−x)) = (−x, f(x))
também pertence).
Recordamos também que, pela denição, uma função f(x) é chamada ímpar se, para qualquer x
do seu domínio X é válida a seguinte relação: f(−x) = −f(x). Dessa relação segue imediatamente
que o domínio de uma função ímpar deve ser simétrico em relação a origem (se x pertence a
X, então −x também) e que o gráco de uma função ímpar é simétrico em relação a origem das
coordenadas (se o ponto de coordenadas (x, f(x)) pertence ao gráco, então o ponto de coordenadas
(−x, f(−x)) = (−x, −f(x)) também pertence).
a) Para função f(x) = x2
temos: f(−x) = (−x)2
= x2
= f(x), para qualquer x dos reais.
Portanto, a função é par.
b) Para função f(x) = x2
− 2x + 3 temos: f(−x) = (−x)2
− 2 · (−x) + 3 = x2
+ 2x + 3. Então,
aparentemente, f(−x) ̸= f(x) e f(−x) ̸= −f(x). Para ver melhor, escolhemos um valor especíco,
por exemplo, x = 1. Então, f(1) = 1 − 2 + 3 = 2, enquanto f(−1) = 1 + 2 + 3 = 6. Obviamente,
f(−1) ̸= f(1) e f(−1) ̸= −f(1). Portanto, a função não é par nem ímpar.
c) Para função f(x) =
√
x notamos que o seu domínio é X = [0, +∞), ou seja, não é simétrico
em relação a origem. Portanto, não há necessidade de vericar a propriedade principal, já podemos
concluir que a função não é par nem ímpar.
8. Vericar se a função é periódica:
a) f(x) = cos 2x;
b) f(x) = x2
+ 3;
c) f(x) =
√
x + 1.
Solução.
Recordamos que f(x) é periódica se existe uma constante T ̸= 0 (chamada de período) tal que
para qualquer x do domínio dessa função é válida a seguinte propriedade: f(x + T) = f(x).
a) Como a função cos x é periódica, podemos supor que a dada também é. Testando o período
mínimo T = 2π de cos x, obtemos f(x + 2π) = cos 2(x + 2π) = cos(4x + 4π) = cos 2x. Podemos
até precisar o resultado: notando que o acrescimo de T para x resulta em acrescimo de 2T para
2x, podemos sugerir que T0 = π também é período de f(x) e comprovamos isso de modo simples:
f(x + π) = cos 2(x + π) = cos(2x + 2π) = cos 2x. Na realidade, T0 = π é o período mínimo de f(x).
b) Faremos demonstração do contrário: vamos supor, por absurdo, que f(x) é uma função
periódica e, então, para algum T ̸= 0 deve ser satisfeita a relação f(x + T) = f(x) para ∀x ∈ R.
Vamos ver aonde leva essa suposição. Temos f(x + T) = (x + T)2
+ 3 = x2
+ 3 = f(x), ou
simplicando, 2xT + T2
= 0 ou ainda T(2x + T) = 0. Como T ̸= 0, então resta a opção T = −2x,
mas T é uma constante, cujo valor não depende de x. Assim chegamos a contradição e, portanto,
f(x) não é periódica.
c) A avaliação de f(x) =
√
x + 1 ca simples se lembramos que o domínio de uma função
periódica é ilimitada tanto à esquerda como à direita. Ao contrário disso, o domínio da função dada
é limitado à esquerda: x ≥ −1, o que signica que a função não é periódica.
7. Demana, p.80-81:
N 1, 2, 5, 6, 10, 14, 17, 19 , 36, 39, 48, 49, 51, 53
Soluções complementares para exercícios de Demana.
Encontrar a imagem da função e comparar a resposta com a de Demana p.283:
a) N17: f(x) = 10 − x2
. Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = 10 − x2
são
todos os reais (X = R). Segundo, como x2
≥ 0, ∀x e x2
 0, ∀x ̸= 0, então y = 10 − x2
≤ 10, ∀x
e 10 − x2
 10, ∀x ̸= 0 (lembramos que o símbolo ∀ signica para qualquer, qualquer). Logo,
a imagem Y é contida em (−∞, 10]. Vamos ver que qualquer número do último intervalo entra em
5
Y . Pela denição, temos que tomar ∀y ∈ (−∞, 10] e mostrar que ele pertence ao conjunto imagem.
Então, de acordo com a denição, se y ≤ 10, deve existir pelo menos um número x do domínio tal
que y = 10 − x2
, ou, em outras palavras, a equação y = 10 − x2
deve ter pelo menos uma solução
real para incógnita x. Isso realmente se observa, porque a solução dessa equação se encontra na
forma x = ±
√
10 − y para qualquer y ≤ 10.
b) N19: f(x) = x2
1−x2 . Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = x2
1−x2 consiste de
todos x que não anulam o denominador, isto é, x ̸= ±1. Agora, para descobrir a imagem, temos
que ver para os quais valores de y a equação y = x2
1−x2 em relação a incógnita x tem pelo menos uma
solução. Para resolver, reescrevemos ela na forma (1 − x2
)y = x2
e depois x2
(1 + y) = y. Supondo,
no momento, que y ̸= −1, temos ainda x2
= y
1+y
. A última equação tem soluções quando a parte
direita não é negativa: y
1+y
≥ 0, o que ocorre quando y ≥ 0 e 1+y  0, ou quando y ≤ 0 e 1+y  0.
Das primeiras duas restrições temos y ≥ 0 e das segundas duas: y  −1. Restou ainda vericar se
y = −1 faz parte da imagem: neste caso temos x2
1−x2 = −1 ou x2
= x2
− 1 ou 0 = −1 o que é uma
armação falsa. Assim a imagem é Y = (−∞, −1) ∪ [0, +∞).
Veja também vários exercícios, ligados a denição de uma função, sua limitação e diferentes
tipos de simetria, resolvidos no texto PropriedadesFuncoes.pdf, páginas 1-13.

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Lista de exercícios 8

  • 1. 1 Coordenadas cartesianas. Funções e suas propriedades. Lista 8a - com respostas no livro/folha de exercícios e atendimento. Atenção. As respostas devem ser completas, contendo todo o desenvolvimento lógico devido. Somente conclusões nais não serão aceitas. 1. Marcar os pontos dados no plano cartesiano: O = (0, 0), A = (−3, 4), B = (1, 4), C = (−3, −2). Solução. Figura 1: Exercício 1. 2. Desenhar as regiões no plano cartesiano denidas pelas fórmulas: a) P = (x, y): y = 1; b) P = (x, y): x ≥ −2; c) P = (x, y): |x| 1, y 0. Solução. Figura 2: Exercício 2a).
  • 2. 2 Figura 3: Exercício 2b). Figura 4: Exercício 2c). 3. Marcar os pontos A e B no plano cartesiano e encontrar a distância entre eles: a) A = (0, 0), B = (0, 1); b) A = (1, 2), B = (0, 1); c) A = (−1, 2), B = (−3, −2); d) A = (3, −1), B = (−2, 3). Encontrar o ponto médio do segmento AB. Solução de 3c): Usando a fórmula-padrão da distância entre dois pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB): d(A, B) = √ (xA − xB)2 + (yA − yB)2, obtemos d(A, B) = √ (−1 − (−3))2 + (2 − (−2))2 = √ 20. Usando a fórmula-padrão do ponto médio C do segmento AB, onde A = (xA, yA) e B = (xB, yB): C = (xA+xB 2 , yA+yB 2 ), obtemos C = (−1+(−3 2 ), 2+(−2) 2 ) = (−2, 0). 4. Encontrar o domínio da função: a) f(x) = 1 x2−x ; b) f(x) = √ 9 − x2 . Solução.
  • 3. 3 a) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a única restrição é que o denominador deve ser diferente de 0, de onde vem x(x − 1) ̸= 0, isto é, x ̸= 0, x ̸= 1. Sem outras restrições, concluímos que o domínio é X = (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞). b) Como o domínio não é indicado por explícito, então, pelo convênio, o domínio é o maior conjunto de números reais para os quais a fórmula da denição tem sentido. Notamos, que a denição da raiz leva a restrição 9 − x2 ≥ 0, ou x2 ≤ 9, cuja solução −3 ≤ x ≤ 3. Sem outras restrições, concluímos que o domínio é X = [−3, 3]. 5. Encontrar a) f(0), b) f(−3), c) f(x + 3), d) f(x 2 ), e) f( 1 x2 ) para f(x) = √ x2 − 9. Solução. a) a função não é denida no ponto 0, b) f(−3) = √ (−3)2 − 9 = √ 9 − 9 = 0, c) f(x + 3) = √ (x + 3)2 − 9 = √ x2 + 6x, d) f(x 2 ) = √(x 2 )2 − 9 = √ x2 4 − 9 = 1 2 √ x2 − 36, e) f( 1 x2 ) = √( 1 x2 )2 − 9 = √ 1 x4 − 9 = 1 x2 √ 1 − 9x4. 6. Vericar se a função é limitada, limitada superiormente, inferiormente ou ilimitada no con- junto indicado: a) f(x) = 4x − x2 − 3, S = R; b) f(x) = 4x − x2 − 3, S = [−1, 1]; c) f(x) = √ x + 1, S = [−1, +∞). Solução. Lembremos que uma função y = f(x) é limitada superiormente/inferiormente num subconjunto S do seu domínio X, se existe constante M/m tal que para qualquer x ∈ S temos f(x) ≤ M/f(x) ≥ m. A função é limitada em S se ela é limitada superiormente e inferiormente em S. a,b) Para simplicar raciocínio, representamos a função quadrática na forma canônica, formando um quadrado que absorve o termo linear: f(x) = 1 − (x − 2)2 . Nessa forma, ca claro que qualquer valor da função é menor ou igual a 1: f(x) f(2) = 1, ∀x ̸= 2. Logo, a função é limitada superiormente em qualquer conjunto S e uma das cotas superiores é M = 1 = f(2). No conjunto R a função é ilimitada inferiormente, porque sempre existem x tais que f(x) m qualquer que for constante m. Realemnte, consideremos um valor arbitrário e negativo de m (para m não negativo basta pegar x = 0) e resolvemos a desigualdade f(x) = 1 − (x − 2)2 m. A última equivale a (x − 2)2 1 − m e, para x 2, temos x 2 + √ 1 − m. Dessa maneira, encontramos os valores procurados de x. Por outro lado, no conjunto S = [−1, 1] a função é limitada inferiormente, uma vez que f(x) f(−1), ∀x ∈ [−1, 1] e, portanto, uma das cotas inferiores pode ser m = f(−1) = −8. Logo, em S = [−1, 1], a função é limitada. c) Pela denição da raiz quadrada, f(x) = √ x + 1 ≥ 0 em todo o seu domínio (que é S = [−1, +∞)). Logo, f(x) é limitada inferiormente, com uma das cotas inferiores m = f(−1) = 0. Mas f(x) não é limitada superiormente uma vez que a desigualdade f(x) = √ x + 1 M tem soluções para qualquer valor de M. De fato, considerando M 0 (para M ≤ 0 podemos tomar qualquer x −1), transformamos a desigualdade para f(x) na forma equivalente x M2 − 1, que mostra um conjunto innito dos valores de x para os quais f(x) M. Assim, a função não é limitada superiormente. 7. Vericar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas: a) f(x) = x2 ; b) f(x) = x2 − 2x + 3; c) f(x) = √ x. Solução. Recordamos que, pela denição, uma função f(x) é chamada par se, para qualquer x do seu domínio X é válida a seguinte relação: f(−x) = f(x). Dessa relação segue imediatamente que
  • 4. 4 o domínio de uma função par deve ser simétrico em relação a origem (se x pertence a X, então −x também) e que o gráco de uma função par é simétrico em relação ao eixo y (se o ponto de coordenadas (x, f(x)) pertence ao gráco, então o ponto de coordenadas (−x, f(−x)) = (−x, f(x)) também pertence). Recordamos também que, pela denição, uma função f(x) é chamada ímpar se, para qualquer x do seu domínio X é válida a seguinte relação: f(−x) = −f(x). Dessa relação segue imediatamente que o domínio de uma função ímpar deve ser simétrico em relação a origem (se x pertence a X, então −x também) e que o gráco de uma função ímpar é simétrico em relação a origem das coordenadas (se o ponto de coordenadas (x, f(x)) pertence ao gráco, então o ponto de coordenadas (−x, f(−x)) = (−x, −f(x)) também pertence). a) Para função f(x) = x2 temos: f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x), para qualquer x dos reais. Portanto, a função é par. b) Para função f(x) = x2 − 2x + 3 temos: f(−x) = (−x)2 − 2 · (−x) + 3 = x2 + 2x + 3. Então, aparentemente, f(−x) ̸= f(x) e f(−x) ̸= −f(x). Para ver melhor, escolhemos um valor especíco, por exemplo, x = 1. Então, f(1) = 1 − 2 + 3 = 2, enquanto f(−1) = 1 + 2 + 3 = 6. Obviamente, f(−1) ̸= f(1) e f(−1) ̸= −f(1). Portanto, a função não é par nem ímpar. c) Para função f(x) = √ x notamos que o seu domínio é X = [0, +∞), ou seja, não é simétrico em relação a origem. Portanto, não há necessidade de vericar a propriedade principal, já podemos concluir que a função não é par nem ímpar. 8. Vericar se a função é periódica: a) f(x) = cos 2x; b) f(x) = x2 + 3; c) f(x) = √ x + 1. Solução. Recordamos que f(x) é periódica se existe uma constante T ̸= 0 (chamada de período) tal que para qualquer x do domínio dessa função é válida a seguinte propriedade: f(x + T) = f(x). a) Como a função cos x é periódica, podemos supor que a dada também é. Testando o período mínimo T = 2π de cos x, obtemos f(x + 2π) = cos 2(x + 2π) = cos(4x + 4π) = cos 2x. Podemos até precisar o resultado: notando que o acrescimo de T para x resulta em acrescimo de 2T para 2x, podemos sugerir que T0 = π também é período de f(x) e comprovamos isso de modo simples: f(x + π) = cos 2(x + π) = cos(2x + 2π) = cos 2x. Na realidade, T0 = π é o período mínimo de f(x). b) Faremos demonstração do contrário: vamos supor, por absurdo, que f(x) é uma função periódica e, então, para algum T ̸= 0 deve ser satisfeita a relação f(x + T) = f(x) para ∀x ∈ R. Vamos ver aonde leva essa suposição. Temos f(x + T) = (x + T)2 + 3 = x2 + 3 = f(x), ou simplicando, 2xT + T2 = 0 ou ainda T(2x + T) = 0. Como T ̸= 0, então resta a opção T = −2x, mas T é uma constante, cujo valor não depende de x. Assim chegamos a contradição e, portanto, f(x) não é periódica. c) A avaliação de f(x) = √ x + 1 ca simples se lembramos que o domínio de uma função periódica é ilimitada tanto à esquerda como à direita. Ao contrário disso, o domínio da função dada é limitado à esquerda: x ≥ −1, o que signica que a função não é periódica. 7. Demana, p.80-81: N 1, 2, 5, 6, 10, 14, 17, 19 , 36, 39, 48, 49, 51, 53 Soluções complementares para exercícios de Demana. Encontrar a imagem da função e comparar a resposta com a de Demana p.283: a) N17: f(x) = 10 − x2 . Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = 10 − x2 são todos os reais (X = R). Segundo, como x2 ≥ 0, ∀x e x2 0, ∀x ̸= 0, então y = 10 − x2 ≤ 10, ∀x e 10 − x2 10, ∀x ̸= 0 (lembramos que o símbolo ∀ signica para qualquer, qualquer). Logo, a imagem Y é contida em (−∞, 10]. Vamos ver que qualquer número do último intervalo entra em
  • 5. 5 Y . Pela denição, temos que tomar ∀y ∈ (−∞, 10] e mostrar que ele pertence ao conjunto imagem. Então, de acordo com a denição, se y ≤ 10, deve existir pelo menos um número x do domínio tal que y = 10 − x2 , ou, em outras palavras, a equação y = 10 − x2 deve ter pelo menos uma solução real para incógnita x. Isso realmente se observa, porque a solução dessa equação se encontra na forma x = ± √ 10 − y para qualquer y ≤ 10. b) N19: f(x) = x2 1−x2 . Primeiro, notamos que o domínio da função y = f(x) = x2 1−x2 consiste de todos x que não anulam o denominador, isto é, x ̸= ±1. Agora, para descobrir a imagem, temos que ver para os quais valores de y a equação y = x2 1−x2 em relação a incógnita x tem pelo menos uma solução. Para resolver, reescrevemos ela na forma (1 − x2 )y = x2 e depois x2 (1 + y) = y. Supondo, no momento, que y ̸= −1, temos ainda x2 = y 1+y . A última equação tem soluções quando a parte direita não é negativa: y 1+y ≥ 0, o que ocorre quando y ≥ 0 e 1+y 0, ou quando y ≤ 0 e 1+y 0. Das primeiras duas restrições temos y ≥ 0 e das segundas duas: y −1. Restou ainda vericar se y = −1 faz parte da imagem: neste caso temos x2 1−x2 = −1 ou x2 = x2 − 1 ou 0 = −1 o que é uma armação falsa. Assim a imagem é Y = (−∞, −1) ∪ [0, +∞). Veja também vários exercícios, ligados a denição de uma função, sua limitação e diferentes tipos de simetria, resolvidos no texto PropriedadesFuncoes.pdf, páginas 1-13.