1. O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear como base, dimensão e coordenadas de vetores. É apresentada a definição formal de base e exemplos para R3. 2. São listadas as bases canônicas dos principais espaços vetoriais como Rn, M(2x2) e Pn. É explicado o Teorema da Invariância e o processo para obter uma base de um subespaço. 3. Os conceitos de dimensão, subespaços e suas propriedades são definidos. São mostrados teoremas e proposições

1. 34
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 4
BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS
1 BASE
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito
VB ⊂ satisfazendo:
a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V.
b) B é LI.
Exemplo (1): Mostre que )}2,1,1(),2,1,0(),3,2,1{(B −= é base do ℜ3
.
Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3
se escreve
como combinação linear de B. Seja
3
)z,y,x(v ℜ∈= . Então, existem escalares a, b e
c ∈ℜ tais que:
)2,1,1(c)2,1,0(b)3,2,1(a)z,y,x(v −++== ⇒





++=
−+=
+=
c2b2a3z
cba2y
cax
. Resolvendo
o sistema teremos:








+−
=
+−−
=
−+
=
5
zy2x
c
5
z3yx7
b
5
zy2x4
a
, mostrando que o sistema tem solução. Logo,
B gera o ℜ3
. Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3
, se três vetores não são
coplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0
211
210
321
≠
−
.
Portanto B é base do ℜ3
.
O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demais
espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada a
mais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se

2. 35
conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas
do principais espaços vetoriais. São elas:
• ℜ ⇒ }1{
• ℜ2
⇒ )}1,0(),0,1{(
• ℜ3
⇒ )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(
• ℜn
⇒ )}1,...,0,0(),...,0,...,1,0(),0,...,0,1{(
• )(M 2x2 ℜ ⇒






























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
• )(Pn ℜ ⇒ { }n2
t,...,t,t,1
Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma de
suas bases têm o mesmo número de vetores.
► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜℜℜℜn
Este processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostos
como linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. As
linhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada.
Exemplo (2): Seja W um subespaço do ℜ4
que possui o seguinte sistema de geradores
)]6,3,0,3(),4,1,1,0(),2,1,0,1(),0,1,1,2[( − . Determine uma base para W.
Solução: Vamos aplicar o processo acima:
21
41
LL2
LL3
6303
4110
0112
2101
+−
+−
→












−
32 LL1
0000
4110
4110
2101
+
→












−
−−












−−
0000
0000
4110
2101
.
Retiradas as linhas nulas, temos que )}4,1,1,0(),2,1,0,1{(B −−= é base de W.
Definição: Um conjunto de vetores V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é dito LI-Maximal se:
a) }v,...,v,v{ n21 é LI
b) }w,v,...,v,v{ n21 é LD, Vw ∈∀

3. 36
Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores }v,...,v,v{ n21 é base de V
se for LI-Maximal.
2 DIMENSÃO
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V,
denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases.
OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que o
espaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossos
estudos.
Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir:
• n)dim(;...,3)dim(;2)dim(;1)dim( n32
=ℜ=ℜ=ℜ=ℜ
• 2x24)Mdim( 2x2 ==
• nm)Mdim( mxn ⋅=
• 1n)Pdim( n +=
• 0})0dim({ =
Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemos
completar um conjunto LI de maneira a obter uma base.
Proposição (2): Seja VW ⊆ um subespaço de V. Se )Vdim()Wdim( = então VW = .
Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases. Então, todo
elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores
da base B.
Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então:
)WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ .
Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que n)Vdim( = . Então:
a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD.

4. 37
b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V
Exemplo (3): Seja }0ty2x/)t,z,y,x{(W 4
=+−ℜ∈= . Determine a dimensão de W.
Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De W
temos que: ty2x0ty2x −=⇒=+− . Então todo vetor de W é da forma
ℜ∈∀− t,z,y),t,z,y,ty2( . Determinando um sistema de geradores para W:
)1,0,0,1(t)0,1,0,0(z)0,0,1,2(y)t,z,y,ty2( −++=− . O conjunto formado pelos
vetores )}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= é um sistema de geradores de W.
Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos:









−
→









−
+
0100
2010
1001
0100
0012
1001
21 LL2
. A matriz está escalonada e não apresenta
nenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é
base de W. Portanto, 3)Wdim( = .
OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor,
com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é
)}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= , cujos vetores têm 4 coordenadas, mas
3)Wdim( = , porque na base S temos 3 vetores.
Exemplo (4): Seja ]ttt62,tt1,ttt2,t21[U 323232
+−−−+−+−= . Qual é a dimensão
de U?
Solução: O enunciado diz que o subespaço )(PU 3 ℜ⊂ é gerado pelos vetores dados. Para
determinar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz com
os coeficientes dos polinômios dados.
Então:












−
−
→












−−
−
−
−
→












−−
−
−
−
+−
+
+−
+−
0000
0000
1120
0021
1120
1120
1120
0021
1162
1101
1120
0021
32
42
31
41
LL1
LL1
LL1
LL2
Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja,
}tt2,t21{B 32
−+−= é base de U. Portanto, 2)Udim( = .

5. 38
Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3
, onde }0zy2x/)z,y,x{(U 3
=+−ℜ∈= e
}0zy2x3/)z,y,x{(W 3
=++ℜ∈= . Determine uma base e a dimensão para
WU + e WU ∩ . O WU3
⊕=ℜ ?
Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever:
}z,y),z,y,zy2{(U ℜ∈∀−= ⇒ )1,0,1(z)0,1,2(y)z,y,zy2( −+=− ⇒
)}1,0,1(),0,1,2{(BU −= é base de U ⇒ 2)Udim( =
}y,x),y2x3,y,x{(W ℜ∈∀−−= ⇒ )2,1,0(y)3,0,1(x)y2x3,y,x( −+−=−−
⇒ )}2,1,0(),3,0,1{(BW −−= é base de W ⇒ 2)Wdim( =
a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo a
união da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base.
Então, seja )}2,1,0(),3,0,1(),1,0,1(),0,1,2{(BBS WU −−−=∪= o sistema de
geradores de U+W. Aplicando o processo teremos:












−
−
−
→












−
−
−
→












−
−
−
→












−
−
−
++−+
+−
000
200
210
301
800
200
210
301
610
200
210
301
012
101
210
301
434231
41
LL4LL1LL1
LL2
.
)}2,0,0(),2,1,0(),3,0,1{(B WU −−−=+ é base de U+W ⇒ 3)WUdim( =+ .
b) Pelo Teorema (1): )WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ ⇒
)WUdim(223 ∩−+= ⇒ 1)WUdim( =∩ . Portanto, sua base tem que conter
apenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está na
interseção, fazemos:
)2,1,0()3,0,1()1,0,1(b)0,1,2(a)z,y,x( −β+−α=−+= ⇒





β−α−=
β=
α=−
23b
a
ba2
⇒
substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: a2)ba2(3b −−−= ⇒ a4b = .
Então: )4,1,2(a)1,0,1(a4)0,1,2(a)z,y,x( −=−+= ⇒ )}4,1,2{(B WU −=∩ é
base de WU ∩ .
c) O ℜ3
não é soma direta de U com W porque 01)WUdim( ≠=∩ ⇒
}0{WU ≠∩

6. 39
Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear





=−
=++
=−−−
0tz
0tyx2
0tzyx
:L
Solução: Como o sistema L é SPI, ele possui infinitas soluções do tipo
}t,z,y,x),t,z,y,x{(S ℜ∈∀= . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial.
Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos:
}x),x3,x3,x5,x{(S ℜ∈∀−= . Então: )}3,3,5,1{(B −= é base de S ⇒ 1)Sdim( = .
3 COORDENADAS DE UM VETOR
A partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada é
aquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer
}v,...,v,v{B n21= , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim por
diante até o último que sempre será vn.
Definição: Sejam V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases ordenadas.
Qualquer vetor Vv ∈ se escreve, de maneira única, como combinação linear da base
B. Existem escalares Ka,...,a,a n21 ∈ , tais que nn2211 va...vavav +++= .
Assim, os escalares n21 a,...,a,a são chamados de coordenadas do vetor v em relação
a base B, denotado por:












=
n
2
1
B
a
...
a
a
]v[
Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor )8,5,1(v −−= em relação:
a) Base canônica b) )}1,1,2(),01,2(),0,1,1{(B −=
Solução:
a) A base canônica do ℜ3
é )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(C = . Então:

7. 40
)1,0,0(c)0,1,0(b)0,0,1(a)8,5,1(v ++=−−= ⇒





−=
=
−=
8c
5b
1a
⇒










−
−
=
8
5
1
]v[ C
b) Escrevendo v como combinação da base B teremos:
)1,1,2(c)1,0,2(b)0,1,1(a)8,5,1(v −++=−−= ⇒





−=+
=−
−=++
8cb
5ca
1c2b2a
⇒










−=
10
18
15
]v[ B
OBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à base
canônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, as
coordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço.
Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor
2
tt42)t(p ++= em relação a base
}t3t21,t1,2{B 2
−+−−=
Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então:
)t3t21(c)t1(b)2(att42)t(p 22
−++−+−=++= ⇒
22
t)c3(t)c2b()cba2(tt42 −++−+++−=++ ⇒





−=
+−=
++−=
c31
c2b4
cba22
⇒










−
−
−
=
3
1
3
14
2
7
B)]t(p[
Exercícios Propostos

8. 41
1) Seja }a4aaea5a2a/)(Ptatataa{W 32132o3
3
3
2
21o −=−=ℜ∈+++= . Deter-
mine uma base e a dimensão de W. Resp: 2)Wdim(}tt45,tt2{B 32
=⇒+−−++=
2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde:
}t3ze0y2x/)t,z,y,x{(W 4
−==−ℜ∈=
}0tz2yx2/)t,z,y,x{(U 4
=−+−ℜ∈=
Resp: 4)UWdim()}3,0,0,0(),1,3,0,0(),1,0,1,0(),0,0,2,1{(B UW =+⇒−−−=+
1)UWdim(1,3,
3
7
,
3
14
B UW =∩⇒












−=∩
3) Seja






−==ℜ∈





= cdeb2a/)(M
dc
ba
W 2x2 . Determine uma base e a dimensão de
W e estenda a base de W para obter uma base de )(M 2x2 ℜ .
Resp:












−





=
11
00
,
00
12
BW e
























−





=
10
00
,
00
01
,
11
00
,
00
12
B 2x2M
4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema







=++
=+++−
=+−+−
=+++
0t7z5y6
0t3zy4x2
0tzy3x3
0t2z2yx
Resp: 2)Sdim(e)}6,0,7,5(),0,6,5,7{(B =−−−−=
5) Mostre que o
3
ℜ é soma direta do 0z5y2x:)( =+−π com a reta z
1
y
2
x
:)r( =
−
= .