1) Calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = π e pelas funções y = cos x e y = 1 - cos x. 2) Mostre a integral sec x dx = ln | sec(x) + tg(x)| + c. 3) Calcule as integrais ln x dx/x2, √49 - 4x2 dx e (x3 - x2 + x - 1) dx.

1. C´lculo I
a
MAT09570 - turmas 3 e 4
Terceira Prova
27 de novembro de 2009
Nome do Aluno:
Apresente todos os c´lculos e justificativas
a
1. (2 pontos) Desenhe a regi˜o limitada pelas retas x = 0, x = π e pelos gr´ficos y = cos x
a a
e y = 1 − cos x e calcule sua ´rea.
a
2. (2 pontos) Mostre que sec x dx = ln | sec(x) + tg(x)| + c.
3. (2 pontos cada) Calcule:
a) ln x dx
x2
b) √ dx
49 − 4x2
2x2
c) dx
x3 − x2 + x − 1
Tabela de Primitivas (n = 0 e a, c constantes reais)
xn+1
a dx = ax + c xn dx = + c, n = −1
n+1
1
dx = ln |x| + c ex dx = ex + c
x
cos x dx = sen(x) + c sen x dx = − cos(x) + c
sec2 x dx = tg(x) + c sec x tg x dx = sec(x) + c
sec x dx = ln | sec(x) + tg(x)| + c tg x dx = − ln | cos(x)| + c
cossec2 x dx = − cotg(x) + c cossec x cotg x dx = − cossec x + c
1 1
dx = arctg(x) + c √ dx = arcsen(x) + c
1 + x2 1 − x2