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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAPÍTULO 6
PLANO
Definição: Seja A um ponto e 21 vev dois vetores LI (não paralelos), todos contidos
um plano (π). Seja X um ponto qualquer do plano. Assim, os vetores }AX,v,v{ 21 são
LD (coplanares). Logo existem escalares ℜ∈21 tet tais que 2211 tvtvAX += .
Da expressão 2211 tvtvAX += podemos escrever que 2211 tvtvAX +=− . Então
a equação 2211 tvtvAX ++++++++==== , chamada de equação vetorial do plano (π) para
ℜ∈21 tet , chamados de parâmetros.
O plano é constituído de pontos. Assim, para cada valor real de 21 tet
substituídos na equação vetorial vamos obtendo os infinitos pontos X desde plano. Por
exemplo. Considere o plano )1,3,1(t)0,1,1(t)2,1,2(X:)( 21 −++=π , então:
para 0te0t 21 == ⇒ )1,3,1(0)0,1,1(0)2,1,2(X −⋅+⋅+= ⇒ )()2,1,2(X1 π∈= ;
para 1te1t 21 −== ⇒ )1,3,1()1()0,1,1(1)2,1,2(X −⋅−+⋅+= ⇒ )()1,1,4(X2 π∈−= ;
para 2te1t 21 =−= ⇒ )1,3,1(2)0,1,1()1()2,1,2(X −⋅+⋅−+= ⇒ )()4,6,1(X3 π∈−= ;
Assim por diante.
Um axioma importante da geometria é aquele que diz "três pontos não
colineares determinam um único plano". Assim, é possível escrever a equação vetorial
de um plano dados três pontos não alinhados (não colineares) deste plano. Note que,
pela definição anterior, para determinarmos um plano é necessário conhecermos um
ponto e dois vetores LI (não paralelos) deste plano.
11tv
22tv
1v
2vA
X
AX
)(π
A
X
)(πB
C
61
Portanto, dados três pontos não colineares A, B e C de um plano )(π podemos
escrever 21 tACtABAX:)( ⋅+⋅+=π . A escolha do ponto e da orientação dos vetores
não altera a determinação do plano, ou seja, poderíamos ter escolhido o ponto C e os
vetores BC e CA para determinarmos o mesmo plano )(π da seguinte forma
21 tCAtBCCX:)( ⋅+⋅+=π .
6.1 Equações do Plano
Equações Paramétricas
Seja )z,y,x(X um ponto qualquer do plano (π). Sejam também e conhecidos o
ponto )z,y,x(A 000 e os vetores )z,y,x(v 1111 = e )z,y,x(v 2222 = vetores LI deste
plano. Da equação vetorial 2211 tvtvAX ++= , ℜ∈∀ 21 t,t , substituindo as
coordenadas de cada elemento teremos:
22221111ooo t)z,y,x(t)z,y,x()z,y,x()z,y,x( ⋅+⋅+= ⇒





++=
++=
++=
2211o
2211o
2211o
tztzzz
tytyyy
txtxxx
, chamadas
de equações paramétricas do plano, onde os parâmetros são os escalares
ℜ∈21 tet .
Equação Geral
Como os vetores }AX,v,v{ 21 são coplanares, então, pela condição de
coplanaridade temos: 0
zyx
zyx
zzyyxx
]v,v,AX[
222
111
ooo
21 =
−−−
= . O desenvolvimento
deste determinante resultará numa expressão da forma 0dczbyax ====++++++++++++ chamada
de equação geral do plano.
Equação Segmentária
Da equação geral do plano (π) podemos escrever: dczbyax −=++ . Se 0d ≠ ,
vem:
d
d
d
c
y
d
b
x
d
a
−
−
=
−
+
−
+
−
. Se 0ce0b,0a ≠≠≠ ⇒ 1
c
d
z
b
d
y
a
d
x
=
−
+
−
+
−
. Fazendo
c
d
re
b
d
q,
a
d
p −=−=−= , temos a equação segmentária do plano: 1
r
z
q
y
p
x
====++++++++ .
Os pontos )0,0,p(P , )0,q,0(Q e )r,0,0(R são as interseções do plano (π) com os
eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente. O plano (π) ao "passar" pelo ℜ3
62
deixa "traços". Esses traços são as retas, interseção com os planos coordenados xy,
xz e yz. Os traços do plano (π) são as retas: tPQPX:)r( PQ ⋅+= ; tPRPX:)r( PR ⋅+= e
tQRQX:)r( QR ⋅+= .
A equação segmentária nos ajuda a visualizar um esboço do plano (π) no ℜ3
. A
Figura (1) representa um esboço do plano (π) um pouco mais elaborado, no entanto,
poderíamos esboçar o plano (π) como na Figura (2), a qual exibe somente o octante
determinado pelos valores p, q e r. Assim, o "triângulo" PQR representa somente a
parte do plano (π) que é visível quando observado do octante determinado pelos
valores p, q e r.
6.2 Vetor Normal ao Plano
Seja um plano (π): 2211 tvtvAX ++= . O vetor n normal (ortogonal) ao plano (π)
é ortogonal a qualquer vetor do plano, em particular aos vetores 21 vev da equação
vetorial. Do produto vetorial entre dois vetores, tem-se que 21 vvn ×= é um vetor
normal ao plano. Demonstrar-se que as coordenadas do vetor normal são iguais aos
coeficientes a,b e c da equação geral do plano, ou seja, se 0dczbyax:)( =+++π
então )c,b,a(n = .
Exemplo (1): Dado um plano (π) que contém os pontos ( )1,,2A 2
1− , ( )1,2,0B e
( )2,1,0C , determine para o plano (π):
a) A equação Vetorial b) Equações Paramétricas
c) Equação Geral d) Equação Segmentária
e) O vetor normal f) Os traços
z
y
Q
Rr
q
P
p
x
(π)
1 2n v v= ×
2v )(π
1v
z
y
r
q
p
(π)
P
Q
R
Figura (2)Figura (1)
63
Solução:
a) Tomando o ponto ( )1,2,0B e os vetores ( )0,,2BA 2
3−−= e ( )1,1,0CB −= , a equação
vetorial é: 21 tCBtBABX:)( ⋅+⋅+=π ⇒ ( ) 212
3 t)1,1,0(t0,,2)1,2,0(X −+−−+= .
b) Equações Paramétricas:





−=
+−=
−=
π
2
212
3
1
t1z
tt2y
t2x
:)( , ℜ∈∀ 21 t,t .
c) Fazendo ( )z,y,xX e tomando ponto ( )1,2,0B , temos que os vetores BX , BA e CB
são coplanares, Logo: 0
110
02
1z2y0x
]CB,BA,BX[
2
3 =
−
−−
−−−
= ⇒ 012z4y4x3 =+−−
que é a equação geral do plano.
d) Da equação geral temos: 012z4y4x3 =+−− ⇒ 12z4y4x3 −=−− ⇒
12
12
z
12
4
y
12
4
x
12
3
−
−
=
−
−
−
−
−
⇒ 1
3
z
3
y
4
x
=++
−
que a equação segmentária.
e) Da equação geral 12z4y4x3 −=−− vem que )4,4,3(n −−= é o vetor normal ao
plano.
f) Da equação segmentária 1
3
z
3
y
4
x
=++
−
temos que:





=
=
−=
3r
3q
4p
. Então:
( )0,0,4)0,0,p(P −= , )0,3,0()0,q,0(Q = e ( )3,0,0)r,0,0(R = . Portanto, os traços sobre os
planos coordenados são as reta:
tPQPX:)r( PQ ⋅+= ⇒ ( ) ( ) t0,3,40,0,4X ⋅+−=
tPRPX:)r( PR ⋅+= ⇒ ( ) ( ) t3,0,40,0,4X ⋅+−=
tQRQX:)r( QR ⋅+= ⇒ ( ) ( ) t3,3,00,3,0X ⋅−+=
z
y
x
-4
3
3
(π)
64
6.3 Casos particulares de planos
1) Plano passando pelo origem: Se o plano passa pela origem, então O(0,0,0)
pertence ao plano. Na equação geral do plano temos 0d0dz0y0x0 =⇒=+++ .
Todo plano passando pela origem o termo independente é zero, logo sua equação é
do tipo: ax+by+cz=0.
2) Plano paralelo a um dos eixos coordenados: Quando na equação geral do
plano o coeficiente de uma das variáveis for nulo, o plano é paralelo a eixo
coordenado correspondente a esta variável. Assim:
a) ax+by+0z+d=0 ou ax+by+d=0 ⇒ c=0 ⇒ plano paralelo ao eixo Oz
b) ax+0y+cz+d=0 ou ax+cz+d=0 ⇒ b=0 ⇒ plano paralelo ao eixo Oy
c) 0x+by+cz+d=0 ou by+cz+d=0 ⇒ a=0 ⇒ plano paralelo ao eixo Ox
3) Plano que passa por um dos eixos coordenados: Quando na equação geral do
plano o coeficiente de uma das varáveis e o termo independente forem nulos (d=0),
representa que ele passa (contém) pelo eixo coordenado correspondente a esta
variável. Assim:
a) ax+by=0 ⇒ c=d=0 ⇒ plano passa pelo eixo Oz
b) ax+cz=0 ⇒ b=d=0 ⇒ plano passa pelo eixo Oy
c) by+cz=0 ⇒ a=d=0 ⇒ plano passa pelo eixo Ox
4) Plano paralelo a um dos planos coordenados: Quando na equação geral do
plano os coeficientes de duas variáveis forem nulos, representa que ele é paralelo ao
plano coordenado formado por estas pelas variáveis. Assim:
a) ax+d=0 ⇒ b=c=0 ⇒ plano paralelo ao plano yz
b) by+d=0 ⇒ a=c=0 ⇒ plano paralelo ao plano xz
c) cz+d=0 ⇒ a=b=0 ⇒ plano paralelo ao plano xy
6.4 Posição relativa entre Planos
Há duas posições relativas entre dois planos: paralelos e concorrentes. Existem
dois casos particulares: coincidentes (é um caso particular entre planos paralelos) e
perpendiculares (é um caso particular entre planos concorrentes).
Sejam 0dzcybxa:)( 11111 =+++π e 0dzcybxa:)(e 22222 =+++π as
equações de dois planos com seus respectivos vetores normais )c,b,a(n 1111 = e
)c,b,a(n 2222 = . Analisando as posições relativas entre dois planos vem:
65
1) Planos Coincidentes: São planos superpostos e o ângulo entre eles é θ = 0o
.
Analisando a dependência linear entre os vetores normais, vem que: }n,n{ 21 LD
(paralelos) e vale a relação:
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a
===
2) Planos Paralelos: São planos disjuntos (não existe interseção entre eles) e o
ângulo entre eles é θ = 0o
. Analisando a dependência linear entre os vetores normais,
vem que: }n,n{ 21 LD (paralelos) e vale a relação:
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a
≠==
3) Planos Concorrentes: Existe a interseção e o ângulo entre eles é θ ≠ 90o
.
Analisando a dependência linear e o produto escalar entre os vetores normais, vem
que: }n,n{ 21 LI (não paralelos) e 0nn 21 ≠⋅ .
4) Planos Perpendiculares: Existe a interseção e o ângulo entre eles é θ = 90o
.
Analisando a dependência linear e o produto escalar entre os vetores normais, vem
que: }n,n{ 21 LI (não paralelos) e 0nn 21 =⋅
2n
1n )()( 21 π≡π
)( 1π
)( 2π2n
1n
)( 2π
)( 1π
θ
1n
2n
)( 2π
)( 1π
θ
1n
2n
66
Resumo: Sejam 0dzcybxa:)( 11111 =+++π e 0dzcybxa:)( 22222 =+++π as
equações de dois planos com seus respectivos vetores normais
)c,b,a(n 1111 = )c,b,a(n 2222 = .
1) Planos Coincidentes: }n,n{ 21 LD (paralelos) e
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a
=== .
2) Planos Paralelos: }n,n{ 21 LD (paralelos) e
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d
c
c
b
b
a
a
≠== .
3) Planos Concorrentes: }n,n{ 21 LI (não paralelos) e 0nn 21 ≠⋅ .
4) Planos Perpendiculares: }n,n{ 21 LI (não paralelos) e 0nn 21 =⋅ .
6.5 Posição Relativa entre Reta e Plano
Há duas posições relativas entre uma reta e um plano: reta paralela ao plano e
reta concorrente ao plano. Existem dois casos particulares: reta contida no plano (é
um caso particular de reta paralela ao plano) e reta perpendicular ao plano (é um
caso particular de reta concorrente ao plano).
Sejam uma reta vtAX:)r( ⋅+= , ℜ∈∀t e um plano de equação geral
0dczbyax:)( =+++π . Tem-se que )c,b,a(n = é um vetor normal ao plano )(π .
Analisando as posições relativas entre uma reta e um plano vem:
1) Reta contida no plano: Existe a interseção entre a reta (r) e o plano (π), que
neste caso é a própria reta (r) e o ângulo entre a reta e plano é θ = 0o
. Nestas
condições vem que: 0nv =⋅ e )(A π∈ .
2) Reta paralela ao plano: Não existe interseção entre a reta (r) e o plano (π) e o
ângulo entre eles é θ = 0o
. Nestas condições vem que: 0nv =⋅ e )(A π∉ .
n
vA(r)
)(π
vA
(r)
)(π
n
67
3) Reta concorrente ao plano: Existe a interseção entre a reta (r) e o plano (π),
que neste caso é um ponto P e o ângulo entre eles é θ ≠ 90o
. Nestas condições vem
que: 0nv ≠⋅ e }n,v{ LI (não paralelos).
4) Reta perpendicular ao plano: Existe a interseção entre a reta (r) e o plano (π),
que neste caso é um ponto P e o ângulo entre eles é θ = 90o
. Nestas condições vem
que: 0nv ≠⋅ e }n,v{ LD (paralelos).
Resumo: Sejam uma reta vtAX:)r( ⋅+= e um plano 0dczbyax:)( =+++π com
seu vetor normal n .
1) Reta contida no Plano: 0nv =⋅ e )(A π∈ .
2) Reta paralela ao Plano: 0nv =⋅ e )(A π∉ .
3) Reta concorrente ao Plano: 0nv ≠⋅ e }n,v{ LI (não paralelos)
4) Reta perpendicular ao Plano: 0nv ≠⋅ e }n,v{ LD (paralelos)
Exemplo (2): Verificar a posição relativa entre os planos 04y3x2:)( 1 =−+π e
0z4y9x2:)( 2 =++π . Determine a interseção, se houver.
Solução: Os vetores normais aos planos são )4,9,2(ne)0,3,2(n 21 == . Como }n,n{ 21
são LI e 0nn 21 ≠⋅ , os planos são concorrentes, existe a interseção entre eles que é
uma reta. Para determinar a interseção devemos resolver o sistema linear com a
equação dos dois planos e expressar duas dessas variáveis em função de uma
terceira. Assim:



=++
=−+
0z4y9x2
04y3x2
. Da primeira equação temos: 4y3x2 +−= (*).
Vamos substituir este valor de 2x na segunda equação: 0z4y94y3 =+++− ⇒
2
2y3
z
−−
=⇒ (**). De (*) e (**) segue que:






−−
=
+−
=
2
2y3
z
2
4y3
x
⇒






−
+
=
−
−
=
3
2z2
y
3
4x2
y
⇒
)(π
v
θ
n
)r(
P
)r(
n
v θ
)(π P
68
3
2z2
y
3
4x2
−
+
==
−
−
⇒
2
3
2
2
2
z2
y
2
3
2
4
2
x2
−
+
==
−
−
⇒
2
3
1z
y
2
3
2x
−
+
==
−
−
. Logo a reta
interseção de )( 1π e )( 2π é (r):
2
3
1z
y
2
3
2x
−
+
==
−
−
, cujo vetor diretor é 





−−=
2
3
,1,
2
3
v
Como o vetor diretor de uma reta pode ser qualquer vetor paralelo a ela, então
fazendo 





−−⋅−=⋅−=
2
3
,1,
2
3
2v2w ⇒ ( )3,2,3w −= . Portanto, a reta (r) pode ser
escrita como: (r):
3
1z
2
y
3
2x +
=
−
=
−
.
Exemplo (3): Verificar a posição relativa da reta
2
4z
3
2y
1
1x
:)r(
−
=
−
=
−
e o plano
01z2y3x:)( =−++π . Determine a interseção, se houver.
Solução: Da reta temos:



= )2,3,1(v
)4,2,1(A
:)r( . Da equação do plano, tem-se: )2,3,1(n = .
Como 0nv ≠⋅ e }n,v{ LD, a reta é perpendicular ao plano e a interseção entre eles é
um ponto. Da reta temos:






+
=⇒
−
=
−
+
=⇒
−
=
−
3
8y2
z
2
4z
3
2y
3
1y
x
3
2y
1
1x
. Substituindo na equação do
plano temos: 01
3
8y2
2y3
3
1y
=−




 +
++




 +
⇒ 1y −= . Portanto, )()r( π∩ = )2,1,0(P − .
Exemplo (4): Determine a equação do plano (π) que contém o ponto A(1,1,-2) e é
perpendicular a reta
3
1z
y
3
x
:)r(
−
−
=−= .
Solução: Este exemplo é relativamente simples, mas importante, pois, ele mostra
outra forma de determinar a equação de um plano, ou seja, quando tivermos um
vetor normal ao plano e um ponto dele é possível determinar sua equação geral. De
fato, se reta é perpendicular ao plano, seu vetor diretor é um vetor normal ao plano.
Então, seja )3,1,3(vn −−== . Assim, na equação geral do plano teremos:
0dz3yx30dczbyax =+−−⇒=+++ . Para determinarmos o termo independente d,
basta substituir o ponto A na equação do plano, pois, se )(A π∈ então ele satisfaz a
equação do plano. Logo, 8d0d)2(3)1()1(3 −=⇒=+−−− . Portanto, a equação do
plano é 08z3yx3 =−−− .
69
Exercícios Propostos
1) Dados os planos 06zy3x:)(e09z4yx7:)( 21 =−++π=+++−π , verificar a
posição relativa entre eles. Determine a interseção, se houver.
Resp: perpendiculares e )()( 21 π∩π é a reta
2
3z
y
1
3x
−
−
==
−
−
2) Determine a equação do plano (θ) que é paralelo ao plano 07z4y2x:)( =−+−π e
passa pelo ponto P(-1,0,-1). Resp: 05z4y2x:)( =++−θ
3) Determine a equação do plano (θ) definido pelas retas 2z
2
3y
4
4x
:)r( −=
−
=
−
e
z5y10x2:)s( −=−=− . Resp: 05z2y3x2:)( =+−−θ
4) Achar as equações simétricas da reta que passa pela origem, é paralela ao plano
02zy2x3:)( =−+−π e intercepta a reta z
3
2y
1x:)r( =
+
=− .
Resp:
7
z
17
y
9
x
==
5) Determine na forma simétrica a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3,-1) e
é paralela aos planos 08z3y2x:)(e01zy3x2:)( 21 =+++π=−+−π .
Resp:
7
1z
5
3y
11
2x
−
+
=
−
=
−
COMENTÁRIOS IMPORTANTES
1) Não existem planos reversos e nem ortogonais. Da mesma forma, não existe reta
reversa ao plano e nem reta ortogonal ao plano. Portanto, cuidado com as afirmações
feitas a respeito das posições relativas entre planos e entre retas e planos.
2) O vetor normal n a um plano (π) é facilmente obtido da equação geral. Porém,
qualquer outro vetor w paralelo a n , ou seja: nw ⋅α= , também é um vetor normal
ao plano (π). Assim, qualquer vetor w normal ao plano pode ser usado para a
construção da equação geral do plano (π).
3) Deve-se notar que um plano é constituído de pontos. Como estamos introduzindo
os conceitos vetoriais para definirmos e trabalhamos com os planos, é muito comum,
quando utilizamos suas equações, confundir o que são pontos do plano e o que são
vetores paralelos ou contidos no plano. Por exemplo: Considere o plano de equação
geral (π): 07z4yx2 =−+− , logo seu vetor norma é )4,1,2(n −= . Como é comum
representar um vetor expressando somente suas coordenadas por )z,y,x(v = , isso
pode causar confusão com as coordenadas x, y e z dos pontos do plano, ou seja, as
coordenadas x, y e z que aparecem na equação geral (bem como nas outras
70
equações) 0z4yx2 =+− , são as coordenadas dos pontos do plano e não de um
vetor paralelo ou contido nele. Um vetor v só será paralelo ou estará contido no
plano se 0nv =⋅ . No entanto, para que um ponto pertença ao plano é necessário que
ele satisfaça a equação do plano. Note que o ponto )()1,1,2(P π∈ , pois:
07141122 =−⋅+⋅−⋅ ⇒ 00 = , mas o vetor )1,1,2(v = não é paralelo ao plano,
pois 07141)1(22vn ≠=⋅+⋅−+⋅=⋅ . Já o vetor )1,6,1(w = é paralelo ao plano, pois
0146)1(12wn =⋅+⋅−+⋅=⋅ , mas o ponto de coordenadas )()1,6,1(Q π∉ , pois:
07146112 =−⋅+⋅−⋅ ⇒ 07 =− o que é uma contradição.

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  • 1. 60 CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA CAPÍTULO 6 PLANO Definição: Seja A um ponto e 21 vev dois vetores LI (não paralelos), todos contidos um plano (π). Seja X um ponto qualquer do plano. Assim, os vetores }AX,v,v{ 21 são LD (coplanares). Logo existem escalares ℜ∈21 tet tais que 2211 tvtvAX += . Da expressão 2211 tvtvAX += podemos escrever que 2211 tvtvAX +=− . Então a equação 2211 tvtvAX ++++++++==== , chamada de equação vetorial do plano (π) para ℜ∈21 tet , chamados de parâmetros. O plano é constituído de pontos. Assim, para cada valor real de 21 tet substituídos na equação vetorial vamos obtendo os infinitos pontos X desde plano. Por exemplo. Considere o plano )1,3,1(t)0,1,1(t)2,1,2(X:)( 21 −++=π , então: para 0te0t 21 == ⇒ )1,3,1(0)0,1,1(0)2,1,2(X −⋅+⋅+= ⇒ )()2,1,2(X1 π∈= ; para 1te1t 21 −== ⇒ )1,3,1()1()0,1,1(1)2,1,2(X −⋅−+⋅+= ⇒ )()1,1,4(X2 π∈−= ; para 2te1t 21 =−= ⇒ )1,3,1(2)0,1,1()1()2,1,2(X −⋅+⋅−+= ⇒ )()4,6,1(X3 π∈−= ; Assim por diante. Um axioma importante da geometria é aquele que diz "três pontos não colineares determinam um único plano". Assim, é possível escrever a equação vetorial de um plano dados três pontos não alinhados (não colineares) deste plano. Note que, pela definição anterior, para determinarmos um plano é necessário conhecermos um ponto e dois vetores LI (não paralelos) deste plano. 11tv 22tv 1v 2vA X AX )(π A X )(πB C
  • 2. 61 Portanto, dados três pontos não colineares A, B e C de um plano )(π podemos escrever 21 tACtABAX:)( ⋅+⋅+=π . A escolha do ponto e da orientação dos vetores não altera a determinação do plano, ou seja, poderíamos ter escolhido o ponto C e os vetores BC e CA para determinarmos o mesmo plano )(π da seguinte forma 21 tCAtBCCX:)( ⋅+⋅+=π . 6.1 Equações do Plano Equações Paramétricas Seja )z,y,x(X um ponto qualquer do plano (π). Sejam também e conhecidos o ponto )z,y,x(A 000 e os vetores )z,y,x(v 1111 = e )z,y,x(v 2222 = vetores LI deste plano. Da equação vetorial 2211 tvtvAX ++= , ℜ∈∀ 21 t,t , substituindo as coordenadas de cada elemento teremos: 22221111ooo t)z,y,x(t)z,y,x()z,y,x()z,y,x( ⋅+⋅+= ⇒      ++= ++= ++= 2211o 2211o 2211o tztzzz tytyyy txtxxx , chamadas de equações paramétricas do plano, onde os parâmetros são os escalares ℜ∈21 tet . Equação Geral Como os vetores }AX,v,v{ 21 são coplanares, então, pela condição de coplanaridade temos: 0 zyx zyx zzyyxx ]v,v,AX[ 222 111 ooo 21 = −−− = . O desenvolvimento deste determinante resultará numa expressão da forma 0dczbyax ====++++++++++++ chamada de equação geral do plano. Equação Segmentária Da equação geral do plano (π) podemos escrever: dczbyax −=++ . Se 0d ≠ , vem: d d d c y d b x d a − − = − + − + − . Se 0ce0b,0a ≠≠≠ ⇒ 1 c d z b d y a d x = − + − + − . Fazendo c d re b d q, a d p −=−=−= , temos a equação segmentária do plano: 1 r z q y p x ====++++++++ . Os pontos )0,0,p(P , )0,q,0(Q e )r,0,0(R são as interseções do plano (π) com os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente. O plano (π) ao "passar" pelo ℜ3
  • 3. 62 deixa "traços". Esses traços são as retas, interseção com os planos coordenados xy, xz e yz. Os traços do plano (π) são as retas: tPQPX:)r( PQ ⋅+= ; tPRPX:)r( PR ⋅+= e tQRQX:)r( QR ⋅+= . A equação segmentária nos ajuda a visualizar um esboço do plano (π) no ℜ3 . A Figura (1) representa um esboço do plano (π) um pouco mais elaborado, no entanto, poderíamos esboçar o plano (π) como na Figura (2), a qual exibe somente o octante determinado pelos valores p, q e r. Assim, o "triângulo" PQR representa somente a parte do plano (π) que é visível quando observado do octante determinado pelos valores p, q e r. 6.2 Vetor Normal ao Plano Seja um plano (π): 2211 tvtvAX ++= . O vetor n normal (ortogonal) ao plano (π) é ortogonal a qualquer vetor do plano, em particular aos vetores 21 vev da equação vetorial. Do produto vetorial entre dois vetores, tem-se que 21 vvn ×= é um vetor normal ao plano. Demonstrar-se que as coordenadas do vetor normal são iguais aos coeficientes a,b e c da equação geral do plano, ou seja, se 0dczbyax:)( =+++π então )c,b,a(n = . Exemplo (1): Dado um plano (π) que contém os pontos ( )1,,2A 2 1− , ( )1,2,0B e ( )2,1,0C , determine para o plano (π): a) A equação Vetorial b) Equações Paramétricas c) Equação Geral d) Equação Segmentária e) O vetor normal f) Os traços z y Q Rr q P p x (π) 1 2n v v= × 2v )(π 1v z y r q p (π) P Q R Figura (2)Figura (1)
  • 4. 63 Solução: a) Tomando o ponto ( )1,2,0B e os vetores ( )0,,2BA 2 3−−= e ( )1,1,0CB −= , a equação vetorial é: 21 tCBtBABX:)( ⋅+⋅+=π ⇒ ( ) 212 3 t)1,1,0(t0,,2)1,2,0(X −+−−+= . b) Equações Paramétricas:      −= +−= −= π 2 212 3 1 t1z tt2y t2x :)( , ℜ∈∀ 21 t,t . c) Fazendo ( )z,y,xX e tomando ponto ( )1,2,0B , temos que os vetores BX , BA e CB são coplanares, Logo: 0 110 02 1z2y0x ]CB,BA,BX[ 2 3 = − −− −−− = ⇒ 012z4y4x3 =+−− que é a equação geral do plano. d) Da equação geral temos: 012z4y4x3 =+−− ⇒ 12z4y4x3 −=−− ⇒ 12 12 z 12 4 y 12 4 x 12 3 − − = − − − − − ⇒ 1 3 z 3 y 4 x =++ − que a equação segmentária. e) Da equação geral 12z4y4x3 −=−− vem que )4,4,3(n −−= é o vetor normal ao plano. f) Da equação segmentária 1 3 z 3 y 4 x =++ − temos que:      = = −= 3r 3q 4p . Então: ( )0,0,4)0,0,p(P −= , )0,3,0()0,q,0(Q = e ( )3,0,0)r,0,0(R = . Portanto, os traços sobre os planos coordenados são as reta: tPQPX:)r( PQ ⋅+= ⇒ ( ) ( ) t0,3,40,0,4X ⋅+−= tPRPX:)r( PR ⋅+= ⇒ ( ) ( ) t3,0,40,0,4X ⋅+−= tQRQX:)r( QR ⋅+= ⇒ ( ) ( ) t3,3,00,3,0X ⋅−+= z y x -4 3 3 (π)
  • 5. 64 6.3 Casos particulares de planos 1) Plano passando pelo origem: Se o plano passa pela origem, então O(0,0,0) pertence ao plano. Na equação geral do plano temos 0d0dz0y0x0 =⇒=+++ . Todo plano passando pela origem o termo independente é zero, logo sua equação é do tipo: ax+by+cz=0. 2) Plano paralelo a um dos eixos coordenados: Quando na equação geral do plano o coeficiente de uma das variáveis for nulo, o plano é paralelo a eixo coordenado correspondente a esta variável. Assim: a) ax+by+0z+d=0 ou ax+by+d=0 ⇒ c=0 ⇒ plano paralelo ao eixo Oz b) ax+0y+cz+d=0 ou ax+cz+d=0 ⇒ b=0 ⇒ plano paralelo ao eixo Oy c) 0x+by+cz+d=0 ou by+cz+d=0 ⇒ a=0 ⇒ plano paralelo ao eixo Ox 3) Plano que passa por um dos eixos coordenados: Quando na equação geral do plano o coeficiente de uma das varáveis e o termo independente forem nulos (d=0), representa que ele passa (contém) pelo eixo coordenado correspondente a esta variável. Assim: a) ax+by=0 ⇒ c=d=0 ⇒ plano passa pelo eixo Oz b) ax+cz=0 ⇒ b=d=0 ⇒ plano passa pelo eixo Oy c) by+cz=0 ⇒ a=d=0 ⇒ plano passa pelo eixo Ox 4) Plano paralelo a um dos planos coordenados: Quando na equação geral do plano os coeficientes de duas variáveis forem nulos, representa que ele é paralelo ao plano coordenado formado por estas pelas variáveis. Assim: a) ax+d=0 ⇒ b=c=0 ⇒ plano paralelo ao plano yz b) by+d=0 ⇒ a=c=0 ⇒ plano paralelo ao plano xz c) cz+d=0 ⇒ a=b=0 ⇒ plano paralelo ao plano xy 6.4 Posição relativa entre Planos Há duas posições relativas entre dois planos: paralelos e concorrentes. Existem dois casos particulares: coincidentes (é um caso particular entre planos paralelos) e perpendiculares (é um caso particular entre planos concorrentes). Sejam 0dzcybxa:)( 11111 =+++π e 0dzcybxa:)(e 22222 =+++π as equações de dois planos com seus respectivos vetores normais )c,b,a(n 1111 = e )c,b,a(n 2222 = . Analisando as posições relativas entre dois planos vem:
  • 6. 65 1) Planos Coincidentes: São planos superpostos e o ângulo entre eles é θ = 0o . Analisando a dependência linear entre os vetores normais, vem que: }n,n{ 21 LD (paralelos) e vale a relação: 2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a === 2) Planos Paralelos: São planos disjuntos (não existe interseção entre eles) e o ângulo entre eles é θ = 0o . Analisando a dependência linear entre os vetores normais, vem que: }n,n{ 21 LD (paralelos) e vale a relação: 2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a ≠== 3) Planos Concorrentes: Existe a interseção e o ângulo entre eles é θ ≠ 90o . Analisando a dependência linear e o produto escalar entre os vetores normais, vem que: }n,n{ 21 LI (não paralelos) e 0nn 21 ≠⋅ . 4) Planos Perpendiculares: Existe a interseção e o ângulo entre eles é θ = 90o . Analisando a dependência linear e o produto escalar entre os vetores normais, vem que: }n,n{ 21 LI (não paralelos) e 0nn 21 =⋅ 2n 1n )()( 21 π≡π )( 1π )( 2π2n 1n )( 2π )( 1π θ 1n 2n )( 2π )( 1π θ 1n 2n
  • 7. 66 Resumo: Sejam 0dzcybxa:)( 11111 =+++π e 0dzcybxa:)( 22222 =+++π as equações de dois planos com seus respectivos vetores normais )c,b,a(n 1111 = )c,b,a(n 2222 = . 1) Planos Coincidentes: }n,n{ 21 LD (paralelos) e 2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a === . 2) Planos Paralelos: }n,n{ 21 LD (paralelos) e 2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a ≠== . 3) Planos Concorrentes: }n,n{ 21 LI (não paralelos) e 0nn 21 ≠⋅ . 4) Planos Perpendiculares: }n,n{ 21 LI (não paralelos) e 0nn 21 =⋅ . 6.5 Posição Relativa entre Reta e Plano Há duas posições relativas entre uma reta e um plano: reta paralela ao plano e reta concorrente ao plano. Existem dois casos particulares: reta contida no plano (é um caso particular de reta paralela ao plano) e reta perpendicular ao plano (é um caso particular de reta concorrente ao plano). Sejam uma reta vtAX:)r( ⋅+= , ℜ∈∀t e um plano de equação geral 0dczbyax:)( =+++π . Tem-se que )c,b,a(n = é um vetor normal ao plano )(π . Analisando as posições relativas entre uma reta e um plano vem: 1) Reta contida no plano: Existe a interseção entre a reta (r) e o plano (π), que neste caso é a própria reta (r) e o ângulo entre a reta e plano é θ = 0o . Nestas condições vem que: 0nv =⋅ e )(A π∈ . 2) Reta paralela ao plano: Não existe interseção entre a reta (r) e o plano (π) e o ângulo entre eles é θ = 0o . Nestas condições vem que: 0nv =⋅ e )(A π∉ . n vA(r) )(π vA (r) )(π n
  • 8. 67 3) Reta concorrente ao plano: Existe a interseção entre a reta (r) e o plano (π), que neste caso é um ponto P e o ângulo entre eles é θ ≠ 90o . Nestas condições vem que: 0nv ≠⋅ e }n,v{ LI (não paralelos). 4) Reta perpendicular ao plano: Existe a interseção entre a reta (r) e o plano (π), que neste caso é um ponto P e o ângulo entre eles é θ = 90o . Nestas condições vem que: 0nv ≠⋅ e }n,v{ LD (paralelos). Resumo: Sejam uma reta vtAX:)r( ⋅+= e um plano 0dczbyax:)( =+++π com seu vetor normal n . 1) Reta contida no Plano: 0nv =⋅ e )(A π∈ . 2) Reta paralela ao Plano: 0nv =⋅ e )(A π∉ . 3) Reta concorrente ao Plano: 0nv ≠⋅ e }n,v{ LI (não paralelos) 4) Reta perpendicular ao Plano: 0nv ≠⋅ e }n,v{ LD (paralelos) Exemplo (2): Verificar a posição relativa entre os planos 04y3x2:)( 1 =−+π e 0z4y9x2:)( 2 =++π . Determine a interseção, se houver. Solução: Os vetores normais aos planos são )4,9,2(ne)0,3,2(n 21 == . Como }n,n{ 21 são LI e 0nn 21 ≠⋅ , os planos são concorrentes, existe a interseção entre eles que é uma reta. Para determinar a interseção devemos resolver o sistema linear com a equação dos dois planos e expressar duas dessas variáveis em função de uma terceira. Assim:    =++ =−+ 0z4y9x2 04y3x2 . Da primeira equação temos: 4y3x2 +−= (*). Vamos substituir este valor de 2x na segunda equação: 0z4y94y3 =+++− ⇒ 2 2y3 z −− =⇒ (**). De (*) e (**) segue que:       −− = +− = 2 2y3 z 2 4y3 x ⇒       − + = − − = 3 2z2 y 3 4x2 y ⇒ )(π v θ n )r( P )r( n v θ )(π P
  • 9. 68 3 2z2 y 3 4x2 − + == − − ⇒ 2 3 2 2 2 z2 y 2 3 2 4 2 x2 − + == − − ⇒ 2 3 1z y 2 3 2x − + == − − . Logo a reta interseção de )( 1π e )( 2π é (r): 2 3 1z y 2 3 2x − + == − − , cujo vetor diretor é       −−= 2 3 ,1, 2 3 v Como o vetor diretor de uma reta pode ser qualquer vetor paralelo a ela, então fazendo       −−⋅−=⋅−= 2 3 ,1, 2 3 2v2w ⇒ ( )3,2,3w −= . Portanto, a reta (r) pode ser escrita como: (r): 3 1z 2 y 3 2x + = − = − . Exemplo (3): Verificar a posição relativa da reta 2 4z 3 2y 1 1x :)r( − = − = − e o plano 01z2y3x:)( =−++π . Determine a interseção, se houver. Solução: Da reta temos:    = )2,3,1(v )4,2,1(A :)r( . Da equação do plano, tem-se: )2,3,1(n = . Como 0nv ≠⋅ e }n,v{ LD, a reta é perpendicular ao plano e a interseção entre eles é um ponto. Da reta temos:       + =⇒ − = − + =⇒ − = − 3 8y2 z 2 4z 3 2y 3 1y x 3 2y 1 1x . Substituindo na equação do plano temos: 01 3 8y2 2y3 3 1y =−      + ++      + ⇒ 1y −= . Portanto, )()r( π∩ = )2,1,0(P − . Exemplo (4): Determine a equação do plano (π) que contém o ponto A(1,1,-2) e é perpendicular a reta 3 1z y 3 x :)r( − − =−= . Solução: Este exemplo é relativamente simples, mas importante, pois, ele mostra outra forma de determinar a equação de um plano, ou seja, quando tivermos um vetor normal ao plano e um ponto dele é possível determinar sua equação geral. De fato, se reta é perpendicular ao plano, seu vetor diretor é um vetor normal ao plano. Então, seja )3,1,3(vn −−== . Assim, na equação geral do plano teremos: 0dz3yx30dczbyax =+−−⇒=+++ . Para determinarmos o termo independente d, basta substituir o ponto A na equação do plano, pois, se )(A π∈ então ele satisfaz a equação do plano. Logo, 8d0d)2(3)1()1(3 −=⇒=+−−− . Portanto, a equação do plano é 08z3yx3 =−−− .
  • 10. 69 Exercícios Propostos 1) Dados os planos 06zy3x:)(e09z4yx7:)( 21 =−++π=+++−π , verificar a posição relativa entre eles. Determine a interseção, se houver. Resp: perpendiculares e )()( 21 π∩π é a reta 2 3z y 1 3x − − == − − 2) Determine a equação do plano (θ) que é paralelo ao plano 07z4y2x:)( =−+−π e passa pelo ponto P(-1,0,-1). Resp: 05z4y2x:)( =++−θ 3) Determine a equação do plano (θ) definido pelas retas 2z 2 3y 4 4x :)r( −= − = − e z5y10x2:)s( −=−=− . Resp: 05z2y3x2:)( =+−−θ 4) Achar as equações simétricas da reta que passa pela origem, é paralela ao plano 02zy2x3:)( =−+−π e intercepta a reta z 3 2y 1x:)r( = + =− . Resp: 7 z 17 y 9 x == 5) Determine na forma simétrica a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3,-1) e é paralela aos planos 08z3y2x:)(e01zy3x2:)( 21 =+++π=−+−π . Resp: 7 1z 5 3y 11 2x − + = − = − COMENTÁRIOS IMPORTANTES 1) Não existem planos reversos e nem ortogonais. Da mesma forma, não existe reta reversa ao plano e nem reta ortogonal ao plano. Portanto, cuidado com as afirmações feitas a respeito das posições relativas entre planos e entre retas e planos. 2) O vetor normal n a um plano (π) é facilmente obtido da equação geral. Porém, qualquer outro vetor w paralelo a n , ou seja: nw ⋅α= , também é um vetor normal ao plano (π). Assim, qualquer vetor w normal ao plano pode ser usado para a construção da equação geral do plano (π). 3) Deve-se notar que um plano é constituído de pontos. Como estamos introduzindo os conceitos vetoriais para definirmos e trabalhamos com os planos, é muito comum, quando utilizamos suas equações, confundir o que são pontos do plano e o que são vetores paralelos ou contidos no plano. Por exemplo: Considere o plano de equação geral (π): 07z4yx2 =−+− , logo seu vetor norma é )4,1,2(n −= . Como é comum representar um vetor expressando somente suas coordenadas por )z,y,x(v = , isso pode causar confusão com as coordenadas x, y e z dos pontos do plano, ou seja, as coordenadas x, y e z que aparecem na equação geral (bem como nas outras
  • 11. 70 equações) 0z4yx2 =+− , são as coordenadas dos pontos do plano e não de um vetor paralelo ou contido nele. Um vetor v só será paralelo ou estará contido no plano se 0nv =⋅ . No entanto, para que um ponto pertença ao plano é necessário que ele satisfaça a equação do plano. Note que o ponto )()1,1,2(P π∈ , pois: 07141122 =−⋅+⋅−⋅ ⇒ 00 = , mas o vetor )1,1,2(v = não é paralelo ao plano, pois 07141)1(22vn ≠=⋅+⋅−+⋅=⋅ . Já o vetor )1,6,1(w = é paralelo ao plano, pois 0146)1(12wn =⋅+⋅−+⋅=⋅ , mas o ponto de coordenadas )()1,6,1(Q π∉ , pois: 07146112 =−⋅+⋅−⋅ ⇒ 07 =− o que é uma contradição.