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Lista 2 de Integrais


   UFES - Universidade Federal do Esp´
                                     ırito Santo                                                                                Integral definida
   DMAT - Departamento de Matem´tica
                                   a                                                                             Teorema Fundamental do C´lculo
                                                                                                                                           a
                                                                                                                           ´
                                                                                                                           Area de regi˜es planas
                                                                                                                                       o

   Calcule as integrais dos exerc´
                                 ıcios 1. a 10.
            1    √                                          2          √                                              3
                                                                                                                               x
                ( t )2 − 2 dt
                 3
  1.                                               5.           (2 − s) s ds                                9.            √       dx
        −1                                              0                                                         2           x−1
            1        √                                      1                                                         1
                x− x                                                                                                  2         x
  2.                 dx                            6.           |x| dx                                     10.            √          dx
        0         3                                     −1                                                        0           1 − x4
            3                                               4
                 3
  3.                − 1 dx                         7.            x2 − 4x + 3 dx
        1        x2                                     0
                                                            π
            2
                 2                                          4
  4.               dx                              8.           cos3 x dx
        1        x                                      0

    Derive as fun¸˜es dos exerc´
                 co            ıcios 11. a 15.
                                                                               √                                                    √
                          1
                               t2 − 2t                                        2 x                                                    x
                                                                                                                                          2
 11. f (x) =                           dt         13. f (x) = x      2
                                                                                        t2   + 1 dt        15. F (x) =                   et   +1
                                                                                                                                                   dt
                         −x    t2 + 4                                     1                                                     0
                          x4                                             | sen x|
 12. f (x) =                        cos t3 dt     14. F (x) =                       ln t dt
                         − sen2 x                                    0

       Calcule os limites dos exerc´
                                   ıcios 16. e 17.
                     x                                                                           1
                     2                                                                                 2
                         cos( sen t) dt                                                               et dt
                 π                                                                              −x
 16. lim         2                                                             17. lim
       x→π               (x − π)
                                    3                                                   x→−1    (x + 1)3

    Calcule a ´rea da regi˜o R dos exerc´
              a           a             ıcios 18. a 24.
 18. R ´ a regi˜o entre os gr´ficos de y = x2 − 1 e y = x + 5.
       e       a             a
 19. R ´ limitada por y = x2 − 2x, o eixo x e as retas x = −2 e x = 4.
       e
 20. R ´ a regi˜o entre a reta x = 2 e a curva x = y 2 + 1.
       e       a
                                                        √
 21. R ´ o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ x.
       e
 22. R ´ a regi˜o entre os gr´ficos de y = |x| e y = x2 , com −3 ≤ x ≤ 3.
       e       a             a
 23. R ´ a regi˜o delimitada pelas curvas y = x, xy 2 = 1 e y = 2.
       e       a
 24. R ´ a regi˜o delimitada pelas curvas y = sen x e y = − sen 2x; 0 ≤ x ≤ π.
       e       a
                                                                                                            4
 25. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o entre o eixo x e a hip´rbole y =
                         a           a                        e                                                , para 2 ≤ x ≤ 3.
                                                                                                           x−1
                                                                                          3
 26. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o delimitada por y =
                         a           a                                                       , pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = −4.
                                                                                         x−1
 27. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o limitada pela curva y = ex e a reta que cont´m os pontos (0, 1) e (1, e).
                         a           a                                              e
 28. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o situada acima do eixo x, abaixo da reta y = 1 e limitada por y = ln |x|.
                         a           a
 29. Determine m de modo que a ´rea da regi˜o limitada por y = mx e y = 2x − x2 seja 36.
                               a           a
 30. A reta y = 1 − x divide a regi˜o compreendida entre as par´bolas y = 2x2 − 2x e y = −2x2 + 2 em duas
                                   a                             a
     partes. Mostre que as ´reas assim obtidas s˜o iguais e calcule o seu valor.
                           a                    a
                         1                                                          1
 31. Calcule             0
                              xf (x) dx, sabendo que f (1) = 2 e que         f (t) dt ´ igual a ´rea da regi˜o R entre o gr´fico de
                                                                                    0
                                                                                      e         a           a              a
                                                                              d
       y = −x2 e as retas y = 1, x = 0 e x = 1.                    sugest˜o:
                                                                         a      (xf (x)) = f (x) + xf (x)
                                                                             dx
Lista 2 de Integrais


                                                                       RESPOSTAS
                                                                                       1
  1. − 14                                                                                                                  4
       5                                                                   20.                 2 − y2 + 1      dy =
       1                                                                           −1                                      3
  2. − 18
                                                                                       1       √                  1
  3. 0                                                                     21.                      x − x2 dx =
          √                                                                        0                              3
  4. 4 − 2 2                                                                               1
        √                                                                  22. 2                x − x2 dx+
  5. 16 2
     15                                                                                0
                                                                                                3
  6. 1                                                                                                                29
                                                                                 +2                  x2 − x dx =
                                                                                            1                          3
  7. 4
            √                                                                          2
  8.   5
       12       2                                                          23.                 y − y −2 dy = 1
                                                                                   1
       1   √
  9.     10 2 − 8                                                                      2π
                                                                                        3
       3                                                                   24.              ( sen x + sen 2x) dx+
    1       1                                                                      0
 10. arcsen                                                                                     π
                                                                                                                                   5
    2       4                                                                    +2                 −( sen x + sen 2x) dx =
                                                                                               2π                                  2
                         x2 + 2x                                                                3
 11. f (x) =
                         x2 + 4                                            25.
 12. f (x) = 4x3 cos x12 + sen 2x cos sen 6 x                                                                                  a
                                                                                                                               ´rea = 4 ln 2
                                                          √
                                                         2 x               26.
 13. f (x) =               (4x +   1)x3   + 2x                 t2 + 1 dt
                                                     1                                                                         a
                                                                                                                               ´rea = 3 ln 5
                           sen x                                           27.
 14. F (x) =                      (cos x) ln | sen x|
                         | sen x|                                                                                                      3−e
                                                                                                                               a
                                                                                                                               ´rea=
            ex+1                                                                                                                        2
 15. F (x) = √
            2 x                                                            28.
 16. ∞                                                                                                                            ´rea = 2e − 2
                                                                                                                                  a

 17. ∞                                                                     29. m = −4
            3                                                                          1
 18.                (x + 5) − x2 − 1            dx                         30.                      2 − 2x2 − (1 − x) dx =
         −2                                                                         1
                                                                                   −2
            0                              2                                                1
                                                                                                                                         9
 19.                x2 − 2x dx +               − x2 − 2x dx+                     =                   (1 − x) − 2x2 − 2x           dx =
         −2                            0
                                                                                            1
                                                                                           −2                                            8
                    4
                                           44                                    2
       +                x2 − 2x dx =                                       31.
                2                           3                                    3

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  • 1. Lista 2 de Integrais UFES - Universidade Federal do Esp´ ırito Santo Integral definida DMAT - Departamento de Matem´tica a Teorema Fundamental do C´lculo a ´ Area de regi˜es planas o Calcule as integrais dos exerc´ ıcios 1. a 10. 1 √ 2 √ 3 x ( t )2 − 2 dt 3 1. 5. (2 − s) s ds 9. √ dx −1 0 2 x−1 1 √ 1 1 x− x 2 x 2. dx 6. |x| dx 10. √ dx 0 3 −1 0 1 − x4 3 4 3 3. − 1 dx 7. x2 − 4x + 3 dx 1 x2 0 π 2 2 4 4. dx 8. cos3 x dx 1 x 0 Derive as fun¸˜es dos exerc´ co ıcios 11. a 15. √ √ 1 t2 − 2t 2 x x 2 11. f (x) = dt 13. f (x) = x 2 t2 + 1 dt 15. F (x) = et +1 dt −x t2 + 4 1 0 x4 | sen x| 12. f (x) = cos t3 dt 14. F (x) = ln t dt − sen2 x 0 Calcule os limites dos exerc´ ıcios 16. e 17. x 1 2 2 cos( sen t) dt et dt π −x 16. lim 2 17. lim x→π (x − π) 3 x→−1 (x + 1)3 Calcule a ´rea da regi˜o R dos exerc´ a a ıcios 18. a 24. 18. R ´ a regi˜o entre os gr´ficos de y = x2 − 1 e y = x + 5. e a a 19. R ´ limitada por y = x2 − 2x, o eixo x e as retas x = −2 e x = 4. e 20. R ´ a regi˜o entre a reta x = 2 e a curva x = y 2 + 1. e a √ 21. R ´ o conjunto dos pontos (x, y) tais que x2 ≤ y ≤ x. e 22. R ´ a regi˜o entre os gr´ficos de y = |x| e y = x2 , com −3 ≤ x ≤ 3. e a a 23. R ´ a regi˜o delimitada pelas curvas y = x, xy 2 = 1 e y = 2. e a 24. R ´ a regi˜o delimitada pelas curvas y = sen x e y = − sen 2x; 0 ≤ x ≤ π. e a 4 25. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o entre o eixo x e a hip´rbole y = a a e , para 2 ≤ x ≤ 3. x−1 3 26. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o delimitada por y = a a , pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = −4. x−1 27. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o limitada pela curva y = ex e a reta que cont´m os pontos (0, 1) e (1, e). a a e 28. Esboce e encontre a ´rea da regi˜o situada acima do eixo x, abaixo da reta y = 1 e limitada por y = ln |x|. a a 29. Determine m de modo que a ´rea da regi˜o limitada por y = mx e y = 2x − x2 seja 36. a a 30. A reta y = 1 − x divide a regi˜o compreendida entre as par´bolas y = 2x2 − 2x e y = −2x2 + 2 em duas a a partes. Mostre que as ´reas assim obtidas s˜o iguais e calcule o seu valor. a a 1 1 31. Calcule 0 xf (x) dx, sabendo que f (1) = 2 e que f (t) dt ´ igual a ´rea da regi˜o R entre o gr´fico de 0 e a a a d y = −x2 e as retas y = 1, x = 0 e x = 1. sugest˜o: a (xf (x)) = f (x) + xf (x) dx
  • 2. Lista 2 de Integrais RESPOSTAS 1 1. − 14 4 5 20. 2 − y2 + 1 dy = 1 −1 3 2. − 18 1 √ 1 3. 0 21. x − x2 dx = √ 0 3 4. 4 − 2 2 1 √ 22. 2 x − x2 dx+ 5. 16 2 15 0 3 6. 1 29 +2 x2 − x dx = 1 3 7. 4 √ 2 8. 5 12 2 23. y − y −2 dy = 1 1 1 √ 9. 10 2 − 8 2π 3 3 24. ( sen x + sen 2x) dx+ 1 1 0 10. arcsen π 5 2 4 +2 −( sen x + sen 2x) dx = 2π 2 x2 + 2x 3 11. f (x) = x2 + 4 25. 12. f (x) = 4x3 cos x12 + sen 2x cos sen 6 x a ´rea = 4 ln 2 √ 2 x 26. 13. f (x) = (4x + 1)x3 + 2x t2 + 1 dt 1 a ´rea = 3 ln 5 sen x 27. 14. F (x) = (cos x) ln | sen x| | sen x| 3−e a ´rea= ex+1 2 15. F (x) = √ 2 x 28. 16. ∞ ´rea = 2e − 2 a 17. ∞ 29. m = −4 3 1 18. (x + 5) − x2 − 1 dx 30. 2 − 2x2 − (1 − x) dx = −2 1 −2 0 2 1 9 19. x2 − 2x dx + − x2 − 2x dx+ = (1 − x) − 2x2 − 2x dx = −2 0 1 −2 8 4 44 2 + x2 − 2x dx = 31. 2 3 3