O documento descreve representações geométricas de vetores no plano e no espaço. No plano, vetores são representados por pares ordenados de números reais e divididos em quadrantes. No espaço, vetores são representados por ternas de números reais e divididos em oitantes. O documento também apresenta operações com vetores e conceitos como cossenos diretores e projeções.

1. 16
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAPÍTULO 2
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1 Vetores no plano
O plano, também chamado de ℜ2
, simbolicamente escrevemos:
}yex),y,x{(x2
ℜ∈∀=ℜℜ=ℜ , é o conjunto de todos os pares ordenados de números
reais. Ele é representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é
constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é o par ordenado
O(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das
abscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos coordenados,
orientados como mostra a figura abaixo.
Todo ponto P do plano é representado como na figura acima, onde x e y são as
suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Na representação
de um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x é sempre a primeira e
y a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos coordenados dividem o
plano em 4 regiões iguais (I, II, III e IV), cada uma delas chamadas de quadrante. O
que distingue um quadrante do outro são os sinais das coordenadas (x,y) de um
ponto qualquer do 2
ℜ . Assim:
- Se (x,y) pertence ao I quadrante, então x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+);
- Se (x,y) pertence ao II quadrante, então x<0 e y>0. Simbolicamente: (-,+);
- Se (x,y) pertence ao III quadrante, então x<0 e y<0. Simbolicamente: (-,-);
- Se (x,y) pertence ao e IV quadrante, então x>0 e y<0. Simbolicamente (+,-).
y
x
P(x,y)
(0,0)
(–)
(–)
Oy (+)
(+)
Ox
I
II
IVIII

2. 17
Qualquer vetor do ℜ2
pode ser escrito em função de dois versores jei , com
1|j||i| == , cada um deles situados sobre os eixos coordenados Ox e Oy,
respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos versores
{ }j,i será chamado de uma base do ℜ2
.
Pela figura acima, podemos ver que jyixv += , ou seja, o vetor v é escrito em
função da base { }j,i . A expressão jyixv += é chamada de expressão cartesiana
de um vetor do ℜ2
e seu módulo é determinado por 22
yx|v| += .
Todo vetor do plano será representado a partir da origem do sistema, ou seja, a
origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com
algum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor com um
ponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v = .
Por exemplo: Para o vetor ji3v −= podemos escrever )1,3(v −= e representá-
lo no ℜ2
, marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto à origem do sistema, sempre
fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do
vetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo:
1.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ2
na forma cartesiana
Sejam jyixvejyixv 222111 +=+= dois vetores quaisquer do ℜ2
e um escalar
qualquer ℜ∈α . Então:
- Adição: j)yy(i)xx(vv 212121 +++=+
- Subtração: j)yy(i)xx(vv 212121 −+−=−
- Multiplicação por escalar: j)y(i)x(v 111 α+α=⋅α
v
-1
3
P(3,-1)
y
x
O
j
jy
i ix
v
y
x
P(x,y)
Oy
Ox

3. 18
Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2u =+−=+= . Determine o módulo do vetor
w2v3u
2
1
R +−= .
Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação vem:
)0,1(we)1,3(v,)4,2(u =−== . Vamos primeiro determinar o vetor R .
)1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2(
2
1
R −=+−++=+−−=+−−=
Logo, ji12R −= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22
=+=−+=
1.2 Cossenos diretores de um vetor
Seja jyixv += um vetor qualquer do ℜ2
. Então v forma um ângulo com cada
eixo coordenado. Sejam α e β os ângulos que o vetor v forma com os eixos Ox e Oy,
respectivamente. Pela figura abaixo temos:
|v|
x
)cos( =α e
|v|
y
)cos( =β , chamados
cossenos diretores do vetor .v Note que: 1)(cos)(cos 22
=β+α , pois:
1
|v|
y
|v|
x
22
=





+





e 222
yx|v| += , então 22
yx|v| += .
Definição: Considere o vetor jyixv += . Então o versor do vetor v , denotado por
ov , é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v e unitário, ou seja, 1vo = , definido
por
|v|
v
vo = .
Como jyixv += ⇒ )y,x(v = ⇒ 





=⋅=
|v|
y
,
|v|
x
)y,x(
|v|
1
vo ⇒ )cos,(cosvo βα= .
Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine:
a) Os cossenos diretores do vetor AB .
b) Um vetor w de módulo 40 e paralelo ao vetor AB .
Solução: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB −−=−−=−= , 10)1()3(|AB| 22
=−+−= . Então:
10
1
|AB|
y
)cos(e
10
3
|AB|
x
)cos(
−
==β
−
==α
α
β
O
v
y
x
P(x,y)
Oy
Ox

4. 19
b) Seja )y,x(w = . Se w é paralelo ao vetor AB , então existe um escalar ℜ∈m tal
que: ABmw ⋅= . Então:



−=
−=
=−−⋅=
my
m3x
)1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| = ,
então: 40yx 22
=+ ⇒ ( )22
22
40yx =





+ ⇒ 40yx 22
=+ ⇒
40)m()m3( 22
=−+− ⇒ 2m40m10 2
±=⇒= . Assim, há duas soluções: para m = 2 ⇒
)2,6(w −−= ou para m = -2 ⇒ )2,6(w = o seu oposto. Logo, )2,6(w −−= ou )2,6(w = .
Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v −−=+= . Determine os valores de m
para que o vetor wv − tenha módulo igual a 6.
Solução: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv +−+=−−−+=−
626m8m2)1m()5m(|wv| 222
=++=+−++=−
05m4m626m8m2 22
2
2
=−+⇒=





++ ⇒



−=
=
5m
1m
2
1
Logo para



−−=−−=⇒−=
−==⇒=
)11,2(we)5,2(v5m
)1,2(we)1,4(v1m
2
1
Exemplo (4): Seja )4,3(v = . Ao projetarmos o vetor v sobre o eixo Ox, obtemos um
vetor u . Determine o vetor w que é a projeção do vetor u na direção do vetor v .
Solução: Temos que )0,3(u = e w é paralelo ao vetor v . Então vw α= . Seja
)y,x(w = . Então:



α=
α=
⇒α==
4y
3x
)4,3()y,x(w . Por construção temos:
5
9
|w|
|v|
|u|
|u|
|w|
cos =⇒==θ . Mas ⇒α+α=+= 2222
)4()3(yx|w|
25
9
5
9
25
5
9
)4()3(|w| 222
=α⇒=α⇒=α+α=
Portanto: 





=⇒==
25
36
,
25
27
w)4,3(
25
9
)y,x(w
y
θ
x
4
3u
w
v

5. 20
Exercícios Propostos:
1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v −== , determine os vetores bea sabendo que
bav += e que b é o triplo do versor do vetor u .
Resp: 





=





−=
5
11
,
5
22
ae
5
9
,
5
12
b
2) Determine t para que )t2,t(u = tenha módulo igual a 53 . Resp: t = ± 3
3) O vetor )8,2(v = é a soma de um vetor a que está sobre o eixo Ox com um vetor
b , cujo módulo é 73 . Determine as possibilidades para os vetores a e b .
Resp:




−==
=−=
)8,3(be)0,5(a
ou)8,3(be)0,1(a
4) Três pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um triângulo ABC.
a) Mostre que 0BACBAC =++ .
b) Determine o perímetro do triângulo ABC. Resp: 5517p2 +=
5) Sejam A, B, C e D, vértices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e
)4,3(BDe)4,7(AC −== suas diagonais, determine os outros vértices B, C e D.
Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0)
2 Vetores no espaço
O espaço, também chamado de 3
ℜ , onde ℜ×ℜ×ℜ=ℜ3
, é o conjunto de todas
as ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }ℜ∈=ℜ z,y,x/)z,y,x(3
. Logo,
todo ponto P do 3
ℜ é representado por uma terna de números reais P(x,y,z). O 3
ℜ é
representado através do sistema de coordenadas cartesianas, o qual é constituído por
três eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é a terna O(0,0,0), chamada de
origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo das abscissas), Oy (eixo
das ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de eixos coordenados,
orientados como mostra a figura abaixo.
(–)
(–)
(–)
(+)
(+)
(+)
Oy
Oz
Ox

6. 21
Note que os eixos coordenados dividem o espaço e 8 regiões iguais, cada uma
delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro são os sinais das
coordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3
ℜ . Assim:
- Se (x,y,z) pertence ao 1º octante, então x>0, y>0 e z>0. Em símbolos: (+,+,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 2º octante, então x<0, y>0 e z>0. Em símbolos: (–,+,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 3º octante, então x<0, y<0 e z>0. Em símbolos: (–,–,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 4º octante, então x>0, y<0 e z>0. Em símbolos: (+,–,+);
- Se (x,y,z) pertence ao 5º octante, então x>0, y>0 e z<0. Em símbolos: (+,+,–);
- Se (x,y,z) pertence ao 6º octante, então x<0, y>0 e z<0. Em símbolos: (–,+,–);
- Se (x,y,z) pertence ao 7º octante, então x<0, y<0 e z<0. Em símbolos: (–,–,–);
- Se (x,y,z) pertence ao 8º octante, então x>0, y<0 e z<0. Em símbolos: (+,–,–).
Apesar do 3
ℜ ter a representação como acima, para fins de simplificar a
representação ou a construção geométrica de algo, por convenção, adota-se uma
representação simplificada do 3
ℜ , representando apenas um ou o octante desejado.
Todo ponto P(x,y,z) do espaço é representado como na figura abaixo, onde x, y e z
são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox, Oy e Oz e esta
ordem esta fixada.
Suponhamos que desejamos representar os pontos P(3,5,6) e Q(-3,5,6). Note
que P pertence ao 1º octante e Q pertence ao 2º octante.
A representação do ponto P(3,5,6) é relativamente simples quando trabalhamos
com o 1º octante, o que não ocorre com a representação do ponto Q(-3,5,6). As
representações no 2º ao 8º octantes são complicadas, exigem técnicas do desenho
Oz
3
Ox
6
5
P(3,5,6)
1º octante
Oy
Oy
x
Ox
z
y
P(x,y,z)
Oz
Oz
–3
Ox
6
5
Q(-3,5,6)
Oy
1º octante
2º octante

7. 22
geométrico como noção de profundidade e perspectiva e, nem sempre a visualização
do que se pretende representar é evidente aos nossos olhos.
Como estamos interessados em fazer as representações no ℜ3
através de um
esboço, ou seja, algo simples e não pretendemos realizar construções difíceis e nem
representações elaboras, o que se adota como convenção é representar o octante
desejado como se fosse sempre o 1º octante. Por exemplo, poderíamos representar o
ponto Q(-3,5,6) da seguinte forma:
Qualquer vetor do ℜ3
pode ser escrito em função três versores kej,i , cada um
deles situados sobre os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente.
Futuramente o conjunto de versores { }k,j,i será chamado de uma base do ℜ3
.
Pela figura acima podemos ver que kzjyixv ++= , ou seja, o vetor v é escrito
em função da base { }k,j,i . A expressão kzjyixv ++= é chamada de expressão
cartesiana. Note também que, o módulo de um vetor é dado por 222
zyx|v| ++=
pois:
Do triângulo OQR vem: 222
yxw +=
Do triângulo POR vem: 222
zw|v| +=
Então: 2222
zyx|v| ++=
Portanto: 222
zyx|v| ++=
Oz
-3
Ox6
5
Q(-3,5,6)
2º octante
Oy
Oy
x
kz
k
Ox
j
jy
i
ix
v
z
y
P(x,y,z)
Oz
jyix +
w
v
R
Q
P
O
z
z
y
y
x

8. 23
Todo vetor do espaço será representado a partir da origem do sistema, ou seja,
a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide com
algum ponto P(x,y,z). Assim, podemos identificar um vetor com um ponto do espaço
e simplesmente escrever que )z,y,x(v = .
Por exemplo: O vetor k6j5i3v ++= é escrito como )6,5,3(v = e representá-lo
no ℜ3
, marcando o ponto P e unindo este ponto à origem do sistema, sempre fazendo
coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do vetor com o
ponto P. Veja a figura abaixo:
2.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ3
na forma cartesiana
Sejam kzjyixvekzjyixv 22221111 ++=++= dois vetores quaisquer do ℜ3
e
um escalar qualquer ℜ∈α . Então:
- Adição: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121 +++++=+
- Subtração: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121 −+−+−=−
- Produto por escalar: k)z(j)y(i)x(v 1111 α+α+α=⋅α
Exemplo (5): Sejam jwek2ji3v,j4i2u −=++−=+= , três vetores do espaço.
Determine o módulo do vetor w2v3u
2
1
R +−= .
Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação,
escrevemos: )0,1,0(we)2,1,3(v,)0,4,2(u −=−== . Determinando o vetor R vem:
)0,2,0()6,3,9()0,2,1()0,1,0(2)2,1,3(3)0,4,2(
2
1
R −+−−=−+−−= ⇒
)6,3,10()060,232,091(R −−=+−−−++= . Logo, k6j3i10R −−=
Portanto, 145369100)6()3(10|R| 222
=++=−+−+= .
Oz
3
Ox
v
6
5
P(3,5,6)
Oy

9. 24
2.2 Cossenos diretores de um vetor
Seja kzjyixv ++= um vetor qualquer do ℜ3
. Então v forma um ângulo com
cada eixo coordenado. Sejam α, β e γ os ângulos que o vetor forma com os eixos Ox,
Oy e Oz, respectivamente. Pela figura abaixo temos:
|v|
x
)cos( =α ,
|v|
y
)cos( =β ,
|v|
z
)cos( =γ
chamados de co-senos diretores do vetor .v
Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222
=γ+β+α
Definição: Considere o vetor kzjyixv ++= . Então o versor do vetor v , denotado
por ov , é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v e unitário, ou seja, 1vo = ,
definido por
|v|
v
vo = .
Como kzjyixv ++= ⇒ )z,y,x(v = ⇒ 





=⋅=
|v|
z
,
|v|
y
,
|v|
x
)z,y,x(
|v|
1
vo ⇒
)cos,cos,(cosvo γβα= .
2.3 Condição de paralelismo entre dois vetores.
Sejam )z,y,x(ve)z,y,x(u 222111 == dois vetores paralelos, ou seja, eles têm a
mesma direção, então existe um escalar m∈ℜ tal que vmu ⋅= . Logo:









=⇒=
=⇒=
=⇒=
⇒⋅=
2
1
21
2
1
21
2
1
21
222111
z
z
mmzz
y
y
mmyy
x
x
mmxx
)z,y,x(m)z,y,x( ⇒
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
m === ,
0ze0y,0xcom 222 ≠≠≠ . Portanto, para que dois vetores sejam paralelos é
necessário que haja uma proporção entre suas coordenadas, isto é, eles são múltiplos
escalares.
y
γ
β
Ox
x
α
|v|
z
P(x,y,z)Oz
Oy

10. 25
Por exemplo: considere os vetores )2,4,1(u = , )4,8,2(v = e )4,6,2(w = . Temos
que u e v são paralelos, pois u2v ⋅= e 2
2
4
4
8
1
2
=== . Note que u e w não são
paralelos, pois
2
4
4
6
1
2
≠≠ , ou seja, não existe nenhum escalar m∈ℜ tal umw ⋅= .
2.4 Condição de coplanaridade entre três vetores
Sejam )z,y,x(u 111= , )z,y,x(v 222= e )z,y,x(w 333= vetores coplanares,
ou seja, vetores que estão no mesmo plano, então existem escalares m, n ∈ℜ tais
que wnvmu += .
Então: ⇒⋅+⋅= )z,y,x(n)z,y,x(m)z,y,x( 333222111





=+
=+
=+
132
132
132
znzmz
ynymy
xnxmx
Podemos associar a este sistema linear uma matriz dos coeficientes, cujo
determinante é igual a zero, pois existe uma combinação linear entre suas linhas, ou
seja, a primeira linha é m vezes a segunda mais n vezes a terceira. Portanto, a
condição para que três vetores sejam coplanares é verificada quando
0
zyx
zyx
zyx
333
222
111
= .
Exemplo (6): Dados os pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor w paralelo
ao vetor PQ e que tenha módulo igual a 6.
Solução: Sejam )z,y,x(w = . Como w é paralelo a PQ , então PQw α= ⇒
)2,2,1()z,y,x( −−−α= . Então:





α−=
α−=
α−=
2z
2y
x
. O módulo de )z,y,x(w = é igual
6zyx 222
=++ ⇒ 2696)2()2()( 2222
±=α⇒=α⇒=α−+α−+α− . Portanto,
)4,4,2(wou)4,4,2(w −−−== .
vm v
w
wn
u

11. 26
Exemplo (7): Os vetores )0,1,0(ve)2,1,2(v 21 =−= estão aplicados no mesmo ponto
A. Determine um vetor AB de módulo 32 , cuja direção é a direção da bissetriz do
ângulo formado pelos vetores 21 vev .
Solução: Para que )z,y,x(AB = esteja sobre a bissetriz do ângulo entre 21 vev , é
necessário que |v||v| 2211 α=α ⇒ 2
2
222
1 12)1(2 ⋅α=+−+⋅α ⇒ 12 3α±=α . Pela
figura acima podemos ver que 2211 vvAB α+α= . Daí segue que:
Para 12 3α=α ⇒ 2111 v3vAB α+α= ⇒ )v3v(AB 211 +α= ⇒
[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 +−⋅α= ⇒





α=
α=
α=
1
1
1
2z
2y
2x
.
Como 32)2()2()2(32zyx32|AB| 2
1
2
1
2
1
222
=α+α+α⇒=++⇒= ⇒
132323212 11
2
1 ±=α⇒±=α⇒=α . Portanto, )2,2,2(ABou)2,2,2(AB −−−==
Para 12 3α−=α ⇒ 2111 v3vAB α−α= ⇒ )v3v(AB 211 −α= ⇒
[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 −−⋅α= ⇒





α=
α−=
α=
1
1
1
2z
4y
2x
.
Como 32)2()4()2(32zyx32|AB| 2
1
2
1
2
1
222
=α+α−+α⇒=++⇒= ⇒
2
2
12243224 1
2
1
2
1
±=α⇒=α⇒=α .
Portanto, ( ) ( )2,22,2ABou2,22,2AB −+−=−=
Exemplo (8): Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de
reta de extremidades )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 .
Solução: Seja M(x,y,z) o ponto médio do segmento AB . O ponto M é tal que
MBAM = ou M-A = B-M. Então:










+=
+=
+=
⇒
−=−
−=−
−=−
⇒−−−=−−−
21
21
21
21
21
21
222111
zzz2
yyy2
xxx2
zzzz
yyyy
xxxx
)zz,yy,xx()zz,yy,xx(
Portanto: Ponto médio 




 +++
2
zz
,
2
yy
,
2
xx
M 212121
B
A
AB
1v
2v
11vα
22vα
α
α

12. 27
Exercícios Propostos:
1) Encontrar os valores a e b tais que ubvaw += , sendo )14,4,4(w −−= ,
)1,2,1(v −= e )4,0,2(u −= . Resp: a =2 e b = -3
2) Determine o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3).
Resp: Q(-5,-1,-4)
3) Um vetor w do ℜ3
forma com os eixos Ox e Oy, ângulos de 60o
e 1200
,
respectivamente. Determine w para que ele tenha módulo igual a 2.
Resp: )2,1,1(wou)2,1,1(w −−=−=
4) Sejam )0,1,1(be)0,0,1(a == . O ângulo entre eles é 45o
. Calcule o ângulo entre os
vetores baeba −+ . Resp:








−=θ
5
5
arccos
5) Dados os pontos A(1,-1,3) e B(3,1,5) , até que ponto se deve prolongar o
segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de
valor? Resp: (9,7,11)
COMENTÁRIOS IMPORTANTES
1) Como podemos identificar um vetor kzjyixv ++= com um ponto do ℜ3
e, a fim
de simplificar a notação, escrevermos )z,y,x(v = , é muito comum o aluno confundir
as notações de um ponto P(x,y,z) com o vetor )z,y,x(v = . Às vezes até, fazer
operações que são permitidas somente entre vetores, aplicando-as aos pontos.
Portanto, cuidado com as notações.
2) A linguagem matemática é uma linguagem como outra qualquer, com suas regras
e conectivos lógicos. As próprias línguas (português, inglês, alemão,...) possuem suas
regras de construção (concordâncias, ortografia, conjugação verbal,...) as quais
devem ser empregadas corretamente para que as frases e os parágrafos tenham
sentido. Se por exemplo, em uma determinada linguagem computacional você
esquecer-se de digitar um ponto ou uma vírgula, seu programa não “roda” e enviará
uma mensagem de erro. Veja o que acontece quando nos esquecemos de digitar um
ponto ou uma letra em um site da internet ou um e-mail, não vamos conseguir
navegar ou enviar uma mensagem. Assim também é linguagem matemática. Se você
não escreve corretamente, seu desenvolvimento matemático ficará sem sentido e o
professor, provavelmente, vai lhe enviar uma mensagem de erro que é a sua nota.
Portanto, procure usar os símbolos de maneira correta e ordenada, para aqueles que
lerem seu desenvolvimento matemático possa entender o seu raciocínio.