Este documento apresenta definições e teoremas sobre isomorfismo de espaços vetoriais. [1] Define transformação linear bijetora como isomorfismo e apresenta propriedades como a existência de inversa e isomorfismo entre espaços da mesma dimensão. [2] Aplica os conceitos em exemplos de verificação de isomorfismo e determinação da transformação inversa.

1. 54
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 7
ISOMORFISMO
O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , tentar definir a
transformação linear inversa, ou seja, VW:T 1
→−
. Quando ela existir será chamado de um
isomorfismo. Mas, antes precisamos de alguns conceitos.
Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de injetora se
Vvev,vv)v(T)v(T 212121 ∈∀=⇒= .
Definição: Uma transformação linear WV:T → é sobrejetora se, e somente se .W)TIm( =
Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de bijetora se, e somente se, ela é
injetora e sobrejetora.
Exemplo (1): Seja )yx,yx()y,x(T −+= uma transformação linear. Verificar se T é bijetora.
Solução: Temos que verificar se T é injetora e sobrejetora. Sejam )y,x(ve)y,x(v 222111 ==
dois vetores quaisquer do ℜ2
. Note que 22
:T ℜ→ℜ .
Se )yx,yx()yx,yx()v(T)v(T 2222111121 −+=−+⇒= ⇒



−=−
+=+
2211
2211
yxyx
yxyx
.
Resolvendo o sistema linear temos que 2121 yyexx == , ou seja, 21 vv = . Logo T é
injetora. Os vetores que formam a )TIm( são do tipo )yx,yx(v −+= . Então
)1,1(y)1,1(xv −+= , ou seja, )}1,1(),1,1{( − é uma base da Im(T) mas também é uma base
do ℜ2
. Logo, )dim()TIm(dim 2
ℜ= . Como 22
)TIm()TIm( ℜ=⇒ℜ⊂ . Assim, T é
sobrejetora. Portanto T é bijetora.
Vamos enunciar a seguir, alguns teoremas que nos ajudarão a verificar se uma
determinada transformação linear é ou não bijetora.
Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então T é injetora se, e somente se,
}0{)T(Ker = .

2. 55
Demonstração:
(⇒⇒⇒⇒) hipótese: T é injetora
Tese: }0{)T(Ker =
Seja )T(Kerv∈ , então 0)v(T = ⇒ )0(T)v(T = . Com T é injetora, então 0v = . Portanto
}0{)T(Ker = .
(⇐⇐⇐⇐) hipótese: }0{)T(Ker =
Tese: T é injetora
Seja 0)vv(T0)v(T)v(T)v(T)v(T 212121 =−⇒=−⇒= . Isso significa que
}0{)T(Kervv 21 =∈− . Logo, 2121 vv0vv =⇒=− . Portanto, T é injetora.
Teorema (2): Uma transformação linear injetora WV:T → , leva vetores LI de V em vetores LI de
W.
Demonstração:
hipótese: T é injetora e V}v,...,v,v{ n21 ⊂ são LI.
Tese: W)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 ⊂ são LI
Seja os escalares K,...,, n21 ∈ααα tais que 0)v(T...)v(T)v(T nn2211 =α++α+α . Então:
0)v...vv(T nn2211 =α++α+α . Como T é injetora, então, 0v...vv nn2211 =α++α+α . Como
}v,...,v,v{ n21 são LI, então 0... n21 =α==α=α . Portanto, )}v(T),...,v(T),v(T{ n21 são LI.
Teorema (3): Seja WV:T → uma transformação linear. Então: )T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( +=
Demonstração: Seja V}u,...,u,u{ n21 ⊂ uma base do Ker(T). Podemos completar esse conjunto
de modo a obter uma base de V. Sejam V}v,...,v,v{ m21 ⊂ tais que a base de V se
escreva como }v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 . Logo mn)Vdim( += . Basta mostrar
que )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é base da )TIm( . Para isso vamos mostrar que:
a) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 gera )TIm( .
b) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI.
a) Seja )TIm(w ∈∀ , então existe Vv∈ tal que w)v(T = . Como Vv∈ ele se
escreve como combinação linear dos vetores da base de V. Logo, existem escalares
tais que mm2211nn2211 v...vvu...uuv α++α+α+β++β+β= . Daí vem que
)v(T...)v(T)v(T)u(T...)u(T)u(Tw)v(T mm2211nn2211 α++α+α+β++β+β==
Como }u,...,u,u{ n21 é base do Ker(T), então, 0)u(T...)u(T)u(T n21 ==== .

3. 56
Logo, )v(T...)v(T)v(Tw)v(T mm2211 α++α+α== . Isso mostra que w é
combinação linear de )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 . Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21
gera a Im(T).
b) Sejam m21 ,...,, ααα escalares tais que 0)v(T...)v(T)v(T mm2211 =α++α+α .
Então, 0)v...vv(T mm2211 =α++α+α ⇒ )T(Kerv...vv mm2211 ∈α++α+α .
Podemos escrever que: mm2211mm2211 u...uuv...vv β++β+β=α++α+α ⇒
0u...uuv...vv mm2211mm2211 =β−−β−β−α++α+α . Como a base de V é
}v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 , logo 0...... m21m21 =β−==β−=β−=α==α=α .
Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI.
Teorema (4): Se )Wdim()Vdim( = então WV:T → é injetora se, somente se, T é sobrejetora.
Demonstração:
(⇒⇒⇒⇒) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é injetora
Tese: T é sobrejetora.
Como T é injetora ⇒ }0{)T(Ker = ⇒ 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que
)Wdim(0)TIm(dim)Vdim( =+= . Como )Wdim()TIm(dim = e W)TIm( ⊆ , pela
proposição (2) do capítulo (4), vem que W)TIm( = , ou seja, T é sobrejetora.
(⇐⇐⇐⇐) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é sobrejetora
Tese: T é injetora
Como T é injetora ⇒ )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que
)T(Kerdim)Wdim()Vdim( += . Como )Wdim()Vdim( = ⇒ 0)T(Kerdim = ⇒ }0{)T(Ker = .
Pelo teorema (1), T é injetora.
Teorema (5): Se WV:T → é uma transformação linear injetora e )Wdim()Vdim( = então T leva
base de V em base de W.
Demonstração: Seja }v,...,v,v{ n21 base de V ⇒ n)Vdim( = . Como )Wdim()Vdim( = e T é
injetora, pelo teorema (4), T é sobrejetora ⇒ nW)TIm( == . Temos que
)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 geram W e são LI pelo teorema (2). Portanto
)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 é base de W.

4. 57
Teorema (6): Se WV:T → é uma transformação linear, então:
a) Se )Wdim()Vdim( > ⇒ T não é injetora
b) Se )Wdim()Vdim( < ⇒ T não é sobrejetora
Demonstração:
a) Suponhamos que T seja injetora, então 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que:
)Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( >+= ⇒ )Wdim()TIm(dim > (absurdo!). Portanto, T
não é injetora.
b) Suponhamos que T seja sobrejetora, então )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que
)Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( <+= ⇒ 0)T(Kerdim < (absurdo!). Portanto, T não é
sobrejetora.
Exemplo (2): Vamos resolver, novamente, o exemplo (1) utilizando os teoremas enunciados.
Solução: Como )yx,yx()y,x(T −+= , ou seja, 22
:T ℜ→ℜ , estamos nas condições do teorema
(4). Vamos determinar o Ker(T). Seja )0,0()yx,yx()y,x(T =−+= ⇒



=−
=+
0yx
0yx
.
Resolvendo o sistema temos que )}0,0{()T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora. Pelo
teorema (4), se T é injetora então T é sobrejetora. Portanto T é bijetora.
Exemplo (3): Seja )(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ uma transformação linear definida por






−
−
=++
21
102
210
aa0
0aa
)tataa(T . T é sobrejetora? T é injetora? Determine a
dimensão do Ker(T) e da Im(T).
Solução: Como )(Mdim)(Pdim 2x22 ℜ<ℜ , pelo teorema (6), T não é sobrejetora. Vamos verificar
se ela é injetora. Seja )T(Kertataa)t(p 2
210 ∈++= . Então
( ) 





−
−
=





=
21
10
aa0
0aa
00
00
)t(pT ⇒



=−
=−
0aa
0aa
21
10
⇒ 210 aaa == . Logo, todo
)T(Ker)t(p ∈ é da forma: )tt1(atataa)t(p 2
0
2
000 ++=++= , ou seja, }tt1{ 2
++ é
base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Pelo teorema (1), T não é injetora e pelo teorema (3)
temos: 2)TIm(dim1)TIm(dim)T(Kerdim)TIm(dim3)(Pdim 2 =⇒+=+==ℜ .

5. 58
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. Dizemos que T é um isomorfismo se T é
uma transformação linear bijetora.
OBS: Quando WV = , ou seja, temos que VV:T → é um operador linear bijetor, então T é
chamado de um automorfismo.
Definição: Seja WV:T → um isomorfismo. Então, a aplicação inversa VW:T 1
→−
, se existir, é
também um isomorfismo tal que IdTTTT 11
== −−
oo .
Definição: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos se existir um isomorfismo entre eles.
Teorema (7): Dois espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K são isomorfos se, e somente se, eles
têm a mesma dimensão.
Exemplo (4): Seja )aaa,aa,aa()tataa(T 2102110
2
210 ++−+=++ . T é um isomorfismo? Em
caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.
Solução: Note que 3
2 )(P:T ℜ→ℜ e 3)dim()(Pdim 3
2 =ℜ=ℜ . Seja )T(Kertataa 2
210 ∈++ .
Então, )aaa,aa,aa()0,0,0( 2102110 ++−+= ⇒





=++
=−
=+
0aaa
0aa
0aa
210
21
10
. Resolvendo o
sistema temos que 0aaa 210 === . Logo }0{)T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora e
pelo teorema (4), T é sobrejetora. Portanto T é um isomorfismo. Seja )(P:T 2
31
ℜ→ℜ−
.
Então 2
210
1
tataa)z,y,x(T ++=−
⇒ )tataa(T)z,y,x(TT 2
210
1
++=−
o ⇒
)aaa,aa,aa()z,y,x( 2102110 ++−+= ⇒





++=
−=
+=
210
21
10
aaaz
aay
aax
⇒





+−=
++−=
−−=
zxa
zyxa
zyx2a
2
1
0
.
Portanto, 21
t)zx(t)zyx()zyx2()z,y,x(T +−+++−+−−=−

6. 59
Exercícios Propostos
1) Seja )cba,dc,cb,ba(
dc
ba
T +++++=





uma transformação linear. Mostre que T é um
isomorfismo e determine o isomorfismo inverso. Resp: 





−++−
−++−
=−
tzxtx
tyxty
)t,z,y,x(T 1
2) Seja )y,zx,zx()z,y,x(T −+= um operador linear. Mostre que T é um automorfismo e
determine o automorfismo inverso. Resp: 




 −+
=−
2
yx
,z,
2
yx
)z,y,x(T 1
3) Dada à transformação linear )z,zy,yx,x()z,y,x(T −−= . Determine a dimensão da Im(T) e do
Ker(T). T é um isomorfismo? Porque?
Resp: 0)T(Kerdim = ⇒ T é injetora; 3)TIm(dim = ⇒ T não é sobrejetora. Portanto, T não é
um isomorfismo.
4) Se 21
t)zy(t)yx()zyx2()z,y,x(T −+−+−+=−
é o isomorfismo inverso da T, determine a T e
onde ela está definida.
Resp: 




 −−−−−
=++
2
a3a2a
,
2
aa2a
,
2
aa
)tataa(T 210210202
210 ; 3
2 )(P:T ℜ→ℜ
5) Sabendo que T é um automorfismo do ℜ2
e que 





=−= −
3
2
,
3
1
)0,1(Te)1,1()1,0(T 1
, determine a
expressão da T e da 1
T−
. Resp: 




 −+
=−+= −
3
yx2
,
3
yx
)y,x(Te)yx2,yx()y,x(T 1