Exercícios de Revisão

                                      Primitivas Imediatas




   Algumas Fórmulas Úteis .....................................................................................................3
§1 Introdução Teórica ..............................................................................................................4
§2 Exercícios Resolvidos...........................................................................................................4
   2.1 Potência...........................................................................................................................4
   2.2 Exponencial ....................................................................................................................5
   2.3 Logaritmo .......................................................................................................................6
   2.4 ArcTan/ArcSin ...............................................................................................................7
§3 Exercícios Propostos ............................................................................................................8
§4 Sugestões para as resoluções dos Exercícios Propostos.....................................................9
   Bibliografia .........................................................................................................................10




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Tabela 1.1: Tabela de Primitivas Elementares


                                    f                         P f =F
                              c, c ∈ IR                           cx
                              α
                             x (α≠− 1)                           x α+1
                                                                α +1
                                   1                            log x
                                   x
                                   ex                             ex

                                  cos x                          sin x

                                  sin x                         − cos x

                                  sec2 x                         tg x

                              cosec2 x                         −cotg x
                                 1                             arctg x
                               1+ x 2
                                 1                             arcsin x
                                1− x 2
                               cosh x                          sinh x
                               sinh x                          cosh x



N.B.: Nesta colecção vamos reduzir todas as primitivas a determinar, às expressões nesta
tabela. Este aspecto deve ser bem ponderado pelos leitores, no contexto da avaliação a que
serão sujeitos, nas respectivas faculdades.




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Algumas Fórmulas Úteis

Fórmulas trigonométricas

                                                        1                                         1
       sin 2 x + cos2 x = 1                  sec x ≡                                cosec x ≡
                                                       cos x                                    sin x
       tg 2 x +1= sec 2 x                    cotg 2 x +1= cosec2 x                  sin 2 x = 2 sin x cos x


                                                                                      cos2 x = cos 2 x−sin 2 x
               1 1                                    1 1
      sin 2 x = − cos2 x                     cos 2 x = + cos2 x                               = 2cos 2 x− 1
               2 2                                    2 2
                                                                                              = 1 − 2sin 2 x


      e i x ≡cis x = cos x +i sin x    (fórmula de Euler)                  i ≡ −1
                e ix −e −ix                            e ix +e −ix
      sin x =                                cos x =
                     2i                                     2


Funções hiperbólicas

                 e x −e −x                               e x +e −x                  tgh x ≡
                                                                                              sinh x
      sinh x ≡                               cosh x ≡
                     2                                       2                                cosh x




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§1 Introdução Teórica
Definição 1.1: Primitiva
“Sejam f e F funções definidas no intervalo [a, b] ; F é diferenciável em todos os pontos
de [a, b] e se para todo o x ∈ [a, b] se tem:
                                            F ′(x ) = f ( x ) ,
diz-se que a função f é primitivável em [a, b] e que F é uma primitiva de f em [a, b] .”

Observação 1.2: Notação
“Para denotar uma primitiva F de uma função f é habitual usar-se uma das seguintes
notações: F ( x ) = Pf ( x ) = Px f (x ) = ∫ f ( x )dx .”

§2 Exercícios Resolvidos
Para resolver este grupo de exercícios, o método a utilizar é transformar a função a
primitivar, evidentemente sem a alterar, numa função do tipo das existentes na tabela de
primitivas elementares (Tabela 1.1), e de seguida primitivá-la imediatamente recorrendo à
dita tabela. Em geral nesta fase inicial, além da Tabela 1.1 vamos usar o seguinte resultado:


Teorema 2.1: Regra da Derivada da Função Composta

                                       “
                                           d
                                              [F (u (x ))] = F ′(u(x )).u ′(x ) ”
                                           dx


2.1 Potência

                                           xα +1                                      uα +1
                              P ⎡ xα ⎤ =
                                ⎣ ⎦                                   P ⎡uα u ′ ⎤ =
                                                                        ⎣       ⎦
                                           α +1                                       α +1


2.1.1 Primitive as seguintes funções:

          x4          3
(a)          − 2x 2 + 3
          3          x
(b)      3   x2 + 25 x
             x − 23 x
(c)
                x




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Resolução:
                   x4           3    1                             x 5 2 3 3 −2
(a)     P(            − 2 x 2 + 3 ) = P x 4 − 2 P x 2 + 3 P x −3 =    − x − x
                   3           x     3                             15 3    2
                                               3         5
(b)    P(3 x 2 + 25 x ) = P x 2 3 +2P x 1 / 5 = x 5 / 3 + x 6 / 5
                                               5         3
                   x − 23 x        ⎛        x        x ⎞
(c)     P                       = P⎜           − 2 3 3 ⎟ = P x −1/ 2 − 2 P x −2 / 3 = 2 x − 6 3 x
                                   ⎝                 x ⎠
                                             2
                       x                   x


2.2 Exponencial


                                            P ⎡e x ⎤ = e x
                                              ⎣ ⎦                           P ⎡ eu u ′ ⎤ = eu
                                                                              ⎣        ⎦


2.2.1 Primitive as seguintes funções:
              4
(a)    x3 e x
               x
        e
(b)
              x
            sin 2 x
(c)    e              cos 2 x
            1x
        e
(d)
         x2

Resolução:
                                  1                 1        1     1 4
       Exponencial: P( x 3 e x ) = P 4 x 3 e x = 4 P u ′e u = e u = e x
                              4               4
(a)
                                  4             u=x 4        4     4
                                       x
                                 e                1
(b)    Exponencial: P                      =2P         e     x
                                                                  = 2Pu ′e u = 2e u = 2e    x

                                     x           2 x             u= x


                                           1                              1          1     1
(c)    Exponencial: P (e sin 2 x cos 2 x) = P 2cos2 x e sin 2 x =           Pu ′e u = e u = e sin 2 x
                                           2                   u =sin 2 x 2          2     2
                                 e1 x      ⎛ 1          ⎞
(d)    Exponencial: P                 = − P⎜ − 2 e1 / x ⎟ = − Pu ′e u = −e u =−e 1 x
                                           ⎝            ⎠ u =1 / x
                                    2
                                  x           x




                                     http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117                5
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2.3 Logaritmo


                                ⎡1⎤                           ⎡ u′ ⎤
                              P ⎢ ⎥ = log x                 P ⎢ ⎥ = log u
                                ⎣x⎦                           ⎣u ⎦


2.3.1 Primitive as seguintes funções:
          ex
(a)
       1+ 4e x
       sin x − cos x
(b)
       sin x + cos x
          1
(c)
       x log x

Resolução:
                          ex    1  4e x           1 u′ 1      1
(a)    Logaritmo: P            = P         =       P = log u = log 1 + 4e x
                       1 + 4e 4 1 + 4e u =1+ 4e x 4 u 4
                             x          x
                                                              4
                       sin x − cos x      cos x − sin x                  u′
(b)    Logaritmo: P                  =− P                     = − P =−log u = −log sin x + cos x
                       sin x + cos x      sin x + cos x u =sin x + cos x u
                         1        1x            u′
(c)    Logaritmo: P           =P          = P = log u = log log x
                       xlog x    log x u =log x u




                           http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117                     6
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2.4 ArcTan/ArcSin

                          ⎡ 1 ⎤                                                               ⎡ u′ ⎤
                         P⎢      2⎥
                                    = arctan ( x )                                          P⎢          = arctan ( u )
                          ⎣1 + x ⎦                                                            ⎣1 + u ⎥⎦
                                                                                                    2


                        ⎡ 1 ⎤                                                                ⎡ u′ ⎤
                       P⎢         ⎥ = arcsin ( x )                                          P⎢          ⎥ = arcsin ( u )
                        ⎣  1 − x2 ⎦                                                          ⎣   1− u2 ⎦


2.4.1 Primitive as seguintes funções:

            x2                                                       x
(a)                                                 (b)
          1 + x6                                                  1− x4
                   1                                            e 2x
(c)                                                 (d)
              x        1− x                                   1 + e 4x
                   x
               e                                                               1
(e)                                                 (f)
              1− e     2x
                                                               x 1 − log 2 x

Resolução:
           x2          x2      1  3x 2        1   u′    1         1
(a) P            =P           = P        = P           = arctg u = arctg x 3
          1+ x 6
                   1 + ( x ) 3 1+( x ) u = x3 3 1 + u 3
                          3 2        3 2             2
                                                                  3
               x                         x    1     2x            1  u′    1         1
(b)   P                    =P                = P             = P          = arcsinu = arcsin x 2
              1− x     4
                                    1 − (x ) 22 2
                                                 1 − (x )
                                                       2 2 u = x2 2
                                                                    1− u 2
                                                                        2            2


(c)   P
                   1
                              =P
                                     1       x
                                                  =2P
                                                            ( )
                                                           1 2 x
                                                                                   = 2P
                                                                                            u′
                                                                                                   = 2arcsinu = 2 arcsin x
              x 1− x                  1− x                 1− ( x)                         1− u2
                                                                           2
                                                                               u= x



           e2x           e2x     1  2e 2 x           1  u′    1         1
(d)   P           =P            = P            = P           = arctg u = arctg e 2 x
          1+ e 4x
                     1 + (e ) 2 1 + (e )
                           2x 2        2 x 2 u =e2 x
                                                     2 1+ u 2
                                                           2
                                                                        2

                  ex                         u′
(e)   P                       = P                     = arcsinu = arcsin e x
              1− e ( ) x 2 u =e x        1− u     2



                        1                             1x                            u′
(f)       P                          =P                           = P                      = arcsinu = arcsin(log x)
              x 1 − log 2 x                   1 − (log x )                         1− u2
                                                             2 u = log x




                                             http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117                             7
                                                                 93 852 13 50
§3 Exercícios Propostos
3.1 Preencha a primeira coluna da tabela seguinte:

                            Tabela 1.2: Tabela de Primitivas Imediatas


                                           f                          P f =F
                                                                            cu
                                                                            α +1
                                                                        u
                                                                        α +1
                                                                        log u
                                                                            eu

                                                                         sin u

                                                                       − cos u

                                                                         tg u

                                                                       − cotgu
                                                                       arctg u
                                                                       arcsin u
                                                                        sinh u
                                                                        cosh u


Note que u = u ( x ) .


3.2 Primitive as seguintes funções:

                  x3                     e 6x                        x
(a)                       (b)                             (c)
                 1 − x4                 1 − e 6x                   1+ x2
          x5
(d)                       (e)     2x + x / 2             (f) 3 sin x + 2 x 2
         1+ x6

                                    3 sin x
(g) xe − x                                               (i) x 1 + x 2
             2
                          (h)
                                 (1 + cos x )   2




                                http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117   8
                                                    93 852 13 50
3.3 Primitive as seguintes funções:

                                                                              1
(a) e 2 sin x cos x            (b) tan x                              (c)
                                                                            x +2
                                                                              2



                                            1                                     1
(d) sin 3 x cos 3 x
                                     (                )
                               (e)                                    (f)
                                      1 + x arctan x
                                                  2
                                                                            (1 + x )   x

        ex                               arcsin x                                 x
(g)                            (h)                                    (i)
      4 + e2x                             1− x2                              1 − 2x 4


§4 Sugestões para as resoluções dos Exercícios Propostos
3.1 O que se está a pedir não é que primitive, mas sim que derive a 2ª coluna, resultando:


                                                                        f
                                                                        cu ′
                                                                       u ′u α
                                                                          u
                                                                         u′
                                                                        u ′e u
                                                                     u ′ cos u
                                                                     u ′ sin u
                                                                    u ′ sec 2 u
                                                                   u ′cosec 2 u
                                                                         u′
                                                                     1+ u2
                                                                      u′
                                                                     1− u2
                                                                   u ′ cosh u
                                                                   u ′ sinh u

3.2
(a)
P
       x3
      1− x    4
                      (                   )
                  = P x 3 ( 1 − x 4 ) −1 2 = −
                                                          1
                                                          4
                                                              (                        )  1
                                                            P − 4 x 3 ( 1 − x 4 ) −1 2 = − P u ′ u − 1 2 = −
                                                                                          4
                                                                                                             1 u1 2
                                                                                                             412
                                                                                                                    =−
                                                                                                                       1
                                                                                                                       2
                                                                                                                           1− x4


(b)
P
       e6 x
      1 − e6x
                       (                      )   1
                                                               (                   1
                                                                                           )
                  = P e 6 x ( 1 − e 6 x ) −1 2 = − P −6e 6 x ( 1 − e 6 x ) −1 2 = − P u ′ u −1 2 = −
                                                  6                                6
                                                                                                     1 u1 2
                                                                                                     6 12
                                                                                                               1
                                                                                                            = − 1 − e6x
                                                                                                               3


                                     http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117                                      9
                                                         93 852 13 50
1 u′ 1
(c) P
           x    1
               = P
                   2x                  1
                         = P = log u = log 1 + x 2               (           )
        1 + x 2 1 + x u =1+ x 2 2 u 2
             2        2
                                       2

                   1 6x 5 1 u ′ 1
                           = P = log u = log(1 + x 6 )
             x5                         1
(d)     P         = P
            1+ x 6 1+ x 6 u 6
                6        6
                                        6

                             (f) 3 cos x + 2 / 3x 3                    (g) − 0.5e − x
                                                                                        2
(e)     2x 3


        [                         ] = 1 + cos x                        (i) 1 / 3(1 + x 2 )2
                                                                                            3
(h) P 3 sin x(1 + cos x )
                             −2           3


3.3
      1 2 sin x                                                                  1       ⎛ x ⎞
(a)     e                    (b) log cos x                             (c)         arctan⎜   ⎟
      2                                                                          2       ⎝ 2⎠
(d)
                         [                               ] [                     ] [
P (sin 3 x cos 3 x ) = P (1 − sin 2 x )cos x sin 3 x = P cos x sin 3 x + P cos x sin 5 x =              ]   sin 3 x sin 6 x
                                                                                                               4
                                                                                                                   −
                                                                                                                       6
                                                                               ⎡          ⎤
             (     )
      ⎡1 / 1 + x 2 ⎤                                                                    ( )
                                                                               ⎢ 1/ 2 x ⎥
                                                                                                                 ( x)
(e) P ⎢            ⎥ = log arctan x                                    (f) 2 P ⎢       2 ⎥
                                                                                            = 2 arctan
      ⎣ arctan x ⎦
                                                                               ⎣⎝
                                                                                 ⎜      ⎟( )
                                                                               ⎢ ⎛1 + x ⎞ ⎥
                                                                                        ⎠⎦
(g) 1 / 2 arctan(e x / 2 )
      ⎡ 1
                                                                                            (       )
                            1⎤
               (arcsin x )− 2 ⎥ = 2 (arcsin x ) 2                                1
                                                3
(h) P ⎢                                                                (i)           arcsin 2 x 2
      ⎣ 1− x                  ⎦ 3
             2
                                                                             2 2


Bibliografia

[1] “Introdução à Análise Matemática” J. Campos Ferreira (Fundação Gulbenkian, 1990).
[2] “Calculus, Vol. I” T. M. Apostol (John Wiley, 1976).




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Primitivas imediatas

  • 1.
    Exercícios de Revisão Primitivas Imediatas Algumas Fórmulas Úteis .....................................................................................................3 §1 Introdução Teórica ..............................................................................................................4 §2 Exercícios Resolvidos...........................................................................................................4 2.1 Potência...........................................................................................................................4 2.2 Exponencial ....................................................................................................................5 2.3 Logaritmo .......................................................................................................................6 2.4 ArcTan/ArcSin ...............................................................................................................7 §3 Exercícios Propostos ............................................................................................................8 §4 Sugestões para as resoluções dos Exercícios Propostos.....................................................9 Bibliografia .........................................................................................................................10 http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 1 93 852 13 50
  • 2.
    Tabela 1.1: Tabelade Primitivas Elementares f P f =F c, c ∈ IR cx α x (α≠− 1) x α+1 α +1 1 log x x ex ex cos x sin x sin x − cos x sec2 x tg x cosec2 x −cotg x 1 arctg x 1+ x 2 1 arcsin x 1− x 2 cosh x sinh x sinh x cosh x N.B.: Nesta colecção vamos reduzir todas as primitivas a determinar, às expressões nesta tabela. Este aspecto deve ser bem ponderado pelos leitores, no contexto da avaliação a que serão sujeitos, nas respectivas faculdades. http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 2 93 852 13 50
  • 3.
    Algumas Fórmulas Úteis Fórmulastrigonométricas 1 1 sin 2 x + cos2 x = 1 sec x ≡ cosec x ≡ cos x sin x tg 2 x +1= sec 2 x cotg 2 x +1= cosec2 x sin 2 x = 2 sin x cos x cos2 x = cos 2 x−sin 2 x 1 1 1 1 sin 2 x = − cos2 x cos 2 x = + cos2 x = 2cos 2 x− 1 2 2 2 2 = 1 − 2sin 2 x e i x ≡cis x = cos x +i sin x (fórmula de Euler) i ≡ −1 e ix −e −ix e ix +e −ix sin x = cos x = 2i 2 Funções hiperbólicas e x −e −x e x +e −x tgh x ≡ sinh x sinh x ≡ cosh x ≡ 2 2 cosh x http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 3 93 852 13 50
  • 4.
    §1 Introdução Teórica Definição1.1: Primitiva “Sejam f e F funções definidas no intervalo [a, b] ; F é diferenciável em todos os pontos de [a, b] e se para todo o x ∈ [a, b] se tem: F ′(x ) = f ( x ) , diz-se que a função f é primitivável em [a, b] e que F é uma primitiva de f em [a, b] .” Observação 1.2: Notação “Para denotar uma primitiva F de uma função f é habitual usar-se uma das seguintes notações: F ( x ) = Pf ( x ) = Px f (x ) = ∫ f ( x )dx .” §2 Exercícios Resolvidos Para resolver este grupo de exercícios, o método a utilizar é transformar a função a primitivar, evidentemente sem a alterar, numa função do tipo das existentes na tabela de primitivas elementares (Tabela 1.1), e de seguida primitivá-la imediatamente recorrendo à dita tabela. Em geral nesta fase inicial, além da Tabela 1.1 vamos usar o seguinte resultado: Teorema 2.1: Regra da Derivada da Função Composta “ d [F (u (x ))] = F ′(u(x )).u ′(x ) ” dx 2.1 Potência xα +1 uα +1 P ⎡ xα ⎤ = ⎣ ⎦ P ⎡uα u ′ ⎤ = ⎣ ⎦ α +1 α +1 2.1.1 Primitive as seguintes funções: x4 3 (a) − 2x 2 + 3 3 x (b) 3 x2 + 25 x x − 23 x (c) x http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 4 93 852 13 50
  • 5.
    Resolução: x4 3 1 x 5 2 3 3 −2 (a) P( − 2 x 2 + 3 ) = P x 4 − 2 P x 2 + 3 P x −3 = − x − x 3 x 3 15 3 2 3 5 (b) P(3 x 2 + 25 x ) = P x 2 3 +2P x 1 / 5 = x 5 / 3 + x 6 / 5 5 3 x − 23 x ⎛ x x ⎞ (c) P = P⎜ − 2 3 3 ⎟ = P x −1/ 2 − 2 P x −2 / 3 = 2 x − 6 3 x ⎝ x ⎠ 2 x x 2.2 Exponencial P ⎡e x ⎤ = e x ⎣ ⎦ P ⎡ eu u ′ ⎤ = eu ⎣ ⎦ 2.2.1 Primitive as seguintes funções: 4 (a) x3 e x x e (b) x sin 2 x (c) e cos 2 x 1x e (d) x2 Resolução: 1 1 1 1 4 Exponencial: P( x 3 e x ) = P 4 x 3 e x = 4 P u ′e u = e u = e x 4 4 (a) 4 u=x 4 4 4 x e 1 (b) Exponencial: P =2P e x = 2Pu ′e u = 2e u = 2e x x 2 x u= x 1 1 1 1 (c) Exponencial: P (e sin 2 x cos 2 x) = P 2cos2 x e sin 2 x = Pu ′e u = e u = e sin 2 x 2 u =sin 2 x 2 2 2 e1 x ⎛ 1 ⎞ (d) Exponencial: P = − P⎜ − 2 e1 / x ⎟ = − Pu ′e u = −e u =−e 1 x ⎝ ⎠ u =1 / x 2 x x http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 5 93 852 13 50
  • 6.
    2.3 Logaritmo ⎡1⎤ ⎡ u′ ⎤ P ⎢ ⎥ = log x P ⎢ ⎥ = log u ⎣x⎦ ⎣u ⎦ 2.3.1 Primitive as seguintes funções: ex (a) 1+ 4e x sin x − cos x (b) sin x + cos x 1 (c) x log x Resolução: ex 1 4e x 1 u′ 1 1 (a) Logaritmo: P = P = P = log u = log 1 + 4e x 1 + 4e 4 1 + 4e u =1+ 4e x 4 u 4 x x 4 sin x − cos x cos x − sin x u′ (b) Logaritmo: P =− P = − P =−log u = −log sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x u =sin x + cos x u 1 1x u′ (c) Logaritmo: P =P = P = log u = log log x xlog x log x u =log x u http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 6 93 852 13 50
  • 7.
    2.4 ArcTan/ArcSin ⎡ 1 ⎤ ⎡ u′ ⎤ P⎢ 2⎥ = arctan ( x ) P⎢ = arctan ( u ) ⎣1 + x ⎦ ⎣1 + u ⎥⎦ 2 ⎡ 1 ⎤ ⎡ u′ ⎤ P⎢ ⎥ = arcsin ( x ) P⎢ ⎥ = arcsin ( u ) ⎣ 1 − x2 ⎦ ⎣ 1− u2 ⎦ 2.4.1 Primitive as seguintes funções: x2 x (a) (b) 1 + x6 1− x4 1 e 2x (c) (d) x 1− x 1 + e 4x x e 1 (e) (f) 1− e 2x x 1 − log 2 x Resolução: x2 x2 1 3x 2 1 u′ 1 1 (a) P =P = P = P = arctg u = arctg x 3 1+ x 6 1 + ( x ) 3 1+( x ) u = x3 3 1 + u 3 3 2 3 2 2 3 x x 1 2x 1 u′ 1 1 (b) P =P = P = P = arcsinu = arcsin x 2 1− x 4 1 − (x ) 22 2 1 − (x ) 2 2 u = x2 2 1− u 2 2 2 (c) P 1 =P 1 x =2P ( ) 1 2 x = 2P u′ = 2arcsinu = 2 arcsin x x 1− x 1− x 1− ( x) 1− u2 2 u= x e2x e2x 1 2e 2 x 1 u′ 1 1 (d) P =P = P = P = arctg u = arctg e 2 x 1+ e 4x 1 + (e ) 2 1 + (e ) 2x 2 2 x 2 u =e2 x 2 1+ u 2 2 2 ex u′ (e) P = P = arcsinu = arcsin e x 1− e ( ) x 2 u =e x 1− u 2 1 1x u′ (f) P =P = P = arcsinu = arcsin(log x) x 1 − log 2 x 1 − (log x ) 1− u2 2 u = log x http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 7 93 852 13 50
  • 8.
    §3 Exercícios Propostos 3.1Preencha a primeira coluna da tabela seguinte: Tabela 1.2: Tabela de Primitivas Imediatas f P f =F cu α +1 u α +1 log u eu sin u − cos u tg u − cotgu arctg u arcsin u sinh u cosh u Note que u = u ( x ) . 3.2 Primitive as seguintes funções: x3 e 6x x (a) (b) (c) 1 − x4 1 − e 6x 1+ x2 x5 (d) (e) 2x + x / 2 (f) 3 sin x + 2 x 2 1+ x6 3 sin x (g) xe − x (i) x 1 + x 2 2 (h) (1 + cos x ) 2 http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 8 93 852 13 50
  • 9.
    3.3 Primitive asseguintes funções: 1 (a) e 2 sin x cos x (b) tan x (c) x +2 2 1 1 (d) sin 3 x cos 3 x ( ) (e) (f) 1 + x arctan x 2 (1 + x ) x ex arcsin x x (g) (h) (i) 4 + e2x 1− x2 1 − 2x 4 §4 Sugestões para as resoluções dos Exercícios Propostos 3.1 O que se está a pedir não é que primitive, mas sim que derive a 2ª coluna, resultando: f cu ′ u ′u α u u′ u ′e u u ′ cos u u ′ sin u u ′ sec 2 u u ′cosec 2 u u′ 1+ u2 u′ 1− u2 u ′ cosh u u ′ sinh u 3.2 (a) P x3 1− x 4 ( ) = P x 3 ( 1 − x 4 ) −1 2 = − 1 4 ( ) 1 P − 4 x 3 ( 1 − x 4 ) −1 2 = − P u ′ u − 1 2 = − 4 1 u1 2 412 =− 1 2 1− x4 (b) P e6 x 1 − e6x ( ) 1 ( 1 ) = P e 6 x ( 1 − e 6 x ) −1 2 = − P −6e 6 x ( 1 − e 6 x ) −1 2 = − P u ′ u −1 2 = − 6 6 1 u1 2 6 12 1 = − 1 − e6x 3 http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 9 93 852 13 50
  • 10.
    1 u′ 1 (c)P x 1 = P 2x 1 = P = log u = log 1 + x 2 ( ) 1 + x 2 1 + x u =1+ x 2 2 u 2 2 2 2 1 6x 5 1 u ′ 1 = P = log u = log(1 + x 6 ) x5 1 (d) P = P 1+ x 6 1+ x 6 u 6 6 6 6 (f) 3 cos x + 2 / 3x 3 (g) − 0.5e − x 2 (e) 2x 3 [ ] = 1 + cos x (i) 1 / 3(1 + x 2 )2 3 (h) P 3 sin x(1 + cos x ) −2 3 3.3 1 2 sin x 1 ⎛ x ⎞ (a) e (b) log cos x (c) arctan⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2⎠ (d) [ ] [ ] [ P (sin 3 x cos 3 x ) = P (1 − sin 2 x )cos x sin 3 x = P cos x sin 3 x + P cos x sin 5 x = ] sin 3 x sin 6 x 4 − 6 ⎡ ⎤ ( ) ⎡1 / 1 + x 2 ⎤ ( ) ⎢ 1/ 2 x ⎥ ( x) (e) P ⎢ ⎥ = log arctan x (f) 2 P ⎢ 2 ⎥ = 2 arctan ⎣ arctan x ⎦ ⎣⎝ ⎜ ⎟( ) ⎢ ⎛1 + x ⎞ ⎥ ⎠⎦ (g) 1 / 2 arctan(e x / 2 ) ⎡ 1 ( ) 1⎤ (arcsin x )− 2 ⎥ = 2 (arcsin x ) 2 1 3 (h) P ⎢ (i) arcsin 2 x 2 ⎣ 1− x ⎦ 3 2 2 2 Bibliografia [1] “Introdução à Análise Matemática” J. Campos Ferreira (Fundação Gulbenkian, 1990). [2] “Calculus, Vol. I” T. M. Apostol (John Wiley, 1976). http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 10 93 852 13 50